专题五 一元一次方程
复习目的：
1、了解等式的概念，掌握等式的基本性质。
2、了解方程、方程的解及解方程的概念。
3、了解一元一次方程，二元一次方程组及其标准形式、最简形式。
４、会列一元一次方程解应用题，并根据应用题的实际意义检验求值是否合理。 ５、能正确地列二元一次方程组解应用题。
考点透视
1、方程的相关概念 例1如果2x =是方程
1
12
x a +=-的根,那么a 的值是（ ）A 、０?B 、2C 、2- D 、6- 变式训练:已知关于x 的方程223=+a x 的解是1-=a x ,则=a 。
2、一元一次方程的解法 1）等式的性质：①等式两边同时加上（减去）同一个整式,等式仍然成立;②等式两边同时乘以(除以）同一个数(除数不能为０）,等式仍然成立。
２)解一元一次方程的一般步骤：①去分母;②去括号；③移项；④合并同类项;⑤系数化为１。 例2、1）（2008自贡)方程063=+x 的解的相反数是（ )
A 、２
B 、-2
C 、3
D 、-3 ２）(20０8武汉)如果05.205.2002005-=-x ，那么x 等于( ） A 、1814.５5 B 、1８24．５５ C 、１774.55 Ｄ、1784.45
3）解方程：①12223x x x -+-=-；②2
(1)
0.4(1)3430.24
x x -+-=-
3、一元一次方程的应用
1)列一元一次方程解应用题的一般步骤:①审题；②设未知数；③找出相等关系;④列出方程；⑤解
方程;⑥检验作答。
2）列一元一次方程解应用题的常见题型:①等积变形问题，注意变形前后的面积(体积）关系；②比例问题，通常设每份数为未知数;③利润率问题,数量关系复杂，要特别注意，常用的相等关系是利润的两种不同表示方法,即利润=售价-进价＝进价×利润率；④数字问题，注意数的表示方法；⑤工程问题，注意单位“1”的确定；⑥行程问题,分为相遇、追击、水流问题；⑦年龄问题等。
1、二元一次方程(组）及解的概念
二元一次方程:含有两个未知数，含未知数的项的最高次数为1，化成标准形式
)0,0(0≠≠=++b a c by ax 的整式方程。二元一次方程的解具有不定性。
例1、１）( 2０08杭州） 已知??
?-==1
1
y x 是方程32=-ay x 的解, 则a 的值是( )
A 、1
B 、3
C 、3-
D 、1-
2)(2009桂林市)已知21x y =??=?是二元一次方程组7
1ax by ax by +=??-=?
的解,则a b -的值为（ )
A.１ B ．-１ C ． 2 Ｄ．3 2、解二元一次方程组 例２、1）解方程组
①?
??=-=+13234
2y x y x ②312523-=+=+x y y x
2)若方程1,3=-=+y x y x 和02=-my x 有公共解，则m 的取值为 。 3、二元一次方程组的应用
某校师生积极为汶川地震灾区捐款，在得知灾区急需帐篷后，立即到当地的一家帐篷厂采购,帐篷有两种规格：可供3人居住的小帐篷,价格每顶1６0元;可供10人居住的大帐篷,价格每顶400元。学校花去捐款９60００元，正好可供230０人临时居住。
①求该校采购了多少顶３人小帐篷，多少顶１0人大帐篷;
②学校现计划租用甲、乙两种型号的卡车共20辆将这批帐篷紧急运往灾区，已知甲型卡车每辆可同时装运4顶小帐篷和11顶大帐篷，乙型卡车每辆可同时装运12顶小帐篷和7顶大帐篷。如何安排甲、乙两种卡车可一次性将这批帐篷运往灾区?有哪几种方案？
专题六 一元二次方程及其应用
复习目的：
１、掌握一元二次方程的四种解法，并能灵活运用。
2、理解一元二次方程的要的判别式,能运用它解相应问题。
3、掌握一元二次方程的根与系数的关系,会用它解决相关问题。
4、会列一元二次方程解决实际问题。
考点透视
1、一元二次方程的概念及其解法
1）一元二次方程:只含有一个未知数,未知数的最高次数为２，化为一般形式02
=++c bx ax 后
0≠a 的整式方程。
2)一元二次方程的解法:①直接开平方法;②配方法；③求根公式法;④因式分解法。
例1、1）关于x 的一元二次方程01)1(2
2
=-++-m x x m 一根为0,则ｍ的值为( ）。
Ａ、1 B 、-1 C 、１或－１ Ｄ、
2
1
2)(2008遵义)一元二次方程2
210x x -+=的解是 。
3)(２008温州)我们已经学习了一元二次方程的四种解法:因式分解法，开平方法，配方法和公式法．请从以下一元二次方程中任选一个．．
,并选择你认为适当的方法解这个方程。 ①2310x x -+=;②2
(1)3x -=;③230x x -=;④2
24x x -=。
2、一元二次方程要的判别式
一元二次方程02=++c bx ax )0(≠a 根的情况是由ac b 42
-决定的。①当042
?-ac b 时?方
程有两个不相等的实数根；②当042
=-ac b 时?方程有两个相等的实数根;③当042
?-ac b 时?方
程没有实数根;④当042
≥-ac b 时?方程有两个实数根；
例2、1）(2008河南）如果关于x 的一元二次方程2
2
(21)10k x k x -++=有两个不相等的实数根,那么k 的取值范围是( )
A 、k ＞14-
B 、k >14-且0k ≠
C 、k <14- Ｄ、1
4
k ≥-且0k ≠ 2)已知a 、b 、c 分别是三角形的三边,则方程0)(2)(2=++++b a cx x b a 的根的情况是（ )A 、
没有实数根B 、可能有且只有一个实数根C 、有两个相等的实数根D 、有两个不相等的实数根
４、一元二次方程的应用
列一元二次方程解应用题和列一元一次方程解应用题类似。
①
②
例４、１）(20０８南通)某省为解决农村饮用水问题，省财政部门共投资20亿元对各市的农村饮用水的“改水工程”予以一定比例的补助．２00８年，A 市在省财政补助的基础上再投入6０0万元用于“改水工程”,计划以后每年以相同的增长率投资，2０10年该市计划投资“改水工程”1１76万元.
①求Ａ市投资“改水工程”的年平均增长率;
②从２008年到2010年，A 市三年共投资“改水工程”多少万元?
2)(200８白银）如图①,在一幅矩形地毯的四周镶有宽度相同的花边。如图②，地毯中央的矩形图案长8米、宽６米,整个地毯的面积是40平方米。求花边的宽。
3）（2０0８海口）某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元,每天可售出500千克。经市场调查发现,在进货价不变的情况下，若每千克上涨1元，日销量将减少20千克。现该商场要保证每天盈利６０00元,同时又要使顾客得到实惠,那么每千克应涨价多少元销售?
备考策略
1、求解一元二次方程相关问题（尤其是求字母系数的取值时),要注意两个隐含条件:一是二次项系数0≠a ,二是判别式042
≥-ac b ；同时应用判别式时，其前提是二次项系数不为0。
２、配方法是一种十分重要的数学方法,配方法的关键就是将方程化为)0()(2
≥=+b b a x 的形式。 3、一元二次方程的根与系数的关系应用较广,考查方式较多,要学会进行基本变形和运用,前提是要确保一元二次方程有根,即判别式非负。
4、列一元二次方程解决实际问题是各地中考命题的热点,并且题目型覆盖面广，须引起重视。
专题七 分式方程及其应用
复习目的:
１、了解分式方程的概念。
２、掌握可化为一元一（二）次方程的分式方程的解法,会用去分母法或换元法求方程的解。 3、了解分式方程产生增根的原因，掌握验根的方法。 ４、能够列出可化为一元二次方程的分式方程解应用题。
考点透视
１、分式方程的解法
１)分母中含有未知数的方程叫分式方程。
２)解分式方程的基本思想：将分式方程“转化”为整式方程。
3)分式方程的基本解法:①通过去分母将其转化为整式方程;②对于其中一部分在构造上有一定特点的分式方程，我们可采用换元法求解。
4)在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根,这种根叫分式方程的增根。解分式方程一定要验根,即把所求得的根带入最简公分母中,检验最简公分母是否等于0,若最简公分母等0,则为增根，应舍去。
例1、1）（2008泰州）方程
221
23=-+--x x x 的解是=x 。 ２)（２008凉山）分式方程263
111
x x -=
--的解是 。 3)(2008上海）用换元法解分式方程21221x x x x --=-时,如果设21
x y x
-=,并将原方程化为关于
y 的整式方程,那么这个整式方程是 。
2、由分式方程的根求待定字母的值
由方程的增根、失根或无解的情况，求字母的值或取值范围。一般地，解决此类问题,都是将原方程化为整式方程,再根据根的情况,解决相应问题。
例2、１)（2008襄樊)当m = 时,关于x 的分式方程213
x m
x +=--无解。 2)(2００9杭州市)已知关于x 的方程32
2=-+x m
x 的解是正数，则m 的取值范围为 。
3、分式方程的应用
列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似,解题时应抓住“找等量关系，恰当设未知数,用含未知数的式子表示相关未知量”等关键环节,从而正确列出方程并进行求解。另外还要注意检验结果是否是增根，是否是原方程的根,是否符合实际意义。
例３、１)(20０8咸宁）A 、B 两种机器人都被用来搬运化工原料,A 型机器人比B 型机器人每小时多搬运2０千克，A 型机器人搬运1０0０千克所用时间与Ｂ型机器人搬运8０0千克所用时间相等,两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？
2)(20０８西宁) “５·12”汶川大地震导致某铁路隧道被严重破坏．为抢修其中一段12０米的铁路，施工队每天比原计划多修5米，结果提前４天开通了列车.问原计划每天修多少米?某原计划每天修
x 米,所列方程正确的是( )
A 、120120
45x x -=+ B 、
120120
45x x -=+ Ｃ、12012045x x
-=-
D 、120120
45
x x -=-
3)（2009青岛市)北京奥运会开幕前,某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，就用３2００0元购进了一批这种运动服,上市后很快脱销,商场又用6８０00元购进第二批这种运动服,所购数量是第一批购进数量的2倍,但每套进价多了1０元。
（1)该商场两次共购进这种运动服多少套？
(２）如果这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低于２０％，那么每套售价至少是多少元？(利润率100%=
?利润
成本
) 备考策略
1、求解分式方程时要灵活利用分式的基本性质进行约分和通分,去分母时不要漏乘不含分母的项。
2、分式方程在求解后要注意验根。
3、结合实际问题，加深对分式方程转化为整式方程的体会,从而提高解决实际问题的能力。
4、换元法是一种重要的数学方法，要细心体会。
专题八 一元一次不等式（组)
复习目的：
1、理解并掌握不等式的性质，理解它们与等式性质的区别。
2、能用数形结合的思想理解一元一次不等式（组）解集的含义。
3、能熟练正确地解不等式(组),并会求其特殊解。
4、能利用转化思想、数形结合的思想解一元一次不等式(组）综合题、应用题。
考点透视
具体内容
知识技能要求 过程性要求 ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹ ⑺ 列不等式 √ 不等式的基本性质 √ 一元一次不等式 √ 一元一次不等式组 √ 不等式(组)的运用
√
1、不等式的概念和性质
例１、1）(2008广州)四个小朋友玩跷跷板,他们的体重分别为P 、Ｑ、R 、Ｓ，如图所示,则他们的体重大小关系是( )
A 、P R S Q >>>
B 、Q S P R >>>
C 、S P Q R >>>
D 、S P R Q >>> ２)(2０08山西)若x y x >-,且y y x <+，则下列不等式中正确的是( ) Ａ、0 0>y x C 、0>+y x D 、0<-y x 3）（2０08恩施）如果ａ＜ｂ＜0,下列不等式中错误．．的是（ ) A ． ab ＞0 B. a+ｂ＜0 Ｃ. b a <１ D. a －b ＜０ 2、解一元一次不等式 解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程的步骤大致相同。但要注意以下几点:①分数线兼有括号的作用，分母去掉后分子是和差代数式时，应添上括号。同时去分母时,不要漏乘不含分母的项;②不等式两边都乘（除以)同一个负数时,不等号必须改变方向；③在数轴上表示不等式的解集,当解集是a x <或a x >时，不包含数轴上表示数a 的这一点，则这一点用圆圈表示；当解集是a x ≤或a x ≥时,包含数轴上表示数a 的这一点，则这一点用黑圆点表示。 例2、1)(2０08东莞)解不等式x x <-64，并将不等式的解集表示在数轴上。 2)（２008武汉）不等式3 x<的解集在数轴上表示为（)。Ａ、 变式训练:若不等式0 3> + -n x的解集是2 < x，则不等式0 3> +n x的解集是。 3、解一元一次不等式组 １）解不等式组 3 6; 4 45(2)82. x x x x - ? + ? ? ?--<- ? ≥ 2）已知关于x的不等式组 10 x a x -> ? ? -> ? ， 的整数解共有3个，则a的取值范围是。 变式训练：已知不等式组 ? ? ? > - > 2 3 a x x 的解集是3>x,则ａ的取值范围是。 ４、解字母系数的不等式 如果关于x的不等式5 )1 (+ < -a x a和4 2 5、一元一次不等式（组）的应用 ６月１日起，某超市开始有偿 ．． 提供可重复使用的三种环保购物袋,每只售价分别为1元、2元和3元，这三种环保购物袋每只最多分别能装大米3公斤、５公斤和8公斤．6月7日，小星和爸爸在该 超市选购了3只环保购物袋用来装刚买的2０公斤散装大米，他们选购的3只环保购物袋至少 ．． 应付给超市元。 备考策略 １、加强对基本概念的理解。 ２、加强训练，提高解题能力。要认真研究不等式(组)的特殊解,将不等式的知识与方程和函数的相关知识结合在一起训练,这样有利于提高综合能力。 3、用不等式(组)的有关知识解决实际问题为考点，题型以填空题、选择题和解答题的形式出现,特别关注不等式（组）与方程、函数有关知识结合在一起的运用,把用不等式（组）解决应用题作为重点来抓。 第 11 课时：§3.4.1 基本不等式的证明（2） 【三维目标】： 一、知识与技能 1.进一步掌握基本不等式； 2.学会推导并掌握均值不等式定理； 3.会运用基本不等式求某些函数的最值，求最值时注意一正二定三相等。 4.使学生能够运用均值不等式定理来讨论函数的最大值和最小值问题；基本不等式在证明题和求最值方面的应用。 二、过程与方法 2 a b +，并会用此定理求某些函数的最大、最小值。 三、情感、态度与价值观 引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。 【教学重点与难点】： 重点：均值不等式定理的证明及应用。 难点：等号成立的条件及解题中的转化技巧。 【学法与教学用具】： 1. 学法： 2. 教学用具：多媒体、实物投影仪. 【授课类型】：新授课 【课时安排】：1课时 【教学思路】： 一、创设情景，揭示课题 1．重要不等式：如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a 2．基本不等式：如果a ,b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab b a 我们称b a b a ,2 为+的算术平均数，称b a ab ,为的几何平均数，ab b a a b b a ≥+≥+2222和成立的条件是不同的：前者 只要求a ,b 都是实数，而后者要求a ,b 都是正数。 二、研探新知 最值定理：已知y x ,都是正数， ①如果积xy 是定值p ，那么当y x =时，和y x +有最小值p 2；②如果和y x +是定值s ，那么当y x =时，积xy 有最大值 241s ． 证明：∵+∈R y x ,， ∴xy y x ≥+2 ， 绝对值不等式的解法教案 教学目标 （1）掌握与（）型的绝对值不等式的解法． （2）掌握与（）型的绝对值不等式的解法． （3）通过用数轴来表示含绝对值不等式的解集，培养学生数形结合的能力。 （4）通过将含绝对值的不等式同解变形为不含绝对值的不等式，培养学生化归的思想和转化的能力。 教学重点：型的不等式的解法； 教学难点：利用绝对值的意义分析、解决问题． 教学过程设计 教师活动 一、导入新课 【提问】正数的绝对值什么负数的绝对值是什么零的绝对值是什么举例说明【概括】 【不等式的代数意义及几何意义】 学生活动 口答：代数意义 几何意义 |a|的意义是a在数轴上的相应点到原点的距离。 设计意图 绝对值的概念是解与（）型绝对值不等式的概念，为解这种类型的绝对值不等式做好铺垫． 【不等式的性质】: ①若a>b ；c∈R 则 a+c>b+c ②若a>b ；c>0 则 ac>bc ③若a>b ；c<0 则 ac 不等式的解集表示为 【设问】解绝对值不等式，由绝对值的意义你能在数轴上画出它的解吗这个绝对值不等式的解集怎样表示 【质疑】的解集有几部分为什么也是它的解集 【讲述】这个集合中的数都比－2小，从数轴上可以明显看出它们的绝对值都比2大，所以是解集的一部分．在解时容易出现只求出这部分解集，而丢掉这部解集的错误． 画出数轴思考答案 不等式的解集为或表示为，或 2、自主演练：解下列不等式 1） | x | < 4 | x | < -1 | x | ≤ 0 2） | x | > 4 | x | > -3 | x | >0 3、抽象概括绝对值不等式的解集答案：{ x | -4 < x < 4 } Ф 答案：{ x | x>4,或x<-4 } R 不等式的证明方法 不等式的证明是高中数学的一个难点，证明方法多种多样，近几年高考出现较为形式较为活跃，证明中经常需与函数、数列的知识综合应用，灵活的掌握运用各种方法是学好这部分知识的一个前提，下面我们将证明中常见的几种方法作一列举。 注意ab b a 22 2 ≥+的变式应用。常用2 222b a b a +≥ + (其中+ ∈R b a ,)来解决有关根式不等式的问题。 一、比较法 比较法是证明不等式最基本的方法，有做差比较和作商比较两种基本途径。 1、已知a,b,c 均为正数，求证： a c c b b a c b a ++ +++≥++1 11212121 证明：∵a,b 均为正数， ∴ 0) (4)(44)()(14141)(2 ≥+=+-+++=+-+-b a ab b a ab ab b a a b a b b a b a b a 同理 0)(41 4141)(2 ≥+= +-+-c b bc c b c b c b ，0) (414141)(2 ≥+=+-+-c a ac a c a c a c 三式相加，可得 01 11212121≥+-+-+-++a c c b b a c b a ∴a c c b b a c b a ++ +++≥++111212121 二、综合法 综合法是依据题设条件与基本不等式的性质等，运用不等式的变换，从已知条件推出所要证明的结论。 2、a 、b 、),0(∞+∈c ，1=++c b a ，求证： 31222≥ ++c b a 证：2 222)(1)(3c b a c b a ++=≥++?∴ 2222)()(3c b a c b a ++-++0 )()()(222222222222≥-+-+-=---++=a c c b b a ca bc ab c b a 3、设a 、b 、c 是互不相等的正数，求证：)(4 4 4 c b a abc c b a ++>++ 证 ： ∵ 2 2442b a b a >+ 2 2442c b c b >+ 2 2442a c a c >+∴ 222222444a c c b b a c b a ++>++ ∵ c ab c b b a c b b a 2 2222222222=?>+同理：a bc a c c b 222222>+ b ca b a a c 222222>+ ∴ )(222222c b a abc a c c b b a ++>++ 4、 知a,b,c R ∈，求证: )(22 2 2 2 2 2 c b a a c c b b a ++≥++ ++ + 证明：∵ ) (2 2 2 2 2 2 2 2)(22b a b a b a b a ab ab +≥++≥+∴≥+ 课 题：不等式的证明（4） 教学目的： 1． 掌握换元法法证明不等式； 2．理解换元法实质； 3．提高证明不等式证法灵活性 教学重点：三角换元和代数换元 教学难点： 三角换元 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1．重要不等式： 如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a 2．定理：如果a,b 是正数，那么).""(2 号时取当且仅当==≥+b a ab b a 3：ab ≤222b a +，ab ≤（2 b a +）2 4． b a a b +≥2（ab ＞0），当且仅当a ＝b 时取“＝”号； 5．定理：如果+∈R c b a ,,，那么abc c b a 3333≥++（当且仅当c b a ==时 取“=”） 6．推论：如果+∈R c b a ,,，那么 33abc c b a ≥++ （当且仅当c b a ==时取“=”） 7．比较法之一（作差法）步骤：作差——变形——判断与0的关系——结论 比较法之二（作商法）步骤：作商——变形——判断与1的关系——结论 8．综合法：利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫做综合法 用综合法证明不等式的逻辑关系是：12n A B B B B ????? 综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法 分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式 成立的条件，把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法叫做分析法 用分析法证明不等式的逻辑关系是：12n B B B B A ??? ?? 分析法的思维特点是：执果索因 分析法的书写格式： 要证明命题B 为真， 只需要证明命题1B 为真，从而有…… 这只需要证明命题2B 为真，从而又有…… …… 这只需要证明命题A 为真 而已知A 为真，故命题B 必为真 二、讲解新课： 1 若0≤x ≤1，则可令x = sin θ (20π≤ θ≤)或x = sin 2θ (22π≤θ≤π-) 若122=+y x ，则可令x = cos θ , y = sin θ (π≤θ≤20) 若12 2=-y x ，则可令x = sec θ, y = t a n θ (π≤θ≤20) 若x ≥1，则可令x = sec θ (2 0π< θ≤) 若x ∈R ，则可令x = t a n θ (22π<θ<π-) 2 “整体换元”,“均值换元”,“设差换元”的方法 三、讲解范例： 例1 求证：2 11212≤-≤-x x 证一：（综合法） ∵212)1()1(1|||1|2222222=?? ????-+≤-=-=-x x x x x x x x 即 21|1|2≤-x x ∴2 11212≤-≤-x x 证二：（换元法） ∵11≤≤-x ∴令 x = cos θ , θ∈[0, π] 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 一．课题：含绝对值的不等式的解法 二．教学目标：掌握一些简单的含绝对值的不等式的解法． 三．教学重点：解含绝对值不等式的基本思想是去掉绝对值符号，将其等价转化为一元一次（二次） 不等式（组），难点是含绝对值不等式与其它内容的综合问题及求解过程中，集合间 的交、并等各种运算． 四．教学过程： （一）主要知识： 1．绝对值的几何意义：||x 是指数轴上点x 到原点的距离；12||x x -是指数轴上12,x x 两点间的距离 2．当0c >时，||ax b c ax b c +>?+>或ax b c +<-，||ax b c c ax b c +?∈，||ax b c x φ+?-<<，|| (0)x a a x a >>?>或x a <-． （2）定义法：零点分段法； （3）平方法：不等式两边都是非负时，两边同时平方． （三）例题分析： 例1．解下列不等式： （1）4|23|7x <-≤；（2）|2||1|x x -<+；（3）|21||2|4x x ++->． 解：（1）原不等式可化为4237x <-≤或7234x -≤-<-，∴原不等式解集为17[2,) (,5]22--． （2）原不等式可化为22(2)(1)x x -<+，即12x > ，∴原不等式解集为1[,)2+∞． （3）当12x ≤- 时，原不等式可化为2124x x --+->，∴1x <-，此时1x <-； 当122 x -<<时，原不等式可化为2124x x ++->，∴1x >，此时12x <<； 当2x ≥时，原不等式可化为2124x x ++->，∴53 x >，此时2x ≥． 综上可得：原不等式的解集为(,1)(1,)-∞-+∞． 例2．（1）对任意实数x ，|1||2|x x a ++->恒成立，则a 的取值范围是(,3)-∞； （2）对任意实数x ，|1||3|x x a --+<恒成立，则a 的取值范围是(4,)+∞． 解：（1）可由绝对值的几何意义或|1||2|y x x =++-的图象或者绝对值不等式的性质|1||2||1||2||12|3x x x x x x ++-=++-≥++-=得|1||2|3x x ++-≥，∴3a <； （2）与（1）同理可得|1||3|4x x --+≤，∴4a >． 例3．（《高考A 计划》考点3“智能训练第13题”）设0,0a b >>，解关于x 的不等式：|2|ax bx -≥． 解：原不等式可化为2ax bx -≥或2ax bx -≤-，即()2a b x -≥①或2()2a b x x a b +≤?≤ +②， 证明不等式的13种方法 咸阳师范学院基础教育课程研究中心安振平 不等式证明无论在高考、竞赛，还是其它类型的考试里，出现频率都是比较高，证明难度也是比较大的.因此，有必要总结证明不等式的基本方法，为读者提供学习时的参考资料.笔者选题的标准是题目优美、简明，其证明方法基本并兼顾巧妙. 1．排序方法 对问题的里的变量不妨排出大小顺序，有时便于获得不等式的证明. 例1已知,,0a b c ≥，且1a b c ++=，求证： ()22229 1. a b c abc +++≥2．增量方法 在变量之间增设一个增量，通过增量换元的方法，便于问题的变形和处理.例2设,,a b c R + ∈，试证：2222 a b c a b c a b b c c a ++++≥+++.3．齐次化法 利用题设条件，或者其它变形手段，把原不等式转换为齐次不等式. 例3设,,0,1x y z x y z ≥++=，求证： 2222222221.16 x y y z z x x y z +++≤4．切线方法 通过研究函数在特殊点处的切线，利用切线段代替曲线段，来建立局部不等式.例4已知正数,,x y z 满足3x y z ++=，求证： 323235 x y +≤++.. 5．调整方法 局部固定，逐步调整，探究多元最值，便能获得不等式的证明. 例5已知,,a b c 为非负实数，且1a b c ++=，求证：13.4 ab bc ca abc ++-≤ 6．抽屉原理 在桌上有3个苹果，要把这3个苹果放到2个抽屉里，无论怎样放，我们会发现至少会有一个抽屉里面放2个苹果.这一简单的现象，就是人们所说的“抽屉原理”.巧用抽屉原理，证明某些不等式，能起到比较神奇的效果. 例6（《数学通报》2010年9期1872题）证明：在任意13个实数中，一定能找到两个实数,x y ，使得0.3.10.3x y x ->+7．坐标方法 构造点坐标，应用解析几何的知识和方法证明不等式. 例7已知a b c R ∈、、，a 、b 不全为零，求证： ()()()22 22222 22.a b ac a b bc a b c a b +++++≥+++8．复数方法 构造复数，应用复数模的性质，可以快速证明一些无理不等式. 例8（数学问题1613，2006，5）设,,,0,a b c R λ+ ∈≥求证：9．向量方法 构造向量，把不等式的证明纳入到向量的知识系统当中去. 例9已知正数,,a b c 满足1a b c ++=，求证： 4 ≤. 10．放缩方法 不等式的证明，关键在于恒等变形过程中的有效放大、或者缩小技巧,放和缩应当恰到好处. 例10已知数列{}n a 中，首项132 a = ，且对任意*1,n n N >∈，均有 11n n a a +=++()211332.42 n n n a -+< 含参数的一元二次不等式的解法 含参数的一元二次不等式的解法与具体的一元二次不等式的解法在本质上是一致的，这类不等式可从分析两个根的大小及二次系数的正负入手去解答，但遗憾的是这类问题始终成为绝大多数学生学习的难点，此现象出现的根本原因是不清楚该如何对参数进行讨论，而参数的讨论实际上就是参数的分类，而参数该如何进行分类？下面我们通过几个例子体会一下。 一． 二次项系数为常数 例1、解关于x 的不等式：0)1(2 >--+m x m x 解：原不等式可化为：（x-1）（x+m ）>0 (两根是1和-m ，谁大？) （1）当1<-m 即m<-1时,解得：x<1或x>-m （2）当1=-m 即m=-1时,不等式化为：0122 >+-x x ∴x ≠1 （3）当1>-m 即m>-1时,解得：x<-m 或x>1 综上，不等式的解集为： (){}m x x x m -><-<或时当1|,11 (){}1|,12≠-=x x m 时当 (){}1-|,13><->x m x x m 或时当 例2:解关于x 的不等式：.0)2(2 >+-+a x a x （不能因式分解） 解：()a a 422 --=? （方程有没有根，取决于谁？） ()()R a a a 时，解集为即当32432404212 +<<-<--=? ()()3 2432404222 +=-==--=? a a a a 或时当 （i ）13324-≠ -=x a 时，解得：当 （ii ）13-324-≠+=x a 时，解得： 当 ()()时 或即当32432404232 +>-<>--=? a a a a 两根为()2 42)2(2 1 a a a x --+ -= ，()2 42)2(2 2 a a a x --- -= . ()()2 42)2(2 42)2(2 2 a a a x a a a x --+ -> --- -< 或此时解得： 综上，不等式的解集为： （1）当3 2 4324+<<-a 时，解 R ； （2）当324-=a 时，解集为(13,-∞-)?( +∞ -,13)； （3）当324+=a 时，解集为(13,--∞-)?(+∞ -- ,13)； （4）当3 24-a 时， 解集为(2 48)2(, 2 +---∞-a a a )?( +∞ +-+ -,2 4 8)2(2 a a a )； 二．二次项系数含参数 例3、解关于x 的不等式：.01)1(2 <++-x a ax 解：若0 =a ，原不等式.101>?<+-?x x 若0--?或.1>x 若0 >a ，原不等式.0)1)(1(<-- ? x a x )(* 其解的情况应由a 1与1的大小关系决定，故 （1）当1=a 时，式)(*的解集为φ ； （2）当1>a 时，式)(*11< 教案7 不等式证明 一、课前检测 1．若0>x ，则x x 432+ +的最小值是_________．342+ 2. 已知1>x ，1>y ，且4lg lg =+y x ，则y x lg lg 的最大值为（ B ） A ．4 B ．2 C ．1 D ．41 3. 设a 、b 是正实数，则下列不等式中不成立的是（ D ） (A)221≥++ab b a (B)4)11)((≥++b a b a (C)b a ab b a +≥+2 2 (D)ab b a ab ≥+2 4. 设x,y 为正数, 则(x+y)(1x + 4y )的最小值为( B ) （A ） 6 （B ）9 （C ）12 （D ）15 二、知识梳理 1. ．比较法是证明不等式的一个最基本的方法，分_______________两种形式．比差、比商 (1)作差比较法，它的依据是________________： ?? ????>-b a b a b a b a b a b a 000 它的基本步骤：___________________，差的变形的主要方法有配方法，分解因式法，分子有理化等． 作差——变形——判断 (2) 作商比较法，它的依据是：____________________________ 若a >0，b >0，则 ???? ???>b a b a b a b a b a b a 111 它的基本步骤是：作商——变形——判断商与1的大小．它在证明幂、指数不等式中经常用到． 2．综合法：综合法证题的指导思想是___________(“由因导果”)，即从已知条件或基本不等式出发，利用不等式的性质，推出要证明的结论． 3．分析法：分析法证题的指导思想是_____________(“由果索因”)，即从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够确定这些充分条件都已具备，那么就可以判定所要证的不等式成立。 三、典型例题分析 例1. 已知0,0>>b a ，求证： b a a b b a +≥+ 证法1： )(b a a b b a +-+ ＝ ab ab b a b a )()()(33+-+ ＝ ab b ab a b a ])(2))[((22+-+ ＝ab b a b a 2 ))((-+ ∵b a +>0，ab >0，0)(2≥-b a ∴ 0)(≥+-+b a a b b a 即 b a a b b a +≥+ 证法2：ab ab b a ab b a b a b a a b b a -+=++=++)()()(3 3 ＝1＋1)(2 ≥-ab b a 《一元一次不等式的解法》教案 第1课时 教学目标 知识与技能：知道一元一次不等式的标准形式，理解不等式的解与解集的概念，了解什么是一元一次不等式. 过程与方法：理解用不等式的性质解一元一次不等式的基本方法，会熟练的解一元一次不等式. 情感态度与价值观：培养学生的分析能力.训练学生的动手能力，提高综合分析解题能力、转化的数学思想.通过本节的学习，进一步渗透化归的数学美. 教学重难点 重点：一元一次不等式的解法. 难点：不等式的两边同乘以(或除以)一个负数. 教学过程 一、创设情境，导入新课 动脑筋： 水果批发市场的梨每千克3元，苹果每千克4元，小王购进50千克梨后还想购进些苹果，但他只有350元，他最多能买多少千克苹果？ 思考： 1、买梨子用去的钱和买苹果用去的钱以及身上有的350元钱有什么关系？ 买梨子用去的钱_____买苹果用去的钱_____身上有的350元钱. 2、若设他买了x千克苹果可以列出关系式：_____________________ 3、这个关系式有什么特点呢？(含有___个未知数，且未知数的次数为____)这样的不等式叫什么不等式？你认为呢？ 含有___个未知数，且未知数的次数为____的不等式叫_______不等式. 4、请你把一元一次不等式的概念与一元一次方程的概念对比，看看它们有什么异同？ 5、什么叫一元一次方程的标准形式？_________，__________，由此请你猜想什么是一元一次不等式的标准形式？ ________________________叫一元一次不等式的标准形式. 怎样求出小王最多能买多少千克苹果呢？只需要解上面的一元一次不等式，这节课我们来研究一元一次不等式的解法. 二、合作交流，探究新知 1、不等式的解和解集的概念 证明不等式的几种常用方法 证明不等式除了教材中介绍的三种常用方法，即比较法、综合法和分析法外，在不等式证明中，不仅要用比较法、综合法和分析法，根据有些不等式的结构，恰当地运用反证法、换元法或放缩法还可以化难为易．下面几种方法在证明不等式时也经常使用． 一、反证法 如果从正面直接证明，有些问题确实相当困难，容易陷入多个元素的重围之中，而难以自拔，此时可考虑用间接法予以证明，反证法就是间接法的一种．这就是最“没办法”的时候往往又“最有办法”，所谓的“正难则反”就是这个道理． 反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，在使用反证法时，必须在假设中罗列出各种与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，则反证法都是不完全的． 用反证法证题的实质就是从否定结论入手，经过一系列的逻辑推理，导出矛盾，从而说明原结论正确．例如要证明不等式A＞B，先假设A≤B，然后根据题设及不等式的性质，推出矛盾，从而否定假设，即A≤B不成立，而肯定A＞B成立．对于要证明的结论中含有“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征字眼的不等式，若正面难以找到解题的突破口，可转换视角，用反证法往往立见奇效． 例1 设a、b、c、d均为正数，求证：下列三个不等式：①a＋b＜c＋d； ②(a＋b)(c＋d)＜ab＋cd；③(a＋b)cd＜ab(c＋d)中至少有一个不正确． 反证法：假设不等式①、②、③都成立，因为a、b、c、d都是正数，所以 不等式①与不等式②相乘，得：(a ＋b)2＜ab ＋cd ，④ 由不等式③得(a ＋b)cd ＜ab(c ＋d)≤( 2 b a +)2 ·(c ＋d)， ∵a ＋b ＞0，∴4cd ＜(a ＋b)(c ＋d)， 综合不等式②，得4cd ＜ab ＋cd ， ∴3cd ＜ab ，即cd ＜31 ab ． 由不等式④，得(a ＋b)2＜ab ＋cd ＜ 34ab ，即a 2＋b 2＜－3 2 ab ，显然矛盾． ∴不等式①、②、③中至少有一个不正确． 例2 已知a ＋b ＋c ＞0，ab ＋bc ＋ca ＞0，abc ＞0，求证：a ＞0，b ＞0， c ＞0． 证明：反证法 由abc ＞0知a ≠0，假设a ＜0，则bc ＜0， 又∵a ＋b ＋c ＞0，∴b ＋c ＞－a ＞0，即a(b ＋c)＜0， 从而ab ＋bc ＋ca = a(b ＋c)＋bc ＜0，与已知矛盾． ∴假设不成立，从而a ＞0， 同理可证b ＞0，c ＞0． 例3 若p ＞0，q ＞0，p 3＋q 3= 2，求证：p ＋q ≤2． 证明：反证法 假设p ＋q ＞2，则(p ＋q)3＞8，即p 3＋q 3＋3pq (p ＋q)＞8， ∵p 3＋q 3= 2，∴pq (p ＋q)＞2． 故pq (p ＋q)＞2 = p 3＋q 3= (p ＋q)( p 2－pq ＋q 2)， 又p ＞0，q ＞0 ? p ＋q ＞0， ∴pq ＞p 2－pq ＋q 2，即(p －q)2 ＜0，矛盾． 高中数学-不等式的解法 考点不等式的解法 1不等式ax>b 若a>0，解集为 ? ? ? ? ? ? x| x> b a；若a<0，解集为?? ? ? ? ? x| x< b a；若a＝0，当b≥0时，解集为?，当b<0时，解集为R. 2一元二次不等式 “三个二次”分三种情况讨论，对应的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0与ax2＋bx＋c<0的解集，可归纳为： 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0Δ＝0Δ<0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)的根 有两相异实根 x＝x1或x＝x2 有两相同实根 x＝x1＝x2 无实根 一元 二次 不等 式的 解集 ax2＋bx＋ c>0(a>0) {x|x 含参数不等式及绝对值不等式的解法 例1解关于x 的不等式：2(1)0x x a a ---> 0)(3 22<++-a x a a x 01)1(2<++-x a ax 02)12(2>++-x a ax 22+≥+ a x ax 11 +>-a x x 11<-x ax ()()02 21>----x a x a 0)2(≥--x x a x 01 2≥--x ax x a x x <- 0)2)(1(1≥----x x k kx 例2: 关于x 的不等式01)1(2 <-+-+a x a ax 对于R x ∈恒成立，求a 的取值范围。 例3：若不等式210x ax ≥＋＋对于一切1(0,)2 x ∈成立，则a 的取值范围. 例4：若对于任意a (]1,1-∈，函数()()a x a x x f 2442-+-+=的值恒大于0，求x 的 取值范围。 例5：已知19≤≤-a ,关于x 的不等式: 0452 <+-x ax 恒成立，求x 的范围。 例 6： 对于∈x （0，3）上的一切实数x,不等式()122-<-x m x 恒成立，求实数m 的 取值范围。 例7：2212<--+x x 1332+<-x x 321+<+x x x x 332≥- 例8、 若不等式a x x >-+-34，对一切实数x 恒成立，求a 的取值范围 若不等式a x x >---34，对一切实数x 恒成立，求a 的取值范围 若不等式a x x <---34有解，求a 的取值范围 若不等式a x x <---34的解集为空集，求a 的取值范围 若不等式a x x <---34解集为R ，求a 的取值范围 《基本不等式的证明》教学设计 【教材分析】 不等关系与相等关系都是客观事物的基本数量关系，是数学研究的重要内容。建立不等观念，处理不等关系与处理等量问题是同样重要的。而基本不等式是本章重要的一个单元，它是证明不等式、求解某些函数的最大值及最小值的理论依据，在解决数学问题和实际问题中应用广泛。基本不等式是高中数学的重要内容之一，在高考说明中等级要求为C级。在不同的章节中都有应用，是培养学生逻辑推理能力和数学应用意识的好素材。本教材特别强调基本不等式的代数与几何背景以及在求最值中的应用。 【学情分析】 学生对函数中求最值，在一元二次不等式中都已经学过接触过有不等式的问题，因此提到不等式最值问题学生也不会陌生。在两个数的算术平均数和几何平均上，我们可以以两个数的等差中项和等比中项来引用这两个概念。这样对两个数据形式上就不会陌生，在初步了解大小关系后在给出概念。但由于学生的基础薄弱，可以预见在探索基本不等式时，寻找不等关系也有一定的困难。 【教学目标】 知识目标：1、知道算术平均数和几何平均数的概念并且能求出两个数的算术平 均数和几何平均数。 2、理解基本不等式的证明过程。 技能目标：1、掌握基本不等式的取等条件，并能用此方法求函数最大值。 2、通过对基本不等式证明的理解，体会三种证明方法，能准确用三种 证明中简单的方法证明其它不等式问题。 3、体会类比的数学思想方法，培养其观察分析问题的能力和总结概括 的能力 情感目标：通过不等式基本性质的探究过程，培养学生合作交流的思维品质，渗透不等式中的数学美，激发学生学习兴趣，陶冶学生的数学情操。 【教学重点】 1、如果a，b是正书，则为a、b的算术平均数；为a、b的几何平均，且有“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”。即定理， （）（当且仅当时取） 2、上面公式中“当且仅当的含义是：当时取等号，即 ； 仅当时取等号，即，综合起来就是的 充要条件。 【教学难点】 1、不等式求函数最值时的取等条件 2、对于公式的变形可求的最大值 2．4一元一次不等式 第1课时一元一次不等式的解法 1．理解一元一次不等式、不等式的解 集、解不等式等概念； 2．掌握一元一次不等式的解法．(重点， 难点) 一、情境导入 1．什么叫一元一次方程？ 2．解一元一次方程的一般步骤是什 么？要注意什么？ 3．如果把一元一次方程中的等号改为 不等号，怎样求解？ 二、合作探究 探究点一：一元一次不等式的概念 【类型一】一元一次不等式的识别 下列不等式中，是一元一次不等 式的是() A．5x－2＞0 B．－3＜2＋ 1 x C．6x－3y≤－2 D．y2＋1＞2 解析：选项A是一元一次不等式，选项 B中含未知数的项不是整式，选项C中含有 两个未知数，选项D中未知数的次数是2， 故选项B，C，D都不是一元一次不等式， 所以选A. 方法总结：如果一个不等式是一元一次 不等式，必须满足三个条件：①含有一个未 知数，②未知数的最高次数为1，③不等号 的两边都是整式． 【类型二】根据一元一次不等式的概 念求值 已知－ 1 3x 2a－1＋5＞0是关于x的一 元一次不等式，则a的值是________． 解析：由－ 1 3x 2a－1＋5＞0是关于x的一 元一次不等式得2a－1＝1，计算即可求出a 的值，故a＝1. 方法总结：利用一元一次不等式的概念 列出相应的方程求解即可．注意：如果未知 数的系数中有字母，要检验此系数可不可能 为零． 探究点二：一元一次不等式的解法 【类型一】一元一次不等式的解或解 集 下列说法：①x＝0是2x－1＜0的 一个解；②x＝－3不是3x－2＞0的解；③ －2x＋1＜0的解集是x＞2.其中正确的个数 是() A．0个B．1个 C．2个D．3个 解析：①x＝0时，2x－1＜0成立，所 以x＝0是2x－1＜0的一个解；②x＝－3时， 3x－2＞0不成立，所以x＝－3不是3x－2 ＞0的解；③－2x＋1＜0的解集是x＞ 1 2，所 以不正确．故选C. 方法总结：判断一个数是不是不等式的 解，只要把这个数代入不等式，看是否成 立．判断一个不等式的解集是否正确，可把 这个不等式化为“x＞a”或“x＜a”的形 式，再进行比较即可． 【类型二】解一元一次不等式 解下列一元一次不等式，并在数 轴上表示： (1)2(x＋ 1 2)－1≤－x＋9； (2) x－3 2－1＞ x－5 3. 解析：按照解一元一次不等式的基本步 不等式性质的应用 不等式的性质是解不等式、证明不等式的基础和依据。教材中列举了不等式的性质，由这些性质是可以继续推导出其它有关性质。教材中所列举的性质是最基本、最重要的，对此，不仅要掌握性质的内容，还要掌握性质的证明方法，理解掌握性质成立的条件，把握性质之间的关联。只有理解好，才能牢固记忆及正确运用。 1．不等式性质成立的条件 运用不等式的基本性质解答不等式问题，要注意不等式成立的条件，否则将会出现一些错误。对表达不等式性质的各不等式，要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说每条性质是否具有可逆性。 例1：若0< B ．a b a 11>- C ．||||b a > D ．22b a > 解：∵0<->-b a 。 由b a -< -11，b a 11>，∴（A ）成立。 由0<< b a ，||||b a >，∴（C ）成立。 由0>->-b a ，2 2 )()(b a ->-，2 2b a >，∴（D ）成立。 ∵0<->-a b a ， )(11b a a --<-，b a a ->11，∴（B ）不成立。 故应选B 。 例2：判断下列命题是否正确，并说明理由。 （1）若0<c ，在2 2c b c a >两边同乘以2 c ，不等式方向不变。∴b a >。 （3）错误。b a b a 1 1，成立条件是0>ab 。 （4）错误。b a >，bd ac d c >?>，当a ，b ，c ，d 均为正数时成立。 2．不等式性质在不等式等价问题中的应用 例3：下列不等式中不等价的是（ ） （1）2232 >-+x x 与0432 >-+x x （2）13 8112++ >++ x x x 与82>x （3）35 7354-+>-+x x x 与74>x （4） 023 >-+x x 与0)2)(3(>-+x x A ．（2） B ．（3） C ．（4） D ．（2）（3） 解：（1）0432232 2 >-+?>-+x x x x 。 （2）482>?>x x ，44,11 3 8112>?>-≠?++>++ x x x x x x 。 4-5证明不等式的基本方法教案(人教A版选修4-5) 教学札记 16 （a —b ）2 _0= a 2 —2ab b 2 _0= a 2 —ab b 2 _ ab 注意到a 0, b . 0 ,即a b 0 , 由上式即得（a - b ）（a 2 -ab - b 2） _ab （a b ），从而 a 3 - b 3 _ a 2b ab 2 成立。 议一议：根据上面的例证，你能指出综合法和分析法的主要特点吗？ a + m a 例3、已知a ，b ，m 都是正数，并且 a ：：： b.求证： （ 1） b 十m b 证法一 要证（1），只需证b （a + m ） a a （b + m ） （2） 要证（2），只需证bm a am （ 3） 要证（3），只需证b > a （ 4） 已知（4）成立，所以（1）成立。 上面的证明用的是分析法。下面的证法二采用综合法。 证法二 因为b - a,m 是正数，所以bm am 两边同时加上ab 得b （a - m ） - a （b - m ）两边同时除以正数 b （b - m ）得（1）。 例4、证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管横截面的周长相等，那么横截面 是圆的水管比横截面是正方形的水管流量大。 分析：当水的流速相同时，水管的流量取决于水管横截面面积的大小。设截面的周长为 占 、2 [L > I ，截面积为兀丄I ;周长为L 的正方形为-，截面积为 Q 兀丿 4 L ,则周长为L 的圆的半径为 2 ■: L 。所以本题只需证明 4 证明：设截面的周长为 L ,则截面是圆的水管的截面面积为 （L Y —I ，截面是正方形的 12兀丿 水管的截面面积为U 。 14丿 只需证明: 为了证明上式成立，只需证明 二 L 2 4- 2 L 2 —。 因此，只需证明 4 ?二。 2．4 一元一次不等式 第1课时 一元一次不等式的解法 1．理解一元一次不等式、不等式的解 集、解不等式等概念； 2．掌握一元一次不等式的解法．(重点，难点) 一、情境导入 1．什么叫一元一次方程？ 2．解一元一次方程的一般步骤是什么？要注意什么？ 3．如果把一元一次方程中的等号改为不等号，怎样求解？ 二、合作探究 探究点一：一元一次不等式的概念 【类型一】 一元一次不等式的识别 下列不等式中，是一元一次不等 式的是( ) A ．5x －2＞0 B ．－3＜2＋1 x C ．6x －3y ≤－2 D ．y 2＋1＞2 解析：选项A 是一元一次不等式，选项B 中含未知数的项不是整式，选项C 中含有两个未知数，选项D 中未知数的次数是2，故选项B ，C ，D 都不是一元一次不等式，所以选A. 方法总结：如果一个不等式是一元一次不等式，必须满足三个条件：①含有一个未知数，②未知数的最高次数为1，③不等号的两边都是整式． 【类型二】 根据一元一次不等式的概念求值 已知－13 x 2a － 1＋5＞0是关于x 的一 元一次不等式，则a 的值是________． 解析：由－13x 2a － 1＋5＞0是关于x 的一 元一次不等式得2a －1＝1，计算即可求出a 的值，故a ＝1. 方法总结：利用一元一次不等式的概念列出相应的方程求解即可．注意：如果未知数的系数中有字母，要检验此系数可不可能为零． 探究点二：一元一次不等式的解法 【类型一】 一元一次不等式的解或解集 下列说法：①x ＝0是2x －1＜0的 一个解；②x ＝－3不是3x －2＞0的解；③－2x ＋1＜0的解集是x ＞2.其中正确的个数是( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 解析：①x ＝0时，2x －1＜0成立，所以x ＝0是2x －1＜0的一个解；②x ＝－3时，3x －2＞0不成立，所以x ＝－3不是3x －2＞0的解；③－2x ＋1＜0的解集是x ＞1 2，所 以不正确．故选C. 方法总结：判断一个数是不是不等式的解，只要把这个数代入不等式，看是否成立．判断一个不等式的解集是否正确，可把这个不等式化为“x ＞a ”或“x ＜a ”的形式，再进行比较即可． 【类型二】 解一元一次不等式 解下列一元一次不等式，并在数 轴上表示： (1)2(x ＋1 2)－1≤－x ＋9； (2)x －32－1＞x －53 . 解析：按照解一元一次不等式的基本步 一个不等式的七种证明方法 证明不等式就是证明所给不等式在给定条件下恒成立.由于不等式的形式是多种多样的,因此,不等式的证明方法也可谓是千姿百态.针对不等式证明,要具体问题具体分析,灵活选用证明方法,提高代数变形,推理论证能力,一题多解,有助于我们对辩证唯物主义观点有进一步的认识. 题目：已知a ,b ,c ,d ∈R ,求证:ac +bd ≤))((2222d c b a ++ 分析一:用分析法 证法一:(1)当ac +bd ≤0时,显然成立. (2)当ac +bd >0时,欲证原不等式成立, 只需证(ac +bd )2≤(a 2+b 2)(c 2+d 2) 即证a 2c 2+2abcd +b 2d 2≤a 2c 2+a 2d 2+b 2c 2+b 2d 2 即证2abcd ≤b 2c 2+a 2d 2 即证0≤(bc -ad )2 因为a ,b ,c ,d ∈R ,所以上式恒成立, 综合(1)、(2)可知:原不等式成立. 分析二:用综合法 证法二: (a 2+b 2)(c 2+d 2)=a 2c 2+a 2d 2+b 2c 2+b 2d 2 =(a 2c 2+2abcd +b 2d 2)+(b 2c 2-2abcd +a 2d 2) =(ac +bd )2+(bc -ad )2≥(ac +bd )2 ∴))((2222d c b a ++≥|ac +bd |≥ac +bd . 故命题得证. 分析三:用比较法 证法三:∵(a 2+b 2)(c 2+d 2)-(ac +bd )2=(bc -ad )2≥0, ∴(a 2+b 2)(c 2+d 2)≥(ac +bd )2 ∴))((2222d c b a ++≥|ac +bd |≥ac +bd , 即ac +bd ≤))((2222d c b a ++. 分析四:用放缩法 证法四:为了避免讨论,由ac +bd ≤|ac +bd |, 可以试证(ac +bd )2≤(a 2+b 2)(c 2+d 2). 由证法1可知上式成立,从而有了证法四. 分析五:用三角代换法 证法五:不妨设???==???==ββ ααsin cos ,sin cos 2 211r d r c r b r a (r 1,r 2均为变量). 则ac +bd =r 1r 2cos αcos β+r 1r 2sin αsin β=r 1r 2cos （α-β） 又|r 1r 2|=|r 1|·|r 2|=))((22222222d c b a d c b a ++=+?+ 及r 1r cos （α-β）≤|r 1r 2| 所以ac +bd ≤))((2222d c b a ++. 分析六:用换元法高中数学 《基本不等式的证明》教案 苏教版必修
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