带电粒子在匀强磁场中的运动（知识小结） 一．带电粒子在磁场中的运动 （1）带电粒子在磁场中运动时，若速度方向与磁感线平行，则粒子不受磁场力，做匀速直线运动；即 ① 为静止状态。 ② 则粒子做匀速直线运动。 （2）若速度方向与磁感线垂直，带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力起向心力作用。 （3）若速度方向与磁感线成任意角度，则带电粒子在与磁感线平行的方向上做匀速直线运动，在与磁感 线垂直的方向上做匀速圆周运动，它们的合运动是螺线运动。 二、带电粒子在匀强磁场中的圆周运动 1．运动分析：洛伦兹力提供向心力，使带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动． (4)运动时间： (Θ 用弧度作单位 ) 1．只有垂直于磁感应强度方向进入匀强磁场的带电粒子，才能在磁场中做匀速圆周运动． 2．带电粒子做匀速圆周运动的半径与带电粒子进入磁场时速率的大小有关，而周期与速率、半径都无关． 三、带电粒子在有界匀强磁场中的匀速圆周运动(往往有临界和极值问题) (一)边界举例: 1、直线边界（进出磁场有对称性） 规律：如从同一直线边界射入的粒子，再从这一边射出时，速 度与边界的夹角相等。 速度与边界的夹角等于圆弧所对圆心角的一半， 并且如果把两个速度移到共点时，关于直线轴对称。 2、平行边界（往往有临界和极值问题） （在平行有界磁场里运动，轨迹与边界相切时，粒子恰好不射出边界） 3、矩形边界 磁场区域为正方形，从a 点沿ab 方向垂直射入匀强磁场： 若从c 点射出，则圆心在d 处 若从d 点射出，则圆心在ad 连线中点处 4. （从平面几何的角度看，是粒子轨迹圆与磁场边界圆的两圆相交问题。） 特殊情形：在圆形磁场内,沿径向射入时，必沿径向射出 2．其特征方程为：F 洛＝F 向． 3．三个基本公式： (1)向心力公式：qvB ＝m v 2R ； (2)半径公式：R ＝mv qB ； (3)周期和频率公式：T ＝2πm qB ＝1f ； 222m t qB m qB T θππθπθ==?=?v L =t
考点二 动力学中的临界与极值问题 动力学中的临界问题一般有三种解法： 1.极限法 在题目中如出现“最大”“最小”“刚好”等词语时，一般隐含着临界问题，处理这类问题时，应把物理问题(或过程)推向极端，从而使临界现象(或状态)暴露出来，达到尽快求解的目的． 2．假设法 有些物理过程中没有明显出现临界问题的线索，但在变化过程中可能出现临界问题，也可能不出现临界问题，解答这类题，一般用假设法． 3．数学法 将物理过程转化为数学公式，根据数学表达式求解得出临界条件． 命题点1 接触与脱离的临界条件 3．一个弹簧测力计放在水平地面上，Q 为与轻弹簧上端连在一起的秤盘，P 为一重物，已知P 的质量M ＝10.5 kg ，Q 的质量m ＝1.5 kg ，弹簧的质量不计，劲度系数k ＝800 N/m ，系统处于静止．如图所示，现给P 施加一个方向竖直向上的力F ，使它从静止开始向上做匀加速运动，已知在前0.2 s 内，F 为变力，0.2 s 以后，F 为恒力．求力F 的最大值与最小值．(取g ＝10 m/s 2) 【解析】 设开始时弹簧压缩量为x 1，t ＝0.2 s 时弹簧的压缩量为x 2，物体P 的加速度为a ，则有 kx 1＝(M ＋m )g ① kx 2－mg ＝ma ② x 1－x 2＝12 at 2③ 由①式得x 1＝(M ＋m )g k ＝0.15 m ， 由②③式得a ＝6 m/s 2. F min ＝(M ＋m )a ＝72 N ，
F max ＝M (g ＋a )＝168 N. 【答案】 F max ＝168 N F min ＝72 N 命题点2 相对滑动的临界条件 4.如图所示，12个相同的木块放在水平地面上排成一条直线，相邻两木块接触但不粘连，每个木块的质量m ＝1.2 kg ，长度l ＝0.5 m ．木块原来都静止，它们与地面间的动摩擦因数均为μ1＝0.1，在左边第一个木块的左端放一质量M ＝1 kg 的小铅块(可视为质点)，它与各木块间的动摩擦因数均为μ2＝0.5，现突然给小铅块一个向右的初速度v 0＝9 m/s ，使其在木块上滑行．设木块与地面间及小铅块与木块间的最大静摩擦力均等于滑动摩擦力，重力加速度g ＝10 m/s 2.求： (1)小铅块相对木块滑动时小铅块的加速度大小； (2)小铅块下的木块刚发生运动时小铅块的瞬时速度大小． 【解析】 (1)设小铅块相对木块滑动时加速度大小为a ，由牛顿第二定律可知μ2Mg ＝Ma 解得a ＝5 m/s 2. (2)设小铅块最多能带动n 个木块运动，对n 个木块整体进行受力分析，当小铅块下的n 个木块发生运动时，则有μ2Mg ≥μ1(mgn ＋Mg ) 解得n ≤3.33 即小铅块最多只能带动3个木块运动 设当小铅块通过前面的9个木块时的瞬时速度大小为v ，由动能定理可知－μ2Mg ×9l ＝12 M (v 2－v 20) 解得v ＝6 m/s. 【答案】 (1)5 m/s 2 (2)6 m/s 命题点3 数学方法求解极值问题 5．如图所示，一质量m ＝0.4 kg 的小物块，以v 0＝2 m/s 的初速度，在与斜面成某一夹角的拉力F 作用下，沿斜面向上做匀加速运动，经t ＝2 s 的时间物块由A 点运动到B 点，A 、B 之间的距离L ＝10 m ．已知斜面倾角θ＝30°，物块与斜面之间的动摩擦因数μ＝33 .重力加速度g 取10 m/s 2.求：
动力学中的临界极值问题的处理
动力学中临界极值问题的处理及分析 物理学中的临界和极值问题牵涉到一定条件下寻求最佳结果或讨论其物理过程范围的问题，此类问题通常难度较大技巧性强，所涉及的内容往往与动力学、力学密切相关，综合性强。在高考命题中经常以压轴题的形式出现，临界和极值问题是每年高考必考的内容之一。 一．解决动力学中临界极值问题的基本思路 所谓临界问题是指当某种物理现象（或物理状态）变为另一种物理现象（或另一物理状态）的转折状态叫临界状态．可理解成“恰好出现”或“恰好不出现”．某种物理现象转化为另一种物理现象的转折状态称为临界状态。至于是“出现”还是“不出现”，需视具体问题而定。极值问题则是在满足一定的条件下，某物理量出现极大值或极小值的情况。临界问题往往是和极值问题联系在一起的。 解决此类问题重在形成清晰的物理图景，分析清楚物理过程，从而找出临界条件或达到极值的条件，要特别注意可能出现的多种情况。动力学中的临界和极值是物理中的常见题型，同学们在刚刚学过的必修1中匀变速运动规律、共点力平衡、牛顿运动定律中都涉及到临界和极值问题。在解决临办极值问题 注意以下几点：○1临界点是一个特殊的转换状态，是物理过程发生变化的转折点，在这个转折点上，系统的一些物理量达到极值。○2临界点的两侧，物体的受力情况、变化规律、运动状态一般要发生改变，能否用变化的观点正确分析其运动规律是求解这类题目的关键，而临界点的确定是基础。○3许多临界问题 常在题目的叙述中出现“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脱离”……等词句对临界问题给出了明确的暗示，审题是只要抓住这些特定词语 其内含规律就能找到临界条件。○4有时，某些临界问题中并不包含常见的临界 术语，但审题时发现某个物理量在变化过程中会发生突变，如运动中汽车做匀 减速运动类问题，则该物理量突变时物体所处的状态即为临界状态。○5临界问 题通常具有一定的隐蔽性，解题灵活性较大，审题时应力图还原习题的物理情 景，抓住临界状态的特征，找到正确的解题方向。○6确定临界点一般用极端分 析法，即把问题（物理过程）推到极端，分析在极端情况下可能出现的状态和满足的条件。解题常用的思路用矢量法、三角函数法、一元二次方程判别式法或根据物理过程的特点求极值法等。 二．匀变速运动规律中与临界极值相关问题的解读 在质点做匀变速运动中涉及到临界与极值的问题主要有“相遇”、“追及”、“最大距离”、“最小距离”、“最大速度”、“最小速度”等。 【例1】速度大小是5m/s的甲、乙两列火车，在同一直线上相向而行。当它们相隔2000m时，一只鸟以10m/s的速度离开甲车头向乙车头飞去，当到达乙车车头时立即返回，并这样连续在两车间来回飞着。问： （1）当两车头相遇时，这鸟共飞行多少时间？
带电粒子在有界磁场中运动的临界问题 当某种物理现象变化为另一种物理现象或物体从一种状态变化为另一种状态时，发生这种质的飞跃的转折状态通常称为临界状态。粒子进入有边界的磁场，由于边界条件的不同，而出现涉及临界状态的临界问题，如带电粒子恰好不能从某个边界射出磁场，可以根据边界条件确定粒子的轨迹、半径、在磁场中的运动时间等。如何分析这类相关的问题是本文所讨论的内容。 一、带电粒子在有界磁场中运动的分析方法 1．圆心的确定 因为洛伦兹力F指向圆心，根据F⊥v，画出粒子运动轨迹中任意两点（一般是射入和射出磁场两点），先作出切线找出v的方向再确定F的方向，沿两个洛伦兹力F的方向画其延长线，两延长线的交点即为圆心，或利用圆心位置必定在圆中一根弦的中垂线上，作出圆心位置，如图1所示。 2．半径的确定和计算 利用平面几何关系，求出该圆的可能半径（或圆心角），并注意以下两个重要的几何特点： ①粒子速度的偏向角φ等于转过的圆心角α，并等于AB弦与切线的夹角（弦切角）θ的2倍，如图2所示，即φ=α=2θ。 ②相对的弦切角θ相等，与相邻的弦切角θ′互补，即θ+θ′=180°。 3．粒子在磁场中运动时间的确定
若要计算转过任一段圆弧所用的时间，则必须确定粒子转过的圆弧所对的圆心角，利用圆心角α与弦切角的关系，或者利用四边形内角和等于360°计算出 圆心角α的大小，并由表达式，确定通过该段圆弧所用的时间，其中T 即为该粒子做圆周运动的周期，转过的圆心角越大，所用时间t越长，注意t 与运动轨迹的长短无关。 4．带电粒子在两种典型有界磁场中运动情况的分析 ①穿过矩形磁场区：如图3所示，一定要先画好辅助线（半径、速度及延长线）。 a、带电粒子在穿过磁场时的偏向角由sinθ=L/R求出；（θ、L和R见图标） b、带电粒子的侧移由R2=L2-（R-y）2解出；（y见所图标） c、带电粒子在磁场中经历的时间由得出。 ②穿过圆形磁场区：如图4所示，画好辅助线（半径、速度、轨迹圆的圆心、连心线）。
板块模型的临界极值问题 Prepared on 22 November 2020
板块模型的临界极值问题 1【经典模型】 如图甲所示，M 、m 两物块叠放在光滑的水平面上，两物块间的动摩擦因数为μ，一个恒力F 作用在物块M 上． (1)F 至少为多大，可以使M 、m 之间产生相对滑动 (2)如图乙所示，假如恒力F 作用在m 上，则F 至少为多大，可以使M 、m 之间产生相对滑动 练1、如图所示，物体A 、B 的质量分别为2kg 和1kg ，A 置于光滑的水平地面上，B 叠加在A 上。已知A 、B 间的动摩擦因数为，水平向右的拉力F 作用在B 上，A 、B 一起相对静止开始做匀加速运动。加速度为2/s m 。 （2/10s m g =）求： （1）力F 的大小。 （2）A 受到的摩擦力大小和方向。 （3）A 、B 之间的最大静摩擦力A 能获得的最大加速度 （4）要想A 、B 一起加速（相对静止），力F 应满足什么条件 （5）要想A 、B 分离，力F 应满足什么条件 练2、物体A 放在物体B 上，物体B 放在光滑的水平面上，已知6=A m kg ，2=B m kg ，A 、B 间动摩擦因数2.0=μ，如图所示。现用一水平向右的拉力F 作用于物体A 上，则下列说法中正确的是（10=g m/s 2）（ ） A ．当拉力F <12N 时，A 静止不动 B ．当拉力F =16N 时，A 对B 的摩擦力等于4N C ．当拉力F >16N 时，A 一定相对B 滑动 D ．无论拉力F 多大，A 相对B 始终静止 2、如图，物体A 叠放在物体B 上，B 置于光滑水平面上，A 、B 质量分别为m A ＝6 kg 、m B ＝2 kg ，A 、B 之间的动摩擦因数是，开始时F ＝10 N ，此后逐渐增加，在增大到45 N 的过程中，则( ) A ．当拉力F ＜12 N 时，两物体均保持静止状态 B ．两物体开始没有相对运动，当拉力超过12 N 时，开始相对滑动 C ．两物体间从受力开始就有相对运动
带电粒子在匀强磁场中的运动 四会中学邱又香 知识与能力目标 1．理解洛伦兹力对粒子不做功 2．理解带电粒子的初速度方向与磁感应强度垂直时，粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动 3．推导半径，周期公式并解决相关问题 道德目标 培养学生热爱科学，探究科学的价值观 教学重点 带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径公式和周期公式， 并能用来解决有关问题。 教学难点 带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的条件 对周期公式和半径公式的定性的理解。 教学方法 在教师指导下的启发式教学方法 教学用具 电子射线管，环行线圈，电源，投影仪， 教学过程 一引入新课 复习：1 当带电粒子以速度v平行或垂直射入匀强磁场后，粒子的受力情况； 2 回顾带电粒子垂直飞入匀强电场时的运动特点，让学生猜想带电粒子垂直飞入匀强磁场的运动情况。 二．新课 1．运动轨迹 演示实验利用洛伦兹力演示仪，演示电子射线管内的电子在匀强磁场中的运动轨迹，让学生观察存在磁场和不存在磁场时电子的径迹。 现象：圆周运动。 提问：是匀速圆周运动还是非匀速圆周运动呢？ 分析：（1）首先回顾匀速圆周运动的特点：速率不变，向心力和速度垂直且始终在同一平面，向心力大小不变始终指向圆心。 （2）带电粒子在匀强磁场中的圆周运动的受力情况是否符合上面3个特点呢？ 带电粒子的受力为F洛=qvB ，与速度垂直故洛伦兹力不做功，所以速度v不变，即可得洛伦兹力不变，且F洛与v同在垂直与磁场的平面内，故得到结论：带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动 结论：1、带电微观粒子的质量很小，在磁场中运动受到洛伦兹力远大于它的重
力，因此可以把重力忽略不计，认为只受洛伦兹力作用。 2、沿着与磁场垂直的方向射入磁场的带电粒子，在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供做向心力，只改变速度的方向，不改变速度的大小。 2．轨道半径和周期 ? 例：一带电粒子的质量为m ，电荷量为q ，速率为v ，它在磁感应强度为B 的匀强磁场中做匀速圆周运动，求轨道半径有多大？ 由 得 可知速度越大，r 越大。 周期呢？ 由 得 与速度半径无关。 实验：改变速度和磁感强度观测半径r 。 例1：一个质量为m 、电荷量为q 的粒子，从容器下方的小孔S1飘入电势差为Ｕ的加速电场，然后经过S3沿着与磁场垂直的方向进入磁感应强度为Ｂ的匀强磁场中，最后打到照相底片Ｄ上求： （１）求粒子进入磁场时的速率 （２）求粒子在磁场中运动的轨道半径 解：由动能定理得：qU = mv 2 /2, 解得： m qU v 2= 粒子在磁场中做匀速圆周运动得半径为：R ＝mv/qB=m m qU /2/qB=B q mU 2/2 ? 例2：如图，从粒子源S 处发出不同的粒子其初动量相同，则表示电荷量最小的带正电粒子在匀强磁场中的径迹应是（ ） S mv R qB =2m T qB π=2v qvB m R =2R T v π=
带电粒子在磁场中运动的临界问题 一、“矩形”有界磁场中的临界问题 【例1】如图所示，一足够长的矩形区域abcd 内充满方向垂直纸面向里、磁感应强度为B 的匀强磁场，在ad 边中点O ，方向垂直磁场向里射入一速度方向跟ad 边夹角θ＝30°、大小为v 0的带正电粒子，已知粒子质量为m ，电量为q ，ad 边长为L ，ab 边足够长，粒子重力不计，求 (1)粒子能从ab 边上射出磁场的v 0大小范围。 (2)若粒子速度不受上述v 0大小的限制，求粒子在磁场中运动的最长时间。 解析: (1)①假设粒子以最小的速度恰好从左边偏转出来时的 速度为v 1，圆心在O 1点，如图 (甲)，轨道半径为R 1，对应圆轨迹与ab 边相切于Q 点，由几何知识得：R 1＋R 1sin θ＝0.5L 由牛顿第二定律得1 211R v m B qv =； 得m qBL v =1 ②假设粒子以最大速度恰好从右边偏转出来，设此时的轨道半径 为R 2，圆心在O 2点，如图 (乙)，对应圆轨迹与dc 边相切于P 点。 由几何知识得：R 2＝L 由牛顿第二定律得2 222R v m B qv =；得m qBL v =2 粒子能从ab 边上射出磁场的v 0应满足 m qBL v m qBL ≤ ≤3 (2)如图 (丙)所示，粒子由O 点射入磁场，由P 点离开磁场，该圆弧对应运行时间最长。粒子在磁场内运行轨迹对应圆心角为πα35= 。而απ 2T t m = 由R v m qvB 2=，得qB mv R = ，qB m T π2= qB m t m 35π= 【练习1】如图所示，宽度为d 的有界匀强磁场，磁感应强度为B ，MM ′和NN ′是它的两条边界线，现有质量m 、电荷量为q 的带电粒子沿图示方向垂直磁场射入，要使粒子不能从边界NN ′射出，粒子最大的入射速度v 可能是( ) A ．小于 m qBd B ．小于( ) m qBd 22+ C ．小于 m qBd 2 D ．小于( ) m qBd 22— 解析:BD
带电粒子在有界磁场中运动的临界问题的解题技巧 带电粒子(质量ｍ、电量q 确定）在有界磁场中运动时，涉及的可能变化的参量有——入射点、入射速 所有这些问题,其通用解法是：①第一步,找准轨迹圆圆心可能的位置，②第二步，按一定顺序．．．．．尽可能多地作不同圆心对应的轨迹圆(一般至少5画个轨迹圆)，③第三步,根据所作的图和题设条件,找出临界轨迹圆，从而抓住解题的关键点。 类型一：已知入射点和入射速度方向,但入射速度大小不确定(即轨道半径不确定） 这类问题的特点是：所有轨迹圆圆心均在过入射点、垂直入射速度的同一条直线上。 【例1】如图所示，长为L 的水平极板间有垂直于纸面向内的匀强磁场,磁感应强度为B ,板间距离也为L ,板不带电.现有质量为m 、电荷量为q 的带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v 水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上,可采用的办法是 A.使粒子的速度v <＼ｆ(BqL,４m )? Ｂ．使粒子的速度v >＼f(５BqL,4m ） C ．使粒子的速度v >＼f(BqL ，m )? Ｄ．使粒子的速度BqL 4m ＜ v <＼f(５BqL,４m ) 【分析】粒子初速度方向已知，故不同速度大小的粒子轨迹圆圆心均在垂直初速度的直线上（如图甲)，在该直线上取不同点为圆心，半径由小取到大，作出一系列圆（如图乙）,其中轨迹圆①和②为临界轨迹圆。轨道半径小于轨迹圆①或大于轨迹圆②的粒子,均可射出磁场而不打在极板上。 类型 已知参量 类型一 ①⑩ 入射点、入射方向;出射点、出射方向 类型二 ②⑧ 入射点、速度大小；出射点、速度大小 类型三 ③ 入射点、出射点 类型四 ⑦ 入射方向、出射方向 类型五 ⑤⑨ 入射方向、速度大小;出射方向、速度大小; 类型六 ④⑥ 入射点、出射方向；出射点，入射方向 图乙 图甲 ① ② 入射点 入射方向 入射速度大 出射点 出射方向 ① ② ③ ④ ⑧ ⑨ ⑤ ⑥ ⑦ ⑩
板块模型的临界极值问题 1【经典模型】 如图甲所示，M 、m 两物块叠放在光滑的水平面上，两物块间的动摩擦因数为μ，一个恒力F 作用在物块M 上． (1)F 至少为多大，可以使M 、m 之间产生相对滑动？ (2)如图乙所示，假如恒力F 作用在m 上，则F 至少为多大，可以使M 、m 之间产生相对滑动？ 练1、如图所示，物体A 、B 的质量分别为2kg 和1kg ，A 置于光滑的水平地面上，B 叠加在A 上。已知A 、B 间的动摩擦因数为，水平向右的拉力F 作用在B 上， A 、 B 一起相对静止开始做匀加速运动。加速度为2/s m 。（2 /10s m g =）求： （1）力F 的大小。 （2）A 受到的摩擦力大小和方向。 （3）A 、B 之间的最大静摩擦力？A 能获得的最大加速度？ （4）要想A 、B 一起加速（相对静止），力F 应满足什么条件？ （5）要想A 、B 分离，力F 应满足什么条件？ 练2、物体A 放在物体B 上，物体B 放在光滑的水平面上，已知6=A m kg ，2=B m kg ，A 、B 间动摩擦因数2.0=μ，如图所示。现用一水平向右的拉力F 作用于物体A 上，则下列说法中正确的是（10=g m/s 2）（ ） A ．当拉力F <12N 时，A 静止不动 B ．当拉力F =16N 时，A 对B 的摩擦力等于4N C ．当拉力F >16N 时，A 一定相对B 滑动 D ．无论拉力F 多大，A 相对B 始终静止 2、如图，物体A 叠放在物体B 上，B 置于光滑水平面上，A 、B 质量分别为m A ＝6 kg 、m B ＝2 kg ，A 、B 之间的动摩擦因数是，开始时F ＝10 N ，此后逐渐增加，在增大到45 N 的过程中，则( ) A ．当拉力F ＜12 N 时，两物体均保持静止状态 B ．两物体开始没有相对运动，当拉力超过12 N 时，开始相对滑动 C ．两物体间从受力开始就有相对运动 D ．两物体间始终没有相对运动
第四节带电粒子在匀强磁场中的运动 一、带电粒子在匀强磁场中的运动 1．若v∥B，带电粒子不受洛伦兹力，在匀强磁场中做____________运动． 2．若v⊥B，带电粒子仅受洛伦兹力作用，在垂直于磁感线的平面内以入射速度v做_______运动． (1)向心力由洛伦兹力提供：qvB＝__________＝__________； (2)轨道半径公式：R＝mv qB ； (3)周期：T＝2πR v ＝ 2πm qB (周期T与速度v、轨道半径R无关)； (4)频率：f＝1 T ＝ qB 2πm ； (5)角速度：ω＝2π T ＝__________. 二、带电粒子在有界磁场中的运动 1．分析方法：找圆心、求半径、确定转过的圆心角的大小是解决这类问题的前提，确定轨道半径和给定的几何量之间的关系是解题的基础，有时需要建立运动时间t和转过的圆心角α之间的关系作为辅助． (1)圆心的确定 ①基本思路：与速度方向垂直的直线和图中弦的中垂线一定过圆心． ②两种情形 a．已知入射方向和出射方向时，可通过入射点和出射点分别作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图所示，图中P为入射点，M为出射点)．b．已知入射方向和出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图所示，图中P为入射点，M为出射点)． (2)半径的确定 用几何知识(勾股定理、三角函数等)求出半径大小． (3)运动时间的确定 粒子在磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为α时，其运动时间为： t＝ α 360° T(或t＝ α 2π T)． 2．规律总结 带电粒子在不同边界磁场中的运动 (1)直线边界(进出磁场具有对称性，如图) (2)平行边界(存在临界条件，如图) (3)圆形边界(沿径向射入必沿径向射出，如图)
带电粒子在磁场运动的临界与极值问题考点解读 解决此类问题的关键是：找准临界点． 找临界点的方法是：以题目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等词语为突破口，借助半径R和速度v(或磁场B)之间的约束关系进行动态运动轨迹分析，确定轨迹圆和边界的关系，找出临界点，然后利用数学方法求解极值，常用结论如下： (1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切． (2)当速度v一定时，弧长(或弦长)越长，圆周角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长． (3)当速率v变化时，圆周角越大，运动时间越长． 典例剖析 1．磁感应强度的极值问题 例1 如图所示，一带正电的质子以速度v0从O点垂直射入，两个板间存在垂直纸面向里的匀强磁场．已知两板之间距离为d，板长为d，O点是板的正中间，为使质子能从两板间射出，试求磁感应强度应满足的条件(已知质子的带电荷量为e，质量为m)． 2．偏角的极值问题 例2 在真空中，半径r＝3×10－2 m的圆形区域内有匀强磁场，方向如图所示，磁感应强度B＝0.2 T，一个带正电的粒子以初速度v0＝1×106 m/s从磁场边界上直径ab的一端a射入 磁场，已知该粒子的比荷q m＝1×10 8 C/kg，不计粒子重力． (1)求粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径； (2)若要使粒子飞离磁场时有最大偏转角，求入射时v0与ab的夹角θ及粒子的最大偏转角． 3．时间的极值问题 例3如图所示，M、N为两块带等量异种电荷的平行金属板，两板间电压可取从零到某一最大值之间的各种数值．静止的带电粒子带电荷量为＋q，质量为m(不计重力)，从点P经
电场加速后，从小孔Q进入N板右侧的匀强磁场区域，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，CD为磁场边界上的一绝缘板，它与N板的夹角为θ＝45°，孔Q到板的下端C 的距离为L，当M、N两板间电压取最大值时，粒子恰垂直打在CD板上，求： (1)两板间电压的最大值U m； (2)CD板上可能被粒子打中的区域的长度x； (3)粒子在磁场中运动的最长时间t m. 4．面积的极值问题 例4如图12所示，一带电质点，质量为m，电量为q，以平行于Ox轴的速度v从y轴上的a点射入图中第一象限所示的区域。为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于Ox轴的速度v射出，可在适当的地方加一个垂直于xy平面、磁感应强度为B的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求这圆形磁场区域的最小半径。重力忽略不计。 《带电粒子在磁场运动的临界与极值》反馈训练 1. 一个质子和一个α粒子沿垂直于磁感线方向从同一点射入一个匀
专题二：动力学中的临界极值问题 1当物体的运动从一种状态转变为另一种状态时必然有一个转折点，这个转折点所对应的状态叫做临界状态；在临界状态时必须满足的条件叫做临界条件?用变化的观点正确分析物体的受力情况、运动状态变化情况，同时抓住满足临界值的条件是求解此类问题的关键. 2 ?临界或极值条件的标志 (1) 有些题目中有刚好” 恰好” 正好”等字眼，明显表明题述的过程存在着临界点； (2) 若题目中有取值范围”、多长时间”、多大距离”等词语，表明题述的过程存在着起止点”而这些起止点 往往就是临界状态； (3) 若题目中有最大”、最小”、至多”、至少”等字眼，表明题述的过程存在着极值，这个极值点往往是临界占； 八、、\ (4) 若题目要求最终加速度”、稳定加速度”等，即是要求收尾加速度或收尾速度. 3?动力学中的典型临界条件 (1) 接触与脱离的临界条件：两物体相接触或脱离，临界条件是：弹力F N= 0. (2) 相对滑动的临界条件：两物体相接触且处于相对静止时，常存在着静摩擦力，则相对滑动的临界条件是：静摩擦力达到最大值. (3) 绳子断裂与松驰的临界条件：绳子所能承受的张力是有限度的，绳子断与不断的临界条件是绳中张力等于 它所能承受的最大张力，绳子松驰的临界条件是：F T = 0. (4) 加速度变化时，速度达到最大的临界条件：当加速度变化为a= 0时. 【例1 □如图所示，质量为m= 1 kg的物块放在倾角为0= 37°的斜面体上，斜面体质量为M = 2 kg，斜面体与物块 间的动摩擦因数为尸0.2，地面光滑，现对斜面体施一水平推力F，要 使物块m相对斜面静止，试确定推力F的 取值范围.(sin 37 =0.6, cos 37 = 0.8, g= 10 m/s2) 【例2 如图所示，物体A叠放在物体B上，B置于光滑水平面上, 之间的动摩擦因数卩=0.2,开始时F = 10 N，此后逐渐增加，在增大到 A .当拉力F<12 N时，物体均保持静止状态 B ?两物体开始没有相对运动，当拉力超过12 N时，开始相对运动 45 N的过程中，贝U ( A、B 质量分别为m A = 6 kg , m B = 2 kg , A、B
专题临界问题 一、临界问题 1．临界状态：在物体的运动状态变化的过程中，相关的一些物理量也随之发生变化。当物体的运动变化到某个特定状态时，有关的物理量将发生突变，该物理量的值叫临界值，这个特定状态称之为临界状态。临界状态是发生量变和质变的转折点。 2．关键词语：在动力学问题中出现的“最大”、“最小”、“刚好”、“恰能”等词语，一般都暗示了临界状态的出现，隐含了相应的临界条件。 二、例题分析 【例1】一个质量为0.1千克的小球，用细线吊在倾角θ为37°的斜面顶端，如图所示。系统静止时绳与斜面平行，不计一切摩擦。求下列情况下，绳子受到的拉力为多少? (1)系统以6米／秒2的加速度向左加速运动 (2)系统以l0米／秒2的加速度向右加速运动 (3)系统以15米／秒2的加速度向右加速运动(提示：怎样建立直角坐标系更好？） T=0.12N T=1.4N T=1.8N
练习：轻绳AB与竖直方向的夹角＝ ，绳BC水平，小球质量m＝0.4 kg，问当小车分别以 2.5、
8的加速度向右做匀加速 运动时，绳AB的张力各是多少？（取g＝10）3、（1）5N（2）5.12N 【例2】质量分别为m和M的两物体叠放在光滑水平地面上，两物体间的动摩擦因数为μ，水平拉力F的作用在M上，两物体相对静止一起向右运动。求：⑴物体m受的摩擦力f； ⑵若F增大，f如何变化⑶要保持两物体相对静止，求拉力F取值要求(4)现施水平力F拉m，为使m和M不发生相对滑动，水平力F不得超过多少？（最大静摩擦力等于滑动摩擦力） ⑴mF/(M+m) ⑵增大⑶F≤μ(M+m) g （4）F≤μmg(M+m) /M
高二物理选修3-1第三章磁场第六节带电粒子在匀强磁场中的运动有界磁场向各个方向运动专题专项训练 习题集 【知识点梳理】 在有界的磁场中从同一点向各个方向发射出去的相同的带电粒子在运动中，存在两种情况。当它们的速度大小不同时，在磁场中运动的半径不同，相同的带电粒子，在相同的磁场中运动的半径与速度成正比。当它们的速度大小相同时，在磁场中运动的半径相同，它们运动圆心的轨迹是在同一个圆周上。这个圆是以发射点为圆心，以带电粒子在此磁场中运动的半径为半径的圆。 【典题强化】 1．如图所示，在直角三角形abc区域内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，∠a=60°，∠b=90°，边长ab=L。一个粒子源在b点将质量为m，电荷量为q的带负电 粒子以大小和方向不同的速度射入磁场，在磁场中运动时间最长的粒子中， 速度的最大值是（） A．qBL/3m B．qBL/3m C．qBL/2m D．qBL/m 2．如图所示，在直角三角形abc区域内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，∠a=600，∠b=900，边长ac=L。一个粒子源在a点将质量为m、电荷量为q的带正电粒 子以大小和方向不同的速度射入磁场，在磁场中运动时间最长的粒子中，速 度的最大值是（） A．qBL/2m B．qBL/6m C．qBL/4m D．qBL/6m 3．如图所示，在xOy平面内有一半径为r的圆形磁场区域，其内分布着磁感应强度为B方向垂直纸面向里的匀强磁场，圆形区域边界上放有圆形的感光胶片，粒子打在其上会感光。在 磁场边界与x轴交点A处有一放射源A，发出质量为m，电量为q的粒子沿垂直 磁场方向进入磁场，其方向分布在由AB和AC所夹角度内，B和C为磁区边界 与y轴的两个交点．经过足够长的时间，结果光斑全部落在第Ⅱ象限的感光胶片 上，则这些粒子中速度最大的是（） A．qBr/2m B．qBr/2m C．qBr/m D．(2+)qBr/m 4．如图所示，在半径为R的圆形区域内，有匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直于圆平面（未画出）。一群比荷都为α的负离子体以相同速率v0（较大），由P点在纸平面内向不同方向射入磁场中发生偏转后，又飞出磁场，则下列说法正确的是（不计重力）（） A．离子飞出磁场时的动能一定相等 B．离子在磁场中运动半径不一定相等 C．沿PQ方向射入的离子飞出时偏转角最大 D．由Q点飞出的离子在磁场中运动的时间最长 5．如图所示，在半径为R的圆形区域内，有匀强磁场，方向垂直于圆平面（未画出）．一群相同的带电粒子以相同速率v0，由P点在纸平面内向不同方向射入磁场．当磁感应强度大小为B1时，所有粒子出磁场的区域占整个圆周长的1/3；当磁感应强度大小减小为B2时，这些粒子在磁场中 运动时间最长的是2πR/3v0．则磁感应强度B1、B2的比值（不计重力）是（）
有界磁场问题 直线边界磁场 1、如图所示，在y＜0的区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直于xy平面并指向纸面向里，磁感强度为B.一带负电的粒子（质量为m、电荷量为q）以速度v0从O点射入磁场，入射方 向在xy平面内，与x轴正向的夹角为θ.求： (1)该粒子射出磁场的位置 (2)该粒子在磁场中运动的时间.(粒子所受重力不计) 2、如图所示直线MN上方有磁感应强度为B的匀强磁场。正、负电子同时从同一点O以与MN成30°角的同样速度v 射入磁场（电子质量为m，电荷为e），它们从磁场中射出 时相距多远？射出的时间差是多少？ 圆形边界磁场 1、如图所示，带负电的粒子垂直磁场方向进入圆形匀强磁场区域，出磁场时速度偏离原方向60°角，已知带电粒子质量m=3×10-20kg，电量q=10-13C，速度v0=105m/s，磁场区域的半径R=3×10-1m，不计重力，求磁场的磁感应强度。 2、如图所示，虚线所围区域内有方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。一束电子沿圆形区域的直径方向以速度v射入磁场，电子束经过磁场区后，其运动的方向与原入射方向成θ角。设电子质量为m， 电荷量为e，不计电子之间的相互作用力及所受的重力。求： （1）电子在磁场中运动轨迹的半径R； （2）电子在磁场中运动的时间t； （3）圆形磁场区域的半径r。
磁场中的临界问题 放缩法找临界 1、在真空中宽ｄ的区域内有匀强磁场Ｂ，质量为ｍ，电量为e，速率为ｖ的电子从边 界ＣＤ外侧垂直射入磁场，入射方向与ＣＤ夹角θ，为了使电子能从磁场的另一侧边界 ＥＦ射出，ｖ应满足的条件是：（） Ａ.v＞eBd/m（1+sinθ）Ｂ.v＞eBd/m（1+cosθ） Ｃ.v＞eBd/msinθＤ.v＜eBd/mcosθ 2、如图所示，一足够长的矩形区域abcd内充满方向垂直纸面向里的、磁感应强度为B的匀强磁场，在ad 边中点O方向垂直磁场射入一速度方向跟ad边夹角θ=300、大小为v0的带电粒子，已知粒子质量为m、电量为q，ab边足够长，ad边长为L，粒子的重力不计。求：⑴.粒子能从ab边上射出磁场的v0大小范围。 ⑵.如果带电粒子不受上述v0大小范围的限制，求粒子在磁场中运动的最长时间。 平移法找临界 1、如图,真空室内存在匀强磁场,磁场方向垂直于纸面向里,磁感应强度的大小B=0.60T,磁场内有一块平面感光板ab,板面与磁场方向平行,在距ab的距离L=16cm处,有一个点状的放射源S,它向各个方向发射α粒子,α粒子的速度都是v=4.8x106 m/s,已知α粒子的电荷与质量之比q/m=5.0x107C/kg现只考虑在图纸平面中运动的α粒子,求ab上被α粒子打中的区域的长度.
带电粒子在有界磁场中运动的临界问题 此类问题的解题关键是寻找临界点，寻找临界点的有效方法是： ① 轨迹圆的缩放： 当入射粒子的入射方向不变而速度大小可变时，粒子做圆周运动的圆心一定在入射点所受洛伦兹力所表示的射线上，但位置（半径R ）不确定，用圆规作出一系列大小不同的轨迹图，从圆的动态变化中即可发现“临界点”. 例1 一个质量为m ，带电量为+q 的粒子（不计重力），从O 点处沿+y 方向以初速度射入一个边界为矩形的匀强磁场中，磁场方向垂直于xy 平面向里，它的边界分别是y=0,y=a,x=-1.5a,如图所示，那么当B 满足条件_________时，粒子将从上边界射出：当B 满足条件_________时，粒子将从左边界射出：当B 满足条件_________时，粒子将从下边界射出： 例2 如图9-8所示真空中宽为d 的区域内有强度为B 的匀强磁场方向如图，质量m 带电-q 的粒子以与CD 成θ角的速度V0垂直射入磁场中。要使粒子必能从EF 射出，则初速度V0应满足什么条件？EF 上有粒子射出的区域？ 【审题】如图9-9所示，当入射速度很小时电子会在磁场中转动一段圆弧后又从同一侧射出，速率越大，轨道半径越大，当轨道与边界相切时，电子恰好不能从另一侧射出，当速率大于这个临界值时便从右边界射出，依此画出临界轨迹，借助几何知识即可求解速度的临界值；对于射出区域，只要找出上下边界即可。 【解析】粒子从A 点进入磁场后受洛伦兹力作匀速圆周运动，要使粒子必能从EF 射出，则 相应的临界轨迹必为过点A 并与EF 相切的轨迹如图9-10所示，作出A 、P 点速度的垂线相 交于O/即为该临界轨迹的圆心。 临界半径R0由d Cos θR R 00=+ 有: θ += Cos 1d R 0； 故粒子必能穿出EF 的实际运动轨迹半径R ≥R0 即: θ+≥ = Cos 1d qB mv R 0 有: )Cos 1(m qBd v 0θ+≥ 。 图9-8 图9-9 图9-10
牛顿第二定律专题（二）—临界问题与极值问题 1．临界问题和极值问题 涉及临界状态的问题叫临界问题。临界状态常指某种物理现象由量变到质变过渡到另一种物理现象的连接状态，常伴有极值问题出现。临界问题常伴有特征字眼出现，如“恰好”、“刚刚”等，找准临界条件与极值条件，是解决临界问题与极值问题的关键。 能处理力学中常见的三类临界问题的临界条件： （1）相互接触的两个物体将要脱离的临界条件是：相互作用的弹力为零 （2）绳子松弛的临界条件是：绳中拉力为零 （3）存在静摩擦的连接系统，当系统外力大于最大静摩擦力时，物体间不一定有相对滑动，相对滑动与相对静止的临界条件是：静摩擦力达最大值 2．掌握临界问题的基本思路： ①仔细审题，认真分析研究对象所经历的物理过程，找到临界状态 ②找到重要物理量的变化规律，找出临界条件 ③根据临界条件列方程求解 例1：有一质量M=4kg的小车置于光滑水平桌面上，在小车上放一质量m=6kg的物块，动摩擦因素μ=0.2,现对物块施加F=25N的水平拉力,如图所示，求小车的加速度？（设车与物块之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力且g取10m/s2) 例1
例2．如图，光滑斜面质量为M=8 kg ，小球m=2kg ，用细绳悬挂相对静止在斜面上，求： (1)用多大的水平力F 推斜面时，绳中的张力为零? (2)用多大的水平力F 推斜面时，小球对斜面的压力为零? 例3：如图所示， m =4kg 的小球挂在小车后壁上，细线与竖直方向成37°角。求： （1）小车以a=g 向右加速； （2）小车以a=g 向右减速时，细线对小球的拉力F 1和后壁对小球的压力F 2各多大？ 例4．托盘A 托着质量为m 的重物B ，B 挂在劲度系数为k 的弹簧下端，弹簧的上端悬挂于O 点，开始时弹簧竖直且为原长，今让托盘A 竖直向下做初速为零的匀加速运动，其加速度为a ，求经过多长时间，A 与B 开始分离（a g ）． 例2题图 例4
解决带电粒子在有界磁场中运动的临界问题的两种方法 此类问题的解题关键是寻找临界点，寻找临界点的有效方法是： ①轨迹圆的缩放： 当入射粒子的入射方向不变而速度大小可变时，粒子做圆周运动的圆心一定在入射点所受洛伦兹力所表示的射线上，但位置（半径R）不确定，用圆规作出一系列大小不同的轨迹图，从圆的动态变化中即可发现“临界点”. 例1一个质量为m，带电量为+q的粒子（不计重力）， 从O点处沿+y方向以初速度射入一个边界为矩形的匀强 磁场中，磁场方向垂直于xy平面向里，它的边界分别是 y=0,y=a,x=-1.5a,如图所示，那么当B满足条件_________ 时，粒子将从上边界射出：当B满足条件_________时， 粒子将从左边界射出：当B满足条件_________时，粒子 将从下边界射出： 例2 如图9-8所示真空中宽为d的区域内有强度为B的匀强磁场方向如图，质量m带电-q的粒子以与CD成θ角的速度V0垂直射入磁场中。要使粒子必能从EF射出，则初速度V0应满足什么条件？EF上有粒子射出的区域？ 【审题】如图9-9所示，当入射速度很小时电子会在磁场中转动一段圆弧后又从同一侧射出，速率越大，轨道半径越大，当轨道与边界相切时，电子恰好不能从另一侧射出，当速率大于这个临界值时便从右边界射出，依此画出临界轨迹，借助几何知识即可求解速度的临界值；对于射出区域，只要找出上下边界即可。 【解析】粒子从A点进入磁场后受洛伦兹力作匀速圆周运动，要使粒子必能从EF射出，则 相应的临界轨迹必为过点A并与EF相切的轨迹如图9-10所示，作出A、P点速度的垂线相交于O/即为该临界轨迹的圆心。 临界半径R0由 d Cosθ R R0 = + 有: θ + = Cos 1 d R0 ； 故粒子必能穿出EF的实际运动轨迹半径R≥R0 即: θ + ≥ = Cos 1 d qB mv R0 有: ) Cos 1( m qBd v0 θ + ≥ 。 图9-8 图9-9 图 9-10
带电粒子在匀强磁场中的运动 毛卫娟 一、教学目标 1．知识与技能 (1)理解洛伦兹力对粒子不做功。 (2)理解带电粒子的初速度方向与磁感应强度的方向垂直时，粒子在匀强磁场中做匀速 圆周运动。 (3)会推导带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径、周期公式，知道它们与哪些 因素有关，并会用它们解答有关问题。 (4)知道质谱仪的工作原理。知道回旋加速器的基本构造、工作原理及用途。 2．过程与方法 通过综合运用力学知识、电磁学知识解决带电粒子在复合场(电场、磁场)中的问题，培养学生的分析推理能力。 3．情感、态度与价值观 通过本节知识的学习，充分了解科技的巨大威力，体会科技的创新与应用历程。 二、教学重点难点 重点：带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径和周期公式，并能用来分析有关问题。 难点：带电粒子在匀强磁场中的受力分析及运动径迹。 三、教学方法 实验观察法、讲述法、分析推理法。 四、教学用具 洛伦兹力演示仪、电源、投影仪、投影片、多媒体辅助教学设备。 五、教学过程 （一）导入新课 问题1：什么是洛伦兹力？ 磁场对运动电荷的作用力 问题2：带电粒子在磁场中是否一定受洛伦兹力？ 不一定，洛伦兹力的计算公式为F＝qvBsinθ，θ为电荷运动方向与磁场方向的夹角，当θ＝90°时，F＝qvB；当θ＝0°时，F＝0。 问题3：带电粒子垂直磁场方向进入匀强磁场时会做什么运动呢？今天我们来学习——带电粒子在匀强磁场中的运动、质谱仪。 （二）推进新课 [演示]先介绍洛伦兹力演示仪的工作原理，由电子枪发出的电子射线可以使管内的低压水银蒸气发出辉光，显示出电子的径迹。后进行实验。 教师进行演示实验。 [实验现象] 在暗室中可以清楚地看到，在没有磁场作用时，电子的径迹是直线；在管外加上匀强磁场(这个磁场是由两个平行的通电环形线圈产生的)，电子的径迹变弯曲成圆形。 [教师引导学生分析得出结论] （1）当带电粒子的初速度方向与磁场方向垂直时，粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动。 （2）带电粒子垂直进入匀强磁场中的受力及运动情况分析(动态课件)。 一是要明确所研究的物理现象的条件——在匀强磁场中垂直于磁场方向运动的带电粒