实验10 符号计算基础与符号微积分
（第7章 MATLAB 符号计算）
一、实验目的
二、实验内容
1. 利用符号表达式求值
已知x=6,y=5，利用符号表达式求
z =
提示：定义符号常数x=sym(‘6’)，y=sym(‘5’)。
程序及运行结果（建议在命令窗口输入命令并运行）：
2. 分解因式
(1) x 4-y 4 (2) 5135
程序及运行结果（建议在命令窗口输入命令并运行）：
《数学软件》课内实验
王平
3. 化简表达式
21212
483(1)sin cos cos sin (2)
21x x x ββββ++-+
4. 符号矩阵运算
已知
12010100100,010,001101a b c P P A d e f g h k ????
??
??????===??????
????????????
完成下列运算：
(1) B=P 1·P 2·A 。 (2) B 的逆矩阵并验证结果。 (3) 包括B 矩阵主对角线元素的下三角阵。 (4) B 的行列式值。
5. 用符号方法求下列极限或导数
sin tan 301(1)2(1)1cos(2)(1)lim (2)lim ,',''sin x x x x x e e x y y y x x +→→-+---=求
3222(4),,,
cos ln x a t dA d A d A
A dx dt dxdt t x x ??=????
已知分别求
程序及运行结果（建议在命令窗口输入命令并运行）：
2222
0,1
(5)(,)(2),,
x y xy
x y y f f x y x x e
x x y
---==??=-???已知求
6. 用符号方法求下列积分
48(1) (2)1dx x x ++?
程序及运行结果（建议在命令窗口输入命令并运行）：
ln 2240
01
(3) (4)(1)1
x x x dx e e dx x +∞+++?? 程序及运行结果（建议在命令窗口输入命令并运行）：
三、实验提示
四、教程：第7章 MATLAB 符号计算(1/2)
7.1 符号计算基础 p192 7.1.1 符号对象
1. 建立符号变量和符号常量
(1) sym 函数
符号量名=sym('符号字符串')
? 建立单个符号字符串。
? 符号字符串可以是常量、变量、函数或表达式。
? 符号变量参与运算前无须赋值，其结果是一个由参与运算的变量名组成的表达式。
例（符号变量与数值变量）p192
例（符号常量与数值常量）p193
符号常量与数值常量在代数运算时的差别。
(2) syms命令
syms 符号变量名1 符号变量名2 …?定义多个符号变量。
?不要在变量名上加字符串分界符(')。
?变量间用空格而不用逗号分隔。
2. 建立符号表达式
含有符号对象的表达式称符号表达式。
3种方法：
(1)用单引号。
(2)用sym函数。
(3)用已经定义的符号变量。
例（建立符号表达式）p194
7.1.2 基本的符号运算p194
1．符号表达式的四则运算
符号表达式的四则运算与数值运算一样，用+、-、*、/、^运算符实现，运算结果依然是符号表达式。
2．符号表达式的提取分子和分母运算
[n,d]=numden(s)
提取符号表达式s的分子和分母，分别将它们存放在n与d中。
例（提取分子分母运算）p196
3．符号表达式s的因式分解与展开 factor(s) 分解因式
expand(s)展开
collect(s)合并同类项
collect(s,v)按变量v合并同类项
例（因式分解与展开）p197
4．符号表达式的化简
simplify(s) 应用函数规则化简。
simple(s) 调用MATLAB的其他函数综合化简，并显示化简过程。例（化简）p197
>> s=log(2*x/y+1/y);
5．符号表达式与数值表达式之间的转换
sym 数值表达式变换成符号表达式。
eval 符号表达式变换成数值表达式。
例（符号表达式与数值表达式之间的转换）p198
7.1.3 符号表达式中变量的确定p198
findsym(s,n)
?查找一个符号表达式s中的n个符号变量。
?若没有指定n，返回全部符号变量。
应用：
?在求极限、导数和积分时，若未指定自变量，则按默认原则确定变量。?可用findsym(s,1)查找系统的默认变量。
?按离x最近原则确定默认变量。
例（查找符号变量）p199
例（默认变量）p199
7.1.4 符号矩阵 p199
transpose(s) 返回s 矩阵的转置矩阵。
diag 、triu 、tril 、inv 、det 、rank 、eig 等。
例（符号矩阵）p199
利用sym 函数建立符号矩阵并化简。
33222
sin cos 15378
5a b m xy x x y αα??
-+?
?=-????-??
例（符号矩阵函数）p200
例7.1（符号矩阵）求解齐次线性方程组p200
当λ取何值时，齐次线性方程组：
12312312
3(1)2402(3)0(1)0
x x x x x x x x x λλλ--+=??
+-+=??++-=?
表 符号计算基础函数p192~201
7.2 符号函数及其应用 p201 7.2.1 符号函数的极限
(1) limit(f,x,a)：x 趋近于a 时的极限。
(2) limit(f,a)：系统默认变量趋近于a 的极限。
(3)limit(f)：系统默认变量趋近于0的极限。
(4)limit(f,x,a,'right')：x从右边趋近于a的极限。
(5)limit(f,x,a,'left')：x从左边趋近于a的极限。例7.2 求下列极限
p201
sin()sin() (1)(2)lim
(3)lim)(4)lim
x a x
x x a
x a x a
x
x x
+
→→
→+∞→
+--
7.2.2 符号函数求导及其应用p202
(1)diff(s)：默认变量对s求一阶导数。
(2)diff(s,'v')：v对s求一阶导数。
(3)diff(s,n)：默认变量对s求n阶导数。
(4)diff(s,'v',n)：v对s求n阶导数。
s为符号表达式。
例7.3 求下列函数的导数p202
'''''
2
2222'' (1)'(2)cos,'','''
cos
(3),,(4),,
sin
(5)(,),
y
x x x y
x y y y y x x
y y
x a t xe
y y z z z y a t y
z f x y x y z a z
==
=
?
=
?
=
?
=++=
求求
求求
由方程定义,求z
例7.4 在曲线y=x3+3x-2上哪一点的切线与直线y=4x-1平行p203
表 符号函数的极限和导数p201~204
7.3 符号积分 p204 7.3.1 符号函数的不定积分
(1) int(f)：按默认变量对被积函数或符号表达式f 求不定积分。
(2) int(f,v)：以v 为自变量，对被积函数或符号表达式f 求不定积分。
例7.5 求下列不定积分p204
2322
(1)(3)(2)sin 5(3)(4)1t
x dx xdx xt
e dt
dt
x α-+????
7.3.2 符号函数的定积分p205
int(f,v,a,b)
求被积函数f 在区间[a,b]上的定积分。
a 和
b 可以是两个具体的数，也可以是一个符号表达式，还可以是无穷(inf)。 ? 当f 关于变量v 在[a,b]上可积时，返回一个定积分结果。 ? 当a,b 中有一个是inf 时，返回一个广义积分。
当a,b 中有一个符号表达式时，返回一个符号函数。
例7.6 求下列定积分p205
2
2
13
3sin 10221
(1)|1|(2)14(3)(4)(1)x x dx
dx
x x x dx dt
x t +∞
-∞-+-??
??
例7.7 求椭球的体积p205
222
222
1x y z a b c ++= 用平面Z=z0(z0≤c)去截取上述椭球时，其相交线是一个椭球，该椭球在xy 平面投影的面积是：
222
()
()ab c z s z c π-=
椭球的体积：()c
c
V s z dz -=
?
例7.8 求空间曲线c 从点(0,0,0)到点(3,3,2)的长度p206
设曲线c 的方程是：
23332x t y t z t =??=??=?
求曲线c 的长度是曲线一型积分问题。 曲线的起点和终点分别对应t=0和t=1。 曲线积分转化为定积分的公式是：
1
(,,)((),(),(c
f x y z f x t y t z t =
??
7.3.3 积分变换p206
积分变换是通过积分运算把一个函数f （原函数）变成另外一个函数F （像函数）。 变换过程是：
()()(,)b
t
F t f x K x t dx =?
其中K(x,t)称为变换的核，它决定变换的不同名称。
应用：
? 若难从原方程求解f ，则对原方程变换；
? 若从变换后的方程中求解F ，则对F 逆变换； ? 得原方程的解f 。
1. 傅里叶（Fourier ）变换
当K(x,t)=e -itx （i 为虚数单位）时，称
()()itx F t f x e dx +∞
--∞
=?
为傅里叶变换，其逆变换为
1()()2itx f x F t e dx π
+∞
-∞
=
?
(1) fourier(f,x,t)：求f(x)的像函数F(t)。 (2) ifourier(F,t,x) ：求F(t)的原函数f(x)。
例7.9 求函数y=|x|的傅里叶变换及其逆变换p207
2. 拉普拉斯（Laplace ）变换
当K(x,t)=e -tx 时，称
()()tx F t f x e dx +∞
-=?
为拉普拉斯变换，其逆变换为
()()tx f x F t e dx +∞
=?
(1) laplace(f,x,t)：求f(x)的像函数F(t)。 (2) ilaplace(F,t,x) ：求F(t)的原函数
f(x)。
例7.10 计算y=x2的拉普拉斯变换及其逆变换p207
3. Z 变换
当f(x)呈现为一个离散数列f(n)时，称
()()n n F z f n z +∞
-==∑
为Z 变换，其逆变换为
1
1()()2n f n F z z dz i
π-Γ
=
? (1) ztrans(fn,n,z)：求fn 的像函数F(z)。
(2)ztrans(Fz,z,n)：求Fz的原函数f(n)。
例7.11 求数列fn=e-n的Z变换及其逆变换p208
表符号积分函数p204~208
数学符号及读法大全 常用数学输入符号：≈≡≠＝≤≥＜＞≦≧∷±＋－× ÷／∫?∝∞??∑∏∪∩∈∮?//?‖∟?≌∽√（）【】｛｝ⅠⅡ⊕?∠αβγδεδεζΓ
i -1的平方根 f(x) 函数f在自变量x处的值 sin(x) 在自变量x处的正弦函数值 exp(x) 在自变量x处的指数函数值，常被写作e x a^x a的x次方；有理数x由反函数定义 ln x exp x 的反函数 a x同 a^x log b a 以b为底a的对数； b log b a = a cos x 在自变量x处余弦函数的值 tan x 其值等于 sin x/cos x cot x 余切函数的值或 cos x/sin x sec x 正割含数的值，其值等于 1/cos x csc x 余割函数的值，其值等于 1/sin x asin x y，正弦函数反函数在x处的值，即 x = sin y acos x y，余弦函数反函数在x处的值，即 x = cos y atan x y，正切函数反函数在x处的值，即 x = tan y acot x y，余切函数反函数在x处的值，即 x = cot y asec x y，正割函数反函数在x处的值，即 x = sec y acsc x y，余割函数反函数在x处的值，即 x = csc y ζ角度的一个标准符号，不注明均指弧度，尤其用于表示atan x/y，当x、y、z用于表示空间中的点时 i, j, k 分别表示x、y、z方向上的单位向量 (a, b, c) 以a、b、c为元素的向量 (a, b) 以a、b为元素的向量 (a, b) a、b向量的点积 a?b a、b向量的点积 (a?b) a、b向量的点积 |v| 向量v的模 |x| 数x的绝对值 Σ 表示求和，通常是某项指数。下边界值写在其下部，上边界值写在其上部。 如j从1到100 的和可以表示成：。这表示1 + 2 + … + n M 表示一个矩阵或数列或其它 |v> 列向量，即元素被写成列或可被看成k×1阶矩阵的向量 第4章微积分的基本运算 本章学习的主要目的： 1．复习高等数学中有关函数极限、导数、不定积分、定积分、二重积分、级数、方程近似求解、常微分方程求解的相关知识. 2．通过作图和计算加深对数学概念：极限、导数、积分的理解. 3．学会用MatLab软件进行有关函数极限、导数、不定积分、级数、常微分方程求解的符号运算； 4．了解数值积分理论,学会用MatLab软件进行数值积分;会用级数进行近似计算. 1 有关函数极限计算的MatLab命令 (1)limit(F,x,a) 执行后返回函数F在符号变量x趋于a的极限 (2)limit(F,a) 执行后返回函数F在符号变量findsym(F)趋于a的极限 (3)limit(F) 执行后返回函数F在符号变量findsym(F)趋于0的极限 52 53 (4)limit(F,x,a,’left’) 执行后返回函数F 在符号变量x 趋于a 的左极限 (5)limit(F,x,a,’right’) 执行后返回函数F 在符号变量x 趋于a 的右极限 注:使用命令limit 前,要用syms 做相应符号变量说明. 例7 求下列极限 (1)42 20 x cos lim x e x x -→- 在MatLab 的命令窗口输入: syms x limit((cos(x)-exp(-x^2/2))/x^4,x,0) 运行结果为 ans =-1/12 理论上用洛必达法则或泰勒公式计算该极限: 方法1 =-+-=---=-- - →- →-→2 2 222 20 x 3 22 x 4 2 20 x 12cos lim 4) (sin lim cos lim x x e e x x x e x x e x x x x x 12112112)2(2 lim 1211cos lim 222 220x 2 2 22220 x -=--+=--++-- →- - →x x x e x x x x x e e x 方法2 4 42 224420x 4 2 20 x ))(2) 2()2(1()(!421lim cos lim x x o x x x o x x x e x x +-+---++-=-→- → 初中化学课堂演示实验的有效教学 【摘要】通过演示实验，学生容易接受新知识，了解正确使用仪器及试剂的方法和操作过程，进行正确实验操作。演示实验是化学教学中最常用的直观手段之一。 【关键词】初中化学演示实验有效教学 化学是以实验为基础的自然科学，实验教学是提高教学质量的重要方面，是培养学生能力、提高综合素质的重要手段。课堂演示实验，特点是操作简便，现象明显，有较强的直观性与示范性。通过演示实验，学生容易接受新知识，了解正确使用仪器及试剂的方法和操作过程，进行正确的实验操作。因此，演示实验是化学教学中最常用的直观手段之一。 一、进行演示实验有效教学的几个原则 1.准备充分 首先要熟悉教材、实验内容和实验步骤，明确实验目的，考虑如何引导学生观察什么，如何观察。切莫使演示实验成了“魔术表演”。演示实验即是最简单的实验，教师在课前都要试做两次，对于反应温度、溶液浓度、药品用量要做到心中有数，要保证万无一失。演示实验所需药品和仪器要列个清单，不遗漏，缺一样影响实验的进程，影响学生情绪。 2.操作规范 演示实验中，教师举动是学生独立操作的依据和榜样，起示范作用。教师操作按规定进行，有条不紊。演示桌上要整洁，无关的东西不要放在桌上，以免影响观察。试剂取用要适当，多了浪费，少了现象不明显或造成实验失败。 现象要明显，使每生都看得清楚。现象不明显，学生看不到，影响课堂纪律，达不到应有效果。如何使现象明显，学生能看得见，要动脑筋，可根据产物颜色选择放在实验仪器后面的衬托物，帮助学生观察。 3.注意安全 发生事故，谁受伤都会造成不良影响。制取有毒气体，要检查装置的气密性。对易燃、易爆（如爆鸣气）更加小心。 二、抓住演示实验的目的进行有效教学 1.传授新知识的演示实验 常用数学输入符号：≈ ≡ ≠ ＝≤≥ ＜＞≮≯∷ ±＋－× ÷／∫ ∮∝∞ ∧∨∑ ∏ ∪∩ ∈∵∴//⊥‖ ∠⌒≌∽√（）【】｛｝ⅠⅡ⊕⊙∥αβγδεζηθΔ αβγδεζηθικλμνξοπρστυφχψω ΑΒΓΔΕΖΗΘΙΚ∧ΜΝΞΟ∏Ρ∑ΤΥΦΧΨΩ абвгдеёжзийклмнопрстуфхцчшщъыьэюя АБВГДЕЁЖЗИЙКЛМНОПРСТУФХЦЧШЩЪЫЬЭЮЯ exp(x) 在自变量x处的指数函数值，常被写作e x a^x a的x次方；有理数x由反函数定义 ln x exp x 的反函数 a x同a^x log b a 以b为底a的对数；b log b a = a cos x 在自变量x处余弦函数的值 tan x 其值等于sin x/cos x cot x 余切函数的值或cos x/sin x sec x 正割含数的值，其值等于1/cos x csc x 余割函数的值，其值等于1/sin x asin x y，正弦函数反函数在x处的值，即x = sin y acos x y，余弦函数反函数在x处的值，即x = cos y atan x y，正切函数反函数在x处的值，即x = tan y acot x y，余切函数反函数在x处的值，即x = cot y asec x y，正割函数反函数在x处的值，即x = sec y acsc x y，余割函数反函数在x处的值，即x = csc y θ角度的一个标准符号，不注明均指弧度，尤其用于表示atan x/y，当x、y、z用于表示空间中的点时 i, j, k 分别表示x、y、z方向上的单位向量 (a, b, c) 以a、b、c为元素的向量 (a, b) 以a、b为元素的向量 (a, b) a、b向量的点积 a?b a、b向量的点积 (a?b)a、b向量的点积 |v| 向量v的模 |x| 数x的绝对值 Σ表示求和，通常是某项指数。下边界值写在其下部，上边界值写在其上部。如j从1到 100 的和可以表示成：。这表示1 + 2 + … + n M 表示一个矩阵或数列或其它 |v> 列向量，即元素被写成列或可被看成k×1阶矩阵的向量 常用数学符号大全 1 几何符号 ?ⅷⅶ????△ 2 代数符号 ⅴⅸⅹ～∫ ≠ ≤ ≥ ≈ ∞ ? 3运算符号 ×÷√ ± 4集合符号 ??ⅰ 5特殊符号 ∑ π（圆周率） 6推理符号 |a| ??△ⅶ??≠ ? ±≥ ≤ ⅰ????↖↗↘↙ⅷⅸⅹ &; § ??←↑→↓??↖↗ Γ Δ Θ Λ Ξ Ο Π Σ Φ Χ Ψ Ω α β γ δε δ ε ζ η θ ι κ λ μ ν π ξ ζ η υ θ χ ψ ω 1 几何符号 ?ⅷⅶ????△ 2 代数符号 ⅴⅸⅹ～?????ⅵ? 3运算符号 ×÷ⅳa 4集合符号 ??ⅰ 5特殊符号 ⅲπ（圆周率） 6推理符号 |a| ??△ⅶ????a??ⅰ ? ???↖↗↘↙ⅷⅸⅹ &; § ??←↑→↓??↖↗ ΓΓΘΛΞΟΠ?ΦΥΦΧ αβγδεδεζηθικλ μνπξζηυθχψω Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ Ⅷ Ⅸ Ⅹ Ⅺ Ⅻ ﹪ ﹫ ? ? ? ? ? ? ? ? ⅰⅱⅲ?ⅳⅴⅵ? ⅶ?ⅷⅸⅹ???? ??????????????????? ??? 指数0123：o123 上述符号所表示的意义和读法（中英文参照） ＋ plus 加号；正号 － minus 减号；负号 a plus or minus 正负号 × is multiplied by 乘号 ÷ is divided by 除号 ＝ is equal to 等于号 ? is not equal to 不等于号 ? is equivalent to 全等于号 ? is approximately equal to 约等于 ? is approximately equal to 约等于号＜ is less than 小于号 ＞ is more than 大于号 ? is less than or equal to 小于或等于? is more than or equal to 大于或等于％ per cent 百分之… ⅵ infinity 无限大号 ⅳ (square) root 平方根 X squared X的平方 X cubed X的立方 ? since; because 因为 ? hence 所以 ⅶ angle 角 ? semicircle 半圆 ? circle 圆 ? circumference 圆周 △ triangle 三角形 ? perpendicular to 垂直于 ? intersection of 并，合集 ? union of 交，通集 实验7微积分基本运 算 实验7 微积分基本运算 一、实验目的 学会用MATLAB 软件求高等数学中函数的极值、微分、积分的方法. 二、实验内容与要求 1.函数的的极限 格式：limit(F,x,a) %计算符号表达式F=F(x)的极限值，当x →a 时； limit(F,x,a,’right ’) %计算符号表达式F 的右极限，当x →a +时。 limit(F,x,a,’left ’) %计算符号函数F 的左极限，当x a -→时。 【例1.61】 >> syms x a t h n; >> L1=limit((cos(x)-1)/x) %缺省状态下，计算当x →0时的极限值 error!!!!!!!!! >> L2=limit(1/x^3,x,0,'right') >> L3=limit(1/x,x,0,'left') >> L4=limit((log(x+h)-log(x))/h,h,0) >> v=[(1+a/x)^x,exp(-x)]; >> L5=limit(v,x,inf,'left') >> L6=limit((1+2/n)^(3*n),n,inf) 计算结果为： L1 = L2 = Inf L3 = -Inf L4 = 1/x L5 = [ exp(a), 0] L6 = exp(6) 2.求单变量函数的极值 格式：fmin(F,a,b) %计算在区间a-b 上函数F 取最小值时的x 的值. 说明：在5.3及5.3以上版本命令fmin 已改fminbnd,常用格式如下. X=fminbnd(F,a,b) %计算在区间a-b 上函数F 取最小值时的x 的值. [x,fval]=fminbnd(F,a,b)%计算在区间a-b 上函数F 的最小值fval 和对应 的x 值。 【例1.62】 求函数f(x)=3226187x x x --+在区间（-2,4）的极小值，并作图. 谈谈化学课堂演示实验 化学是一门以实验为基础的自然科学。化学实验在化学教学中具有魅力，对激发学生兴趣、培养学生各种能力和提高教学质量有着极其重要作用。教师用演示的方法，结合课堂教学进行的化学实验——化学课堂演示实验，其特点是操作简便、现象明显，具有较强的直观性与示范性。通过演示实验，不仅可以使学生比较容易地接受新知识，还可以使学生了解正确使用仪器及试剂的方法和操作过程，以便日后独立进行实验时能够使用或容易学会使用这些仪器和试剂，并进行正确的实验操作。因此，演示实验是化学教学中最常用的直观手段之一。从演示实验的目的看，可以把演示实验分成传授新知识的演示实验、验证或巩固所学知识的演示实验及指导性的演示实验三种类型。 一、传授新知识的演示实验 这是一个由特殊到一般的学习过程。教师在演示时，先讲述实验原理、条件及注意事项；当学生观察到实验现象后，教师再通过谈话启发学生对所观察到的现象进行解释，引导其得出正确的结论。例如：在“浓硫酸的性质、硫酸根离子的检验”这一课中，浓硫酸具有氧化性是需要突出的一个重点，也是一个难点。为此，通过做好演示实验，让学生观察，根据产生的气体能使紫色石蕊变红或能使品红溶液褪色，观察反应后生成物的水溶液颜色的变化，然后得出结论。硫酸根离子的检验，强调学生观察硫酸或硫酸钠加入氯化钡后产生的白色沉淀是不溶于稀硝酸或盐酸的现象，采用“复习——实验——观察——记录——分析——结论”的程序，要注意培养学生的分析问题能力和观察能力。 使用传授新知识的演示实验进行教学时，应注意以下几点： 1、在演示实验时，学生并未掌握有关实验的理论知识，在没有理论的指导下，学生观察实验时往往会忽略掉最关键的内容。因此，教师要有意识地引导学生注意实验的条件、环节和实验的主要结果（亦即告诉学生观察什么、如何去观察），使学生能看懂实验，准确地观察到实验的现象和结果。这是这种演示实验的感性阶段。 2、在演示实验结束后，教师不要急于做出结论，应通过谈话启发学生自己去做结论，以培养学生的思维能力，促进其对知识的消化理解，并加强对所学知识的巩固。例如：在前述有关浓硫酸的性质实验中，当学生观察到“产生的气体能使品红溶液褪色”时，应启发学生思考：产生此现象说明了生成物什么呢？“水溶液变蓝色”又说明了什么问题？这是这种演示实验的理性阶段。 3、要注意把实验中所得出的特殊（或个别）的结论推广到一般（或同类的其它对象）中去，使学生类推地掌握带有规律性的知识。例如：应把从演示“硫酸或硫酸钠中硫酸根离子的鉴定”实验所得出的结论推广到其它硫酸盐的鉴定中去，总结得出“化学上检验硫酸根离子的一般方法”，这是对这种实验的归纳。 科学实验记录表 袁丽琴 3013年 龙川县黎咀镇中心小学 科学实验记录表 2013年3月31日实验老师袁丽琴班级:四(3)班时间:下午第一节实验小组成员:四年级第实验名称:运动的快慢二小组同学实验内容:利用米尺和秒表测量测量走相同距离所用的时间;相同时间所走的距离，探究运动的快慢。 实验器材:米尺和秒表 实验要求:学生正确使用米尺和秒表。 实验说明:要求学生用正常的、快一些、慢一些的步伐来走相同的距离;在相同的时间用不同的速度走，比较距离。 实验结果预测:不同的速度在相同时间走的距离可能不一样，走相同的距离速度不一样，时间可能也不一样。 实验过程:1、让不同的学生用不同的速度走相同的时间，比较他们所做的距离。2、让同学们走相同的距离，比较他们的时间。实验结果:相同时间，速度快的距离长;相同的距离，速度快的时间短，反之一样。 龙川县黎咀镇中心小学 科学实验记录表 2013年5月24日实验老师袁丽琴班级:四(1)班时间:下午第三节实验小组成员:五年级第实验名称:照镜子三小组同学实验内容:做镜子的反光实验，学习潜望镜的工作原理。实验器材:镜子多面、纸板 实验要求:教师准备好多面镜子，实验过程中注意不要损坏镜子。实验说明:通过照镜子了解反射，学习潜望镜的工作原理。实验结果预测:人就能从低处看见高处的物体，或从水下看到水面的情况。 实验过程:1、利用镜子和纸板制作简单的潜望镜;2、让学生实际观察;3、理解潜望镜的工作原理。 实验结果:潜望镜上下各有一面倾斜45度角的平面镜，外界景物反射通过上面的平面镜反射到下面的平面镜，下面的平面镜即可看到。 龙川县黎咀镇中心小学 科学实验记录表 2013年10月15日实验老师袁丽琴班级:四(2)班时间:下午第三节实验小组成员:五年级第实验名称:导体和绝缘体二小组同学实验内容:根据物体的导电性能，把我们身边的物品分为两类。实验器材:小灯泡、电线、电池、木条、塑料片、小铁片实验要求:区分电池的两极，不要损坏小灯泡。 实验说明:把电线固定在电池的两级，利用电线和(木条、塑料片、小铁片)连接到小灯泡上，观察灯泡亮还是不亮, 实验结果预测:小灯泡亮或是不亮。 实验过程:1、让学生把电线固定在电池的两端;2、一根电线剪断，中间分别接上木条、塑料片、小铁片;3、装上小灯泡;4、观察小灯泡亮与否。 实验结果:导体能通电，绝缘体不会通电。 数学符号读法与含义大全 符号含义 i -1的平方根 f(x) 函数f在自变量x处的值 sin(x) 在自变量x处的正弦函数值 exp(x) 在自变量x处的指数函数值，常被写作e x a^x a的x次方；有理数x由反函数定义 ln x exp x 的反函数 a x同a^x log b a 以b为底a的对数；b log b a = a cos x 在自变量x处余弦函数的值 tan x 其值等于sin x/cos x cot x 余切函数的值或cos x/sin x sec x 正割含数的值，其值等于1/cos x csc x 余割函数的值，其值等于1/sin x asin x y，正弦函数反函数在x处的值，即x = sin y acos x y，余弦函数反函数在x处的值，即x = cos y atan x y，正切函数反函数在x处的值，即x = tan y acot x y，余切函数反函数在x处的值，即x = cot y asec x y，正割函数反函数在x处的值，即x = sec y acsc x y，余割函数反函数在x处的值，即x = csc y 角度的一个标准符号，不注明均指弧度，尤其用于表示atan x/y，当x、y、ζ z用于表示空间中的点时 i, j, k 分别表示x、y、z方向上的单位向量 (a, b, c) 以a、b、c为元素的向量 (a, b) 以a、b为元素的向量 (a, b) a、b向量的点积 a?b a、b向量的点积 (a?b)a、b向量的点积 |v| 向量v的模 |x| 数x的绝对值 Σ表示求和，通常是某项指数。下边界值写在其下部，上边界值写在其上部。 实验六比例求和运算及其微积分电路 实验六 比例求和运算及微积分电路 实验内容及步骤 1 ．搭接电压跟随器并验证其跟随特性。 U1 UA741CP 3 2 4 76 5 112V VEE -12V VCC VEE XFG1 XSC1 A B Ext Trig + + _ _ +_ R15.1kΩ2 1 仿真图如上 输出输入波形重合,其跟随特性得以验证. 实测数据显示Uo=Ui,验证运放性能良好。 2 ．测量反相比例电路的比例系数。 由图：为反相比例放大，输入电压为10mv，输出电压为100mv，且输出波形与输入波形反相，放大倍数10。 理论值：Uo=-Rf/Ri*Ui=-10Ui，反相比例系数为-10. 实测数据如下： Uo/mv 10 15 20 Ui/v 0.11 0.165 0.22 分析，Uo与Ui反相，反相比例电路的比例系数为-10. 3 ．测量同相比例放大器的比例系数及上限截止频率。 仿真图如下： 输入输出波形如下 由图：Ui=10mv,Uo=100mv,且输入输出同相，放大系数约为10倍。实测数据如下： Ui/mv 10 20 30 40 50 60 Uo/v 0.11 0.22 0.33 0.43 0.545 0.66 Au 11 11 11 10.5 10.9 11 所以实际放大倍数约为11，与理论值接近。 测量截止频率：首先将函数发生器的输入电压幅值调为20mv，此时观察示波器输出约为0.22v，然后调节函数发生器的调频旋钮，随着频率增大，当 Uo=0.22*0.707=0.15554v时，对应电压即为上限截止频率，fh=94.78khz. 4 ．测量反相求和电路的求和特性。 《高中化学演示实验改进与创新的研究》校级课题结题报告 [日期：2009-12-14] 来源：作者：[字体：大中小] 《高中化学演示实验改进与创新的研究》 结题报告 课题负责人：王坤圣 一、课题研究背景 1、国内外改进创新实验研究现状 化学是一门以实验为基础的自然科学，化学实验是化学教学的最基本特征。实验教学是对学生进行科学知识、科学方法、科学能力、科学思想和科学品质教育的最生动、最活跃的教学形式。高中化学实验正朝着探究型、生活化、微型化的方向发展。 在实验微型化发展领域，美国、联邦德国等国家已逐步在中学化学实验中审定和推广了微型化学实验仪器。因此，它是国内外近20年进展较快的一种新的化学实验形式，体现了化学实验微型化的趋势。我国是从80年代未90年代初开始研究，进行了十年，召开了全国研讨会三次，形成了一系列研究成果。 我国《普通高中化学课程标准(实验)》指出探究活动应作为学生学习化学的重要方式，这就要求化学实验设计在体现化学知识与技能目标的同时，更要突出过程与方法、情感态度与价值观的目标取向，突出探究性实验内容的编排和注重过程的科学化设计。 目前我国中学化学实验研究活动虽然较受重视也较普遍，但仍存在很多问题。如化学实验如何更好地实施素质教育，如何设计和开展研究型课程中的实验教学活动，如何在实验教学中实施科学方法、科学态度的教育，怎样使化学实验更好地培养学生的创新意识和创新能力，怎样通过化学实验提高学生认识生活、认识世界的能力等等。这些课题的研究在目前我国新课改的大趋势下应该显得更重要一些。 2、新课程背景下的化学实验改革 就中学化学实验教学而言，要在教学活动中实施素质教育、培养学生的创造能力,应该首先改变旧的教学观念。这就应该在课程、教材、教法、研究等方方面面都作周密的思考，敢于对课堂内外的实验教学作大胆的改革和创新。化学实验教学应走素质教育之路，通过实验教学培养学生的创造力，动手能力，培养学生的科学思维、科学态度。通过课堂实验的改进，培养学生的创新能力、探索能力。通过借鉴同行们的实验改进，表明作为中学化学教师，要坚定改革的决心，而对中学化学实验教学而言只有经过广泛而具体的教学改革，才能使我们的化学实验教学更好、更切实际地实施素质教育，才能使化学实验活动能朝着更有利于培养学生创造能力和创新精神的方面发展。 3、我校在化学实验教学中存在的问题与困惑 一直以来，我校的高中化学课堂演示实验教学缺少连续的系统的研究与整理。教师们由于时间与精力有限，往往把演示实验教学作为课堂教学的一部分进行临时处理，只是在备课中遇到了需要进行的实验才去了解、查询与研究，教学结束后，也无暇对本次实验的效果、优劣进行思考与评估，更不可能将每次的实验方案、实验情况进行收集、整理，也很少谈及系统的改进与创新。这也是我国很多地方现行高中化学教材演示实验的教学现状。 基于此，本课题――《高中化学演示实验改进与创新的研究》作为一个校级重点课题，其研究的主要内容如下： 课题实验内容实验器材 完成效果 任课教师学生代表实验时间一般良好 校园里的小动 物蜗牛对刺激有 什么反应 蜗牛、醋、酒等 神奇的水会爬的水植物花茎、红水、蓝水、烧杯 等 金属金属导电性、 延展性各种常见金属、电池、导线、 铁锤等 选择能够研究 的问题 吹泡泡铁圈、肥皂、甘油等 课题实验内容实验器材 完成情况 任课教师学生代表实验时间一般 组数 科学是……动起来的小人白纸、铅笔、小人图 做一名小科学 家 站立的鹦鹉鹦鹉卡纸、回形针 校园里的小动 物 蜗牛吃什么蜗牛、蔬菜、水果等 生命离不开水小草每天喝多 少水 小草、试管、植物油等 挤西红柿里的 水 西红柿等 神奇的水毛细现象水槽、红水、餐巾纸 水的表面张力硬币、回形针、平口瓶 水的压力可乐瓶、针、水 水的浮力烧杯、法码、橡皮泥 水的溶解糖、盐、水、烧杯等纸纸的性质各式各样的纸、滴管、放大镜、滤 纸等 纺织材料棉布与尼龙的 不同 火柴、棉布、尼龙、水、蜡烛等 金属金属光泽、导 热性各种常见金属、砂纸、热水、冷水 等 选择能够研究 的问题 吹泡泡铁圈、肥皂、甘油等乒乓球反弹高 度和什么因素 有关 乒乓球、米尺 口张小学演示实验记录单 课题实验内容实验器材 完成效果 任课教师学生代表实验时间一般良好 了解土壤了解不同土壤 的渗水性 杯子、漏斗、水、纱布等 肥沃的土壤做一个肥料袋塑料袋、吸管、土壤、果皮、蔬菜等果实和种子探究种子萌发 需要的条件 四只一样大小的透明瓶子、薄纱布 根和茎认识茎的作用一株有根、茎、叶的植物、瓶子、红墨 水、小刀 叶和花认识叶的蒸腾 作用 一株宽大的叶片、2只塑料袋 认识固体认识固体混合 后重量无变 化，体积有变 化 黄豆、玉米粉、天平、量杯 把固体放到水 里认识固体的溶 解与分离 适量面粉、盐、水、搅棒 认识液体知道同样多的 液体不同样重 天平、量杯、水、蜂蜜、油等 把液体倒进水 里了解液体在水 中的沉浮情况 水、蜂蜜、油 把液体倒进水 里知道热水会浮 在冷水上 盆、冷热水若干、墨水、带盖的小瓶 把液体倒进水 里认识液体倒入 水中后重量无 变化体积有变 化 水、酒精、墨水、量筒天平 雨下得有多大自制雨量器塑料瓶、剪刀、透明胶带、标尺 常用数学符号大全 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998 常用数学输入符号：～～≈ ≡ ≠ ＝≤≥ ＜＞≮≯∷ ±＋－ × ÷／∫ ∮∝∞ ∧∨∑ ∏ ∪∩ ∈∵∴//⊥‖ ∠⌒≌∽√（）【】｛｝ⅠⅡ⊕⊙∥αβγδεζηθΔαβγδεζηθικλμνξοπρστυφχψω ΑΒΓΔΕΖΗΘΙΚ∧ΜΝΞΟ∏Ρ∑ΤΥΦΧΨΩ абвгдеёжзийклмнопрстуфхцчшщъыьэюя АБВГДЕЁЖЗИЙКЛМНОПРСТУФХЦЧШЩЪЫЬЭЮЯ sin(x) 在自变量x处的正弦函数值 exp(x) 在自变量x处的指数函数值，常被写作e x a^x a的x次方；有理数x由反函数定义 ln x exp x 的反函数 a x同 a^x log b a 以b为底a的对数； b log b a = a cos x 在自变量x处余弦函数的值 tan x 其值等于 sin x/cos x cot x 余切函数的值或 cos x/sin x sec x 正割含数的值，其值等于 1/cos x csc x 余割函数的值，其值等于 1/sin x asin x y，正弦函数反函数在x处的值，即 x = sin y acos x y，余弦函数反函数在x处的值，即 x = cos y atan x y，正切函数反函数在x处的值，即 x = tan y acot x y，余切函数反函数在x处的值，即 x = cot y asec x y，正割函数反函数在x处的值，即 x = sec y acsc x y，余割函数反函数在x处的值，即 x = csc y θ角度的一个标准符号，不注明均指弧度，尤其用于表示atan x/y，当x、y、z用于表示空间中的点时 i, j, k 分别表示x、y、z方向上的单位向量 (a, b, c) 以a、b、c为元素的向量 (a, b) 以a、b为元素的向量 (a, b) a、b向量的点积 ab a、b向量的点积 (ab) a、b向量的点积 |v| 向量v的模 |x| 数x的绝对值 Σ表示求和，通常是某项指数。下边界值写在其下部，上边界值写在其上部。 如j从1到100 的和可以表示成：。这表示1 + 2 + … + n M 表示一个矩阵或数列或其它 |v> 列向量，即元素被写成列或可被看成k×1阶矩阵的向量 求极限运算 命令形式1:Limit(f) 功能:计算()x f lim 0 x → , 其中f 是符号函数。 命令形式2: Limit(f,x,a) 功能:计算()x f lim a x →，其中f 是符号函数。 命令形式3: Limit(f,x,inf) 功能:计算()x f lim x ∞ →，其中f 是符号函数。 命令形式4: Limit(f,x,a,’right ’) 功能:计算()x f lim a x +→，其中f 是符号函数。 命令形式5: Limit(f,x,a,’left ’) 功能:计算()x f lim -a x →，其中f 是符号函数。 注意:在左右极限不相等或左右极限有一个不存在时，Matlab 的默认状态为求右极限。 例4：求极限() )11 ln 1( lim 2 21 --+→x x x x 解：Matlab 命令为: syms x ↙ y=(1/(x*(log(x))^2))-1/(x-1)^2; limit(y,x,1,'right')↙ ans = 1/12 此极限的计算较难，用Matlab 很容易得结果。 例6：求极限3 1 0)sin 1tan 1( lim x x x x ++→ 解：Matlab 命令为: syms x ↙ y=(1+tan(x))/(1+sin(x))^(1/x^3);↙ limit(y)↙ ans = 0 导数与微分 6.2.1 一元函数的导数与微分 导数是函数增量与自变量增量之比的极限，即x x f x x f x f x ?-?+=→?) ()(lim )(0 ' .在 Matlab 中求函数的导数及其他一些类似运算均由diff 命令来完成. 用差分法求导数的数值解 用差分法求导数比较粗略，误差较大，尽量少采用差份法取计算数值微分，具体指令为： 实验内容：学会使用显微镜（六年级上册第一单元） 课题：1、水滴里的生物 实验器材：显微镜、滴管、纱布、载玻片、盖玻片、碘酒、吸水纸、玻片标本若干 实验类型：教师演示、学生操作 实验结论：水滴里含有草履虫等多种微生物。显微镜是观察微生物的重要工具。 实验内容：解释地球内部结构（六年级上册第二单元） 课题：3、地球的内部 实验器材：地球构造模型(学生自制模型) 实验类型：教师演示、学生操作 实验结论：按现有的理论推测，地球内部大致可以分为三层：地壳、地幔和地核。 小学科学六年级上册演示实验报告单 实验内容：解释物质的变化（六年级上册第三单元） 课题：1、蜡烛的变化 实验器材：蜡烛、火柴、垃圾盒（或培养皿） 实验类型：教师演示、学生操作 实验结论：蜡烛是固体，点着时因受热熔化成了液体，随着温度的增高，液体又转化成能燃烧的气体。蜡烛在燃烧时，会发光发热，还会生成二氧化碳、水蒸汽、灰烬等新物质。 小学科学六年级上册演示实验报告单 实验内容：探究铁钉生锈的原因（六年级上册第三单元） 课题：2、铁钉生锈了 实验器材：无锈的钉子3枚、同样大小的有盖的透明瓶子（汽水瓶、葡萄糖瓶……）3个、白开水、蜡烛、火柴 实验类型：教师演示、学生操作（长期） 实验结论：铁生锈的必要条件是氧气、水同时存在。 小学科学六年级上册演示实验报告单 实验内容：辨别物质的酸碱性（六年级上册第三单元） 课题：3、变色花 实验器材：紫包菜、热水、滴管、烧杯（紫甘蓝水若干）、不同的液体（白醋、碱水等）、不同的食物若干（面包片、馒头片、饼干等） 实验类型：教师演示、学生操作 实验结论：紫甘蓝水遇到酸性物质会变红，遇到碱性物质会变绿，遇到中性物质则不会变色。 常用数学符号大全 1、几何符号 ?‖∠??≡ ≌△° |a| ??∠∟ ‖| 2、代数符号 ? ∝∧∨～∫ ≤ ≥ ≈ ∞ ∶〔〕〈〉《》「」『』】【〖 3、运算符号 × ? √ ± ≠ ≡ ≮≯ 4、集合符号 ∪∩ ∈Φ ? ￠ 5、特殊符号 ∑ π（圆周率）＠＃☆★○●◎◇◆□■▓⊿※ ￥Γ Δ Θ ∧Ξ Ο ∏ ∑ Φ Χ Ψ Ω ∏ 6、推理符号 ← ↑ → ↓ ↖↗↘↙∴∵∶∷T ? ü 7、标点符号` ˉ ˇ ¨ 、· ‘’ 8、其他 & ; §℃№ ＄￡￥‰ ℉♂ ♀ ?????????? Γ Δ Θ ∧Ξ Ο ∏ ∑ Φ Χ Ψ Ω α β γ δ ε δ ε ζ η θ ι κ λ μ ν π ξ ζ η υ θ χ ψ ω ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧⅨⅩⅪⅫ ⅰⅱⅲⅳⅴⅵⅶⅷⅸⅹ ∈∏ ∑ ∕ √ ∝∞ ∟ ∠∣‖∧∨∩ ∪∫ ∮ ∴∵∶∷?≈ ≌≈ ≠≡ ≤ ≥ ≤ ≥ ≮≯ ⊕??⊿? 指数0123：o123 〃? ? ? 符号意义 ∞ 无穷大 PI 圆周率 |x| 函数的绝对值 ∪集合并 ∩ 集合交 ≥ 大于等于 ≤ 小于等于 ≡ 恒等于或同余 ln(x) 以e为底的对数 lg(x) 以10为底的对数 floor(x) 上取整函数 ceil(x) 下取整函数 x mod y 求余数 {x} 小数部分x - floor(x) ∫f(x)δx 不定积分 ∫[a:b]f(x)δx a到b的定积分 ∑[1≤k≤n]f(k) 对n进行求和,可以拓广至很多情况，如：∑[n is prime][n < 10]f(n) ∑∑[1≤i≤j≤n]n^2 lim f(x) (x->?) 求极限 C(n:m) 组合数,n中取m P(n:m) 排列数 m|n m整除n (m,n)=1 m与n互质 a ∈A a属于集合A Card(A) 集合A中的元素个数 |a| ??△∠∩ ∪≠ ∵∴≡ ± ≥ ≤ ∈← ↑ → ↓ ↖↗↘↙‖∧∨ 实验七比例求和运算及微分运算电路 一.实验目的 1.掌握集成运算放大器的特点，性能及使用方法。 2.掌握比例求和电路，微积分电路的测试和分析方法。 3.掌握各电路的工作原理和理论计算方法。 二.实验仪器 1.GOS-620模拟示波器 2.GFG-8250A信号发生器 3.台式三位半数字万用表 4.指针式交流毫伏表 5.SPD3303C直流电源 三.实验内容及步骤 1.搭接电压跟随器并验证其跟随特性，测量2-3组数据进行验证。 2.测量反向比例电路的比例系数，测量其计算值与理论值进行比较 理论值：Uo=-(R F/Ri)*Ui,ui=7mV,uo=-70mV 实际值： uo=7mV,ui=69mV 3.测量同相比例放大器的比例系数及上限截止频率 理论值:uo=-(1+RF/Ri)*ui,ui=6.9mV,uo=75.9mV 实际值:ui=6.9mV,uo=76mV 4.测量反相求和电路的求和特性，注意多路输入信号可通过电阻分压法获取 仿真值如下图所示， Ui1=3.185mV,Ui2=1.706mV,Uo=48.899mV, 满足输入与输出运算关系: Uo=-［(RF /R1)*Ui1+( RF /R2)*Ui2］ 5.验证双端输入求和的运算关系 6.积分电路 如图所示连接积分运算电路，检查无误后接通±12V直流电源 ①取ui=-1V,用示波器观察波形uo,并测量运放输出电压值的正向饱和电压值 正向饱和电压值为11V ②取ui=1V,测量运放的负向饱和电压值。注意±1V的信号源可用1Hz交流信号代替 反向饱和电压值为-11V ③将电路中的积分电容改为0.1uF，ui分别输入1kHz幅值为2V的方波和正弦波信号， 观察ui和uo的大小及相位关系并记录波形，计算电路的有效积分时间。 Ui=1.414V,Uo=222.157mV 初中化学课堂中演示实验的几点做法 【摘要】化学本身就是一门以实验为基础的科学，它的许多重大发现和研究成果都是通过实验得到的。实验包括演示实验和学生实验，在课堂教学中，教师用演示的方式进行的化学实验称为化学课堂演示实验。教师通过演示实验，不仅可以激发学生学习化学的兴趣，使学生比较容易学的新知识，还可以使学生了解正确使用仪器和试剂的方法，以及操作过程，对于以后学生独立进行实验时会正确使用这些仪器和试剂，并进行正确的实验操作有很大的帮助。 【关键词】初中化学课堂教学演示实验做法 化学本身就是一门以实验为基础的科学，它的许多重大发现和研究成果都是通过实验得到的。学习化学的一个重要途径是实验，通过实验以及对实验现象的观察、记录和分析等，可以发现和验证化学原理，学习科学探究的方法并获得化学知识。实验包括演示实验和学生实验，在课堂教学中，教师用演示的方式进行的化学实验称为化学课堂演示实验。演示实验是教师进行表演，并引导学生观察和思维的教学双方协调活动的实验。其特点是：操作简单、现象明显，具有很强的直观性与示范性。教师通过演示实验，不仅可以激发学生学习化学的兴趣，使学生比较容易学的新知识，还可以使学生了解正确使用仪器和试剂的方法，以及操作过程，对于以后学生独立进行实验时会正确使用这些仪器和试剂，并进行正确的实验操作有很大的帮助。因此，我就主要从以下几点出发去做演示实验： 1.运用演示实验，创设生动活泼的教学情景导入新课，吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣 才进入九年级的学生看到化学书内容五颜六色、图形形状各异本身就产生了兴趣。在开始教学中，若教师再用一些现象明显的化学演示实验激活学生的求知欲，会加深学生想学好化学的兴趣。例如，在开始教学中，变色：在一张滤纸上用酚酞试液画一幅画让学生观察现象（无色），再滴上氢氧化钠溶液后叫学生观察现象（红色），又滴入盐酸（红色消失）；把锌放入水中无现象，放入稀盐酸中迅速产生大量气泡；生石灰放入水中使水的温度升高；硝酸铵溶于水，水温会下降甚至结成冰，“烧不坏”的手帕等等，都能极大地激发了学生想了解其中奥秘的愿望。 2.把纯理论的知识点融化在演示实验中，帮助学生认识物质及其变化的本质和规律 化学实验能为学生形成化学概念和理论提供化学实验事实，中学化学教学中的很多概念和理论的形成，一般都首先从认识物质的性质入手，而物质的性质，尤其化学性质，必须借助于实验，学生通过感知物质及其变化的实验现象，获得化学实验事实，才能进行分析、推断，形成概念、认识理论。 例如，在燃烧和缓慢氧化的教学中，先演示装有红磷、白磷的试管放在盛热水的烧杯中，看到白磷燃烧而红磷不燃烧，再向热水中的白磷缓缓通入氧气，可看到热水中的白磷与氧气接触后，也开始燃烧，产生火光。演示结束后，可以请学生思考三个问题：①为什么试管中的白磷能燃烧，红磷不能燃烧？②水中的白磷需要什么条件才能燃烧？③红磷能不能燃烧？接着再补充演示红磷燃烧的实验，将少量红磷放在石棉网上，直接在酒精灯火焰上加热，请学生观察红磷在空气中燃烧的现象，最后指导学生阅读教材内容，归纳总结出着火点的概念、燃烧的条件、红磷和白磷的着火点高低等知识，把纯理论的知识点融化在演示实验中， 常用数学符号大全、关系代数符号 1、几何符号 ⊥∥∠⌒⊙≡≌△ 2、代数符号 ∝∧∨～∫≠≤≥≈∞∶ 3、运算符号 如加号（＋），减号（－），乘号（×或·），除号（÷或／），两个集合的并集（∪），交集（∩），根号（√），对数（log，lg，ln），比（：），微分（dx），积分（∫），曲线积分（∮）等。 4、集合符号 ∪∩∈ 5、特殊符号 ∑π（圆周率） 6、推理符号 |a| ⊥∽△∠∩∪≠≡±≥≤∈← ↑→↓↖↗↘↙∥∧∨ &; § ①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩ ΓΔΘΛΞΟΠΣΦΧΨΩ αβγδεζηθικλμν ξοπρστυφχψω ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧⅨⅩⅪⅫ ⅰⅱⅲⅳⅴⅵⅶⅷⅸⅹ ∈∏∑∕√∝∞∟∠∣∥∧∨∩∪∫∮ ∴∵∶∷∽≈≌≒≠≡≤≥≦≧≮≯⊕⊙⊥ ⊿⌒℃ 指数0123：o123 7、数量符号 如：i，2+i，a，x，自然对数底e，圆周率π。 8、关系符号 如“＝”是等号，“≈”是近似符号，“≠”是不等号，“＞”是大于符号，“＜”是小于符号，“≥”是大于或等于符号（也可写作“≮”），“≤”是小于或等于符号（也可写作“≯”），。“→”表示变量变化的趋势，“∽”是相似符号，“≌”是全等号，“∥”是平行符号，“⊥”是垂直符号，“∝”是成正比符号，（没有成反比符号，但可以用成正比符号配倒数当作成反比）“∈”是属于符号，“??”是“包含”符号等。 9、结合符号 如小括号“（）”中括号“［］”，大括号“｛｝”横线“—” 10、性质符号 如正号“＋”，负号“－”，绝对值符号“| |”正负号“±” 11、省略符号 如三角形（△），直角三角形（Rt△），正弦（sin），余弦（cos），x的函数（f(x)），极限（lim），角（∠）， ∵因为，（一个脚站着的，站不住） ∴所以，（两个脚站着的，能站住）总和（∑），连乘（∏），从n个元素中每次取出r个元素所有不同的组合数（C(r)(n) ），幂（A，Ac，Aq，x^n）等。微积分的基本运算
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