第二章风险的概念和性质分析
第一节风险的定义和相关概念辨析
风险是一个非常常用、宽泛的词汇，对于风险的定义，无论是业界还是理论界、国内还是国外，目前还没有达成一致的认识，并没有一个统一的界定，可以说这是一个“没有共识的共识”。尽管普遍认为风险没有统一的定义，但任何管理都必须首先明确管理的对象，风险管理也是如此，加之风险是金融甚至所有经济活动的基本要素，对风险概念的明确成为关于风险理论问题探讨的首要问题。国内外与风险相关的教科书，如金融学、投资学、银行管理、保险、审计等，大多在承认风险缺乏统一定义之后提出各自的风险定义版本。综合分析这些定义版本，目前国内外金融理论界对风险的解释或界定主要有以下一些观点：1．风险是结果的不确定性；
2．风险是损失发生的可能性，或可能发生的损失；
3．风险是结果对期望的偏离；
4．风险是导致损失的变化；
5．风险是受伤害或损失的危险。
上述对风险的解释可以说都从不同的角度揭示了风险的某些内在特性。这些解释主要涉及到不确定性、损失、可能性、波动性（即对期望的偏离）和危险等概念。本节并不提出新的风险定义版本，而是通过对这些概念与风险概念的关系的分析来进一步了解风险的本质和内在特性。
一、风险与不确定性（Uncertainty）
风险与不确定性的关系是理论界关于风险概念界定的争论焦点之一。一种观点认为，风险就是一种不确定性，与不确定性没有本质的区别，上述第一种观点就是如此。1持有这种观点的人将不确定性直观地理解为事件发生的最终结果的多种可能状态，即确定性的反意，尽管这些可能状态的数量及其可能程度可以（也许不可以）根据经验知识或历史数据事前进行估计，但事件的最终结果呈现出何种状态是不能事前准确预知的。这种将风险等同于不确定性的定义与将风险等同于变化的定义是一致的。2根据能否事前估计事件最终结果可能状态的数量和可能程度，不确定性可以分为可衡量的不确定性和不可衡量的不确定性。
1参见William F. Sharpe, Gordon J. Alexander, Feffrey V. Bailey, Investments, Fifth Edition, Prentice-Hall International, Inc. 1995,p1021.
2例如，Lawrence Galitz, Financial Engineering, Revised Version, FT PITAMAN Publishing, 1995, p5-7.
另外一种观点认为，尽管风险与不确定性有着密切的联系，但两者有着本质的区别，不能将两者简单地混为一谈。3风险是指决策者面临的这样一种状态，即能够事先知道事件最终可能呈现的可能状态，并且可以根据经验知识或历史数据比较准确地预知每种可能状态出现的可能性的大小，即知道整个事件发生的概率分布。例如一般状态下股票价格的波动就是一种风险，因为，在正常的市场条件下，根据某支股票交易的历史数据，我们就可以知道该股票价格变动的概率分布，从而知道下一期股票价格变动的可能状态及其概率。然而，在不确定性的状态下，决策者是不能预知事件发生最终结果的可能状态以及相应的可能性大小即概率分布的。例如，由于公司突然宣布新的投资计划而引起股票价格的变动就是一种不确定性的表现，因为，决策者无法预知公司将要宣布的新的投资计划的可能方案，或者即便知道了投资计划的可能方案也无法预知每一种方案被最终宣布的概率。可见，根据这种观点，风险和不确定性的根本区别在于决策者是否能预知事件发生最终结果的概率分布。实践中，某一事件处于风险状态还是处于不确定性状态并不是完全由事件本身的性质决定的，很大程度上取决于决策者的认知能力和所拥有的信息量。随着决策者的认知能力的提高和所掌握的新的信息的增多，不确定性决策也可能演化为风险决策。因此，风险和不确定性的区别是建立在决策者的主观认知能力和认知条件（主要是信息拥有状况）的基础上的，具有明显的主观色彩。这种区分对于在不同的主观认知能力和条件的状态下进行决策的方法选择有一定的指导意义，但鉴于实践中区分这两种状态的困难和两种状态转换的可能性，许多对风险的讨论采取了第一种观点，并不严格区分风险和不确定性的差异，尤其是在很大程度上可以量化的金融风险的分析中。
二、风险与波动性（Volatility）
在现代投资风险分析中，风险通常被定义为风险因素变化的波动性，如利率风险、汇率风险和股票价格风险等，都是利率、汇率、股票价格等市场变量围绕某一数值（期望值）上下波动所造成的。描述变量波动的数理统计方法是变量的期望值和方差（或标准差），其中，期望值表示变量波动变化的集中趋势和平均水平，而方差则表示变量变化的离散趋势，即风险水平。用方差或标准差来度量风险水平的高低成为风险衡量的一种基本方法。上述第三种观点将风险解释为风险是结果对期望的偏离，就是用波动性来解释风险的典型代表。这一观点通常被主要面临各种易于量化的市场风险的证券投资者采用，近些年随着风险量化方法向信用风险和操作风险管理领域的延伸和发展，方差和期望的统计方法也越来越多地被用
3参见S. Charles Maurice & Christopher R. Thomas, Managerial Economics, Sixth Edition, The McGraw-Hill Companies, 1999, p652-654.
于描述和解释信用风险和操作风险。
用波动性来定义风险具有深刻的管理内涵。首先，波动性代表着变化，而不是不变，这是关于风险最基本的思想之一，这也与将风险定义为不确定性的思想是一致的。其次，变化有两种情况，即预期变化和非预期变化，如上所述，波动性所代表的变化是指以方差表示的偏离期望值的变化，即非预期变化，因此，严格地讲，作为方差计量基准的期望值所代表的预期变化并非波动性本身，因而不属于风险范畴。在风险管理的实践中，金融机构通常提取损失准备金和冲减利润来应对和吸收预期损失，预期损失因而被纳入成本管理的范围，而对非预期损失，金融机构则采取提取资本金的措施来应对，属于真正的风险管理的范围。4最后，非预期变化也有两种情况，对风险承担主体有利的非期望变化和不利的非期望变化。计量波动性的方差计算公式将低于和高于期望值的变化都纳入其中，从中可以看出，将风险定义为波动性就意味着不仅将不利的非期望变化视为风险，也将有利的非期望变化视为风险，这与将风险定义为损失或不利事件发生的可能的传统风险定义有着较大的本质区别。以波动性来定义和计量风险代表着人们对风险和风险管理理念发生了很大变化。在波动性定义下，风险有下侧风险（Downside Risk），也有上侧风险(Upside Risk)；有坏风险（Bad Risk），也有好风险(Good Risk)；是损失的可能，也是盈利的可能。这充分反映了风险既是损失的来源，也是盈利的来源；既是挑战，也是机遇。与传统的单侧风险定义相比，双侧的风险定义更加有利于全面风险管理，尤其是有利于对盈利制造部门和明星交易经理的风险管理；同时，将盈利可能明确纳入风险范畴为全面经济资本配置和经风险调整的业绩衡量等现代风险管理做法提供了理论前提。
三、风险与损失（Loss）
风险与损失是有着密切联系的，传统的风险定义一般如上述第二种观点一样将风险定义为损失的可能，或者可能的损失。无论是将风险定义为未来结果的不确定性还是定义为对期望的偏离，风险的概念中离不开损失的含义。否则，如果未来结果不会造成任何损失或不会出现任何不利状态，无论事件的不确定性有多大或对期望值的偏离有多远，该事件都不会构成风险事件。对于一个生日礼物的获得者，无论她将要收到的生日礼物有多大的不确定性，也不管生日礼物会偏离她的期望值有多远，生日礼物的获得是不具有任何风险的，因为不会有任何潜在损失的发生。一个有关金融活动的例子就是套利利益的获得。如果投资者发现了
4当然，这是比较严格的理论上的区分。显然，预期损失的计量和损失准备金的提取构成金融机构风险管理实践的重要内容。新巴塞尔资本协议第三次征求意见稿的主要修改内容就是应美国一些大银行的要求在监管资本计算公式中增加了对预期损失因素和相应的损失准备金提取情况的考量。具体参见国际清算银行网站（https://www.doczj.com/doc/4d5008686.html,）上对新资本协议第三稿修订的说明。
市场上的套利机会，这种套利机会就类似于前述的生日礼物，尽管这一套利机会规模的大小或延续时间的长短以及投资者自身能从中获取实际利益的大小具有不确定性，但由于套利的投资为零，不存在损失的可能，因此，我们理论上认为套利是没有风险的。5将风险定义为可能的损失首先需要注意的一个问题是要明确风险与损失本身的本质区别。尽管风险与损失有密切的联系，但风险只是损失的可能，或说潜在的损失，并不等于损失本身。可以说，损失本质上是一个偏于事后的概念，反映的是风险事件发生后状况，而风险却是一个明确的事前概念，反映的是损失发生前的事物发展状态，具体包括损失和盈利发生的概率和规模大小。因此，在风险事件实际发生以前，风险就已经产生或存在，而此时损失并没有发生，只是具有潜在的可能性。一旦损失实际产生，风险又不存在了，因为不确定性已转化为确定性。因此，严格地讲，损失和风险是不能同时并存的事物发展的两种状态。在我国金融机构风险管理的实践中，一个普遍存在的现象就是将风险和损失混为一谈，没有明确其本质差异，例如将不良资产和风险资产混为一谈，将风险管理部门视为不良资产处置部门，用防范风险的说法来替代管理风险的说法，将损失严重甚至破产金融机构的处置和重组视为风险处置，等等。尽管从宏观上和降低系统性风险的角度看这些说法有一定的道理，但从具体的资产和机构的角度看，无论是不良资产的处置还是危机机构的处置本质上是对损失的处置，不良资产本质上是价值已经遭受损失的资产，对其采取折价出售或会计剥离等处置措施是损失发生后的事后措施，与防范损失于未然的事前风险管理措施有着明显的本质差异。
四、风险与可能性（或概率）（Probability）
风险与可能性也是有必然联系的。可能性的数理统计表达方法是概率。可能性和概率是对不确定性进行的量化描述，是决策者对不确定性状态和风险进一步认知的结果，也是投资者衡量风险水平高低的主要工具。然而，严格说来，概率所包含的未来事物的状态比风险或不确定性状态更广泛，这主要表现在概率可以取0和1两种极端状态，分别表示“不可能”和“必然”，而这两种状态显然属于确定性状态，已不属于风险的范畴。
根据获取概率信息途径的不同，理论上一般将概率分为客观概率和主观概率。前者是从大量的历史数据或有关事件基本构成的分析数据推导出的事件发生的概率，因以客观数据为基础，被称之为客观概率；后者是在缺乏历史数据的情况下决策者根据当时所掌握的有关信息、类似的经验数据以及个人的理性分析和合理判断对事件发生的概率做出的主观估计。主
5实践中，套利活动往往面临很大的风险。这些风险既可能由市场情况变化迅速、操作不当或有关法律原因引起，也可能是由于对市场和金融产品的价值和风险属性认识错误，如对金融产品错误定价所引起。
观概率可以被视为对客观概率的近似，其准确性与客观性随着决策者所拥有的信息量，尤其是同类事件发生的历史数据的增加而增加。在我国金融市场，尤其是证券市场发展的现阶段，由于我国证券市场刚刚起步，历史数据明显缺乏，主观概率在我国的金融风险管理实践中有着更加重要的作用。
主观概率和客观概率的区别不同于主观风险与客观风险的区别。客观风险是独立于投资者的风险偏好，由事件自身的性质决定的损失发生的可能性。概率，包括主观概率和客观概率，都是衡量客观风险的数理统计手段。我们通常提到的都是客观风险。主观风险是指投资者对客观风险的主观心理感受，在同一客观风险水平上，主观风险水平的高低取决于投资者对风险的主观态度，即风险偏好度。因此，主观风险的问题实际上是投资者风险偏好问题。
五、风险与危险（Hazard）
风险和危险也是两个既相互联系又相互区别的概念。在日常生活中，风险和危险两词的互换是常见的，但在保险学和风险管理中，将风险简单地解释为危险是不恰当的，两者也不能随便互换。根据上述分析，风险是指结果的不确定性或损失发生的可能性。危险一般是指使损失事件更易于发生或损失事件一旦发生会使得损失更加严重的环境，在英文中通常用Hazard一词来表示。例如，夜间在没有路灯的街道行走容易遭到抢劫，遭抢劫的可能性被称之为风险，这种风险无论街道上有没有路灯都存在，只是风险程度不同，而没有路灯则是危险，有了这个危险，就加大了抢劫事件发生的可能性。同样，将100桶汽油集中存放于一个仓库比分5个仓库分散存放更危险，火灾发生造成汽油的潜在损失是风险，这种风险无论汽油集中存放还是分散存放都存在，只是风险程度不同，而“集中存放”是危险，这一危险使得火灾发生后的损失更加严重，从而加大了风险程度。可见，危险是影响风险的一种环境性因素，是导致风险水平增加的原因。6
区别风险和危险的重要意义在于有利于风险管理。既然危险是影响风险的环境性因素，是导致风险水平增加的原因，通过控制和消除这些危险因素就可以降低风险水平。给街道装上路灯，将汽油分散存放，相应的危险就被消除了，从而降低了风险水平。
在金融风险管理中，一种重要的危险已经引起了广泛的注意，这就是通常被译为“道德风险”的Moral Hazard。通过上述的分析我们容易看出这一译法并不恰当，应该译为道德危险。道德危险是保险业和商业银行业所面临的重大问题之一。尤其是在我国经济体制转轨的现阶段，我国商业银行所面临的巨额信用风险中，很大程度上是由于道德危险引起的。因此，深化我国企业和银行制度的改革，加强信贷工作的制度性建设，是从体制上控制和消除6但不是导致风险发生的原因，只有抢劫和火灾才是导致风险的原因，被称之为灾害PERIL。
道德危险，降低信用风险水平的根本性途径。
六、风险和风险暴露（Risk Exposure）
最后一个需要引起注意的概念辨析是风险与风险暴露（Exposure to Risk）。根据上述对风险概念的分析，我们不难看出风险对于金融机构而言是客观存在的，如利率、汇率等风险变量的波动性一般不会因为某个金融机构的行为或意愿而发生改变。因此，严格地说，无论金融机构的风险管理水平如何，它们所面临的风险是一样的，并不能认为风险管理质量差的金融机构所面临的风险比风险管理质量高的金融机构大。但在许多情况下，人们对风险一词的使用比较含混，通常它不仅指这种客观的风险因素的波动性，有时也包括投资者对风险的主观暴露程度。所谓风险暴露是指金融机构在各种业务活动中容易受到风险因素影响的资产和负债的价值，或说暴露在风险中的头寸状况。如对信用风险的暴露是指受到信用风险影响的贷款量，对利率或汇率风险的暴露则是受到利率或汇率变动影响的资产和负债。因此，在一般的意义上，投资者所承担的风险水平的高低不仅取决于风险因素波动性或不确定性的大小，更重要的是取决于其对特定风险因素的暴露程度。无论风险因素的波动性有多大，如果投资者能够通过各种风险管理手段使得其对该风险因素的暴露程度为零，则他所面临的风险实际上也为零。因此，金融机构风险管理的本质是对其风险暴露的管理，而宏观层次的风险管理则有可能是对风险因素自身的管理，如政府经济管理部门为降低汇率、利率和股票总体价格水平的波动性而进行的努力。
第二节风险的分类
风险的分类就如同其定义一样难以明确，也难以统一。但是，由于分类是定义的逻辑延伸，在实践中也是金融机构风险管理和风险监管的前提和依据，风险分类非常重要，不可或缺。现实中，风险的分类纷繁复杂，由此而导致的困惑和工作障碍并不鲜见。
一、风险分类的标准及其复杂多样性
关于风险分类，首先必须明确的问题就是分类标准的确定。由于分类是在定义的基础上对事物从不同的角度（即按照不同的标准）进行的考察和认识，分类的前提就是分类标准的确定。不同的分类标准代表着认识事物的不同角度，因而会有完全不同的分类结果。由于各类风险的原因、性质和结果以及在金融机构所处的业务领域和管理环节都可能不一样，为了从不同的角度识别和管理风险，风险的分类因而也复杂多样。
1．根据诱发风险的具体原因可以将金融风险分为市场风险、信用风险、流动性风险和
操作风险等。尽管在具体分类上可能存在一些差异，但这是理论界和业界最流行的一种分类方法，而且自巴塞尔委员会1994年颁布的《衍生品风险管理指引》7采用这种分类方法以来，风险分类逐渐走向统一。本文稍后将进一步予以分析。
2．根据风险承担是否可能给承担者带来收益将风险分为纯粹风险（Pure Risk）和投机风险（Speculative Risk）。前者只可能给风险承担者带来损失，而不会带来收益，如火灾、地震、疾病、车祸和犯罪等带来的风险。后者使承担者既有损失的可能，也有获利的可能，如利率风险、汇率风险等。传统上，只有纯粹风险才能设计保险产品，但随着期权等金融衍生产品的发展，针对投机风险的具有保险性质的金融产品获得了很大发展，而且近些年还从市场风险领域发展到信用风险领域。
3．根据风险发生的范围可以将金融风险分为系统性风险和非系统性风险。系统风险是指由金融机构外部系统性因素变化引起，对所有企业和投资项目都产生影响的风险。系统风险是单个经济主体无法控制的，是不能够通过分散投资来消除的，因而也被称为不可多样化风险（Non-diversifiable Risk ）。非系统风险是由个别企业和投资项目本身的不确定性引起，不对所有企业和投资项目产生影响的风险。非系统风险可以通过多样化分散投资的方法来降低，甚至是最终可以消除的，因而也被称为可多样化风险（Diversifiable Risk）。
4．根据风险所处的业务种类可以将风险分为信贷风险、存款风险、交易风险、结算风险、中间业务风险，等等。尽管在实践中这些风险类别是很常见的提法，但严格地讲，这并不是对风险本身的分类，而是对业务的分类，风险类别多少取决于业务种类的多少，而且这种风险分类的方法还可以延伸到金融机构的类别，如商业银行风险和证券公司风险。此外，一种比较概括的此种分类方法是将风险分为银行帐户(Banking Book)风险和交易帐户(Trading Book)风险，这在巴塞尔银行监管委员会的监管文件中比较常见，例如新巴塞尔资本协议对利率风险就分为银行账户和交易账户区别对待。
5．根据损失的严重程度，风险可以分为预期损失风险、非预期损失风险和灾难性损失风险。这种分类的前提是风险的损失概率分布被确定。随着现代风险计量方法的发展，这种分类的应用变得越来越广泛而且重要。在这种分类下，不同的风险具有不同的管理策略，预期损失风险通过提前与预期损失相当的准备金来应对，非预期损失风险通过提取与给定置信水平下的非预期损失相当的资本金来应对，而对灾难性损失风险则采用购买保险的策略来应对。
此外，根据损失的内容，风险可分为财产风险、声誉风险、人才风险、市场分额风险、7参见Basel (1994), Risk Management Guidelines for Derivatives, https://www.doczj.com/doc/4d5008686.html,.
竞争力风险；根据管理层次，风险可以分为业务风险、操作风险、财务风险和战略风险；根据风险对金融机构的重要性，可以分为目标风险和非目标风险；根据风险是否可以交易，可以分为可交易风险和不可交易风险（又称可对冲风险和不可对冲风险），等等。显然，风险的分类标准是难以完全列出的。对于风险管理而言，重要的并非是要完全罗列出不同的分类标准，而是要选择符合风险分析和管理具体目的和需要的分类标准；而且要认识到任何分类必须有明确的分类标准，不同分类标准下的风险类别不能混淆。然而，在现实中，风险分类的标准往往被忽略，甚至被混淆，从而导致了我们对风险的认识误区和对风险管理工作的困惑。一个典型的例子是将信用风险和信贷风险混为一谈。从上述的风险分类我们不难看出，两者属于不同的风险分类，前者是按照风险诱因，后者是按照业务种类，完全是两个不同的概念。尽管信用风险是信贷业务中的主要风险，但并非唯一风险，操作风险和利率、汇率等市场风险也是信贷风险中的组成部分。将信贷风险等同于信用风险的一个不可忽视的后果就是信贷管理者可能将信贷业务中的操作风险忽略，或将由管理和操作失误造成的信贷损失转嫁到外部信用变化方面。
二、风险原因分类及其演变
最重要和最常见的风险分类是根据诱发风险的原因进行分类。从管理的角度出发，对风险原因的识别是至关重要的，因为不同的风险原因意味着不同风险的性质不同，而且意味着不同的风险管理策略和方法。尽管在相当长的时间里金融机构对风险分类缺乏统一的看法，但随着现代风险管理和风险监管的发展，近些年金融界对金融机构所面临的风险逐渐有了比较一致的看法，尤其是随着巴塞尔银行监管委员会、证监会国际组织（IOSCO）和保险监管者国际协会（IAIS）等监管者合作组织所倡导的基于风险的资本要求和监管原则在全球金融领域的推广，金融机构对风险分类的共识正在增加。这种共识的形成主要表现在将风险依据其原因分为市场风险、信用风险、操作风险和流动性风险。
风险分类是随着风险管理和风险监管的发展而发展的。1988年，巴塞尔银行监管委员会出台针对银行信用风险的资本金协议，信用风险由此成为最受关注的一类风险，但由于该协议仅仅针对信用风险，并没有提出对市场风险等其他风险的资本要求，系统的风险分类还没有出现。1994年，巴塞尔针对衍生产品交易迅猛发展所带来的风险管理问题，出台了《衍生品风险管理指引》，在该文件中，金融机构所面临的风险首次被系统地概括为：信用风险（包括结算风险）、市场风险、流动性风险、操作风险和法律风险。这一风险分类与G30在1993年提出的著名的《衍生产品：实践和原则》基本上是一致的。1996年美国货币监理署（OCC）在其监管手册《银行监管过程》中将银行风险分为信用风险、利率风险、流动性
风险、价格风险、外汇风险、交易执行风险、合规风险、战略风险和声誉风险。同年，巴塞尔银行监管委员会出台《关于将市场风险纳入资本要求的巴塞尔资本协议的补充协议》，将市场风险明确定义为“由于市场价格（包括金融资产价格和商品价格）的波动而导致金融机构表内和表外头寸遭受损失的风险。”并明确指出“市场风险可以分为利率风险、汇率风险、股票价格风险、商品价格风险和变量波动性风险等。”从此，市场风险的概念和内涵得到了明确和统一。1998年巴塞尔银行监管委员会启动新巴塞尔资本协议的起草和谈判后，操作风险成为近些年来金融业界的热点问题。2001年出台的新协议第二稿采用了英国银行家协会等业界机构在1999年公布的《操作风险调查报告》的定义，即“由不足够的或失败的内部流程、人员和系统或外部事件造成的直接或间接损失的风险”。新协议还明确指出，该定义包含了法律风险，但出于计量最低监管操作风险资本要求的原因，战略风险和声誉风险不包含在内。至此，新巴塞尔资本协议以信用风险、市场风险和操作风险三大风险的基本风险分类框架在国际上产生了广泛的影响。
第三节风险的性质分析
风险是一个很常见，但又非常复杂和令人困惑的概念。前述两节对风险的概念和分类进行了较为详细的分析，在此基础上，本节提出关于风险的六个方面的性质进行进一步的分析。这六个方面集中反映了风险的复杂性，在实践中不少人在对风险的这六个方面性质的认识中存在着矛盾的看法，对这六个方面的风险性质探讨将有助于我们获得对风险和风险管理的深入认识。
一、内生性与外生性
对于一个经济体系而言，风险是内生的还是外生的？对这个问题的回答在很多程度上受到经济制度选择的影响。传统的计划经济体制试图通过固定价格制度、经济和社会发展计划和企业国家所有等手段来消除本国国民经济体系内部可能产生的不确定性，从而使得计划经济制度本质上表现出排斥风险的制度特性。至少从理论上看，风险不应该是计划经济体系的内在要素，风险主要是来自于经济体系之外，如自然灾害、战争、政治变动以及外国经济波动或冲击。因此，在计划经济制度下，风险被视为外生的是符合计划经济基本理论的。相比之下，除了来自于经济体系之外的自然灾害和战争等外生性风险之外，市场经济更加强调风险是内生的，是市场经济本身所具有的基本要素和特性。经济活动，尤其是金融机构的活动，本质上都是以风险换收益的行为。因此，市场经济是与排斥风险的计划经济相反的风险经济。
市场经济制度下风险的内生性让我们认识到两个重要方面的内容：一是风险是市场经济体系的内在要素和特性，是不可避免的；二是内生的风险是相互影响的，这不仅表现在经济体系参与主体之间风险的相互传递和影响，而且也表现在经济主体（如金融机构和一般企业）的风险决策与投融资决策也是相互联系和影响的。8
二、事前性与事后性
风险是事前的还是事后的？从风险的定义看，这原本不应该成为一个困惑我们的问题，因为从前一章的风险定义分析和风险与损失的概念辨析中我们可以非常清楚地看到，风险只能是事前的，即损失发生以前的状态，这也是风险与损失概念的根本区别。然而，在现实中，将风险与损失相混淆的现象十分常见，就其根本原因是对风险的事前性特性认识不深刻。在现实中，风险和损失相互替代使用从而导致混淆两者根本差异的现象非常普遍，如用风险资产来替代不良资产，用风险机构指代已经遭受严重损失的危机机构，用风险处置来表示对不良资产的剥离或对危机机构的救助等。造成对风险事前性和事后性认识困惑的另外一个现实原因是看待风险的视角不确定。例如，金融机构的不良资产，从该资产本身来看，不良资产强调的是资产的不良特性，即损失特性。不良资产是过去的风险，现在的损失。但从整个金融机构角度看，对不良资产的管理是防止金融机构陷入清偿危机和管理清偿能力风险的重要措施，该不良资产相对于还没有发生的金融机构危机仍然表现出事前性的风险特性。同样的道理，对损失严重的危机机构的救助，包括注资、剥离损失、债务重组等形式，从危机机构自身看本质上是对损失进行处置和管理，而非防患于未然的风险管理，但从整个金融体系的角度看，对个别机构的损失处置是管理整个金融体系的风险、防止危机传染的重要的系统性风险管理措施。
三、双向性与单向性
风险是单向(Single-Side Risk)的还是双向(Double-Side Risk)的？对这个问题的回答在很大程度上取决于对风险的定义和理解。如前所述，传统的风险概念强调对损失和不利事件的关注，风险被定义为损失或不利状态发生的可能性，而盈利或有利状态发生的可能性则没有被包含在其中，因此，传统的风险概念是仅仅关注“坏风险(Bad Risk)”的单向概念。相反，现代的风险概念，以波动性定义为代表，强调的是风险变量作为随机变量对期望值水平的偏离程度，而这种偏离既包括变量低于期望水平的波动（可以被视为不利变化或相反），也包括变量高于平均水平的波动（可以被视为有利变化或相反），因此，现代的风险概念是既关注“坏风险”，又关注“好风险(Good Risk)”的双向概念。这种将变化对风险主体的双向影8这种相互影响详见第四章第三节关于经济资本配置的分析。
响都包含在内的双向风险概念突出反映在以标准差或方差来计量波动性的风险计量方法中。显然，人们比较习惯传统的单向风险定义，而对将盈利的可能也视为风险，将盈利的增长也视为风险的增加的双向风险概念却显得难以接受和适应。然而，不可否认的是，尽管主观上对双向风险概念的接受显得比较困难，但在现代风险管理实践中，双向风险概念具有重要的意义和越来越广泛的应用，最突出的表现就是基于双向风险概念的方差和标准差已经成为风险统计计量和分析的最基本的指标。由于双向风险概念不仅将损失与风险联系起来，同时也将盈利的产生与风险联系起来，这既有利于将盈利制造者和盈利部门纳入风险管理的视野和范围，从而加强对盈利制造者和盈利部门的风险管理，做到真正的全面风险管理，也有利于进行具有现代管理意义的“经风险调整后的业绩衡量(Risk-Adjusted Performance Measurement, RAPM)”。9相比之下，单向风险概念仅仅强调损失与风险的联系，因而割裂了盈利与风险的内在联系，容易导致消极的风险规避，不利于积极的风险管理，尤其在竞争激烈的市场上，最终会导致竞争力的丧失。此外，双向风险概念的另外一个好处在于便于对风险进行客观的衡量，从而有利于风险的市场定价和交易转让。由于单向的风险概念以损失和不利事件来定义风险，具有明显的主观性，而在以风险换收益的市场交易中，一方的损失往往就是另一方的盈利，双向的风险概念能够更加适应市场交易的公平和客观原则。
关于风险的双向性，最具有争议的问题就是操作风险是否也具有盈利性。根据巴塞尔新资本协议的定义，无论是金融机构内部人员、系统和流程还是外部事件所导致的风险，从其性质上看基本上都属于保险学上所说的与投机风险相对应的纯粹风险，即只会带来损失而不能带来盈利的风险。然而，现代风险管理对操作风险的盈利性质的看法也正在发生变化，尤其是随着经济资本配置和监管资本要求逐步覆盖金融机构包括市场、信用和操作风险在内的全面风险因素，将市场和信用风险归于双向的投机风险和将操作风险归于单向的纯粹风险的观点已经不适应现代风险管理发展的要求，因为，作为同样占用经济资本和监管资本资源的风险暴露，操作风险应该和市场和信用风险一样能够为金融机构带来经济回报和收益以弥补资本占用的成本支出，并能够为金融机构的整体价值贡献自己的新增经济价值（Economic Value Added, EV A）。10此外，尽管操作风险不能直接带来收益，但从认识金融机构业务开展中操作风险承担的不可避免性和必要性出发，通过合理的风险核算赋予操作风险管理应有的经济价值是重要的，这就如同生产企业中管理性劳动的价值一样，尽管管理性劳动不直接形
9有关加强对盈利部门的风险管理的具体案例风险详见第四章第三节对“中航油”巨亏事件的分析。有关“经风险调整后的业绩衡量(Risk-Adjusted Performance Measurement, RAPM)”详见第四章第二节对经济资本配置的分析。
10当然，并非金融机构内部所有的操作风险都具有经济价值。详见第三章第一节的相关分析。
成产品，但合理的内部核算应该赋予其应有的价值。
四、对称性与非对称性
风险是对称的还是非对称的？这是现代风险计量分析中的一个重要的问题。对这个问题的回答取决于风险的种类和观察风险的视角。从单项资产或单笔业务看，风险可以是对称的，也可能呈现非对称的分布。一般而言，市场风险，尤其是股票市场风险和外汇市场风险，通常被认为是对称的，有关金融产品市场风险计量和定价模型通常也通常采用正态分布的假设，例如VaR模型中常用的参数法。然而对于信用风险和操作风险，不对称的损失分布通常被认为是这两类风险的重要特性之一。正因为这种非对称性的风险特性，正态分布和参数法被认为难以适用于信用和市场风险计量分析，而通常代之以历史模拟法和蒙特卡洛模拟法。从投资组合，尤其是由大量独立的产品和业务所构成的投资组合角度看，由于大数定律的作用，尽管单个产品和业务的风险分布可能是非对称和非正态的，但是整个组合的损失分布却可以趋向对称和正态分布。因此，可以说风险从总体上呈现出对称的特性。
风险的对称性不仅对于计量分析很重要，而且蕴含着重要的风险管理理念，对风险管理的实践也具有重要的指导意义。首先，要加强盈利管理。对称性表现为损失规模和盈利规模的对称性，对风险业务而言，这意味着可能让你挣很多钱的业务也可能让你赔同样多的钱，而只能让你赔很少的钱的业务也往往只能让你挣同样少的钱。因此，在投资于高风险业务以追求高额盈利的过程中，必须要有风险对称性意识，认识到同样高额的下侧风险，以防止因追求超额利润而陷入超额损失，尤其是超过资本金限额的损失。其次，要理性看待赔小钱赚大钱的投资策略。在没有充分竞争的市场上，赔小钱赚大钱的投资机会的确是可能存在的，但这种投资机会随着投资资金的不断进入和市场竞争的不断增加，其投资的风险分布很快会对称起来，因此，在有效的金融市场中追求赔小钱赚大钱的投资策略是不现实的，尤其是对运作资金规模巨大的金融机构投资者而言更是如此。最后，要注重组合管理。一般而言，非对称的风险较对称风险更加难以计量和管理，因此利用组合管理将非对称的风险转化为对称风险是降低管理难度的有效方法。在实践中，银行信贷业务就是最典型的例子。从单笔信贷业务看，贷款风险是典型的经常挣小钱（利息）有时赔大钱（本金）的风险非对称业务，但是在大量的贷款业务中，尤其是从整个银行的贷款组合的角度看，风险分布的对称性大大增强。此外，在大数定律的作用下，单笔业务中很难预期的损失被转化为组合投资中的预期损失，从而难度较高的对非预期损失的风险管理被转化为难度较低的对预期损失的成本管理。
五、客观性与主观性
风险是客观的还是主观的？从本质上讲，风险是客观的，投资和金融活动中风险的客观
存在已经是人们的普遍共识。在金融市场中，尤其是在衍生产品和保险产品交易市场中，风险的计量、定价和交易转让都是以风险的客观存在为前提和基础的。认识到风险客观性的关键在于认识到风险来源的客观性。从风险诱发因素的角度看，风险是导致损失或盈利的可能性，是业务和经营环境本身具有的一种客观的内在特性。而且，站在金融机构的角度，许多作为业务内在特性的风险不仅其存在是客观的，而且其水平也不以金融机构的意志为转移，是金融机构本身难以改变和控制的。不仅系统性的市场风险和外部事件导致的操作风险是如此，非系统性的信用风险也是如此。因为信用风险本质上是由交易对手的信用能力和信用意愿决定的，尽管金融机构可以通过合同约束和贷后监督对其信用能力和意愿产生一定的影响，但交易对手的信用风险水平并非由金融机构的风险管理措施来决定，而是由交易对手本身的诸多因素决定。因此，从这种意义上说，对风险本身的管理是困难的，甚至是不可能的，金融机构风险管理的实质并不是对风险本身的管理，而是采用风险规避、对冲和转嫁等手段管理金融机构对各种风险要素的暴露，或者通过产品定价获得对风险暴露的补偿和回报。
对风险的看法同时也存在主观的视角，对于同样的产品和业务，有的投资者认为风险很大，有的却认为不大，对风险认识的主观性是显而易见的。风险的主观视角是从风险承担者的视角看遭受损失的可能性，这种风险随风险承担者拥有的信息、风险管理能力以及风险胃口等因素的变化而变化。以滑雪的风险为例，初级、中级和高级滑雪道的风险程度本身是客观的，但是，雪道对于不同的滑雪者的风险性是受到滑雪者本身的因素影响，因而对滑雪道风险的看法是具有主观特性的，艺高胆大的高手认为中级道的风险很小，但滑雪新手却认为风险很大。在现代风险计量中，风险的主观性突出表现在VaR的计算过程之中，即VaR值是在客观的损失分布基础上通过反映主观风险胃口的置信水平来确定的，置信水平选择越高，在险价值VaR越大，反之越低。
六、风险与预期收益的平衡性
风险与预期收益的平衡性是风险的基本特性之一。长期以来人们在实践中普遍认识到的所谓高风险高收益、低风险低收益的投资基本规律就是风险这一基本特性的经验反映。1964年夏普在马柯威茨资产组合管理理论的基础上提出的资本资产定价模型（CAPM）首次给予了理论说明(参见第五章第二节及其图5－1)。由于现代投资理论认为，风险和预期收益是任何投资和金融产品最基本的两个特性，风险和收益的这种关系对于现代风险管理理论和实践而言都具有重要的意义。这主要表现在以下三个方面：一是决定了风险收益平衡选择是金融交易和风险管理行为的基本特征。这种行为特征表现为对于风险溢价的追求。二是这种平衡性表明在有效的金融市场上，只有承担风险才能获得收益，风险是金融机构的唯一利润来源，
这也决定了金融机构作为承担和管理风险的专业机构的基本性质。三是决定了作为以追求盈利为基本使命的经济单位，金融机构的企业本质在于承担风险，管理风险，并在其过程中换取风险溢价，实现其基本的盈利使命。
第四节经济制度与风险
风险是与人的活动相伴随的社会经济现象，在任何经济制度下都存在。但是，不同的经济制度对风险有不同的态度和制度安排。我国经济体系自改革开放以来一直处于由计划经济向市场经济的转型过程之中，风险的表现和作用以及人们对风险的基本观念也正在经历深刻的变化。
一、计划经济、市场经济与风险
无论是在计划经济中还是在市场经济中，实际经济活动（包括金融活动）都少不了与风险打交道。然而，作为两种根本不同的制度设计，计划经济和市场经济与风险的关系也具有本质的区别。这主要表现在以下几个方面：
1．计划经济本质上是排斥风险的，是一种确定性性经济，通过计划和固定价格体系的手段试图消除经济体系中的不确定性和波动性。而市场经济本质上是不确定性经济或风险经济。一切经济行为和决策都是在不确定和风险的环境下进行的，以（承担）风险换取收益是一种基本的经济行为（尤其在金融行业）。
2．计划经济本质上认为风险是一种不可控的外来因素对体系的影响，如战争、自然灾害和国际经济变化等，因而是一种“外生变量”。而市场经济下风险是经济体系本身所固有的，是一种“内生变量”。
3．计划经济下任何风险一律由国家（资本）承担，转轨经济具有“资本对风险软约束”的特点，这是计划经济向市场经济的表现之一。规范的市场经济要求风险首先由出资者（股东）以资本承担，风险的承担必须受到资本规模的约束，而且这种约束应当是硬性的（即损失超过资本金就必须破产）。
二、经济转轨与风险形成
由排斥风险的计划经济转变为以风险为基本特征的市场经济，经济体系（包括金融体系）中风险的增加相当一部分是由于制度转换中的风险形成而引起。这种风险形成主要表现为以下几个方面。
1．价格放开与市场风险形成。经济转轨的一个重要步骤和内容就是固定价格的放开。
这些价格不仅有各种商品价格，还包括资金价格利率、货币价格汇率等。价格的放开意味着不断变化着的市场供求决定的波动性价格机制的形成。这是经济转轨过程中市场风险形成的重要内容之一。中国目前仍然处在利率风险和汇率风险形成的历史进程之中。
2．股票市场的发展与市场风险形成。以股票市场为代表的资本市场的产生和发展也是经济转轨的重要内容之一。股票市场的波动性远胜于商品和利率的波动性，因此股票市场的发展也是市场风险形成的重要内容之一。
3．企业改革与信用风险形成。经济转轨的重要任务就是要使得计划体制下政企不分，不能独立核算的企业变成独立于政府，以自身资本金来实现自负盈亏的真正的现代公司制企业，这就意味着企业要以自身资本独立承担风险，这使得企业破产成为可能，信用风险因此而开始形成。
4．道德风险与操作风险和信用风险的形成。包括银行等金融机构在内的国有企业在转轨的过程中一个非常突出的问题就是公司治理结构不健全，所有者和经理人的委托代理关系不清，进而经济体系中道德风险严重。这是造成中国企业（包括银行等金融机构）在经营管理过程中操作风险和信用风险突出的重要原因。
5．转轨中的开放与风险国际化。在转轨中开放和在开放中转轨是中国经济转轨的基本特点。市场的开放使得风险形成必然包含国际因素的影响。
三、新风险观念之一：风险与金融体系
在与金融体系的关系方面，风险观念的改进主要表现在以下四个方面：
1．风险是金融体系的基本特性，而非来自体系以外的某种因素。金融体系蕴含风险，金融体系不可能脱离风险而存在。金融工具、金融机构和金融交易规则是构成金融体系的三个基本要素，其中，每一个要素都与风险相关。
2．风险配置是金融体系的基本功能。正如金融体系的资金配置功能表现为将资金从盈余者配置到短缺者手中，从低效益部门配置到高效益部门那样，风险配置表现为投融资活动中的风险从风险承担过度或承担能力较差的投资者被配置到有风险承担能力并且愿意承担风险的投资者，从而增强整个金融系统，甚至经济系统的稳定性，减低系统性风险。该功能与资金配置功能共同服务于资源配置的总目标。
3．金融体系是整个经济体系风险的“集散中心”。金融体系是现代经济的核心，一个重要的表现就是它是整个经济体系风险的“集散中心”。不仅投融资活动本身的风险集中在这一系统中，一般企业的经营管理风险，一般商品市场的价格波动风险乃至政策和自然灾害风险也通过企业各种投融资活动甚至专门的衍生产品交易活动被集中到金融体系中来，并通过
这一体系在整个经济系统中转移和分散，得到合理配置。
4．在经济转轨时期，政府部门在金融体系这一基本功能的培育上应该发挥主导和引导的作用，这主要表现在以下三个方面：金融监管规则的制定、金融机构的设立及其内部风险控制体系的建立和市场中金融产品的开发和创新。
四、新风险观念之二：风险与金融产品
在金融产品方面，风险观念的改进主要表现在以下三个方面：
1．任何金融产品无非是风险和预期收益的组合。任何金融产品都具有风险，即便是西方教科书中作为市场基准的所谓的“无风险收益率（risk-free rate）”也仅仅是理论上的一种设定。任何产品同时也具有预期收益，用以对投资者承担风险时的补偿（这种收益通常被称为风险溢价risk premium）。完全可以说，任何金融产品都服从这种风险和收益的二元结构。这是金融产品的重要特征之一。
2．投资于金融产品本质上等于投资于风险，金融投资可以说是一种以风险换取收益的游戏。正是由于金融产品的这种二元结构，以获取收益为目的的金融投资本质上等于投资于风险。
3．风险与预期收益成正比例。风险与预期收益转换中的这种关系特征不仅是千百年来被普通的投资者切身的体会到，也已经被现代投资理论所证明。威廉·夏普的CAPM模型的基本结论就在于此。
五、新风险观念之三：风险与金融机构
在风险与金融机构的关系方面，风险观念的改进主要表现在以下三个方面：
1．金融机构的活动的本质在于与风险打交道。这明显是由上述风险对于金融产品、金融机构和金融体系的固有性和重要性决定的。金融机构可以选择规避这种或那种风险，但不可能什么风险都不承担，除非不从事任何业务。风险是对于金融机构而言唯一可以最终带来收益的东西（甚至可以称为资源）。
2．金融机构的企业本质和基本使命就在于承担风险、管理风险和获取风险收益。金融机构是企业，是以追求赢利为基本使命的经济单位，既不是政府部门，也不是慈善机构。其企业本质在于，承担风险，管理风险，并在其过程中换取风险收益，实现其获取盈利的基本使命。
3．风险是金融机构在经营和管理，甚至战略安排时首先要考虑的重要因素，而不是什么“其次或然后才考虑的”次要因素。鉴于风险在金融产品、金融机构乃至整个金融体系中的固有性和重要性，对于金融机构管理而言，风险不可能再象计划经济体制下那样成为一个“其次或然后才考虑的”问题，相反，无论是在日常管理活动中还是在做战略安排时，风险应该成
为一个首要的问题。目前在国际金融界，在战略层次上就对风险承担和风险管理做出明确的安排已经成为公认的原则。
《分数的意义和性质》课标解读 一、课标要求 《义务教育数学课程标准（2011年版）》在“学段目标”的“第二学段”中提出“体验从具体情境中抽象出数的过程，认识万以上的数；理解分数、小数、百分数的意义，了解负数的意义；掌握必要的运算技能；理解估算的意义；能用方程表示简单的数量关系，能解简单的方程”“初步形成数感和空间观念，感受符号和几何直观的作用”“尝试从日常生活中发现并提出简单的数学问题，并运用一些知识加以解决”“愿意了解社会生活中与数学相关的信息，主动参与数学学习活动”“在运用数学知识和方法解决问题的过程，认识数学的价值”。 《义务教育数学课程标准（2011年版）》在“课程内容”的“第二学段”中提出“了解公因数和最大公因数”“在1～100的自然数中，能找出10以内自然数的所有倍数，能找出10以内两个自然数的公倍数和最小公倍数”“在1～100的自然数中，能找出一个自然数的所有因数，能找出两个自然数的公因数和最大公因数”“结合具体情境，理解小数和分数的意义”“能比较小数的大小和分数的大小”。 二、课标解读 （一）经历具体到抽象的学习过程，揭示分数意义的本质 在分数概念教学中，要充分利用教材提供的学习材料，尽可能地联系学生的生活经验，运用各种直观因素，让学生借助充分的感性材料，发现和归结一类事物的一般和本质特征，从而辅助其建构抽象的数学概念。例如在分数的意义教学中，首先，可以用正方 形、长方形、三角形等图形表示，去除图形的形状、大小等因素，提炼出“把一个图形 平均分成4份，其中的1份用表示”；接着，的应用范围从一个图形拓展到把若干个物体看成的一个整体，去除整体的个数、部分的个数等因素，提炼出“把一个整体平均分 成4份，其中的1份用表示”；最后，提供丰富的生活素材，通过整体（单位“1”） 与部分（取得份数）不变，而等分的份数不同，分数大小相应在发生变化；或者通过整体不变，等分的份数以及取得份数不同，得到不同的分数等练习，以进一步揭示概括分数的意义。显然，学生经历从具体到抽象的过程，既培养了他们的概括能力，又在这一过程中感悟体会到分数的内涵。 （二）揭示沟通知识之间的内在联系，在理解的基础上掌握数学方法 本单元的特点之一就是概念较多，且比较抽象。比如公因数与最大公因数、公倍数与最小公倍数、分数与除法的关系、约分与通分、假分数化为带分数或整数、分数与小数的互化方法等。这些概念与方法看似头绪较多，但归结为基础知识，就是揭示相关知识与方法的联系，就比较容易在理解的基础上掌握概念与方法。例如不管是假分数的概念的理解、假分数化为带分数或整数，还是分数与小数的互化方法，它们实质都是分数的意义以及分数与除法关系的应用；同样，约分与通分，它们也都是分数基本性质的应用。因此，
一、 带余除法的定义及性质 1. 定义：一般地，如果a 是整数，b 是整数（b ≠0）,若有a ÷b =q ……r ，也就是a ＝b ×q ＋r , 0≤r ＜b ；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里： (1)当0r =时：我们称a 可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或完全商 (2)当0r ≠时：我们称a 不可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或不完全商 一个完美的带余除法讲解模型:如图 这是一堆书，共有a 本，这个a 就可以理解为被除数，现在要求按照b 本一捆打包，那么b 就是除数的角色，经过打包后共打包了c 捆，那么这个c 就是商，最后还剩余d 本，这个d 就是余数。 这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。 2. 余数的性质 ⑴ 被除数=除数?商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数； ⑵ 余数小于除数． 二、 余数定理： 1.余数的加法定理 a 与 b 的和除以 c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为 2 2.余数的加法定理 a 与 b 的差除以 c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之差。 知识框架 余数性质及同余定理
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝ 2. 当余数的差不够减时时，补上除数再减。 例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝4 3.余数的乘法定理 a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2. 乘方：如果a与b除以m的余数相同，那么n a与n b除以m的余数也相同． 一、同余定理 1、定义 整数a和b，除以一个大于1的自然数m所得余数相同，就称a和b对于模m同余或称a和b在模m下同余，即a≡b（modm） 2、同余的重要性质及举例。 〈1〉a≡a（modm）（a为任意自然）； 〈2〉若a≡b（modm），则b≡a（modm） 〈3〉若a≡b（modm），b≡c（modm）则a≡c（modm）； 〈4〉若a≡b（modm），则ac≡bc（modm） 〈5〉若a≡b（modm），c≡d（modm），则ac=bd（modm）； 〈6〉若a≡b（modm）则an≡bm（modm） 其中性质〈3〉常被称为"同余的可传递性"，性质〈4〉、〈5〉常被称为"同余的可乘性，"性质〈6〉常被称为"同余的可开方性" 注意：一般地同余没有"可除性"，但是：如果：ac=bc（modm）且（c，m）=1则a≡b（modm）3、整数分类： 〈1〉用2来将整数分类，分为两类： 1，3，5，7，9，……（奇数）； 0，2，4，6，8，……（偶数） 〈2〉用3来将整数分类，分为三类： 0，3，6，9，12，……（被3除余数是0） 1，4，7，10，13，……（被3除余数是1） 2，5，8，11，14，……（被3除余数是2）
圆的基本概念和性质教学设计 教学设计思想 圆是初中几何中重要的内容之一。本节通过第一课时建立圆的基本概念，认识圆的轴对称性与中心对称性。讲解时将观察与思考、操作与实践等活动贯穿于教学全过程，使学生积累一定的数学活动经验；第二课时在第一课时的基础上，掌握垂径定理及其逆定理；第三课时加深学生对弦、弧、圆心角之间关系的认识；第四课时的重点是圆周角，通过圆周角定理及其推理的推理论证，从而把圆周角、圆心角、弧和弦之间的关系展现出来，从而使学生全面了解和掌握圆的基本性质。教学时先让学生动手操作来发现结论，再通过推理的方式说明结论的正确性。 数学源于生活，又服务于生活，最终要解决生活中的问题。利用电子白板教学帮助学生理解和学习数学，探索与分析，讨论与归纳等数学活动是学习的主要方式。 教学目标 圆的基本概念和性质总目标： 1、理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念，理解弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系； 2、掌握垂径定理及推论的意义及应用，掌握圆心角与弧、弦关系定理意义及应用，掌握圆周角定理及推论的意义和应用； 3、探索圆周角与圆心角、弧、弦的关系，理解并会证明圆周角定理及其推论，理解圆内接四边形的对角互补。 第一课时教学目标 知识与技能： 1、经历圆的形成过程，理解圆的概念， 2、能在图形中准确识别圆、圆心、半径、直径、圆弧、半圆、等圆、等弧等； 3、认识圆的对称性，知道圆既是轴对称图形，又是中心对称图形； 过程与方法： 1、经历抽象和建立圆的概念、探究圆的对称性及相关性质的过程，熟记圆及有关概念； 2、通过折叠、旋转的动手实验，多观察、探索、发现圆中圆心、弧、弦之间的关系，体会研究几何图形的各种方法； 情感态度价值观： 经历探索圆及其有关结论的过程，发展学生的数学观察及思考能力以及问题的提出能力。 教学重难点 重点：（1）了解圆的概念的形成过程；（2）揭示与圆有关的本质属性。 难点：圆的概念的形成过程和圆的定义。 学情分析
一、 带余除法的定义及性质 1. 定义：一般地，如果a 是整数，b 是整数（b ≠0）,若有a ÷b =q ……r ，也就是a ＝b ×q ＋r , 0≤r ＜b ；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里： (1)当0r =时：我们称a 可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或完全商 (2)当0r ≠时：我们称a 不可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或不完全商 一个完美的带余除法讲解模型:如图 这是一堆书，共有a 本，这个a 就可以理解为被除数，现在要求按照b 本一捆打包，那么b 就是除数的角色，经过打包后共打包了c 捆，那么这个c 就是商，最后还剩余d 本，这个d 就是余数。 这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。 2. 余数的性质 ⑴ 被除数=除数?商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数； ⑵ 余数小于除数． 二、 余数定理： 1.余数的加法定理 a 与 b 的和除以 c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为 2 2.余数的加法定理 a 与 b 的差除以 c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之差。 知识框架 余数性质及同余定理
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝ 2. 当余数的差不够减时时，补上除数再减。 例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝4 3.余数的乘法定理 a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2. 乘方：如果a与b除以m的余数相同，那么n a与n b除以m的余数也相同． 一、同余定理 1、定义 整数a和b，除以一个大于1的自然数m所得余数相同，就称a和b对于模m同余或称a和b在模m下同余，即a≡b（modm） 2、同余的重要性质及举例。 〈1〉a≡a（modm）（a为任意自然）； 〈2〉若a≡b（modm），则b≡a（modm） 〈3〉若a≡b（modm），b≡c（modm）则a≡c（modm）； 〈4〉若a≡b（modm），则ac≡bc（modm） 〈5〉若a≡b（modm），c≡d（modm），则ac=bd（modm）； 〈6〉若a≡b（modm）则an≡bm（modm） 其中性质〈3〉常被称为"同余的可传递性"，性质〈4〉、〈5〉常被称为"同余的可乘性，"性质〈6〉常被称为"同余的可开方性" 注意：一般地同余没有"可除性"，但是：如果：ac=bc（modm）且（c，m）=1则a≡b（modm）3、整数分类： 〈1〉用2来将整数分类，分为两类： 1，3，5，7，9，……（奇数）； 0，2，4，6，8，……（偶数） 〈2〉用3来将整数分类，分为三类： 0，3，6，9，12，……（被3除余数是0） 1，4，7，10，13，……（被3除余数是1） 2，5，8，11，14，……（被3除余数是2）
小学奥数教程∶分数的意义和性质计算题 一、分数的意义和性质 1．的分子加上6，要使分数的大小不变，分母应加上________． 【答案】10 【解析】【解答】解：3+6=9，9÷3=3；5×3-5=10，分母应加上10。 故答案为：10 【分析】先计算现在的分子，然后计算分子扩大的倍数，根据分数的基本性质把分母也扩大相同的倍数后计算分母应加上的数即可。 2．一块长90cm、宽42cm的长方形铁皮，把它剪成边长是整厘米数的相同的正方形铁片，且没有剩余，那么正方形铁片的边长最大是________cm，可以剪成________块这样的正方形铁片。 【答案】 6；105 【解析】【解答】90和42的最大公因数是6，所以正方形铁片的边长最大是6cm， （90÷6）×（42÷6） =15×7 =105（块） 故答案为：6；105。 【分析】一块长90cm、宽42cm的长方形铁皮，把它剪成边长是整厘米数的相同的正方形铁片，且没有剩余，那么这个正方形铁片的边长是长方形长和宽的公因数，这个边长最大是它们的最大公因数；所以，求出90和24的最大公因数，就是这个正方形铁片的最大边长。然后根据这个最大边长，看长为90cm的边能剪出几个正方形，宽为42cm的边能剪出这样的几排，用长边剪出的个数乘以宽边上剪出的个数算出总个数。 3．一排电线杆，原来每两根之间的距离是30米，现在改为45米，如果开始的一根不移动，至少再隔________又会有一根电线杆可以不移动？ 【答案】 90米 【解析】【解答】 30=2×3×5，45=3×3×5，所以30和45的最小公倍数是2×3×3×5=90. 故答案为：90米. 【分析】根据题意可知，要求至少再隔多少米又会有一根电线杆可以不移动，就是求30和45的最小公倍数，据此解答. 4．填上“>”“<”或“=”。 ________ 1 ________ ________ 【答案】<；>；=
圆的基本概念和性质—知识讲解（提高） 【学习目标】 1．知识目标：理解圆的有关概念和圆的对称性； 2．能力目标：能应用圆半径、直径、弧、弦、弦心距的关系，?圆的对称性进行计算或证明； 3．情感目标：养成学生之间发现问题、探讨问题、解决问题的习惯. 【要点梳理】 要点一、圆的定义及性质 1.圆的定义 (1)动态：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 要点诠释： ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可； ②圆是一条封闭曲线. (2)静态：圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合. 要点诠释： ①定点为圆心，定长为半径； ②圆指的是圆周，而不是圆面； ③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面. 2.圆的性质 ①旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心； ②圆是轴对称图形：任何一条直径所在直线都是它的对称轴.或者说，经过圆心的任何一条直线都是圆的对称轴. 要点诠释： ①圆有无数条对称轴； ②因为直径是弦，弦又是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”，而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”. 3.两圆的性质 两个圆组成的图形是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线（经过两圆圆心的直线叫做两圆连心线）. 要点二、与圆有关的概念 1.弦 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦. 直径：经过圆心的弦叫做直径. 弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.
挑战奥数 【例1】 分数527的分子和分母同时加上一个相同的数，约分后是415 。这个加数是多少？ 分析：分子和分母加上一个相同的数， 差 不变，约分后的差为11，原来分子与分母的差是现在分子与分母差的2 倍，则是约去的数。用4与15分别乘上约去的数，还原成约分前的分子、分母，再看与原分子分母相差几，就是加上的那个相同的数。 原分子分母的差：27－5＝22 约去数：22÷(15－4)＝2 约分前的分子分母 4×2＝8 15×2＝30 加上数 8－5＝3 30－27＝3 答：这个加上的数是3。 变式练习1 分数2330的分子和分母同时减去一个数，新的分数约分后得34 ，减去的数是多少？ 30－23＝7 4－3＝1 7÷1＝7 3×7＝21 4×7＝28 23－21＝2 30－28＝2 答：减去的数是2。 变式练习2 给一个分数的分子乘2，分母除以5后得到一个新分数是135 ，原来的分数是多少？ 135＝85 8÷2＝4 5×5＝25 答：原来的分数是425 。 【例2】 分数5564的分子减去某一个数，分母同时加上这个数，所得的新分数化简后是413 ，这个数是多少？ 分析：分子减去一个数，分母加上这个数，原分数分子分母的和不变。约分前的分子与分母的和与原分数分子分母的和相等。约分前分子与分母的和是现在分子分母和的 7倍，则是约去数。用4与13分别乘上约去数，还原成约分前的分子、分母，再看与原分子分母相差几，就是加上的那个数。 原分子分母的和：55＋64＝119 现分子分母的和：4＋13＝17 约去数：119÷17＝7 约分前分子分母 4×7＝28 13×7＝91 加或减去的数 55－28＝27 91－64＝27 答：这个数是27。 变式练习3 一个分数的分子与分母的和是92，把这个分数的分子与分母都减去16，得到的分数化成最简分数
同余问题（一） 在平时解题中，我们经常会遇到把着眼点放在余数上的问题。如：现在时刻是7时30分，再过52小时是几时几分？我们知道一天是24小时， ，也就是说52小时里包含两个整天再加上4小时，这样就在7 时30分的基础上加上4小时，就是11时30分。很明显这个问题的着眼点是放在余数上了。 1. 同余的表达式和特殊符号 37和44同除以7，余数都是2，把除数7称作“模7”，37、44对于模7同余。 记作：（mod7）“”读作同余。 一般地，两个整数a和b，除以大于1的自然数m所得的余数相同，就称a、b对于模m同余，记作： 2. 同余的性质 （1）（每个整数都与自身同余，称为同余的反身性。） （2）若，那么（这称作同余的对称性） （3）若，，则（这称为同余的传递性） （4）若，，则（）（这称为同余的可加性、可减性） （称为同余的可乘性） （5）若，则，n为正整数，同余还有一个非常有趣的现象： 如果
那么（的差一定能被k整除） 这是为什么呢？ k也就是的公约数，所以有 下面我们应用同余的这些性质解题。 【例题分析】 例1. 用412、133和257除以一个相同的自然数，所得的余数相同，这个自然数最大是几？ 分析与解答： 假设这个自然数是a，因为412、133和257除以a所得的余数相同，所以，，说明a是以上三个数中任意两数差的约数，要求最大是几，就是求这三个差的最大公约数。 所以a最大是31。 例2. 除以19，余数是几？ 分析与解答：
如果把三个数相乘的积求出来再除以19，就太麻烦了，利用同余思想解决就容易了。 所以 此题应用了同余的可乘性，同余的传递性。 例3. 有一个1997位数，它的每个数位都是2，这个数除以13，商的第100位是几？最后余数是几？ 分析与解答： 这个数除以13，商是有规律的。 商是170940六个数循环，那么，即， 我们从左向右数“170940”的第4个数就是我们找的那个数“9”，所以商的第100位是9。 余数是几呢？
第三章 同余 §1 同余的概念及其基本性质 定义 给定一个正整数m ，若用m 去除两个整数a 和b 所得的余数相同，则称,a b 对模m 同余，记作()mod .a b m ≡若余数不同，则称,a b 对模m 不同余，记作 ()\mod a b m ≡. 甲 ()mod . a a m ≡ （甲：jia 3声调； 乙：yi 3声调； 丙：bing 3声调； 丁：ding 1声调； 戊：wu 声调； 己：ji 3声调； 庚：geng 1声调； 辛: xin 1声调 天； 壬: ren 2声调； 癸: gui 3声调.） 乙 若()mod ,a b m ≡则()mod .b a m ≡ 丙 若()()mod ,mod ,a b m b c m ≡≡则()mod .a c m ≡ 定理1 ()mod |.a b m m a b ≡?- 证 设()mod a b m ≡，则12,,0.a mq r b mq r r m =+=+≤<于是， ()12,|.a b m q q m a b -=-- 反之，设|.m a b -由带余除法，111222,0,,0a mq r r m b mq r r m =+≤<=+≤<，于是， ()()1221. r r m q q a b -=-+- 故，12|m r r -，又因12r r m -<，故()12,mod .r r a b m =≡ 丁 若()()1122mod ,mod ,a b m a b m ≡≡则，()1212mod .a a b b m ±≡± 证 只证“+”的情形.因()()1122mod ,mod a b m a b m ≡≡，故1122,m a b m a b --，于是()()()()11221212|m a b a b a a b b -+-=+-+，所以()1212mod .a a b b m +≡+ 推论 若()mod ,a b c m +≡则()mod .a c b m ≡-
分数的意义和性质 (奥数) 一、分数的意义和性质 1．五(1)班的同学借了《儿童文学》，的同学借了《聪明屋》．的同学借了《少年 时代》，的同学借了《漫画世界》，还有的人看《笑林》．借阅________刊物的同学一样多？ 【答案】《儿童文学》《聪明屋》和《少年时代》 【解析】【解答】解：，，所以借阅《儿童文学》《聪明屋》和《少年时代》刊物的同学一样多。 故答案为：《儿童文学》《聪明屋》和《少年时代》 【分析】根据分数的基本性质把第二个和第三个两个分数约分成最简分数，然后判断哪些图书借阅的人数一样多。 2．一块长90cm、宽42cm的长方形铁皮，把它剪成边长是整厘米数的相同的正方形铁片，且没有剩余，那么正方形铁片的边长最大是________cm，可以剪成________块这样的正方形铁片。 【答案】 6；105 【解析】【解答】90和42的最大公因数是6，所以正方形铁片的边长最大是6cm， （90÷6）×（42÷6） =15×7 =105（块） 故答案为：6；105。 【分析】一块长90cm、宽42cm的长方形铁皮，把它剪成边长是整厘米数的相同的正方形铁片，且没有剩余，那么这个正方形铁片的边长是长方形长和宽的公因数，这个边长最大是它们的最大公因数；所以，求出90和24的最大公因数，就是这个正方形铁片的最大边长。然后根据这个最大边长，看长为90cm的边能剪出几个正方形，宽为42cm的边能剪出这样的几排，用长边剪出的个数乘以宽边上剪出的个数算出总个数。
3．两个连续偶数的最小公倍数是480，求这两个数．________ 【答案】 30，32 【解析】【解答】解：480=2×2×2×2×2×3×5，2×3×5=30，2×2×2×2×2=32，这两个数是30和32。 故答案为：30，32。 【分析】把480分解质因数，然后根据质因数的特点确定两个数公有的质因数和独有的质因数，试算后确定这两个数即可。 4．的分子减少3，要使分数的大小不变，分母应该（）。 A. 减少3 B. 减少6 C. 减少4 D. 增加4【答案】 C 【解析】【解答】解：6-3=3，6÷3=2；8÷2-4=4，分母应该减少4。 故答案为：C。 【分析】用原来的分子减去3求出现在的分子，然后计算分子缩小的倍数，把分母也缩小相同的倍数，然后确定分母应该减少的数即可。 5．把的分子减去20后，要使原分数大小不变，分母应该（） A. 减去20 B. 增加20 C. 减去36 【答案】 C 【解析】【解答】解：把的分子减去20后，要使原分数大小不变，分母应该54-54÷3=36。 故答案为：C。 【分析】把的分子减去20后，分子变成了30-20=10，相当于把分子缩小3倍，根据分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变，所以要使原分数大小不变，分母应该缩小3倍。 6．下列分数中，最简分数是( )。 A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】【解答】解：A、B、D中的分数都不是最简分数，C中的分数是最简分数。 故答案为：C。 【分析】最简分数是分子和分母是互质数的分数，或者说分子和分母只有公因数1的分数。
1.两数相除商37余73，求被除数的最小值。 解析：2881 2.两数相除，商4余8，被除数、除数、商和余数的和为415，则被除数是多少？ 解析：被除数是424，除数是79. 3.小明在做题的时候由于马虎，错把被除数360看做390，商比原来大了3，求原来 的除数。 解析：除数是10. 4.小明在做题的时候由于马虎，错把被除数360看做390，商比原来大了3，余数也 比原来大了3.求原来的除数。 解析：除数是9. 5.求算式3218+26-757除以9的余数。 解析：3. 6.求4 13除以5的余数。 解析：1. 7. 2461×135×6047÷11的余数是多少？ 解析：5. 8. ÷7的余数是多少？
解析：0. 9.求123456789101112……199200除以9的余数是________; 解析：3. 10. 数11…1(2007个1),被13除余多少? 解析：7 11.已知一个两位数除1477,余数是49.那么,满足那样条件的所有两位数是 . 解析:1477-49=1428是这两位数的倍数,又1428=2×2×3×7×17=51×28=68× 21=84×17,因此所求的两位数51或68或84. 12.有苹果,桔子各一筐,苹果有240个,桔子有313个,把这两筐水果分给一些小朋友,已知苹果等分到最后余2个不够分,桔子分到最后还余7个桔子不够再分,求最多有多少个小朋友参加分水果？ 解析：此题是一道求除数的问题.原题就是说,已知一个数除240余2,除313余7,求这个数最大为多少,我们可以根据带余除法的性质把它转化成整除的情况,从而使问题简化,因为240被这个数除余2,意味着240-2=238恰被这个数整除,而313被这个数除余7,意味着这313—7=306恰为这个数的倍数,我们只需求238和306的最大公约数便可求出小朋友最多有多少个了.240—2=238(个) ,313—7=306(个) ,(238,306)=34(人) .
圆的有关概念和性质 一 本讲学习目标 1、理解圆的概念及性质，能利用圆的概念和性质解决有关问题。 2、理解圆周角和圆心角的关系；能运用几何知识解决与圆周角有关的问题。 3、了解垂径定理的条件和结论，能用垂径定理解决有关问题。 二 重点难点考点分析 1、运用性质解决有关问题 2、圆周角的转换和计算问题 3、垂径定理在生活中的运用及其计算 三 知识框架 圆的定义 确定一个圆 不在同一直线上的三点点与圆的位置关系 圆的性质 圆周角定理及其推论 垂径定理及其推论距关系定理及其推论圆心角、弦、弧、弦心对称性 四 概念解析 1、 圆的定义，有两种方式： 错误！未找到引用源。在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，一个端点A 随之旋转说形成的图形叫做圆。固定端点O 叫做圆心，以O 为圆心的圆记作O ，线段OA 叫做半径； 错误！未找到引用源。圆是到定点的距离等于定长的点的集合。注意：圆心确定圆的位置，半径决定圆的大小。 2、 与圆有关的概念： 错误！未找到引用源。弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦；如图1所示 线段AB ，BC ，AC 都是弦； 错误！未找到引用源。直径：经过圆心的弦叫做直径；如AC 是O 的直径，直径是圆中最长的弦； 错误！未找到引用源。弧：圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简 称弧，如曲线BC,BAC 都是O 中的弧，分别记作BC 和BAC ； 错误！未找到引用源。半圆：圆中任意一条直径的两个端点分圆成
两条弧，每条弧都叫做半圆，如AC 是半圆； 错误！未找到引用源。劣弧和优弧：像BC 这样小于半圆周的圆弧叫做劣弧，像BAC 这样大于 半圆周的圆弧叫做优弧； 错误！未找到引用源。同心圆：圆心相同，半径不等的圆叫做同心圆； 错误！未找到引用源。弓形：由弦及其说对的弧所组成的图形叫做弓形； 错误！未找到引用源。等圆和等弧：能够重合的两个圆叫做等圆，在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧； 错误！未找到引用源。圆心角：定点在圆心的角叫做圆心角如图1中的∠AOB,∠BOC 是圆心角，圆心角的度数：圆心角的读书等于它所对弧的度数；∠ 错误！未找到引用源。 圆周角：定点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角；如图1中的∠BAC,∠ACB 都是圆周角。 3、 圆的有关性质 ①圆的对称性 圆是轴对称图形，经过圆心的直线都是它的对称轴，有无数条。圆是中心对称图形，圆心是对称中心，优势旋转对称图形，即旋转任意角度和自身重合。 错误！未找到引用源。垂径定理 A. 垂直于弦的直径平分这条弦，且评分弦所对的两条弧； B. 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且评分弦所对的两条弧。如图2 所示。 注意 (1)直径CD ，（2）CD ⊥AB,(3)AM=MB,(4)BD AC =BC ,(5)AD =BD .若 上述5个条件中有2个成立，则另外3个业成立。因此，垂径定理也称五二三定理，即推二知三。（以（1），（3）作条件时，应限制AB 不能为直径）。 错误！未找到引用源。弧，弦，圆心角之间的关系 A. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等； B. 同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，他们所对应的其余各组量也相等； 错误！未找到引用源。圆周角定理及推论 A.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半； B.圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径。 五 例题讲解 例1. 如图所示，C 是⊙O 上一点，O 是圆心，若80AOB =∠，求B A ∠+∠ 的值. 例1题图 A B C O
1. 同余方程15x ≡12(mod99)关于模99的解是__ x ≡14,47,80(mod99)_。 2. 同余方程12x+7≡0 (mod 29)的解是__ x ≡26 (mod 29)_____. 3. 同余方程41x≡3(mod 61)的解是__ _ . 4. 同余方程9x+12≡0(mod 37)的解是___ x ≡11(mod 37)______ 5. 同余方程13x ≡5(mod 31)的解是_ x ≡ 29(mod 31)__ 6. 同余方程24x ≡6(mod34)的解是__ x ≡13,30(mod34)__ 7. 同余方程26x+1≡33 (mod 74)的解是__ x ≡24,61 (mod 74)_ 8. 同余方程ax +b ≡0(mod m )有解的充分必要条件是__()b m a ,_ 9. 21x ≡9 (mod 43)的解是_ x ≡25 (mod 43)__ 10. 设同余式()m b ax mod ≡有解()m x x mod 0≡，则其一切解可表示为_ _ . 11. 解同余式()15mod 129≡x 12. 同余式()111mod 1227≡x 关于模11有几个解？（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 13. 同余式3x ≡2(mod20)解的个数是（ B ） A.0 B.1 C.3 D.2 14. 同余式72x ≡27(mod81)的解的个数是_9_个。 15. 同余方程15x ≡12(mod27) 16. 同余方程6x ≡4(mod8)有 个解。 17. 同余式28x ≡21(mod35)解的个数是( B ) A.1 B.7 C.3 D.0 18. 解同余方程：63x ≡27(mod72) 19. 同余方程6x≡7(mod 23)的解是__ _ . 20. 以下同余方程或同余方程组中,无解的是（ B ） A.6x ≡10(mod 22) B.6x ≡10(mod 18) C.???≡≡20) 11(mod x 8) 3(mod x D. ???≡≡9) 7(mod x 12) 1(mod x 21. 同余方程12x ≡8(mod 44)的解是x ≡8,19,30,41(mod 44)____ 22. 同余方程20x ≡14(mod 72)的解是 ___ 23. 下列同余方程无解的是( A ) A.2x ≡3(mod6) B.78x ≡30(mod198) C.8x ≡9(mod11) D.111x ≡75(mod321) 24. 解同余方程 17x+6≡0(mod25) 25. 同余方程3x ≡5(mod16) 的解是___ x ≡7(mod16)____ 26. 同余方程3x ≡5(mod14)的解是_ x ≡11(mod14)的解是__。 27. 同余方程3x ≡5(mod13)的解是__ x ≡6(mod13)_________。 28. 下列同余方程有唯一解的是( C )
第四章 分数的意义和性质 一、分数的意义 1、分数的产生：在测量、分物或计算不能正好得到整数结果时，用分数表示 2、单位“1”的含义：一个物体、一些物体都可以看作一个整体，这个整体可用自然数1来表示，也叫做整体“1” 3、分数的意义：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。形式用m n （m 、n 为自然数，且m ≠0）表示 4、分数单位的意义：把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数 5、分数单位及其个数：一个分数的分母是几，它的分数单位就是几分之一；分子是几，它就有几个这样的分数单位 6、两个整数相除，可以用分数表示商，a ÷b= b a ( b ≠0).反过来说，分数也可以看作两个数相除，分子→被除数，分母→除数，分数线→除号，分数值→商 7、求一个数是另一个数的几分之几：一个数÷另一个数= 另一个数 一个数，即比较量÷标准量=标准量比较量，得到的商表示的是两个数的关系，没有单位名称 二、真分数和假分数 1、真分数：分子比分母小的分数，小于1 2、假分数：分子比分母大或相等的分数，大于或等于1 3、带分数：由整数（不包括0）和真分数合成的分数 4、假分数化成整数或带分数的方法：分子除以分母，分子是分母倍数时，能化成整数；不是倍数时，能化成带分数，商是带分数的整数部分，余数是分数部分的分子，分母不变 三、分解质因数 1、定义 把一个合数用几个质数相乘的形式表示，每个质数都是这个合数的质因数 2、方法 枝状图式分解法、短除法 3、书写方法 要分解的数写在等号左边，质因数用连乘的形式写在等号右边 四、分数的基本性质 1、性质：分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（0除外），分数的大小不变 2、性质的应用：可以把不同分母的分数化成同分母的分数；可以把一个分数化为指定分母的分数 五、约分 1、几个数公有的因数叫做这几个数的公因数。其中最大的一个，叫最大公因数 2、公因数只有1的两个数叫互质数 3、求两个数的最大公因数 短除法：把两个数共有的质因数从小到大依次作为除数，连续去除这两个数，直到商是互质数为止，把所有除数相乘，得最大公因数
第五讲同余的概念和性质 “师”之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。其中“师傅”更早则意指春秋时国君的老师。《说文解字》中有注曰：“师教人以道者之称也”。“师”之含义，现在泛指从事教育工作或是传授知识技术也或是某方面有特长值得学习者。“老师”的原意并非由“老”而形容“师”。“老”在旧语义中也是一种尊称，隐喻年长且学识渊博者。“老”“师”连用最初见于《史记》，有“荀卿最为老师”之说法。慢慢“老师”之说也不再有年龄的限制，老少皆可适用。只是司马迁笔下的“老师”当然不是今日意义上的“教师”，其只是“老”和“师”的复合构词，所表达的含义多指对知识渊博者的一种尊称，虽能从其身上学以“道”，但其不一定是知识的传播者。今天看来，“教师”的必要条件不光是拥有知识，更重于传播知识。你会解答下面的问题吗？ 我国古代的读书人，从上学之日起，就日诵不辍，一般在几年内就能识记几千个汉字，熟记几百篇文章，写出的诗文也是字斟句酌，琅琅上口，成为满腹经纶的文人。为什么在现代化教学的今天，我们念了十几年书的高中毕业生甚至大学生，竟提起作文就头疼，写不出像样的文章呢?吕叔湘先生早在1978年就尖锐地提出:“中小学语文教学效果差，中学语文毕业生语文水平低，……十几年上课总时数是9160课时，语文是2749课
时，恰好是30%，十年的时间，二千七百多课时，用来学本国语文，却是大多数不过关，岂非咄咄怪事!”寻根究底，其主要原因就是腹中无物。特别是写议论文，初中水平以上的学生都知道议论文的“三要素”是论点、论据、论证，也通晓议论文的基本结构:提出问题――分析问题――解决问题，但真正动起笔来就犯难了。知道“是这样”，就是讲不出“为什么”。根本原因还是无“米”下“锅”。于是便翻开作文集锦之类的书大段抄起来，抄人家的名言警句，抄人家的事例，不参考作文书就很难写出像样的文章。所以，词汇贫乏、内容空洞、千篇一律便成了中学生作文的通病。要解决这个问题，不能单在布局谋篇等写作技方面下功夫，必须认识到“死记硬背”的重要性，让学生积累足够的“米”。问题1：今天是星期日，再过15天就是“六·一”儿童节了，问“六·一”儿童节是星期几？ 与当今“教师”一称最接近的“老师”概念，最早也要追溯至宋元时期。金代元好问《示侄孙伯安》诗云：“伯安入小学，颖悟非凡貌，属句有夙性，说字惊老师。”于是看，宋元时期小学教师被称为“老师”有案可稽。清代称主考官也为“老师”，而一般学堂里的先生则称为“教师”或“教习”。可见，“教师”一说是比较晚的事了。如今体会，“教师”的含义比之“老师”一说，具有资历和学识程度上较低一些的差别。辛亥革命后，教师与其他官员一样依法令任命，故又称“教师”为“教
【数学】分数的意义和性质单元测试卷及答案(1) 一、分数的意义和性质 1．下面说法错误的是（） A. 两个不同质数的公因数只有1 B. 假分数都比1大 C. 求无盖长方体纸箱所需材料的多少就是求长方体的表面积 D. 2是偶数，也是质数；9是奇数，也是合数。 【答案】 B 【解析】【解答】解：假分数大于等于1。 故答案为：B。 【分析】假分数是指分子大于或等于分母的数，当分子等于分母时，这个数就是1。 2．涂色部分正好占整个图形的的是( )。 A. B. C. 【答案】 B 【解析】【解答】A，图中不是平均分，所以不能用分数表示涂色部分； B，把一个圆平均分成4份，涂色部分占1份，也就是涂色部分占整个图形的； C，图中不是平均分，所以不能用分数表示涂色部分. 故答案为：B. 【分析】根据分数的意义：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数叫做分数，不是平均分，就不能用分数表示，据此解答. 3．下面四幅图，图中的阴影部分不能用表示的是（） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】【解答】解：C项阴影部分用分数表示是，A、B、D项阴影部分用分数表示是
。 故答案为：C。 【分析】指的是把一个总量平均分成5份，表示其中的2份的量。 4．的分子加上8，如果要使这个分数的大小不变，分母应该（）。 A. 加上8 B. 加上34 C. 乘8 D. 增加3信【答案】 B 【解析】【解答】的分子加上8，如果要使这个分数的大小不变，分母应该加上34. 故答案为：B. 【分析】根据题意可知，的分子加上8，由4变成了12，扩大了3倍，要使分数的大小不变，则分母也要扩大3倍，17扩大3倍是51，用51减去原来的分母17即可解答. 5．把和化成分母是24而大小不变的分数，正确的是（）。 A. 和 B. 和 C. 和 【答案】 B 【解析】【解答】解：把化成分母是24而大小不变的分数是；把化成分母是24而大 小不变的分数是。 故答案为：B。 【分析】分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以一个相同的数（0除外），分数的大小不变。 6．在 =S中，不能为0的是（）。 A. N B. M C. S 【答案】 B 【解析】【解答】M不可以为0。 故答案为：B。 【分析】分数中分母不可以为0。
小学奥数五年级同余 问题
同余问题 【模块一：带余除法的定义和性质】 1、一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数。 2、(2003年全国小学数学奥林匹克试题)有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余数之和为2113，则被除数是多少？ 3、(2000年“祖冲之杯”小学数学邀请赛试题)三个不同的自然数的和为2001，它们分别除以19,23,31所得的商相同，所得的余数也相同，这三个数是_______，_______，_______。 4、(1997年我爱数学少年数学夏令营试题)有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人．如果把书全部分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够．如果把书全分给第二组，那么每人3本，有剩余；每人4本，书不够．问：第二组有多少人? 【模块二：三大余数定理的应用】 5、(2003年南京市少年数学智力冬令营) 20032与2 2003的和除以7的余数____． 6、(2004年南京市少年数学智力冬令营)在1995，1998，2000，2001，2003中，若其中几个数的和被9除余7，则将这几个数归为一组．这样的数组共有___组． 7、(2002年全国小学数学奥林匹克试题)用自然数n 去除63，91，129得到的三个余数之和为25，那么n=________ 8、(华罗庚金杯赛模拟试题)求478296351??除以17的余数． 9、(2008年奥数网杯)已知 20082008200820082008a =L 144424443个，问：a 除以13所得的余数是多 少？ 【模块三：余数综合应用】 10、著名的裴波那契数列是这样的：1、1、2、3、5、8、13、21……这串数列当中第2008个数除以3所得的余数为多少？
2020-2021分数的意义和性质 (奥数) 一、分数的意义和性质 1．一个最简分数是真分数，它的分子和分母的积是15，这个最简分数是________或________。 【答案】； 【解析】【解答】解：15=3×5=1×15，所以最简分数是或。 故答案为：；。 【分析】分子和分母的积是15，15=3×5=1×15，则分子和分母的组合有4组，即，，，。真分数是分子小于分母的分数，最简分数是分子与分母互质的分数，1和15互质，3和5互质，所以结果只能为：，。 2．一块长90cm、宽42cm的长方形铁皮，把它剪成边长是整厘米数的相同的正方形铁片，且没有剩余，那么正方形铁片的边长最大是________cm，可以剪成________块这样的正方形铁片。 【答案】 6；105 【解析】【解答】90和42的最大公因数是6，所以正方形铁片的边长最大是6cm， （90÷6）×（42÷6） =15×7 =105（块） 故答案为：6；105。 【分析】一块长90cm、宽42cm的长方形铁皮，把它剪成边长是整厘米数的相同的正方形铁片，且没有剩余，那么这个正方形铁片的边长是长方形长和宽的公因数，这个边长最大是它们的最大公因数；所以，求出90和24的最大公因数，就是这个正方形铁片的最大边长。然后根据这个最大边长，看长为90cm的边能剪出几个正方形，宽为42cm的边能剪出这样的几排，用长边剪出的个数乘以宽边上剪出的个数算出总个数。 3．1路和2路公共汽车早上7时同时从起始站发车，1路车每隔6分钟发一辆车，2路车每隔7分钟发一辆车。这两路车第二次同时发车的时间是________。 【答案】 7时42分或7：42 【解析】【解答】6和7的最小公倍数是：6×7=42， 这两路车第二次同时发车的时间是7时+42分=7时42分. 故答案为：7时42分或7：42 。