二次函数综合题训练题型集合
1、如图1，已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0)，直线m x y +=与该二次函数的图象交
于A 、B 两点，其中A 点的坐标为(3,4)，B 点在轴y 上. （1）求m 的值及这个二次函数的关系式；
（2）P 为线段AB 上的一个动点（点P 与A 、B 不重合），过P 作x 轴的垂线与这个二次
函数的图象交于点E 点，设线段PE 的长为h ，点P 的横坐标为x ，求h 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；
（3）D 为直线AB 与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB 上是否存在一点P ，使
得四边形DCEP 是平行四边形？若存在，请求出此时
明理由.
2、如图2，已知二次函数24y ax
x c =-+的图像经过点A 和点B ． （1）求该二次函数的表达式；
（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；
（3）点P （m ，m ）与点Q 均在该函数图像上（其中m ＞0），且这两点关
于抛物线的对称轴对称，求m 的值及点Q 到x 轴的距离
图1 图2
P B A C O x
y
Q 图3 3、如图3，已知抛物线c x b x a y ++=2经过O(0,0)，A(4,0),B(3,3)三点，连结AB ，过点B 作BC ∥x 轴交该抛物线于点C.
（1） 求这条抛物线的函数关系式.
（2） 两个动点P 、Q 分别从O 、A 两点同时出发,以每秒1个单位长度的速度运动. 其中，点P 沿着线段0A 向A 点运动，点Q 沿着折线A →B →C 的路线向C 点运动. 设这两个动点运动的时间为t （秒) (0＜t ＜4)，△PQA 的面积记为S.
① 求S 与t 的函数关系式；
② 当t 为何值时，S 有最大值，最大值是多少？并指出此时△PQA 的形状；
③ 是否存在这样的t 值，使得△PQA 是直角三角形?若存在，请直接写出此时P 、Q 两点的坐标；若不存在，请说明理由.
4、某公司推出了一种高效环保型除草剂，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程. 图4的二次函数图象（部分）反映了该公司年初以来累积利润S （万元）与时间t （月）之间的关系（即前t 个月的利润总和S 与t 之间的关系）.
根据图象提供信息，解答下列问题： （1）公司从第几个月末开始扭亏为盈；
（2）累积利润S 与时间t 之间的函数关系式； （3）求截止到几月末公司累积利润可达30万元； （4）求第8个月公司所获利是多少元？
-3 0 -1
-2
1 2
3
4 S(万元) 图4
1 2 3 4 5 6 t(月)
5、(07年海口模拟二)如图5，已知抛物线c x b x a y ++=2的顶点坐标为E （1,0），与y 轴的交点坐标为（0,1）. （1）求该抛物线的函数关系式.
（2）A 、B 是x 轴上两个动点，且A 、B 间的距离为AB=4，A 在B 的左边，过A 作AD ⊥x 轴
交抛物线于D ，过B 作BC ⊥x 轴交抛物线于C. 设A 点的坐标为（t ,0），四边形ABCD 的面积为S.
① 求S 与t 之间的函数关系式.
② 求四边形ABCD 的最小面积，此时四边形ABCD 是什么四边形？
③ 当四边形ABCD 面积最小时，在对角线BD 上是否存在这样的点P ，使得△PAE 的周长最小，若存在，请求出点P 的坐标及这时△PAE 的周长；若不存在，说明理由.
6、(07浙江中考)如图6，抛物线2
23y x x =--与x 轴交A 、B 两点（A 点在B 点左侧），直线l 与抛物线交于A 、C 两点，其中C 点的横坐标为2。
（1）求A 、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式；
（2）P 是线段AC 上的一个动点，过P 点作y 轴的平行线交抛物线于E 点，求线段PE 长度的最大值；
（3）点G 抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F ，使A 、C 、F 、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由。
x y D
图5 E B A C O 1 x
y
E O 1 备用图
备用
图6
7、（07海南中考）如图7，直线43
4
+-
=x y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，已知二次函数的图象经过点A 、C 和点()0,1-B .
（1）求该二次函数的关系式；
（2）设该二次函数的图象的顶点为M ，求四边形AOCM 的面积； （3）有两动点D 、E 同时从点O 出发，其中点D 以每秒
2
3
个单位长度的速度沿折线OAC 按O →A →C 的路线运动，点E 以每秒4个单位长度的速度沿折线OCA 按O →C →
A 的路线运动，
当D 、E 两点相遇时，它们都停止运动.设D 、E 同时从点O 出发t 秒时，ODE ?的面积为S .
①请问D 、E 两点在运动过程中，是否存在DE ∥OC ，若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由；
②请求出S 关于t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围；
8、（05海南中考）如图8，抛物线c bx x y ++=2与x 轴交于
A(-1,0),B(3,0) 两点. (1)求该抛物线的解析式；
(2)设(1)中的抛物线上有一个动点P ，当点P 在该抛物线上 滑动到什么位置时，满足S △PAB =8,并求出此时P 点的坐标； (3)设(1)中抛物线交y 轴于C 点，在该抛物线的对称轴上
是否存在点Q ，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标； 若不存在，请说明理由.
9、（04海口中考）如图9、已知抛物线y=x 2+(2n-1)x+n 2
-1 (n 为常数).
(1)当该抛物线经过坐标原点，并且顶点在第四象限时，
求出它所对应的函数关系式；
(2)设A 是(1)所确定的抛物线上位于x 侧的一个动点，过A 作x 轴的平行线，交抛物线于另一点D ，
再作AB ⊥x 轴于B ，DC ⊥x 轴于C.
①当BC=1时，求矩形ABCD 的周长； ②试问矩形ABCD 的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这
个最大值，并指出此时A .
图8 x
y 0123 4-1-1-2-3
12 A
B C
D 图9
10、（07本校模拟一）如图10，已知点A(0,8)，在
抛物线22
1x y =上，以A 为顶点的四边形ABCD 是平行四边形，
且项点B ，C ，D 在抛物线上，AD ∥x 轴，点D 在第一象限.
(1)求BC 的长；
(2)若点P 是线段CD 上一动点，当点P 运动到何位置时， △DAP 的面积是7. (3)连结AC ，E 为AC 上一动点，当点E 运动到何位置时，
直线OE 将 ABCD 分成面积相等的两部分？并求此时E 点的
坐标及直线OE 的函数关系式.
11、（07本校模拟二）一座拱桥的截面轮廓为抛物线型(如 图11-1),拱高6米,跨度20米,相邻两支柱间的距离均为5米.
（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图11-2所示)，
其表达式是c ax y +=2的形式. 请根据所给的数据求出c a ,的值
（2）求支柱MN 的长度.
（3）拱桥下地平面是双向行车道(正中间DE 是一条宽2米
的隔离带)，其中的一条行车道能否并排行驶宽2米、高3米的 三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说说你的理由.
图10
二次函数综合题训练题型集合
1、 (1) m=1. ∴ 所求二次函数的关系式为y=(x-1)2. 即y=x 2
-2x+1.
(2) 设P 、E 两点的纵坐标分别为y P 和y E .
∴ PE=h=y P -y E =(x+1)-(x 2-2x+1)=-x 2+3x. 即h=-x 2
+3x (0＜x ＜3).
(3) 存在.
要使四边形DCEP 是平行四边形，必需有PE=DC.∵ 点D 在直线y=x+1上,
∴ 点D 的坐标为(1,2),∴ -x 2+3x=2 .即x 2
-3x+2=0 .解之，得 x 1=2，x 2=1 (不合
题意，舍去) ∴ 当P 点的坐标为(2,3)时，四边形DCEP 是平行四边形. 2、解：（1）二次函数的表达式为642--=x x y ． （2）对称轴为2=x ；顶点坐标为（2，-10）．
（3）将（m ，m ）代入642--=x x y ，得 642--=m m m ，解得121,6m m =-=． ∵m ＞0，∴11-=m 不合题意，舍去．∴ m =6．∵点P 与点Q 关于对称轴2=x 对称，∴点
Q 到x 轴的距离为6．
3、（1）∴ 所求抛物线的函数关系式为x x y 3
3
4332+-
=. （2）① 过点B 作BE ⊥x 轴于E ，则BE=3，AE=1，AB=2. 由tan ∠BAE=3=AE
BE
，得∠BAE =60°.
（ⅰ）当点Q 在线段AB 上运动，即0＜t ≤2时，QA=t ，PA=4-t .
过点Q 作QF ⊥x 轴于F ，则QF=t
23，
∴ S=2
1PA ·QF t t 23)4(21?-=t t 3432+-=. （ⅱ）当点Q 在线段BC 上运动，即2≤t ＜4时，Q 的纵坐标为3，PA=4-t .这S=3)4(2
1
?-t 23+-=t ②（ⅰ）当0＜t ≤2时，(4
33432--=+-
=t t t S ∵ 04
3
<-
，∴ 当t =2时，S 有最大值，最大值（ⅱ）当2≤t ＜4时，3223+-
=t S ∵ 02
3<-∴ 当t =2时，S 有最大值，最大值33222
3
=+?-
=S . 综合（ⅰ）（ⅱ），当t =2时，S 有最大值，最大值为3. △PQA 是等边三角形. ③ 存在. 当点Q 在线段AB 上运动时，要使得△PQA 是直角三角形，必须使得∠PQA
=90°，这时PA=2QA ，即4-t =2t ，∴ 34=t . ∴ P 、Q 两点的坐标分别为P 1(3
4
,0)，
Q 1(
310,3
32). 当点Q 在线段BC 上运动时，Q 、P 两点的横坐标分别为5-t 和t ，要使得△PQA 是直角三角形，
则必须5-t =t ，∴ 2
5=t ∴ P 、Q 两点的坐标分别为P 2(25,0)，Q 2(25
,3)
4、（1）由图象可知公司从第4个月末以后开始扭亏为盈 （2）由图象可知其顶点坐标为
(2,-2)，故可设其函数关系式为：y=a(t-2)2
-2.∵ 所求函数关系式的图象过(0,0)，于是得
a(t-2)2-2=0，解得a=21 . ∴ 所求函数关系式为：S=21t-2)2-2或S=2
1t 2
-2t. （3）把
S=30代入S=21t-2)2-2，得2
1t-2)2
-2=30 解得t 1=10，t 2=-6（舍去）.
答：截止到10月末公司累积利润可达30万元. （4）把t=7
×7=10.5 把t=8代入关系式，得S=2
1×82
-2×8=16
16-10.5=5.5 答：第8个月公司所获利是5.5万元. 5、（1）∵ 抛物线c x b x a y ++=2顶点为F （1,0） ∴ 2)1(-=x a y ∵ 该抛线经过点E （0,1）∴ 2)10(1-=a
∴ 1=a ∴ 2)1(-=x y ， 即函数关系式为122+-=x x y （2）① ∵ A 点的坐标为（t ,0）, AB=4，且点C 、D 在抛物线上，
∴ B 、C 、D 点的坐标分别为(t +4,0)，(t +4, (t +3)2)，(t ,(t -1)2
). ∴
20844])3()1[(2
1
)(21222++=?++-=?+=
t t t t AB BC AD S . ② 16)1(4208422++=++=t t t S ∴ 当t =-1时，四边形ABCD 的最小面积为16 此时AD=BC=AB=DC=4，四边形ABCD 是正方形
③ 当四边形ABCD 的面积最小时，四边形ABCD 是正方形，其对角线BD 上存在点P, 使得ΔPAE 的周长最小. ∵AE=4（定值），∴要使ΔPAE 的周长最小，只需PA+PE 最小. ∵此时四边形ABCD 是正方形，点A 与点C 关于BD 所在直线对称, ∴由几何知识可知，P 是直线CE 与正方形ABCD 对角线BD 的交点. ∵点E 、B 、C 、D 的坐标分别为（1,0）（3,0）（3,4）（-1,4） ∴直线BD ，EC 的函数关系式分别为：y=-x+3, y=2x-2. ∴ P(35,34)
在Rt △CEB 中，CE=524222=+,∴ △PAE 的最小周长=AE+AP+PE=AE+CP+PE=AE+CE=2+52.
6、解：（1）C （2，－3）∴直线AC 的函数解析式是y=－x －1
（2）设P 点的横坐标为x （－1≤x ≤2）则P 、E 的坐标分别为：P （x ，－x －1），（1分）
E （2
(,23)x x x --∵P 点在E 点的上方，PE=22
(1)(23)2x x x x x -----=-++∴当
12
x =
时，PE 的最大值=
9
4
（3）存在
4
个这样的点
F ，分别
是
1234(1,0),(3,0),(4(4F F F F -
7、解：（1）∴438342++-
=x x y （2??
? ??316,1 过点M 作MF x ⊥轴于F
∴FOCM AFM AOCM S S S 梯形四边形+=? =
()1013164213161321=???
?
??+?+?-? ∴四边形AOCM 的面积为10 （3∵若DE ∥OC ，则点D 、E 应分别在线段OA 、CA 上，此时 1 1-= t x ，∴5 12 121-=t x ∵DE ∥OC ， ∴ t t 2 3 51212=- ∴38=t ∵38=t >2，不满足1 ②根据题意得D 、E 两点相遇的时间为 112442 3543=+++（秒） 现分情况讨论如下：ⅰ当0 342321t t t S =??=； ⅱ当1 2--= t y ，∴5 16362t y -= ∴t t t t S 5 27 5125163623212+-=-??= ⅲ当2 y -= 设点D 的坐标为()44,y x ∴5 32344-=t y ，∴51264-=t y AOD AOE S S S ??-= 5 12632151636321-? ?--??= t t =572533+-t ③802430=S 10、（1）∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD=BC. ∵A(0,8), ∴设D 点坐标为(x 1,8), 代入22 1x y = 又∵D 点在第一象限， ∴ x 1=4，∴（ 2）∵C(2,2)，D(4,8)， ∴直线CD 的函数关系式为设点P 在线段CD 上，P(x 2,y 2)， ∴y 2=3x 2-4. ∵AD=BC=4, ∴21×4(8-y 2)=7， ∴y 2=29. ∴3x 2-4=29， ∴x 2=617. ∴P(617,29), 即当点P 在(617,2 9)的位置时，△DAP 的面积是7. （3）连接AC ，当点E 运动到AC 的中点（或AC 与BD 的交点）时，即E 点为? ABCD 的中心，其坐标为E （1,5）,直线OE 将? ABCD 分成面积相等的两部分. 设直线OE 的函数关系式为y=kx, ∴k=5，∴直线OE 的函数关系式为y=5x. 11、(1) 根据题目条件，A 、B 、C 的坐标分别是(-10,0)、(0,6)、(10,0). 将B 、C 的坐标代入c ax y +=2，得 ? ? ?+==.1000, 6c a c 解得6,50 3=-=c a ∴抛物线的表达式是650 32+-=x y (2) 可设N(5,N y )， 于是5.46550 32=+?-=N y 从而支柱MN 的长度是10-4.5=5.5米. (3) 设DE 是隔离带的宽，EG 是三辆车的宽度和， 则G 点坐标是(7,0)(7=2÷2＋2×3). 过G 点作GH 垂直AB 交抛物线于H ，则350 13675032>+=+?-=H y . 根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车.
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