零点个数问题
该问题题常以分段函数、抽象函数等为载体，考查函数性质、函数零点的个数、参数的范围和通过函数性质求解不等式问题等.解决该类问题的途径往往是根据函数的性质作出示意图，利用数形结合研究分界位置，结合函数、方程、不等式刻画边界位置，其间要注意导数的应用.
一、 分段函数的零点问题
【例1】（2020?漳州一模）已知函数21,1()43,1x e x f x x x x ?-<=?-+?
，若y kx =与()f x 有三个公共点，则实数k 的取
值范围是( )
A
．4,1)e -B
．4,0)
(0,1)e -C
．4,1)(1,1)e - D
．4,0)(0,1)(1,1)e -
解：如图所示，函数()f x 的图象，y kx =的图象． 1x -→时，()1f x e →-，可得(1,1)A e -，1OA k e =-．
1x <时，()1x f x e =-，()x f x e '=．
1x 时，22()43(2)1f x x x x =-+=--，()24f x x '=-．
假设()f x 与y kx =相切于原点时，01k e ==．
结合图形可得：11k e <<-时y kx =与()f x 有三个公共点．
设直线y kx =与2()43(1)f x x x x =-+相切于点0(P x ，2
043)x x -+， 则
2
0000
4324x x x x -+=-，化为：2
03x =，
解得：0x =
4k =．
结合图形可得：41k <<时，y kx =与()f x 有三个公共点．
综上可得：41k <<，或11k e <<-时，y kx =与()f x 有三个公共点．故选：C ．
【例2】(2019·郑州质量测试)已知函数f (x )＝?
????
e x －a ，x ≤0，
2x －a ，x >0(a ∈R)，若函数f (x )在R 上有两个零点，则实数
a 的取值范围是( )
A ．(0,1]
B ．[1，＋∞)
C ．(0,1)
D ．(－∞，1]
【解析】画出函数f (x )的大致图象如图所示．因为函数f (x )在R 上有两个零点，所以f (x )在(－∞，0]和(0，＋∞)上各有一个零点．当x ≤0时，f (x )有一个零点，需00时，f (x )有一个零点，需－a <0，即a >0.综上，0 【变式训练】（2020?泉州一模）已知函数1,(0), ()2,(0)x xe x f x x lnx x ?+=?-->? 若函数()y f x a =-至多有2个零点，则a 的取值范围是( ) A ．1(,1)e -∞-B ．1 (,1) (1,)e -∞-+∞C ．1 (1,1)e -- D ．[1，1]e + 解：当0x 时，()1x f x xe =+，则()(1)0x f x x e '=+=时，1x =-， 则()f x 在(,1)-∞-上单调递减，在(1,0)-上单调递增，且当x →-∞时，()1f x →，1 (1)1f e -=-； 当0x >时，()2f x x lnx =--，则1 ()10f x x '=- =时，1x =，则()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，且f （1）1=-，函数()y f x a =-至多有2个零点等价于函数()f x 的图象与直线y a =的图象至多2个零点，作出图象如下： 由图可知，1a >时，图象有2个交点，满足； 1 11a e - 时，图象有3个或4个交点，不满足； 1 1a e <-时，图象有2个或1个或0个交点，满足，故(a ∈-∞，11)(1e -?，)+∞， 故选：B ． 二、复合函数零点问题 【例3】（2020?郑州一模）2|21|,1()log (1),1 x x f x x x +?，32515 ()244g x x x m =-++，若(())y f g x m =-有9个零 点，则m 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(0,3) C ．5 (1,)3 D ．5(,3)3 解：令()t g x =，32515()244g x x x m = -++，2215151515 ()(2)(2)4244 g x x x x x x x '=-=-=-， 当(,0)x ∈-∞，(2,)+∞时，函数()g x 递增，当(0,2)x ∈时，函数()g x 递减， 函数()g x 有极大值(0)2g m =+，极小值g （2）3m =-， 若(())y f g x m =-有9个零点， 画出图象如下：观察函数()y f t =与y m =的交点， 当0m <时，1t >，此时函数()y f t =与y m =最多有3个交点，故不成立， 当0m =时，11 2 t =-，22t =，(0)2g =，g （2）3=-，1()g x t =，有三个解，()2g x =有2个解，共5个 解不成立； 当3m >时，显然不成立； 故要使函数有9个零点，03m <<，根据图象，每个y t =最多与()y g x =有三个交点，要有9个交点，只能每个t 都要有3个交点， 当03m <<，()y f t =与y m =的交点，1122t -<<-，21 12 t -<<，329t <<， (0)2(2g m =+∈，5)，g （2）3(3,0)m =-∈-， 当322t m <<+时，由233(1),21m log t m t -==+， 即2212m m <+<+时，得01m <<时，323t <<时3()x t =，有三个解， 2()g x t =，要有三个解132m -<-，即5 2 m <， 1()g x t =有三个解32m -<-，即1m <，综上，(0,1)m ∈，故选：A ． 【例4】（2019·湖北重点中学联考）已知函数()x f x xe =，若关于x 的方程()()() 2 230f x tf x t R -+=∈有两个不等实数根，则t 的取值范围为__________. 【解析】x y xe =，易知() x f x xe =的图象如下： ()11f e -= ，令()f x k =，则2230k tk -+=，得3 2,0t k k k =+>， 当()f x k =有两个不等实根是，则1 k e >， 所以123t e e << +，即t 的取值范围是1322e e ?+??。 【变式训练】（2020?合肥一模）已知函数,0 ()1,0x x e x f x xe x lnx x -?-=?--->? ，则函数()(())()F x f f x ef x =-的零点 个数为( )(e 是自然对数的底数）． A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 解：不妨设1()(0)x f x e x -=-，2()1(0)x f x xe x lnx x =--->， 易知，1()0f x <在(-∞，0]上恒成立，且在(-∞，0]单调递增； 211()1(1)()x x x f x e xe x e x x '=+-- =+-， 设1 ()(0)x g x e x x =->，由当0x +→时，()g x →-∞，g （1）10e =->，且函数()g x 在(0,)+∞上单增， 故函数()g x 存在唯一零点0(0,1)x ∈，使得0()0g x =，即00 10x e x - =，则00001,0x x e lnx x =+=， 故当0(0,)x x ∈时，()0g x <，2()0f x '<，2()f x 单减；当0(x x ∈，)+∞时，()0g x >，2()0f x '>，2()f x 单增， 故0220000()()10x min f x f x x e x lnx ==---=，故2()0f x ； 令()t f x =，()()0F t f t et =-=， 当0t 时，0t e et ---=，解得1t =-，此时易知()1f x t ==-有一个解； 当0t >时，10t te t lnt et ----=，即1t te t lnt et ---=，作函数2()f t 与函数y et =如下图所示， 由图可知，函数2()f t 与函数y et =有两个交点，设这两个交点为1t ，2t ，且10t >，20t >， 而由图观察易知，1()f x t =，2()f x t =均有两个交点，故此时共有四个解； 综上，函数()(())()F x f f x ef x =-的零点个数为5．故选：B ． 三、周期函数零点问题 【例5】（2019?南通四模）已知()f x 是定义在R 上且周期为 32的周期函数，当(0x ∈，3 ]2 时，()1|21|f x x =--． 若函数()log (1)a y f x x a =->在(0,)+∞上恰有4个互不相同的零点，则实数a 的值为 ． 【解答】解：()f x 是定义在R 上且周期为32的周期函数，当(0x ∈，3 ]2 时，()1|21|f x x =--． 可得函数()f x 的图象如下： 根据图象可得72x = 时，)log 1a x =，∴72a =．故答案为：7 2 ． 【例6】偶函数f (x )满足f (x －1)＝f (x ＋1)，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝－x ＋1，则关于x 的方程f (x )＝lg(x ＋1)在x ∈[0，9]上解的个数是________． 【解答】 依题意得f (x ＋2)＝f (x )，所以函数f (x )是以2为周期的函数．在平面直角坐标系中画出函数y ＝f (x )的图象与y ＝lg(x ＋1)的图象(如图所示)，观察图象可知，这两个函数的图像在区间[0，9]上的公共点共有9个．因此，当x ∈[0，9]时，方程f (x )＝lg(x ＋1)的解的个数是9． 【变式训练】（2020?兴庆区校级一模）已知以4T =为周期的函数(1,1] ()1|2|,(1,3]x f x x x ??∈-=?--∈?? ，其中0m >， 若方程3()f x x =恰有5个实数解，则m 的取值范围为( ) A ． B ．4 (3 C ．3(4，8)3 D ．，8)3 解：当(1x ∈-，1]时，将函数化为方程2 2 21(0)y x y m +=， ∴实质上为一个半椭圆，其图象如图所示， 同时在坐标系中作出当(1x ∈，3]得图象，再根据周期性作出函数其它部分的图象， 由图易知直线13 y x =与第二个椭圆22 2(4)1(0)y x y m -+=相交， 而与第三个半椭圆2 2 2(8)1y x m -+=(0)y 无公共点时，方程恰有5个实数解， 将13 y x =代入22 2(4)1y x m -+=(0)y 得，2222(91)721350m x m x m +-+=， 令29(0)t m t =>， 则2(1)8150t x tx t +-+=，由△2(8)415t t =-?(1)0t +>，得15t >，由2915m >，且0m > 得m ，同样由 13 y x =与第三个椭圆22 2(8)1y x m -+=(0)y 由△0<可计算得m <， 综上可知m ∈．故选：A ． 课后训练 1．（2020?金安区校级模拟）已知函数()()y f x x R =∈满足(2)()f x f x +=，且[1x ∈-，1]时，()1||f x x =-， 又31,121 (),1x x g x elnx x x ?-??+=??>??，则函数()()()F x g x f x =-在区间[2017-，2017]上零点的个数为( ) A ．2015 B ．2016 C ．2017 D ．2018 【分析】求出函数的周期，利用分段函数，求解函数的单调性，通过数形结合判断函数的零点个数即可． 【解答】解：因为(2)()f x f x +=，所以()f x 的一个周期为2，当1x >时，()elnx g x x =， 所以2 (1) ()e lnx g x x -'= ，所以(1,)x e ∈，()0g x '>，函数是增函数，()g x g >（1）0=， (,)x e ∈+∞，()0g x '<， 函数是减函数，()0g x >， ()g x 的最大值为1，()f x 与()g x 的图象如下： 在区间[1-，1]内有一个根，在[1，2017]内有1008个周期，每个周期内均有2个根， 所以()F x 共有2017个零点．故选：C ． 2．（2020?宁德一模）已知函数33,0,(),0,x x x f x a x x x ?-? =?+>? ? 下列关于函数(())2y f f x =-的零点个数正确的是( ) A ．当0a >时，至少有2个零点 B ．当0a >时，至多有7个零点 C ．当0a <时，至少有4个零点 D ．当0a <时，至多有4个零点 【解答】解：对于33y x x =-，0x ，233y x '=-，令0y '=，可得1x =±，故33y x x =-，0x 在1x =-处取最大值2． ①当0a >时： 要取得最少的零点个数，则1a >，此时222a a x x a x x + =>．(0)x >此时函数图象如图． 故(())20y f f x =-=有(())2f f x =，故()1f x =-，由图得 (())2y f f x =-零点个数为1．故A 错误． 要取得最多的零点个数，则此时01a <<，此时222a a x x a x x + =<，(0)x >．如图 故(())20y f f x =-=有(())2f f x =，所以1()1f x =-，21()f x t =，32()f x t =． 其中2t >1t <，1()1f x ∴=-有一根，21()f x t =最多2个根，32()f x t =．最多有4个根，一共最多有7个零点．故B 正确． ②当0a <时，函数a y x x =+ 为增函数，画出图象有 令(())20y f f x =-=有1()1f x =-，2()f x t =，其中2a t t + =即220t t a -+=， 由图知0t >，故12t =>．故1()1f x =-有2个零点，2()f x t =有一个零点．故一共有3个零点． 所以C ，D 错误．故选：B ． 3．（2020?重庆模拟）函数1()(0) ()(0) x ln x x f x xe x -- 数根，则a 的取值范围是( ) A ．4(,1]5 B ．(,1)[1-∞-，)+∞ C ．(,1){1}-∞- D ．(1,0) {1}- 【解答】解：当0x 时，1()(1)x f x e x -'-， 所以当01x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增；当1x >时，()0f x '<，()f x 单调递减， 且(0)0f =，当x →+∞时，()0f x →，当0x <时，()f x 单调递减，所以()f x 的图象如图所示： 令()t f x =，则由上图可知当0t =或1时，方程()t f x =有两个实根； 当(0,1)t ∈时，方程()t f x =有3个实数根；当(t ∈-∞，0)(1?，)+∞时，方程()t f x =有一个实数根， 所以关于x 的方程程22()()0f x af x a a -+-=有四个不等的实数根 等价于关于t 的方程220t at a a -+-=有两个实数根10t =，21t =或1(0,1)t ∈，2(t ∈-∞，0)(1?，)+∞， 当10t =，21t =时，1a =， 当1(0,1)t ∈，2(t ∈-∞，0)(1?，)+∞时，2222(00)(11)0a a a a a a -?+--?+-<，解得10a -<<， 综上所述，(1,0) {1}a ∈-．故选：D ． 4．（2020?湘潭一模）已知函数22,0 (),0x a x f x x ax x + ，若函数()(())g x f f x =恰有8个零点，则a 的值不可能 为( ) A ．8 B ．9 C ．10 D ．12 解：易知，当0a 时，方程()0f x =只有1个实根， 从而()(())g x f f x =不可能有8个零点，则0a >，()0f x =的实根为2a -，0，a ． 令()f x t =，则(())()0f f x f t ==，则2t a =-，0，a 数形结合可知， 直线y a =与()f x 的图象有2个交点，直线0y =与()f x 的图象有3个交点， 所以由题意可得直线2y a =-与()f x 的图象有3个交点，则必有2 24 a a ->-，又0a >，所以8a >．故选：A ． 5．（2020春?南岗区校级月考）已知偶函数()f x 满足(4)(4)f x f x +=-，且当[4x ∈-，0]时，2()2 x x f x e =， 若关于x 的不等式2()()0f x af x +>在[200-，200]上有且只有300个整数解，则实数a 的取值范围是( ) A ．39 (2e --，48]e -- B ．39(2e --，11 ]2e -- C ．2(2e --，39 ]2 e -- D ．11 (2 e --，48]e -- 解：偶函数()f x 满足(4)(4)f x f x +=-， (4)(4)f x f x ∴+=-，则()f x 为周期为8的函数， 又因为()f x 为偶函数，且当[4x ∈-，0]时，2()2x x f x e =， 则当[0x ∈，4]，即[4x -∈-，0]，则2()()2x x f x e f x --==， 即[0x ∈，4]时，2()2 x x f x e -=， 2()()2 x x f x x e -∴'=-，则[0x ∈，2]，()0f x '，()f x 单调递增；[2x ∈，4]，()0f x '，()f x 单调递减； 作出函数在一个周期内的图象如图： 因为()0f x =，很明显不满足不等式， 所以()0f x ≠，又由图可知()0(0)f x x >≠，则2()()0f x af x +>等价于()0f x a +>， 因为不等式2()()0f x af x +>在[200-，200]上有且只有300个整数解， 所以要求2()()0f x af x +>在(0，4]上有3个整数解，显然这3个整数解为1，2，3， 即()0f x a +>在(0，4]上有3个整数解1，2，3， 所以(1)0(4)0f a f a +>??+?，即41 0280 a e e a -?+>???+?，解得4182a e e --<-， 故选：D ． 6．（2020?吉林二模）已知函数6(1)4,7 (),7x a x x f x a x --+?=?>? 是R 上的减函数，当a 最小时，若函数()4 y f x kx =--恰有两个零点，则实数k 的取值范围是( ) A ．1 (2 -，0) B ．1 (2,)2 - C ．(1,1)- D ．1 (2 ，1) 【解答】解：由于()f x 为R 上的减函数，则有10 017(1)4 a a a a - < ，可得112a <， 所以当a 最小时，即1 2 a = ，函数()4y f x kx =--恰有两个零点等价于方程()4f x kx =+有两个实根， 等价于函数()y f x =与4y kx =+的图象有两个交点． 画出函数()f x 的简图如下，而函数4y kx =+恒过定点(0,4)， 数形结合可得k 的取值范围为1 02 k -<<．故选：A ． 7．（2020?九龙坡区模拟）已知偶函数()f x 满足(4)(4)f x f x +=-，且当(0x ∈，4]时，(2) ()ln x f x x = ，关于x 的不等式2()()0f x af x ->在[40-，40]上有且只有60个整数解，则实数a 的取值范围是( ) A ．6 [ 3 ln ，2)ln B ．6 ( 3 ln ，2)ln C ．32[ 4ln ，6 )3 ln D ．32( 4ln ，6 )3 ln 【解答】解：当04x <时，2 12()ln x f x x -'= ， 令()0f x '=得2e x = ，()f x ∴在(0,)2e 上单调递增，在(2e ，4)上单调递减，2()2e f e =， ()f x 是偶函数，(4)(4)(4)f x f x f x ∴+=-=-，()f x ∴的周期为8， 作出()f x 一个周期内的函数图象如图所示： ()f x 是偶函数，且不等式2()()0f x af x ->在[40-，40]上有且只有60个整数解， ∴不等式在(0,40)内有30个整数解， ()f x 在(0,40)内有5个周期，()f x ∴在一个周期(0,8)内有6个整数解， （1）若0a >，由2()()0f x af x ->，可得()0f x >或()f x a <， 显然()0f x >在一个周期(0,8)内有7个整数解，不符合题意； （2）若0a <，由2()()0f x af x ->，可得()0f x <或()f x a >， 显然()0f x <在区间(0,8)上无解，()f x a ∴>在(0,8)上有6个整数解， ()f x 在(0,8)上关于直线4x =对称，()f x ∴在(0,4)上有3个整数解， f （1）2ln =，f （2）422ln ln = =，f （3）63ln =，f （4）32 4 ln = ()f x a ∴>在(0,4)上的整数解为1x =，2x =，3x =．∴ 326 43 ln ln a < ，故选：C ． 8．（2020?桂林一模）已知函数3()2x f x -=，若函数2()(||)2()g x f x f m m =--有两个零点，则实数m 的取值范围为( ) A ．( B ．(,-∞?，)+∞ C ． D ．(-∞?)+∞ 解：函数2()(||)2()g x f x f m m =--有两个零点等价于方程2 3||3() 222x m m ---=有2个不等根， 则23||4()x m m -=--，即2||1x m m =--， 要想满足方程有2个不等根，则210m m --> ，解得m > 或m ， 即m 取值范围为(-∞ ?)+∞，故选：D ． 9．（2020?沈阳一模）已知函数()f x 是定义在(-∞，0)(0?，)+∞上的偶函数，当(0,)x ∈+∞时，2(1),02 ()1(2),22 x x f x f x x ?-??，则函数2()8()6()1g x f x f x =-+的零点个数为( ) A ．20 B ．18 C ．16 D ．14 解： (0x ∈，2]时，2()(1)f x x =-，又1 ()(2)2 f x f x = -， ∴当(0,)x ∈+∞时，即将()f x 在区间(0，2]图象依次向右移2个单位的同时再将纵坐标缩短为原来的 1 2 倍， 得到函数()f x 在(0,)+∞上的图象．关于y 轴对称得到(,0)-∞的图象．如图所示： 令()0g x =，得1()2f x = 或1 ()4 f x =，即12y =与14y =两条直线截函数()y f x =图象共16个交点，所以函 数()g x 共有16个零点．故选：C ． 10．（2020?贵州模拟）已知函数32 ,0()691,0x e x f x x x x ?<=?-+? ，函数2 ()2[()]3()2g x f x f x =--的零点个数( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 解：设()t f x =，则2()2[()]3()2g x f x f x =--等价于2()232h t t t =--，令()0h t =，解得1 2t =-，2t = 2()2[()]3()2g x f x f x =--的零点个数等价于函数()t f x =的图象与直线1 2t =-，2t =的交点个数之和， 又函数()t f x =的图象与直线1 2 t =-，2t =的位置关系如图， 则由图可知：函数()t f x =的图象与直线1 2 t =-，2t =的交点个数之和为3， 即2()2[()]3()2g x f x f x =--的零点个数为3，故选：B ． 11．（2020?海安市模拟）已知函数1()|1|f x x =-，11()(())k k f x f f x +=，5k ，*k N ∈．若函数()k y f x lnx =-恰有3个不同的零点，则k 的取值集合为 解：函数()k y f x lnx =-恰有3个不同的零点，即为方程()0k f x lnx -=有三个实根， 作出y lnx =和()k y f x =的图象，考虑它们的交点个数． 由1()|1|f x x =-与y lnx =只有一个交点(1,0)； 由2()||1|1|f x x =--的对称轴为1x =，零点为0，2，与y lnx =有两个交点； 由3()|||1|1|1|f x x =---的对称轴为1x =，零点为1-，1，3，且31ln >， 故3()y f x =与y lnx =有三个交点； 由4()||||1|1|1|1|f x x =----的对称轴为1x =，零点为2-，0，2，4， 与y lnx =有两个交点； 由5()|||||1|1|1|1|1|f x x =-----的对称轴为1x =，零点为3-，1-，1，3，5， 且31ln >，故5()y f x =与y lnx =有三个交点． 综上可得3k =，5，符合题意． 故答案为：{3，5}． 12．（2020?淮阴区模拟）已知函数21()||()2f x x mx x R =++ ∈，且()y f x =在[0x ∈，2]上的最大值为1 2 ， 若函数2()()g x f x ax =-有四个不同的零点，则实数a 的取值范围为 ． 解：设21()2 g x x mx =++， 则1(0)2g =，函数的对称轴为2 m x =-，\ 若02m - ，则函数()g x 在[0，2]上是增函数，()y f x =在[0x ∈，2]上的最大值为g （2）1 2>，不满足则必有02 m - >，即0m <， 由211 ()22 g x x mx =++ =得20x mx +=，得0x =或x m =-， 若()y f x =在[0x ∈，2]上的最大值为 1 2 ，则2m -，即2m -， 同时22211 1|()||||| 2422422 m m m m g -=-+=-+， 即21 112 42 2m - -，即2014 m ，即24m ，得22m -， 2m -，2m ∴=-，即21 ()|2|2 f x x x =-+，对称轴1x =， 由2()()g x f x ax =-有四个不同的零点，得2()()0g x f x ax =-=，即2()f x ax =有四个不同的根， 即()f x 与2y ax =的图象有四个不同的交点，作出两个函数的图象如图： 当0a 时，不满足条件．当0a >时，要使两个函数有四个交点， 当221(2)2ax x x =--+在(0,1)相切时，得21(1)202a x x +++=，则判别式△1 44(1)02 a =-?+=， 得4220a --=得22a =，1a =，要使使两个函数有四个交点，则01a <<，即实数a 的取值范围是(0,1)． 13．（2020?南通模拟）设函数3|2|,0 ()3,0 lnx x f x x x x ->?=?-+?，若方程22()()10f x mf x m ++-=有5个不同的实数根， 则实数m 的取值范围是 ． 解：根据题意，画出分段函数()f x 图象如下： 令()t f x =，则方程22()()10f x mf x m ++-=有5个不同的实数根， 即方程2210t mt m ++-=有2个不同的实数根，且10t ，240t -<<．则124t t +>-，120t t ． 故△2224(1)340m m m =--=-+>，解得m << ．根据韦达定理，12t t m +=-，2121t t m =-． 故4m ->-，210m -．解得11m -． 综上所述，可得实数m 的取值范围为[1-，1]．故答案为：[1-，1]． 14．（2020?开封模拟）已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，满足()(2)0f x f x +-=，且当(0,1)x ∈时， 2()f x x =．则f （1）= ，()()g x f x lgx =-，则函数()g x 的零点共有 个． 解： ()f x 满足()(2)0f x f x +-=，∴令1x =，即f （1）f +（1）0=， 可得f （1）0=． 函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且满足()(2)0f x f x +-=， ()(2)(2)f x f x f x ∴=--=-∴函数()f x 的周期等于2． ()()g x f x lgx =-，∴函数()g x 的零点个数转化为()f x 和y lgx =图象交点个数． 当(0,1)x ∈时，2()f x x =∴可画出()f x 和y lgx =的图象如下： 由图可知，有5个零点．故答案为：0；5． 15．（2019?福田区校级模拟）已知函数22,0, (),0, x x x f x e x ?=?>?若方程2[()]f x a =恰有两个不同的实数根1x ，2x ， 则12x x +的最大值是 ． 解：函数22,0, (),0,x x x f x e x ?=?>? 的图象如下： 当方程2 [()]f x a =恰有两个不同的实数根1x ，2x 时，1a >则有22112 2,(0),(0)x x t x e t x ?= ?=>??， （其中1)t = 则12x x lnt +=令2()2g m m ln m =-+ ，(m > 2 ()1g m m '=-+ ，可得()g m 在2)递增，在(2,)+∞递减()g m 的最大值是g （2）322ln =-． 12x x ∴+的最大值是322ln -．故答案为：322ln -．
相关主题
文本预览