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本内容适合七年级进八年级学生暑假提高使用。重点落实在奥赛方面的基础知识和基本技能培训和提高。本内容难度适中，讲练结合，由浅入深，讲解与练习同步，是学生提高数学水平的好资料。另外，在本次培训中，我们适当安排了函数方面的内容，给学生以学习上的提前量，对培养学生的学习兴趣有一定的帮助。
本次暑假培训具体计划如下，以供参考：
第一讲全等三角形辅助线作法与证明技巧
第二讲实数
第三讲一次函数与反比例函数
第四讲整式的运算
第五讲因式分解
第六讲竞赛中质数合数
第七讲数学竞赛中的不定方程
第八讲竞赛中整除的基本性质
第九讲2007年希望杯全国数学竞赛试题
第十讲“希望杯’’全国数学邀请赛初二第2试
第十一讲初二竞赛思维训练
第十二讲逻辑推理问题
第十三讲考试图论思想
第十四讲试卷讲评归纳与枚举
第一讲 全等三角形辅助线作法与证明技巧
全等三角形辅助线作法与证明技巧： 一：基础巩固：
1. △ABC 中, AB=5, AC=a , BC 边上的中线AD=4, 则a 的取值范围为 （ ） A. 35a << B. 39a << C. 310a << D. 313a <<
2. 如图,在等腰△ABC 中, 顶角100BAC ∠=o
,延长AB 到D,
AD BC =,则BCD ∠= （ ）
A. 10o
B. 15o
C. 20o
D. 30o
3. 如图,123∠=∠=∠,DE DF =,则下面结论一定成立的是 （ ）
A. AE FC =
B. AE DE =
C. AE FC AC +=
D. AD FC AB +=
4. 在矩形ABCD 中 ,16,8AB BC ==,将矩形沿对角线AC 折叠, 点D 落在E 点处, 且CE 与AB 交于点F, 则AF = 。
5如图所示, 60,30ABC BCD AD BC ∠=∠=+=o
,BD 平分ABC ∠,
//AD BC ,则四边形ABCD 的周长是 。
6. 如图所示, 在△ABC 中, AB BC AD ==, 则α与β的关系是（ ）
A. 90αβ+=o
B. 2180αβ+=o
C. 3180αβ-=o
D. 3180αβ+=o
7. 等腰三角形的一条腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半,则其顶角等于（ ）
A. 30o
B. 30o 或150o
C. 120o 或150o
D. 30o 、120o 或150o
8. 如图所示, 六边形ABCDEF 中, A B C D E F ∠=∠=∠=∠=∠=∠, 且11,3AB BC FA CD +=-=, 则BC DE += 。
9. 在正五边形ABCDE 所在的平面内求一点P, 使得PCD V 与BCD V 面积相等, 且ABP V 是等腰三角形, 这样的P 点有 个。
奥赛之窗：
中线倍长
【例1】如图所示, 已知在△ABC中, AD是BC边上的中线, E是AD上一点, 且BE=AC, 延长BE交AC 于F, 求证: AF=EF.（CASIO杯数学竞赛试题）
【例2】如图所示, 各边都相等的五边形ABCDE中, ∠ABC=2∠DBE, 求∠ABC.（2009世奥赛中国区总决赛）
截长补短
【例3】如图所示, 已知四边形ABCD中, AB=AD, ∠BAD=60°, ∠BCD=120°, 求证: BC+DC=AC. （希望杯全国联赛试题）
【例4】如图所示, △ABC是边长为1的等边三角形, △BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形, 点M、N 分别在AB、AC上, 且∠MDN=60°，求证: △AMN的周长l为2.（华杯赛全国联赛试题）
第二讲 实数
一、课标要求
1、通过对平方值的计算等确立平方根的意义、开方的运算。了解算术平方根与平方根的区别与联系。
2、能用类比平方根的方法学习立方根,及开立方运算,并区分立方根与平方根的不同.
3、通过学习“实数与数轴上的点的一一对应关系”，渗透“数学结合”的数学思想。
4、学会比较两个实数的大小；
二、基础夯实
1、在Λ262262226.4,9,4.0,81,8,2,3
1
,14.3---?π.）个之间依次多两个216(中、
属于有理数的有 属于无理数的有 属于正实数的有
属于负实数的有
2、求下列各式的值:
(1)-
(3)
（4）3
3001.08
33
+ （5）3216-
（6）33
27
102112561---
3、求满足下列各式的非负数x 的值: (1)169x 2=100 (2)x 2-3=0
三、例题精讲
例1、已知0＜x ＜1，那么在2,,1
,x x x
x 中最大的数是 最小的数是
例2、34－的整数部分为a ，小数部分为b ，求
a
b
的值.（保留3个有效数字）
例3、已知12-a 的平方根是3±，13-+b a 的算术平方根是4，求b a 2+的平方根.
例4、已知a ，b 为实数，且满足01)1(1=---+b b a ，则20092009
b a
-的值时多少？
例5、计算下列各题
（1)33
2
44
2
)4(3)34()5(---+--- ；
(2)321434219
201099919
20102
999个个）（???+??? ；
(3) 1998
1998
35
7
1998
1998999
31537++?
??
? ??
四、课堂练习
1、已知()0122
=--+-+-c b a b a , 则22008
c b a
++的个位数字是 。
2、已知x ，y 满足x
x x y 289
161622---+-=，求xy 的平方根.
3、已知a a a =-+-20092008，求2
2008-a 的值.
第三讲 一次函数与反比例函数
一、知识点精讲
1、正确认识函数及其形式
2、反比例函数的图象与性质
3、反比例函数)0(≠=
k x
k
y 中的比例系数k 的几何意义
二、一次函数例题精讲
例1：一次函数n mx y -=的图象如图，则下面结论正确的是（ ） A 、0,0< B 、0,0> C 、0,0>>n m D 、0,0<>n m 例2：如图，直线AB 交x 轴于A ，交y 轴于B ，求直线AB 的函数解析式。 例3：设函数)5()3(752 m x m y m m -+-=+-，当m 为何值时，它是一次函数？此时它的图象经过哪几个象限？画出函数图象来。 例4：已知一次函数k x y -=2的图象与反比例函数x k y 5 +=的图象相交，其中有一个交点的纵坐标为－4，求这两个函数的解析式。 例5：如图，A 、C 是函数x y 1 =的图象上的任意两点，过A 点作x 轴的垂线， 垂足为B ；过C 点作y 轴的垂线，垂足为D ，记Rt △AOB 的面积为1S ， Rt △COD 的面积为2S ，则（ ） A 、21S S > B 、21S S = C 、21S S < D 、21S S 与的大小关系不能确定 例6：函数a ax y +-=与)0(≠-=a x a y 在同一坐标系中的图象可能是（ ） 三、课堂练习 1、若直线k x y +=3与两坐标轴围成的三角形的面积为24，则常数k 的值是 。 2、直线b kx y +=经过一、二、四象限，那么直线k bx y +-=经过 象限。 3、当圆柱形罐头的体积为一定值)0(>m m 时，那么这个圆柱的高h 与圆柱的底面半径r 之间的函数关系是（ ） A 、正比例函数 B 、一次函数 C 、反比例函数 D 、其他函数 4：已知0≠abc ，并且 p b a c a c b c b a =+=+=+，那么直线p px y +=一定通过（ ） A 、第一、二象限 B 、第二、三象限 C 、第三、四象限 D 、第一、四象限 5：如图，正方形ABCD 的边长为10cm ，点E 在边CB 的延长线上，且EB ＝10cm ，点P 在边DC 上运动， EP 与AB 的交点为F ，设DP ＝xcm ，△EFB 与四边形AFPD 的面积和为2 ycm ， 那么，y 与x 之间的函数关系式是 _____________ （100< 水，不出水，在随后的8分钟内既进水又出水，得到时间x （分）与水量y （升）之间的关系如图所示。 （1）每分钟进水多少？ （2）124≤≤x 时，x 与y 有何关系？ （3）若12分钟后只放水，不进水，求y 的表达式。 7：A 市、B 市和C 市分别有某种机器10台、10台和8台，现在决定把这些机器支援给D 市18台，E 市10台，已知从A 市调运一台机器到D 市、E 市的运费分别为200元和800元；从B 市调运一台机器到D 市、E 市的运费分别为300元和700元；从C 市调运一台机器到D 市、E 市的运费分别为400元和500元。（1）设从A 市、B 市各调运x 台机器到D 市，当28台机器全部调运完毕后，求总运费W （元）关于x （台）的函数式，并求W 的最小值和最大值。 （2）设从A 市调x 台到D 市，B 市调y 台到D 市，当28台机器全部调运完毕后，用x 、y 表示总远费W （元），并求W 的最小值和最大值。 8、在直角坐标系中，有两点P （-1,1）和Q （3,3），M 是x 轴上的任意点，则使PM+PQ 的长度最小时，求M 点的坐标 第四讲整式的运算 一、知识点精讲 整式是多项式和单项式的总称．整式的乘除主要是多项式的乘除．下面先复习一下整式计算的常用公式，然后进行例题分析． 正整数指数幂的运算法则： (1)a M· a n=a M+n；(2)(ab)n=a n b n；(3)(a M)n=a Mn；(4)a M÷a n=a M-n(a≠0，m＞n)； 常用的乘法公式： (1)(a+b)(a+b)=a2-b2；(2)(a±b)2=a2±2ab+b2； (4)(d±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3；(5)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca． 二、基础夯实 1.填空： ①a2+b2=(a+b)2－_________ ②(a+b)2=(a－b)2+_________ ③a3+b3=(a+b)3－3ab(______) ④a4+b4=(a2+b2)2－_________ ⑤a5+b5=(a+b)(a4+b4)－________ ⑥a5+b5=(a2+b2)(a3+b3)－___________ 2.填空： ①(x+y)(___________)=x4－y4②(x－y)(__________)=x4－y4 ③(x+y)( ___________)=x5+y5④（x－y）(__________)=x5－y5 三、例题精讲 例1. 己知x+y=a xy=b 求①x2+y2②x3+y3③x4+y4 例2 计算 (1)(a-b+c-d)(c-a-d-b)；(2)(x+2y)(x-2y)(x4-8x2y2+16y4)． 分析与解 (1)这两个多项式对应项或者相同或者互为相反数，所以可考虑应用平方差公式，分别把相同项结合，相反项结合． (2)(x+2y)(x-2y)的结果是x2-4y2，这个结果与多项式x4-8x2y2+16y4相乘时，不能直接应用公式， 但x 4-8x 2y 2+16y 4=(x 2-4y 2)2与前两个因式相乘的结果x2-4y2相乘时就可以利用立方差公式了． 例3、己知 x 2－5x+m 能被x －2整除，求m 的值。 例4、已知x+ x 1 =3, 求①x 2+21x ②x 3+31x ③x 4+41x 的值 例5、己知a+b=1, 求证：a 3+b 3－3ab=1 四、实战演练 1．x 2-y 2-x-y 分解因式的结果是 . 2．若x 2+2(m-3)x+16是完全平方式，则m 的值等于（ ） A 、3 B 、-5 C 、7 D 、7或-1 3．利用因式分解计算： 2 2248 25210000 = . 4．(x+y+z)2-(x-y+z)2. 5．已知x-y=2，x 2-y 2=6，求x 与y 的值. 6．利用因式分解计算19992+1999-20002. 五、课堂练习 1．计算： (1)(a- 2b+c)(a+2b-c)-(a+2b+c)2；(2)(x+y)4(x-y)4； (3)(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)． 2．化简： (1)(2x-y+z-2c+m)(m+y-2x-2c-z)； (2)(a+3b)(a2-3ab+9b2)-(a-3b)(a2+3ab+9b2)； 3．已知z2=x2+y2，化简(x+y+z)(x-y+z)(-x+y+z)(x+y-z)． 4.己知a2=a+1，求代数式a5－5a+2的值 第五讲 因式分解 一、知识点精讲 主要介绍提取公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法及配方法，换元法等．在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (1)a 2-b 2=(a+b)(a-b)； (2)a 2±2ab+b 2=(a±b)2； (3)a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)； (4)a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2)． 下面再补充几个常用的公式： (5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca)； 二、基础夯实 因式分解 1、c b a c ab b a 2 33236128+- 2、)(6)(4)(8a x c x a b a x a ---+- 3、2 41x - 4、22 0.01a b - 5、2 816a a ++； 6、2 (2)6(2)9a b a b ++++； 7、3a a - 8、2 312x - 9、 2 21222 x xy y ++； 10、22 44mn m n ---． 三、例题精讲 例1 分解因式： (1)-2x 5n-1y n +4x 3n-1y n+2-2x n-1y n+4； (2)x 3-8y 3-z 3-6xyz ； 例2 分解因式：a 3+b 3+c 3-3abc ．本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)． 分析 我们已经知道公式(a+b)3=a 3+3a 2b+3ab 2+b 3的正确性，现将此公式变形为a 3+b 3=(a+b)3-3ab(a+b)．本题就借助于它来推导． 例3 分解因式：x 3-9x+8 例4 分解因式：(x 2+x+1)(x 2+x+2)-12． 四、课堂练习 1.分解因式：10)3)(4(2424+++-+x x x x = ． 2．分解因式：(x 2+x+1)(x 2+x+2)－12= ． 3．分解因式：12)5)(3)(1(2+++-x x x = ． 4.若25)(222++-++y x a y xy x 是完全平方式，则a = ． 5.将多项式3224--x x 分解因式，结果正确的是（ ）． A ．)1)(3(22-+x x B ．)3)(1(22-+x x C ．)1)(1)(3(2+-+x x x D ．)3)(3)(1(2+-+x x x 6.因式分解 (1)4416b a +； (2)4224y y x x ++ 第六讲 质数合数性质 整数的研究在数学里占有极为重要的地位，特别是整数问题的灵活性和独特性，有利于培养和考查学生的综合素质，因此，各级各类数学竞赛，整数的问题涉及较多。 一、知识点精讲 （一）十进制整数与K 进制的互化 除2取余法。 例如：87化为2进制。 87化为4进制。 如何推广至除K 取余法。 （二）质数与合数 一个大于1的正整数a ，若仅有1与a 这两个正约数，则a 叫做质数（或素数）；若还有其他的正约数，则a 叫做合数。 例1：若P 为质数，53 +P 仍为质数，则75 +P 为（ ） A 、质数 B 、可为质数也可为合数 C 、合数 D 、既不是质数也不是合数 例2：满足90的所有是合数而不是偶数的正约数的和等于 . （三）最大公约数与最小公倍数 例3：a 、b 为自然数，且a ＝1999b ，则a 、b 的最大公约数与最小公倍数的和等于 。 例4：电子钟9分钟亮一次灯，整点响铃，12点既亮灯又响铃以后，下次在几点既亮灯又响铃？ （四）奇数与偶数 整数可以分为奇数和偶数两类。 在整数中能被2整除的数叫做偶数；不能被2整除的数叫做奇数，通常用2k 表示偶数，用2k ＋1（或2k －1）表示奇数，其中k 为整数。 例5：99个连续自然数之和等于abcd ，若a 、b 、c 、d 皆为质数，则a ＋b ＋c ＋d 的最小值等于多少？ 例6：abcd 是一个四位的自然数，已知abcd －1995=--a ab abc ，试确定这个四位数abcd 。 例7：写出10个连续自然数，使其中每一个数都是合数 例8：是否存在整数a ，b 满足2 2 1998b a =+。 例9：设a 、b 、c 、d 为自然数，并且ab ＝cd ，试问a ＋b ＋c ＋d 能否为质数？ 第七讲 不定方程与应用 一、知识点精讲 关于二元一次不定方程c by ax =+（其中a 、b 、c 是整数；0,0≠≠b a ）的解有下面定理： 定理1 若不定方程c by ax =+[其中（a 、b ）＝d 1±≠）]，而常数c 却无因数d ，则此不定方程无整数解。 如13105=+y x ，不管x ，y 取什么整数总有)105(|5y x +，但5 不整除13，所以这个方程无整数解。 定理2 如果? ? ?==00 y y x x 为c by ax =+[其中（a 、b ）＝1]的一组整数解，那么，c by ax =+的所有解（通解）为? ??-=+=at y y bt x x 00（其中t 为任意实数） 如 13x ＋30y ＝4 （13、30）＝1 则13 304y x -= ∵y x ,是整数，观察得整数解1,200=-=y x ，其全部解 ? ? ?-=+-=t y t x 131302 其他某些不定方程可经过转化后根据上述定理求解 二、例题精讲 例1：不定方程130653=+y x 有多少组正整数解？ 例2：求除以7余5，除以5余2，除以3余1的所有三位数中的最小正整数。 例3：牛吃草问题的不定方程解法探秘。 抽水，40分钟可抽完；如果用4台抽水机抽水，16分钟可抽完，如果要在10分钟内抽完水，那么至少需要抽水机台。（1999年全国数学联赛试题） 例5：某班参加一次智力竞赛，共a、b、c三题，每题或者得满分或者得0分，其中题a满分20分，题b、题c满分分别为25分，竞赛结果，每个学生至少答对一题，三题全对的有1人，答对其中两道题的有15人，答对题a的人数与答对题b的人数之和为29；答对题a的人数与答对题c的人数之和为25；答对题b的人数与答对题c的人数之和为20，问这个班的平均成绩是多少分？ 例6：林子里有猴子喜欢吃的野果，23只猴子可在9周内吃光，21只猴子可在12周内吃光，问如果有33只猴子一起吃，则需要几周吃光？（假定野果生长的速度不变）【浙江2007】 第八讲竞赛中整数性质的运用 一、知识点精讲 二、完全平方数的末位数 若a是整数，则称2a为完全平方数。 定理1：完全平方数的末位数只能是0，1，4，5，6，9。 推论：凡末位数是2，3，7，8的自然数一定不是完全平方数。 定理2：奇数的平方的十位数字必是偶数。 推论：十位数字是奇数的完全平方数一定是偶数。 定理3：连续的10个自然数的平方和的末位数都是5。 定理4：两个连续自然数乘积的末位数只能是0，2，6；3个连续自然数乘积的末位数只能是0，4，6；4个连续自然数乘积的末位数只能是0，4；5个或5个以上连续自然数乘积的末位数都是0。 四、末位数的运算性质 定理5：两个自然数和的末位数等于这两个自然数末位数和的末位数；两个自然数乘积的末位数等于这两个自然数末位数乘积的末位数，即 )]()([)(b P a p P b a P +=+， )]()([)(b P a P P b a P ?=?， 其中a 和b 都是自然数 利用末位数的性质，可以使一些看上去很困难的问题得以顺利解决。 二、例题精讲 例1：（1）求1995 1994的末位数。 （2）求100310021001 1373 ??的末位数。 例2：n 为怎样的自然数时，n n n n 4321+++能被10整除？ 表格法的应用与直观性分析。 例3：5个连续自然数的平方和能否是完全平方数？请证明你的结论。 例4：若一个自然数的平方的十位数字是7，求这个自然数平方的末位数。 分析：一个自然数的平方的末两位数字是由这个自然数的末两位数字确定的，我们就由这里入手考虑。 （二）数的整除的判定法则 （1）末两位数能被4（或25）整除的整数能被4（或25）整除。 （2）末三位数能被8（或125）整除的整数能被8（或125）整除。 （3）一个整数的奇数位数字和与偶数位数字和的差能被11整除，则这个数能被11整除。 （4）奇位千进位的总和与偶位千进位的总和之差能被7或11或13整除，则这个数能同时被7，11，13整除。 （三）带余除法 两个整数的和、差、积仍是整数，即整数中加、减、乘运算是封闭的，但用一非零整数去除另一整数，所得的商未必是整数。 一般地，a 、b 为两个整数，0≠b 则存在惟一的整数对q 和r ，使得a ＝bq ＋r 。 这里||0b r ≤≤，特别是当0=r ，则称a b | 当0≠r ，则称b 不整除 a ，q 称为a 被b 除时所得的不完全商；r 称为a 被b 除时所得的余数。 （四）同余、余数的分类 由上可得r bq a +=，而这里r 可以取0，1，2，…r －1。 （1）如果我们把这r 个数，每一个数分为一类，（即按余数相同的分为一类）则可分为b 类。 如，整数a 被3除时，余数只能是0，1，2，所以整数a 可以分为q 3，13+q ，23+q 这三类形式，任一整数都属于这三类中的某一类，从而把整数的整体问题转化为讨论每一类问题的共性，得出整数总体的性质。 （2）两整数a 和b 被c 除时，余数相等，叫做a 和b 对模c 同余，记作： ) (mod c b a ≡ 学会这方面知识可以使许多问题简单化 如： )30 (mod 464≡ 二、例题精讲 例1：1999除以某自然数，其商为49，求除数和余数。 分析：设除数为x ，余数为y ，由余数公式有1999＝49x ＋y ，且x y <≤0，由此可以确定x 的取值范围。 例2：甲、乙、丙三个数分别是312，270，211，用自然数A 分别去除这三个数，除甲所得余数是乙所得余数的2倍，除乙所得余数是除丙所得余数的2倍，求这个自然数A 。 分析：若设丙的余数为r ，商分别为a ，b ，c ，则可得方程组，再利用整数性质即可求出A 。 新课标人教版小学五年级数学竞赛试题 学校 班级 姓名 一、填空题（每空格2分） 1、一个四位数，给它加上小数点比原来数小2003.4，这个四位数是（ ）。 2、一个分数，分子加分母等于168，分子、分母都减去6，分数变成 7 5，原来的分数是（ ）。 3、一个三位小数，四舍五入到百分位后是3.90，那么这个三位 小数最大是（ ），最小是（ ）。 5、规定：符号“△”为选择两数中较大的数，“○”为选择两数中较小的数。例如： 3△5=5，3○5=3。那么 [（7○3）△5]×[5○（3△7）]= 5、计算（6分） （1）567×789789-789×567567＝( ) （2）0.036×250＋3.6×7.5＝（ ） （3）100＋99－98＋97－96＋95＋……＋3－2＋1＝（ ） 6、仔细观察，找出规律并填空。 （1）0.1，0.2，0.3，0.5，0.8，（ ），2.1，（ ） （2）4×9=36 44×99=4356 444×999=443556 4444×9999=44435556 44……44×99……99=（ ） 2005个 2005个 7、新来的教学楼管理员，拿15把不同的钥匙去开15个教室门，但不知哪一把钥匙开哪一个门，他最多试开（ ）次，就可将钥匙与教室门锁配对。 8、用1元、5元、10元、50元、100元人民币各一张，2元、20元的各两张，在不找钱的情况下，最多可以支付（）种不同的款额。 9、一个同学在计算2.37加一个一位小数时，由于粗心将数的末尾对齐，结果得2.93，那么正确的结果比错误结果多（）。 10、有七个数，平均数为49，前4个数的平均数为28，后4个数的平均数为68.25，那么第4个数为（）。 11、正方形的一条对角线长是13cm，这个正方形的面积是（）cm2 12、育才小学买10只羽毛球和25只乒乓球共付49.5元，人民路小学买同样的20只羽毛球和20只乒乓球共付54元，1只羽毛球比1只乒乓球便宜（）元。 13、将1、2、3、4、5、6分别填在右图内， 使折叠成的正方形中对面数字和相等。 14、右图中，每个字母代表一个数， 任何三个相邻方格中的数之和都是21， 那么A+B+C+D=（）。 15、小红用平底锅烙饼，每次只能放2张饼。烙一张饼需要2分钟（正、反面各需1分钟）。为了节约时间，小红要烙7张饼最少需要（）分钟。 16、环形跑道一周长400米，李明和王伟从同一处同时起跑，李明每分跑300米，王伟每分跑250米，（）分钟后两人第二次跑在同一处。 17、有三个人，他们是A、B、C，一个是医生，一个是护士，还有一个是病人。C比病人老；A和护士不同岁；护士比B年轻。那么（）是护士，（）是病人，（）是医生。 18、甲堆棋子是乙堆的3倍，如果从甲堆拿20粒给乙堆，则两堆同样多，那么甲堆原来有（）粒。 新集中学八年级下学期数学竞赛试卷 （满分120分，考试时间100分钟） 学校_________ 班级_________ 姓名_________ 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列计算错误的是（ ） A =B ．= 3= D ．2 8= 2. 满足下列条件的△ABC ，不是直角三角形的是（ ） A ．222b c a -= B ．a :b :c =3:4:5 C ．∠A :∠B :∠C =9:12:15 D ．∠C =∠A -∠B 3.一次函数y =kx +k 在平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A ． B ． C ． D ． 4.某天，小明走路去学校，开始他以较慢的速度匀速前进，然后他越走越快走了一段时间，最后他以较快的速度匀速前进到达学校．则小明走路的速度v （米/分钟）与时间t （分钟）的关系图象是（ ） A ． B ． C ． D ． 5.下列说法中，不正确的是（ ） ) A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形 C．一组对边平行另外一组对边相等的四边形是平行四边形 D．有一组邻边相等的矩形是正方形 6.现有一只蜗牛和一只乌龟从同一点分别沿正东和正南方向爬行，蜗牛的速度为14厘米/分钟，乌龟的速度为48厘米/分钟，5分钟后，蜗牛和乌龟的直线距离为（） A．300厘米B．250厘米C．200厘米D．150厘米 7.如图，菱形ABCD的周长为16，若∠BAD=60°，E是AB的中点，则点E的坐标为（） B．1) C．(1D．2) 题图 第8题图第9题图 8.如图，在长方形纸片ABCD中，AD=8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕交BC于点E，若EF=3，则AB的长为（） A．3 B．4 C．5 D．6 9.如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=2，CE=3，H是AF的中点，则GH的长是（） A．1 B．C． 2 D．1.5 10.甲、乙两车从A地出发沿同一路线驶向B地，甲车先出发匀速驶向B地．40分钟后，乙车出发，匀速行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时半小时，由 H G F E D C B A F E A B C D 第六讲 实数的概念及性质 数是随着客观实际与社会实践的需要而不断扩充的． 从有理数到无理数，经历过漫长曲折的过程，是一个巨大的飞跃，由于引入无理数后，数域就由有理数域扩充到实数域，这样，实数与数轴上的点就建立了一一对应的关系． 由于引入开方运算，完善了代数的运算．平方根、立方根的概念和性质，是学习二次根式、一元二次方程等知识的基础．平方根、立方根是最简单的方根，建立概念的方法，以及它们的性质是进一步学习偶次方根、奇次方根的基础． 有理数和无理数统称为实数，实数有下列重要性质： 1．有理数都可以写成有限小数或循环小数的形式，都可以表示成分数p q 的形式；无理数是无限不循环小数，不能写成分数 p q 的形式，这里p 、q 是互质的整数，且0≠p ． 2．有理数对加、减、乘、除是封闭的，即任何两个有理数的和、差、积、商还是有理数；无理数对四则运算不具有封闭性，即两个无理数的和、差、积、商不一定是无理数． 例题求解 【例1】若a 、b 满足b a 53+3=7，则S ＝b a 32-的取值范围是 ． (全国初中数学联赛试题) 思路点拨 运用a 、b 的非负性，建立关于S 的不等式组． 注： 古希腊的毕达哥拉斯学派认为，宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比．但是该学派的成员希伯索斯发现边长为1的正方形的对角线长度既不是整数，也不是整数的比所能表示，这严重地冲击了当时希腊人的传统见解，这一事件在数学史上称为第一次数学危机．希伯索斯的发现没有被毕达哥拉斯学派的信徒所接受，相传毕氏学派就因这一发现而把希伯索斯投入海中处死． 【例2】 设a 是一个无理数，且a 、b 满足ab －a －b+1=0，则b 是一个( ) A ．小于0的有理数 B ．大于0的有理数 C ．小于0的无理数 D ．大于0的无理数 (武汉市选拔赛试题) 思路点拨 对等式进行恰当的变形，建立a 或b 的关系式． 【例3】已知a 、b 是有理数，且0320 91412)121341()233 1(=---++ b a ，求a 、b 的值． 思路点拔 把原等式整理成有理数与无理数两部分，运用实数的性质建立关于a 、b 的方程 组． 【例4】(1) 已知a 、b 为有理数，x ，y 分别表示75-的整数部分和小数部分，且满足axy+by 2＝1，求a+b 的值． (南昌市竞赛题) (2)设x 为一实数，[x]表示不大于x 的最大整数，求满足[－77.66x]=[－77.66]x+1的整数x 的值．(江苏省竞赛题) 思路点拨 (1)运用估算的方法，先确定x ，y 的值，再代入xy+by 2＝1中求出a 、b 的值；(2)运用[x]的性质，简化方程． 注： 设x 为一实数，则[x]表示不大于x 的最大整数，[x]]又叫做实数x 的整数部分，有以下基本性质： (1)x －1<[x]≤x (2)若y< x ，则[y]≤[x] (3)若x 为实数，a 为整数，则[x+a]= [x]+ a ． 永川中学片区初2019级桂山杯数学竞赛试题 （总分：100分时间：100分钟） 考号：班级：姓名： 一、选择题（共10小题，每小题4分） 1．下列计算中，正确的是（） A ． B ． C ． D ． 2．已知一次函数()2 2m -1- + =m x y,函数y随着x的增大而减小，且其图象不经过第一象限， 则m的取值范围是（） A. 2 1 > m B.2 ≤ m C.2 2 1 < 八年级(上)数学竞赛练习题(5) 一、选择题 1、已知：a 、b 是正数，且a+b=2，则2 2 14a b +++的最小值是（ ） A 、13 B 、5 C 、25+ D 、7 2、四个壮小伙子正好同五个胖姑娘力量平衡，两个胖姑娘和一个壮小伙子同两个瘦姑娘势均力敌。那么当左边是两个瘦姑娘和三个胖姑娘，右边是一个胖姑娘和四个壮小伙子时，会发生的结果是 ( ) A ．左边赢； B ．右边赢； C ．恰好平衡 D ．无法判断 3、有两堆数量相同的棋子．第一堆全为白色，第二堆全为黑色．现在从第一堆中取出若干个白棋子，将其放入第二堆中，充分混合后，从第二堆棋子中随机取出同样多的棋子（棋子中可能有黑有白）放到第一堆中，此时两堆棋子的数量又相同了，则下列说法正确的是（ ） （A ）此时第一堆中黑棋子的数量大于第二堆中白棋子的数量 （B ）此时第一堆中黑棋子的数量等于第二堆中白棋子的数量 （C ）此时第一堆中黑棋子的数量小于第二堆中白棋子的数量 （D ）此时第一堆中黑棋子的数量与第二堆中白棋子的数量，两者大小关系无法确定 4、盒中原有8个小球，一位魔术师从中任意取几个小球，把每一个小球都变成了8个小球，将其放回盒中，他又从盒中任取一些小球，把每一个小球又都变成了8个小球后放回盒中，如此进行到某一时刻魔术师停止取变球时，盒中球的总数可能是（ ） （A ）2003个 （B ）2004个 （B ）2005个 （D ）2006个 5、某个游泳池有2个进水口和一个出水口，每个进水口的进水量与时间的关系如图1所示，出水口的出水量与时间的关系如图2所示，某天早上5点到10点，该游泳池的蓄水量与时间的关系如图3所示． 第三十四讲 分式方程（组） 本讲我们将介绍分式方程(组)的解法及其应用． 【知识拓展】 分母里含有未知数的方程叫做分式方程．解分式方程组的基本思想是：化为整式方程．通常有两种做法：一是去分母；二是换元． 解分式方程一定要验根． 解分式方程组时整体代换的思想体现得很充分．常见的思路有：取倒数法方程迭加法，换元法等． 列分式方程解应用题，关键是找到相等关系列出方程．如果方程中含有字母表示的已知数，需根据题竞变换条件，实现转化．设未知数而不求解是常见的技巧之一． 例题求解 一、分式方程(组)的解法举例 1．拆项重组解分式方程 【例1】解方程6 4534275--+--=--+--x x x x x x x x ． 解析 直接去分母太繁琐，左右两边分别通分仍有很复杂的分子．考虑将每一项分拆：如7 2175-+=--x x x ，这样可降低计算难度．经检验211=x 为原方程的解． 注 本题中用到两个技巧：一是将分式拆成整式加另一个分式；二是交换了项，避免通分后分子出现x ．这样大大降低了运算量．本讲趣题引路中的问题也属于这种思路． 2．用换元法解分式方程 【例2】解方程08 1318218111222=--+-++-+x x x x x x ． 解析 若考虑去分母，运算量过大；分拆也不行，但各分母都是二次三项式，试一试换元法． 解 令x 2+2x —8=y ，原方程可化为0151191=-+++x y y x y 解这个关于y 的分式方程得y=9x 或y=－5x ． 故当y=9x 时，x 2+2x —8=9x ，解得x 1=8，x 2=—1． 当y=－5x 时，x 2+2x —8=－5x ，解得x 3=—8，x 4=1． 经检验，上述四解均为原方程的解． 注 当分式方程的结构较复杂且有相同或相近部分时，可通过换元将之简化． 3．形如a a x x 11+=+ 结构的分式方程的解法 形如a a x x 11+=+的分式方程的解是：a x =1，a x 12=． 【例3】解方程 3 10511522=+++++x x x x ． 解析 方程左边两项的乘积为1，可考虑化为上述类型的问题求解． 11=x ，22=x 均为原方程的解． 4．运用整体代换解分式方程组 2019-2020年八年级上数学竞赛试题 班级： 姓名： 一 填空题（每题4分，计40分） 1、已知 23m m +=, 则m = 。 2、方程111246819753x ?? ?+???+++=?? ????????? 的解是 。 3、 在1, 3, 5, ……, 2003这1002数的前面任意添加一个正号或一个负号，其代数和的绝对值最小值是 。 4、已知c b a ,,为△ABC 的三边，则化简=--++-2 )(c b a c b a 。 5、直角三角形的三边长分别是5，12，13，若此三角形内一点到三边的距离均为x ，则x= . 6、某音像社对外出租光盘的收费方法是：每张光盘在出租的头三天每天收0.8元, 以后每天收0.4元，那么一张光盘在租出后第n 天应收租金 元。 7、已知长方形的两边的长分别为a 和b (a >b ),其中a,b 都是小于10的正整数，而且9a a b +也是整数，那么这样的长方形有 个. 8、一个长，宽，高分别为27厘米，18厘米，15厘米的长方体，先从此长方体中尽可能最大地切下一个正方体， 然后从剩余的部分尽可能最大地切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能最大地切下一个正方体，剩下的体积是 . 9、写出直线y=－2x －3关于y 轴对称的直线的解析式__________________. 10、将自然数按下列三角形规律排列,则第15行的各数之和是 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 ……… ……… ……… ……… ………… 二 单项选择题（以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，每题5分，选对得5分， 不选不得分，多选或选错倒扣2分，计25分） 11、设a 、b 、c 的平均数为Ｍ，a 、b 的平均数为Ｎ，Ｎ、c 的平均数为P ，若a ＞b ＞c ，则Ｍ与Ｐ的大小关系是…………………………………………………………………【 】 （Ａ）Ｍ＝Ｐ （Ｂ）Ｍ＞Ｐ （Ｃ）Ｍ＜Ｐ （Ｄ）不能确定 12、代数式13432-- -x x 的最小值是……………………………………………【 】 （A ）、0 （B ）、3 （C ）、3.5 （D ）、1 13、现已知有两个角，锐角α，钝角β，赵，钱，孙，李四位同学分别计算 1 ()4 αβ+的结果，分别为68.5o,22o,51.5o, 72o ,四个结果中只有一个答案是正确的，那么这个正确的答案是……………………………………………………………………………【 】 （A ） 68.5o （B ）22o （C ）51.5o （D ）72o 14、已知代数式f ex dx cx bx ax x +++++=+2 3 4 5 5 13)(，则f e d c b a -+-+-的值是…………………………………………………………………………………【 】 （A ）、32 （B ）、－32 （C ）、1024 （D ）、－1024 15、若A(a,b)，B(b,a)表示同一点，那么这一点在…………………………………………【 】 （A ）．第一、三象限内两坐标轴夹角平分线上 （B ）．第一象限内两坐标轴夹角平分线上 （C ）．第二、四象限内两坐标轴夹角平分线上 （D ）．平行于y 轴的直线上 三 解答题（16、17两题中任选一题10分；18题必做10分；计20分） 16、如果0132 =+-a a ，试求代数式1 82522 2345+-+-a a a a a 的值。 文档收集于互联网，已重新整理排版.word 版本可编辑.欢迎下载支持. 1文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑. 17题图 2016年秋人教版八年级上册 数学竞赛试卷（含答案） 考试时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1、下列运算正确的是 （ ） A 、x 2 + x 3 = x 5 B 、－2x ·x 2 =－2x 3 C 、x 6÷x 2 = x 3 D 、(－ x 2 )3 = x 6 2、()() 1 222--?+-m m 的值是（ ） A 、0 B 、－2 C 、2 D 、1 2-+m ）（ 3、下列各组图形中，是全等形的是（ ） A.两个含60°角的直角三角形 B.腰对应相等的两个等腰直角三角形 C.边长为3和4的两个等腰三角形 D.一个钝角相等的两个等腰三角形 4、若22169y mxy x ++是完全平方式，则m =（ ） A 、12 B 、24 C 、±12 D 、±24 5、如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°， 点P 是BC 边上的动点，则AP 的长不可能是（ ） A 、3.5 B 、4.2 C 、5.8 D 、7 6、下列因式分解正确的是（ ） A. )45(312152 -=-x xz xz x B. 2 2 )2(44+=++x x x C. x xy x x x y 2-+=-() D . x xy y x y 222242-+=-() 7、已知5=-b a ,ab=6. 则2 2 b a +的值为( ). A 、16 B 、17 C 、25 D 、37 8、式子2016 3 的个位数是（ ） A 、1 B 、3 C 、7 D 、9 9、一个多边形，除了一个内角外，其余各角的和为2740°，则这一内角为（ ）： A 、0120 B 、0130 C 、0140 D 、0150 10、在直角坐标系xOy 中有一点P （1，1），点A 在x 坐标轴上，则使OPA ?为等腰三角形的所有可能的点A 的横坐标的乘积等于（ ）（注：OP=2） A 、－4 B －2 C 、42 D 、4 二、填空题（每小题3分，共24分） 11、已知m a =4，n a =3，则n m a += 12、点A （3x －y ，5)和B （3，7x －3y)关于x 轴对称，则2x －y= 13、．如图，Rt △AOB ≌Rt △CDA ，且A （-1，0），B （0，2）则点C 的坐标是 。 14、若m 、n 、k 为整数，且 12))(2++=++kx x n x m x （，则k 的所有可能的值为： . 15、如图，把矩形纸片ABCD 纸沿对角线折叠，设重叠部分为△EBD ，对于下列结论： （1）△EBD 是等腰三角形，EB =ED ； （2）折叠后∠ABE 和∠CBD 一定相等； （3）折叠后得到的图形是轴对称图形 ； （4）△EBA 和△EDC 一定是全等三角形。 其中说法错误的是 （填番号） 16、如图：在△FHI 中，HF ＋FG=GI ，HG ⊥FI ，∠F=058， 则∠FHI= 度 17、如图，方格纸中有四个相同的正方形，则∠1+∠2+∠3= 度 18、，如下页图，某体育馆用大小相同的长方形木板平铺墙面，第1次铺2块，如第1图；第2次把第1次铺的完全围起来，用了10块，共12块，如第2图；第3次把第2次铺的完全围起来，如第3图要铺共30块；…。依此方法，第n 次平铺所使用的木板数共． 块（用含n 的式子表示） 三、解答题（共计66分） 19、（1）（本题4分）计算： 44 10 ---π）（ E A B C D 15题图 P 30° C B A 5题图 八年级数学竞赛练习题 一、选择题： 1.如果a ＞b ，则2a -b 一定是（ ） A.负数 B.正数 C.非负数 D.非正数 2.n 是某一正整数，由四位学生分别代入代数式n 3-n 算出的结果如下，其中正确的结果是 （ ） A.337414 B.337415 C.337404 D.337403 3.三进位制数201可表示为十进位制数21023031319?+?+?=，二进位制数1011可表示为十进位制数32101202121211?+?+?+?=，现有三进位制数a=221，二进位制数b=10111，则a ，b 的大小关系是（ ） A.a ＞b B.a=b C.a ＜b D.不能比较 4.若2x+5y+4z=6，3x+y-7z=-4，则x+y-z 的值为（ ） A.-1 B.0 C.1 D.4 5.过点P （-1，3）作直线，使它与两坐标轴围成的三角形面积为5，这样的直线可以作（ ） A.1条 B.2 条 C.3条 D.4条 6.已知731 -的整数部分是a ，小数部分是b ，则a 2 +（1+7）ab=（ ） A.12 B.11 C.10 D.9 7.某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，单片软件至少买3片，盒装磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有（ ） A.5种 B.6种 C.7种 D.8种 8.如图，是一个边长为2的正方体，现有一只蚂蚁要从一条棱的中点A 处沿正方体的表面到C 处，则它爬行的最短线路长是（ ） A.5 B.4 C.13 D. 17 二、填空题: 9.如果整数a(a ≠2)使得关于x 的一元一次方程ax+5=a 2+2a+2x 的解是整数，则满足条件 的所有整数a 的和是__________. 10. 对于所有的正整数k ，设直线kx+(k+1)y-1=0与两坐标轴所围成的直角三角形的面积为S k ，则 S 1+S 2+S 3+…+S 2006= ． 第二十二讲直角三角形的再发现 直角三角形是一类特殊三角形，有着丰富的性质：两锐角互余、斜边的平方是两直角边的平方和、斜边中线等于斜边一半、30°所对的直角边等于斜边一半等，在学习了相似三角形的知识后，我们利用相似三角形法，能得到应用极为广泛的结论． 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，则有： 1．同一三角形中三边的平方关系：AB2=AC2+BC2， AC2=AD2+CD2，BC2=CD2+BD2． 2．角的相等关系：∠A=∠DCD，∠B=∠ACD． 3．线段的等积式：由面积得AC×BC=AB×CD； 由△ACD∽△CBD∽△ABC，得CD2=AD×BD，AC2=AD×AB，BC2=BD×AB．以直角三角形为背景的几何问题，常以下列图形为载体，综合了全等三角形、相似三角形、等腰三角形，特殊四边形等丰富的知识． 注直角三角形被斜边上的高分成的3个直角三角形相似，由此导出的等积式的特点是：一线段是两个三角形的公共边，另两条线段在同一直线上，这些等积式广泛应用于与直角三角形问题的计算与证明中． 例题求解 【例1】等腰三角形ABC的底边长为8cm，腰长5cm，一动点P在底边上从B向C 以0．25cm／秒的速度移动，当点P运动到PA与腰垂直的位置时，点P运动的时间为．(江苏省常州市中考题) 思路点拨为求BP需作出底边上的高，就得到与直角三角形相关的基本图形，注意动态过程． 【例2】如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，S矩形ABCD=40cm2，S△ABE：S△DBA=1：5，则AE的长为( ) A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm (青岛市中考题) 思路点拨从题设条件及基本图形入手，先建立AB、AD的等式． 【例3】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，DB为BC的中点，E为AC上一点，点G在BE上，连结DG并延长交AE于F，若∠FGE=45°． (1)求证：BD×BC＝BG×BE； (2)求证：AG⊥BE； (3)若E为AC的中点，求EF：FD的值．（盐城市中考题） 八年级(下)数学期末竞赛测试卷 一、选择题(每小题3分，共30分) 1、下列多项式中能用完全平方公式分解的是（ ） A.x 2-x +1 B.1-2xy +x 2y 2 C.a 2+a + 2 1 D.-a 2+b 2-2ab 2、不等式组???>-≥-0 40 12x x 的整数解为（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3、下列各分式中，与分式 b a a --的值相等的是 （ ） A 、b a a -- B 、b a a + C 、a b a - D 、-a b a - 4、．若分式3 49 22+--x x x 的值为0，则x 的值为（ ） A ． 3- B ．3或3- C ．3 D ．无法确定 5、某中学人数相等的甲、乙两班学生参加了同一次数学测验，班平均分和方差分别为 82=甲x 分，82=乙x 分；2452 =甲s ，1902=乙 s ，那么成绩较为整齐的是（ ） A ．甲班 B ．乙班 C ．两班一样整齐 D ．无法确定 6、某天同时同地，甲同学测得1 m 的测竿在地面上影长为0.8 m ，乙同学测得国旗旗杆在地面上的影长为9.6 m ，则国旗旗杆的长为（ ） A ．10 m B ．12 m C ．13 m D ．15 m 7、如图，△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，DE ∥BC ，DE ＝1，BC ＝3，AB ＝6，则AD 的长为（ ） A ．1 B ．1.5 C ．2 D ．2.5 (第7题图) (第9题图) 8、赵强同学借了一本书，共280页，要在两周借期内读完．当他读了一半时，发现平均每天要多读21页才能在借期内读完．他读前一半时，平均每天读多少页?如果设读前一半时，平均每天读x 页，则下面所列方程中，正确的是（ ） A ． 1421140140＝－＋x x B ．1421280280＝＋＋x x C ．1421140140＝＋＋x x D ．121 10 10＝＋＋x x 9、如图，这是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图．已知桌面的直径为1.2米，桌面距离地面1米．若灯泡距离地面3米，则地面上阴影部分的面积为（ ） A ．0.36π平方米 B ．0.81π平方米 C ．2π平方米 D ．3.24π平方米 八年级数学学科之星试题 班级 ： 姓名： 1、如图，已知AE AD ⊥，AB AF ⊥，AF AB =，AE AD =，AD ∥BC ，AD BC =，求证：AC EF = B E 2、已知：如图△ABC 中，AM 是BC 边上的中线。求证：)(2 1 AC AB AM +< 3、如图，在△ABC 中，A=108°，AB=AC,BD 是角平分线.求证：BC=AB+CD. 4、小明是这样完成“作∠MON 的平分线”这项作业的： “如图，①以O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OM ，ON 于点A ，B ；②分别作线段OA ，OB 的垂直平分线l 1，l 2（垂足分别记为C ，D ），记l 1与l 2的交点为P ；③作射线OP ，则射线 OP 为∠MON 的平分线．” 你认为小明的作法正确吗？如果正确，请你给证明，如果不正确，请指出错在哪里． 5、如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD， AF=CE，BD交AC于点M． （1）求证：MB=MD，ME=MF （2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由． 6、在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE． （1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE= _________ 度； （2）设∠BAC=α，∠BCE=β． ①如图2，当点D在线段BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由； ②当点D在直线BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？并选择其中一种证明你的结论． 一、 八年级（上）数学竞赛试卷 二、相信你一定能选对！（每小题5分，共30分） 1．已知x 2+kxy+64y 2是一个完全式，则k 的值是（ ） A ．8 B ．±8 C ．16 D ．±16 2．下列各命题中，假命题的个数为( ) ①面积相等的两个三角形是全等三角形;②三个角对应相等的两个三角形是全等三角形;③全等三角形的周长相等④有两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形是全等三角形. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．已知点P 1（a-1，5）和P 2（2，b-1）关于x 轴对称，则（a+b ）2005的值为（ ）． A ．0 B ．-1 C ．1 D ．（-3）2005 4．(2004·陕西)如图14－85所示，在锐角三角形ABC 中，CD ，BE 分别是AB ，AC 边上的高，且CD ，BE 交于一点P ，若∠A=50°，则∠BPC 的度数是( ) A.150° B.130° C.120° D.100° 5．（2003·绍兴）如图14—15所示，有一矩形纸片ABCD ，AB=10，AD=6，将纸片折叠，使AD 边落在AB 边上，折痕为AE ，再将△AED 以DE 为折痕向右折叠，AE 与BC 交于点F ，则△CEF 的面积为( ) A.4 B.6 C.8 D.10 6．如图，是一个改造后的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击中(球可以经过多次反射)，那么该球最后将落入的球袋是 ( ) A ．1号袋 B ．2号袋 C ．3号袋 D ．4号袋 三、 你能填得又对又快吗？（每小题5分， 7.已知|a+ 1 2 |+（b-3）2=0，求代数式[（2a+b ）2+（2a+b ）（b-2a ）-6b]÷2b= 8.（2004·北京）在函数y= 2 1 x 中，自变量x 的取值范围是 ． 9.（2003·厦门）某物体从上午7时至下午4时的温度M （℃）是时间t （时）的函数：M=t 2 -5t+100（其中t=0表示中午12时，t=1表示下午1时），则上午10时此物体的温度为 ℃． 10.(2003·济南）一次函数y=kx+b 的自变量x 的取值范围是-3≤x ≤6，相应函数值的取值 第三十五讲 应用题 在本讲中将介绍各类应用题的解法与技巧． 当今数学已经渗入到整个社会的各个领域，因此，应用数学去观察、分析日常生活现象，去解决日常生活问题，成为各类数学竞赛的一个热点． 应用性问题能引导学生关心生活、关心社会，使学生充分体会到数学与自然和人类社会的密切联系，增强对数学的理解和应用数学的信心． 解答应用性问题，关键是要学会运用数学知识去观察、分析、概括所给的实际问题，揭示其数学本质，将其转化为数学模型．其求解程序如下： 在初中范围内常见的数学模型有：数式模型、方程模型、不等式模型、函数模型、平面几何模型、图表模型等． 例题求解 一、用数式模型解决应用题 数与式是最基本的数学语言，由于它能够有效、简捷、准确地揭示数学的本质，富有通用性和启发性，因而成为描述和表达数学问题的重要方法． 【例1】(2003年安徽中考题)某风景区对5个旅游景点的门票价格进行了调整，据统计，调价前后各景点的游客人数基本不变。有关数据如下表所示： 是怎样计算的？ （2）另一方面，游客认为调整收费后风景区的平均日总收入相对于调价前，实际上增加了约9.4%。问游客是怎样计算的？ （3）你认为风景区和游客哪一个的说法较能反映整体实际？ 思路点拨 （1）风景区是这样计算的： 调整前的平均价格：()元1652520151010=++++，设整后的平均价格：()元165 30251555=++++ ∵调整前后的平均价格不变，平均日人数不变． ∴平均日总收入持平． （2）游客是这样计算的： 原平均日总收入：10×1+10×1+15×2+20×3+25×2=160（千元） 现平均日总收入：5×1+5×1+15×2+25×3+30×2=175（千元） ∴平均日总收入增加了%4.9160 160175≈- （3）游客的说法较能反映整体实际． 二、用方程模型解应用题 研究和解决生产实际和现实生恬中有关问题常常要用到方程<组)的知识，它可以帮助人们从数量关系和相等关系的角度去认识和理解现实世界． 【例2】 (重庆中考题)某中学新建了一栋4层的教学大楼，每层楼有8间教室，进出这栋大楼共有4道门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同．安全检查中，对4道门进行了测试：当同时开启一道正门和两道侧门时，2min 内可以通过560名学生；当同时开启一道正门和一道侧门时，4mln 内可以通过800名学生． (1)求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生? (2)检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率降低20％．安全检查规定：在紧急情况下全大楼的学生应在5min 内通过这4道门安全撤离．假设这栋教学大楼每间教室最多有45名学生，问：建造的这4道门整否符合安全规定?请说明理由． 思路点拨 列方程(组)的关键是找到题中等量关系：两种测试中通过的学生数量．设未知数时一般问什么设什么．“符合安全规定”之义为最大通过量不小于学生总数． (1)设平均每分钟一道正门可以通过x 名学生，一道侧门可以通过y 名学生，由题意得： ???=+=+800)(4560)2(2y x y x ,解得：? ??==80120y x (2)这栋楼最多有学生4×8×45=1440(名)． 拥挤时5min4道门能通过． 5×2(120+80)(1－20％)=1600(名), 因1600>1440，故建造的4道门符合安全规定． 三、用不等式模型解应用题 现实世界中的不等关系是普遍存在的，许多问题有时并不需要研究它们之间的相等关系，只需要确定某个量的变化范围，即可对所研究的问题有比较清楚的认识． 【例3】 (苏州中考题)我国东南沿海某地的风力资源丰富，一年内月平均的风速不小于3m ／s 的时间共约160天，其中日平均风速不小于6m ／s 的时间占60天．为了充分利用“风能”这种“绿色资源”，该地拟建一个小型风力发电场，决定选用A 、B 两种型号的风力发电机，根据产品说明，这两种风力发电机在各种风速下的日发电量(即一天的发电量)如下表： 根据上面的数据回答： (1)若这个发电场购x 台A 型风力发电机，则预计这些A 型风力发电机一年的发电总量至少为 千瓦·时； (2)已知A 型风力发电机每台O.3万元，B 型风力发电机每台O.2万元．该发电场拟购置风力发电机共10台，希望购机的费用不超过2.6万元，而建成的风力发电场每年的发电总量不少于102000千瓦·时，请你提供符合条件的购机方案． 根据上面的数据回答： 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分） 1、在下列式子中, x 2 -1π ，x-13x ，2x-3y 3x-2y ，x-1 x =1中，是分式的有 （ ） 个 A 、 2个 B 、3个 C 、4 个 D 、5个 2、成人体内成熟的红细胞的平均直径约为0.000007245m ，把这个近似数保留三个有效数字，再用科学记数法表示为（ ） A 、7.25×10-5 B 、7.24×10-5 C 、7.24×10-6 D 、 7.25×10-6 3、下列函数中是反比例函数的是( ) A 、y=3x-1 B 、y=2x C 、y=2 3x D 、 y=x 2 +2x+1 4、如图，正比例函数y=kx 与反比例函数y= 1 x 的图象相交于A 、C 两点， AB ⊥x 轴于B ，CD ⊥y 轴于D ，则四边形ABCD 的面积为（ ） A 、1 B 、2 C 、k D 、2k 5、如图，四边形ABCD 中，∠ABC=900 ，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13， 则四边形ABCD 的面积为（ ） A 、72 B 、36 C 、66 D 、42 6、下列四个命题中，假命题是（ ）． A 、对角线互相平分的四边形是平行四边形 B 、对角线互相平分且相等的四边形是矩形 C 、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形 D 、对角线垂直且相等的四边形是是正方形 7、如图，矩形ABCD 中，AC 交BD 于O 点，∠AOB=600 ，AB=BE ，则∠BOE=（ ） A 、600 B 、650 C 、750 D 、67.50 8、如图，下列说法正确的个数有（ ）个 ①如果∠ACB=900 ，AD=BD ，则AD=BD =CD ②如果∠ACB=900 ， AD=CD ，则AD=BD =CD ③如果∠ACB=900 ， B D=CD ，则AD=BD =CD ④如果AD=BD =CD ，则∠ACB=900 A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 9、 10、如图，菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ， B E=CE ，A C ＝6cm ，BD=8cm ，则OE 的长为（ ） A 、2 cm B 、3 cm C 、4cm D 、2.5cm 11、在同一坐标系中，一次函数y=kx+k 和反比例函数y= k x 的图像大致位 置可能是 下图中的（ ） A B C D 12、如图，∠ACB=900，∠ BAC=300 ，△ABD 和△ACE 都是等边三角形， F 为AB 中点，DE 交AB 于G 点，下列结论中， ①EF ⊥AC ②四边形ADFE 是菱形 ③AD=4AG ④△ DBF ≌△EFA 正确的结论是（ ） A 、②④ B 、①③ C 、②③④ D 、①③④ 八年级（上）数学竞赛试卷 考试时间：100分钟 总分：100分 一、精心填一填（本题共10题，每题3分，共30分） 1.函数 a 的取值范围是_____________、 2.如图1，∠1=∠2，由AAS 判定△ABD ≌△ACD ，则需添加的条件是____________. 3．计算：20072-2006×2008=_________ 图1 图2 4、写出一个图象经过点(-1,-1),且不经过．．．第一象限的函数表达式 5．已知点P 1（ a-1，5）和P 2（2，b-1）关于x 轴对称，则（a+b ） 2005 的值为 ． 6．如图2，△ABC 中边AB 的垂直平分线分别交BC 、AB 于点D 、E ，AE=3cm ，△ADC?的周长为9cm ，则△ABC 的周长是＿＿＿＿＿＿＿ 7.如图3，AE ＝AF ，AB ＝AC ，∠A ＝60°，∠B ＝24°，则∠BOC ＝__________. 8、如图4，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，BD 、CE 分别为∠ABC 与∠ACB 的角平分线，且相交于点F ，则图中的等腰三角形有 个。 9．如果用四则运算的加、减、除法定义一种新的运算，对于任意实数x 、y 有 y x y x y x -+= * 则 ()()31*191211**= 10．如图5所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上0，1，2，3．先让圆周上数字0所对 应的数与数轴上的数－1所对应的点重合，再让数轴按逆时针方向绕在该圆上，那么数轴上的数－2007将与圆周上的数字_________重合． F E D A C B 图 5 图4 二、相信你一定能选对！（本题共6题，每题3分，共18分） 11．下列各式成立的是（ ） A ．a-b+c=a-（b+c ） B ．a+b-c=a-（b-c ） C ．a-b-c=a-（b+c ） D ．a-b+c-d=（a+c ）-（b-d ） 12．已知一次函数y=kx+b 的图象（如图6），当y ＜0时，x 的取值范围是（ ） （A ）x ＞0 （B ）x ＜0 （C ）x ＜1 （D ）x ＞1 A B C D 12 A E B O F C 图3 2008-2009学年度第一学期 七年级数学竞赛试题 学校________ ; 班级__________; 姓名__________; 坐号________. 一、选择（每题4分，共24分） 1、在- 0.1428中用数字3替换其中一个非0数码后，使所得的数最大。则被替换的数字是（） A、1 B、2 C、4 D、8 2、有理数a、b、c、在数轴上的对应点如图所示 下面的关系中正确的是（） A、a c＞bc； B、ab＜a+c； C、2a+3b+c＞0； D、2a+3b+c＜0 3、某年某个月份有5个星期三，它们的日期之和为80（把日期作为一个数，例如22日看作22），那么这个月的3号是星期（） A、日 B、一 C、二 D、四 4、（-0.125）2008×（-8）2009的值为（） A、-4 B、4 C、-8 D、8 5、已知三角形三个内角的度数都是质数，则该三角形必定有一个内角等于（） A、2° B、3° C、5° D、7° 6、对于数x,符号[x]表示不大于x的最大整数。例如：[3.14]=3，[-7.01]=-8， 则关于x的方程[ 77 3 x]=4的整数根有（） A、4个 B、3个 C、2个 D、1个 a b c 二、填空题（4×10=40分） 7、-1+2-3+4-5+···+2006-2007+2008=____________; 8、已知a 与b 互为相反数，则 ab b a 20089919092 2 +=__________________. 9、已知y=ax 7+bx 5+cx 3+dx-6,若x=1则y=2008则x= -1时y=_________. 10、搭一个正方形需要4根火柴棒，搭2个正方形需要7根火柴棒，搭3个正方形需要10根火柴，则2008根火柴棒按这种方式最多能搭________个正方形. 11、定义运算:a ※b=ab-a+b 则[（-2）※（-2）] ※（41 ）=___________. 12、关于x 的方程3x=2x+a 的解与2 4 23x x = -的解相同，则a=________. 13、方程) 73(163)]73(41[43- = - - - x x x x 的解是____________________. 14、一个盖着瓶盖的瓶子里装着一些水（如图） 2 2 请你根据图中标明的数据 ，计算瓶子的容积是_______________ 15、将2009减去它的2 1 ，再减去余下的3 1 ，再减去余下的4 1， 再减去余下的5 1 ,依次类推，直到最后减去余下的 2009 1 ,最后答数是 __________. 16、有一串真分数，按下列方法排列：5 4 5 3525 1434241 323121，、、、、、、、、···则第1001 个分数是__________ 4cm 瓶底面积为10cm 7cm 5cm 瓶底面积为10cm新课标人教版小学五年级数学竞赛试题
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