北师大版数学中考专题复习——几何专题
【题型一】考察概念基础知识点型
例1如图1,等腰△ABC 的周长为21,底边BC = 5,AB 的垂直平分线是DE ,则△BEC 的周长为 。 例 2 如图2,菱形ABCD 中,60A ∠=°,E 、F 是AB 、AD 的中点,若2EF =,菱形边长是______.
D
E
B
C
A
图
1 图
2 图3
例3 (切线)已知AB 是⊙O 的直径,PB 是⊙O 的切线,AB =3cm ,PB =4cm ,则BC = . 【题型二】折叠题型:折叠题要从中找到对就相等的关系,然后利用勾股定理即可求解。
例4(09绍兴)D E ,分别为AC ,BC 边的中点,沿DE 折叠,若48CDE ∠=°,则APD ∠等于 。
例5如图4.矩形纸片ABCD 的边长AB =4,AD =2.将矩形纸片沿 EF 折叠, 使点A 与点C 重合,折叠后在其
一面着色(图),则着色部分的面积为( ) A . 8 B .
112
C . 4
D .5
2
E
D
B
C A
P
图4 图5 图6
【题型三】涉及计算题型:常见的有应用勾股定理求线段长度,求弧长,扇形面积及圆锥体积,侧面积,三角函数计算等。
例6如图3,P 为⊙O 外一点,PA 切⊙O 于A ,AB 是⊙O 的直径,PB 交⊙O 于C ,
PA =2cm ,PC =1cm,则图中阴影部分的面积S 是 ( ) A.
2235cm π- B 2435cm π- C 24235cm π- D 22
32cm π
- 图3
【题型四】证明题型:
(一)三角形全等
【判定方法1:SAS 】
B
D G
F
F
例1 (2011广州)如图,AC 是菱形ABCD 的对角线,点E 、F 分别在边AB 、AD 上,且 AE=AF 。 求证:△ACE ≌△ACF
例2 (2010长沙)在正方形ABCD 中,AC 为对角线,E 为AC 上一点,连接EB 、ED . (1)求证:△BEC ≌△DEC ;
(2)延长BE 交AD 于F ,当∠BED =120°时,求∠EFD 的度数.
【判定方法2:AAS (ASA )】
例3 如图,ABCD 是正方形,点G 是BC 上的任意一点,DE AG ⊥于 E ,BF DE ∥,交 AG 于F ,求证:AF BF EF =+.
【判定方法3:SSS 】
例4 (2011浙江台州)如图,在□ABCD 中,分别延长BA ,DC 到点E ,使得AE=AB , CH=CD 连接EH ,分别交AD ,BC 于点F,G 。EF=HG,AF=CG 。求证:△EBG ≌△HDF.
【判定方法4:HL (专用于直角三角形)】
例5 ( 2011重庆江津)在△ABC 中,AB=CB,∠ABC=90o,F 为AB 延长线上一点,点E 在BC 上, 且AE=CF.
(1)求证:Rt △AB E ≌Rt △CBF; (2)若∠CAE=30o,求∠ACF 度数.
(二)相似三角形
Ⅰ.三角形相似的判定
例1 (2010珠海)如图,在平行四边形ABCD 中,过点A 作AE ⊥BC ,垂足为E ,
连接DE ,F 为线段DE 上一点,且∠AFE =∠B.
A
B
C
E
F
D
C
B
A
E F G
A
D
F
E B
C
E
B
D A C F A
F D
E B
C
F E
D
C
B
A
(1)求证:△ADF ∽△DEC
(2)若AB =4,AD =33,AE =3,求AF 的长.
例2(2011襄阳)如图9,点P 是正方形ABCD 边AB 上一点(不与点A .B 重合),连接PD 并将线段PD 绕点P 顺
时针方向旋转90°得到线段PE , PE 交边BC 于点F .连接BE 、DF 。 (1)求证:∠ADP=∠EPB ; (2)求∠CBE 的度数; (3)当AP
AB
的值等于多少时.△PFD ∽△BFP ?并说明理由.
2.相似与圆结合,注意求证线段乘积,一般是转化证它所在的三角形相似。
将乘积式转化为比例式→比例式边长定位到哪个三角形→找条件证明所在的三角形相似
例3 (2010?日照)如图,在△ABC 中,AB=AC ,以AB 为直径的⊙O 交AC 与E ,交BC 与D .
求证:(1)D 是BC 的中点;
(2)△BEC ∽△ADC ; (3)BC 2=2AB?CE .
3.相似与三角函数结合,
①若题目给出三角函数值一般会将给出的三角函数值用等角进行转化,然后求线段的长度 ②求某个角的三角函数值,一般会先将这个角用等角转化,间接求三角函数值
例4 (2011四川南充市)如图,点E 是矩形ABCD 中CD 边上一点,⊿BCE 沿BE 折叠为⊿BFE,
点F 落在AD 上.(1)求证:⊿ABE∽⊿DFE ;(2)若sin∠DFE=3
1
,求tan∠EBC 的值.
A D B
E 图
6
i =1:3
C
(三)解直角三角形
直角三角形常见模型
1 张华同学在学校某建筑物的C 点处测得旗杆顶部A 点的仰角为30°,旗杆底部B 点的俯角为45°.若旗杆底部B 点到建筑物的水平距离BE=9米,旗杆台阶高1米,试求旗杆AB 的高度。
2.海船以5海里/小时的速度向正东方向行驶,在A 处看见灯塔B 在海船的北偏东60°方向,2小时后船行驶
到C 处,发现此时灯塔B 在海船的北偏西45方向,求此时灯塔B 到C 处的距离。
3(2010漠河)某年入夏以来,松花江哈尔滨段水位不断下降,一条船在松花江某段自西向东沿直线航行,在A 处测得航标C 在北偏东60°方向上。前进100m 到达B 处,又测得航标C 在北偏
东45°方向上(如图),在以航标C 为圆心,120m 为半径的圆形区域内有浅滩,如果这条船继续前进,是否有被浅滩阻碍的危险?
4: (2009年·东莞市)(本题满分7分)如图6,梯形ABCD 是拦水坝的横断面图,(图中3:1=i 是指坡面的铅直高度DE 与水平宽度CE 的比),∠B=60°,AB=6,AD=4,求拦水坝的横断面ABCD 的面积.(结果保留
三位有效数字.参考数据:3≈1.732,2≈1.414)
3 1.73
≈
A
B
C
D
E
F
(四)四边形
例1 (2011广东)如图,分别以Rt△ABC 的直角边AC 及斜边AB 向外作等边△ACD、等 边△ABE。已知∠BAC=30o,EF⊥AB,垂足为F ,连结DF 。
(1)试说明AC=EF ;
(2)求证:四边形ADFE 是平行四边形。
例2 (2010安徽省中中考)如图,AD ∥FE ,点B 、C 在AD 上,∠1=∠2,BF =BC
⑴求证:四边形BCEF 是菱形
⑵若AB =BC =CD ,求证:△ACF ≌△BDE
例3 (2010·潼南中考)如图,四边形ABCD 是边长为2的正方形,点G 是BC 延长线上一 点,连结AG ,点E 、F 分别在AG 上,连接BE 、DF ,∠1=∠2 , ∠3=∠4.
(1)证明:△ABE≌△DAF; (2)若∠AGB=30°,求EF 的长.
例4 (2009崇左中考)如图,在等腰梯形ABCD 中,已知AD BC ∥,AB DC =,2AD =, 4BC =延长BC 到E ,使CE AD =. (1)证明:BAD DCE △≌△;
(2)如果AC BD ⊥,求等腰梯形ABCD 的高DF 的值.
(五)圆
Ⅰ、证线段相等
A
C
B D
E
F G
1
42
3
D A B E
C F
C
D
例1:(2010年金华)如图,AB 是⊙O 的直径,C 是的中点,CE ⊥AB 于 E ,BD 交CE 于点F .(1)求证:CF =BF ;
(2)若CD =6, AC =8,则⊙O 的半径为 ,CE 的长是 .
2、证角度相等
例2(2010株洲市)如图,AB 是⊙O 的直径,C 为圆周上一点,30ABC ∠=?,过点B 的切线与CO 的延长线交于点D .:求证:(1)CAB BOD ∠=∠;(2)ABC ?≌ODB ?.
3、证切线
点拨:证明切线的方法——连半径,证垂直。根据:过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线
例3如图,四边形ABCD 内接于⊙O ,BD 是⊙O 的直径, AE ⊥CD 于点E ,DA 平分∠BDE 。 (1)求证:AE 是⊙O 的切线。
(2)若∠DBC=30°,DE=1cm ,求BD 的长。
例4 (2011?曲靖)如图,点A 、B 、C 、D 都在⊙O 上,OC⊥AB,∠ADC=30°. (1)求∠BOC 的度数;
(2)求证:四边形AOBC 是菱形.
D
C
B
O
A
D
O
B
C
A E 例3图