平方根概念解题的几个技巧
平方根在解题中有着重要的应用.同学们想必已经知到.但是,今天要告诉同学们的是它的几个巧妙的应用.希望对大家的学习有所帮助.
一、巧用被开方数的非负性求值.
大家知道，当a ≥0时，a 的平方根是±a ，即a 是非负数.
例1、若,622=----y x x 求y x 的立方根.
分析 认真观察此题可以发现被开方数为非负数,即2－x ≥0,得x ≤2;x －2≥0,得x ≥2;进一步可得x =2.从而可求出y =－6.
解 ∵???≥-≥-0202x x , ∴???≥≤2
2x x x =2; 当x =2时,y =－6.y x =(－6)2=36. 所以y x 的立方根为336.
二、巧用正数的两平方根是互为相反数求值.
我们知道，当a ≥0时，a 的平方根是±a ，而.0)()(=-++a a
例2、已知：一个正数的平方根是2a －1与2－a ，求a 的平方的相反数的立方根.
分析 由正数的两平方根互为相反得:(2a －1)+(2－a )=0,从而可求出a =－1,问题就解决了.
解 ∵2a －1与2－a 是一正数的平方根,∴(2a －1)+(2－a )=0, a =－1.
a 的平方的相反数的立方根是.113-=-
三、巧用算术平方根的最小值求值. 我们已经知道0≥a ,即a =0时其值最小,换句话说a 的最小值是零.
例3、已知：y =)1(32++-b a ,当a 、b 取不同的值时，y 也有不同的值.当y 最小时,求b a 的非算术平方根.
分析 y =)1(32++-b a ,要y 最小，就是要2-a 和)1(3+b 最小，而2-a ≥0，)1(3+b ≥0，显然是2-a =0和)1(3+b =0，可得a =2,b =－1.
解 ∵2-a ≥0，)1(3+b ≥0，y =)1(32++-b a ，∴2-a =0和)1(3+b =0
时，y 最小.由2-a =0和)1(3+b =0，可得a =2,b =－1.
所以b a 的非算术平方根是.11-=-
四、巧用平方根定义解方程.
我们已经定义:如果x 2=a （a ≥0）那么x 就叫a 的平方根.若从方程的角度观察,这里的x 实际是方程x 2=a （a ≥0）的根.
例4、解方程（x +1）2=36.
分析 把x +1看着是36的平方根即可.
解 ∵（x +1）2=36 ∴x +1看着是36的平方根. x +1=±6.
∴x 1=5 , x 2=－7.
例4实际上用平方根的定义解了一元二次方程(后来要学的方程).你能否解27(x +1)3=64这个方程呢?不妨试一试.
利用平方根的定义及性质解题
如果一个数的平方等于a （a ≥0），那么这个数是a 的平方根．根据这个概念，我们可以解决一些和平方根有关的问题．
例1 已知一个数的平方根是2a －1和a －11，求这个数．
分析：根据平方根的性质知：一个正数的平方根有两个，它们互为相反数．互为相反数的两个数的和为零．
解：由2a －1+a －11=0，得a =4，所以2a －1=2×4－1=7．
所以这个数为72=49．
例2 已知2a －1和a －11是一个数的平方根，求这个数．
分析：根据平方根的定义，可知2a －1和a －11相等或互为相反数．
当2a －1=a －11时，a =－10，所以2a －1=－21，这时所求得数为(－21)2=441;
当2a －1+a －11=0时,a =4,所以2a －1=7,这时所求得数为72=49.
综上可知所求的数为49或441.
例3 已知2x－1的平方根是±6,2x+y－1的平方根是±5,求2x－3y+11的平方根.
分析:因为2x－1的平方根是±6,所以2x－1=36,所以2x=37;因为2x+y－1的平方根是±5,所以2x+y－1=25,所以y=26－2x=－11,
所以2x－3y+11=37－3×(－11)+11=81,
因为81的平方根为±9,所以2x－3y+11的平方根为±9.
例4 若2m－4与3m－1是同一个数的平方根，则m为（）
（A）－3 （B）1 （C）－3或1 （D）－1
分析：本题分为两种情况：（1）可能这个平方相等，即2m－4=3m－1，此时，m=－3；
（2）一个数的平方根有两个，它们互为相反数，所以（2m－4）+（3m－1）=0，解得m=1．
所以选（C）．
练一练:
1.已知x的平方根是2a－13和3a－2,求x的值.
2.已知2a－13和3a－2是x的平方根,求x的值
3.已知x+2y=10,4x+3y=15, 求x+y的平方根.
.
答案:1.49;2. 49或1225; 3.5
估计方根的取值，你会吗
在实数的学习中，关于估计方根的取值问题屡见不鲜．解答它们，要注意灵活利用平方根或立方根的定义，从平方或立方入手．
例１ ）
（A ）3.15 3.16 （B ）3.16 3.17
（C ）3.17 3.18 （D ）3.18 3.19.
10 3.15、3.16、3.17、3.18、3.19当中的哪两个数之间，只需看看10在这五个数的哪两个数的平方之间.
解：计算知，2223.15= 9.9225 , 3.16= 9.9856 , 3.17= 10.0489.
所以23.16＜10＜23.17.
所以3.16 3.17，应选B .
例2 估计68的立方根的大小在( )
（A ） 2与3之间 （B ）3与4之间
（C ） 4与5之间 （D ）5与6之间.
分析：要估计68的立方根的大小在哪两个连续整数之间，只需看看68在哪两个连续整数的立方之间．
解：计算知，33332= 8 , 3=27 , 4= 64 , 5= 125．
所以34＜68＜3
5．
所以45，应选B ．
例3 ）
（A ）2.5 （B ）2.6 （C ）2.7 （D ）2.8.
分析：要比较2.5、2.6、2.7、2.8个数的平方更接近7.
解：计算知，2222
2.5 = 6.25 , 2.6 = 6.76 , 2.7 = 7.29 , 2.8 =7.84.
因为22227 2.5 = 0.75 , 7 2.6 = 0.24 , 2.77 = 0.29 , 2.87 = 0.84----，
所以22.6比22.5、22.7、2
2.8更接近7，
所以2.6比2.5、2.7、2.8应选B .
《平方根》典例分析
平方根是学习实数的准备知识，是以后学习一元二次方程等知识的必备基础，也是中考的必考内容之一.现以几道典型题目为例谈谈平方根问题的解法，供同学们学习时参考.
一、基本题型
例1 求下列各数的算术平方根
（1）64；（2）2)3(-；（3）49
151. 分析：根据算术平方根的定义，求一个数a 的算术平方根可转化为求一个数的平方等于a 的运算，更具体地说，就是找出平方后等于a 的正数.
解：（1）因为6482
=，所以64的算术平方根是8，即864=；
（2）因为93)3(22==-，所以2)3(-的算术平方根是3，即3)3(2=-； （3）因为496449151=，又4964)78(2=，所以49151的算术平方根是78，即7
849151=. 点评：这类问题应按算术平方根的定义去求.要注意2)3(-的算术平方根是3，而不是3.另外，当这个数是带分数时，应先化为假分数，然后再求其算术平方根，不要出现类似7
4149161=的错误. 想一想：如果把例1改为：求下列各数的平方根.你会解吗？请试一试.
例2 求下列各式的值
（1）81±； （2）16-； （3）25
9； （4）2)4(-.
分析：±81表示81的平方根，故其结果是一对互为相反数；－16表示16的负平方根，故其结果是负数；25
9表示259的算术平方根，故其结果是正数；2)4(-表示2
)4(-的算术平方根，故其结果必为正数.
解：（1）因为8192
=，所以±81=±9.
（2）因为1642=，所以－416-=. （3）因为2
53??? ??=259，所以259=5
3. （4）因为22)4(4-=，所以4)4(2=-. 点评：弄清与平方根有关的三种符号±a 、a 、－a 的意义是解决这类问题的关键.±a 表示非负数a 的平方根.a 表示非负数a 的算术平方根，－a 表示非负数a 的负平方根.注意a ≠±a .在具体解题时，符与“
”的前面是什么符号，其计算结果也就是什
么符号，既不能漏掉，也不能多添.
例3 若数m 的平方根是32+a 和12-a ，求m 的值.
分析：因负数没有平方根，故m 必为非负数，故本题应分两种情况来解.
解： 因为负数没有平方根，故m 必为非负数.
（1）当m 为正数时，其平方根互为相反数，故（32+a ）+（12-a ）=0，解得3=a ，
故32+a =9332=+?，912312-=-=-a ，从而8192==a . （2）当m 为0时，其平方根仍是0，故032=+a 且0433=-a ，此时两方程联立无解.
综上所述，m 的值是81.
想一想：如果把例3变为：若32+a 和12-a 是数m 的平方根，求m 的值.你会解吗？请试一试.
二、创新题型
例4 先阅读所给材料，再解答下列问题：若1-x 与x -1同时成立，则x 的值应是多少？有下面的解题过程：1-x 和x -1都是算术平方根，故两者的被开方数
x x --1,1都是非负数,而1-x 和x -1是互为相反数. 两个非负数互为相反数，只有一种情形成立，那就是它们都等于0，即1-x =0，x -1=0，故1=x . 问题：已知,21221+-+-=x x y 求y x 的值.
解：由阅读材料提供的信息，可得,012=-x 故2
1=x . 进而可得2=y .故y x =41212=??
? ??. 点评：这是一道阅读理解题.解这类问题首先要认真阅读题目所给的材料，总结出正确的结论，然后用所得的结论解决问题.
例5 请你认真观察下面各个式子，然后根据你发现的规律写出第④、⑤个式子. ①44141411611622=?=?=?=?=； ②244242421623222=?=?=?=?=； ③344343431634822=?=?=?=?=.
分析：要写出第④、⑤个式子，就要知道它们的被开方数分别是什么，为此应认真观察所给式子的特点.通过观察，发现前面三个式子的被开方数分别是序数乘以16得到的，故第④、⑤个式子的被开方数应该分别是64和80.
解：④84244441646422=?=?=?=?=； ⑤544545454516580222=?=?=?=?=?=.
点评：这是一个探究性问题，也是一道发展数感的好题，它主要考查观察、归纳、概括的能力．解这类题需注意分析题目所给的每个式子的特点，然后从特殊的例子，推广到一般的结论，这是数学中常用的方法，同学们应多多体会，好好掌握！
平方根和开平方（基础） 【学习目标】 1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根． 2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根． 【要点梳理】 要点一、平方根和算术平方根的概念 1.平方根的定义 如果2x a =，那么x叫做a的平方根.求一个数a的平方根的运算，叫做开平方. a叫做被开方数.平方与开平方互为逆运算. 2.算术平方根的定义 正数a 的两个平方根可以用“ a的正平方根（又叫算术平 方根），读作“根号a” ；a的负平方根，读作“负根号a”. 要点诠释： a 0，a≥0. 要点二、平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2 ）结果不同： 2．联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数； （3）0的平方根和算术平方根均为0． 要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根． （2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根. 要点三、平方根的性质 ||00 a a a a a a > ? ? === ? ?-< ? () 2 a a =≥ 要点四、平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位. 250 = 25 = 2.5 = 0.25 =. 【典型例题】 类型一、平方根和算术平方根的概念 1、下列说法错误的是（）
A.5是25的算术平方根 B.l 是l 的一个平方根 C.()24-的平方根是－4 D.0的平方根与算术平方根都是0 【答案】C ； 【解析】利用平方根和算术平方根的定义判定得出正确选项． A.5，所以本说法正确； B.1，所以l 是l 的一个平方根说法正确； C.4，所以本说法错误； D.因为0＝0，所以本说法正确； 【总结升华】此题主要考查了平方根、算术平方根的定义，关键是明确运用好定义解决问题． 举一反三： 【变式】判断下列各题正误，并将错误改正： （1）9-没有平方根．（ ） （24=±．（ ） （3）21()10-的平方根是110 ±．（ ） （4）25 --是425的算术平方根．（ ） 【答案】√ ；×； √； ×， 提示：（24=；（4） 25是425的算术平方根． 2、 填空： （1）4-是 的负平方根． （2表示 的算术平方根，= ． （3的算术平方根为 ． （43=，则x = ，若3=，则x = ． 【思路点拨】（3181的算术平方根＝19，此题求的是19的算术平方根. 【答案与解析】(1)16；(2)11;164 (3)13 (4) 9；±3 【总结升华】要审清楚题意，不要被表面现象迷惑.注意数学语言与数学符号之间的转化.
平方根知识点汇总讲义
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 2
平方根 知识点总结 【学习目标】 1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根． 2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方 根． 【要点梳理】 要点一、平方根和算术平方根的概念 1.算术平方根的定义 如果一个正数x 的平方等于a ，即2 x a =,那么这个正数x 叫做a 的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；a 的算术平方根记作a ，读作“a 的算术平方根”，a 叫做被开方数. 要点诠释：当式子a 有意义时，a 一定表示一个非负数，即a ≥0，a ≥0. 2.平方根的定义 如果2x a =，那么x 叫做a 的平方根.求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. a (a ≥0)的平方根的符号表达为(0)a a ±≥，其中a 是a 的算术平方根. 要点二、平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：a ±和a 2．联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数； （3）0的平方根和算术平方根均为0． 要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术 平方根；负数没有平方根． （2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以 立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方 根来研究平方根. 要点三、平方根的性质 2(0)||0 (0)(0) a a a a a a a >??===??-
平方根概念解题的几个技巧 平方根在解题中有着重要的应用.同学们想必已经知到.但是,今天要告诉同学们的是它的几个巧妙的应用.希望对大家的学习有所帮助. 一、巧用被开方数的非负性求值. 大家知道，当a ≥0时，a 的平方根是±a ，即a 是非负数. 例1、若,622=----y x x 求y x 的立方根. 分析 认真观察此题可以发现被开方数为非负数,即2－x ≥0,得x ≤2;x －2≥0,得x ≥2;进一步可得x =2.从而可求出y =－6. 解 ∵???≥-≥-0202x x , ∴???≥≤2 2x x x =2; 当x =2时,y =－6.y x =(－6)2=36. 所以y x 的立方根为336. 二、巧用正数的两平方根是互为相反数求值. 我们知道，当a ≥0时，a 的平方根是±a ，而.0)()(=-++a a 例2、已知：一个正数的平方根是2a －1与2－a ，求a 的平方的相反数的立方根. 分析 由正数的两平方根互为相反得:(2a －1)+(2－a )=0,从而可求出a =－1,问题就解决了. 解 ∵2a －1与2－a 是一正数的平方根,∴(2a －1)+(2－a )=0, a =－1. a 的平方的相反数的立方根是.113-=- 三、巧用算术平方根的最小值求值. 我们已经知道0≥a ,即a =0时其值最小,换句话说a 的最小值是零. 例3、已知：y =)1(32++-b a ,当a 、b 取不同的值时，y 也有不同的值.当y 最小时,求b a 的非算术平方根. 分析 y =)1(32++-b a ,要y 最小，就是要2-a 和)1(3+b 最小，而2-a ≥0，)1(3+b ≥0，显然是2-a =0和)1(3+b =0，可得a =2,b =－1. 解 ∵2-a ≥0，)1(3+b ≥0，y =)1(32++-b a ，∴2-a =0和)1(3+b =0
平方根（基础） 【学习目标】 1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根． 2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根． 【要点梳理】 【高清课堂：389316 平方根，知识要点】 知识点一、平方根和算术平方根的概念 1.算术平方根的定义 如果一个正数x的平方等于a，即2x a =,那么这个正数x叫做a的算术平方根（规定 0的算术平方根还是0）；a a的算术平方根”，a叫做被 开方数. 要点诠释： a 0，a≥0. 2.平方根的定义 如果2x a =，那么x叫做a的平方根.求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.平方与 开平方互为逆运算.a (a≥0) 的平方根的符号表达为0) a≥ 是a的算术 平方根. 知识点二、平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2 ）结果不同： 2．联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数； （3）0的平方根和算术平方根均为0． 要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根． （2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根. 知识点三、平方根的性质 ||00 a a a a a a > ? ? === ? ?-< ? () 2 a a =≥ 知识点四、平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位. 250 = 25 = 2.5 = 0.25 =.
平方根 【学习目标】 1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根和算术平方根． 2．了解开平方与平方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根． 【要点梳理】 要点一、平方根和算术平方根的概念 1.平方根的定义 如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，也叫做a的二次方根. 一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根. 求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. 要点诠释：一个正数a a的负平方根用“ 此，一个正数a a叫做被开方数. 2.算术平方根的定义 正数的正的平方根称为算术平方根.（规定0的算术平方根还是0）；一个数a（a≥0） . 要点诠释： a 0，a≥0. 要点二、平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2 ）结果不同： 2．联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数； （3）0的平方根和算术平方根均为0． 要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根． （2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根. 要点三、平方根的性质 (0) ||0(0) (0) a a a a a a > ? ? === ? ?-< ? () 2 a a =≥ 要点四、平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位. 250 = 25 = 2.5 = 0.25 =. 【典型例题】
课题: 6.1。1平方根教学目标1.了解算术平方根的概念，会用根号表示正数的算术平方根，并了解算术平方根的非负性。 2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的算术平方根。 重点、难点教学重点：算术平方根的概念。 教学难点：根据算术平方根的概念正确求出非负数的算术平方根。 教学环节教学过程师生活动 回顾旧知自主探究 1.你能求出下列各数的平方吗? 0,-1,5,2.3,- 1 5 ,-3,3,1, 1 5 2.若已知一个数的平方为下列各数,你能把这个数的取值 说出来吗? 25,0,4, 4 25 , 1 144 ,- 1 4 ,1.69 1探究1 小欧学校要举行金秋美术作品比赛，小欧很高兴，他 想裁出一块面积为252 dm的正方形画布，画上自己的得意之作 参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少dm？ 上面的问题，实际上是已知一个正数的平方，求这个正数的问 题。 定义一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么 这个正数x叫做a的算术平方根,a的算术平方根记为a,读作 “根号a”,a叫做被开方数.规定:0的算术平方根是0. 2．探究2例1 求下列各数的算术平方根: (1) 100 (2) 1 (3) 49 64 (4) 196 (5) 0.0001 观察上面的运算可知：对所有正数，被开方数越大，对应 点算术平方根也越大 练一练1。某数的算术平方根等于它本身,则这个数为 _______;? ()26-的算术平方根是__________， 4的算术平方 根是81的算术平方根是 师生问答 情境引入学生 看课本40页，思 考问题并填表。 教师板书课 题，定义 学生思考，小 组交流，教师 点拨。
学大个性化辅导教案 课题平方根 学生姓名学生年级初一学科初数教师姓名学管师姓名咨询师姓名 上课时间教案1（）教案2（） 教学目标1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根． 2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根 教学重点/难点重点：算术平方根与平方根的概念。难点:根据算术平方根的概念正确求出非负数的算术平方根，平方根和算术平方根之间的联系和区别。 教学过程 教师活动学生活动 1、上节课作业检查及知识点回顾，解 决上节课遗留的问题 2、本节课知识点讲解： 1.（1）算术平方根的定义； （2）平方根的定义； （3）平方根和算术平方根的区别与联 系； （4）平方根的性质。 3、本节课重点题型讲解分析 4、本节课常考知识点对应的题型及解 题思路和方法总结，如:利用平方根的 性质化简。数a，b，c在数轴上 的位置如图，且a b =，化简 22 ()2 a a b c a c ++---． 方法总结：先利用平方根的性质 将22 ()2 a a b c a c ++---都 化为只含有绝对值，再去绝对值 即可。 1、讲解上节课所留作业中典型试题的解题方 法 2、回答上节课所讲相关知识点，找出遗漏部 分 3、课堂笔记及教师补充知识点的记录 4、重点知识点对应典型试题训练，并且通过 训练归纳总结常考题型的解题思路和方法 a b c0
知识点总结 知识点一、平方根和算术平方根的概念： 1.算术平方根的定义: 如果一个正数x 的平方等于a ，即2 x a =,那么这个正数x 叫做a 的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；a 的算术平方根记作a ，读作“a 的算术平方根”， a 叫做被开方数. 要点诠释：当式子a 有意义时，a 一定表示一个非负数，即a ≥0，a ≥0. 2.平方根的定义： 如果2 x a =，那么x 叫做a 的平方根.求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. a (a ≥0)的平方根的符号表达为(0)a a ±≥，其中a 是a 的算术平方根. 知识点二、平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：a ±和a 2．联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数； （3）0的平方根和算术平方根均为0． 要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算 术平方根；负数没有平方根． （2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方 可以立即写出它的另一个平方根. 知识点三、平方根的性质： 20||0 00 a a a a a a a >?? ===??-
第六章实数 专题6 算术平方根与平方根的概念及性质 知识要点 1.算术平方根：如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 叫作a 的算术 ，读作“根号a ”，a 叫作被开方数.规定：0的算术平方根是0. 2.平方根：如果一个数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个数x 叫作a 的平方根或二次方根，a 叫作被开方数. 正数a 的正的平方根，即为a 的算术平方根。①正数a 有两个互为相反数的平方根：，读作“正负根号a ”；②负数没有平方根；③0的平方根是0. 3.求一个非负数的平方根的运算叫作开平方，平方和开平方互为逆运算。 4.如果被开方数的小数点向左（或向右)移动2位，它的算术平方根的小数点就相应向 左（或向右）移动1b =10b 0.1b =. 5.算术平方根的双重非负性 满足关系式：①a ≥0（被开方数为非负数）；≥0（算术平方根为非负数）。 6.算术平方根的性质：若a ＞b ≥0 7.两个结论：① 2a = (a ≥0)a =. 典例精析 例1 （1）求下列各数的算术平方根：①81；② 2536；③()23π-；④()2x - （2）求下列各数的平方根：①0.49；②1 24；③()232---；④4x 【分析】分别按照平方根和算术平方根的定义来求值，要注意两者符号书写的不同. 【解】（1）因为92=81，所以；②因为2 525636??= ???56 ③因为π＞3，所以π-3＞0a =33ππ-=-； ④因为()22x x =-==x （2）①因为() 20.70.49±=，所以=±0.7；②因为23924??±= ???，所以32==±； ③因为()2525±=，5=±；④因为()()22 22224x x x x x x x x x ±==?=???= ，2x ±. 【点评】①遇到带分数，需要先把带分数化为假分数；②求一个式子的平方根或算是平方根，需要先求出该算式的值；③一个正数的平方根总是成对出现的，不要遗漏. 拓展与变式1 ___________. 拓展与变式2 若m +1是9的平方根，则m =_________ 拓展与变式3 若一个正数的两个平方根为x -1和2x +1，则这个正数为_________. 拓展与变式4 若整式x -1和2x +1都可以表示一个正数的平方根，求这个正数. 【反思】①审题时，要注意按照定义运算，”的作用.②需要灵活判断和运用平方运算和它的逆运算---开平方的运算
2011-2012暑期第一次课 内容：平方根 一、平方根的定义 填空： 平方根的定义： 注意： 练习： 1、 9 4 的平方根是 ，25的平方根是_________. (-4)2的平方根是___________. 2、2 )9(-的平方根是（ ）（A ）±3 （B ）±9 （C ）3 （D ）－9 二、平方根的表示： 求下列各数的平方根：5, 3, 121， 练习：1、若a 的平方根是±5,则a =___________. 2、设a x =2 ，有下列几种说法：（1）a 是x 的平方根 （2）a 是x 的平方（3）x 是a 的平方根（4）x 是a 的平方。正确的是（ ） （A ）（1）和（2） （B ）（2）和（3） （C ）（2）和（4） （D ）（1）和（3） 3、有下列说法：（1）416±= （2）因为4是正数，所以4有平方根 （3）因为0既不是正数也不是负数，所以0没有平方根 （4）可以平方的数一定也可以开平方 （5）如果一个数有平方根，那么这个数的平方根一定有两个。其中正确的有（ ）个。（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 4、判断：9的平方根是3（ ）；3是9的平方根（ ） 9的平方根是3是9的平方根（ ） 2是4的平方根（ ） 三、算术平方根 定义： 思考：平方根和算术平方根的区别和练习 练习： 1、求下列个数的算术平方根 （1）、 196； （2） ；（3）0.04 ； （4）102 2、如果一个数的平方根是3+a 和152-a ，求这个数。 2.1一个数的平方根是2a-3与5-a ，求a 的值和这个数。 四、非负性 计算下列各值： ， ， ， ， ， ， 从上面的计算，你可以得到那些结论： 练习：1、若33-+ -x x 有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．3 x B ．3 x C ．3≥x D ．3=x 1.1若x 、y 都是实数，且 y = 4，求xy 的值. 256 1
平方根（基础） 【要点梳理】 知识点一、平方根和算术平方根的概念 1.算术平方根的定义 如果一个正数x 的平方等于a ，即2 x a =,那么这个正数x 叫做a 的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；a “a 的算术平方根”，a 叫做被开方数. 要点诠释： a ，a ≥0. 2.平方根的定义 如果2 x a =，那么x 叫做a 的平方根.求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. a (a ≥0) 的平方根的符号表达为0)a ≥ a 的算术平方根. 知识点二、平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同； （2 ）结果不同： 和 2．联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数； （3）0的平方根和算术平方根均为0． 要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根； 负数没有平方根． （2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另 一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根. 知识点三、平方根的性质 0||0 00 a a a a a a >?? ===??-
平方根 【学习目标】 1. 了解平方根、算术平方根的含义； 2. 会表示、计算一个数的平方根、算术平方根. 【要点梳理】 【高清课堂：平方根、算术平方根知识要点】 知识点一、算术平方根的定义 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即,那么这个正数x叫做a的算术平方根.a的算术平方根记为，读作“根号a”.a叫做被开方数. 要点诠释：①算术平方根一定是正数. ②负数没有算术平方根. ③0的算术平方根是0. 知识点二、算术平方根的性质 特征：被开方数越大，对应的算术平方根也越大. 知识点三、平方根的定义 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根.这就是说，如果，那么x叫做a的平方根.求一个数a的平方根的运算，叫做开平方. 要点诠释：①正数有两个平方根，它们互为相反数. ② 0的平方根是0. ③负数没有平方根 【典型例题】 类型一、算术平方根的概念 1、求下列各数的算术平方根 （1）100 （2）（3）0.25 2. 计算下列各式的值 （1）（2）（3） 3. 判断下列各式是否有意义？为什么？ （1）-（2）（3）（）（4） 练1、求下列各数的算术平方根 （1）0.01 （2）81 （3） 2.计算下列各式的值 （1）（2）（3）± 3.求下列x的取值范围，使得式子有意义.
（1）（2）（3） 类型二、算术平方根的比较大小 1、比较下列各组数的大小： （1）与（2）与8 类型三、平方根的概念 1、求下列各数的平方根． （1）100 （2）（3）0.25 (4) 2.判断下列说法是否正确 （1）0的平方根是0； （2）1的平方根是1； （3）-1的平方根是-1； （4）0.01是0.1的一个平方根. 练 1. 求下列各数的平方根． （1）49 （2）（3）0.04 (4) 2. 判断下列说法是否正确 （1）5是25的算术平方根； （2）是的一个平方根； （3）的平方根是-4； （4）0的平凡根与算术平方根都是0. 类型四、解方程 （1）；（2）；（3）．
平方根和开平方(基础)知识 讲解 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
平方根和开平方（基础） 【学习目标】 1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根． 2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根． 【要点梳理】 要点一、平方根和算术平方根的概念 1.平方根的定义 =，那么x叫做a的平方根.求一个数a的平方根的运算，叫做开平如果2x a 方. a叫做被开方数.平方与开平方互为逆运算. 2.算术平方根的定义 正数a的两个平方根可以用“表示a的正平方根（又叫算术平 方根），读作“根号a”；a的负平方根，读作“负根号a”. 要点诠释：a0，a≥0. 要点二、平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同： 2．联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数； （3）0的平方根和算术平方根均为0． 要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫 它的算术平方根；负数没有平方根． （2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以 立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方 根来研究平方根. 要点三、平方根的性质
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平方根（提高） 【学习目标】 1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根． 2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方 根． 【要点梳理】 要点一、平方根和算术平方根的概念 1.算术平方根的定义 如果一个正数x 的平方等于a ，即2 x a =,那么这个正数x 叫做a 的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；a a 的算术平方根”，a 叫做被开方数. 要点诠释： a 0，a ≥0. 2.平方根的定义 如果2x a =，那么x 叫做a 的平方根.求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. a (a ≥0) 的平方根的符号表达为0)a ≥， a 的算术平方根. 要点二、平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2 ）结果不同： 2．联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数； （3）0的平方根和算术平方根均为0． 要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方 根；负数没有平方根． （2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的 另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根. 要点三、平方根的性质 (0)||0 (0)(0) a a a a a a >??===??-
【典型例题】 类型一、平方根和算术平方根的概念 1、若2m －4与3m －1是同一个正数的两个平方根，求m 的值． 【思路点拨】由于同一个正数的两个平方根互为相反数，由此可以得到2m －4＝－（3m － 1），解方程即可求解． 【答案与解析】 解：依题意得 2m －4＝－（3m －1）， 解得m ＝1； ∴m 的值为1． 【总结升华】此题主要考查了平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数． 举一反三： 【变式】已知2a －1与－a ＋2是m 的平方根，求m 的值. 【答案】2a －1与－a ＋2是m 的平方根，所以2a －1与－a ＋2相等或互为相反数. 解：①当2a －1＝－a ＋2时，a ＝1，所以m ＝()()22 212111a -=?-= ②当2a －1＋（－a ＋2）＝0时，a ＝－1， 所以m ＝()()22221[2(1)1]39a -=?--=-= 2、x 为何值时，下列各式有意义？ ； 【答案与解析】 解：(1)因为20x ≥，所以当x (2)由题意可知：40x -≥，所以4x ≥ (3)由题意可知：1010x x +≥?? -≥?解得：11x -≤≤．所以11x -≤≤有意义． (4)由题意可知：1030 x x -≥??-≠?，解得1x ≥且3x ≠． 所以当1x ≥且3x ≠ 【总结升华】(1)当被开方数不是数字，而是一个含字母的代数式时，一定要讨论，只有当被开方数是非负数时，式子才有意义．(2)当分母中含有字母时，只有当分母不为0时，式子才有意义． 举一反三：
人教版七年级数学上册第六章6.1平方根3年 一．选择题（共13小题） 1．（2015?绵阳）±2是4的（） A．平方根B．相反数C．绝对值D．算术平方根 2．（2015?黄冈）9的平方根是（） A．±3 B．±C．3 D．﹣3 3．（2015?六盘水）下列说法正确的是（） A．|﹣2|=﹣2 B．0的倒数是0 C．4的平方根是2 D．﹣3的相反数是3 4．（2015?日照）的算术平方根是（） A．2 B．±2 C．D．± 5．（2015?湖州）4的算术平方根是（） A．±2 B．2 C．﹣2 D． 6．（2015?滨州）数5的算术平方根为（） A．B．25 C．±25 D．± 7．（2015?天津）己知一个表面积为12dm2的正方体，则这个正方体的棱长为（） A．1dm B．dm C．dm D．3dm 8．（2015?齐齐哈尔）下列各式正确的是（） A．﹣22=4 B．20=0 C．=±2 D．|﹣|= 9．（2015?内江）9的算术平方根是（） A．﹣3 B．±3 C．3 D． 10．（2015?通辽）的算术平方根是（） A．﹣2 B．±2 C．D．2 11．（2015?通辽）已知边长为m的正方形面积为12，则下列关于m的说法中，错误的是（） ①m是无理数； ②m是方程m2﹣12=0的解； ③m满足不等式组； ④m是12的算术平方根． A．①② B．①③ C．③ D．①②④
12．（2015?大庆）a2的算术平方根一定是（） A．a B．|a| C．D．﹣a 13．（2014?南京）8的平方根是（） A．4 B．±4 C．2D． 二．填空题（共17小题） 14．（2015?恩施州）4的平方根是． 15．（2015?凉山州）的平方根是． 16．（2015?徐州）4的算术平方根是． 17．（2015?南京）4的平方根是；4的算术平方根是．18．（2015?资阳）已知：（a+6）2+=0，则2b2﹣4b﹣a的值为．19．（2015?安顺）的算术平方根是． 20．（2014?恩施州）16的算术平方根是． 21．（2014?沈阳）计算：=． 22．（2014?泰州）=． 23．（2014?鄂州）的算术平方根为． 24．（2014?滨州）计算下列各式的值： ；；；． 观察所得结果，总结存在的规律，应用得到的规律可得=． 25．（2014?咸宁）观察分析下列数据：0，﹣，，﹣3，2，﹣，3，…，根据数据排列的规律得到第16个数据应是（结果需化简）． 26．（2014?菏泽）下面是一个按某种规律排列的数阵：
平方根与算术平方根概念辨析 平方根与算术平方根是初中数学中的两个重要概念，因为它们定义相近，联系紧密，所以初学的同学很容易混淆。为帮助同学们正确理解和区分这两个概念，现将它们的区别与联系总结如下： 一、区别： 1、定义不同。 平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a，即，那么这个数x叫做a的平方根。例如，， 2是4的平方根，，－2是4的平方根，即2和－2都是4的平方根。 算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根（特 别规定：0的算术平方根是0）。例如，，正数2是4的算术平方根。虽然，但－2不是正数，所以－2不是4的算术平方根。 2、表示方法不同。 平方根：一个非负数a的平方根记做。例如，5的平方根记做。 算术平方根：一个非负数a的算术平方根记作。例如，5的算术平方根记作。 3、个数不同。 平方根：一个正数有两个平方根，它们互为相反数。例如，16的平方根有两个，一个是4，另一个是－4。 算术平方根：一个正数的算术平方根只有一个，且这个数是正数。例如，16的算术平方根只有一个，是4。 二、联系 1、二者之间存在着从属关系。 一个正数的平方根包含了这个正数的算术平方根，算术平方根是平方根中的一个。 例如，的两个平方根是，其中是的算术平方根。 2、二者被开方数的取值范围相同。 只有非负数才有平方根，负数没有平方根。 只有非负数才有算术平方根，负数没有算术平方根。 一个数没有平方根，它一定也没有算术平方根。 三、典型例题 例1 求下列各数的平方根。 （1）121 （2）（3）0 （4） 解：（1）因，故121的平方根是。
（2）因，故的平方根是。 （3）因，故0的平方根是0。 （4）因，故的平方根是。 评析：求数a的平方根，就是要把平方后等于a的数都找出来。正数的平方根有两个，不要丢掉负的平方根。 例2 求下列各数的算术平方根。 （1）225．（2）（3）0.49 （4） 解：（1）因，故225的平方根是，取正的平方根，即225的算术平方根是15。 （2）因，故的算术平方根是，即。 （3）因，故0.49的算术平方根是0.7，即。 （4）因，而，所以的算术平方根是5。 评析：求正数a的算术平方根，只需找出平方后等于a的正数。 例3 下列说法是否正确？为什么？ （1）5是25的平方根。 （2）25的平方根是5。 解：（1）正确。因，所以5是25的平方根。 （2）不正确。因都等于25，所以25的平方根是。 评析：判断x是不是a的平方根，只需看是否等于a，若，那么x就是a的平方根，求a的平方根，则需将所有平方后等于a的数全部找出来。 例4 下列说法正确的是（） A. －5是的算术平方根 B. 81的平方根是 C. 2是－4的算术平方根 D. 9的算术平方根是 解：选B。 评析：解答此题的关键是理解、掌握平方根和算术平方根的联系和区别。只有非负数才有平方根和算术平方根，所以选项C错误；一个正数有两个平方根，其中正的平方根才叫做算术平方根，所以选项A、D错误。
平方根 知识点总结 【学习目标】 1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根． 2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方 根． 【要点梳理】 要点一、平方根和算术平方根的概念 1.算术平方根的定义 如果一个正数x 的平方等于a ，即2 x a =,那么这个正数x 叫做a 的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；a a 的算术平方根”，a 叫做被开方数. 要点诠释： a 0，a ≥0. 2.平方根的定义 如果2x a =，那么x 叫做a 的平方根.求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. a (a ≥0) 的平方根的符号表达为0)a ≥， 是a 的算术平方根. 要点二、平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2 ）结果不同： 2．联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数； （3）0的平方根和算术平方根均为0． 要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方 根；负数没有平方根． （2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的 另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根. 要点三、平方根的性质 (0)||0 (0)(0) a a a a a a >??===??-
【典型例题】 类型一、平方根和算术平方根的概念 1、若2m －4与3m －1是同一个正数的两个平方根，求m 的值． 【思路点拨】由于同一个正数的两个平方根互为相反数，由此可以得到2m －4＝－（3m － 1），解方程即可求解． 【答案与解析】 解：依题意得 2m －4＝－（3m －1）， 解得m ＝1； ∴m 的值为1． 【总结升华】此题主要考查了平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数． 举一反三： 【变式】已知2a －1与－a ＋2是m 的平方根，求m 的值. 【答案】2a －1与－a ＋2是m 的平方根，所以2a －1与－a ＋2相等或互为相反数. 解：①当2a －1＝－a ＋2时，a ＝1，所以m ＝()()22 212111a -=?-= ②当2a －1＋（－a ＋2）＝0时，a ＝－1， 所以m ＝()()22221[2(1)1]39a -=?--=-= 2、x 为何值时，下列各式有意义？ 2x 4x -11x x +-1x - 【答案与解析】 解：(1)因为20x ≥，所以当x 2x (2)由题意可知：40x -≥，所以4x ≥4x - (3)由题意可知：1010x x +≥?? -≥?解得：11x -≤≤．所以11x -≤≤11x x +-义． (4)由题意可知：1030 x x -≥??-≠?，解得1x ≥且3x ≠． 所以当1x ≥且3x ≠1x - 【总结升华】(1)当被开方数不是数字，而是一个含字母的代数式时，一定要讨论，只有当被开方数是非负数时，式子才有意义．(2)当分母中含有字母时，只有当分母不为0时，式子才有意义． 举一反三：
【基础知识巩固】 一、平方根、算数平方根和立方根 1平方根 (1 )平方根的定义：如果一个数x的平方等于a,那么这个数x就叫做a的平方根.即: 如果x2 a，那么x叫做a的平方根. (2)开平方的定义：求一个数的平方根的运算，叫做开平方?开平方运算的被开方数必须是非负数才有意义。 (3)平方与开平方互为逆运算：3的平方等于9, 9的平方根是3 (4)一个正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果； 一个负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算 (5)符号：正数a的正的平方根可用,a表示，..a也是a的算术平方根； 正数a的负的平方根可用-.a表示. (6) x2 a < —>x < a a是x的平方x的平方是a x是a的平方根a的平方根是x 2、算术平方根 (1)算术平方根的定义:一般地，如果一个正数x的平方等于a,即x2a，那么这 个正数x叫做a的算术平方根.a的算术平方根记为■. a，读作根号 a ”，a叫做被开方数. 规定：0的算术平方根是0. 也就是，在等式x2 a (x > 0)，规定x 、.a。 (2),a的结果有两种情况：当a是完全平方数时，,a是一个有限数； 当a不是一个完全平方数时，,a是一个无限不循环小数。 (3)当被开方数扩大时，它的算术平方根也扩大； 当被开方数缩小时与它的算术平方根也缩小。 一般来说，被开放数扩大(或缩小) a倍，算术平方根扩大(或缩小) ■. a倍，例如错误!未找到引用源。=5,错误！未找到引用源。=50。 (4)夹值法及估计一个(无理)数的大小 (5)x2 a (x > 0) <—> x a a是x的平方x的平方是a x是a的算术平方根a的算术平方根是x (6)正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。 Ja2 a ；注意石的双重非负性：
课题：10.1 平方根（第一课时） 教材：人教版初中数学七年级下册 一、教学目标: 知识目标：1、使学生正确理解算术平方根、平方根、开平方3个概念及平方根的性质，并能在判断、解答中正确运用；知道平方与开平方互为逆运算。 2、能用平方运算求某些完全平方数的算术平方根及平方根。 能力目标：（1）、通过具体情境的观察、思考、类比、探索、交流和反思等数学活动培养学生创新意识，使学生掌握研究问题的方法，从而学会学习。 （2）、通过具体情境贴近学生生活，让学生在生活中挖掘数学问题，解决数学问题，使数学生活化，生活数学化。会利用平方根的知识解决一些实际问题。 （3）、通过知识梳理，培养学生的概括能力、表达能力和逻辑思维能力。 情感目标：通过具体情境的探索、交流等数学活动培养学生的团体合作精神和积极参与、勤于思考意识。 二、教学重点：平方根相关概念的理解和求法。 教学难点：关于平方根的个数的讨论，是本节的一个难点。
三、教学方法与手段 1．教学方法 利用引导发现法、讨论法，引导学生从具体生活情境及已有的知识和生活经验出发，提出问题与学生共同探索、学生与学生共同探索，以调动学生求知欲望，培养探索能力、创新意识。 2．教学手段 利用多媒体创设教学情境，引导学生观察、探索、发现、归纳来激发学生学习兴趣、激活学生思维，以利于突破教学重点和难点，提高课堂教学效益。新课标提倡教学中要重视现代教育技术、要引导学生独立思考、自主探索与合作交流，让学生掌握知识的发生发展过程，主动去获得新的知识，学会获取知识的方法，因而在教学中创设情境让学生乐意并全身心投入到现实的、探索性的数学活动中去。 四、教学过程 （一）创设情境，激发兴趣 问题1：①学校要举行美术作品比赛，小鸥很高兴，他想裁一块面积为25dm2的正方形画布，画上他的得意之作，那么这块正方形画布的边长应为多少？ 16、它的边长分别 ②已知正方形的面积分别为1、9、16、36、 25 是多少？ （教师操作媒体，展示幻灯片，提出问题。学生思考并回答问题。）（二）展开探究，导入新课 问题2：什么叫算术平方根？（一般地，如果一个正数的平方等于a，即x2=a,那么这个正数就叫做a的算术平方根．）
易错点点拨：平方根 1、对平方根的定义理解不准确，导致偏差 例1、 下列说法中：①9的平方根是3; ②2是2的平方根;③–2是16的平方根. ④±3是9的平方根；⑤0的平方根是0 其中正确的是： A. ①②③ B. ②③④ C. ②③④⑤ D. ①②③④⑤ 错解：选择D 。 分析：由于对平方根的定义理解不准确，导致上述的错误。怎样才能准确理解平方根的定义？可以这样去理解： 如果x 2=a ，那么，x 叫做a 的平方根，记作±a 。由此，我们可以断定如下说法都是正确的： ① a 的平方根是±a ； ②a 是a 的平方根； ③-a 是a 的平方根； ④±a 是a 的平方根；其中a 是非负数。 此外，0的平方根是0这个特例要记清楚。 根据上面的理解，所以，说法①是错误的。其余说法都是正确的。 正解：选择C 。 2、对平方根的表示法中的“±”理解不准确，导致偏差 例2、“ 2536的平方根是±56”, 下列各式正确的是（ ） ①2536=±56 ②±2536=±56 ③ 2536=56 ④-2536=-5 6 A. ①②③ B. ②③④ C. ③④ D. ①②③④ 错解：选择D 。 分析：对于非负数的平方根，在用数学表达式表示时，有三种方式是正确的： ①“±，±型”,即在等号的两边要同时出现“±”这个符号。如±9=±3； ②“+，+型”，即在等号的两边要同时出现 “+”这个符号。如+9=+3，或者9=3，
③““-，-型”，记在等号的两边要同时出现“-”这个符号，如-9=-3. 也就是说，在用数学表达式表达时，等号两边数的性质符号是一致的，否则，就不正确。根据这一标准，去判断， ① 是错误的。其余都是正确的。 正解：选择B 。 3、忽视被开方数的意义，导致错误 例3、下列运算过程， ①-8是-64的平方根;②-64-=-(-8)=8； ③22222-=-=-；④±64-=±(-8)= ±8 正确的个数：（ ） (A) 0个 ( B) 2个 (C) 3个 (D) 4个 错解：选择B 或选择C 或选择D 分析：要求一个数的平方根或进行有关平方根的运算时，必须保证被开方数是非负数，否则，就没有什么意义。 ①②④的被开方数都是-64，是负数，所以，根本就没有意义，因此，也就无法进行运算； ③的被开方数是-22=-4，是负数，所以，根本就没有意义，因此，也就无法进行运算； 所以，上面的说法都是错误，即正确的个数为0. 正解：选择A 。 4、乱用运算律或者公式，导致偏差 例4、下列运算中， ①22810-=21028-=10-8=2； ②9141+ =41 +9 1 =21+31=65； ③12 51144251=； ④-1691=-1625=-45 错误的有 （ ）