湖南省2018年普通高等学校对口招生考试
数学
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共4页。时量120分钟。满分120分
一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合A={1,2,3,4}，B={3,4,5,6}，则()
A.{1,2,3,4,5,6}
B.{2,3,4}
C.{3,4}
D.{1,2,5,6}
2.“29
x是x3的()条件
A.充分必要
B.必要不充分
C.充分不必要
D.既不充分也不必要
3.函数22
yxx的单调增区间是()
A.(,1]
B.[1,)
C.(,2]
D.[0,)
4.已知3
cos，且为第三象限角，则tan=()
5
A. 4
3
B.
3
4
C.
3
4
D.
4
3
5.不等式|2x1|1的解集是()
A.{x|x0}
B.{x|x1}
C.{x|0x1}
D.{x|x0或x1}
6.点M在直线3x+4y-12=0上，O为坐标原点，则线段OM长度的最小值是()
A.3
B.4
C.
12
25 D.
12
5
7.已知向量a、b满足|a|7,|b|12,ab42,则向量a、b的夹角为()
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
8.下列命题中，错．误．的是()
A.平行于同一个平面的两个平面平行
B.平行于同一条直线的两个平面平行
C.一个平面与两个平行平面相交，交线平行
D.一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交9．已知asin15,bsin100,c sin200,则a,b,c的大小关系为()
A.abc
B.acb
C.cba
D.cab
10.过点（1,1）的直线与圆大值为()
224
xy相交于A,B两点，O为坐标原点，则△OAB面积的最
A.2
B.4
C.3
D.23
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
11.某学校有900名学生，其中女生400名，按男女比例用分层抽样的方法，从该学校学
生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取男生的人数为______。
12.函数f(x)cosxb
（b为常数）的部分图
像如图所示，则
b=______。
9. 6 (x 1)的展开式中 5
x 的系数为______（用数字作答）。
10.已知向量a =（1,2），b =（3,4），c =（11,16），且
cxayb ，则x+y=______。
11.如图，画一个边长为4的正方形，再将这个正方形各边
的中点相连得到第2个正方形，依次类推，这样一共画了 10个正方形，则第10个正方形的面积为______。 三、解答题（本大题共7小题，其中第21、22小题 为选做题，满分60分，解答应写出文字说明、证明 过程或演算步骤）
12.（本小题满分10分）
已知数列{a}为等差数列，a 11,a 35;
n
⑴求数列{a}的通项公式；
n
⑵设数列{a}的前n 项和
n
S ，若S 100，求n. nn
13.（本小题满分10分）
某种饮料共6瓶，其中有2瓶不合格，从中随机抽取2瓶检测，用ξ表示取出饮料中 不合格的评述，求：
⑴随机变量ξ的分布列； ⑵检测出有不合格饮料的概率。
14.（本小题满分10分）
已知函数f(x)log a (x 3),(a 0,a 1)的图像过点（5,1）。
⑴求f(x)的解析式，并写出f(x )的定义域 ⑵若f(m)1，求m 的取值范围。
15.（本小题满分10分）
如图，在三棱柱 A BCABC 中，AA 底面ABC ，AAABBC ,
11111
∠ABC=90°，D 为AC 的中点。 ⑴证明：BD ⊥平面AA 1C 1C ；
⑵求直线BA 1与平面AA 1C 1C 所成的角。
16.（本小题满分10分）
已知椭圆C: 圆C 上。 22 xy
221 ab
(ab 0)的焦点为
F （-1,0）， 1
F （1,0），点A （0,1）在椭 2
⑴求椭圆C 的方程；
⑵直线l 过点 F 且与AF 1垂直，l 与椭圆C 相交于M,N 两点，求MN 的长
1
选做题：请考生在第21,22题中选择一题作答，如果两题都做，则按所做的第21题计分， 作答时，请写清题号。
17.（本小题满分10分）
如图，在四边形ABCD 中，BC=CD=，6AB=4，∠BCD=12°0， ∠ABC=7°5，求四边形ABCD 的面积。
18.（本小题满分10分）
某公司生产甲、乙两种产品均需用A,B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲产品可获利4万元，生产1吨乙产品可获利润5万元，问：该公司如何规划生产，才能使公司每天获得的利润最大？
甲乙原料限额
A（吨）128
B（吨）3212
参考答案
一、选择题
题号12345678910 答案CBBADDCBDA 二、填空题
11、2512、213、614、515、
三、解答题1 32
16、解：⑴{a}为等差数列，
n a11,a35，所以公差
d
a3a151
312
2
故aa
1(n1)d12(n1)2n1
n
⑵因为等差数列{a}的前n项和
n
n(aa n)
1
S,S100，所以有nn
2
n(12n1)
2
100，n10
17、解：⑴的可能取值有0，1，2
P(0)
20
CC
42
2
C
6
2
5
, P(1)
11
CC
42
2
6
C
8
15
, P(2)
02
CC
42
2
6
C
1
15
故随机变量的分布列为：
012
P2
81
51515
⑵设事件A表示检测出的全是合格饮料，则A表示检测的有不合格饮料
因为检测出的全是合格饮料的概率P(A)
20
CC
42
2
C
6
2
5
,所以检测的有不合格饮料的概率为
P(A)1P(A)1 23 55
18、解：⑴由fxlog(x3)的图像过(5,1)得：log a(53)1，即log a21，所以a2。
a
由对数性质知x30,x3；所以函数fxlog2(x3)的定义域为(3,)。
⑵因为fxlog2(x3)，f(m)1,所以log2(m3)1
即有：l og(m)log
2322
所以有0m32,3m5
即m的取值范围是(3,5)。
19、⑴证明：因为在三棱柱A BCABC中，AA
1底面ABC，
111
BD底面ABC，所以AA1BD
又ABBC,∠ABC=90°，D为AC的中点
所以BDAC
又A AACA，所以BD⊥平面AA
1C1C
1
⑵因为BD⊥平面A ACC，连A
1D，则BA1D是直线BA1与平面
11
AACC所成的角。
11
在直角
12 ABD中，BDACAB,A1B2AB
1
22
所以sin BAD
1 B D
AB
1
1
2
,BA1D30
20、解：⑴因为椭圆C: 所以c1
22
xy
221
ab
(ab0)的焦点为F1(-1,0)，F2(1,0),
又点A(0,1)在椭圆C上,所以222112
abc
2
x
2
1
故椭圆方程为
y
2
22
01
22
ab
1，即21
b
⑵因为直线A F的斜率
1 k1,直线l过点
AF
1
F且垂直
1
A F，所以直线l的斜率k1
1
直线l的方程为yx1
yx1
由2
x
2
2
y
1
消去y得：
2
3x4x0
设M,N坐标分别为M(x,y),N(x,y),则有
1122
4
xx,xx
1212
3
2 |xx|(x x)4xx
212112 4 3
2
|MN|k1|xx|2
21 442 33
即MN的长为
42
3
21、解：连结BD,
在BCD中，BC=6，DC=6，BCD=120，由余弦定理得
222
BD=BC+DC-2BCDCcosBCD
所以
222
BD=6+6-266cos120
即BD=63
又由BC=DC=6，BCD=120得
CDB=CBD=30所以
ABD=45
s ABCD=s ABD s BCD
四边形
11
s=BCDCsinBCDABBDsinABD
四边形ABCD
22
s
四边形ABCD
11
=66sin120463sin45
22
s
四边形ABCD
1312
=66634
2222
s
四边
形
ABCD=9366
22、解：设每天生产甲乙两种产品分别为x,y吨，才能使公司每天获得的利润最大，利润为Z万元，则
x2y8
3x+2y12
x0
y0
目标函数为z4x5y
作出二元一次不等式组所表示的平面区域（阴影部分）
即可行域。
由z4x5y得
4Z yx
55
平移直线
4Z yx
55
由图像可知当直线4Z
yx经过点B时，
55
直线
4Z
yx的截距最大，此时Z最大
55
解方程组x2y=8
3x+2y=12
得x2,y3
即点B的坐标为（2,3）
z最大值=42+53=23（万元）
答：每天生产甲2吨，乙3吨，能够产生最大利润，最大利润是23万元。