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湖南省2018年普通高等学校对口招生考试数学试卷及答案

湖南省2018年普通高等学校对口招生考试

数学

本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共4页。时量120分钟。满分120分

一.选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.已知集合A={1,2,3,4},B={3,4,5,6},则()

A.{1,2,3,4,5,6}

B.{2,3,4}

C.{3,4}

D.{1,2,5,6}

2.“29

x是x3的()条件

A.充分必要

B.必要不充分

C.充分不必要

D.既不充分也不必要

3.函数22

yxx的单调增区间是()

A.(,1]

B.[1,)

C.(,2]

D.[0,)

4.已知3

cos,且为第三象限角,则tan=()

5

A. 4

3

B.

3

4

C.

3

4

D.

4

3

5.不等式|2x1|1的解集是()

A.{x|x0}

B.{x|x1}

C.{x|0x1}

D.{x|x0或x1}

6.点M在直线3x+4y-12=0上,O为坐标原点,则线段OM长度的最小值是()

A.3

B.4

C.

12

25 D.

12

5

7.已知向量a、b满足|a|7,|b|12,ab42,则向量a、b的夹角为()

A.30°

B.60°

C.120°

D.150°

8.下列命题中,错.误.的是()

A.平行于同一个平面的两个平面平行

B.平行于同一条直线的两个平面平行

C.一个平面与两个平行平面相交,交线平行

D.一条直线与两个平行平面中的一个相交,则必与另一个相交9.已知asin15,bsin100,c sin200,则a,b,c的大小关系为()

A.abc

B.acb

C.cba

D.cab

10.过点(1,1)的直线与圆大值为()

224

xy相交于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB面积的最

A.2

B.4

C.3

D.23

二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)

11.某学校有900名学生,其中女生400名,按男女比例用分层抽样的方法,从该学校学

生中抽取一个容量为45的样本,则应抽取男生的人数为______。

12.函数f(x)cosxb

(b为常数)的部分图

像如图所示,则

b=______。

9. 6 (x 1)的展开式中 5

x 的系数为______(用数字作答)。

10.已知向量a =(1,2),b =(3,4),c =(11,16),且

cxayb ,则x+y=______。

11.如图,画一个边长为4的正方形,再将这个正方形各边

的中点相连得到第2个正方形,依次类推,这样一共画了 10个正方形,则第10个正方形的面积为______。 三、解答题(本大题共7小题,其中第21、22小题 为选做题,满分60分,解答应写出文字说明、证明 过程或演算步骤)

12.(本小题满分10分)

已知数列{a}为等差数列,a 11,a 35;

n

⑴求数列{a}的通项公式;

n

⑵设数列{a}的前n 项和

n

S ,若S 100,求n. nn

13.(本小题满分10分)

某种饮料共6瓶,其中有2瓶不合格,从中随机抽取2瓶检测,用ξ表示取出饮料中 不合格的评述,求:

⑴随机变量ξ的分布列; ⑵检测出有不合格饮料的概率。

14.(本小题满分10分)

已知函数f(x)log a (x 3),(a 0,a 1)的图像过点(5,1)。

⑴求f(x)的解析式,并写出f(x )的定义域 ⑵若f(m)1,求m 的取值范围。

15.(本小题满分10分)

如图,在三棱柱 A BCABC 中,AA 底面ABC ,AAABBC ,

11111

∠ABC=90°,D 为AC 的中点。 ⑴证明:BD ⊥平面AA 1C 1C ;

⑵求直线BA 1与平面AA 1C 1C 所成的角。

16.(本小题满分10分)

已知椭圆C: 圆C 上。 22 xy

221 ab

(ab 0)的焦点为

F (-1,0), 1

F (1,0),点A (0,1)在椭 2

⑴求椭圆C 的方程;

⑵直线l 过点 F 且与AF 1垂直,l 与椭圆C 相交于M,N 两点,求MN 的长

1

选做题:请考生在第21,22题中选择一题作答,如果两题都做,则按所做的第21题计分, 作答时,请写清题号。

17.(本小题满分10分)

如图,在四边形ABCD 中,BC=CD=,6AB=4,∠BCD=12°0, ∠ABC=7°5,求四边形ABCD 的面积。

18.(本小题满分10分)

某公司生产甲、乙两种产品均需用A,B两种原料,已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示,如果生产1吨甲产品可获利4万元,生产1吨乙产品可获利润5万元,问:该公司如何规划生产,才能使公司每天获得的利润最大?

甲乙原料限额

A(吨)128

B(吨)3212

参考答案

一、选择题

题号12345678910 答案CBBADDCBDA 二、填空题

11、2512、213、614、515、

三、解答题1 32

16、解:⑴{a}为等差数列,

n a11,a35,所以公差

d

a3a151

312

2

故aa

1(n1)d12(n1)2n1

n

⑵因为等差数列{a}的前n项和

n

n(aa n)

1

S,S100,所以有nn

2

n(12n1)

2

100,n10

17、解:⑴的可能取值有0,1,2

P(0)

20

CC

42

2

C

6

2

5

, P(1)

11

CC

42

2

6

C

8

15

, P(2)

02

CC

42

2

6

C

1

15

故随机变量的分布列为:

012

P2

81

51515

⑵设事件A表示检测出的全是合格饮料,则A表示检测的有不合格饮料

因为检测出的全是合格饮料的概率P(A)

20

CC

42

2

C

6

2

5

,所以检测的有不合格饮料的概率为

P(A)1P(A)1 23 55

18、解:⑴由fxlog(x3)的图像过(5,1)得:log a(53)1,即log a21,所以a2。

a

由对数性质知x30,x3;所以函数fxlog2(x3)的定义域为(3,)。

⑵因为fxlog2(x3),f(m)1,所以log2(m3)1

即有:l og(m)log

2322

所以有0m32,3m5

即m的取值范围是(3,5)。

19、⑴证明:因为在三棱柱A BCABC中,AA

1底面ABC,

111

BD底面ABC,所以AA1BD

又ABBC,∠ABC=90°,D为AC的中点

所以BDAC

又A AACA,所以BD⊥平面AA

1C1C

1

⑵因为BD⊥平面A ACC,连A

1D,则BA1D是直线BA1与平面

11

AACC所成的角。

11

在直角

12 ABD中,BDACAB,A1B2AB

1

22

所以sin BAD

1 B D

AB

1

1

2

,BA1D30

20、解:⑴因为椭圆C: 所以c1

22

xy

221

ab

(ab0)的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),

又点A(0,1)在椭圆C上,所以222112

abc

2

x

2

1

故椭圆方程为

y

2

22

01

22

ab

1,即21

b

⑵因为直线A F的斜率

1 k1,直线l过点

AF

1

F且垂直

1

A F,所以直线l的斜率k1

1

直线l的方程为yx1

yx1

由2

x

2

2

y

1

消去y得:

2

3x4x0

设M,N坐标分别为M(x,y),N(x,y),则有

1122

4

xx,xx

1212

3

2 |xx|(x x)4xx

212112 4 3

2

|MN|k1|xx|2

21 442 33

即MN的长为

42

3

21、解:连结BD,

在BCD中,BC=6,DC=6,BCD=120,由余弦定理得

222

BD=BC+DC-2BCDCcosBCD

所以

222

BD=6+6-266cos120

即BD=63

又由BC=DC=6,BCD=120得

CDB=CBD=30所以

ABD=45

s ABCD=s ABD s BCD

四边形

11

s=BCDCsinBCDABBDsinABD

四边形ABCD

22

s

四边形ABCD

11

=66sin120463sin45

22

s

四边形ABCD

1312

=66634

2222

s

四边

ABCD=9366

22、解:设每天生产甲乙两种产品分别为x,y吨,才能使公司每天获得的利润最大,利润为Z万元,则

x2y8

3x+2y12

x0

y0

目标函数为z4x5y

作出二元一次不等式组所表示的平面区域(阴影部分)

即可行域。

由z4x5y得

4Z yx

55

平移直线

4Z yx

55

由图像可知当直线4Z

yx经过点B时,

55

直线

4Z

yx的截距最大,此时Z最大

55

解方程组x2y=8

3x+2y=12

得x2,y3

即点B的坐标为(2,3)

z最大值=42+53=23(万元)

答:每天生产甲2吨,乙3吨,能够产生最大利润,最大利润是23万元。

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