普通高中课程标准实验教科书—数学 [人教版]
高三新数学第一轮复习教案（讲座14）—直线、圆的位置关系
一．课标要求：
1．能用解方程组的方法求两直线的交点坐标； 2．探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离； 3．能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系； 4．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；
5．在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想。
二．命题走向
本讲考察重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题、直线与圆的位置关系（特别是弦长问题），此类问题难度属于中等，一般以选择题的形式出现，有时在解析几何中也会出现大题，多考察其几何图形的性质或方程知识。
预测2007年对本讲的考察是：
（1）一个选择题或一个填空题，解答题多与其它知识联合考察；
（2）热点问题是直线的位置关系、借助数形结合的思想处理直线与圆的位置关系，注重此种思想方法的考察也会是一个命题的方向；
（3）本讲的内容考察了学生的理解能力、逻辑思维能力、运算能力。
三．要点精讲
1．直线l 1与直线l 2的的平行与垂直 （1）若l 1，l 2均存在斜率且不重合： ①l 1//l 2? k 1=k 2；②l 1⊥l 2? k 1k 2=－1。 （2）若0:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l
若A 1、A 2、B 1、B 2都不为零。
①l 1//l 2?
2
12
12
1C C B B A A ≠=；
②l 1⊥l 2? A 1A 2+B 1B 2=0； ③l 1与l 2相交?
2121B B A A ≠；
④l 1与l 2重合?
2
12
12
1C C B B A A ==
；
注意：若A 2或B 2中含有字母，应注意讨论字母=0与≠0的情况。两条直线的交点:两条直线的交点的个数取决于这两条直线的方程组成的方程组的解的个数。 2． 距离
（1）两点间距离：若)y ,x (B ),y ,x (A 2211，则2
122
12)
()(y y x x AB -+-=
特别地：x //AB 轴，则=AB ||21x x -、y //A B 轴，则=AB ||21y y -。
（2）平行线间距离：若0:,0:2211=++=++C By Ax l C By Ax l ， 则：2
2
21B
A C C d +-=
。注意点：x ，y 对应项系数应相等。
（3）点到直线的距离：0C B y A x :l ),y ,x (P =++ ，则P 到l 的距离为：2
2
B
A C
B y
Ax
d +++=
3．直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种
（1）若2
2
B
A C Bb Aa d +++=，0相离r d ；
（2）0=???=相切r d ； （3）0>???<相交r d 。
还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组?
??=++++=++00
2
2F Ey Dx y x C By Ax 求解，通过解的个数来判断：
（1）当方程组有2个公共解时（直线与圆有2个交点），直线与圆相交；
（2）当方程组有且只有1个公共解时（直线与圆只有1个交点），直线与圆相切； （3）当方程组没有公共解时（直线与圆没有交点），直线与圆相离； 即：将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程，设它的判别式为Δ，圆心C 到直线l 的距离为d,则直线与圆的位置关系满足以下关系：
相切?d=r ?Δ＝0； 相交?d
设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21。 条公切线外离421??+>r r d ；
条公切线外切321??+=r r d ；
条公切线相交22121??+<<-r r d r r ； 条公切线内切121??-=r r d ； 无公切线内含??-<<210r r d ；
外离 外切
相交 内切 内含
判断两个圆的位置关系也可以通过联立方程组判断公共解的个数来解决。
四．典例解析
题型1：直线间的位置关系
例1．（1）（2006北京11）若三点 A （2，2），B （a ，0），C （0，b ）(ab ≠0)共线，则,
11a b
+的值等于 。
（2）（2006上海文11）已知两条直线12:330,:4610.l ax y l x y +-=+-=若12//l l ，则a =___ _。
解析：（1）答案：
12
；（2）2。
点评：（1）三点共线问题借助斜率来解决，只需保证AC AB k k =；（2）对直线平行关系的判断在一般式方程中注意系数为零的情况。
例2．（1）（2006福建文，1）已知两条直线2y ax =-和(2)1y a x =++互相垂直，则a 等于（ ）
A ．2
B ．1
C ．0
D ．1-
（2）（2006安徽理，7）若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ）
A ．430x y --=
B ．450x y +-=
C ．430x y -+=
D ．430x y ++= 解析：（1）答案为D ；（2）与直线480x y +-=垂直的直线l 为40x y m -+=，即
4
y x =在某一点的导数为4，而3
4y x '=，所以4
y x =在(1，1)处导数为4，此点的切线
为430x y --=，故选A 。
点评：直线间的垂直关系要充分利用好斜率互为负倒数的关系，同时兼顾到斜率为零和不存在两种情况。
题型2：距离问题
例3．（2002京皖春文，8）到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是（ ） A ．x －y =0
B ．x +y =0
C ．|x |－y =0
D ．|x |－|y |=0 解析：设到坐标轴距离相等的点为（x ，y ） ∴|x |＝|y | ∴|x |－|y |＝0。答案：D
点评：本题较好地考查了考生的数学素质，尤其是考查了思维的敏捷性与清晰的头脑，通过不等式解等知识探索解题途径
例4．（2002全国文，21）已知点P 到两个定点M （－1，0）、N （1，0）距离的比为
2，点N 到直线PM 的距离为1．求直线PN 的方程。
解析：设点P 的坐标为（x ，y ），由题设有
2|
|||=PN PM ，
即2
22
2)1(2)1(y x y
x +-?
=++。
整理得 x 2+y 2－6x +1=0
①
因为点N 到PM 的距离为1，|M Ｎ|＝2， 所以∠PMN ＝30°，直线PM 的斜率为±
3
3，
直线PM 的方程为y =±
3
3（x ＋1） ②
将②式代入①式整理得x 2－4x ＋1＝0。 解得x ＝2＋3，x ＝2－3。
代入②式得点P 的坐标为（2＋3，1＋3）或（2－3，－1＋3）；（2＋3，－
1－3）或（2－3，1－3）。
直线PN 的方程为y =x －1或y =－x +1。
点评：该题全面综合了解析几何、平面几何、代数的相关知识，充分体现了“注重学科知识的内在联系”.题目的设计新颖脱俗，能较好地考查考生综合运用数学知识解决问题的能力.比较深刻地考查了解析法的原理和应用，以及分类讨论的思想、方程的思想。该题对思维的目的性、逻辑性、周密性、灵活性都进行了不同程度的考查.对运算、化简能力要求也较高，有较好的区分度。 题型3：直线与圆的位置关系
例5．（1）（2006安徽文，7）直线1x y +=与圆2220(0)x y ay a +-=>没有公共点，则a 的取值范围是（ ）
A ．(0,1)
B ．1)
C ．(1)
D ．(0,1)+ （2）（2006江苏理，2）圆1)3()1(22=++-y x 的切线方程中有一个是（ ） A ．x －y ＝0 B ．x ＋y ＝0 C ．x ＝0 D ．y ＝0
解析：（1）解析：由圆22
20(0)x y ay a +-=>的圆心(0,)a 到直线1x y +=大于a ，且0a >，选A 。
点评：该题考察了直线与圆位置关系的判定。
（2）直线ax +by =02
2
(1)(1x y -++
=与相切1=，由排除法，
选C ，本题也可数形结合，画出他们的图象自然会选C ,用图象法解最省事。
点评：本题主要考查圆的切线的求法，直线与圆相切的充要条件是圆心到直线的距离等于半径。直线与圆相切可以有两种方式转化(1)几何条件：圆心到直线的距离等于半
径(2)代数条件：直线与圆的方程组成方程组有唯一解,从而转化成判别式等于零来解。
例6．（2006江西理，16）已知圆M ：（x ＋c os θ）2＋（y －sin θ）2＝1，直线l ：y ＝k x ，下面四个命题：
（A ） 对任意实数k 与θ，直线l 和圆M 相切； （B ） 对任意实数k 与θ，直线l 和圆M 有公共点；
（C）对任意实数θ，必存在实数k，使得直线l与和圆M相切；（D）对任意实数k，必存在实数θ，使得直线l与和圆M相切。其中真命题的代号是______________（写出所有真命题的代号）解析：圆心坐标为（－c osθ，sinθ）
d＝
|k cos sin||
|sin|1
θθθ?
θ?≤
－－（＋）
＝（＋）
故选（B）（D）
点评：该题复合了三角参数的形式，考察了分类讨论的思想。
题型4：直线与圆综合问题
例7．（1999全国，9）直线3x+y－23=0截圆x2＋y2＝4得的劣弧所对的圆心角为（）
A．
6
π
B．
4
π
C．
3
π
D．
2
π解析：如图所示：
由
??
?
?
?
=
+
=
-
+
4
3
2
3
2
2y
x
y
x
消y得：x2－3x+2=0，∴x1=2，x2=1。
∴A（2，0），B（1，3）
∴|AB|=2
2)3
0(
)1
2(-
+
-=2
又|OB|＝|OA|=2，
∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB=
3
π
，故选C。
点评：本题考查直线与圆相交的基本知识，及正三角形的性质以及逻辑思维能力和数形结合思想，同时也体现了数形结合思想的简捷性。如果注意到直线AB的倾斜角为120°，则等腰△OAB的底角为60°.因此∠AOB=60°.更加体现出平面几何的意义。
例8．（2006全国2，16）过点（1，2）的直线l将圆(x－2)2＋y2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k＝。
解析：
过点的直线l将圆
22
(2)4
x y
-+=分成两段弧，
当劣弧所对的圆心角
最小时，直线l
的斜率
2k =
解析(数形结合)由图形可知点
A (1,
在圆2
2
(2)4x y -+=的内部, 圆心为O(2,0)要使
得劣弧所对的圆心角最小,只能是直线l O A ⊥
，所以12
l O A
k k =-
=-
=
。
点评：本题主要考察数形结合思想和两条相互垂直的直线的斜率的关系，难度中等。 题型5：对称问题
例9．（89年高考题）一束光线l 自A （－3，3）发出，射到x 轴上，被x 轴反射到⊙C ：x 2
＋y 2－4x －4y ＋7＝0上。
(Ⅰ) 求反射线通过圆心C 时，光线l 的方程； (Ⅱ) 求在x 轴上，反射点M 的范围．
解法一：已知圆的标准方程是
(x －2)2+(y －2)2=1，它关于x 轴的对称圆的方程是(x －2)2+(y +2)2=1。设光线L 所在的直线的方程是y －3=k(x +3)（其中斜率k 待定），由题设知对称圆的圆心C ′（2，-2）到这条直线的距离等于1，即d=
2
1|55|k
k ++=1。整理得 12k 2+25k+12=0，解得k= －
4
3或k= －
3
4。故所求直线方程是y －3=－
3
4(x +3)，或y －3= －3
4(x +3)，即3x +4y +3=0或4x +3y +3=0。
解法二：已知圆的标准方程是(x －2)2+(y －2)2=1，设交线L 所在的直线的方程是 y -3=k(x +3)（其中斜率k 待定），由题意知k ≠0，于是L 的反射点的坐标是（－
k
k )
1(3+，
0），因为光线的入射角等于反射角，所以反射光线L ′所在直线的方程为y = －k(x +
k
k )
1(3+)，即y +k x +3(1+k)=0。这条直线应与已知圆相切，故圆心到直线的距离为1，
即d=
2
1|55|k
k ++=1。以下同解法一。
点评：圆复合直线的对称问题，解题思路兼顾到直线对称性问题，重点关注对称圆的几何要素，特别是圆心坐标和圆的半径。
例10．已知函数f (x )=x 2－1(x ≥1)的图像为C 1，曲线C 2与C 1关于直线y =x 对称。 （1）求曲线C 2的方程y =g(x )；
（2）设函数y =g(x )的定义域为M ，x 1，x 2∈M ，且x 1≠x 2，求证|g(x 1)－g(x 2)|<|x 1－x 2|; （3）设A 、B 为曲线C 2上任意不同两点，证明直线AB 与直线y =x 必相交。 解析：（1）曲线C 1和C 2关于直线y =x 对称，则g(x )为f (x )的反函数。 ∵y =x 2
－1，x 2
=y +1，又x ≥1，∴x =
1+y ，则曲线C 2的方程为g(x )=
1+x (x ≥
0)。
（2）设x 1，x 2∈M ，且x 1≠x 2，则x 1－x 2≠0。又x 1≥0， x 2≥0，
∴|g(x 1)－g(x 2)|=|
11+x －12+x |=
1
12121++
+-x x x x ≤
2
2
1x x -<|x 1－x 2|。
（3）设A (x 1，y 1)、B （x 2，y 2）为曲线C 2上任意不同两点，x 1，x 2∈M ，且x 1≠x 2， 由（2）知，|k AB |=|
2
121x x y y --|=
|
||
)()(|2121x x x g x g --<1
∴直线AB 的斜率|k AB |≠1，又直线y =x 的斜率为1，∴直线AB 与直线y =x 必相交。 点评：曲线对称问题应从方程与曲线的对应关系入手来处理，最终转化为点的坐标之间的对应关系。
题型6：轨迹问题
例11．（2005山东理，22）已知动圆过定点,02p
??
???
，且与直线2
p x =-
相切，其中0p >。
（I ）求动圆圆心C 的轨迹的方程；
（II ）设A 、B 是轨迹C 上异于原点O 的两个不同点，直线O A 和O B 的倾斜角分别为α和β，当,αβ变化
且αβ+为定值(0)θθπ<<时，证明直线A B 恒过定点，并求出该定点的坐标。
x =
解析：（I ）如图，设M 为动圆圆心，,02p
??
???
为记为F ，过点M 作直线2p x =-的
垂线，垂足为N ，由题意知：M F M N =即动点M 到定点F 与定直线2
p x =-
的距离
相等，由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，其中,02p
F ??
???
为焦点，2p x =-为准
线，所以轨迹方程为22(0)y px P =>；
（II ）如图，设()()1122,,,A x y B x y ，由题意得12x x ≠（否则αβπ+=）且12,0x x ≠所以直线A B 的斜率存在，设其方程为y kx b =+，显然2
2
1
2
12,22y y x x p
p
=
=
，将y k x b =+
与22(0)y px P =>联立消去x ，得2
2
20
k y p y p b -+=由韦达定理知1212
22,p pb
y y y y k
k
+=
?=
①
（1）当2
π
θ=
时，即2
π
αβ+=时，tan tan 1αβ?=所以
1212121
2
1,0y y x x y y x x ?
=-=，
22
12122
04y y y y p
-=所以2
124y y p =由①知：
2
24pb p k
=所以。因此直线A B 的方程可表示
为2y kx Pk =+，即(2)0k x P y +-=，所以直线A B 恒过定点()2,0p -。
（2）当2
π
θ≠
时，由αβθ+=，
得tan tan()θαβ=+=tan tan 1tan tan αβαβ
+-=122
122()4p y y y y p
+-，
将①式代入上式整理化简可得：2tan 2p b pk
θ=
-，所以22tan p b pk θ
=
+， 此时，直线A B 的方程可表示为y k x
=+22t a n
p
pk
θ+即
2(2)0tan p k x p y θ??+--= ???，所以直线A B 恒过定点22,tan p p θ?
?- ??
?。
所以由（1）（2）知，当2
π
θ=
时，直线A B 恒过定点()2,0p -，当2
π
θ≠
时直线A B
恒过定点22,
tan p p θ??
- ??
?
。 点评：该题是圆与圆锥曲线交汇题目，考察了轨迹问题，属于难度较大的综合题目。
例12．（2005江苏，19）如图，圆
1O 与圆2O 的半径都是1，124O O =. 过动点P 分别作圆2O 、圆2
O 的切线P M P N ，（M N ，分别为切点）
，使得
PM =
. 试建立适当的坐标系，并求动点P 的
轨迹方程。
解析：以12O O 的中点O 为原点，12O O 所在直线
为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则1(20)O -，，2(20)O ，。
由已知PM =，得222PM PN =。
因为两圆半径均为1，所以221212(1)PO PO -=-。
设()P x y ，，则2222
(2)12[(2)1]x y x y ++-=-+-，
即22(6)33x y -+=(或221230x y x +-+=)。
点评：本小题主要考查求轨迹方程的方法及基本运算能力。 题型7：课标创新题
例13．已知实数x 、y 满足1)1()2(2
2=-+-y x ，求x
y z 1+=
的最大值与最小值。
解析：
x
y 1+表示过点A （0，－1）和圆
1)1()2(2
2
=-+-y x 上的动点（x ，y ）的直线的斜率。
如下图，当且仅当直线与圆相切时，直线的斜率分别取得最大值和最小值。
设切线方程为1-=kx y ，即01=--y kx ，则
11
|22|2
=+-k
k ，解得37
4±=
k 。
因此，3
7
43
7
4min max -=
+=z z ，
点评：直线知识是解析几何的基础知识，灵活运用直线知识解题具有构思巧妙、直观性强等特点，对启迪思维大有裨益。下面举例说明其在最值问题中的巧妙运用。
例14．设双曲线xy =1的两支分别为C C 12、，正三角形PQR 的三顶点位于此双曲线上。若()
P --11，在C 2上，Q 、R 在C 1上，求顶点Q 、R 的坐标。
分析：正三角形PQR 中，有PQ PR Q R ==， 则以()
P --11，为圆心，PR
为半径的圆与双曲线交于R 、Q 两点。 根据两曲线方程可求出交点Q 、R 坐标。
解析：设以P 为圆心，PR r r =>()0为半径的圆的方程为：()()x y r +++=1122
2，
由()()x y r xy +++==?????111
222
得：(
)
x r x 22
1110+-++=。
（其中，可令
t x x
=+
1进行换元解之）
设Q 、R 两点的坐标分别为()()
x y x y 1122，，，，则x x r x x 1
22
1211
1
+=
+-=?????。
即()()()x x x x x x r 122
122
122
2
4114-=+-=+--，
同理可得：()(
)y y r
122
2
2
114-=
+--， 且因为△PQR
是正三角形，则
即()()
(
)
r x x y y r 2
122122
2
2
2
11
4=-+-=+--??
???
?
，得r 2
24=。 代入方程(
)
x r x 2
2
1110+-
++=，即x x 2410-+=。
由方程组x x xy 24101-+==???，得：x y 1123
23=-
=+
??
???或x y 222323
=+=-
?????，
所以，所求Q 、R 的坐标分别为(
)(
)
23232323-
++
-，，，
点评：圆是最简单的二次曲线，它在解析几何及其它数学分支中都有广泛的应用。
对一些数学问题，若能作一个辅助圆，可以沟通题设与结论之间的关系，从而使问题得解，起到铺路搭桥的作用。
五．思维总结
1．关于直线对称问题：
（1）关于l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称问题：不论点，直线与曲线关于l 对称问题总可以转化为点关于l 对称问题，因为对称是由平分与垂直两部分组成，如求P （x 0 ，y 0）关于l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称点Q （x 1 ，y 1）．有
1
010x x y y --＝－
B
A （1）与A 2
2
1
0x x +＋B 22
1
0y y +＋C ＝0。
（2）解出x 1 与y 1 ；若求C 1 ：曲线f （x ，y ）＝0（包括直线）关于l ：Ax ＋By ＋C 1 ＝0对称的曲线C 2 ，由上面的（1）、（2）中求出x 0 ＝g 1（x 1 ，y 1）与y 0 ＝g 2（x 1 ，y 1），然后代入C 1 ：f [g 1（x 1 ，y 1），g 2（x 2 ，y 2）]＝0，就得到关于l 对称的曲线C 2 方程：f [g 1（x ，y ），g 2（x ，y ）]＝0。
（3）若l ：Ax ＋By ＋C ＝0中的x ，y 项系数|A |＝1，|B |＝1．就可以用直接代入解之，尤其是选择填空题。如曲线C 1 ：y 2 ＝4 x －2关于l ：x －y －4＝0对称的曲线l 2 的方程为：(x －4) 2 ＝4（y ＋4）－2．即y 用x －4代，x 用y ＋4代，这样就比较简单了。
（4）解有关入射光线与反射光线问题就可以用对称问题来解决。 点与圆位置关系：P （x 0 ，y 0）和圆C ：(x －a ) 2 ＋(y －b ) 2 ＝r 2。
①点P 在圆C 外有(x 0 －a ) 2 ＋(y 0 －b ) 2 ＞r 2
； ②点P 在圆上：(x 0 －a ) 2 ＋(y 0 －b ) 2 ＝r 2； ③点P 在圆内：(x 0 －a ) 2 ＋(y 0 －b ) 2 ＜r 2 。
3．直线与圆的位置关系：l ：f 1（x ，y ）＝0．圆C ：f 2（x ，y ）＝0消y 得F （x 2）＝0。
（1）直线与圆相交：F （x ，y ）＝0中? ＞0；或圆心到直线距离d ＜r 。 直线与圆相交的相关问题：①弦长|AB |＝
2
1k
+2|x 1 －x 2|＝
2
1k
+2212214)(x x x x -+，或|AB |＝22
2d
r -；②弦中点坐标（
2
2
1x x +，
2
2
1y y +）；
③弦中点轨迹方程。
（2）直线与圆相切：F （x ）＝0中? ＝0，或d ＝r ．其相关问题是切线方程．如P （x 0 ，y 0）是圆x 2 ＋y 2 ＝r 2 上的点，过P 的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2 ，其二是圆外点P （x 0 ，y 0）向圆到两条切线的切线长为2
2
02
0)()(r b y a x --+-或2
2
02
0r y x -+；其三是P （x 0 ，y 0）为圆x 2
＋y 2
＝r 2
外一点引两条切线，有两个切点A ，B ，过A ，B 的直线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2 。
（3）直线与圆相离：F （x ）＝0中? ＜0；或d ＜r ；主要是圆上的点到直线距离d 的最大值与最小值，设Q 为圆C ：(x －a ) 2 ＋(y －b ) 2 ＝r 2 上任一点，|PQ |m ax ＝|PC |＋r ；|PQ |min ＝|PQ |－r ，是利用图形的几何意义而不是列出距离的解析式求最值．
4．圆与圆的位置关系：依平面几何的圆心距|O 1O 2|与两半径r 1 ，r 2 的和差关系判定． （1）设⊙O 1 圆心O 1 ，半径r 1 ，⊙O 2 圆心O 2 ，半径r 2 则：
①当r 1 ＋r 2 ＝|O 1O 2|时⊙O 1 与⊙O 2 外切；②当|r 1 －r 2|＝|O 1O 2|时，两圆相切；③当|r 1 －r 2|＜|O 1O 2|＜r 1 ＋r 2 时两圆相交；④当|r 1 －r 2|＞|O 1O 2|时两圆内含；⑤当r 1 ＋r 2 ＜|O 1O 2|时两圆外离。
（2）设⊙O 1 ：x 2 ＋y 2 ＋D 1x ＋E 1y ＋F 1 ＝0，⊙O 2 ：x 2 ＋y 2 ＋D 2x ＋E 2y ＋F 2 ＝0。
①两圆相交A 、B 两点，其公共弦所在直线方程为（D 1 －D 2）x ＋（E 1 －E 2）y ＋
F1－F2＝0；
②经过两圆的交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋ （x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2）＝0（不包括⊙O2方程）。
直线与圆的位置关系 教学目标 1、使学生理解直线与圆的三种位置关系，掌握直线与圆的各位置关系所表现的数量特征。 2、指导学生从观察直线与圆的相对运动中归纳直线与圆的位置关系，培养学生分类思想。 3、通过点与圆的位置关系类比研究直线与圆位置关系中的数量问题, 培养学生联想、类比、推理能力以及化归，数形结合等数学思想。 4、指导学生从图形运动中揭示直线与圆的不同位置关系，培养学生的辩证唯物主义观点。 教学重、难点 重点：直线与圆的三种位置的性质和判定。 难点：直线与圆的三种位置关系的研究及运用。 教学过程 一、导入新课 海上日出是非常壮美的景象，那么太阳在升起的过程中它与海平线有几种不同的位置关系呢？ 二、新授新课 1、基本概念 我们对刚才的景象进行数学的抽象不难发现，直线和圆在相对运动过程中会有三种不同的位置关系．请大家观察直线与圆处在不同位置关系时有哪些不同点（引导学生观察图形，发现问题） 发现：直线与圆处在不同位置关系时直线与圆的公共点个数不同．（将公共点个数确立为直线和圆位置关系分类的原则，对三种分类进行定义） 直线与圆相交直线与圆相切直线与圆相离 2、数量特征： 直线与圆的相对运动会产生不同的位置关系，那么我们可以通过数量来刻画这些位置关系吗？（指导学生体会位置关系与数量关系的联系，从中感受数与形的相互结合与转化） （１）点与圆的三种位置关系取决于哪两个数据？ 点与圆的三种位置关系取决于点到圆心的距离ＯＰ和圆的半径r．将二者进行比较得: 点P在圆Ｏ外＜＝＞ＯＰ﹥r
点P在圆Ｏ上＜＝＞ＯＰ= r 点P在圆Ｏ内＜＝＞ＯＰ< r （２）与上述结论进行类比，直线与圆的位置关系取决于哪几个数据？ （3）、猜想直线与圆的三种位置关系中r和d满足的关系： 直线与圆相离＜＝＞ d﹥r 直线（切线）与圆相切＜＝＞ d﹦r 直线（割线）与圆相交＜＝＞ d﹤r 3．证明： 观察多媒体演示找出证明的突破口：直线与圆的位置关系可转化为点（垂足） 与圆的位置关系来研究数量特征（指导学生把握知识间的联系与发展，培养学生 的化归思想，使其形成严谨，求实的学习习惯） （1）直线与圆相离＜＝＞垂足Ｐ在圆Ｏ外＜＝＞ d﹥r （2）直线与圆相切＜＝＞垂足Ｐ在圆Ｏ上＜＝＞ d﹦r （3）直线与圆相交＜＝＞垂足Ｐ在圆Ｏ内＜＝＞ d﹤r 4、直线与圆的位置关系的判断方法 练习１．已知圆的半径是7.5cm，圆心到直线的距离为d，当d=10 cm时，直线 与圆有个公共点，当d=5 cm时，直线与圆有个公共 点，当d=7.5cm时直线与圆有个公共点。 练习2、已知⊙A的半径为3.5 ，点A的坐标为（-3，-4），则⊙A与X轴的位 置关系是_____,⊙O与Y轴的位置关系是______。 练习3．如果⊙O的半径为r ，圆心O到直线l的距离为d=5，若⊙O与直线l 至少有一个公共点，则r需满足的条件是。 三、例题讲解 例1．在RT△ABC中，, AC = = ∠以C为圆心，r为半径的圆 cm C o= , BC 3 , 90cm 4 与AB有怎样的位置关系？为什么？（1）r=2cm (2) r=2.4cm (3) r=3cm 分析：（1）直线与圆的位置关系,取决于哪两个数据？ 答：d与r，题目已给出半径r，我们需求出直线到圆心的距离d，即点C到AB CD⊥,垂足为D，则CD为圆心到线段AB的距离。 的距离。过点C作AB （2）怎样求CD？
点、直线、圆与圆的位置关系 【要点梳理】 要点一、点和圆的位置关系 1．点和圆的三种位置关系： 由于平面上圆的存在，就把平面上的点分成了三个集合，即圆内的点，圆上的点和圆外的点，这三类点各具有相同的性质和判定方法；设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则有 2．三角形的外接圆 经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心. 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等. 要点诠释： （1）点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系； （2）不在同一直线上的三个点确定一个圆. 要点二、直线和圆的位置关系 1．直线和圆的三种位置关系： (1) 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线． (2) 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点． (3) 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离． 2．直线与圆的位置关系的判定和性质． 直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？ 由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径．
如果⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，那么 要点诠释： 这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定． 要点三、切线的判定定理、性质定理和切线长定理 1．切线的判定定理： 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 要点诠释： 切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可. 2．切线的性质定理： 圆的切线垂直于过切点的半径. 3．切线长： 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长. 要点诠释： 切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 4．切线长定理： 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 要点诠释： 切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等. 5．三角形的内切圆： 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 6．三角形的内心： 三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内心到三边的距离都相等. 要点诠释： (1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形； (2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径). 名称确定方法图形性质
【考点训练】直线与圆的位置关系-3
直线与圆的位置关系难题 一、选择题（共10小题） 1．在平面直角坐标系中，过点A（4，0），B（0，3）的直线与以坐标原点O为圆心、3为半径的⊙O的位置关系 3．如图，两个同心圆，大圆半径为5cm，小圆的半径为4cm，若大圆的弦AB与小圆有两个公共点，则AB的取值范围是（） 4．（2003?潍坊）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，以腰AB为直径作圆，已知AB=10，AD=M，BC=M+4，要使圆与折线BCDA有三个公共点（A、B两点除外），则M的取值范围是（） 5．（2005?台州）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，OP交AB于点D，交⊙O于点C，在线段AB、PA、PB、PC、CD中，已知其中两条线段的长，但还无法计算出⊙O直径的两条线段是（） 7．（2005?泰安）如图所示，在直角坐标系中，A点坐标为（﹣3，﹣2），⊙A的半径为1，P为x轴上一动点，PQ 切⊙A于点Q，则当PQ最小时，P点的坐标为（）
8．（2006?陕西）如图，矩形ABCG（AB＜BC）与矩形CDEF全等，点B，C，D在同一条直线上，∠APE的顶点P在线段BD上移动，使∠APE为直角的点P的个数是（） 9．（2008?丽水）如图，已知⊙O是以数轴的原点O为圆心，半径为1的圆，∠AOB=45°，点P在数轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设OP=x，则x的取值范围是（） ≤≤ 二、填空题（共8小题）（除非特别说明，请填准确值） 11．如图，⊙O的圆心O到直线l的距离为3cm，⊙O的半径为1cm，将直线l向右（垂直于l的方向）平移，使l 与⊙O相切，则平移的距离为_________． 12．△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，如图，现在△ABC内作一扇形，使扇形半径都在△ABC的边上，扇形的弧与△ABC的其他边相切，则符合条件的扇形的半径为_________．
《直线与圆的位置关系》的教学设计 一、教学课题：人民教育出版社出版的普通高中课程标准实验教科书A版数学②第四章第二节“直 线与圆的位置关系”第一课时。 二、设计要点：学生在初中平面几何中已学过直线与圆的三种位置关系，在前面几节课学习了直线与圆的方程，因此，本节课主要以问题为载体，通过教师几个环节的设问，让学生利用已有的知识，自己去探究用坐标法研究直线与圆的位置关系的方法。用过学生的参与和一个个问题的解决，让学生体验有关的数学思想，提高学生自主学习、分析问题和解决问题的能力，培养学生“用数学”及合作学习的意识。 三、教学目标： 1．知识目标：能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系，并解决相关的问题；2．能力目标：通过理论联系实际培养学生建模能力，培养学生数形结合思想与方程的思想；3．情感目标：通过学生的自主探究，培养学生学习的主动性和合作交流的学习习惯。 四、教学重点、难点、关键： （1）重点：用坐标法判断直线与圆的位置关系 （2）难点：学生对用方程组的解来判断直线与圆的位置关系方法的理解 （3）关键：展现数与形的关系，启发学生思考、探索。 五、教学方法与手段： 1．教学方法：探究式教学法 2。教学手段：多媒体、实物投影仪 六、教学过程： 1．创设情境，提出问题 教师利用多媒体展示如下问题： 问题：一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西50km 处，受到影响的范围是半径长为30km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北50km处，如果 这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？ 教师提出：利用初中所学的平面几何知识，你能解决这个问题吗？请同学们动手试一下。 设计意图：让学生从数学角度看日常生活中的问题，体验数学与生活的密切联系，激发学生的探索热情。 2．切入主题，提出课题 （1）由学生将问题数学建模，展示平面几何解决方法，得出结论。教师带领学生一起回顾初中所学直线与圆的三种位置关系及判断方法。
教学过程 一、课堂导入 问题：观察上面太阳升起的图片，思考直线和圆有怎样的位置关系？
二、复习预习 1、圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半 2、圆周角定理的推论： （1）同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等. （2）半圆（或直径）所对圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径 3、其它推论：①圆周角度数定理，圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半. ②同圆或等圆中，圆周角等于它所对的弧上的圆心角的一半. ③同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等圆周角所对的弧也相等. ④圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角. 三、知识讲解 考点1 点与圆的位置三种位置关系 如图1所示，设⊙O 的半径为r ， A 点在圆内，OA ＜r B 点在圆上，OB = r 图 1
C点在圆外，OC＞r 反之，在同一平面上，已知的半径为r⊙O，和A，B，C三点： 若OA＜r，则A点在圆内 若OB= r，则B点在圆上 若OC＞r，则C点在圆外 考点2 直线和圆的位置关系（设圆心到直线的距离为d,圆的半径为r.） 1、当d＞r时，直线与圆相离(如图所示） 2、当d＜r时，直线与圆相交（如图所示） 3、当d=r时，直线与圆相切（如图所示），此时直线即为圆的切线. 考点3 切线的判定和性质 1、切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径 2、推论：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点，经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. 3、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 考点4切线长定理1、切线长定义：从圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段长，叫做这点到圆的切线长(如图AB长度即为切线长）.
24．2点和圆、直线和圆的位置关系 24．2.1点和圆的位置关系 1．如图，⊙O的半径为r. (1)点A在⊙O外，则OA__＞___r；点B在⊙O上，则OB__＝___r；点C在⊙O内，则OC__＜___r. (2)若OA＞r，则点A在⊙O__外___；若OB＝r，则点B在⊙O__上___；若OC＜r，则点C在⊙O__内___． 2．在同一平面内，经过一个点能作__无数___个圆；经过两个点可作__无数___个圆；经过__不在同一直线上___的三个点只能作一个圆． 3．三角形的外心是三角形外接圆的圆心，此点是__三边垂直平分线的交点___． 4．反证法首先假设命题的__结论___不成立，经过推理得出矛盾，由此判定假设__错误___，从而得到原命题成立． 知识点1：点与圆的位置关系 1．已知点A在直径为8 cm的⊙O内，则OA的长可能是( D) A．8 cm B．6 cm C．4 cm D．2 cm 2．已知圆的半径为6 cm，点P在圆外，则线段OP的长度的取值范围是__OP＞6_cm___．3．已知⊙O的半径为7 cm，点A为线段OP的中点，当OP满足下列条件时，分别指出点A与⊙O的位置关系： (1)OP＝8 cm；(2)OP＝14 cm；(3)OP＝16 cm. 解：(1)在圆内(2)在圆上(3)在圆外 知识点2：三角形的外接圆 4．如图，点O是△ABC的外心，∠BAC＝55°，则∠BOC＝__110°___． 5．直角三角形外接圆的圆心在__斜边的中点___上．若直角三角形两直角边长为6和8，则该直角三角形外接圆的面积为__25π___． 6．一个三角形的外心在其内部，则这个三角形是( C) A．任意三角形B．直角三角形
一、直线和圆的位置关系的定义、性质及判定 1、设O ⊙的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，则直线和圆的位置关系如下表： 从另一个角度，直线和圆的位置关系还可以如下表示：
二、切线的性质及判定 1． 切线的性质： 定理：圆的切线垂直于过切点的半径． 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 2． 切线的判定： 定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线； 距离法：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线； 定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 3． 切线长和切线长定理： ⑴ 切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． ⑵ 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角． ①切线的判定定理 设OA 为⊙O 的半径，过半径外端A 作l ⊥OA ，则O 到l 的距离d=r ，∴l 与⊙O 相切．因此，我们得到：切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 注：定理的题设①“经过半径外端”，②“垂直于半径”，两个条件缺一不可．结论是“直线是圆的切线”．举例说明：只满足题设的一个条件不是⊙O 的切线． _A _ l _ l _A _ l
上 ②切线的性质定理及其推论 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径． 三、三角形内切圆 1． 定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形． 2． 多边形内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形． 3．直角三角形的内切圆半径与三边关系 （1） （2） 图（1）中，设a b c ，，分别为ABC ?中A B C ∠∠∠，，的对边，面积为S 则内切圆半径（1）s r p =，其中()12p a b c =++； 图（2）中，90C ∠=?，则()1 2 r a b c =+- 四、典例分析：切线的性质及判定 _ O _F _E _ D _ C _ B _ A _ C _ B _ A _ C _ B _ A _c _ b _a _c _ b _a _T _A
长垣职业中等专业学校课题：直线与圆的位置关系 学校长垣职业中等专业学校 系别医疗系 教师姓名杨玉会 完成日期2018年1月10日
【课题】8．4 .4 直线与圆的位置关系 【教学目标】 知识目标： （1）理解直线和圆的位置关系； （2）掌握直线和圆的位置关系的判定方法； 能力目标： （1）通过直线和圆的位置关系的探究，向学生渗透数形结合的思想，培养学生观察、分析和概括的能力； （2）培养学生的数学思维及分析问题和解决问题的能力； 情感目标： （1）使学生从运动的观点来观察直线和圆相交、相切、相离的关系，培养学生的辩证唯物主义观点。 （2）经历合作学习的过程，尝试探究讨论，树立团队合作意识。【教学重点】 直线与圆的位置关系的理解和掌握 【教学难点】 直线与圆的位置关系的判定 【教法与学法】 教法 讲练结合法情境教学法 学法 分组讨论法合作探究法 【教学备品】 多媒体课件 【课时安排】
1课时．(40分钟) 【教学过程】 （一）课前励志 播放俞敏洪励志视频并宣读励志宣言 青春是用来追梦用来努力的 你应该用这样的时光做你想做的事情 变成你想变成的人 哪怕会失败 哪怕会跌倒 那又怎样 我愿意大声地告诉全世界 为了梦想我会全力以赴全力以赴全力以赴 （二）情境导入 展示一幅落日景观图由学生欣赏。 如果把太阳当做一个圆，把海平面当做一条直线，那么在落日过程中这条直线与圆的位置关系发生哪些变化呢? 导入本课题------直线与圆的位置关系。 （三）展示教学目标及教学重难点 由学生自行阅读本节课的学习目标和学习重难点，让学生带着目标及重难点进行学习。 （四）情境验证探索新知 动画演示落日过程中，直线与圆的位置关系的变化，由学生观察之后画出直线与圆的三种位置关系（本节课重点）。
点、直线与圆的位置关系（中考复习教案） 一、复习目标： 1、探索并了解点和圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系； 2、理解不在同一直线上的三点确定一个圆； 3、掌握切线的判定定理及切线的性质定理，熟练运用它们解决一些具体的问题； 二、复习重点和难点： 复习重点： 1、熟练运用切线的判定定理和切线的性质定理解决一些具体的问题； 2、掌握点、直线与圆的位置关系及其性质和判定方法。 复习难点： 1、利用切线的判定定理和切线的性质定理解决一些具体的问题； 2、利用切线的性质和判定进行证明或计算时如何正确添加辅助线。 三、复习过程： （一）知识梳理： 1.点与圆的位置关系: 有三种：点在圆外，点在圆上，点在圆内. 设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则 点在圆外?d＞r．点在圆上?d=r．点在圆内?d＜r． 2.直线和圆的位置关系有三种：相交、相切、相离． 设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则 直线与圆相交?d＜r；直线与圆相切?d=r；直线与圆相离?d＞r 3.切线的性质和判定 (1)切线的定义：直线和圆有唯一公共点时，这条直线叫做圆的切线． (2)切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径． (3)切线的判定方法一：经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． (4)切线的判定方法二：到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线。 注意：证明一条直线是圆的切线的方法有两种：（1）当直线与圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连结起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称“作半径，证垂直”；（2）当直线和圆的公共点没有明确时，可过圆心作直线的垂线，?再证圆心到直线的距离等于半径，简称“作垂线，证半径．”
直线与圆的位置关系 班级：____________ 姓名：__________________ 一、选择题(每小题5分，共40分) 1.如果a2+b2=c2，那么直线ax+by+c=0与圆x2+y2=1的位置关系是() A.相交 B.相切 C.相离 D.相交或相切 2.设直线过点(a，0)，其斜率为-1，且与圆x2+y2=2相切，则a的值为() A.± B.±2 C.±2 D.±4 3.直线x+2y-5+=0被圆x2+y2-2x-4y=0截得的弦长为() A.1 B.2 C.4 D.4 4.过点P(-2，4)作圆O：(x-2)2+(y-1)2=25的切线l，直线m：ax-3y=0与直线l平行，则直线l与m间的距离为() A.4 B.2 C. D. 5.过原点的直线与圆x2+y2+4x+3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是() A.y=x B.y=-x C.y=x D.y=-x 6.已知圆C：(x-a)2+(y-2)2=4(a>0)及直线l：x-y+3=0，当直线l被圆C截得的弦长为2时，a 等于() A. B.2- C.-1 D.+1 7.由直线y=x+1上的一点向圆(x-3)2+y2=1引切线，则切线长的最小值为() A.1 B.2 C. D.3 8.过点P(-，-1)的直线l与圆x2+y2=1有公共点，则直线l的倾斜角α的取值范围是() A.0°<α<30° B.0°<α≤60° C.0°≤α≤30° D.0°≤α≤60° 二、填空题(每小题5分，共10分) 9.过点A(1，)的直线l将圆(x-2)2+y2=4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k=________.
教学设计课题：§4.2.1直线与圆的位置关系（第1课时）
课题: §4.2.1直线与圆的位置关系（第1课时） 【教材分析】 直线与圆的位置关系是必修2第4章第2节第一课时内容，是继直线方程、圆 的方程之后，研究解析几何曲线与曲线之间位置关系的重要课题之一。从知识体系 上看，它安排在“点和圆的位置关系”之后，“圆与圆的位置关系”之前；从数学 思想方法上看，它运用运动变化的观点揭示了知识的发生过程及相关知识间的联系。因此，直线与圆的位置关系在圆的一章中起到承上启下的作用。直线与圆的位置关 系判断的方法、建立过程中蕴涵着诸多的数学思想方法，“坐标法”研究直线与 圆的位置关系是对圆的方程应用的延续和拓展，又是后续研究圆与圆的位置关系和 直线与圆锥曲线的位置关系等内容的基础。 【学情分析】 (1)知识储备 学生在初中平面几何部分已经学习了直线与圆的位置关系，知道可以利用直线 与圆的交点的个数以及圆心与直线的距离d与半径r的大小，判断直线与圆的位置 关系。通过数学文化渗透引导学生感受解析几何产生的背景和价值，为学生感受用 代数方法解决几何问题的解析几何思想，为本节课的重点用“坐标法”解决平面解 析几何问题做好铺垫。 (2)心理特征 上课班级为高级中学理科平行班的学生。根据高级中学已有学生的数学素养和 高一学生的认知特点及心理特征，确定本节课的情感目标为让学生感受数学思想文 化的价值。引导学生感受源远流长的数学文化背景，体会代数方法解决几何问题的 奇妙，感受代数与几何对立统一的关系。博大精深的数学文化可以恰如到好处的满 足学生的心理需求，同时在意识领域让学生从数学文化背景中感受古人的智慧，膜 拜古人持之以恒追求知识的精神，可以进一步激发学生对知识的渴望、对伟大数学 家的仰望和敬意。而高一阶段的学生逻辑思维较初中学生有了大部分的提升，同时 学生的观察能力、想象能力在迅速发展。这个年龄的学生好奇心强、喜欢表现，注
【课题】4.2.1直线与圆的位置关系 【教材】人民教育出版社（A版）高中数学必修2第126页至128页【课时安排】 1个课时 【教学对象】高中一年级 【授课教师】 【教学重点】掌握直线和圆的几种位置关系，学会判定直线与圆的位置关系的两种方法： （1）直线到圆心距离与圆半径的大小关系，写出判定直线与圆的位置关系。 （2）通过解直线与圆方程组成的方程，根据解的个数，写出判定直线与圆的位置关系。 【教学难点】由位置关系得出大小关系式从而判断解的个数 【教学目标】 知识与技能 掌握直线和圆的几种位置关系，熟练掌握判断位置关系的两种方法。判断直线到圆心距离与圆半径的大小关系法和求解个数法 过程与方法 1、理解直线和圆的三种位置关系，感受直线和圆的位置与它们的方程所组成的二元二次方程组的解的对应关系； 2、体验通过比较圆心到直线的距离和半径之间的大小判断直线与圆的位置关系； 3、领会数形结合的数学思想方法，提高发现问题、分析问题、
解决问题的能力。 情感态度与价值观 让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣，感受“方程思想”、“坐标法”等数学思想的内涵，养成良好的思维习惯。 【教学方法】教师启发讲授、学生探究学习 【教学手段】PowerPoint，动画演示 【教学过程设计】 1、回顾旧知(3分钟) 平面几何中，直线与圆有哪几种位置关 系？在初中，我们怎样判断直线与圆的位 置关系？ 一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预 报：台风中心位于轮船正西70km处，受影响的范围是半径 教师 运用 边提 问边 回答 的形 式引 导学 生回 忆知 识点 老师 引导 学生 思考 学生 回忆 并回 答问 题 学生 观察 动画 并思 考如 何解 决 回顾知识点 的益处在于 不仅复习了 以前学习的 知识，又为 今后的学习 作铺垫 与学生进行 互动交流， 学生更积极 思考，并可 活跃课堂氛 围
点、直线、圆与圆的位置关系测试题 一、选择题：(每小题3分，共30分) 1．已知⊙O的半径为10cm，如果一条直线和圆心O的距离为10cm，那么这条直线和这个圆的 位置关系为（） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 相交或 相离 2．如图，A、B是⊙O上的两点，AC是⊙O的切线，∠B=70°，则∠BAC 等于（） A. 70° B. 35° C. 20° D. 10° 3．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=∠90°，以CD为直径的半圆O 切AB于点E，这个
（第4题图）梯形的面积为21，周长为20.那么半圆O 的半径为（ ） A 、3 B 、7 C 、3或7 D 、2 ·O A D E B C 4．如图，已知⊙O 的直径AB 与弦AC 的夹角为30°，过C 点的切线PC 与 AB 的延长线交于P ，PC=5，则⊙O 的半径为（ ） A. 33 5 B. 63 5 C. 10 D. 5 5．直线ａ上有一点到圆心O 的距离等于⊙O 的半径，则直线ａ与⊙O 的位 置关系是（ ） Ａ、相离 Ｂ、相切 Ｃ、相切或相交 Ｄ、相交 6．A 、B 、C 是⊙O 上三点，AB ⌒的度数是50°，∠OBC=40°，则∠OAC 等于 A C 第2题图 第6题图 第3题图
（ ） A. 15° B. 25° C. 30° D. 40° 7．AB 为⊙O 的一条固定直径，它把⊙O 分成上、下两个半圆，自上半圆上 一点C ，作弦CD ⊥AB ，∠OCD 的平分线交⊙O 于点P ，当C 点在半圆（不包括A 、B 两点）上移动时，点P （ ） A. 到CD 的距离不变 B. 位置不变 C. 等分DB ⌒ D. 随C 点的移动而移动 8．AD 、AE 和BC 分别切⊙O 于D 、E 、F ，如果AD=20，则△ABC 的周长为（ ） A. 20 B. 30 C. 40 D. 2 1 35 9．如图，已知∠BAC=45°，一动点O 在射线AB 上运动（点O?与点A 不重 合），设OA=x ，如果半径为1的圆O 与射线AC 有公共点，那么x 的取值范围是（ ）
( 数学教案 ) 学校：_________________________ 年级：_________________________ 教师：_________________________ 教案设计 / 精品文档 / 文字可改 九年级数学：《直线与圆的位置 关系》(教学方案) Mathematics is a tool subject, it is the basis for learning other subjects, and it is also a subject that improves people's judgment, analysis, and comprehension abilities.
九年级数学：《直线与圆的位置关系》(教 学方案) 教材：华东师大版实验教材九年级上册 一、教材分析： 1、教材的地位和作用 圆的有关性质，被广泛地应用于工农业生产、交通运输等方面，所涉及的数学知识较为广泛；学好本章内容，能提高解题的综合能力。而本节的内容紧接点与圆的位置关系，它体现了运动的观点，是研究有关性质的基础，也为后面学习圆与圆的位置关系及高中继续学习几何知识作铺垫。 2、教学目标 知识目标：使学生从具体的事例中认知和理解直线与圆的三种
位置关系并能概括其定义，会用定义来判断直线与圆的位置关系，通过类比点与圆的位置关系及观察、实验等活动探究直线与圆的位置关系的数量关系及其运用。 过程与方法：通过观察、实验、讨论、合作研究等数学活动使学生了解探索问题的一般方法；由观察得到“圆心与直线的距离和圆半径大小的数量关系对应等价于直线和圆的位置关系”从而实现位置关系与数量关系的转化，渗透运动与转化的数学思想。 情感态度与价值观：创设问题情景，激发学生好奇心；体验数学活动中的探索与创造，感受数学的严谨性和数学结论的正确性，在学习活动中获得成功的体验；通过“转化”数学思想的运用，让学生认识到事物之间是普遍联系、相互转化的辨证唯物主义思想。 3、教学重、难点 重点：理解直线与圆的相交、相离、相切三种位置关系； 难点：学生能根据圆心到直线的距离d与圆的半径r之间的数量关系，揭示直线与圆的位置关系；直线与圆的三种位置关系判定方法的运用。
（第4题图） 点、直线、圆与圆的位置关系测试题 一、选择题：(每小题3分，共30分) 1．已知⊙O 的半径为10cm ，如果一条直线和圆心O 的距离为10cm ，那么这条直线和这个圆的位置关系为（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 相交或相离 2．如图，A 、B 是⊙O 上的两点，AC 是⊙O 的切线，∠B=70°，则∠BAC 等于（ ） A. 70° B. 35° C. 20° D. 10° 3．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BCD=∠90°，以CD 为直径的半圆O 切AB 于点E ，这个梯形的面积为21，周长为20.那么半圆O 的半径为（ ） A 、3 B 、7 C 、3或7 D 、2 ·O A D E B C 4．如图，已知⊙O 的直径AB 与弦AC 的夹角为30°，过C 点的切线PC 与AB 的延长线交于P ，PC=5，则⊙O 的半径为（ ） A. 335 B. 6 3 5 C. 10 D. 5 5．直线ａ上有一点到圆心O 的距离等于⊙O 的半径，则直线ａ与⊙O 的位置关系是（ ） Ａ、相离 Ｂ、相切 Ｃ、相切或相交 Ｄ、相交 6．A 、B 、C 是⊙O 上三点，AB ⌒的度数是50°，∠OBC=40°，则∠OAC 等于（ ） A. 15° B. 25° C. 30° D. 40° 7．AB 为⊙O 的一条固定直径，它把⊙O 分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C ，作弦CD ⊥AB ，∠OCD 的平分线交⊙O 于点P ，当C 点在半圆（不包括A 、B 两点）上移动时，点P （ ） A. 到CD 的距离不变 B. 位置不变 C. 等分DB ⌒ D. 随C 点的移动而移动 8．AD 、AE 和BC 分别切⊙O 于D 、E 、F ，如果AD =20，则△ABC 的周长为（ ） A. 20 B. 30 C. 40 D. 2 135 9．如图，已知∠BAC=45°，一动点O 在射线AB 上运动（点O?与点A 不重合），设OA=x ，如果半径为1的圆O 与射线AC 有公共点，那么x 的取值范围是（ ） A ．0 直线与圆、圆与圆的位置关系 1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法 (1)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系． d (3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2. 2．圆与圆的位置关系 设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1>0)， 圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0). [ 常用结论 (1)两圆的位置关系与公切线的条数：①内含：0条；②内切：1条；③相交：2条；④外切：3条；⑤外离：4条． (2)当两圆相交时，两圆方程(x2，y2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程． 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件．(×) (2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．(×) (3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．(×) (4)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．(×) (5)过圆O：x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0x＋y0y＝r2.(√) (6)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2.(√) 名师精编优秀教案 《直线与圆的位置关系》 教材：华东师大版实验教材九年级上册 一、教材分析： 1、教材的地位和作用 圆的有关性质，被广泛地应用于工农业生产、交通运输等方面，所涉及的数学知识较为广泛；学好本章内容，能提高解题的综合能力。而本节的内容紧接点与圆的位置关系，它体现了运动的观点，是研究有关性质的基础，也为后面学习圆与圆的位置关系及高中继续学习几何知识作铺垫。 2、教学目标 知识目标：使学生从具体的事例中认知和理解直线与圆的三种位置关系并能概括其定义，会用定义来判断直线与圆的位置关系，通过类比点与圆的位置关系及观察、实验等活动探究直线与圆的位置关系的数量关系及其运用。 过程与方法：通过观察、实验、讨论、合作研究等数学活动使学生了解探索问题的一般方法；由观察得到“圆心与直线的距离和圆半径大小的数量关系对应等价于直线和圆的位置关系”从而实现位置关系与数量关系的转化，渗透运动与转化的数学思想。 情感态度与价值观：创设问题情景，激发学生好奇心；体验数学活动中的探索与创造，感受数学的严谨性和数学结论的正确性，在学习活动中获得成功的体验；通过“转化”数学思想的运用，让学生认识到事物之间是普遍联系、相互转化的辨证唯物主义思想。 3、教学重、难点 重点：理解直线与圆的相交、相离、相切三种位置关系； 难点：学生能根据圆心到直线的距离d与圆的半径r之间的数量关系，揭示直线与圆的位置关系；直线与圆的三种位置关系判定方法的运用。 二、教法与学法分析 教无定法，教学有法，贵在得法。数学是一门培养人的思维、发展人的思维的基础学科。在教学过程中，不仅要对学生传授数学知识，更重要的应该是对他们传授数学思想、数学方法。初三学生虽然有一定的理解力，但在某种程度上特别是平面几何问题上，学生还是依靠事物的具体直观形象，所以我以参与式探究教学法为主，整堂课紧紧围绕“情景问题——学生体验——合作交流”的模式，并发挥微机的直观、形象功能辅助演示直线与圆的位置关系，激励学生积极参与、观察、发现其知识的内在联系，使每个学生都能积极思维。这样，一方面可激发学生学习的兴趣，提高学生的学习效率，另一方面拓展学生的思维空间，培养学生用创造性思维去学会学习。 三、教学过程： 我的教学流程设计是： 1、创设情景、孕育新知； 2、启发诱导、探索新知； 3、讲练结合、巩固新知； （1）直线和圆的三种位置关系： ①相离：一条直线和圆没有公共点． ②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点． ③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线． （2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d． ①直线l和⊙O相交?d＜r ②直线l和⊙O相切?d=r ③直线l和⊙O相离?d＞r． （2）（1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的性质可总结如下： 如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心； ②直线过切点；③直线与圆的切线垂直． （3）切线性质的运用 由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直． （3）（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （2）在应用判定定理时注意： ①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线． ②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的． ③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂 线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”． （4）（1）内切圆的有关概念： 与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点． （2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形． （3）三角形内心的性质： 三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． （5）（1）圆与圆的五种位置关系：①外离；②外切；③相交；④内切；⑤内含． 如果两个圆没有公共点，叫两圆相离．当每个圆上的点在另一个圆的外部时，叫两个圆外离，当一个圆上的点都在另一圆的内部时，叫两个圆内含，两圆同心是内含的一个特例；如果两个圆有一个公共点，叫两个圆相切，相切分为内切、外切两种；如果两个圆有两个公共点叫两个圆相交． （2）圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系：①两圆外离?d＞R+r； ②两圆外切?d=R+r； ③两圆相交?R-r＜d＜R+r（R≥r）； ④两圆内切?d=R-r（R＞r）； ⑤两圆内含?d＜R-r（R＞r）． 直线与圆的位置关系难题 一、选择题（共10小题） 61．在平面直角坐标系中，过点A（4，0），B（0，3）的直线与以坐标原点O为圆心、3为半径的⊙O的位置关系 63．如图，两个同心圆，大圆半径为5cm，小圆的半径为4cm，若大圆的弦AB与小圆有两个公共点，则AB的取值范围是（） 64．（2003?潍坊）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，以腰AB为直径作圆，已知AB=10，AD=M，BC=M+4，要使圆与折线BCDA有三个公共点（A、B两点除外），则M的取值范围是（） 65．（2005?台州）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，OP交AB于点D，交⊙O于点C，在线段AB、PA、PB、PC、CD中，已知其中两条线段的长，但还无法计算出⊙O直径的两条线段是（） 667．（2005?泰安）如图所示，在直角坐标系中，A点坐标为（﹣3，﹣2），⊙A的半径为1，P为x轴上一动点，PQ 切⊙A于点Q，则当PQ最小时，P点的坐标为（） 68．（2006?陕西）如图，矩形ABCG（AB＜BC）与矩形CDEF全等，点B，C，D在同一条直线上，∠APE的顶点P在线段BD上移动，使∠APE为直角的点P的个数是（） 69．（2008?丽水）如图，已知⊙O是以数轴的原点O为圆心，半径为1的圆，∠AOB=45°，点P在数轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设OP=x，则x的取值范围是（） ≤≤ 二、填空题（共8小题）（除非特别说明，请填准确值） 71．如图，⊙O的圆心O到直线l的距离为3cm，⊙O的半径为1cm，将直线l向右（垂直于l的方向）平移，使l 与⊙O相切，则平移的距离为_________． 72．△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，如图，现在△ABC内作一扇形，使扇形半径都在△ABC的边上，扇形的弧与△ABC的其他边相切，则符合条件的扇形的半径为_________． 4.2 直线、圆的位置关系 4.2.1 直线与圆的位置关系 整体设计 教学分析 学生在初中的学习中已了解直线与圆的位置关系,并知道可以利用直线与圆的交点的个数以及圆心与直线的距离d 与半径r 的关系判断直线与圆的位置关系,但是,在初中学习时,利用圆心与直线的距离d 与半径r 的关系判断直线与圆的位置关系的方法却以结论性的形式呈现.在高一学习了解析几何以后,要考虑的问题是如何掌握由直线和圆的方程判断直线与圆的位置关系的方法.解决问题的方法主要是几何法和代数法.其中几何法应该是在初中学习的基础上,结合高中所学的点到直线的距离公式求出圆心与直线的距离d 后,比较与半径r 的关系从而作出判断.适可而止地引进用联立方程组转化为二次方程判别根的“纯代数判别法”,并与“几何法”欣赏比较,以决优劣,从而也深化了基本的“几何法”.含参数的问题、简单的弦的问题、切线问题等综合问题作为进一步的拓展提高或综合应用,也适度地引入课堂教学中,但以深化“判定直线与圆的位置关系”为目的,要控制难度.虽然学生学习解析几何了,但把几何问题代数化无论是思维习惯还是具体转化方法,学生仍是似懂非懂,因此应不断强化,逐渐内化为学生的习惯和基本素质. 三维目标 1.理解直线与圆的位置关系,明确直线与圆的三种位置关系的判定方法,培养学生数形结合的数学思想. 2.会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系及会利用直线与圆的位置关系解决相关的问题，让学生通过观察图形,明确数与形的统一性和联系性. 重点难点 教学重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法. 教学难点:用坐标法判断直线与圆的位置关系. 课时安排 2课时 教学过程 第1课时 导入新课 思路1.平面解析几何是高考的重点和热点内容,每年的高考试题中有选择题、填空题和解答题,考查的知识点有直线方程和圆的方程的建立、直线与圆的位置关系等,本节主要学习直线与圆的关系. 思路2.(复习导入) (1)直线方程Ax+By+C=0(A,B 不同时为零). (2)圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r 2,圆心为(a,b),半径为r. (3)圆的一般方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0(其中D 2+E 2-4F ＞0)，圆心为(-2D ,-2 E ),半径为21 F E D 422-+. 推进新课 新知探究 提出问题 ①初中学过的平面几何中,直线与圆的位置关系有几类？ ②在初中,我们怎样判断直线与圆的位置关系呢？直线与圆的位置关系
优质课教案直线与圆的位置关系
直线和圆的三种位置关系知识点
直线与圆的位置关系难题61-85
示范教案(4.2.1 直线与圆的位置关系)
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