丁丽娟《数值计算方法》五章课后实验题答案(源程序很详细,且运行无误)

6.（1）设(1,0,5,2)Tx =-，试求12,,x x x∞（2）设40004402A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，试求12,,,F A A A A ∞ 解12128,5;6,8,FxxxA AAA∞∞=======；4．设05813622,10612422A b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， （1）试对A 进行PLU 分解：PA LU =； （2）根据PLU 分解求解Ax b =。

解 （1）162201011,102,00100.517100L U P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）(1,1,1)Tx =8．分别用Householder 变换法和MGS 法对A 进行QR 分解⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=542112111A解 (1) Householder 法对A 进行QR 分解[]()()()123123,,,1,2,2,1,1,4,1,1,5T T TααααααA ===--=-令()11,2,2Tαα==，调用算法2.1有[]13,,42212Tu ρβ=-==，所以 []1122333100412210102422123330012212333T uu β---⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥H =I -=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦--⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 故1333003033--⎡⎤⎢⎥H A =-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦再令()0,3Tα'=-,调用算法2.1得20110H ⎡⎤'=⎢⎥⎣⎦,则 2100001010⎡⎤⎢⎥H =⎢⎥⎢⎥⎣⎦,21333033003--⎡⎤⎢⎥H H A =-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦故121223331212,0333221003T TQ R -----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=H H =--=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦. 10．设131112000,110001A b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦求Ax b =的最小二乘问题的全部解。

数值分析第五章答案【篇一：数值分析第五版计算实习题】第二章2-1程序：clear;clc;x1=[0.2 0.4 0.6 0.8 1.0];y1=[0.98 0.92 0.81 0.64 0.38];n=length(y1);c=y1(:);or j=2:n %求差商for i=n:-1:jc(i)=(c(i)-c(i-1))/(x1(i)-x1(i-j+1));endendsyms x df d;df(1)=1;d(1)=y1(1);for i=2:n %求牛顿差值多项式df(i)=df(i-1)*(x-x1(i-1));d(i)=c(i)*df(i);enddisp(4次牛顿插值多项式);p4=vpa(collect((sum(d))),5) %p4即为4次牛顿插值多项式,并保留小数点后5位数 pp=csape(x1,y1, variational);%调用三次样条函数 q=pp.coefs;disp(三次样条函数);for i=1:4s=q(i,:)*[(x-x1(i))^3;(x-x1(i))^2;(x-x1(i));1];s=vpa(collect(s),5)endx2=0.2:0.08:1.08;dot=[1 2 11 12];figureezplot(p4,[0.2,1.08]);hold ony2=fnval(pp,x2);x=x2(dot);y3=eval(p4);y4=fnval(pp,x2(dot));plot(x2,y2,r,x2(dot),y3,b*,x2(dot),y4,co);title(4次牛顿插值及三次样条);结果如下：4次牛顿插值多项式p4 = - 0.52083*x^4 + 0.83333*x^3 - 1.1042*x^2 + 0.19167*x + 0.98 三次样条函数x∈[0.2,0.4]时， s = - 1.3393*x^3 + 0.80357*x^2 - 0.40714*x + 1.04 x∈[0.4,0.6]时，s = 0.44643*x^3 - 1.3393*x^2 + 0.45*x +0.92571 x∈[0.6,0.8]时，s = - 1.6964*x^3 + 2.5179*x^2 - 1.8643*x + 1.3886 x∈[0.8,1.0]时，s =2.5893*x^3 - 7.7679*x^2 + 6.3643*x - 0.80571 输出图如下2-3（1）程序：clear;clc;x1=[0 1 4 9 16 25 36 49 64];y1=[0 1 2 3 4 5 6 7 8];%插值点n=length(y1);a=ones(n,2);a(:,2)=-x1;c=1;for i=1:nc=conv(c,a(i,:));endq=zeros(n,n);r=zeros(n,n+1);for i=1:n[q(i,:),r(i,:)]=deconv(c,a(i,:));%wn+1/(x-xk)enddw=zeros(1,n);for i=1:ndw(i)=y1(i)/polyval(q(i,:),x1(i));%系数endp=dw*q;syms x l8;for i=1:nl8(i)=p(n-i+1)*x^(i-1);enddisp(8次拉格朗日插值);l8=vpa(collect((sum(l8))),5)xi=0:64;yi=polyval(p,xi);figureplot(xi,yi,x1,y1,r*);hold ontitle(8次拉格朗日插值);结果如下：8次拉格朗日插值l8 =- 3.2806e-10*x^8 + 6.7127e-8*x^7 - 5.4292e-6*x^6 +0.00022297*x^5 - 0.0049807*x^4 + 0.060429*x^3 - 0.38141*x^2 +1.3257*x输出图如下：第五章4-1（3）程序：clc;clear;y= @(x) sqrt(x).*log(x);a=0;b=1;tol=1e-4;p=quad(y,a,b,tol);fprintf(采用自适应辛普森积分结果为： %d \n, p);结果如下：采用自适应辛普森积分结果为： -4.439756e-01第九章9-1(a)程序：clc;clear;a=1;b=2;%定义域h=0.05;%步长n=(b-a)/h;y0=1;%初值f= @(x,y) 1/x^2-y/x;%微分函数xn=linspace(a,b,n+1);%将定义域分为n等份 yn=zeros(1,n);%结果矩阵yn(1)=y0;%赋初值%以下根据改进欧拉公式求解for i=1:nxn=xn(i);xnn=xn(i+1);yn=yn(i);yp=yn+h*f(xn,yn);yc=yn+h*f(xnn,yp);yn=(yp+yc)/2;yn(i+1)=yn;endxn=yn;%以下根据经典四阶r-k法公式求解for i=1:nxn=xn(i);yn=yn(i);k1=f(xn,yn);k2=f(xn+h/2,yn+h/2*k1);k3=f(xn+h/2,yn+h/2*k2);k4=f(xn+h,yn+h*k3);yn=yn+h/6*(k1+2*k2+2*k3+k4);yn(i+1)=yn;enddisp(改进欧拉法四阶经典r-k法); disp([xn yn])结果如下：改进欧拉法四阶经典r-k法 110.998870.998850.99577 0.99780.991140.996940.985320.996340.978570.996030.971110.996060.963110.996450.95470.997230.945980.998410.9370510.92798 1.0020.91883 1.00440.90964 1.00730.90045 1.01060.89129 1.01430.88218 1.01840.87315 1.02290.86421 1.02780.85538 1.03310.84665 1.0388（b）程序：clc;clear;a=0;b=1;%定义域h=[0.1 0.025 0.01];%步长y0=1/3;%初值f= @(x,y) -50*y+50*x^2+2*x;%微分函数 xi=linspace(a,b,11);y=1/3*exp(-50*xi)+xi.^2;%准确解 ym=zeros(1,11);for j=1:3【篇二：数值分析(第五版)计算实习题第五章作业】题：lu分解法：建立m文件function h1=zhijielu(a,b)%h1各阶主子式的行列式值[n n]=size(a);ra=rank(a);if ra~=ndisp(请注意：因为a的n阶行列式h1等于零，所以a不能进行lu 分解。

《数值计算方法》课后题答案详解吉 林 大 学第一章 习 题 答 案1. 已知(1)2,(1)1,(2)1f f f −===，求()f x 的Lagrange 插值多项式。

解：由题意知：()01201212001020211012012202121,1,2;2,1,1()()(1)(2)()()6()()(1)(2)()()2()()(1)(1)()()3(1)(2)(1)(2)()2162nj j j x x x y y y x x x x x x l x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x l x x x x x x x x L x y l x ==−=====−−−−==−−−−+−==−−−−−+−==−−−−+−==×+×−∴∑()2(1)(1)131386x x x x +−+×=−+2. 取节点01210,1,,2x x x ===对x y e −=建立Lagrange 型二次插值函数，并估计差。

解11201201210,1,;1,,2x x x y y e y e −−======1)由题意知：则根据二次Lagrange插值公式得：02011201201021012202110.510.520.51()()()()()()()()()()()()()2(1)(0.5)2(0.5)4(1)(224)(43)1x x x x x x x x x x x x L x y y y x x x x x x x x x x x x x x x x e x x e e e x e e x −−−−−−−−−−−−=++−−−−−−=−−+−−−=+−+−−+22)Lagrange 根据余项定理，其误差为(3)2210122()1|()||()||(1)(0.5)|3!61max |(1)(0.5)|,(0,1)6()(1)(0.5),()330.5030.2113()61()0.2113(0.21131)(0.21130.5)0.008026x f R x x e x x x x x x t x x x x t x x x x t x R x ξξωξ−+≤≤==−−≤−−∈′=−−=−+=−==≤××−×−=∴取 并令 可知当时，有极大值3. 已知函数y =在4, 6.25,9x x x ===处的函数值，试通过一个二次插值函数求的近似值，并估计其误差。

5.1解：⎪⎩⎪⎨⎧--=--=+-=2212133112322211x x x x x x x x x⑴Jacobi 迭代法：⎪⎩⎪⎨⎧--=--=+-=+++2131312132112211221k k k k k k k k k x x x x x x x x k=0,…,n\x (0)=0∴x 11=1 x 21=1 x 31=1∴x 12=1 x 22=-1 x 32=-3g=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--200320220 ∴特征多项式为：λλλ--------221122∴λ1=λ2=λ3=0∴)(G ρ=0<1∴该迭代法收敛。

⑵Gauss-Swidel 迭代法：⎪⎩⎪⎨⎧--=--=+-=+++2131312132112211221k k k k k k k k k x x x x x x x x k=0,…,n\∴ x 1(0)=x 2(0)=x 3(0)=0∴x 11=1 x 21=0 x 31=-1∴x 12=-1 x 22=3 x 32=-3∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=+-=+++k k k k k k k k x x x x x x x x 331322132112132221∴迭代阵为G=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--200320220 ∴特征多项式为λλλ-----20032022 ∴-λ（2-λ）2=0∴λ1=0 λ2=λ3=2∴)(G ρ=2>1∴该迭代法发散。

5.2解：调整顺讯后得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-+-=-+=21112233112311312322411x x x x x x x x x ⑴Jacobi 迭代法：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-+-=-+=+++213131213211112211311311241k k k k k k k k k x x x x x x x x x ⑵Gauss-Swidel 迭代法： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-+-=-+=+++213131213211112211311311241k k k k k k k k k x x x x x x x x x调整后得到的矩阵为A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----3331124111122 验证可得A 严格对角占优阵；∴Jacobi 迭代和Gauss-Swidel 迭代均收敛。

《计算方法》习题答案第一章 数值计算中的误差1．什么是计算方法？（狭义解释）答：计算方法就是将所求的的数学问题简化为一系列的算术运算和逻辑运算，以便在计算机上编程上机，求出问题的数值解，并对算法的收敛性、稳定性和误差进行分析、计算。

2．一个实际问题利用计算机解决所采取的五个步骤是什么？答：一个实际问题当利用计算机来解决时，应采取以下五个步骤： 实际问题→建立数学模型→构造数值算法→编程上机→获得近似结果 4．利用秦九韶算法计算多项式4)(53-+-=x x x x P 在3-=x 处的值，并编程获得解。

解：400)(2345-+⋅+-⋅+=x x x x x x P ，从而所以，多项式4)(53-+-=x x x x P 在3-=x 处的值223)3(-=-P 。

5．叙述误差的种类及来源。

答：误差的种类及来源有如下四个方面：（1）模型误差：数学模型是对实际问题进行抽象，忽略一些次要因素简化得到的，它是原始问题的近似，即使数学模型能求出准确解，也与实际问题的真解不同，我们把数学模型与实际问题之间存在的误差称为模型误差。

（2）观测误差：在建模和具体运算过程中所用的一些原始数据往往都是通过观测、实验得来的，由于仪器的精密性，实验手段的局限性，周围环境的变化以及人们的工作态度和能力等因素，而使数据必然带有误差，这种误差称为观测误差。

（3）截断误差：理论上的精确值往往要求用无限次的运算才能得到，而实际运算时只能用有限次运算的结果来近似，这样引起的误差称为截断误差（或方法误差）。

（4）舍入误差：在数值计算过程中还会用到一些无穷小数，而计算机受机器字长的限制，它所能表示的数据只能是一定的有限数位，需要把数据按四舍五入成一定位数的近似的有理数来代替。

这样引起的误差称为舍入误差。

6．掌握绝对误差（限）和相对误差（限）的定义公式。

答：设*x 是某个量的精确值，x 是其近似值，则称差x x e -=*为近似值x 的绝对误差（简称误差）。

数值分析第五章实习题答案数值分析第五章实习题答案数值分析是一门研究如何使用计算机来解决数学问题的学科。

在数值分析的学习过程中，实习题是非常重要的一部分，通过实习题的练习，可以帮助我们巩固所学的知识，并且提高我们的解题能力。

本文将为大家提供数值分析第五章实习题的答案，希望对大家的学习有所帮助。

第一题：求下列方程的一个正根，并用二分法和牛顿法分别计算根的近似值。

方程：x^3 - 3x + 1 = 0解答：首先，我们可以通过绘制函数图像来初步估计方程的根的范围。

根据图像，我们可以大致确定根在区间[0, 2]之间。

接下来，我们使用二分法来计算根的近似值。

根据二分法的原理，我们将区间[0, 2]等分为两部分，然后判断根在哪一部分。

不断重复这个过程，直到找到根的近似值。

具体计算过程如下：- 将区间[0, 2]等分为两部分，得到中点x = 1。

- 计算方程在x = 1处的函数值f(1) = -1。

- 根据函数值的正负性，我们可以确定根在区间[1, 2]之间。

- 将区间[1, 2]等分为两部分，得到中点x = 1.5。

- 计算方程在x = 1.5处的函数值f(1.5) = 1.375。

- 根据函数值的正负性，我们可以确定根在区间[1, 1.5]之间。

- 重复以上步骤，直到找到根的近似值。

最终得到根的近似值为x ≈ 1.365。

接下来，我们使用牛顿法来计算根的近似值。

牛顿法是一种迭代法，通过不断逼近根的位置来计算根的近似值。

具体计算过程如下：- 选择初始近似值x0 = 1。

- 计算方程在x = 1处的函数值f(1) = -1。

- 计算方程在x = 1处的导数值f'(1) = 4。

- 利用牛顿法的迭代公式x1 = x0 - f(x0)/f'(x0)，我们可以得到x1 ≈ 1.333。

- 重复以上步骤，直到找到根的近似值。

最终得到根的近似值为x ≈ 1.365。

通过二分法和牛顿法，我们分别得到了方程x^3 - 3x + 1 = 0的一个正根的近似值为x ≈ 1.365。

数值计算方法丁丽娟课后答案数值计算方法是一门重要的数学课程，它在工程、科学和计算机等领域都有着广泛的应用。

通过数值计算方法，我们可以利用计算机对复杂的数学问题进行求解，从而得到更加精确和有效的结果。

在学习数值计算方法的过程中，我们通常会遇到各种各样的问题和难题，因此课后答案的编写对于学生来说具有重要的意义。

本文将针对数值计算方法丁丽娟课后答案进行详细的讲解和分析。

首先，我们需要明确数值计算方法的基本概念和原理。

数值计算方法是一种利用数值计算工具（如计算机）对数学问题进行求解的方法。

它主要包括插值法、数值积分、数值微分、常微分方程数值解等内容。

在实际应用中，我们经常会遇到函数的插值、数值积分和微分、以及常微分方程的数值解等问题。

因此，我们需要掌握这些方法的基本原理和计算步骤。

其次，我们需要学习数值计算方法的具体算法和计算步骤。

对于函数的插值问题，我们可以利用拉格朗日插值法、牛顿插值法等方法来进行求解。

而对于数值积分和微分问题，我们可以利用复化梯形公式、辛普森公式等方法来进行求解。

此外，对于常微分方程数值解问题，我们可以利用欧拉法、改进的欧拉法、四阶龙格-库塔法等方法来进行求解。

因此，我们需要深入学习和掌握这些具体的算法和计算步骤。

另外，我们还需要了解数值计算方法的误差分析和收敛性问题。

在实际计算中，由于计算机的精度限制和算法本身的近似性，我们往往会面临误差问题。

因此，我们需要学习如何对数值计算结果进行误差分析，并且了解不同算法的收敛性条件。

只有通过对误差分析和收敛性问题的深入研究，我们才能够更加准确和有效地进行数值计算。

最后，我们需要通过大量的练习和实例来加深对数值计算方法的理解和掌握。

通过课后答案的编写，我们可以更好地巩固课堂上所学的知识，发现自己在理解和运用上的不足之处，并及时进行纠正。

同时，通过与答案对比和讨论，我们还可以更好地理解和掌握数值计算方法的具体算法和计算步骤，从而提高自己的解题能力和应用能力。

数值分析（p11页）4 试证：对任给初值x 0,0)a >的牛顿迭代公式112(),0,1,2,......k ak k x x x k +=+= 恒成立下列关系式：2112(1)(,0,1,2,....(2)1,2,......kk k x k x x k x k +-=-=≥=证明：（1）(21122k k k k k kx a x x x x +-⎫⎛-=+==⎪ ⎝⎭（2） 取初值00>x ，显然有0>k x ，对任意0≥k ，a a x a x x a x x k k k k k ≥+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+2121216 证明：若k x 有n 位有效数字，则n k x -⨯≤-110218， 而()k k k k k x x x x x 288821821-=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=-+ nnk k x x 2122110215.22104185.28--+⨯=⨯⨯<-∴>≥ 1k x +∴必有2n 位有效数字。

8 解：此题的相对误差限通常有两种解法. ①根据本章中所给出的定理：（设x 的近似数*x 可表示为m n a a a x 10......021*⨯±=，如果*x 具有l 位有效数字，则其相对误差限为()11**1021--⨯≤-l a x x x ，其中1a 为*x 中第一个非零数）则7.21=x ，有两位有效数字，相对误差限为025.010221111=⨯⨯≤--x x e 71.22=x ，有两位有效数字，相对误差限为025.010221122=⨯⨯≤--x x e 3 2.718x =，有两位有效数字，其相对误差限为：00025.010221333=⨯⨯≤--x e x ②第二种方法直接根据相对误差限的定义式求解 对于7.21=x ，0183.01<-e x∴其相对误差限为00678.07.20183.011≈<-x e x 同理对于71.22=x ，有003063.071.20083.022≈<-x e x 对于718.23=x ，有00012.0718.20003.033≈<-x e x备注：（1）两种方法均可得出相对误差限，但第一种是对于所有具有n 位有效数字的近似数都成立的正确结论，故他对误差限的估计偏大，但计算略简单些；而第二种方法给出较好的误差限估计，但计算稍复杂。

第5章
）矩阵行列式的值很小。

）矩阵的范数小。

）矩阵的范数大。

（7）奇异矩阵的范数一定是零。

答：错误，
∞
•可以不为0。

（8）如果矩阵对称，则|| A||1 = || A||∞。

答：根据范数的定义，正确。

（9）如果线性方程组是良态的，则高斯消去法可以不选主元。

答：错误，不选主元时，可能除数为0。

（10）在求解非奇异性线性方程组时，即使系数矩阵病态，用列主元消去法产生的误差也很小。

答：错误。

对于病态方程组，选主元对误差的降低没有影响。

（11）|| A ||1 = || A T||∞。

答：根据范数的定义，正确。

（12）若A是n n的非奇异矩阵，则
)
(
cond
)
(
cond1-
=A
A。

答：正确。

A是n n的非奇异矩阵，则A存在逆矩阵。

根据条件数的定义有：
1
111111 cond()
cond()()
A A A
A A A A A A A
-
------
=•
=•=•=•
习题
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5.1 为求方程0123=--x x 在区间]6.1,3.1[内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立相应的迭代公式，判断各迭代公式的收敛性，给出理由。

(1) 1-1=1-1=1+2k k x x x x :,迭代公式（2）21+21+1=1+1=kk x x x x :,迭代公式 (3) 3121+23+1=+1=/)(:,k k x x x x 迭代公式(4) 1+++1==1-221+23k k k k x x x x x x :,迭代公式 解答：在(1)中,.).()()(,)(,//0758281=1-6121>1-21-='1-1=1-1=23232x x x x x x ϕϕ 故迭代不收敛（由补充推论）。

(2)中1901.03.112)],6.1,3.1[,11)(,113322<=<-='∈∀+=+=x x x x x x x ϕϕ（压缩性），]6.1,3.1[]3.111,6.111[)(22⊂++∈x ϕ（映内性）故迭代收敛。

(3)中，15515.0)3.11(36.12)1(32)],6.1,3.1[,1)(3/223/2232<≈+⨯<+='∈∀+=x x x x x x ϕϕ（压缩性），]6.1,3.1[]6.11,3.11[)(3232⊂++∈x ϕ（映内性）故迭代收敛。

在(4)中，类似证明，迭代收敛。

5.2 考虑求方程0123cos 2=+-x x 根的迭代公式 ,2,01,cos 3241=+=+k x x k k 试证：对R x ∈∀0，该方法收敛，且收敛阶为１。

证明： 收敛性：x x cos 324)(+=ϕ，R x ∈∀0，]324,313[1∈x ，易知 ,2,1],324,313[=∈k x k ， ],324,313[∈∀x 1sin 32)('<=x x ϕ，据全局收敛知必收敛（注意考察序列为 ,2,1=k ）；又],324,313[*∈x 0sin 32)(**'≠=x x ϕ，由定理知必线性收敛。