湖南省2018年普通高等学校对口招生考试
数学
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共4页。时量120分钟。满分120分
一.选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合A={1,2,3,4},B={3,4,5,6},则()
A.{1,2,3,4,5,6}
B.{2,3,4}
C.{3,4}
D.{1,2,5,6}
2.“29
x是x3的()条件
A.充分必要
B.必要不充分
C.充分不必要
D.既不充分也不必要
3.函数22
yxx的单调增区间是()
A.(,1]
B.[1,)
C.(,2]
D.[0,)
4.已知3
cos,且为第三象限角,则tan=()
5
A. 4
3
B.
3
4
C.
3
4
D.
4
3
5.不等式|2x1|1的解集是()
A.{x|x0}
B.{x|x1}
C.{x|0x1}
D.{x|x0或x1}
6.点M在直线3x+4y-12=0上,O为坐标原点,则线段OM长度的最小值是()
A.3
B.4
C.
12
25 D.
12
5
7.已知向量a、b满足|a|7,|b|12,ab42,则向量a、b的夹角为()
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
8.下列命题中,错.误.的是()
A.平行于同一个平面的两个平面平行
B.平行于同一条直线的两个平面平行
C.一个平面与两个平行平面相交,交线平行
D.一条直线与两个平行平面中的一个相交,则必与另一个相交9.已知asin15,bsin100,c sin200,则a,b,c的大小关系为()
A.abc
B.acb
C.cba
D.cab
10.过点(1,1)的直线与圆大值为()
224
xy相交于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB面积的最
A.2
B.4
C.3
D.23
二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)
11.某学校有900名学生,其中女生400名,按男女比例用分层抽样的方法,从该学校学
生中抽取一个容量为45的样本,则应抽取男生的人数为______。
12.函数f(x)cosxb
(b为常数)的部分图
像如图所示,则
b=______。
9. 6 (x 1)的展开式中 5
x 的系数为______(用数字作答)。
10.已知向量a =(1,2),b =(3,4),c =(11,16),且
cxayb ,则x+y=______。
11.如图,画一个边长为4的正方形,再将这个正方形各边
的中点相连得到第2个正方形,依次类推,这样一共画了 10个正方形,则第10个正方形的面积为______。 三、解答题(本大题共7小题,其中第21、22小题 为选做题,满分60分,解答应写出文字说明、证明 过程或演算步骤)
12.(本小题满分10分)
已知数列{a}为等差数列,a 11,a 35;
n
⑴求数列{a}的通项公式;
n
⑵设数列{a}的前n 项和
n
S ,若S 100,求n. nn
13.(本小题满分10分)
某种饮料共6瓶,其中有2瓶不合格,从中随机抽取2瓶检测,用ξ表示取出饮料中 不合格的评述,求:
⑴随机变量ξ的分布列; ⑵检测出有不合格饮料的概率。
14.(本小题满分10分)
已知函数f(x)log a (x 3),(a 0,a 1)的图像过点(5,1)。
⑴求f(x)的解析式,并写出f(x )的定义域 ⑵若f(m)1,求m 的取值范围。
15.(本小题满分10分)
如图,在三棱柱 A BCABC 中,AA 底面ABC ,AAABBC ,
11111
∠ABC=90°,D 为AC 的中点。 ⑴证明:BD ⊥平面AA 1C 1C ;
⑵求直线BA 1与平面AA 1C 1C 所成的角。
16.(本小题满分10分)
已知椭圆C: 圆C 上。 22 xy
221 ab
(ab 0)的焦点为
F (-1,0), 1
F (1,0),点A (0,1)在椭 2
⑴求椭圆C 的方程;
⑵直线l 过点 F 且与AF 1垂直,l 与椭圆C 相交于M,N 两点,求MN 的长
1
选做题:请考生在第21,22题中选择一题作答,如果两题都做,则按所做的第21题计分, 作答时,请写清题号。
17.(本小题满分10分)
如图,在四边形ABCD 中,BC=CD=,6AB=4,∠BCD=12°0, ∠ABC=7°5,求四边形ABCD 的面积。
18.(本小题满分10分)
某公司生产甲、乙两种产品均需用A,B两种原料,已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示,如果生产1吨甲产品可获利4万元,生产1吨乙产品可获利润5万元,问:该公司如何规划生产,才能使公司每天获得的利润最大?
甲乙原料限额
A(吨)128
B(吨)3212
参考答案
一、选择题
题号12345678910 答案CBBADDCBDA 二、填空题
11、2512、213、614、515、
三、解答题1 32
16、解:⑴{a}为等差数列,
n a11,a35,所以公差
d
a3a151
312
2
故aa
1(n1)d12(n1)2n1
n
⑵因为等差数列{a}的前n项和
n
n(aa n)
1
S,S100,所以有nn
2
n(12n1)
2
100,n10
17、解:⑴的可能取值有0,1,2
P(0)
20
CC
42
2
C
6
2
5
, P(1)
11
CC
42
2
6
C
8
15
, P(2)
02
CC
42
2
6
C
1
15
故随机变量的分布列为:
012
P2
81
51515
⑵设事件A表示检测出的全是合格饮料,则A表示检测的有不合格饮料
因为检测出的全是合格饮料的概率P(A)
20
CC
42
2
C
6
2
5
,所以检测的有不合格饮料的概率为
P(A)1P(A)1 23 55
18、解:⑴由fxlog(x3)的图像过(5,1)得:log a(53)1,即log a21,所以a2。
a
由对数性质知x30,x3;所以函数fxlog2(x3)的定义域为(3,)。
⑵因为fxlog2(x3),f(m)1,所以log2(m3)1
即有:l og(m)log
2322
所以有0m32,3m5
即m的取值范围是(3,5)。
19、⑴证明:因为在三棱柱A BCABC中,AA
1底面ABC,
111
BD底面ABC,所以AA1BD
又ABBC,∠ABC=90°,D为AC的中点
所以BDAC
又A AACA,所以BD⊥平面AA
1C1C
1
⑵因为BD⊥平面A ACC,连A
1D,则BA1D是直线BA1与平面
11
AACC所成的角。
11
在直角
12 ABD中,BDACAB,A1B2AB
1
22
所以sin BAD
1 B D
AB
1
1
2
,BA1D30
20、解:⑴因为椭圆C: 所以c1
22
xy
221
ab
(ab0)的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),
又点A(0,1)在椭圆C上,所以222112
abc
2
x
2
1
故椭圆方程为
y
2
22
01
22
ab
1,即21
b
⑵因为直线A F的斜率
1 k1,直线l过点
AF
1
F且垂直
1
A F,所以直线l的斜率k1
1
直线l的方程为yx1
yx1
由2
x
2
2
y
1
消去y得:
2
3x4x0
设M,N坐标分别为M(x,y),N(x,y),则有
1122
4
xx,xx
1212
3
2 |xx|(x x)4xx
212112 4 3
2
|MN|k1|xx|2
21 442 33
即MN的长为
42
3
21、解:连结BD,
在BCD中,BC=6,DC=6,BCD=120,由余弦定理得
222
BD=BC+DC-2BCDCcosBCD
所以
222
BD=6+6-266cos120
即BD=63
又由BC=DC=6,BCD=120得
CDB=CBD=30所以
ABD=45
s ABCD=s ABD s BCD
四边形
11
s=BCDCsinBCDABBDsinABD
四边形ABCD
22
s
四边形ABCD
11
=66sin120463sin45
22
s
四边形ABCD
1312
=66634
2222
s
四边
形
ABCD=9366
22、解:设每天生产甲乙两种产品分别为x,y吨,才能使公司每天获得的利润最大,利润为Z万元,则
x2y8
3x+2y12
x0
y0
目标函数为z4x5y
作出二元一次不等式组所表示的平面区域(阴影部分)
即可行域。
由z4x5y得
4Z yx
55
平移直线
4Z yx
55
由图像可知当直线4Z
yx经过点B时,
55
直线
4Z
yx的截距最大,此时Z最大
55
解方程组x2y=8
3x+2y=12
得x2,y3
即点B的坐标为(2,3)
z最大值=42+53=23(万元)
答:每天生产甲2吨,乙3吨,能够产生最大利润,最大利润是23万元。