数学探究性题目七例
1．时钟上的数学
我们每个同学家里都有大大小小的钟，绝大部分钟都有时针、分针、秒针，时时刻刻都可以听到它们不停的“滴答、滴答”走动的声音，当然他们的走动有快有慢，秒针最快，时针最慢，不知你有没有注意到它们之间的一些数学关系？
为了使问题简单起见，我们假设所讨论的时钟只有时针和分针。
问题：在一天之内时针和分针重合多少次？每次发生在什么时候？
什么时候两针互相垂直？
什么时候两针在一条直线上？
如果时针和分针交换它还能表示某一时刻的时间么？
希望大家在解决以上问题之后讨论一下是否还有其他有趣的问题。
2．揭穿转摊的骗术
在车站，码头附近有时会看到一些碰运气、赌输赢的地摊，这些地摊大多引诱来往过路旅客，用骗术骗取他们的钱财。转摊就是其中之一。
摊主在一个固定的圆盘上划出若干扇形区域，并顺次标上号码1，2，3，4，5，6，。。。。。。。，在每一奇数扇区上放上值钱的物品，如名酒，中华香烟等，而在每一个偶数区域上放着廉价的物品，如糖块，小食品等。圆盘中心安装一根可以转动的轴，轴的顶端有一根悬臂，臂端吊一根线，线头上系一根针。你如果付给摊主一元钱，就可以随便转动一次，当悬臂停止转动时，针就停在某一区域，按照摊主制订的规则，这一格上的数是几，就从下一格
起，按顺时针方向数出几，最后数到哪一格，那一格中的物品就归你，例如：当针指向“6”时，就要从“7”数起，顺时针方向数出“6”，最后应该数到“12”这一格。
参加这种赌博的人认为，圆盘中奇数、偶数格占一半，输赢得机会各占一半，于是就去碰碰运气，然而，不管转多少次，最后总是数到偶数区域中，你只能用自己的很多钱换来几粒糖果等廉价物品。为什么大家的“运气”都这样不好，你能用数学知识解开这个迷吗？
类似的还有
1．音乐教室里有7排座位，每排7把椅子，每把椅子上坐一名学生，教师每月都要将座位调换一次，张明同学提出建议：每次交换时，每一名同学都必须与她相邻（前、后、左、右）的某一个同学交换位置，以示公平。
教师告诉他，这样交换座位不可能做到，你能解释其中的原因吗？
2．机灵的小白鼠
大花猫是捕鼠能手，每天能抓到不少老鼠，但它在吃老鼠以前先要叫老鼠列队报数，第一批吃掉报单数的；剩下的重新报数，第二批大花猫仍然吃掉单数；第三批也是如此。。。。。最后剩下的一只老鼠可以被保留，与第二天抓来的老鼠一起重新排队报数。
后来，发现了一件极有趣的事情，大花猫发现，一连好几天，最后被留下的总是一只机灵的小白鼠。
大花猫问小白鼠：“你想了什么办法，能每天都留下呢？”
小白鼠说：“尊敬的大花猫先生，每天排队前我都先数一数你抓到了多少只老鼠，然后，我站在一个相应的位置，就可以留下来了。”
大花猫听了小白鼠的详细回答，很感慨地说：“没想到害人的老鼠里居然也有你这样聪明的小白鼠呀！”
小白鼠行了个礼，恭敬地说：“尊敬的大花猫先生，不瞒您说，我并不是害人的老鼠，我是从科学家的实验室了溜出来玩的，你放我回去，好吗？”
大花猫高兴的放它回去，临别的时候，大花猫还感谢小白鼠给它上了一堂生动的数学课呢！
你知道吗，小白鼠每天应站在什么位置才能不被大花猫吃掉？
3．直觉并不一定可靠
一个唱片商店里，每天准备两种唱片，其中30张老式硬唱片，一元钱可卖两张，另外30张一元可卖三张，有一天，这60张唱片全卖完了，前30张卖了15元，后30张卖了10元，总共卖了25元。
第二天，老板又拿出与昨天一样的60张唱片，售货员想：何必自找麻烦，分开来买呢？何不把这60张唱片混在一起，按两元钱五张来卖，还不是一回事。
商店关门时，60张唱片全按两元钱五张卖出去了，可是，售货员点钱时，发现只卖了24元，而不是25元，这使他很吃惊，这一元钱到哪里去了？我并没有给顾客找错钱啊？
看来把两种唱片放在一起，按五张两元的卖法，和分开来一种卖两张一元，另一种三张一元，两种卖法并不相同。
由于两者之间的差别很小，以至于很难发现。问题出在哪里了？
现在让我们再看一个问题，在桌子上放着同样大小的两只玻璃杯，一杯装着红果汁，一杯装着桔子汁，两个杯子里的液体一样多。小华问小红：“如果我用小勺从第一个杯子
中舀出一勺红果汁，倒入第二个杯子中，搅匀后，再从第二个杯子中舀一勺混合液，倒回第一个杯子中，那么这时是红果汁中的桔子汁多呢？还是桔子汁中的红果汁多呢？”
“当然是红果汁中的桔子汁多了！”小红很有理由地说：“因为你倒入桔子汁中的是一勺纯红果汁，而倒回去的是一勺两者都有的混合液。”
你认为小红的回答正确吗？
4. 设计方案（字母表示数的功劳）
某公司计划砌一个如图（1）喷水池，后来有人建议改为如图（2）的形状且外圆直径不变，只是担心原来备好的材料不够，如果把这个问题向你提出，你将如何回答呢？
或许你会大驾亲临现场，量一量直径，在算一算周长，最后做出结论。
思考1：如果把三个小圆改为几个小圆，又会有什么结果呢？
思考2：如果把图1中的两个圆池改成一个大圆池，如图3，用料相同，大圆池的直径与两个小圆池的直径有什么关系？
思考3：如果在图3这个大圆池外面一米远处建一个不锈钢防护栏（图4）这个防护栏的周长比大圆池的周长长多少米？
思考4：如果把地球的赤道看成一个圆，假设在地球赤道上有一个铁箍，现在要把铁箍向外扩张一米，需增加多长的铁丝？
5．“鬼迷路”现象
三个旅行家在一个雪夜里为了抄近路放弃了大路，从宽4千米的山谷中穿过，他们走了很久，按时间计算应该到达目的地了，但每次总是莫名奇妙的回到出发点附近，最后不得不在山谷中坐等天明，这就是迷信中所说的“鬼迷路”。你能用数学知识解开这个迷吗？
6．燃气站的最佳位置
在公路沿线的同一侧有100户居民，根据居民的要求要设置一个燃气供应站，要使100户居民到供应站的距离之和最小。请你用数学知识设计这个供应站的位置。
7．校运会的名次
在某学校举行的一次运动会上，初中各班的成绩如下：
（1）尽可能多的设计各种班级总分的记分原则，确定各班的总分名次。（2）试比较你设计的各种记分原则的优劣。
数学探究形题目的答案
1．时钟上的数学
答案：这类问题实际上是分针追时针的追击问题，它的公式是：
t= ，S=60（格），分针速度：V1=1格/分，时针速度：V2= 格/分，
所以，计算得到t=65 分，
根据以上计算，每隔65 分时针和分针重合一次。
即，从12点开始，每经过65 分，时针与分针重合一次，
全天共重合。
问题2：时针和分针垂直
方法一样：S=30格(这时两针垂直)，分针速度：V1=1格/分，时针速度：V2= 格/分，
t= = 分
所以：，所以一天中共发生垂直44次。
问题3：如果时针与分针调换后，能否正确表示时间？
答案是否定的，除了两针重合时能正确表示时间外，表针在其它位置均无法表示时间。
2. 揭穿转摊的骗术
如果转到奇数格，那么下一个格就为偶数，从偶数格开始按顺时针方向数奇数个；
·偶数+奇数-1=奇数-1=偶数；
·如果转到偶数格，那么下一个格就为奇数，从奇数格开始按顺时针方向数偶数个；
·奇数+偶数-1=奇数-1=偶数；
提出问题：如果按逆时针方向转动，此结论是否成立？
·如果转到了奇数格，那么下一个格就为偶数，从偶数格开始按逆时针数奇数个；
·偶数-奇数+1=奇数+1=偶数；
·如果转到了偶数格，那么下一个格就为奇数，从奇数格开始按逆时针数偶数个；
·奇数-偶数+1=奇数+1=偶数；
·可见，无论按顺时针还是逆时针转，最后的结果一定都为偶数。
类似问题答案举例：
1. 音乐教室里有7排椅子，每排7把，每把椅子上坐着一个学生，老师每月都要将座位调换一次。张明同学向老师提建议，每次交换时，每个同学都必须与他相邻（前、后、左、右）的某一个学生交换座位，以示公平。老师告诉他，这样交换座位不可能做到。
为了便于分析，我们可借助于下图，且用黑白染色帮助分析。
我们把每一个黑、白格看作是一个座位。从图中可知，已在黑格“座位”上的同学要换到白格上；已在白格“座位”上的同学要换到黑格上。因此，要使每人换为邻座位，必须黑、白格数相等。从上图可知：黑格有25个，白格有24个，25≠24，因此，不可能使
每个座位的人换为邻座位。
2. 机灵的小白鼠
答案：每天首次排队时站在第2k位置上的老鼠就不会被大花猫吃掉。2k是小于首次排队老鼠总数的最大的数。
解法：将老鼠进行编号1、2、3、...，并按从小到大顺序排队。此时，老鼠的编号与老鼠站位号有一一对应关系。假设老鼠的编号为X，老鼠的站位号为Y，X和Y都是自然数。
则首次排队时，老鼠的编号与老鼠站位号的对应关系是：X=Y。
X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 …
Y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 …
大花猫第1次吃掉报单数的老鼠，剩下报双数的老鼠，也就是吃掉站在奇数位上的老鼠，留下站在偶数位上的老鼠。当重新排队时，剩下老鼠的编号不变，但它的站位号发生了变化，其一一对应的关系为：X=2Y。
X 2 4 6 8 10 …
Y 1 2 3 4 5 …
大花猫第2次吃掉报单数的老鼠，剩下报双数的老鼠。当重新排队时，剩下老鼠的编号仍然不变，它的站位号又发生了变化，一一对应关系也变为：X=4Y，即X=22Y。
X 4 8 12 16 20 24 …
Y 1 2 3 4 5 6 …
大花猫第3次吃掉报单数的老鼠，剩下报双数的老鼠。当重新排队报数时，老鼠的编号仍然不变，它的站位号又发生了变化，一一对应关系变为：X=8Y，也就是X=23Y。
X 8 16 24 32 …
Y 1 2 3 4 ...
以此类推，当大花猫第4次吃掉报单数的老鼠，剩下报双数的老鼠。重新排队后，老鼠编号和站位号之间的对应关系为：X=16Y，也就是X=24Y。第5次后，老鼠编号和站位号之间的对应关系为：X=25Y。第6次后，老鼠编号和站位号之间的对应关系为：X=26Y。…第n次后，X=2n Y。
可见，每次大花猫吃掉报单数老鼠，重新排队后，X与Y之间的关系按2的指数增长。当最后剩下1个老鼠时，它站位号是1，编号是2K，k是大花猫吃老鼠的总次数。
由于首次排队时，老鼠的编号和它的站位号相同（X=Y），所以，最后剩下的那个老鼠首次排队时站在第2K位上。每天首次排队时站在第2K位置上的老鼠就不会被大花猫吃掉。2K是小于首次排队老鼠总数的最大的数。
3. 直觉并不一定可靠
为什么出现这种情况呢？这时，我们对此作一个分析。贵的唱片是一元钱两张，即每张元；便宜的唱片是一元钱三张，即每张元，则唱片的平均价格是每张
元。第二天，把两种唱片合在一起，每五张卖两元，每张唱片的价格就变成了2÷5＝元。比第一天唱片的平均价格少了＝元。60张唱片正好少了一元钱。
类似问题答案举例：
答案：一样多。我们考察第二次那匙桔子水，因为它和第一匙体积相等，都设为m。假设这匙混合液中红果汁所占体积为n，那么倒入第一杯红果汁的桔子水的体积为m-n。
第一次到入桔子水的红果汁为m，第二次舀出n体积红果汁，则桔子水里还剩m-n体积红果汁。所以红果汁杯里的桔子水和桔子水杯里的红果汁一样多。
4. 设计方案（字母表示数的功劳）
答案：不妨设大圆的直径是d，周长是c，三个小圆的直径是d1，d2，d3，周长为：c1，c2，c3，则有c=πd=π(d1+d2+d3)=πd1+πd2+πd3=c1+c2+c3，可见，图（2）中大圆周长与三个小圆周长的和相等，即两种方案所用材料一样多。
思考1的结论由上面结论可以得出：所用材料一样多。
思考2的结论由上面结论可以得出：如果改为一个大圆，则大圆的直径等于两个小圆直径的和。
思考3：设大圆池的直径是d，则防护栏的直径是（d+2），
大圆池的周长是c1=πd；防护拦的周长是c2=π(d+2)=πd+2π=c1+2π，即这个防护栏的周长比大圆池的周长长2π米（大约6.3米）。
思考4的结论类似于思考3，大约6.3米。
5．鬼迷路”现象
答案：实际上，这些人走了一个圆。人走路时，两脚之间有一定的距离，大约是0.1米，每一步的步长大约是0.7米，由于每个人两脚的力量不可能完全一致，因此迈出的步长也就不一样，若在白天要沿直线行走，我们会下意识的调整步长，保证两脚所走过的路程一样长。当在夜间行走辨不清方向时，就无意识调整步长，走出若干步后两脚所走路程的长就有一定差距，自然就不是沿直线行走，而是在打“圆圈”，这就是“鬼迷路”现象。
6．燃气站的最佳位置
答案：因为这些用户沿着公路排列，我们看成是一条直线。
当总户数有奇数个时，供应站应在最中间一户。
当总户数有偶数个时，供应站应在最中间两户间任意一点。
7．校运会的名次
（1）以下几种方案供参考：
①按金牌总数的多少排名，当金牌数相同时，根据银牌数确定名次，以此类推排名。
②根据得名次的人次总数(不论第几名)排名。
③根据得奖牌的人次总数(不论金、银、铜牌)，如果得奖牌的人次总数相同，则根据得四、五、六名的人次总数确定名次排名。
④每得1枚金牌计3分，银牌计2分，铜排计1分，按得分总数排名。
⑤每得一枚金牌计7分，银牌计5分，铜牌计4分，第四名计3分，第五名计2分，第六名计1分，按得分总和排名。
（2）方案①是一种鼓励优秀的政策在世界性体育比赛中媒体记者对各国的排名大多采用这种方法。但是校运动会毕竟是一种群众性的体育比赛，鼓励大家积极参与是很重要的，方案②就是一种鼓励参与的政策，但是将第六名同金牌等同起来，这无论如何不能令人信服。方案③试图将①②两种方法进行折衷，但仍未彻底解决它们的弊病，方案④和⑤同时考虑到对优胜者与参与者的鼓励，使用数学中的“加权平均数”来作为衡量指标，是不错的方案。