2014年全国新课标数学考纲研读及命题分析
（函数部分）
九台一中高三数学组李振龙
一.2012~2014年全国高考数学课标考纲的分析
纵观2012~2014年的新课标高考数学考纲，整体感觉是：2014年全国高考新课标数学《考试大纲》与2013年比，略有改变，与2012年基本相同。三年全国新课标数学学科《考试大纲》在考试形式，试卷结构，知识要求、能力要求、时间、分值（含选修比例）等几个方面都没有发生变化。主要可概括为四个坚持：一是坚持了对知识要求的三个层次不变（1.知道（了解，模仿）2.理解（独立操作）3.掌握（运用，迁移））;二是坚持了对能力要求的五个能力和两个意识不变（1.空间想象能力2.抽象概括能力3.推理论证能力4.运算求解能力5.数据处理能力6.应用意识7.创新意识）；三是坚持对个性品质要求的数学素养不变（数学视野，更快思维，科学态度）；四是坚持了对试卷结构保持不变（1.试题类型2.难度控制）。
二.2011~2013年全国课标卷的分析
试卷结构保持稳定；考查内容相对稳定，仍然遵循主干知识重点考查的原则；对能力的考查力度逐年提升。现把2011~2013年全国课标卷所考查的知识点的情况以及相邻两年的对比分析如下。
（一） 2011~2013年全国课标卷所考查的知识点的情况
高考数学试卷考点分析
题型题号2013 2012 2011
选
择
1 集合集合复数的运算
2 复数的运算排列组合函数基本性质
3 三角函数恒等变换复数的运算命题框图
4 框图圆锥曲线（椭圆）概率
5 平面向量（夹角）数列三角函数角的终边
6 三角函数图像平移框图三视图
7 排列组合三视图
圆锥曲线（双曲线）离
心率
8 线性规划圆锥曲线（双曲线）二项式定理
9 三视图三角函数单调性定积分
10 解析几何（抛物线）函数的图象平面向量命题
11 函数命题立体几何
三角函数函数的基
本性质
12 立体几何（体积）函数函数
填
空
13 不等式的解法平面向量线性规划
14 圆锥曲线（双曲线）线性规划圆锥曲线（椭圆）
15
概率统计（正态分
布）概率统计（正态分
布）
立体几何
16 三角函数等差数列数列前n项和三角函数（解三角形) 解
答
17 数列通项公式求角数列通项公式
数列前n项和解三角形数列前n项和
18 统计的数字特征函数解析式线线垂直
概率概率数字特征二面角的大小
19 面面垂直线线垂直概率
二面角的大小二面角的大小概率数字特征
20 椭圆圆的半径抛物线圆的方程轨迹方程
圆的方程点到直线的距离点到直线的距离
21
函数解析式单调区
间函数解析式单调
区间
参数求值
不等式恒成立问题
不等式恒成立问题
最值
恒成立取值范围22选考圆的切线证明线线相等四点共圆切割线定理中位线三角形相似圆的半径
23选考
直角坐标系与极坐
标系间方程的转化
极坐标化直角坐标轨迹方程公共弦、参数方程参数方程参数方程
24选考
解含绝对值的不等
式解含绝对值的不等
式
解含绝对值的不等式
恒成立、分段函数恒成立已知解集求参数
（二）2011年与2012年全国高考课标卷的对比：
1.题型题量稳定，难度偏大
2012年新课标全国高考数学试卷与2011年全国高考数学试卷结构相同。选择题比去年略难：填空题比去年多一个难题，特别是文科12题（理科16题）相对难度较大，超出了当前考纲对数列部分的要求，文科16题考查的只是比较灵活，也超出了文科学生的实际水平，很多考生在此题上浪费了时间、影响了情绪；解答题整体难于去年一个档次。
2.重点热点知识，重点考查
2012年新课标全国高考数学试卷既考查全面又突出重点，考查内容涵盖了函数、数列、不等式、立体几何、解析几何、概率统计等高中数学模块，对于支撑学科知识体系的主干知识点，如函数的性质、导数的应用、空间几何体、空间直线与平面位置关系、圆锥曲线、概率、统计的考查保持了较高的比例，对于其他非主干知识点也注意适度考查，对新增内容的考查与去年比重相当，重点考查算法、三视图、概率与统计等知识点。
3.突出应用创新，区分度大
2012年新课标全国高考数学试卷对数据处理意识要求比去年高，第15题（考查正态分布、概率计算）相比去年的第4题不论从知识还是能力上都高一个档次，第18题虽然与去年的第19题在形式上类似，但从学生答卷反馈来看，由于对阅读理解与转化要求比去年的第19题要高，所以还是要难一些。对于创新，首先是命题者的选材新，
解答题个个背景新颖，如理科18题，20题，23题等，其次是立意新，如理科12题，理科16题（文科12题）文科16题，、文理科的21题，理科选修24题都为学生提供了展示创新思维的平台，这也是多数考生感觉今年数学试卷难的关键所在，也是试卷区分度高的保障。
4.试卷结构合理，背景公平
本套试题既考查了高中数学的基本概念的理解掌握，基本问题的分析求解，又有常见的基本规律，基本结论的使用，也有各部分知识，各种数学方法的综合运用，最显著的特点是，紧扣教材，注重基础，突出考查了逻辑推理能力和思维的灵活性，严谨性以及对理性思维的考查，所运用的数学知识，解题方法，解题思路与解题技巧上基本没有超出高考说明的范围，注意通解通法，淡化特殊技巧，试题表达语言和表达方式符合学生的实际，通俗易懂，有助于考生的阅读理解，试题背景材料的取向贴近教材和考生的生活实际。
5.注重数学思想，强化能力
整卷注重考查数学能力和思想方法，主要考查数形结合、化归与转化、分类与整合、函数与方程，空间想象能力、运算能力、思维能力、实践能力、如理科第4、8、10、11、12、14、20、22、23考查了数形结合思想，理科第4、5、8、11、12、13、17、20、21、23考查了函数与方程的思想；转化与化归思想几乎贯穿于每一道题目中，尤其是理科第11、12、15、16、17、21题等考查了数与形的转化，边与角的转化等，理科第16、21、24题考查了分类与整合的数学思想。
（三）2012年与2013年全国高考课标卷的对比：
1.连续两年的课标卷试题与早先的课标卷试题有很大的区别
近两年高考题中大纲卷试题的影子很多，如2012年的11题、12题、16题、所有的解答题（尤其是第17题），2013年的10题、12题、14题、和解答题；这为我们高三备考提供了一定的方向；
2.课标卷试题文理科试题差距逐渐增大
2013年高考文理科完全相同的题只有文科第7题（理科第5题）、第11题（理科第8题）、文科第12题（理科第11题）、文科第13题（理科13题）、文科16题（理科15题）、文科21题（理科20题）、三选一试题，文科19题和理科18题为姊妹题，这为高三复习文科教师提出了更高的要求；
3.连续两年理科试卷中数列试题没有作为解答题出现，但作为选择加大难度
（2013年第12题）和填空（2012年第16题）分别成了压轴题，对数列的复习应该适当的加大难度；
4.2013年试题在考察学生思维能力的基础上对学生的运算能力和化简变形能力的考察更为突出
（如填空题和解答题），考察学生一般方法的基础上更加体现了学生对考试答题技巧的掌握和考场心理状态的考察，如（11题和12题）；
5.教材新增内容在连续两年的高考中连续出现.
如程序框图、三视图问题；立体几何中球的接切问题（2012年理科第11题，2013年理科第6题），数列中的递推关系求通项这两部分
内容的考察力度在加大，函数的图像、性质及恒成立问题是高考对函数问题考察的主流，尤其是恒成立问题在2013年高考中得到了充分的体现；
（四）试题分析（以函数大题为例）
1.(2011全国新课标理21)（本小题满分12分）
已知函数ln ()1a x b
f x x x
=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=。
（Ⅰ）求a 、b 的值；
（Ⅱ）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x k
f x x x
>
+-，求k 的取值范围。 【解析】（Ⅰ）22
1
(
ln )
'()(1)x x b x f x x x α+-=
-+
由于直线230x y +-=的斜率为12-，且过点(1,1)，故(1
)1,1'(1),2
f f =??
?=-??即
1,
1,22
b a b =???-=-?? 解得1a =，1b =。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知ln 1
f ()1x x x x
=++，所以
22ln 1(1)(1)
()()(2ln )11x k k x f x x x x x x
---+=+--。
考
虑函数
(
)
2
h x x
=+2(1)(
1)k x x
-
-(0x >
，
则
22
(1)(1
)
2
'()
k x x h x x -
++=。
(i)设0k ≤，由22
2
(1)(1)'()k x x h x x +--=知，当1x ≠时，'()0h x <，h(x)递
减。而(1)0h =故当(0,1)x ∈时， ()0h x >，可得
21
()01h x x >-； 当x ∈（1，+∞）时，h （x ）<0，可得2
11
x - h （x ）>0 从而当x>0,且x ≠1时，f （x ）-（1ln -x x +x k ）>0，即f （x ）>1ln -x x +x
k
.
（ii ）设0
1
11k >-.
当x ∈（1，k -11）时，
（k-1）（x 2 +1）+2x>0,故'h (x ）>0,而h （1）=0，<0,
故当x ∈（1，
k -11）时，h （x ）>0，可得2
11
x
-h （x ）与题设矛盾。
（iii ）设k ≥1.此时212x x +≥，2(1)(1)20k x x -++>?'h （x ）>0,而h （1）=0，故当x ∈（1，+∞）时，h （x ）>0，可得2
11
x
- h （x ）<0,与题设矛盾。
综合得，k 的取值范围为（-∞，0]
点评;求参数的范围一般用离参法，然后用导数求出最值进行求解。若求导后不易得到极值点，可二次求导，还不行时，就要使用参数讨论法了。即以参数为分类标准，看是否符合题意。求的答案。此题用的便是后者。
2.(2012全国新课标，理21)（本小题满分12分）
已知函数()f x 满足满足121()(1)(0)2
x f x f e f x x -'=-+； （1）求()f x 的解析式及单调区间；
（2）若21()2
f x x ax b ≥++，求(1)a b +的最大值。
【解析】（1）1211()(1)(0)()(1)(0)2
x x f x f e f x x f x f e f x --'''=-+?=-+
令1x =得：(0)1f =
1211
()(1)(0)(1)1(1)2x f x f e x x f f e f e --'''=-+?==?= 得：21
()()()12
x x f x e x x g x f x e x '=-+?==-+
()10()x g x e y g x '=+>?=在x R ∈上单调递增 ()0(0)0,()0(0)0f x f x f x f x ''''>=?><=?< 得：()f x 的解析式为21()2
x f x e x x =-+
且单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞ （
2
）
2
1()()(1)02
x f x x ax b h x e a x b ≥
++?=-+-≥得
()(1)x h x e a '=-+
①当10a +≤时，()0()h x y h x '>?=在x R ∈上单调递增 x →-∞时，()h x →-∞与()0h x ≥矛盾
②当10a +>时，()0ln(1),()0ln(1)h x x a h x x a ''>?>+ 令22()ln (0)F x x x x x =->；则()(12ln )F x x x '=- ()00,()0F x x e F x x e ''>?<< 当x e =时，max ()2
e F x =
当1,a e b e =-=时，(1)a b +的最大值为2
e
3.(2013全国新课标Ⅱ，理21)(本小题满分12分) 已知函数f (x )＝e x －ln(x ＋m )．
(1)设x ＝0是f (x )的极值点，求m ，并讨论f (x )的单调性； (2)当m ≤2时，证明f (x )＞0.
【解析】(1)f ′(x )＝1
e x x m
-
+.
由x ＝0是f (x )的极值点得f ′(0)＝0，所以m ＝1.
于是f (x )＝e x －ln(x ＋1)，定义域为(－1，＋∞)，f ′(x )＝
1
e 1
x x -
+. 函数f ′(x )＝1
e 1
x x -
+在(－1，＋∞)单调递增，且f ′(0)＝0. 因此当x ∈(－1,0)时，f ′(x )＜0； 当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0.
所以f (x )在(－1,0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增．
(2)当m ≤2，x ∈(－m ，＋∞)时，ln(x ＋m )≤ln(x ＋2)，故只需证明当m ＝2时，f (x )＞0. 当m ＝2时，函数f ′(x )＝1
e 2
x x -
+在(－2，＋∞)单调递增． 又f ′(－1)＜0，f ′(0)＞0，
故f ′(x )＝0在(－2，＋∞)有唯一实根x 0，且x 0∈(－1,0)． 当x ∈(－2，x 0)时，f ′(x )＜0；
当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )＞0，从而当x ＝x 0时，f (x )取得最小值．
由f ′(x 0)＝0得0
e x ＝
01
2
x +，ln(x 0＋2)＝－x 0， 故f (x )≥f (x 0)＝01
2x +＋x 0＝20012
x x (+)+＞0.
综上，当m ≤2时，f (x )＞0.
三.反思与总结：
根据上述分析，我们不难看出新课标命题的一些基本特征，掌握了这些特征，能对我们高考的辅导起到指导作用。 （一）主干知识重点考查，但追求知识点的覆盖面：
试题主要内容分布在函数（含导数）、不等式、数列、立体几何、解析几何、概率统计、三角等主干知识上，不刻意追求知识的覆盖面，如新增内容中函数的零点、二分法、幂函数、茎叶图、条件概率、全称命题与特称命题、合情推理与演绎推理、独立性检验等去年就没有涉及到。而对支撑学科知识体系的重点知识，考查时保持了较高的比
例，构成了数学试卷的主体。
（二）注重对数学思想的诠释和对数学能力的考查：
新课标试卷命题按照考查基础知识的同时，注重考查能力的原则，确立以能力立意命题的指导思想，将知识、能力和素质融为一体，全面检测考生的数学素养，既考查了考生对中学数学的基础知识、基本技能的掌握程度，又考查了对数学思想方法和数学本质的理解水平。（三）加大了试卷的区分度：
新课标试卷命题遵循了考试大纲所提倡的“高考应有较高的信度、效度、必要的区分度和适当的难度”这一原则。很多题目似曾相识，但又不完全相同，适度创新，更加体现了对考生思维能力和灵活应用知识的考查。
（四）对一些知识的考查体现了“源于教材，可高于教材”的理念：新课标试卷的命题以重点知识构建试题主体，选材寓于教材又高于教材，立意创新又朴实无华，为以后的高中新课程的数学教学改革和日常教学发挥了较好的导向作用。
四. 2014年备考建议
（一）.把握考纲，回归教材，全面加深对基础知识理解和掌握。（二）.注意总结，强化训练，专题训练，对近年高考中的常见题型及解题通法特法的应用要经常演练，同时还要注意一些题型及方法的变异，有效提升解题能力。
（三）关注学情，对症下药，分层推进，全面丰收。
（四）站在科技前沿，捕捉最新信息，把握命题脉搏，争取创造奇迹。
2014年3月24日