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数学试题
注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合{}{
}221,(,)1M x y x N x y y x ==+==-+，则M N=
A.{}1
B.(0,1)
C.φ
D.{}(0,1) 2.在复平面内，复数
21i
i
-+(i 为复数单位)对应的点在 A.第一象限B.第二象限C.第三象限.D.第四象限 3.函数()27x
f x e x =+-的零点所在的区间为 A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4) 4.已知tan 2α=,则sin(2)2
π
α+=
A.
35B.45C.35- D.45
- 5.电影《达.芬奇密码》中，有这样一个情节:故事女主人公的祖父雅克.索尼埃为了告诉孙女一个惊天的秘密又不被他人所知，就留下了一串奇异的数字13-3-2-21-1-1-8-5,将这串数字从小到大排列，就成为1-1-2-3-5-8-13-21,其特点是从第3个数字起，任何一个数字都是前面两个数字的和，它来自斐波那契数列，斐波那契数列与黄金分割有紧密的联系，苹果公司的logo(如图1乙和丙)就是利用半径成斐波那契数列(1,1,2,3,5,8,13)的圆切割而成，在图甲的矩形ABCD 中，任取一点，则该点落在阴影部分的概率是
A.
731092π B.891092πC 1621092π.D.161092
π
6.双曲线C:22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点为F(3,0)，且点F 到双曲线C 的一条渐近线的距
离为1,则双曲线C 的离心率为 2B.
32423D.37.如图2，在?ABC 中,AC=3,AB=2，∠CAB=60°,点D 是BC 边上靠近B 的三等分点， 则AD =
37974343 8.在正项等比数列{}n a 中,11a =,前三项的和为7,若存在,m n N *
∈使得
14m n a a a =,则
19
m n
+的最小值为 A.23B.43C.83D.114
9.如图3,某几何体的三视图均为边长为2的正方形，则该几何体的体积是 A.
56B.83C.1D.163
10.设动直线x=t 与曲线x
y e =以及曲线ln y x =分别交于P,Q 两点，
min PQ 表示PQ 的最小值,则下列描述正确的是
A.min 2PQ =min 325
2
PQ << C.min 32
2PQ <<
D.min 3PQ > 11.过抛物线2
2(0)y px p =>的焦点F 作抛物线的弦，与抛物线交于A,B 两点，分别过A,B 两点作抛物线的切线l 1，l 2相交于点P.，?PAB 又常被称作阿基米德三角形.?PAB 的面积S 的最小值为:
A.23p
B.22
p C.2p 22
12.已知函数2212cos ()2cos 2
x x x x e x e f x x -+-+=+，
则12
2019
(
)()(
)20202020
2020
f f f +++= A.2019B.2020C.4038D.4040
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分,共20分)
13.设实数x,y 满足0210210x y y x x y -≤??
--≤??+-≥?
,则z=x+y 的最小值为_________
14.过原点于曲线ln y x =相切的切线方程为为_____________
15.已知P 是直线l:260x y ++=上一动点，过点P 作圆C:2
2
230x y x ++-=的两条切线，切点分别为A 、B.则四边形PACB 面积的最小值为___________。
16.已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，3,2PA BC ==，球O 与四棱锥P-ABCD 的每个面都相切，则球O 的半径为______。
三、解答题(共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分12分)
在△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,
已知(sin sin )(sin sin )(sin sin )sin A C A C A B B +-=- (1)求角C; (2)若5c =
且sin sin(2)sin 2C C A A ++=,求?ABC 的面积.
18.(本小题满分12分)
某市数学教研员为了解本市高二学生的数学学习情况，从全市高二学生中随机抽取了20名学生，对他们的某次市统测数学成绩进行统计，统计结果如图4.
(1)求x 的值和数学成绩在110分以上的人数; (2)从成绩大于110的人中，任选2人，求恰好有1人成绩大于130分的概率。 19.(本小题满分12分)
如图5,在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB⊥AC,A 1B⊥平面ABC,AB=AC=1,AA 1=2
(1)证明:平面AA 1B⊥平面AA 1C 1C; (2)求二面角B 1-A 1BC 1的体积. 20.(本小题满分12分)
已知函数2
()(12)ln (0)f x x a x a x a R a =+--∈≠且. (1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)当13
a >
时，若函数2
()(12)ln f x x a x a x =+--对任意0x >恒成立，求a 的取值范围
21.(本小题满分12分)已知点P 3
(1,)2
-是椭圆
C:22
221(0)x y a b a b
+=>>上一点，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，124PF PF += (1)求椭圆C 的标准方程;
(2)设直线l 不经过P 点且与椭圆C 相交于A,B 两点.若直线PA 与直线PB 的斜率之和为1,问:直线l 是否过定点?证明你的结论
请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题。如果多做，则按所做的第一题计分.
22.(本小题满分10分)[选修4-4:坐标系与参数方程]
在直角坐标系中，曲线C 1的参数方程:1cos (sin x y θθθ
=+??=?为参数）
，曲线C 2的普通方程:y 2
=8x ，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，并取与直角坐标系相同的长度单位，建立极坐标系 (1)分别求曲线C 1、曲线C 2的极坐标方程; (2)射线=
3
π
θ与曲线C 1、曲线C 2的交点分别为P,Q(均异于O 点)，C,(1,0)，求?PQC,的面积
23.(本小题满分10分)[选修4-5:不等式选讲] (1)求函数()2123f x x x =--+的最大值m; (2)若a>1,b>1,c>1,a+b+c=m ，求
111
111
a b c ++
---的最小值. 云南师大附中2021届高考适应性月考卷（一） 文科数学参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
【解析】
1．M 是数集，N 是点集，故选C ． 2．
2i 13
i 1i 22
-=-+，故选D ． 3．函数()f x 单调递增，由零点存在定理(1)e 50f =-<，2(2)e 30f =->，故选B ．
4．22
1tan 3
cos21tan 5ααα-==-+，故选C ． 5．22π8π373π
(2616)(1610)1092
P +==++，故选A ．
6．双曲线右焦点(30)F ，，
即3c =，点F 到一条渐近线的距离为b ，即1b =，∴a =，
4
c e a =
=
，故选B ． 7．由题意，1121()3333AD AB BC AB AC AB AB AC =+=+-=+．所以2
221||33AD AB AC ??
=+ ???
379=，
37
||AD =
，故选A ． 8．由260q q +-=，解得2q =(舍负)，又由
14m n a a a ，得6m n +=，所以
11m n +=1112()63m n m n ??
++ ???
≥，当且仅当3m n ==时，等号成立，故选A ．
9．由题意三视图对应的几何体如图1所示，所以几何体的体积为正方体的体积减去2个三棱锥的体积，即31116
22222323V =-?????=，
故
选D ．
10．令()e ln x F x x =-，则1
()e x F x x '=-
，则存在0122x ?∈ ??
，，使得0001()e 0x F x x '=-=，所以()F x 在0x 取得最小值，000001
()e ln x F x x x x =-=+，在122? ??
，上单调递减，所以有min 325
||2
PQ <<，故选B ． 11．设11()A x y ，，22()B x y ，，则过A ，B 的切线方程分别为11yy px px =+，22yy px px =+，联立
解得1222y y p P +-??
???
，，设
AB 的中点为M ，则PM 平行于x 轴，则
121
||||2
PAB
S PM y y =-=△22
212121||242y y p y y p p ??++-
???≥，故选C ． 12．222cos e e 2(e e )()1+
cos 2cos 2x x x x x x x x f x x x --+-+-==++，令2(e e )
()cos 2
x x x h x x --=+，则()h x 为奇函数，所以()h x 关于坐标原点对称，则()f x 关于(1)0，成中心对称，则有()()2f x f x +-=，所以1220192019201814038202020202020202020202020f f f f f f ??
??????????++++-+-++-= ? ? ? ? ? ???
??
??
??
??
??
……，故选C ．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
题号 13
14
15
16 答案 2
3
e
x y =
2
31-
【解析】
与
13．不等式组表示的可行域如图2所示，当x ，y 为直线0
x y -=210x y +-=的交点1133??
???，时，z x y =+的最小值为23.
14．设切点坐标为00()x y ，，切线方程为y kx =，则有00ln y x =，
图1
图2
00y kx =，01k x =
，联立解得e
x y =． 15．圆C ：22230x y x ++-=的圆心为(10)-，，四边形
PACB 的面积
S PA AC =
=2AC PC =，所以当PC
最小时，四边形PACB 面积最小．代
入点到直线的距离公式，min ||PC =，故四边形PACB 面积的最小值为2．
16．四棱锥P ABCD
-的表面
积11
2222441222
S =??????+=+，则有
1
3S R =1
4
3
??1R ． 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）
解：（1）已知(sin sin )(sin sin )(sin sin )sin A C A C A B B +-=-， 由正弦定理，()()()a c a c a b b +-=-， 整理得222ab a b c =+-， 由余弦定理：1cos 2C =，又π
02
C <<， 所以π
3
C =
． ………………………………………………………………（4分）
（2）已知sin sin(2)sin 2C C A A ++=， 整理得sin()sin(π)sin 2A B B A A ++-+=， sin()sin()sin 2A B B A A ++-=，
即2sin cos 2sin cos B A A A =．
因为△ABC 为锐角三角形，所以cos 0A ≠， 即sin sin B A =，
所以a b =
，ABC △为等边三角形，ABC S =△．
……………………………………………………（12分）
18．（本小题满分12分）
解：（1）x 的值：10.050.10.20.25
0.0220
x ----=
=，
数学成绩在110分以上的人数：20(0.20.1)6?+=．
………………………………………………………（4分）
（2）由（1）知，数学成绩在110分以上的人数有6人，其中20(0.20.1)6?+=，
其中成绩在110~130的有4人，记为1a ，2a ，3a ，4a ， 成绩大于130的有2人，记为1b ，2b ．
任取2人，共有15种取法，11()a b ，，12()a b ，，21()a b ，，22()a b ，，31()a b ，，32()a b ，，41()a b ，，42()a b ，，12()a a ，，13()a a ，，14()a a ，，23()a a ，，24()a a ，，34()a a ，，12()b b ，，
恰好有1人的成绩大于130的取法共有8种取法，11()a b ，，12()a b ，，21()a b ，，22()a b ，，31()a b ，，32()a b ，，41()a b ，，42()a b ，，
所以恰好有1人的成绩大于130的概率8
15
P =． …………………………（12分）
19．（本小题满分12分）
（1）证明：如图3，∵1A B ⊥平面ABC ，AC ?平面ABC ， ∴1A B AC ⊥． 又∵AB AC ⊥，∵1AB A B B =，
∴1AC A AB ⊥平面．
又∵11AC A ACC ?平面， ∴平面1AA B ⊥平面11AA C C ．
……………………………………………（6分）
（2）解：11111111111113
113332B A BC B A B C A B C V V S A B --===???△．
………………………………………（12分）
20．（本小题满分12分）
解：（1）函数()f x 的定义域为{|0}x x >，
22(12)(21)()
()0x a x a x x a f x x x +--+-'===，
解得11
2
x =-(舍去)，2x a =．
当0a <时，()0f x '>在(0+)∞，上恒成立，所以函数()f x 单调递增； 当0a >时，在(0)a ，上()0f x '<，函数()f x 单调递减， 在(+)a ∞，上()0f x '>，函数()f x 单调递增．
………………………………（6分）
（2）由（1）知，当0a >时，在(0)a ，上()0f x '<，函数()f x 单调递减；
图3
在(+)a ∞，上()0f x '>，函数()f x 单调递增，2min ()()(12)ln f x f a a a a a a ==+--． 令2()(12)ln h a a a a a a =+--，则()2ln h a a a '=--，则()h a '单调递减， 而12ln 3033h ??'=-+> ???，11ln 202h ??
'=-+< ???，
所以存在01132x ??∈ ???，，使得0()0h x '=，所以()h a 在013x ??
???
，上单调递增，
在0()x +∞，上单调递减，
又(1)0h =，103h ??
> ???，所以113a <≤．
…………………………（12分）
21．（本小题满分12分）
（1）解：由12||||4PF PF +=，得2a =， 又312P ?
?- ??
?，在椭圆上，
代入椭圆方程有2219
14a b
+=
，解得b =
所以椭圆C 的标准方程为22
143
x y +=．
………………………………………（4分）
（2）证明：当直线l 的斜率不存在时，11()A x y ，，11()B x y -，，
1112133
2211
y y k k x -
--+=
=+，解得1
4x =-，不符合题意；
当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程y kx m =+，11()A x y ，，22()B x y ，， 由22
34120y kx m x y =+??+-=?，，
整理得222(34)84120k x kmx m +++-=， 122
834km
x x k
-+=+，212241234m x x k -=+，22430k m ?=-+>． 由121k k +=，整理得12125(21)()2402k x x k m x x m ?
?-++-++-= ???，
即(4)(223)0m k m k ---=． 当3
2
m k =+
时，此时，直线l 过P 点，不符合题意； 当4m k =时，22430k m ?=-+>有解，此时直线l ：(4)y k x =+过定点(40)-，．
……………………………………………………（12分）
22．（本小题满分10分）【选修4?4：坐标系与参数方程】
解：（1）由曲线1C 的参数方程1cos sin x y θθ=+??=?
，
，(θ为参数)，
消参得曲线1C 的直角坐标方程为22(1)1x y -+=， 由cos sin x y ρθρθ=??=?
，
，得曲线1C 的极坐标方程为2cos ρθ=．
曲线2C 的极坐标方程为2sin 8cos ρθθ=， ………………………………（5分）
（2）1228cos 13
||||2cos sin 3
PQ θρρθθ=-=
-=
，
点1C 到直线||PQ 的距离d =，
所以11||2PQC S PQ d =
=
△． ………………………………………（10分）
23．（本小题满分10分）【选修4?5：不等式选讲】
解：（1）由绝对值不等式()|21||23||2123|4f x x x x x =--+---=≤， 所以4m =．
………………………………………………………………（5分）
（2）由（1）知：4m =，即4a b c ++=，所以1111a b c -+-+-=， 由柯西不等式：
2
111111(111)(111)9111111a b c a b c a b c ??++=++-+-+-++= ?------??
≥， 当且仅当4
3
a b c ===
，等号成立． …………………………………………（1