《图形的旋转（一）》教学设计 李维峰 教学内容： 北师大版小学数学六年级下册第三单元P28-29“图形的旋转（一）” 教学目标 1.结合具体情境，从“绕哪个点”“向什么方向”“旋转多少度”三个要素来观察和描述图形的旋转现象，初步认识旋转中心、顺时针或逆时针两个旋转方向、旋转的角度等旋转的基本要素。 2.能在方格纸上画出绕线段的一个端点旋转90°后的线段。 3.在说一说、玩一玩、画一画等活动中，发展学生的空间观念。 教学重点： 从“绕哪个点”“向什么方向”“旋转多少度”三个要素来观察和描述线段的旋转现象。 教学难点： 能在方格纸上画出绕线段的一个端点顺时针或逆时针旋转90°后的线段。教具、学具准备： 多媒体课件、投影仪、自制教具、学生练习单 教学过程： 一、新课引入。 1、教师课件出示一组动感图片，说一说：哪些物体的运动是平移，哪些是旋转？ 2、引入新课：在三年级时，我们已经初步认识过旋转现象，究竟物体或图形是怎样旋转的呢？今天这节课，我们就进一步来研究图形的旋转。 【设计意图】由学生所熟悉的生活情境引入新课，唤醒学生已有的生活经验和旧知，感知数学与生活的密切联系，体验数学学习的必要性。 二、探索新知。
活动（一）钟面上的旋转 1、教师课件出示钟面：观察钟面，在1小时内，时针、分针各是怎样旋转的？它们的旋转有哪些相同和不同之处？ 学生分小组进行研究，并完成下列研究报告单：在1小时内，时针、分针各是怎样旋转的？ 投影仪投影学生报告单，分小组进行汇报交流： 1）相同之处： 生1：时针、分针都是围绕着钟面的圆心在旋转，指针不停地在走动，圆心固定不动。 生2：指针旋转时，围绕的这个中心点叫旋转中心点。 生3：时针、分针都是按顺时针方向在旋转。 师：什么是顺时针方向？你能用手势来表示一下吗？（学生手势表示） 生4：相反的就是逆时针方向。 生5：两种旋转方向可以用弧线箭头表示： 2）不同之处： 生6：不一样，分针旋转速度要比时针快。 生7：分针1时旋转一周，时针1时旋转一大格。 生8：分针旋转一周是360度，时针只旋转了360÷12=30度。 教师在学生汇报的同时，结合教具演示，完成相关板书。 2、归纳梳理。 教师课件演示在1小时内，时针、分针旋转的规律。 师：描述旋转时，需要说清哪几个方面的问题？ 生：要说清“绕哪个点”、“向什么方向”、”“旋转多少度”三个问题。 师：旋转中心点、旋转方向和旋转角度被称为旋转三要素。
图形的旋转 1. 如图23-36所示的图案可以看做是由一个小正方形连续旋转三次形成的，那么 它的旋转角为（） A.60 ° B.30 ° C.90 ° D.120 ° 2. 如图23-37所示的四个图形中，△ ABC 经过旋转之后，不能得到 △ A' B' C 的是（ ） 3. 将图23-38中的图案绕中心顺时针旋转 270°后能得到的图案是图23-39中的 （） 酣菇■甜 23 - 39 4. 如图23-40所示的是分别以正方形四条边为直径在正方形内作半圆形成的阴影 图案，它可以看做是以 _____________为基本图案，经过____________ 次旋转得到 的，它的旋转中心是 _____________ ，每次顺（或逆）时针旋转 ____________ . 5. __________________________________ 钟表的分针24分钟转过了 .
6. 在方格纸上建立如图23-41所示的平面直角坐标系，将 △ ABO 绕点 0按顺时 针方向旋转90°得厶 A / B / 0,则点A 的对应点A /的坐标为 ______________ . 7. 如图23-42所示，在正方形ABCD 中，E 为AD 的中点，F 为BA 延长线上 1 点，若AF 二-AB ，则可通过 2 段BE 与DF 的关系是 ______ 8. 如图23-43所示，△ ABC 和厶DBE 都是等腰直角三角形，/ ACB 和/ E 都是 直角，如果△ ABC 旋转后能与△ DBE 重合，那么旋转中心是点 时针旋转了 ________ . 9. 如图23-44所示，将△ ABC 绕点A 旋转后得到△ ADE. (1) 写出图中所有相等的角； (2) 若/ B+ / E=110°，/ CAD=25，求旋转角度? 10. 如图23-45所示，△ ABC 中，/ BAC=15，将△ ABC 绕点A 按逆时针方向旋 转90°，到△ ADE 的位置，然后将△ ADE 以AD 为轴翻折到△ ADF 的位置，连 接CF ，判断△ ACF 的形状，并说明理由 11. 如图23-46所示，P 是正方形ABCD 内一点，将△ ABP 绕点B 顺时针旋转,厂卜 rLILr r lr^ 变换，使△ ABE 变到△ ADF 的位置，且线 7 41-1^114 L 卜」 iL 卜」 E A D 23 ■ 46
北师大版八年级上册数学整理总结 第一章 勾股定理 1、勾股定理 直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+ 2、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股数：满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数。 第二章 实数 一、实数的概念及分类 1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3 π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数值，如sin60o 等 二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数 实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。 2、绝对值 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。（|a|≥0）。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a≥0；若|a|=-a ，则a≤0。 3、倒数 如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 4、数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。 解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。 5、估算 三、平方根、算数平方根和立方根
《图形的旋转》教案 教学目标 一、知识与技能 1．学生通过欣赏生活中的旋转变换现象，认识旋转，理解旋转的基本要素； 2．知道平面直角坐标系中点的左右或上下平移与点的坐标变化规律； 二、过程与方法 1．培养观察图形的能力，能识别旋转中心和旋转角度； 2．经历探索图形旋转的过程以及与他人合作交流的过程，进一步发展空间观念，增强审美意识； 三、情感态度和价值观 1．通过学生的观察、对比、发现规律，体验教学活动充满探索性和创造性； 2．从学生的动手、动脑等多种思维运动中培养和开发学生的多元智能； 教学重点 探索发现旋转图形的定义以及性质； 教学难点 体会旋转点，旋转方向，旋转角度在图形设计中重要； 教学方法 引导发现法、实验探究法 课前准备 教师准备 课件、多媒体 学生准备 三角板，练习本 课时安排 2课时 教学过程 一、导入
上面图片反映的是日常生活中物体运动的一些场景．你还能举出一些类似的例子吗？与同伴交流． （1）上面情景中的转动现象，有什么共同的特征？ （2）在转动过程中，其形状、大小、位置是否发生变化呢？ 二、新课 在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角. 旋转不改变图形的形状和大小． 如图3-10，△ABC绕点O按顺时针方向旋转一个角度，得到△DEF，点A，B，C分别旋转到了点D，E，F．点 A 与点D 是一组对应点，线段AB与线段DE是一组对应线段，∠BAC与∠EDF是一组对应角．在这一旋转过程中，旋转中心是什么？旋转角是什么？
点O是旋转中心，∠AOD，∠BOE，∠COF都是旋转角． 做一做 如图3-11，两张透明纸上的四边形ABCD和四边形EFGH完全重合，在纸上选取旋转中心O，并将其固定．把其中一张纸片绕点O旋转一定角度（如图3-12）． （1）观察图3-12的两个四边形，你能发现有哪些相等的线段和相等的角？ （2）连接AO，BO，CO，DO，EO，FO，GO，HO，你又能发现有哪些相等的线段和相等的角？ （3）在图3-12中再取一些对应点，画出它们与旋转中心所连成的线段，你又能发现什么？ 结论：一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；对应线段相等，对应角相等．在图3-13（1）~（4）的四个三角形中，哪个不能由△ABC经过平移或旋转得到？ （2）不能由△ABC经过平移或旋转得到. 例：在图3-14 中，画出线段AB绕点A按顺时针方向旋转60 °后的线段．
9.1 图形的旋转 教学目标：了解旋转及相关概念，知道图形旋转的性质，能利用性质作图；经历对生活中旋转现象的观察、分析过程，通过具体实例认识旋转．经历对具有旋转特征图形的观察、操作、画图等过程，体会旋转的性质；引导学生用数学的眼光看待生活中的问题，形成用数学的意识以及热爱生活的情感． 教学重点：通过实例认识旋转，知道旋转的性质，并能利用性质解决问题． 教学难点：经历抽象的过程，探索旋转的性质，并能利用性质解决问题． 教学过程： 一、课前专训 1.在平面内，我们将一个图形沿着移动的距离，这样的图形运动叫做图形的平移. 图形平移的实质就是图形上所有的点都按照同一方向移动同样的距离. 平移不改变图形的、 . 一个图形平移后的面积改变吗？。（特征： 平移前后只是 ．．位置发生变化）一个三角形平移后，它的各内角的度数改变吗？ 2．如图所示的图案分别是三菱、大众、奥迪、奔驰汽车的车标，其中，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（） 要求：（1）能找出图形的基本图形；（2）借助于图形能更直观的理解图形平移的概念及其性质；（3）同时让学生思考除了平移变换应该还有其它的变换，这样也有利于接下来的学习。 二、复习 回顾一下第八章主要学习了哪些内容？ 要求：对学习新的内容之前必须对刚学过的内容做到心中有数，这样也是帮助学生对学习新内容提高信心的一种方式。 三、新知 （一）创设情境 展示一组生活中旋转现象的图片，提出问题： 1．观察这组图片，你能说出它们有什么共同的特征？ 2．生活中还有类似的例子吗？（特征：学生很有兴趣，并仔细观察、思考） 答案1．（1）它们都在转动（2）它们都绕着一个点在转动……
中考数学几何图形旋转典型试题 一、填空题 1.（日照市）如图1，把边长为1的正方形ABCD绕顶点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，则它们的公共部分的面积等于． 2．（成都市）如图2，将一块斜边长为12cm，∠B＝60°的直角三角板ABC，绕点C沿逆时针方向旋转90°至△A′B′C′的位置，再沿CB向右平移，使点B′刚好落在斜边AB 上，那么此三角板向右平移的距离是cm． 3.（连云港市）正△ABC的边长为3cm，边长为1cm的正△RPQ的顶点R 与点A重合，点P，Q分别在AC，AB上，将△RPQ沿着边AB，BC，CA顺时针 连续翻转（如图3所示），直至点P第一次回到原来的位置，则点P运动路径 的长为cm． 4.（泰州市）如图4，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝ 3，∠BCD＝45°，将腰CD以点D为中心逆时针旋转90°至ED，连结AE，CE，则△ADE的面积是． 二、解答题 5.（资阳市）如图5-1，已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点(不与A、C重合)，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F. (1) 求证：BP=DP； (2) 如图5-2，若四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BP=DP？若是，请给予证明；若不是，请用反例加以说明； (3) 试选取正方形ABCD的两个顶点，分别与四边形PECF的两个顶点连结，使得到的两条线段在四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论 . 6.（武汉市）如图6－1是一个美丽的风车图案，你知道它是怎样画出来的吗？按下列步骤可画出这个风车图案：在图6－2中，先画线段OA，将线段OA平移至CB处，得到风车
《数学》（八年级上册）知识点总结（北师大版） 第一章 勾股定理 1、勾股定理-----已知直角三角形，得边的关系 直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即2 2 2 c b a =+ 2、勾股定理的逆定理-----由边的关系，判断直角三角形 如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系2 2 2 c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股数：满足2 2 2 c b a =+的三个正整数a ，b ，c ，称为勾股数。 常见的勾股数有：（6,8,10）（3,4,5）（5,12，,13）（9,12,15）（7,24,25）（9,40,41）…… 规律：（1）、短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续的自然数，两边之和是短直角边的 平方。即当a 为奇数且a ＜b 时，如果2 b c a +=，那么a,b,c 就是一组勾股数. 如：（3,4,5）（5,12，,13）（7,24,25）（9,40,41）…… （2）大于2的任意偶数，2n(n ＞1)都可构成一组勾股数分别是：2 2 2,1,1n n n -+ 如：（6,8,10）（8,15,17）（10,24,26）…… 4、常见题型应用： （1）已知任意两条边的长度，求第三边/斜边上的高线/周长/面积…… （2）已知任意一条的边长以及另外两条边长之间的关系，求各边的长度//斜边上的高线/周长/面 积…… （3）判定三角形形状： 222a b c +> 锐角三角形，222a b c +=直角三角形，222a b c +<钝角三角形 判定直角三角形 a..找最长边； b.比较长边的平方与另外两条较短边的平方和之间的大小关系； c.确定形状 第二章 实数 1. 无理数的引入。无理数的定义无限不循环小数。
《9.1图形的旋转》微课教学设计 教学过程： 一、创设情境 1.观察课本56页的两幅实物图的旋转现象，再举生活中类似的例子. 2.上述情境中的旋转现象有什么共同的特征？ 【设计意图：引导学生用数学的眼光看待生活中的有关问题，发展学生的数学观.对生活中的旋转现象进行抽象并数学化，引导学生认识图形的旋转.】 二、建立概念 1.由旋转情境，引出“图形旋转”的定义：在平面内，将一个图形绕一个定点转动一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转．这个定点称为旋转中心，旋转的角度称为旋转角． 2. 感受旋转过程，得到旋转的三要素：旋转中心，旋转方向，旋转角. 3.加深认识 如图，将△ABC绕点C逆时针方向旋转，请说出： ?旋转中心是点____； ?点B的对应点是点____； ?CA的对应边是______； ?∠A的对应角是_______; ?旋转角是∠_______， ∠ 一对对应点与旋转中心连线所成的角——旋转角 【设计意图：通过学生在生活中的体验，培养学生善于思考的良好习惯．】 三、性质探求 图形的旋转属于几何变换，基本问题是在该几何变换下原图形的哪些性质不
变. 为此，从观察图形的整体变换入手，考虑图形旋转前后的不变性质. 探求1. △ABC绕点C按逆时针方向旋转到△C' ' 'B A的位置 思考：旋转前、后三角形的哪些性质发生了改变? 哪些性质没有发生改变?旋转前后有哪些相等的线段？哪 些相等的角？ 【设计意图：引导学生发现旋转前后图形的大小和形 状没有变化，改变的只是位置．由于图形是由点组成的， 所以引入对应点的概念并在AB上任取一点K，找到它的对 应点K′.使学生理解“图形旋转时，意味着图形上每个点同时 都按相同的方式旋转相同的角度”.】 探求2．将任意△ABC绕平面内任一点O转动任意的角 度. 思考：刚才的发现还成立吗？ 【设计意图：通过旋转中心的不同，继续探究性质，激发学生不断探索新知的欲望.】 探求3．归纳概括图形旋转的性质 （1）旋转前、后的图形全等，即旋转不改变图形的大小、形状. （2）对应点到旋转中心的距离相等. （3）每一对对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等. 4．巩固练习 △A′OB′是△AOB绕点O按逆时针方向旋转得到的，已知△AOB=20°, △A′OB=24°，AB=3，OA=5，则旋转角= °，A′B′= ，O A′= . 四、旋转作图 1.（1）画出将线段AB绕点O按逆时针方向旋转100°所得到的线段' 'B A. A B O B B' O A' C' A C
九年级数学：图形的旋转练习（含答案） 1．图形旋转的性质：图形经过旋转所得的图形与原图形________；对应点到旋转中心的距离________；任何一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于____________．2．圆既是一个轴对称图形，又是一个________对称图形． A组基础训练 1．下列图案中，可以由一个“基本图案”连续旋转45°得到的是( ) 2．在图形旋转中，下列说法错误的是( ) A．图形上各点的旋转角度相同 B．对应点到旋转中心的距离相等 C．由旋转得到的图形也一定可以由平移得到 D．旋转不改变图形的大小、形状 3．如图所示的图形由四个相同的正方形组成，通过旋转不可能得到的图形是( ) 第3题图 4．如图，把△ABC绕点C顺时针旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D，若∠A′DC ＝90°，则∠A的度数为( ) 第4题图
A ．45° B ．55° C ．65° D ．75° 5．下图中的各种变换分别属于平移、轴对称、旋转中的哪种图形变换(填空)? 第5题图 ①________ ②________ ③________ 6.如图，△ABC 经过旋转得到△A′B′C′，且∠AOB ＝25°，∠AOB ′＝20°，则线段OB 的对应线段是________；∠OAB 的对应角是________；旋转中心是________；旋转的角度是________． 第6题图 7．如图，下面的图案由三个叶片组成，绕点O 旋转120°后可以和自身重合．若每个．．叶片的面积为4cm 2，∠AOB 为120°，则图中阴影部分的面积之和为________cm 2. 第7题图 8.如图，直线y ＝－4 3x ＋4与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，把△AOB 绕点A 顺时针旋转 90°后得到△AO′B′，则点B′的坐标为________． 第8题图 9．如图，在△ABC 和△AEF 中，∠B ＝∠E ，AB ＝AE ，BC ＝EF ，∠BAE ＝25°，∠F ＝60°.
图形的平移与旋转 【考纲传真】 图形的平移与旋转是近几年中考命题的重点和热点．考察考点主要通过具体实例认识平移、旋转，并探索平移、旋转的基本性质． 【复习考纲】 1．探索图形平移、旋转的性质，发展空间观念；结合具体实例，理解平移、旋转的基本内涵． 2．掌握平移、旋转的画图步骤和方法，掌握图形在坐标轴上的平移和旋转． 【考点梳理】 一、平移定义和规律 1．平移的定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移． 注意： （1）平移不改变图形的形状和大小（也不会改变图形的方向，但改变图形的位置）； （2）图形平移三要素：原位置、平移方向、平移距离． 2．平移的规律（性质）：经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等、对应角相等． 注意：平移后，原图形与平移后的图形全等． 3．简单的平移作图 平移作图，就是把整个图案的每一个特征点按一定方向和一定的距离平行移动． 平移作图要注意：①方向；②距离． 二、旋转的定义和规律 1．旋转的定义：在平面内，将一个图形饶一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转．这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角．关键：（1）旋转不改变图形的形状和大小（但会改变图形的方向，也改变图
形的位置）； （2）图形旋转四要素：原位置、旋转中心、旋转方向、旋转角． 2．旋转的规律（性质）： 经过旋转，图形上的每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．（旋转前后两个图形的对应线段相等、对应角相等．) 注意：旋转后，原图形与旋转后的图形全等． 3．简单的旋转作图： 旋转作图，就是把整个图案的每一个特征点绕旋转中心按一定的旋转方向和一定的旋转角度旋转移动． 旋转作图要注意：①旋转方向；②旋转角度． 【典题探究】 【例1】、在下列实例中，不属于平移过程的有（ ） ①时针运行的过程；②火箭升空的过程；③地球自转的过程；④飞机从起跑到离开地面的过程。 A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 【例2】、如图所示的每个图形中的两个三角形是经过平移得到的是（ ） 【例3】、下列图形经过平移后恰好可以与原图形组合成一个长方形的是（ ） A 、三角形 B 、正方形 C 、梯形 D 、都有可能 【例4】、在图形平移的过程中，下列说法中错误的是（ ） A 、图形上任意点移动的方向相同 B 、图形上任意点移动的距离相同 C 、图形上可能存在不动的点 D 、图形上任意两点连线的长度不变 【例5】、有关图形旋转的说法中错误的是（ ） A 、图形上每一点到旋转中心的距离相等 B 、图形上每一点移动的角度相同 A B C D
1、旋转：将一个图形绕着某点O转动一个角度的变换叫做旋转。其中，O叫做旋转中心，转动的角度叫做 旋转角。 2、旋转性质: ①旋转后的图形与原图形全等 ②对应线段与O形成的角叫做旋转角 ③各旋转角都相等 3、平移：将一个图形沿着某条直线方向平移一定的距离的变换叫做平移。 其中，该直线的方向叫做平移方向，该距离叫做平移距离。 4、平移性质 ①平移后的图形与原图形全等 ②两个图形的对应边连线的线段平行相等（等于平行距离） ③各组对应线段平行且相等 5、中心对称与中心对称图形 ①中心对称：若一个图形绕着某个点O旋转180°，能够与另一个图形完全重合，则这两个图形关于这个点对称或中心对称。其中，点O叫做对称中心、两个图形的对应点叫做关于中心的对称点。 ②中心对称图形：若一个图形绕着某个点O旋转180°，能够与原来的图形完全重合，则这个图形叫做中心对称图形。其中，这个点叫做该图形的对称中心。 6、轴对称与轴对称图形 (1)、轴对称：若两个图形沿着某条轴对折，能够完全重合，则这两个图形关于这条轴对称或它们成轴对称。其中，这条轴叫做对称轴。 注：轴对称的性质：①两个图形全等；②对应点连线被对称轴垂直平分 （2）轴对称图形：若一个图形沿着某条轴对折，能够完全重合，则这个图形叫做轴对称图形。 7、点的对称变换 （1）关于原点对称的点的特征:坐标的符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P＇（-x，-y）（2）关于x轴对称的点的特征:x相等，y的符号相反，即点P（x，y）关于x轴的对称点为P＇（x，-y）（3）关于y轴对称的点的特征:y相等，x的符号相反，即点P（x，y）关于y轴的对称点为P＇（-x，y）（4）关于直线y＝x对称:横坐标与纵坐标与之前对换，即：P（x，y）关于直线y＝x对称点为P＇（y，x）（5）两个点关于直线y＝-x对称时:横坐标与纵坐标与之前完全相反，即：P（x，y）关于直线y＝x的对称点为P＇（-y，-x） 注：y＝x的直线是过一三象限的角平分线，y＝-x的直线是过二四象限的角平分线。
北师大版八年级上册数学知识点总结 第一章 勾股定理 1、勾股定理 （1）直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的 平方，即2 22c b a =+ （2）勾股定理的验证：测量、数格子、拼图法、面积法，如青朱出入图、五巧板、玄图、总统证法……（通过面积的不同表示方法得到验证，也叫等面积法或等积法） （3）勾股定理的适用范围：仅限于直角三角形 2、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系2 22c b a =+，那 么这个三角形是直角三角形。 3、勾股数：满足2 22c b a =+的三个正整数a ，b ， c ，称为勾股数。 常见的勾股数有：（6,8,10）（3,4,5）（5,12，,13）（9,12,15）（7,24,25）（9,40,41）…… 规律：（1），短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续的自然数，两边之和是短直角边的平方。即当a 为奇数且a ＜b 时，如果b+c=a2那么a,b,c 就是一组勾股数.如（3,4,5）（5,12，,13）（7,24,25）（9,40,41）…… （2）大于2的任意偶数，2n(n ＞1)都可构成一组 勾股数分别是：2n,n2-1,n2+1 如：（6,8,10）（8,15,17）（10,24,26）…… 4、常见题型应用： （1）已知任意两条边的长度，求第三边/斜边上的高线/周长/面积…… （2）已知任意一条的边长以及另外两条边长之间的关系，求各边的长度//斜边上的高线/周长/面积…… （3）判定三角形形状： a2 +b2＞c2锐角~，a2 +b2=c2直角~，a2 +b2＜c2钝角~ 判定直角三角形a..找最长边；b.比较长边的平方与另外两条较短边的平方和之间的大小关系；c.确定形状 （4）构建直角三角形解题 例1. 已知直角三角形的两直角边之比为3：4，斜边为 10。求直角三角形的两直角边。 解：设两直角边为3x ，4x ，由题意知： ∴x=2，则3x=6，4x=8，故两直角边为6，8。 中考突破 （1）中考典题 例. 如图（1）所示，一个梯子AB 长2.5米，顶端A 靠在墙AC 上，这时梯子下端B 与墙角C 距离为1.5米，梯子滑动后停在DE 位置上，如图（2）所示，测得 得BD=0.5米，求梯子顶端A 下落了多少米？ 思维入门指导：梯子顶端A 下落的距离为AE ，即求AE 的长。已知AB 和BC ，根据勾股定理可求AC ，只要求出EC 即可。 解：在Rt △ACB 中，AC2=AB2-BC2=2.52-1.52=4， ∴AC=2 ∵BD=0.5，∴CD=2 ∴EC=1.5 答：梯子顶端下滑了0.5米。 点拨：要考虑梯子的长度不变。 例5. 如图所示的一块地，AD=12m ，CD=9m ，∠ADC=90°，AB=39m ，BC=36m ，求这块地的面积。 思维入门指导：求面积时一般要把不规则图形分割成规则图形，若连结BD ，似乎不 解：连结AC ，在Rt △ADC 中， 在△ABC 中，AB2=1521 答：这块地的面积是216平方米。 点拨：此题综合地应用了勾股定理和直角三角形判定条件。 第二章 实数 基本知识回顾 1. 无理数的引入。无理数的定义无限不循环小数。 得要领，连结，求出即可。AC S S ABC ACD ??-
4月2日《图形的旋转》习题训练 一、选择题 1．下列图形中，绕某个点旋转90°能与自身重合的有( ) ①正方形；②长方形；③等边三角形；④线段；⑤角；⑥平行四边形． A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2．五角星可以看成由一个四边形旋转若干次而生成的，则每次旋转的度数可以是( ) A.36° B.60° C.72° D.90° 3．下面的图形(1)-(4)，绕着一个点旋转120°后，能与原来的位置重合的是( ) A.（1），（4） B.（1），（3） C.（1），（2） D.（3），（4） 4．在平面上有一个角是60°的菱形绕它的中心旋转，使它与原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是( ) A.90° B.180° C.270° D.360° 5．数学课上，老师让同学们观察如图所示的图形，问：它绕着圆心O旋转多少度后和它自身重合？甲同学说：45°；乙同学说：60°；丙同学说：90°；丁同学说：135°．以上四位同学的回答中，错误的是( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 6．下面四个图案中，是旋转对称图形的是( )
A. B. C. D. 7．如图所示的图形中，是旋转对称图形的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题 8．请写出一个既是轴对称图形又是旋转对称图形的图形_____． 9．将等边三角形绕其对称中心O旋转后，恰好能与原来的等边三角形重合，那么旋转的角度至少是_____． 10．如图所示的五角星_____旋转对称图形．(填“是”或“不是”)． 11．给出下列图形：①线段、②平行四边形、③圆、④矩形、⑤等腰梯形，其中，旋转对称图形有_____(只填序号)． 三、解答题 12．如下图是由三个叶片组成的，绕点O旋转120°后可以和自身重合，若每个叶片的面积为5cm2，∠AOB=120°，则图中阴影部分的面积之和为多少cm2．
图形的旋转（第1课时）教学设计 （九年级上册第二十三章23.1） 一、内容和内容解析 1．内容 旋转的概念和性质. 2．内容解析 旋转是一种图形变换，也是初中学段继平移和轴对称之后学习的第三种全等变换，它是研究中心对称的知识基础，也是探究旋转对称类图形（如圆）的必要准备. 本课是本章的起始课，重点探究旋转的概念和性质，是本章知识的核心，也是后续研究中心对称和坐标应用的关键. 旋转的概念突出了三要素，即旋转中心、旋转方向和旋转角，这三个要素是确保旋转的唯一性的必要条件，也是表述一个旋转过程的必要因素. 通过观察大量旋转的实例逐步抽象得出旋转的概念，这一过程是将对旋转的认识逐步理性化的过程，也是感受如何定义一种图形变换的过程. 旋转的性质是研究在图形变化前提下图形要素间的不变性，是研究图形变换的价值之所在. 正是因为图形在位置变化的过程中保持了形状和大小的不变，并因各自不同的变化而产生出要素间新的确定的关系，我们才能以此为基础去作图、证明或解决其他问题. 同为图形变换，旋转的性质与平移和轴对称的性质有相似之处，但这种相似更体现在性质的探究过程. 图形整体的变换过程是复杂的，可以先从研究图形上的特殊点（直线型的特殊点一般是其顶点）的变换过程出发，由点到形、由特殊到一般的去研究整体，并了解类似问题的基本研究套路. 基于以上分析，确定本节课的教学重点是：旋转的性质.
二、目标和目标解析 1．目标 （1）通过观察具体实例认识旋转； （2）探索并掌握旋转的性质. 2．目标解析 达成目标（1）的标志是：能通过观察具体的旋转实例抽象出旋转三要素，会判断图形的变化是否为旋转，能指出图形旋转中的三要素，会利用三要素描述旋转. 达成目标（2）的标志是：经历作图、猜想、验证的探究过程，得到并理解旋转的性质，会利用旋转的性质发现旋转中的不变关系，会利用旋转的性质作一个图形经过旋转后的图形. 三、教学问题诊断分析 学生在小学初步认识了旋转，但仅限于图形的识别，没涉及几何要素间的定量分析. 学生也学习了平移、轴对称两种图形变换，具备研究图形变换的基本经验，知道只改变位置的图形变换是全等变换. 在平移和轴对称变换中，变换的途径更直观，对应量的关系更清楚，与之相比，旋转具有更强的抽象性. 学生在探究性质的过程中，或是应用性质的过程中，都会遇到不能发现旋转的途径，找不到对应量，不会确定旋转中心等问题. 针对学生可能遇到的问题，在本课的教学中应注意两点：一是通过大量的旋转实例展示，让学生通过不断地观察熟悉旋转，认识图形在不同的旋转中的相对位置，积累认知和判别经验；二是在实例的观察中，引导学生发现图形上的点的变换与图形的变换具有一致性，从而通过对点的研究发现形的性质.
图形的旋转 1、如图，将△ABC绕点A旋转50°后成为△AB′C′，那么点B的对应点是_____，点C的对应点是_________，线段AB的对应线段是线段________，线段BC的对应线段是线段_________；∠B的对应角是_________，∠C的对应角是__________，旋转中心是点_______，旋转的角度是_____________； 2、如图，△ABC是等腰三角形，∠BAC=36°，D是BC上一点， △ABD经过旋转后到达△ACE的位置， ⑴旋转中心是哪一点？ ⑵旋转了多少度？ ⑶如果M是AB的中点，那么经过上述旋转后，点M转到了 什么位置？ 4、如图，四边形ABCD是正方形，△DAE旋转后能与△DCF重合。 ⑴旋转中心是哪一点？ ⑵旋转了多少度？ ⑶如果连接EF，那么△DEF是怎样的三角形？ 5：钟表的分针匀速旋转一周需要60分． （１）指出它的旋转中心； （２）经过20分，分针旋转了多少度？ 6：本图案可以看做是一个菱形通过几次旋转得到的？每次旋转了多少度？ A E M A B C D E F
旋转的特征 A C′ B′ B C 3：（1）将一个平面图形F上的每一点，绕这个平面一_____ 点旋转，得到图形F’，图形的这种变换就叫做旋转。（2）对应点到对应中心的距离____________.（3）对应点与旋转中心所成的角彼此_______，且等于_________角（4）旋转不改变图形的________和_______. 4、如图，△ABC按逆时针方向转动一个角后到△AB′C′，则线段AB=_______，AC=_______，BC=________；∠BAC=_________，∠B=_________，∠C=___________；
23.1 图形的旋转(3) 第三课时 教学内容 选择不同的旋转中心或不同的旋转角，设计出不同的美丽的图案． 教学目标 理解选择不同的旋转中心、不同的旋转角度，会出现不同的效果，掌握根据需要用旋转的知识设计出美丽的图案． 复习图形旋转的基本性质，着重强调旋转中心和旋转角然后应用已学的知识作图，设计出美丽的图案． 重难点、关键 1．重点：用旋转的有关知识画图． 2．难点与关键：根据需要设计美丽图案． 教具、学具准备 小黑板 教学过程 一、复习引入 1．（学生活动）老师口问，学生口答． （1）各对应点到旋转中心的距离有何关系呢？ （2）各对应点与旋转中心所连线段的夹角与旋转角有何关系？ （3）两个图形是旋转前后的图形，它们全等吗？ 2．请同学独立完成下面的作图题． 如图，△AOB 绕O 点旋转后，G 点是B 点的对应点，作出 △AOB 旋转后的三角形． （老师点评）分析：要作出△AOB 旋转后的三角形，应找 出三方面：第一，旋转中心：O ；第二，旋转角：∠BOG ； 第三，A 点旋转后的对应点：A ′． 二、探索新知 从上面的作图题中，我们知道，作图应满足三要素：旋转中心、旋转角、对应点，而旋转中心、旋转角固定下来，对应点就自然而然地固定下来．因此，下面就选择不同的旋转中心、不同的旋转角来进行研究． 1．旋转中心不变，改变旋转角 画出以下图所示的四边形ABCD 以O 点为中心，旋转角分别为30°、60°的旋转图形． 2．旋转角不变，改变旋转中心 画出以下图，四边形ABCD 分别为O 、O 为中心，旋转角都为30?°的旋转图形．
因此，从以上的画图中，我们可以得到旋转中心不变，改变旋转角与旋转角不变，改变旋转中心会产生不同的效果，所以，我们可以经过旋转设计出美丽的图案． 例1．如下图是菊花一叶和中心与圆圈，现以O?为旋转中心画出分别旋转45°、90°、135°、180°、225°、270°、315°的菊花图案． 分析：只要以O 为旋转中心、旋转角以上面为变化，?旋转长度为菊花 的最长OA ，按菊花叶的形状画出即可． 解：（1）连结OA （2）以O 点为圆心，OA 长为半径旋转45°，得A ． （3）依此类推画出旋转角分别为90°、135°、180°、225°、270 °、315°的A 、A 、A 、A 、A 、A ． （4）按菊花一叶图案画出各菊花一叶． 那么所画的图案就是绕O 点旋转后的图形． 例2．（学生活动）如图，如果上面的菊花一叶，绕下面 的点O ′为旋转中心，?请同学画出图案，它还是原来的菊花 吗？ 老师点评：显然，画出后的图案不是菊花，而是另外的一 种花了． 三、巩固练习 教材P65 练习． 四、应用拓展 例3．如图，如何作出该图案绕O 点按逆时针旋转90°的图形． 分析：该备案是一个比较复杂的图案，是作出几个复合图形 组成的图案，因此，要先画出图中的关键点，这些关键点往往是 图案里线的端点、角的顶点、圆的圆心等，然后再根据旋转的特 征，作出这些关键点的对应点，最后再按原图案作出旋转后的图 案． 解：（1）连结OA ，过O 点沿OA 逆时针作∠AOA ′=90°，在射线OA ′上截取OA ′=OA ； （2）用同样的方法分别求出B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 的对应点 B ′、 C ′、 D ′、 E ′、 F ′、 G ′、 H ′； （3）作出对应线段A ′B ′、B ′C ′、C ′D ′、D ′E ′、E ′F ′、F ′A ′、A?′G ′、G ′D ′、D ′H ′、H ′A ′； （4）所作出的图案就是所求的图案． 五、归纳小结（学生归纳，老师点评） 本节课应掌握： 1．选择不同的旋转中心、不同的旋转角，设计出美丽的图案； 2．作出几个复合图形组成的图案旋转后的图案，?要先求出图中的关键点──线的端点、
2010—2011学年度第一学期八年级上数学期末复习讲义 第一章勾股定理 [复习要求] (1)掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法，并能运用勾股定理解决一些实际问题，发展合情推理能力，体会形数结合的思想； (2)掌握判断一个三角形是直角三角形的条件，能运用它解决一些实际问题； (3)了解勾股定理的历史和应用，体会勾股定理的文化价值． 勾股定理：如果直角三角形的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么，a2+b2=c2， 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 勾股定理在西方文献中又称毕达哥拉斯定理。 我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边为弦。 格式：a=8 b=15 解：由勾股定理得c的平方=a2+b2=82+152=64+225=289 ∵C＞0 ∴C=17 勾股定理逆定理：如果三角形三边长为a、b、c，c为最长边，只要符合a2+b2=c2，这个三角形是直角三角形。（直角三角形的判别条件）。 第二章实数 [复习要求] (1)了解无理数的概念和意义； (2)了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根；能用平方运算与立方运算求某些数的平方根与立方根；会用计算器求平方根和立方根，并能探索一些有趣的数学规律； (3)能用有理数估计一个无理数的大致范围； (4)了解实数的概念，会按要求对实数进行分类，了解实数的相反数和绝对值的意义，知道实数与数轴上的点具有一一对应的关系，了解有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用； (5)能对带根号的数进行化简，并能利用化简进行有关实数的简单四则运算； (6)能运用实数的运算解决简单的实际问题． ［概念与规律］ 事实上，有理数总可以用有限循环小数或无限不循环小数表示。 无限不循环小数叫无理数。 无理数：圆周率π=3.14159265……；0.585885888588885……(相邻两个5之间8的个数逐次加1)；根号a（a为非完全平方数或非立方数）。 一般的，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫做a的
八年级数学图形的旋转 教案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
3.1 图形的旋转 【课标要求】 ⒈通过具体的实例认识旋转，探索它的性质，理解对应点到旋转中心的距 离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质。 ⒉能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形。 ⒊欣赏旋转在现实生活中的应用。 【教学目标】 ⒈经历对生活中旋转现象观察、分析过程，引导学生用数学的眼光看待生活 中的有关问题。 ⒉通过具体实例认识旋转，知道旋转的性质。 ⒊经历对具有旋转特征的图形的观察、操作、画图等过程，掌握作图的技能。【教学重点】 ⒈旋转图形的性质 ⒉旋转图形的画法 【教学难点】 旋转图形的画法 【教学思路】 从学生熟悉的生活中的旋转现象入手，帮助学生通过具体的旋转实例认识旋转，理解旋转的基本涵义，再通过观察，从而得出旋转图形的性质，最后通过画旋转图形，让学生掌握作图技能，进一步加深对旋转图形性质的认识。【教学过程】 一、创设情境 日常生活中，经常看到以下情境：游乐场里的摩天轮绕着一个固定的点旋转；钟摆绕着一个固定的点摆动。。。。。。（有条件的学校可以用实物投影仪投放生活中的旋转实例） 提出问题：⑴上述情境中的旋转现象有什么共同的特征？ ⑵生活还有类似的例子吗？ 【设计说明：从学生熟悉的生活中的旋转现象入手，帮助学生通过具体实例认识旋转，理解旋转的基本涵义。同时引导学生用数学的眼光看待生活中的有关问题，发展学生的数学观。】 二、探索活动一 ⒈将一块三角尺ABC绕点C按逆时针方向旋转到DCB的位置 问题: 度量∠ACD与∠BCE的度数，线段AC与DC、BC与EC的长度。你发现了什么？ ⒉将绕点按顺时针方向旋转到的位置。 问题：度量∠AOA`、∠BOB`、∠COC`的度数，线段AO与A`O、BO与 B`O、CO与C`O的长度。你发现了什么？
旋 转 姓名 方程根与系数的关系 例1：设关于x 的方程ax 2+（a+2）x+9a=0，有两个不相等的实数根x 1、x 2，且x 1＜1＜x 2， 那么实数a 的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ． 变：设关于x 的方程ax 2+（a-1）x+1=0有两个不相等的实数根x 1、x 2，且x 1＜2＜x 2， 那么实数a 的取值范围是 变：关于x 的方程04 1)2(2=+-+x a ax ，有两个不相等实数根x 1、x 2，且211x x <-<，那么实数a 的取值范围 例2：已知关于x 的一元二次方程x 2+（2m+1）x+m 2 ﹣4=0 （1）当m 为何值时，方程有两个不相等的实数根？ （2）若边长为5的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，求m 的值． 变：已知关于x 的方程a 2x 2+（2a ﹣1）x+1=0有两个不相等的实数根x 1，x 2． （1）求a 的取值范围； （2）是否存在实数a ，使方程的两个实数根互为相反数如果存在，求出a 的值； 如果不存在，说明理由． 函数： 已知：如图，一次函数y=x+1的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ；二次函数y=x 2+bx+c 的图象与一次函数y=x+1的图象交于B 、C 两点，与x 轴交于D 、E 两点，且D 点坐标为（1，0）． （1）求二次函数的表达式及C 点的坐标； （2）观察图象，直接写出下面小题的答案：不等式x 2+bx+c ＞x+1的解集为 ； （3）在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使得PC+PE 的值最小？若存在，求出点P 的坐标； 若不存在，请说明理由． （4）求BCE ?的面积并在抛物线上找点Q 使的BCE ?和BCQ ?的面积相等