2.3.2 抛物线的简单几何性质
第1课时抛物线的简单几何性质
学习目标 1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问
题．
知识点一抛物线的几何性质
思考观察下列图形，思考以下问题：
x轴的抛物线与双曲线及椭圆的图形，分析其几何图形存在哪些区别？观察焦点在答案抛物线与另两种曲线相比较，有明显的不同，椭圆是封闭曲线，有四个顶点，有两个焦点，有中心；双曲线虽然不是封闭曲线，但是有两支，有两个顶点，两个焦点，有中心；抛物线只有一条曲线，一个顶点，一个焦点，无中心．
梳理
图象
xy x xyyxy ≤0R ∈∈R，R≥0R，≥0，∈≤0，范围∈yx 轴轴对称轴
性(0,0)
顶点质pppp????????????????焦点，－0，0－，0，0 ????????2222pppp y xx y准线
＝＝－＝＝－ 2222．
e＝离心率1
焦点弦的性质知识点二
2xyxBpxpFAABy，，>0)焦点)的一条弦，设如图，，是过抛物线＝
2(((
211lxyyABM.
，)，，相应的准线为的中点)(002lAB (1)以相切．为直径的圆必与准线p??x??AB＋ )2．((2)|焦点弦长与中点关系|＝0??2pxxAB.
＋＋|＝(3)|21p2ABAB.
的倾斜角为α，则|＝(4)若直线|2αsin AB如当α＝90°时，叫做抛物线的通径，是所有焦点弦中最短的．2p2pyyxABx.
·＝，，两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即·(5)＝－21214
)
1．抛物线关于顶点对称．( ×) 2．抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心．( √)
√3．抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相
同．(
抛物线几何性质的应用类型一BlAlFxFx两点，过与抛物线交于直线且垂直于已知抛物线的焦点例1 ，在轴，轴上，OABO，求此抛物线的标准方程．的面积等于4为坐标原点，若△抛物线的标准方程考点
求抛物线方程题点
2mymx＝2≠0)，(解由题意，设抛物线方程为mm????xFl0，＝焦点，，直线：
??22mm????mm????BA，－，所以，两点坐标为，，????22mAB|. ＝所以||2|OAB，4的面积为因为△．
m1mm2.
＝±2|＝4所以·||·2|，所以222xy. ＝±4所以抛物线的标准方程为2 引申探究
2AOBpOOAOBAOBypx的>0)，(⊥等腰直角三角形为抛物线的顶点，内接于抛物线，则△＝2)
面积是(
2222pppp．2A．8．B．4DCB
答案
AOBx为等腰直角三角形，所以由抛物线的对称性因为抛物线的对称轴为轴，内接△解析xABOA 45°.与知，直线轴的夹角为与抛物线的对称轴垂直，从而直线xy，＝??由方程组?2pxy，2＝??pxx，＝2＝0，????得或??pyy，＝02＝????ABp,ppp)．(2 ，两点的坐标分别为(2，－22)所以易得和12ABpSppp.
×2＝44，所以＝＝所以|×4|AOB△2反思与感悟把握三个要点确定抛物线简单几何性质
xy，一次项的系数是正(1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是还是还是负．
(2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴．
pp；2长为离心率恒过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径焦点到准线的距离为(3)定值：)；等于1.
xP到准线及对称轴轴对称，它的顶点在坐标原点，其上一点跟踪训练1 已知抛物线关于距离分别为10和6，求抛物线的方程．
考点抛物线的标准方程
题点求抛物线方程
2yPxaxya，解设抛物线的方程为2＝．(≠0)，点)(00P 6，因为点到对称轴距离为y所以＝±
6.0P，10到准线距离为因为点．
a??x??＋＝10.①所以0??2axP＝2因为点，②在抛物线上，所以360aaaa，，＝－＝18，2＝－18＝2，????????或或或由①②，得????xxxx9.＝1＝－＝－＝91????????000022xyyx. ＝±4＝±36所以所求抛物线的方程为或抛物线的焦点弦问题类型二
2lxFABly的倾的焦点，经过抛物线，且与抛物线相交于＝6例2 已知直线两点．若直线AB||的
值．斜角为60°，求抛物线的焦点弦问题考点
求抛物线的焦点弦长题点
l的倾斜角为解因为直线60°，k3.
＝tan60°＝所以其斜率3????F0，又，??23??x??yl－. 所以直线＝的方程为3??22xy，6＝???联立3??x??y－3，＝????292xxy0.
5消去＝，得＋－4xxxyAxyB，，则，＝)，＋(，5设)(221211ppxABAFBFx＋|＋|＋|＝而|＋|＝|2122pxx＋＝，＋21AB8. |＝5＋3所以|＝引申探究
ABxll|1．若本例中“直线的倾斜角为60°”改为“直线的值．垂直于|轴”，求3xl直线解＝的方程为，2333??????xxx，，＝＝，＝222???或解得联立???2???yyyx3.＝－3＝，6＝
AB6.
3)＝＝3－(所以|－|MABABl到准线的距|60°”改为“|＝9”，求线段2．若本例中“直线的中点的倾斜角为离．yxAxyB设，((，，)，)解2211xxAFBFxxpAB |＝＋＋，＋＋由抛物线定义知|＝|＝|3|＋|2121MABxx3. 的中点所以，于是线段＋的横坐标是＝6213x＝－又准线方程是，293M. 到准线的距离为3＋所以点＝22通过定义将 (1)解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，反思与感悟焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解． (2)设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论．2BpAypx，>0)＝2，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于跟踪训练2 已知抛物线方程为(5ABABp |＝|所在直线的方程．，求两点，且 2 抛物线的焦点弦问题考点知抛物线焦点弦长求方程题点
p????F0，. 由题意可知，焦点解??2yAxyBx (，，．设)，)(21125ppABxAB⊥≠轴，则||＝2，不合题意，若2kAB的斜率存在，设为故直线，p??x??kABy－.
则直线＝的方程为??2p????x??ky－，＝??222?kppyxky0.
联立消去－，整理得＝－2?2?pxy2＝p22pyyyy. ＋，＝则＝－2211k1??2??yABy＋1
－∴||＝221k??12yyyy
－＝·1＋＋421212k
15????pp＋1 ，＝2＝2k??2k＝±2，解得pp????xx????yABy－－.
或22∴＝－所在直线方程为＝????22 类型三与抛物线有关的最值问题2FxPy例3 设上的一个动点，是抛物线4＝为抛物线的焦点．xPAP到点1(－1,1)的距离与点到直线的距离之和的最小值；(1)求点＝－PFBPB的坐标为(3,2)，求|||＋(2)若点的最小值．| 抛物线的定义考点由抛物线定义求最值题点
xF由＝－如图，易知抛物线的焦点为(1)1.(1,0)，准线方程是解
FxPP的距＝－1抛物线的定义知，点的距离等于点到直线到焦点APP的距离到点1,1)离．于是问题转化为在曲线上求一点(，使点－AFFPAF与抛物线的交与点，到(1,0)的距离之和最小．显然，连接22xPPPA的＝－11,1)点即为点，即点，故最小值为2＋1＝5的距离与点到点到直线(－5.
距离之和的最小值为
2yxBy，(2)如图，把点因为的横坐标代入4＝3.中，得3>22＝±2QBBBQ，交所以点垂直于准线，
垂足为点在抛物线内部．过点作FPPPPFQ所|.＝此时，由抛物线定义知，||抛物线于点，连接|.1111BQPBQPPFPB＝4，＝||＝3|以||＋＋|≥|||＋1|11PFPB4.
||＋||的最小值为即解关于抛物线的最值、定值问题时，首先要注意抛物线上的点到焦点的距离与反思与感悟
点到准线的距离的转化，其次是注意平面几何知识的应用，例如两点之间线段最短、三角形中三边之间的不等关系、点与直线上点的连线中垂线段最短等．2Pyxlyxxl到直上一动点4和直线
＋6＝0：＝－1，抛物线＝3：3 跟踪训练已知直线4－21
ll ) 线 ( 和直线的距离之和的最小值是
21
371 ．A2B3C.．D.
165 抛物线的定义考点 由抛物线定义求最值 题点A
答案．
2
lPxyxl 到1为抛物线的准线．由抛物线的定义知，点解析 由题意知，直线＝：4＝－222
xFyP 上找(1,0)的距离．故所求最值可转化为在抛物线4的距离等于点＝到抛物线的焦点xFlPPFl 4(1,0)，使得点最小值为到点到直线(1,0)和到直线：的距离之和最小，一个点11
6|0＋|4－dy 2. ＋6＝30
的距离，即＝＝－
5
x 轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在1．以坐
标原点，则其方程为( )
22
xyyx ＝－A ．B ＝8． 82222
yxyxyxyx 8D ．＝－8＝ 8．C ＝－＝8或或 抛物线的标准方程考点
题点求抛物线方程C 答案
22
pypxypx (＝2，或2＝－设抛物线解析 >0)pp 22
ppxpxyyyxx ＝和＝－2|，分别代入，得2，|＝依题意得＝或＝－ 22ppy 4. ＝＝|28＝，∴2|2
xy .
＝±8即抛物线方程为2
ayax ) ( 2．抛物线＝ (<0)的焦点坐标和准线方程分别为11????x 0， ，
A.＝－
a ??a 4411????x 0－，＝ B.， a ??a 4411????y ，0＝－， C.
a ??a 4411????y ，－0＝D. ， a ??a 44考点 抛物线的几何性质
题点 与准线、焦点有关的简单几何性质 答案 C
122
yaxxy ， 解析＝可化为＝ a
11????y ，0.
＝－，准线方程为∴其焦点坐标为 a ??a 442
xyQxyxypxpPx ＝)，
)，3．过抛物线(＝2两点，若(，>0)的焦点作直线交抛物线于＋(
211122
PQp ) |等于3( ，则|
pp 5BA ．4．
pp 86D ．C ． 抛物线的焦点弦问题考点 求抛物线的焦点弦长题点A 答案pxPQx ＋|＝，＋解析 由焦点弦公式|21
pxxpPQ .
＝，∴|又4＋|＝3212
BAypxpF 两点，若线2(45°的直线交抛物线于>0)的焦点，4．已知过抛物线作倾斜角为＝pAB ________. ，则段＝的长为8 考点 抛物线的焦点弦问题 知抛物线焦点弦长
求方程题点2 答案
pxABy －的方程为， 解析直线＝ 2
2
pxy ，＝2??2
p 2
?pxyx ，得0－消去3，由＋＝p 4xy ，
－＝? ?2pyxxBAxyx )，∴，设(＋，，)3(＝，221211
pppABxx
2.
＝8∴|，∴|＝＋＝＋4＝
21
xAOBOAB 5.如图，已知边长为2的等边三角形⊥，轴．为坐标原点，ABO 的抛物线方程；(1)求以为顶点且过e . 求抛物线的焦点坐标，准线方程及离心率(2) 抛物线的标准方程考点 求抛物线方程题点
A ，(31)解 (1)由题意知，2
pypx ＝2设抛物线方程为(，>0)3pyx 将3＝，＝＝1，代入得，6．
32
xy . ∴所求抛物线方程为＝3??33??xe ＝－，焦点坐标为抛物线的准线方程为＝1. ，离心率
(2)0，12??12
1．讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程．
2．抛物线中的最值问题：注意抛物线上的点到焦点的距离与点到准线的距离的转化，其次是平面几何知识的应用．
一、选择题
xxy ＋11＝02上，－4则此抛物线的1．已知抛物线的对称轴为焦点在直线轴，顶点在原点，方
程是( )
22
xxyy ．11A ．＝＝－11B 22
xxyy ＝－22．CD ＝22． 考点 抛物线的标准方程 求抛物线方程题
点 D
答案yx 0＋11＝解析 在方程2中，－411xy ，令＝－＝0得
2p 1111????pF 0－，＝11， ∴
抛物线的焦点为，即＝，∴ ??2222
xy .
∴抛物线的方程是22＝－222
pxxypxpy ) 的值为( 2(0)＞的准线与曲线相切，则＋－4－5＝0．已
知抛物线2＝1 ．B ．A2 11 C.D. 42 考点 抛物线的几何性质 题点 抛物线与其他曲线结合有关问题A
答案．
3.2.2《抛物线的几何性质》导学案 【学习目标】 1.抛物线的性质及其灵活运用； 2.抛物线的定义在求解最值问题中的运用. 【导入新课】 复习导入 1.抛物线的定义； 2.抛物线的方程的推导. 新授课阶段 1.抛物线的几何性质 (1) 抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但是没有渐近线． (2) 抛物线只有一条对称轴，这条对称轴垂直于抛物线的准线或与顶点和焦点的连线重合，抛物线没有中心． (3) 抛物线只有一个顶点，它是焦点和焦点在准线上射影的中点． 具体归纳如下表： 特征：1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它渐近线; 2.抛物线只有对称轴,没有对称中心;
3.抛物线只有 顶点、 焦点、 准线; 4.抛物线的离心率是确定的且为1. 例1. 已知抛物线关于x 轴对称, 顶点在坐标原点, 并且过点M(2, -), 求它的标准方程. 解： 例2 斜率为1的直线l 经过抛物线2 4y x =的焦点F ,且与抛物线相交于A ,B 两点,求线段AB 的长. 解： 课堂小结 （一）本节课我们学习了抛物线的几个简单几何性质：范围、对称性、顶点坐标、离心率等概念及其几何意义. （二）了解了研究抛物线的焦半径，焦点弦和通径这对我们解决抛物线中的相关问题有很大的帮助. （三）在对曲线的问题的处理过程中，我们更多的是从方程的角度来挖掘题目中的条件，认识并熟练掌握数与形的联系.在本节课中，我们运用了数形结合，待定系数法来求解抛物线方程，在解题过程中，准确体现了函数与方程以及分类讨论的数学思想. 作业
见同步练习部分 拓展提升 1．抛物线24y x =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( ) A ．1716 B ．1516 C ．78 D ．0 2．已知两点M （－2，0），N （2，0），点P 为坐标平面内的动点，满足|MN → |·|MP → | ＋MN → ·NP → =0，则动点P （x,y ）的轨迹方程是 （ ） A ．y 2=8x B ．y 2=－8x C ．y 2=4x D ．y 2=－4x 3．已知P 是抛物线y=2x 2+1上的动点，定点A （0，―1），点M 分PA → 所成的比为2， 则点M 的轨迹方程是（ ） A ．y=6x 2―31 B ．x=6y 2－31 C ．y=3x 2+3 1 D ．y=―3x 2―1 4．有一个正三角形的两个顶点在抛物线y 2= 2 3 x 上，另一个顶点在原点，则这个三角形的边长是 . 5．对正整数n ，设抛物线x n y )12(22 +=，过)0,2(n P 任作直线l 交抛物线于n n B A ,两点，则数列?? ????????+?)1(2n OB OA n n 的前n 项和公式是 . 6．焦点在x 轴上的抛物线被直线y=2x ＋1截得的弦长为15 ，求抛物线的标准方程. 7．定长为3的线段AB 的两个端点在抛物线y 2=x 上移动，AB 的中点为M ，求点M 到y 轴的最短距离，并求出点M 的坐标.
抛物线的简单几何性质; ●教学目标 1.掌握抛物线的几何性质; 2.能根据几何性质确定抛物线的标准方程; 3.能利用工具作出抛物线的图形. ●教学重点 抛物线的几何性质 ●教学难点 几何性质的应用 ●教学方法 学导式 ●教具准备 三角板 ●教学过程 Ⅰ.复习回顾 简要回顾抛物线定义及标准方程的四种形式(要求学生回答) 师:这一节,我们根据抛物线的标准方程)0(22 p px y = ①来研究它的几何性质 Ⅱ.讲授新课 1. 范围 当x 的值增大时,y 也增大,这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.(但应让学生注意与双曲线一支 的区别,无渐近线). 2.对称性 抛物线关于x 轴对称. 我们把抛物线的对称轴叫抛物线的轴. 3.顶点 抛物线和它的轴的交点叫抛物线的顶点.即坐标原点. 4.离心率 抛物线上的点M 与焦点的距离和它到准线的距离的比,叫抛物线的离心率,用e 表示.由抛物线定义可知,e =1. 说明:对于其余三种形式的抛物线方程,要求自己得出它们的几何性质,这样,有助于学生掌握抛物线四种标准方程. 师:下面,大家通过问题来进一步熟悉抛物线的几何性质. 例1.已知抛物线关于x 轴对称,它的顶点在原点,并且经过点M (2,-22),求它的标准方程,并用描点法画出图形. 师:由已知条件求抛物线的标准方程时,首先要根据已知条件确定抛物线标准方程的类型,再求出方程中的参数P . 解:因为抛物线关于x 轴对称,它的顶点在原点,并且经过点M (2,-22),所以可设它的标准方程为: )0(22 p px y =
因为点M 在抛物线上，所以22)22(2?=-p ，即2=p 因此所求方程是.42x y = 下面列表、描点、作图： 说明：①利用抛物线的对称性可以简化作图步骤； ②抛物线没有渐近线； ③抛物线的标准方程)0(22 p px y =中p 2的几何意义：抛物线的通 径，即连结通过焦点而垂直于x 轴直线与抛物线两交点的线段. 师:下面我们通过练习进一步熟悉并掌握抛物线的标准方程. Ⅲ.课堂练习 课本P 122练习1,2. ●课堂小结 师:通过本节学习,要求大家掌握抛物线的几何性质,并在具体应用时注意区分抛物线标准方程的四种形式. ●课后作业 习题8.6 1,2,5. ●板书设计 ●教学后记
抛物线的几何性质教学设计 1. 教学目标： ⑴掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质； (2) 能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论； (3) 在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化。 2. 过程与方法 学会用类比的思想分析解决问题。 3■情态与价值观 学生通过和椭圆，双曲线和抛物线之间的简单几何性质类比， 了解到事物之间的普遍联系性。 教学重点:抛物线的几何性质及其运用 教学难点：抛物线几何性质的运用 授课类型：新授课 教学方法：学导式，启发式 教学过程设计： 教学环节 教学内容 设计意图 2. 新课探讨 以抛物线 2 1. 温故知新, 引入新课 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 l Y i 2 Y =2px (P>0) 任,0】 B 丿 P X =— 2 O
y =2px(p>0)为例
例1:已知抛物线关于 X 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点 M ￠,-2耳2),求它的标准方程。 解： 因为抛物线关于X 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点 M<2,-2^2》所以设方程为：y 2 = 2px (p>0)，又因为点M 在抛物线 上：(一2√? 2 =2px2 ，p = 2。因此所求抛物线标准方程为： y 2 =4x 当焦点在x(y)轴上,开口方向不定时，设为y2=2mx(m ≠ 0) (x2=2my (m ≠ O)),可避免讨论 2 例2.斜率为1的直线 经过抛物线 y = 4x 的焦点F ，且与抛物线 相交于A ，B 两点，求线段 AB 的长。 分析：法一、直线和抛物线联立为方程组，求出两个交点 A 、B ,然 后用两点间的距离公式求 AB 的长。 法二、设而不求，利用弦长公式来求 AB 的长。 法三、设而不求，数形结合，利用定义来求 AB 的长。 本题重在考试第三种方法。 解由题意可知，p =2, P =1, 2 焦点F 1,0 ,准线I : X =T . 3. 三种圆锥曲 线的简单几 何性质比较 学习新知识不 忘老知识，比较 着学习，总结归 纳更容 易让学 生掌握本课内 容。 4.经典例题
《抛物线的简单几何性质》教案 《抛物线的简单几何性质》教案及教材分析 教材:《全日制高级中学课本(必修)数学》第二册(上) 一. 教学理念 “数学教师不能充当数学知识的施舍者，没有人能教会学生,数学素质是学生在数学活动中自己获得的。”因此,教师的责任关键在于在教学过程中创设一个”数学活动”环境,让学生通过这个环境的相互作用,利用自身的知识和经验构建自己的理解,获得知识，从而培养自己的数学素质,培养自己的能力。 数学源于生活,高于生活,学习数学的最终目的是应用于生活(回归生活),通过平时教学,注意这方面的渗透,培养学生解决实际问题的能力。 二. 教材分析 1、本节教材的地位 本节通过类比椭圆、双曲线的几何性质,结合抛物线的标准方程讨论研究抛物线的几 何性质,让学生再一次体会用曲线的方程研究曲线性质的方法,学生不难掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等性质,对于抛物线几何性质的应用是学生学习的难点，教学中应强调几何模型与数学问题的转换。例1的设计，在于让学生通过作图感知p 的大小对抛物线开口的影响，引出通径的定义。例2的设计旨在利用抛物线的几何性质数学地解决实际问题即作抛物线的草图。 本节是第一课时,在数学思想和方法上可与椭圆、双曲线的性质对比进行,着重指出它 们的联系和区别，从而培养学生分析、归纳、推理等能力。 2、教学目标 (1) 知识目标： ⅰ 抛物线的几何性质、范围、对称性、定点、离心率。. ⅱ 抛物线的通径及画法。 (2) 能力目标：. ⅰ 使学生掌握抛物线的几何性质，根据给出条件求抛物线的标准方程。 ⅱ 掌握抛物线的画法。 (3) 情感目标： ⅰ 培养学生数形结合及方程的思想。 ) 0(22>=p px y
高中数学《抛物线的简单几何性质》学案新人 教版选修 92、4、2抛物线的简单几何性质 【课程标准】 了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道抛物线的几何性质 【学习目标】 1、通过自主学习了解抛物线的对称性、范围、顶点、离心率等简单几何性质 2、能从抛物线的标准方程出发推导抛物线的性质，从而培养学生的分析、归纳、推理能力 3、通过例题和练习逐步掌握对称性、范围、顶点、离心率等简单几何性质 【自主学习】 请类比椭圆、双曲线的几何性质，讨论抛物线的性质以为例 1、范围 2、对称性 3、顶点 4、离心率
【典型例题】 例 1、轻松判断（1）顶点在原点、焦点在坐标轴上且经过点（3,2）的抛物线有4条（）（2）像椭圆、双曲线一样，一条抛物线有两个焦点，两条对称轴，一个对称中心（）（3）抛物线的的取值范围是不同的，但其焦点到准线的距离是相同的，离心率也相同（）（4）过抛物线焦点且垂直于对称轴的直线与抛物线交于两点A,B,则与抛物线标准方程的一次项系数相等( )例 2、边长为4的正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线上，求抛物线方程例 3、已知抛物线 ,设点A的坐标为，求抛物线上距离点A最近的点P的坐标及相应的距离、变式: 抛物线x2=4y的焦点为F, 斜率为2的直线经过抛物线的焦点,且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长、拓展提高： 抛物线y2=4x的焦点为F, 点M在抛物线上运动, A(2,2), 试求|MA|+|MF|的最小值、 【课堂练习】 1、若抛物线上一点P到准线的距离等于它到顶点O的距离，则P点的坐标为（） 2、连接抛物线上任意四点组成的图形有可能是（填写所有正确序号）①菱形②有3条边相等的四边形③梯形④平行四边形
2.3.2 抛物线的几何性质教学设计
一、复习回顾 思考： 如何根据标准方程确定焦点位置以及开口方向？ 答：一次定焦点，正负定方向。 图 形 标准 方程 ) 0(22>=p px y )0(2-2>=p px y )0(22>=p py x ) 0(22>-=p py x 焦点 坐标 ）（0,2 p F ）（0,2-p F ），（20p F ），（2 -0p F 准线 方程 2 p x -= 2 p x = 2 p y -= 2 p y = 个，一起对答案即可。 温故而知新。这些都是本节课需要用到的相关概念，复习一遍便于后面解决问题。 二、课内探究 问题：我们在前面学习了椭圆与双曲线的标准方程，并根据其标准方程研究了它们的几何性质，现在回忆一下，我们研究过椭圆和双曲线哪些性质？ 学生答：椭圆：范围、对称性、顶点、离心率。 双曲线：范围、对称性、顶点、渐近线、离心率。 提出问题：通过对椭圆和双曲线几何性质的学习,应用类比的方 法，请学生讨论一下抛物线22(0)y px p =>的几何性质. 1、范围 2、对称性。 3、顶点坐标 4、离心率 总结： 开口向右的抛物线四条几何性质。 学生回 答，并强调这几类方法 教师提示，先研究两个性质。学生通过小组讨论得到结论。 另外两个性质 为引出抛物线几何性质做准备。 让学生自己发现总结，便于更好的理解并掌握性质。
二、通过以上讨论我们知道了抛物线22(0)y px p =>的几何性质，对于另外三种形式的标准方程，它们的几何性质又是怎样的？请同学们应用类比的方法看看这三种标准形式的抛物线有哪些性质. 思考:类比22(0)y px p =>几何性质,把下列表格填完整. 思考：抛物线的性质有哪些特点？ 1、标准方程的抛物线是否位于整个坐标平面内,是否有渐近线？ 2、抛物线有几条对称轴，有无对称中心？ 3、抛物线有几个顶点、几个焦点、几条准线？ 4、抛物线的离心率是否确定？ 标准 方程 2 2(0) y px p => 2 2(0)y px p =-> 2 2(0)x py p => 2 2(0)x py p =-> 图形 焦点 坐标 ）（0,2p F ）（0,2- p F ），（20p F ），（2-0p F 准线 方程 2 p x -= 2 p x = 2 p y -= 2 p y = 范围 }0|{≥x x }0|{≤x x }0|{≥y y }0|{≤y y 对称轴 x 轴 y 轴 顶点 坐标 （0,0） 离心率 1=e 教师先 给出定 义，然后学生回答。 学生自己通过类比， 填写表格。 学生思考并回答，进一步对抛物线几何性质的掌握 培养学 生类比的能力，提高归纳总结能力 此问题为了与椭圆和双曲线的性质区分开，便于记忆。
3.3.2抛物线的简单几何性质 基础过关练 题组一抛物线的几何性质及其运用 1.已知抛物线x2=2py(p>0)的准线经过点(-1,-1),则抛物线的焦点坐标为() A.(-1,0) B.(0,-1) C.(1,0) D.(0,1) 2.已知点P(6,y)在抛物线y2=2px(p>0)上,若点P到抛物线焦点F的距离等于8,则焦点F到抛物线准线的距离等于() A.2 B.1 C.4 D.8 3.已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆(x-3)2+y2=16相切,则p的值为() B.1 C.2 D.4 A.1 2 4.已知点A是抛物线y2=2px(p>0)上一点,F为抛物线的焦点,O为坐标原点,当 |AF|=4时,∠OFA=120°,则抛物线的准线方程是() A.x=-1 B.y=-1 C.x=-2 D.y=-2 5.抛物线y2=4x的焦点为F,点P为抛物线上的动点,点M为其准线上的动点,当 △FPM为等边三角形时,其面积为() A.2√3 B.4 C.6 D.4√3 6.一条光线从抛物线y2=2px(p>0)的焦点F射出,经抛物线上一点B反射后,反射光线经过点A(5,4),若|AB|+|FB|=6,则抛物线的标准方程为.
题组二直线与抛物线的位置关系 7.已知直线l:y=x-1与抛物线C:y2=4x相交于A、B两点,则|AB|为() A.5 B.6 C.7 D.8 8.已知直线y=kx-k及抛物线y2=2px(p>0),则() A.直线与抛物线有一个公共点 B.直线与抛物线有两个公共点 C.直线与抛物线有一个或两个公共点 D.直线与抛物线可能没有公共点 9.过点(0,1)且与抛物线y2=4x只有一个公共点的直线有() A.1条 B.2条 C.3条 D.0条 10.(2020山东菏泽高二上期末)已知斜率为k的直线l与抛物线C:y2=4x交于A、B 两点,线段AB的中点为M(2,1),则直线l的方程为() A.2x-y-3=0 B.2x-y-5=0 C.x-2y=0 D.x-y-1=0 11.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l:y=x-2与抛物线C交于A,B两点. (1)求弦AB的长; (2)求△FAB的面积.
课时作业(十三) [学业水平层次] 一、选择题 1．已知点P (6，y )在抛物线y 2＝2px (p >0)上，若点P 到抛物线焦点F 的距离等于8，则焦点F 到抛物线准线的距离等于( ) A ．2 B ．1 C ．4 D ．8 【解析】 抛物线y 2＝2px (p >0)的准线为x ＝－p 2，因为P (6，y ) 为抛物线上的点，所以点P 到焦点F 的距离等于它到准线的距离，所 以6＋p 2＝8，所以p ＝4，即焦点F 到抛物线的距离等于4，故选C. 【答案】 C 2．(2014·成都高二检测)抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点M 为其准线上的动点，当△FPM 为等边三角形时，其面积为( ) A ．2 3 B ．4 C ．6 D ．43 【解析】 据题意知，△FPM 为等边三角形，|PF |＝|PM |＝|FM |， ∴PM ⊥抛物线的准线．设P ? ?? ??m 24，m ，则M (－1，m )，等边三角形边长为1＋m 24，又由F (1,0)，|PM |＝|FM |，得1＋m 24＝1＋12＋m 2，得m ＝23，∴等边三角形的边长为4，其面积为43，故选D. 【答案】 D 3．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准
线方程为( ) A ．x ＝1 B ．x ＝－1 C ．x ＝2 D ．x ＝－2 【解析】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入抛物线方程得：????? y 21＝2px 1， ①y 22＝2px 2， ② ①－②得， (y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝2p (x 1－x 2)． 又∵y 1＋y 2＝4，∴y 1－y 2x 1－x 2＝2p 4＝p 2 ＝k ＝1，∴p ＝2. ∴所求抛物线的准线方程为x ＝－1. 【答案】 B 4．(2014·课标Ⅱ)设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则|AB |＝( ) B ．6 C ．12 D ．73 【解析】 焦点F 的坐标为? ?? ??34，0，直线AB 的斜率为33，所以直线AB 的方程为y ＝33? ?? ??x －34， 即y ＝33x －34，代入y 2＝3x ， 得13x 2－72x ＋316＝0，
抛物线几何性质说课稿 尊敬的各位评委、老师大家好！今天我说课的内容是人教 A 版数学第二册·上第八章第 6 节《抛物线的简单几何性质》 . 新课标指出，学生是教学的主体，教师的教应本着从学生的认知规律出发，以学生活动为主线，在原有知识的基础上，建构新的知识体系 . 本节课的教学中，我将尝 试这种理念 . 下面我将从教材分析、教法学法分析、教学过程及教学评价四个方面进行说明 一教材分析 教材地位与作用 本节课是在学习了抛物线的定义及其标准方程的基础上，第一次系统地按照抛物线方程来研 究抛物线的简单几何性质，该内容是高中数学的重要内容，也是高考的重点与热点内容。本课时 的主要内容是：探究抛物线的简单几何性质及应用。 教学目标 1、知识与技能 ■探究抛物线的简单几何性质，初步学习利用方程研究曲线性质的方法。 ■掌握抛物线的简单几何性质，理解抛物线方程与抛物线曲线间互逆推导的逻辑关系及利 用数形结合解决实际问题。 2、过程与方法 ■ 通过抛物线的方程研究抛物线的简单几何性质，使学生经历知识产生与形成的过程，培养学生观察、分析、逻辑推理，理性思维的能力。 ■ 通过掌握抛物线的简单几何性质及应用过程，培养学生对研究方法的思想渗透及运用数形 结合思想解决问题的能力。 3、情感、态度与价值观 通过数与形的辩证统一，对学生进行辩证唯物主义教育，通过对抛物线对称美的感受，激发 学生对美好事物的追求。 1.3教学重难点 得出抛物线几何性质的思维过程，掌握运用抛物线的几何性质去解决问题的方法． 二教法学法分析 学情分析 由于学生智力水平参差不齐，基础和发展不平衡，呈现两头尖中间大的趋势。学生已熟悉和 掌握抛物线定义及其标准方程，有亲历体验发现和探究的兴趣，有动手操作，归纳猜想，逻辑推理 的能力，有分组讨论、合作交流的良好习惯，从而愿意在教师的指导下主动与同学探究、发 现、归纳数学知识。 教法分析 本节课以启发式教学为主，综合运用演示法、讲授法、讨论法、有指导的发现法及练习法等教 学方法。先通过多媒体动画演示，创设问题情境；在抛物线简单几何性质的教学过程中，通过多媒 体演示，有指导的发现问题，然后进行讨论、探究、总结、运用，最后通过练习加以巩固提
2.4.2抛物线的几何性质 学习目标 1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题． 知识点一抛物线的范围 思考观察下列图形，思考以下问题： (1)观察焦点在x轴的抛物线与双曲线及椭圆的图形，分析其几何图形存在哪些区别？ (2)根据图形及抛物线方程y2＝2px(p>0)如何确定横坐标x的范围？ 梳理抛物线y2＝2px(p>0)中，x∈__________， y∈__________. 抛物线y2＝－2px(p>0)中，x∈__________， y∈__________. 抛物线x2＝2py(p>0)中，x∈__________， y∈__________. 抛物线x2＝－2py(p>0)中，x∈__________， y∈__________. 知识点二四种形式的抛物线的几何性质 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
知识点三 直线与抛物线的位置关系 直线y ＝kx ＋b 与抛物线y 2 ＝2px (p >0)的交点个数决定于关于x 的方程组? ???? y ＝kx ＋b ， y 2＝2px 解的个 数，即二次方程k 2x 2＋2(kb －p )x ＋b 2＝0解的个数． 当k ≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有______个不同的公共点；若Δ＝0时，直线与抛物线有______个公共点；若Δ<0时，直线与抛物线________公共点． 当k ＝0时，直线与抛物线的轴__________，此时直线与抛物线有______个公共点． 类型一 依据抛物线的几何性质求标准方程 例1 抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x 2＋4y 2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程． 引申探究 将本例改为“若抛物线的焦点F 在x 轴上，直线l 过F 且垂直于x 轴，l 与抛物线交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△OAB 的面积等于4”，求此抛物线的标准方程． 反思与感悟 用待定系数法求抛物线方程的步骤 跟踪训练1 已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x 轴，且与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，|AB |＝23，求抛物线方程．
第2课时 椭圆的简单几何性质 错误!题型分类 深度解析 考点一 椭圆的性质 【例1】 (1)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( ) A.63 B.33 C.23 D.13 (2)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点.若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于4 5，则椭圆E 的离心率的取值范围是( ) A.? ?? ??0，32 B.??? ?0，34 C.?? ?? ??32，1 D.??? ?3 4，1 解析 (1)以线段A 1A 2为直径的圆是x 2＋y 2＝a 2，又与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切， 所以圆心(0，0)到直线的距离d ＝2ab a 2＋b 2 ＝a ，整理为a 2＝3b 2 ，即b a ＝13. ∴e ＝c a ＝a 2－ b 2a ＝ 1－??? ?b a 2 ＝ 1－? ?? ??132＝63. (2)设左焦点为F 0，连接F 0A ，F 0B ，则四边形AFBF 0为平行四边形. ∵|AF |＋|BF |＝4， ∴|AF |＋|AF 0|＝4，∴a ＝2. 设M (0，b )，则4b 5≥4 5，∴1≤b <2. 离心率e ＝c a ＝ c 2a 2＝ a 2－ b 2a 2＝ 4－b 24∈? ???? 0，32. 答案 (1)A (2)A 规律方法 求椭圆离心率的方法 (1)直接求出a ，c 的值，利用离心率公式直接求解. (2)列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝a 2－c 2消去b ，转化为含有e 的
精品教学教案设计| Excellent teaching plan 教师学科教案 [20 -20学年度第—学期] 任教学科：________________ 任教年级：________________ 任教老师：________________ xx市实验学校
《抛物线的简单几何性质》教案 一.教学理念 数学教师不能充当数学知识的施舍者，没有人能教会学生，数学素质是学生在数学 活动中自己获得的。”因此，教师的责任关键在于在教学过程中创设一个”数学活动”环境，让学生通过这个环境的相互作用，利用自身的知识和经验构建自己的理解，获得知识，从而培养自 己的数学素质，培养自己的能力。 数学源于生活，高于生活，学习数学的最终目的是应用于生活(回归生活)，通过平时教学注意这方面的渗透，培养学生解决实际问题的能力。 二.教材分析 1、本节教材的地位 本节通过类比椭圆、双曲线的几何性质，结合抛物线的标准方程讨论研究抛物线的几 何性质，让学生再一次体会用曲线的方程研究曲线性质的方法，学生不难掌握抛物线的范围、 对称性、顶点、离心率等性质，对于抛物线几何性质的应用是学生学习的难点，教学中应强调几何模型与数学问题的转换。例1的设计，在于让学生通过作图感知p的大小对抛物线开 口的影响，引出通径的定义。例2的设计旨在利用抛物线的几何性质数学地解决实际问题即作抛物线的草图。 本节是第一课时，在数学思想和方法上可与椭圆、双曲线的性质对比进行，着重指出它们的联系和区别，从而培养学生分析、归纳、推理等能力。 2、教学目标 ⑴知识目标：i抛物线的几何性质、范围、对称性、定点、离心率。 ii抛物线的通径及画法。 (2)能力目标：. i使学生掌握抛物线的几何性质，根据给出条件求抛物线的标准方程。 i掌握抛物线的画法。 (3)情感目标： i培养学生数形结合及方程的思想。 i训练学生分析问题、解决问题的能力，了解抛物线在实际问题中的初步应用。 3、学生情况 我授课的学生是省级重点中学的学生，大部分学生数学基础较好，但理解能力、运算能力、思维能力等方面参差不齐。 4、教学重点、难点 教学的重点是掌握抛物线的几何性质，使学生能根据给出的条件求出抛物线的标准方程和一些实际应用。 难点是抛物线各个知识点的灵活应用。 三、教学方法及手段 采用引导式、讲练结合法；多媒体课件辅助教学。 四、教学程序
抛物线的简单的几何性质 主编审核定稿班级组别 学习目标 1. 抛物线标准方程的理解 2. 抛物线简单的几何性质 3. 根据几何性质解决与抛物线有关的问题 重点难点 1. 几何性质的理解 2. 几何性质的用运 自主学习过程 一.复习回顾 1. 抛物线标准方程的表达式及其焦点坐标准线分别为(请填写下表
二.自主学习 阅读教材 68页的内容, 研究抛物线的简单的几何性质, 以 y 2=2px(p>0 为例回答下面问题 (1范围:(2对称性: (2顶点:(4 离心率: 它等于这个点到准线的距离.对焦半径的理解如下 抛物线 y 2 =2px(p>0 上的点 M(x0, y 0 与焦点 F 的距离|MF |=02 x p +. 抛物线 y 2 =-2px(p>0 上的点 M(x0, y 0 与焦点 F 的距离|MF |=0
2 x p -. 抛物线 x 2=2py(p>0上的点 M(x0, y 0 与焦点 F 的距离|MF |=0 2 y p +. 抛物线 x 2 =-2py(p>0上的点 M(x0, y 0 与焦点 F 的距离 |MF|=0 2 y p -. 三 . 典例剖析 例 1. 已知抛物线关于 x 轴对称, 它的顶点在坐标原点, 并且经过点 22, 2(-M , 求它的标准方程,并画出其大致图形. 变式:已知抛物线的顶点在坐标原点,并且经过点 22, 2(-M ,求它的标准方程,并画出其大致图形. 例题 2. 仔细阅读课本例题 4,掌握用数形结合的方法求焦半径以及弦长 . 完成下面的变式训练题 :
1. 已知抛物线的方程为标准方程,焦点在 x 轴上,其上点 P(-3, m 到焦点距离为 5,则抛物线方程为 ( A . y 2=8x B. y 2=-8x C. y 2=4x D. y 2=-4x 2.抛物线 y 2=4x 上一点 P 到焦点 F 的距离是 10,则 P 点的坐标是 ( A . (±6, 9 B. (9,±6 C. (9, 6 D. (6, 9 例题 3. 仔细阅读课本例题 5, 完成下面的变式训练题 :设抛物线 y 2=2px(p>0 的焦点为 F ,经过点 F 的直线交抛物线于 A 、 B 两点,点 C 在抛物线的准线上,且 BC ∥ x 轴.证明:直线 AC 经过原点 O . 例题 4. 仔细阅读课本例题 6,理解直线与抛物线公共点个数的三种情况:0个, 1个, 2个,重点搞清楚只有一个公共点时直线与抛物线的位置关系 四 . 强化训练 1. 抛物线 y 2=9x 与直线 2x -3y -8=0交于 M 、 N 两点, 线段 MN 中点坐标是 ( A . 4 27, 8113(- B. 4 27, 8 113( C. 4 27, 8 113(-
《抛物线的简单几何性质》教学案 教学目的： 1．掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质； 2．能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论，在此基础上列表、描点、画抛物线图形； 3．在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化. 教学重点： 抛物线的几何性质及其运用. 教学难点： 抛物线几何性质的运用. 教学过程： 一、复习引入： 1．抛物线定义： 平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线 2．抛物线的标准方程： ) 焦点在对称轴上关于原点对称 它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的 4 1 ，即2 42p p =
不同点：(1)图形关于X 轴对称时，X 为一次项，Y 为二次项，方程右端为px 2±、左端为2y ；图形关于Y 轴对称时，X 为二次项，Y 为一次项，方程右端为py 2±，左端为2x (2)开口方向在X 轴(或Y 轴)正向时，焦点在X 轴(或Y 轴)的正半轴上，方程右端取正号；开口在X 轴(或Y 轴)负向时，焦点在X 轴(或Y 轴)负半轴时，方程右端取负号 二、讲解新课： 抛物线的几何性质 1．范围 因为p ＞0，由方程()022>=p px y 可知，这条抛物线上的点M 的坐标(x ，y )满足不等式x ≥0，所以这条抛物线在y 轴的右侧；当x 的值增大时，|y |也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸． 2．对称性 以－y 代y ，方程()022 >=p px y 不变，所以这条抛物线关于x 轴对称，我们把抛物线 的对称轴叫做抛物线的轴． 3．顶点 抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程()022 >=p px y 中，当y =0时， x =0，因此抛物线()022 >=p px y 的顶点就是坐标原点． 4．离心率 抛物线上的点M 与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e 表示．由抛物线的定义可知，e =1． 对于其它几种形式的方程，列表如下：
2019-2020学年高中数学 2.3.2抛物线的简单几何性质教学案 新人 教版选修1-1 （一）学习目标： 1．掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质； 2．能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论，在此基础上列表、描点、画抛物线图形； 3．在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化 . （二）学习重点：抛物线的几何性质及其运用 （三）学习难点：抛物线几何性质的运用 （四）学习过程： 一、复习引入：（回顾并填表格） 1．抛物线定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做 . 定点F 叫做抛物线的 ，定直线l 叫做抛物线的 . 2．抛物线的标准方程： 相同点： 不同点： 二、讲解新课： 类似研究双曲线的性质的过程，我们以()022 >=p px y 为例来研究一下抛物线的简单 几何性质： 1．范围
2．对称性 3．顶点 4．离心率 对于其它几种形式的方程，列表如下：（通过对照完成下表） 思考：抛物线有没有渐近线？（体会抛物线与双曲线的区别） 三、例题讲解： 例1 已知抛物线关于x 轴为对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点)22,2(-M ，求它的标准方程，并用描点法画出图形．
例2斜率为1的直线经过抛物线y 2 =4x 的焦点，与抛物线交于两点A 、B ，求线段AB 的长. （思考用不同方法求解） 变式训练：过抛物线2 4y x =的焦点F 作直线，交抛物 线于11(,)P x y ,22(,)Q x y 两点，若126y y +=，求PQ 。 点评：由以上例2以及变式训练可总结出焦点弦弦长： 四、达标练习： 1．过抛物线x y 42 =的焦点作直线交抛物线于()11,y x A ，()22,y x B 两点，如果 621=+x x ，那么||AB =（ ） （A ）10 （B ）8 （C ）6 （D ）4 2．已知M 为抛物线x y 42 =上一动点，F 为抛物线的焦点，定点()1,3P ，则 ||||MF MP +的最小值为（ ）
高二数学《抛物线的几何性质》学案 一、课前检测 1、过点的抛物线的标准方程为、 2、已知抛物上一点到焦点的距离为5，则这个点的坐标为、 3、抛物线的焦点坐标为，准线方程为、 二、问题情境类比椭圆与双曲线的性质，我们可得出抛物线会有哪些性质？ 三、性质讲解 1、以为例讨论。范围对称轴顶点开口方向 2、方程为,填表：范围对称轴顶点开口方向 四、例题讲解例 1、(1)求顶点在原点，焦点为F（5，0）的抛物线标准方程。（2）求顶点在原点，焦点在直线x+y=5上的抛物线标准方程。总第65页（第17课时第1页）例 2、汽车前灯的反光曲面与轴截面的交线为抛物线，灯口直径为197mm，反光曲面的顶点到灯口的距离是69mm，由抛物线的性质可知，当灯泡安装在抛物线的焦点处时，经反光曲面反射后光线是平行光线。为了获得平行光线，应怎样安装灯泡？（精确到1mm） (选修1-1课本P45例2，或选修2-1课本P48例2)、例 3、（焦点弦问题）若直线过抛物线的焦点，与抛物线交于点A，
B、①若线段AB的中点的横坐标为2，求线段AB的长、（选修1-1课本P52第13题，或选修2-1课本P66第9题）②若弦长|AB|=4，求直线的倾斜角、 【选讲】 ③若，求证：（可进步得一般性结论）④若弦AB中点为M，求证：以M为圆心，以MA为半径的圆与抛物线准线相切、 五、课堂总结总第66页（第17课时第2页）作业班级学号姓名等第 1、点P（）在抛物线上，F为抛物线的焦点，则|PF|= A、 B、 C、 D、2、以椭圆的对称中心为顶点，椭圆的焦点为焦点的抛物线的标准方程为 3、经过抛物线的焦点F，作一直线与其对称轴垂直，和抛物线相交于AB两点，则线段AB的长为（用p表示）、 4、抛物线上一点P，（1）若P到焦点的距离为5，则P点坐标为（2）若P 点到准线距离为3，则P点坐标为 (3)焦半径PF的取值范围为 5、写出适合下列条件的抛物线标准方程。（1）顶点在原点，焦点为（0，3，4）、 6、已知抛物线的顶点是双曲线的中心，而焦点是双曲线的左顶点，求抛物线的方程。
第 二 章圆锥曲线与方程 第 2.4.2 抛物线的简单几何性质（4课时） 主备教师 陈本川 一、内容及其解析 学的内容是抛物线的一些基本性质，其核心内容是抛物线的离心率及准线，理解它关键是先让学生认识抛物线的图形，从中概括出抛物线的性质。 学生已经学过抛物线线概念和标准形式，本节课的内容抛物线的基本性质就是在其基础上的发展。由于它还与椭圆、双曲线等圆锥曲线有密切的联系，并有参照对比的作用。是抛物线的核心内容。教学重点是抛物线的性质及范围，解决重点的关键是引导学生动手、动脑，从图形的直观得到抛物线性质的准确刻画。 二、目标及其解析 1、目标定位 （1）了解抛物线的基本性质及基本线段的概念。 （2）能够根据抛物线的标准方程及性质进行简单的运算。 2、目标解析 （1）是指：抛物线的基本线段范围及概念，对称性，离心率，准线表示。 （2）是指：能够根据抛物线中准线与焦点之间的关系能求出抛物线的标准方程。 三、问题诊断分析 在本节抛物线性质的教学中，学生可能遇到的问题是抛物线的一些基本概念会与其它圆锥曲线的概念产生混淆，产生这一问题的原因是学生对各种曲线的概念把握不清。要解决这一问题，就要类比着其它圆锥曲线的概念及性质学习，其中关键是借助图形直观类比。 四、教学支持条件分析 在本节课双曲线的性质教学中，准备使用多媒体辅助教学。因为使用多媒体辅助教学有利于学生对抛物线性质从直观到具体的把握。 五、教学设计过程 问题一：抛物线性质有哪些？观察抛物线的标准方程)0(22>=p px y 的形状， 设计意图：推导、识记抛物线的性质，并能够熟练的应用 问题1你能从图中看出它的范围吗？ 问题2它具有怎样的对称性？
2.3.2 抛物线的简单几何性质 第1课时抛物线的简单几何性质 学习目标 1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问 题． 知识点一抛物线的几何性质 思考观察下列图形，思考以下问题： x轴的抛物线与双曲线及椭圆的图形，分析其几何图形存在哪些区别？观察焦点在答案抛物线与另两种曲线相比较，有明显的不同，椭圆是封闭曲线，有四个顶点，有两个焦点，有中心；双曲线虽然不是封闭曲线，但是有两支，有两个顶点，两个焦点，有中心；抛物线只有一条曲线，一个顶点，一个焦点，无中心． 梳理
图象 xy x xyyxy ≤0R ∈∈R，R≥0R，≥0，∈≤0，范围∈yx 轴轴对称轴 性(0,0) 顶点质pppp????????????????焦点，－0，0－，0，0 ????????2222pppp y xx y准线 ＝＝－＝＝－ 2222． e＝离心率1 焦点弦的性质知识点二 2xyxBpxpFAABy，，>0)焦点)的一条弦，设如图，，是过抛物线＝ 2((( 211lxyyABM. ，)，，相应的准线为的中点)(002lAB (1)以相切．为直径的圆必与准线p??x??AB＋ )2．((2)|焦点弦长与中点关系|＝0??2pxxAB. ＋＋|＝(3)|21p2ABAB. 的倾斜角为α，则|＝(4)若直线|2αsin AB如当α＝90°时，叫做抛物线的通径，是所有焦点弦中最短的．2p2pyyxABx. ·＝，，两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即·(5)＝－21214 ) 1．抛物线关于顶点对称．( ×) 2．抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心．( √)
人教版抛物线教案 一．教学目的： １．掌握抛物线的概念． ２．掌握抛物线的标准方程及其应用． ３．理解并应用抛物线的几何性质． 二．重点难点： １．重点：抛物线的标准方程及其应用．抛物线的几何性质． ２．难点：抛物线的几何性质． 三．教学过程： 引入新课：与一定点的距离和一条定直线的距离比是常数ｅ的点的轨迹，当ｅ＜１时，是椭圆，当ｅ＞１时，是双曲线。当ｅ＝１时，是什么曲线呢？（让同学们看课件抛物线的定义部分，然后让学生回答，给出抛物线的定义。） 如图平面内与一个定点F 和一条定直线L 的距离 相等的点的轨迹叫做抛物线． 结合课件，让学生推导抛物线的标准方程． 取过焦点Ｆ且垂直与准线Ｌ的直线为ｘ轴，ｘ轴与Ｌ相交于点Ｋ，以线段KF 的垂直平分线为ｙ轴，如右图．设KF ＝ｐ，则焦点Ｆ的坐标为F(2 p ,0),准线L 的方程为:ｘ＝－ 2 p ． 设抛物线上的点Ｍ（ｘ，ｙ）到Ｌ的距离为ｄ．抛物线也就是集合Ｐ＝｛ＭMF ＝ｄ｝． ∵MF ＝2 2y p x +?? ? ?? - ， ｄ＝2p x +， ∴2 2y p x +?? ? ?? - ＝2p x + 将上式整理可得抛物线的标准方程：ｙ2 =2px(ｐ＞０) 让学生自己总结，写出抛物线标准方程的其他几种形式．教师总结如下表：
最后让学生看课件抛物线的标准方程部分,加深印象. 接着让学生看e与图线形状之间的关系.让学生对抛物线、椭圆、双曲线有一个整体认识,为后面综合应用打好基础. 例题1:求下列抛物线的焦点坐标和准线方程: ⑴ｘ２＝２ｙ： ⑵ｙ２－６ｘ＝０： 例题２：拱形桥洞是一段抛物线，宽７ｍ，高为０.７ｍ，求这条抛物线的方程．
§2.4.2 抛物线的简单几何性质（1） 学习目标 1．掌握抛物线的几何性质； 2．根据几何性质确定抛物线的标准方程． 学习过程 一、课前准备 6870，文P 60~ P 61找出疑惑之处） 复习1： 准线方程为x=2的抛物线的标准方程是 ． 复习2：双曲线22 1169 x y -=有哪些几何性质？ 二、新课导学 ※ 学习探究 探究1：类比椭圆、双曲线的几何性质，抛物线又会有怎样的几何性质？ 新知：抛物线的几何性质 图形 标准方 程 焦点 (0,)2p - 准线 2p y =- 顶点 (0,0)(0,0) 对称轴 x 轴 离心率 试试：画出抛物线28y x =的图形， 顶点坐标（ ）、焦点坐标（ ）、 准线方程 、对称轴 、 离心率 ．
※ 典型例题 例1已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点(2,M -，求它的标准方程． 变式：顶点在坐标原点，对称轴是坐标轴，并且经过点(2,M -的抛物线有几条？求出它们的标准方程． 小结：一般，过一点的抛物线会有两条，根据其开口方向，用待定系数法求解． 例2斜率为1的直线l 经过抛物线24y x =的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点，求线段AB 的长 ． 变式：过点(2,0)M 作斜率为1的直线l ，交抛物线24y x =于A ，B 两点，求AB ．
小结：求过抛物线焦点的弦长：可用弦长公式，也可利用抛物线的定义求解． ※动手试试 练1. 求适合下列条件的抛物线的标准方程： ⑴顶点在原点，关于x轴对称，并且经过点 (5 M，4) -； ⑵顶点在原点，焦点是(0,5) F； ⑶焦点是(0,8) F-，准线是8 y=． 三、总结提升 ※学习小结 1．抛物线的几何性质； 2．求过一点的抛物线方程； 3．求抛物线的弦长． ※知识拓展 抛物线的通径：过抛物线的焦点且与对称轴垂直的直线，与抛物线相交所得的弦叫抛物线的通径． 其长为2p． ※自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分： 1．下列抛物线中，开口最大的是（）． A．21 2 y x =B．2y x =