半角模型
已知如图:①∠2=1
2
∠AOB;②OA=OB.
O
A
B
E
F
1
23
连接FB,将△FOB绕点O旋转至△FOA的位置,连接F′E,FE,可得△OEF≌△OEF′
43
2
1
F'
F
E B
A
O
模型分析
∵△OBF≌△OAF′,
∴∠3=∠4,OF=OF′.
∴∠2=1
2
∠AOB,
∴∠1+∠3=∠2
∴∠1+∠4=∠2
又∵OE是公共边,
∴△OEF≌△OEF′.
(1)半角模型的命名:存在两个角度是一半关系,并且这两个角共顶点;
(2)通过先旋转全等再轴对称全等,一般结论是证明线段和差关系;
(3)常见的半角模型是90°含45°,120°含60°.
模型实例
例1 已知,正方形ABCD中,∠MAN=45°,它的两边分别交线段CB、DC于点M、N.
(1)求证:BM+DN=MN .
(2)作AH ⊥MN 于点H ,求证:AH=AB .
证明:(1)延长ND 到E ,使DE=BM ,
∵四边形ABCD 是正方形,∴AD=AB . 在△ADE 和△ABM 中,
??
???=∠=∠=BM DE B ADE AB AD
∴△ADE ≌△ABM .
∴AE=AM ,∠DAE=∠BAM
∵∠MAN=45°,∴∠BAM+∠NAD=45°. ∴ ∠MAN=∠EAN=45°.
在△AMN 和△AEN 中,
??
???=∠=∠=AN AN EAN MAN EA MA
∴△AMN ≌△AEN .
∴MN=EN .
∴BM+DN=DE+DN=EN=MN .
(2)由(1)知,△AMN ≌△AEN . ∴S △AMN =S △AEN .
即EN AD 2
1MN AH 21?=?. 又∵MN=EN ,
∴AH=AD .
即AH=AB .
几何模型之半角模型 一、旋转性质 1.图形对应边相等(易得等腰,且等腰均相似) 2.对应角相等 3.对应点与旋转中心连线构成旋转角,旋转角处处相等 二、半角模型 半角模型(90°含45°) 条件模型结论 ①等腰直角△ABC; ②∠DAE=45° DE2=BD2+CE2 ①等腰直角△ABC; ②∠DAE=45° DE2=BD2+CE2 ①正方形ABCD; ②∠EAF=45°①EF=BE+DF; ②△CEF的周长是正方形周长的一半; ③点A到EF的距离等于正方形的边长. ①正方形ABCD; ②∠EAF=45°EF=DF-BE 三、模型演练 1.如图,在正方形ABCD中,AB=1,E,F分别是边BC,CD上的点,连接EF、AE、AF,过A作AH⊥EF 于点H.若EF=BF+DF.那么下列结论:①AE平分∠BEF;②FH=FD; ③∠EAF=45°;④S△E A F=S△A B E+S△A D F;⑤△CEF的周长为2.其中正确结论的 是.
2.在Rt△ABC中,AB=AC,D?E是斜边BC上两点,且∠DAE=45°,将△ADC绕点A 顺时针旋转90°后,得到△AFB,连接EF,下列结论①△AEF≌△AED;②∠AED=45°; ③BE+DC=DE;④BE2+DC2=DE2,其中正确的是() A.②④ B.①④ C.②③ D.①③ 3如图,等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点M,N在边BC上,且∠MAN=45°,若BM=1,CN=3,求MN的长. 4.如图,在正方形OABC中,点B的坐标是(4,4),点E、F分别在边BC、BA上,OE=25.若∠EOF=45°,则F点的坐标是. 5.已知:正方形ABCD中,∠MAN=45°,∠MAN绕点A顺时针旋转,它的两边分别交
第4讲 倍角、半角公式 北京四中 苗金利 考纲导读 1. 会用两角和与差的正弦、余弦公式推导倍角、半角公式,了解它们的 内在联系。 2. 解决比较简单的应用问题,体会换元思想、方程思想的运用。 知识要点 复习和差角的三角函数公式 sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+ sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=- cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=- cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+ 典型例题分析 例1、求证下列等式成立: (1)sin 22sin cos ααα=?; (2)2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-. (3)22tan tan 21tan ααα = -; (4)21cos sin 22 αα-=; (5)21cos cos 22 αα+=; (6)21cos tan 21cos ααα -=+; (7)sin 1cos tan 21cos sin ααααα-==+; (8)sin sin )a A b A A ?++, 其中 cos ?=sin ?. 例2、求值: (2)已知3sin()1225π θ-=,求cos()6πθ-. (3)已知sin()4 m π α+=,求sin 2α. 例3、 已知22()sin 2sin cos 3cos f x x x x x =++,求: (1)f (x )的最大值以及取得最大值的自变量的集合; (2)f (x )的单调区间. 例4、当3[,]44 x ππ∈时,求下列函数的值域 (1)cos2sin y x x =+; (2)sin cos sin cos y x x x x =+-; (3)3sin 4cos y x x =+.
半角模型例题 已知,正方形ABCD 中,∠EAF 两边分别交线段BC 、DC 于点E 、F ,且∠EAF ﹦45° 结论1:BE ﹢DF ﹦EF 结论2:S △ABE ﹢S △ADF ﹦S △AEF 结论3:AH ﹦AD 结论4:△CEF 的周长﹦2倍的正方形边长﹦2AB 结论5:当BE ﹦DF 时,△CEF 的面积最小 结论6:BM 2﹢DN 2﹦MN 2 结论7:三角形相似,可由三角形相似的传递性得到 结论8:EA 、FA 是△CEF 的外角平分线 结论9:四点共圆 结论10:△ANE 和△AMF 是等腰直角三角形(可通过共圆得到) 结论11:MN ﹦√2 2EF (可由相似得到) 结论12:S △AEF ﹦2S △AMN (可由相似的性质得到) 结论5的证明: 设正方形ABCD 的边长为1 则S △AEF ﹦1﹣S 1﹣S 2﹣S 3 ﹦1﹣1 2x ﹣1 2y ﹣1 2(1﹣x)(1﹣y) ﹦1 2﹣12xy 所以当x ﹦y 时,△AEF 的面积最小 结论6的证明:
将△ADN 顺时针旋转90°使AD 与AB 重合 ∴DN ﹦BN ′ 易证△AMN ≌△AMN ′ ∴MN ﹦MN ′ 在Rt △BMN ′中,由勾股定理可得: BM 2﹢BN ′2﹦MN ′2 即BM 2﹢DN 2﹦MN 2 结论7的所有相似三角形: △AMN ∽△DFN △AMN ∽△BME △AMN ∽△BAN △AMN ∽△DMA △AMN ∽△AFE 结论8的证明: 因为△AMN ∽△AFE ∴∠3=∠2 因为△AMN ∽△BAN ∴∠3=∠4 ∴∠2=∠4 因为AB ∥CD ∴∠1=∠4 ∴∠1=∠2 结论9的证明:
专题15 角含半角模型 破题策略 1.等腰直角三角形角含半角 如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,点D,E在BC上且∠DAE=45° (1)△BAE∽△ADE∽△CDA (2)BD2+CE2=DE2. B C 证明(1)易得∠ADC=∠B+∠BAD=∠EAB, 所以△BAE∽△ADE∽△CD A. (2)方法一(旋转法):如图1,将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACF,连结EF. B C 则∠EAF=∠EAD=45°,AF=AD, 所以△ADE∽△FAE (SAS). 所以DE=EF. 而CF=BD,∠FCE=∠FCA+∠ACE=90°, 所以BD2+CE2=CF2+CE2=EF2=DE2. 方法二(翻折法):如图2,作点B 关于AD 的对称点F,连结AF,DF,EF. B C 因为∠BAD+∠EAC=∠DAF+∠EAF, 又因为∠BAD=∠DAF, 则∠FAE=∠CAE,AF=AB=AC, 所以△FAE∽△CAE(SAS). 所以EF=E C.
而DF=BD,∠DFE=∠AFD+∠AFE=90°, 所以BD2+EC2=FD2+EF2=DE2. 【拓展】①如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,点D在BC 上,点E在BC的延长线上,且∠DAE=45°,则BD2+CE2=DE2. D 可以通过旋转、翻折的方法来证明,如图: D D ②将等腰直角三角形变成任意的等腰三角形:如图,在△ABC中,AB=AC,点D,E在 BC上,且∠DAE=1 2 ∠BAC,则以BD,DE,EC为三边长的三角形有一个内角度数为180° -∠BA C. B 可以通过旋转、翻折的方法将BD,DE,EC转移到一个三角形中,如图: B B
中考常考几何模型 专题20 半角模型 倍长中线或类中线(与中点有关的线段)构造全等三角形 如图①: (1)∠2=2 1 ∠AOB ;(2)OA=OB 。 如图②: 连接 FB ,将△FOB 绕点 O 旋转至△FOA 的位置,连接 F ′E 、FE ,可得△OEF ′≌△OEF 。 模型精练 1.(2019秋?九龙坡区校级月考)如图.在四边形ABCD 中,∠B +∠ADC =180°,AB =AD ,E 、F 分别是边BC 、CD 延长线上的点,且∠EAF =1 2 ∠BAD ,求证:EF =BE ﹣FD . 【点睛】在BE 上截取BG ,使BG =DF ,连接AG .根据SAA 证明△ABG ≌△ADF 得到AG =AF ,∠BAG =∠DAF ,根据∠EAF =1 2∠BAD ,可知∠GAE =∠EAF ,可证明△AEG ≌△AEF ,EG =EF ,那么EF =
GE =BE ﹣BG =BE ﹣DF . 【解析】证明:在BE 上截取BG ,使BG =DF ,连接AG . ∵∠B +∠ADC =180°,∠ADF +∠ADC =180°, ∴∠B =∠ADF . 在△ABG 和△ADF 中, {AB =AD ∠B =∠ADF BG =DF , ∴△ABG ≌△ADF (SAS ), ∴∠BAG =∠DAF ,AG =AF . ∴∠BAG +∠EAD =∠DAF +∠EAD =∠EAF =1 2∠BAD . ∴∠GAE =∠EAF . 在△AEG 和△AEF 中, {AG =AF ∠GAE =∠EAF AE =AE , ∴△AEG ≌△AEF (SAS ). ∴EG =EF ,
两角和与差的三角函数 1.若cos 4,且 5 2 .(本小题满分12 分)(1)求的表达式;(2)设,,,求的值.3.在非等腰△ ABC中, 0, ,则tg 2 已知函数的最 小正周期为,且. a,b,c 分别是三个内角A,B,C的对边,且a=3,c=4 , C=2A. (Ⅰ)求cosA 及 b 的 值; Ⅱ)求cos( 3 2A)的值. 4.已知sin( 6 A .1 ,则cos2()的值是()33 .1 .3 5.若cos 是第三象限的 角 1 ,则 1 tan 2= ( tan 2 A . D .-2 6.己知R,sin 3cosa 5 ,则tan 2a= 7.已知cos( ) 4 8.已知cos( ) 4 4 ,则sin2 5 4 ,则sin2 5 9.在ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c且a b,已知cosC 2B 2 A sin Acos sin Bcos 22 (Ⅰ)求 a 和b的值;(Ⅱ)求cos(B C) 的值.2 1sin C .2 10.已知函数f (x)2sin( 6)(0,x R)的最小正周期为 1)求的值; 2 2)若f ()2 3 (0, ),求cos2 的值. 8 11.已知函数f (x) 2 2sin xcosx 2sin x 1(x R) . 1)求函数f (x)的最小正周期和单调递增区 间; 2)若在ABC中,角A,B ,C的对边分别为a,b,c, A 为锐角, 且f (A 2,求ABC面积S的最大值.3
12.已知函数 y log a (x 1) 3,(a 0且 a 1)的图象恒过点 P ,若角 的终边经 过点 P ,则 sin 2 sin2 的值等于 ________ 又是偶函数; 23. y 2sin 2 x 的值域是( 13.已知 (0, ) ,且 sin cos 1 ,则 cos2 的值为( ) 2 A . 14.已知函数 f x Asin( x )(x R, A 0, 0,| | ) 的部分图象如图所 示. 1)试确定函数 f x 的解析式; (2) 若 f ( 2 15 . 已知 sin( 16 . 已知 sin( 17 . 已知 18 . 已知 19 . 设 sin2 20 . 设 f ( ) 21 . ①存在 sin 0; 1 ,求 3 cos(2 3 )的值. 45 ) 45 ) 2 10 2 10 2 ,0),cos( 2 ,0),cos( sin 2cos 3 sin 2(2 且0 且0 4 5 4 5 90 , 90 , ,则 tan2 ,则 tan2 则 cos2 则 cos2 ),则 tan2 的值是 ) sin(2 2 2 2cos 2 ( ) (0, ) 使 sina cosa 2 的值为 的值为 cos( ) 3 ,求 f (3)的值。 1 ;②存在区间 (a,b )使 y cos x 为减函数而 3 ③ y tanx 在其定义域内为增函数;④ y cos2x sin ( x ) 既有最大、最小值, 2 ⑤ y sin |2x | 最小正周期为 6 22 .在△ ABC 中,若 sin ( A )等腰三角形 ( C )等腰或直角三角形 以上命题错误的为 A+B-C ) =sin (B ) (D ) A-B+C ),则△ ABC 必是( ) 直角三角形 等腰直角三角形 A .[ -2,2] B .[0,2] .[ - 2,0] D . R 24 . 已 知 sin 是 方 程 5x 2 7x 6 0 的 根 , 且 是 第 三 象 限 角 , 求 ) ( (
半角模型 已知如图:①∠2=1 2 ∠AOB;②OA=OB. O A B E F 1 23 连接FB,将△FOB绕点O旋转至△FOA的位置,连接F′E,FE,可得△OEF≌△OEF′ 43 2 1 F' F E B A O 模型分析 ∵△OBF≌△OAF′, ∴∠3=∠4,OF=OF′. ∴∠2=1 2 ∠AOB, ∴∠1+∠3=∠2 ∴∠1+∠4=∠2 又∵OE是公共边, ∴△OEF≌△OEF′. (1)半角模型的命名:存在两个角度是一半关系,并且这两个角共顶点; (2)通过先旋转全等再轴对称全等,一般结论是证明线段和差关系; (3)常见的半角模型是90°含45°,120°含60°. 模型实例 例1 已知,正方形ABCD中,∠MAN=45°,它的两边分别交线段CB、DC于点M、N.(1)求证:BM+DN=MN. (2)作AH⊥MN于点H,求证:AH=AB.
证明:(1)延长ND 到E ,使DE=BM , ∵四边形ABCD 是正方形,∴AD=AB . 在△ADE 和△ABM 中, ?? ? ??=∠=∠=BM DE B ADE AB AD ∴△ADE ≌△ABM . ∴AE=AM ,∠DAE=∠BAM ∵∠MAN=45°,∴∠BAM+∠NAD=45°. ∴ ∠MAN=∠EAN=45°. 在△AMN 和△AEN 中, ?? ? ??=∠=∠=AN AN EAN M AN EA M A ∴△AMN ≌△AEN . ∴MN=EN . ∴BM+DN=DE+DN=EN=MN . (2)由(1)知,△AMN ≌△AEN . ∴S △AMN =S △AEN . 即EN AD 2 1 MN AH 21?=?. 又∵MN=EN , ∴AH=AD . 即AH=AB .
半角模型专题专练
半角模型例题 已知,正方形ABCD 中,∠EAF 两边分别交线段BC 、DC 于点E 、F ,且∠EAF ﹦45° 结论1:BE ﹢DF ﹦EF 结论2:S △ABE ﹢S △ADF ﹦S △AEF 结论3:AH ﹦AD 结论4:△CEF 的周长﹦2倍的正方形边长﹦2AB 结论5:当BE ﹦DF 时,△CEF 的面积最小 结论6:BM 2﹢DN 2﹦MN 2 结论7:三角形相似,可由三角形相似的传递性得到 结论8:EA 、FA 是△CEF 的外角平分线 结论9:四点共圆 结论10:△ANE 和△AMF 是等腰直角三角形(可通过共圆得到) 结论11:MN ﹦√2 2EF (可由相似得到) 结论12:S △AEF ﹦2S △AMN (可由相似的性质得到) 结论5的证明: 设正方形ABCD 的边长为1 则S △AEF ﹦1﹣S 1﹣S 2﹣S 3 ﹦1﹣12x ﹣12y ﹣1 2(1﹣x)(1﹣y) ﹦1 2﹣1 2xy 所以当x ﹦y 时,△AEF 的面积最小 结论6的证明: 将△ADN 顺时针旋转90°使AD 与AB 重合 ∴DN ﹦BN ′ 易证△AMN ≌△AMN ′ ∴MN ﹦MN ′ 在Rt △BMN ′中,由勾股定理可得: BM 2﹢BN ′2﹦MN ′2 即BM 2﹢DN 2﹦MN 2 结论7的所有相似三角形:
△AMN ∽△DFN △AMN ∽△BME △AMN ∽△BAN △AMN ∽△DMA △AMN ∽△AFE 结论8的证明: 因为△AMN ∽△AFE ∴∠3=∠2 因为△AMN ∽△BAN ∴∠3=∠4 ∴∠2=∠4 因为AB ∥CD ∴∠1=∠4 ∴∠1=∠2 结论9的证明: 因为∠EAN ﹦∠EBN =45° ∴A 、B 、E 、N 四点共圆(辅圆定理:共边同侧等顶角) 同理可证C 、E 、N 、F 四点共圆 A 、M 、F 、D 四点共圆 C 、E 、M 、F 四点共圆 **必会结论-------- 图形研究正方形半角模型 已知:正方形ABCD ,E 、F 分别在边BC 、CD 上,且?=∠45EAF ,AE 、AF 分别交BD 于H 、G ,连EF . 一、全等关系 (1)求证:①EF BE DF =+;②DG 2﹢BH 2﹦HG 2;③AE 平分BEF ∠,AF 平分DFE ∠. 二、相似关系 (2)求证:①DG CE 2=;②BH CF 2=;③HG EF 2=. (3)求证:④DH BG AB ?=2;⑤HG BG AG ?=2;⑥21=?CF DF CE BE . 三、垂直关系 (4)求证:①EG AG ⊥;②FH AH ⊥;③BE AB HCF =∠tan . (5)、和差关系 求证:①BE DG BG 2=-;②DH DF AD 2=+; ③||2||DG BH DF BE -=-.
倍角半角公式 题型一:化简与求值 例 1求值:0 01000 1cos 20sin10(tan5tan 5 2sin 20 -+-- 2 = 3. 化简 tan 70cos10201 - 4.化简下列各式: (1 ???? ???????∈+-ππαα2232cos 21212121 , (2 ?? ? ??-?????--απαπα α4cos 4tan 2sin cos 222。 5 .求值:(1 0
00078sin 66sin 42sin 6sin ; (2 0 0020250cos 20sin 50cos 20sin ++ (3 log 92cos log 9 cos log 222ππ ++ 6. 已知函数 2 sin( 2cos(21 (π + - += x x x f . (1求 (x f 的定义域; (2若角α在第一象限且 5 3 cos =α,求(αf 的值 . 1已知 (,0 2
x π ∈- , 4 cos 5 x = ,则 =x 2tan ( A 247 B247-7 24 D724- 2 已知 cos 23 θ= ,则 44 sin cos θθ+的值为( A 1813 B18 11 C97 D 1- 3. 函数 221tan 21tan 2x y x -=+的最小正周期是 (
A 4π B 2 π Cπ D2π 4已知 3 sin( , 45x π -=则 sin 2x 的值为( A 1925 B1625 C1425725 5 函数 x x y 2 4cos sin +=的最小正周期为( A 4π B2π C π D2π 6. 函数 1cos sin x y x -=的周期是( A. 2 π B. π C . 2π D. 4π 7. 若 2 2 4
倍半角模型巩固练习(提优) 1.如图,在正方形ABCD中,点E、F分别在BC、AB上,且∠FDE=45o,连接DE、DF、EF,试探究EF、AF、CE之间的数量关系. 2.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90o,点D在CB的延长线上,连接AD,EA ⊥AD,∠ACE=∠ABD. (1)求证:AD=AE; (2)点F为CD的中点,AF的延长线交BE于点G,求∠AGE的度数. 3.如图,在平行四边形ABCD中,AE⊥BC于点E,CE=CD,点F为CE的中点,点G
为CD上的一点,连接DF、EG、AG,∠1=∠2. (1)若CF=2,AE=3,求BE的长; (2)求证:∠CEG=∠AGE. 4.如图,在正方形ABCD中,E为AD边上的中点,过点A作AF⊥BE交CD边于点F,M是AD边上一点,且BM=DM+CD. (1)求证:点F是CD边上的中点; (2)求证:∠MBC=2∠ABE. 5. 如图,在矩形ABCD中,F是DC上一点,AE平分∠BAF交BC于点E,且DE⊥AF, 垂足为点M,BE=3,,求MF的长.
6. 如图,在△ABC中,∠ACB=90o,D是AB边上的一点,M是CD的中点,若∠AMD =∠BMD.求证:∠CDA=2∠ACD. 倍半角模型巩固练习(提优) 1.如图,在正方形ABCD中,点E、F分别在BC、AB上,且∠FDE=45o,连接DE、DF、EF,试探究EF、AF、CE之间的数量关系. 【解答】EF=AF+CE,证明见解析 【解析】如图,将△DCE绕着点D顺时针旋转90o得到△DGA.
∵∠EDC+∠ADF+∠FDE=90o,∠FDE=45o,∴∠EDC+∠ADF=45o, 又∵旋转,∴DE=DG,∠GDA=∠EDC,∴∠GDA+∠ADF=∠GDF=∠FDE=45o, 在△DGF与△DEF中,DF=DF,∠GDF=∠EDF,DG=DE,∴△DGF≌△DEF,∴EF=GF=GA+AF, ∵旋转,∴GA=CE,∴EF=AF+CE. 2.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90o,点D在CB的延长线上,连接AD,EA ⊥AD,∠ACE=∠ABD. (1)求证:AD=AE; (2)点F为CD的中点,AF的延长线交BE于点G,求∠AGE的度数. 【解答】(1)见解析;(2)∠AGE=90o 【解析】(1)证明:∵EA⊥AD,∴∠DAE=∠90o,∴∠DAB+∠BAE=90o, ∵∠BAC=90o,∴∠CAE+∠BAE=90o,∴∠DAB=∠CAE, ∵∠ACE=∠ABD,AB=AC,∴△ADB≌△ACE,∴AD=AE; (2)如图,延长AG至点H,使得FH=FA.
半角模型例题 已知,正方形 ABCD中,∠ EAF两边分别交线段 BC、 DC于点 E、F,且∠ EAF﹦ 45°结论 1:BE﹢ DF﹦EF 结论 2:S△ABE﹢ S△ADF﹦S△AEF 结论 3:AH﹦ AD 结论 4:△ CEF的周长﹦ 2 倍的正方形边长﹦ 2AB 结论 5:当 BE﹦DF时,△ CEF的面积最小 22 2 结论 6:BM﹢DN﹦MN 结论 7:三角形相似,可由三角形相似的传递性得到 结论 8:EA、 FA是△ CEF的外角平分线 结论 9:四点共圆 结论 10:△ ANE和△ AMF是等腰直角三角形(可通过共圆得到) 结论 11: MN﹦EF(可由相似得到) 结论 12: S△ AEF﹦2S△ AMN(可由相似的性质得到) 结论 5 的证明: 设正方形 ABCD的边长为 1 则S△AEF﹦1﹣S1﹣S2﹣ S3 ﹦1﹣ x﹣ y﹣ (1 ﹣x)(1 ﹣y) ﹦﹣ xy 所以当 x﹦y 时,△ AEF的面积最小 结论 6 的证明: 将△ ADN顺时针旋转 90°使 AD与 AB重合 ′ ∴DN﹦ BN ′ 易证△ AMN≌△ AMN ′ ∴MN﹦ MN ′ 在 Rt△BMN中,由勾股定理可得: 2′ 2′2 BM﹢BN ﹦MN 22 2 即 BM﹢DN﹦MN 结论 7 的所有相似三角形: △ AMN∽△ DFN△AMN∽△ BME△AMN∽△ BAN△ AMN∽△ DMA△AMN∽△ AFE
结论 8 的证明: 因为△ AMN∽△ AFE ∴∠ 3=∠ 2 因为△ AMN∽△ BAN ∴∠ 3=∠ 4 ∴∠ 2=∠ 4 因为 AB∥CD ∴∠ 1=∠ 4 ∴∠ 1=∠ 2 结论 9 的证明: 因为∠ EAN﹦∠ EBN= 45° ∴A、B、E、N 四点共圆(辅圆定 理:共边同侧等顶角) 同理可证 C、E、N、F 四点共圆 A、M、 F、 D 四点共圆 C、E、 M、 F 四点共圆 **必会结论 --------图形研究正方形半角模型 已知:正方形 ABCD ,E、F分别在边 BC 、 CD 上,且 EAF 45 ,AE、AF分别交BD于H、 G ,连EF. 一、全等关系 ()求证:① 2 2 2 平分,平分 DF BE EF ;②DG﹢ BH﹦ HG;③AE BEF AF DFE . 1 二、相似关系 (2)求证:①CE 2DG ;② CF 2 BH ;③ EF 2HG . (3)求证:④AB2 BG DH ;⑤ AG 2 BG HG ;⑥BE DF 1 . CE CF 2 三、垂直关系 (4)求证:①AG EG ;②AH FH ;③tan HCF AB . (5) 、和差关系 BE 求证:① BG DG 2BE ;② AD DF 2DH ; ③ | BE DF | 2 | BH DG | .
普通高中课程标准实验教科书—数学第四册[人教版B] 第三章 三角恒等变换 3.2.2半角公式 教学目标: 要求学生能较熟练地运用倍角公式推导半角公式,增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理能力 教学重点:半角公式的应用 教学过程 一、复习引入 二倍角公式:αααcos sin 22sin =;)(2αS ααα22sin cos 2cos -=;)(2αC 1cos 22-=αα2sin 21-= α αα2tan 1tan 22tan -= ;)(2αT 二、讲解新课 1、半角公式 α+α-±=αα+±=αα-±=αcos 1cos 12tan ,2cos 12cos ,2cos 12sin α α-=α+α=αsin cos 1cos 1sin 2tan 证:1?在 α-=α2sin 212cos 中,以α代2α, 2 α代α 即得: 2sin 21cos 2α-=α ∴2 cos 12sin 2α-=α 2?在 1cos 22cos 2-α=α 中,以α代2α,2 α代α 即得: 12 cos 2cos 2-α=α ∴2cos 12cos 2α+=α 3?以上结果相除得:α+α-=αcos 1cos 12tan 2
4? 2tan 2cos 2sin 2cos 2sin 2)2sin 21(1sin cos 12αααα α==--=- 2tan 2cos 2sin 12cos 212cos 2sin 2cos 1sin 2ααα ααα α α==-+=+ 2、例子 1如果|cos θ|= 51,25π<θ<3π,则sin 2 θ的值等于 2设5π<θ<6π且cos 2θ=a ,则sin 4 θ等于 3.tan 12π-cot 12π的值等于 4.设25sin 2x+sin x-24=0且x是第二象限角,求tan 2 x 小结:运用倍角公式推导半角公式,增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理能力 课堂练习:第154页练习A 、B 课后作业:第155页习题B 3
角含半角模型 破题策略 1. 等腰直角三角形角含半角 如图,在△ABC 中,AB =AC ,∠BAC =90°,点D ,E 在BC 上且∠DAE =45° (1) △BAE ∽△ADE ∽△CDA (2)BD 2+CE 2=DE 2 . 45° E A B C D 证明(1)易得∠ADC =∠B +∠BAD =∠EAB , 所以△BAE ∽△ADE ∽△CD A . (2)方法一(旋转法):如图1,将△ABD 绕点A 逆时针旋转90°得到△ACF ,连结EF . 45° F E A B C D 则∠EAF =∠EAD =45°,AF =AD , 所以△ADE ∽△FAE ( SAS ). 所以DE = EF . 而CF =BD ,∠FCE =∠FCA +∠ACE =90°, 所以BD 2+ CE 2=CF 2+CE 2=EF 2=DE 2 . 方法二(翻折法):如图2,作点B 关于AD 的对称点F ,连结AF ,DF ,EF . 45° E A B C D 因为∠BAD +∠EAC =∠DAF +∠EAF , 又因为∠BAD =∠DAF , 则∠FAE =∠CAE ,AF =AB =AC , 所以△FAE ∽△CAE (SAS ). 所以EF = E C .
而DF =BD , ∠DFE =∠AFD + ∠AFE =90°, 所以BD 2+ EC 2= FD 2+ EF 2= DE 2 . 【拓展】①如图,在△ ABC 中,AB =AC ,∠BAC =90°,点D 在BC 上,点E 在BC 的 延长线上,且∠DAE =45°,则BD 2+CE 2=DE 2 . E D 可以通过旋转、翻折的方法来证明,如图: E A D F E A D ②将等腰直角三角形变成任意的等腰三角形:如图,在△ABC 中,AB =AC ,点D ,E 在 BC 上,且∠DAE =1 2 ∠BAC ,则以BD ,DE ,EC 为三边长的三角形有一个内角度数为180° -∠BA C . B 可以通过旋转、翻折的方法将BD ,DE ,EC 转移到一个三角形中,如图: B C E B D