第一章 练习题
1.1（1）对一AR 模型随机信号()x n ，证明：()x n 的功率谱可以表示为：
()()
()2
2
1
01j x p
j k
p k b P e
a k e ω
ω-==
+∑，其中()
{}
1
p p k a k =和()0b 都是AR 模型参数。要求给出证明过
程中用到的假定条件。
（2）假定测得观测数据为()01x =，()10.5x =，()20.4x =。求：()x n 的有偏自相关函数的估计值。
1.2设()x n 是均值为0，方差为1的白噪声()v n 通过一个1阶线性移不变系统产生的随机信号，系统传递函数为()1
1
10.25H z z -=-，求：（1）、()x n 的功率谱()xx P z ；（2）、()
x n 的自相关函数()xx r m 。
1.3一个2阶过程()()()()0.810.482x n x n x n v n =-+-+，其中()v n 是均值为0，方差为1的白噪声。求： ()x n 的功率谱。
第二章 练习题
2.1已知()()()x n s n v n =+，其中信号()s n 是AR(1)过程：()()()0.61s n s n w n =-+，
()w n 是均值为0，方差为0.64的白噪声，()v n 是均值为0，方差为1的白噪声，且()
s n 与()v n 不相关。试设计一个长度为M ＝2的维纳滤波器估计()s n 。
求：（1）、Wiener 滤波器的传递函数；（2）、()?s
n 的表达式。 2.2已知()()()x n s n v n =+，其中信号()s n 是AR(1)过程：()()()0.81s n s n w n =-+，
()w n 是均值为0，方差为0.36的白噪声；()v n 是均值为0，方差为1的白噪声，且()
s n 与()v n 不相关。试设计一个长度为M=2的维纳滤波器估计()s n 。 求：（1）维纳滤波器的
传递函数()opt H z ；（2）滤波器的输出()?s
n 的表达式。 2.3已知：（1）、观测数据()()()x n d n v n =+，其中，()d n 为期望信号，其自相关函数为()0.8k
d R k =；()v n 是均值为0，方差为1的白噪声。
（2）、期望信号是一个AR(1)过程：()()()0.81d n d n w n =-+，其中，()w n 是一白噪声，
其均值为0，方差为2
0.36w σ=。
（3）、期望信号()d n 与噪声()v n 不相关，噪声()v n 与()w n 不相关，且观测数据()x n 为实信号。试用因果Wiener 滤波器对()x n 进行滤波，滤波器输出作为期望信号()d n 的估计
()?d
n 。 求：（1）、因果Wiener 滤波器的传递函数；（2）、()?d
n 的表达式。
第三章 练习题
3.1（1）对于自适应维纳滤波器，采用最陡梯度算法求解滤波器参数，递推式为12j j j j W W e X μ+==+。试说明维纳滤波在何意义下是最优的？并说明收敛因子μ在递推中所起的作用。
（2）图1是简化的飞行器噪声抵消器结构图，其中()x n 是发动机噪声，()s n 是语音信号，
()v n 是一噪声信号，在接收麦克风中对语音信号()s n 造成干扰，()H Ω是发动机和麦克
风之间的传递函数，()W Ω是自适应维纳滤波器的频率响应。试证明通过调整自适应维纳滤波器参数，当()()W H Ω=Ω时，均方误差值()2
E e
n ????达到最小。
图1
3.2下图是一个2阶LMS 格型自适应滤波器，对每一级的前向预测误差()f
p e n 均采用LMS 准
则进行处理。已知输入实信号
()x n 的自相关函数
()()()00.51,10.462,20.353xx xx xx r r r ===，求：
（1）、达到最佳滤波时的反射系数1k 和2k 的值；
（2）、如果采用梯度算法求反射系数，假定收敛因子为μ，试给出反射系数,1,2p k p =的递推表达式。
（注：递推表达式请用()x n 描述）
2()f e n 2()
b
n f f 01
图2
3.3自适应滤波器如下图3所示，设2
[()]1E x n =，[()(1)]0.5E x n x n -=，2
[()]4E d n =，
[()()]1E d n x n =-，[()(1)]1E d n x n -=，在开关S 闭合情况下，求解：
（1） 误差性能函数；（2）最佳权值*w ；（3）最小均方误差。
()x n
1-
)
图3
3.4图4为一自适应抵消器，假设信号()s n 有一部分泄露到参考信道中，输入功率为
()ss P z ，()v n 是总功率为N 的白噪声。
求：（1）、原始输入端的信噪比和抵消器输出端的信噪比；（2）、最佳传输函数()*W z 。
图 4
3.5假设观测信号()x n 是一复信号，它的预测误差递推公式可以表示为
()()()
()()()*111111f
f b b b f
p p p p p p p p e n e n k e n e n e n
k e n ----=+-=-+
（1）、试采用前、后向预测误差平均功率最小的方法求反射系数，即要求最小化性能函数
()p p k ρ的情况下，求误差功率最小时的p k 。其中，性能函数可以描述如下：
()()(){}
2212
f b
p p p p k E e n e n ρ=+
（2）、当只有N 个观测数据()()()1,2,,x x x N 已知时，试证明：
*
11122
1
1
1
2()(1)
,1,2,
(|()||(1)|)N
f b p p n p p N
f
b p p n p e n e n k p e
n e n --=+--=+--=
=+-∑∑
第四章练习题
4.1（1）简要分析经典谱估计方法和参数模型谱估计方法的主要区别。
（2）如果模型阶次p选择的不恰当，对于参数模型功率谱估计将带来什么影响？以及如何解决这个问题？
4.2（1）、AR模型谱估计法相对经典谱估计有哪些改进？
（2）、讨论自相关法、Burg法、协方差法和修正协方差法的区别和联系。
（3）、AR模型谱估计中模型阶次、数据长度和信噪比对谱分辨率有何影响？
x n，分别采用自相关法和协方差法，
4.3利用1.1（2）题中所提供的观测数据()
（1）估计AR（1）模型参数；
（2）分析两种方法用于功率谱估计时的区别。
第五章 练习题
5.1 对于短时傅立叶变换，在窗函数分别选择()()g t t δ=和()1g t =两种情况下，请问变换结果的时间分辨率和频率分辨率有什么区别？
5.2试简述傅立叶变换、加窗傅立叶变换、小波变换与拉氏变换的关系。 5.3对于已知信号
()
z t ，在窗函数
()()
g t t δ=和
()1
g t =两种情况下，求：
（1）、各自对应的STFT ，并对变换结果进行分析。 （2）、试说明STFT 与WT 的区别和联系。 5.4如果连续小波变换中的基函数为()()
a t t a ττ
ψ-=
请回答问题：
（1） 尺度增大后，时间分辨率如何？频率分辨率如何？ （2） 尺度增大后，小波带通滤波器的带宽将如何变化？
现代数字信号处理复习题 一、填空题 1、平稳随机信号是指：概率分布不随时间推移而变化的随机信号，也就是说，平稳随机信号的统计特性与起始 时间无关，只与时间间隔有关。 判断随机信号是否广义平稳的三个条件是： （1）x(t)的均值为与时间无关的常数：C t m x =)( （C 为常数） ； （2）x(t)的自相关函数与起始时间无关，即：)(),(),(ττx i i x j i x R t t R t t R =+=； （3）信号的瞬时功率有限，即：∞<=)0(x x R D 。 高斯白噪声信号是指：噪声的概率密度函数满足正态分布统计特性，同时其功率谱密度函数是常数的一类噪 声信号。 信号的遍历性是指：从随机过程中得到的任一样本函数,好象经历了随机过程的所有可能状态,因此,用一个 样本函数的时间平均就可以代替它的集合平均 。 广义遍历信号x(n)的时间均值的定义为： ，其时间自相关函数的定义为： 。 2、连续随机信号f(t)在区间上的能量E 定义为： 其功率P 定义为： 离散随机信号f(n)在区间 上的能量E 定义为： 其功率P 定义为： 注意:(1)如果信号的能量0 81 为了看清图3.3.4中交叉项的行为，我们将该图作了旋转，因此，水平方向为频率，垂直方向为时间。 图3.3.3 例3.3.3的WVD 图3.3.4 例3.3.4的WVD 例3.3.5 令 ()21 4 2 t x t e ααπ-??= ??? （3.3.5） 可求出其WVD 为 ()22,2exp[]x W t t ααΩ=--Ω （3.3.6） 这是一个二维的高斯函数，，且()Ω,t W x 是恒正的，如图3.3.5所示。 由该图可以看出，该高斯信号的WVD 的中心在()()0,0,=Ωt 处，峰值为2。参数α控制了WVD 在时间和频率方向上的扩展。α越大，在时域扩展越小，而在频域扩展越大，反之亦然。其WVD 的等高线为一椭圆。当WVD 由峰值降到1 -e 时，该椭圆的面积π=A 。它反映了时－频平面上的分辨率。 如果令 ()21 42t h t e ααπ-??= ???，()214 2 t x t e ββπ-??= ??? ，则()t x 的谱图 ()?? ????Ω+-+-+=Ω222 1exp 2,βαβααββααβ t t STFT x （3.3.7） 82 图3.3.5 例3.3.5的WVD,（a ）高斯信号，（b ）高斯信号的WVD 它也是时－频平面上的高斯函数。当其峰值降到1 -e 时，椭圆面积π2=A 。这一结果说明，WVD 比STFT 有着更好的时－频分辨率。 如果令 ()()t j e t t x t x 001Ω-= （3.3.8） 式中()t x 是（3.3.5）式的高斯函数。()t x 1是()t x 的时移加调制，其WVD 是： ()12 2 00,2exp[()()/]x W t t t ααΩ=---Ω-Ω （3.3.9） 它将（3.3.6）式的()Ω,t W x 由()()0,0,=Ωt 移至()()00,,Ω=Ωt t 处。其WVD 图形请读者自己画出。 例3.3.6 令 ()2201 4 22j t t j t z t e e e αβαπΩ-??= ??? （3.3.10） 它是由（3.3.5）式的()t x 与 第一章 绪论 1、 试举例说明信号与信息这两个概念的区别与联系。 信息反映了一个物理系统的状态或特性，是自然界、人类社会和人类思维活动中普遍存在的物质和事物的属性。 信号是传载信息的物理量是信息的表现形式，如文字、语言、图像等。 如人们常用qq 聊天，即是用文字形式的信号将所要表达的信息传递给别人。 2、 什么是信号的正交分解？如何理解正交分解在机械故障诊断中的重要价值？ P9正交函数的定义 信号的正交分解如傅里叶变换、小波分解等，即将信号分解成多个独立的相互正交的信号的叠加。从而将信号独立的分解到不同空间中去，通常指滤波器频域内正交以便于故障分析和故障特征的提取。 傅里叶变换将信号分解成各个正交的傅里叶级数，将信号从时域转换到频域从而得到信号中的各个信号的频率。正交小波变换能够将任意信号（平稳或非平稳）分解到各自独立的频带中；正交性保证了这些独立频带中状态信息无冗余、无疏漏，排除了干扰，浓缩了了动态分析与监测诊断的信息。 3、 为什么要从内积变换的角度来认识常见的几种信号处理方法？如何选择合适的信号处理方法？ 在信号处理各种运算中内积变换发挥了重要作用。内积变换可视为信号与基函数关系紧密程度或相似性的一种度量。对于平稳信号，是利用傅里叶变换将信号从时域变为频域函数实现的方式是信号函数x （t ）与基函数 通过内积运算。匹配出信号x （t ）中圆频率为w 的正弦波.而非平稳信号一般会用快速傅里叶变换、离散小波变换、连续小波变换等这些小波变换的内积变换内积运算旨在探求信号x （t ）中包含与小波基函数最相关或最相似的分量。 “特征波形基函数信号分解”旨在灵活运用小波基函数 去更好地处理信号、提取故障特征。用特定的基函数分解信号是为了获得具有不同物理意义的分类信息。 不同类型的机械故障会在动态信号中反应出不同的特征波形，如旋转机械失衡振动的波形与正弦波形有关，内燃机爆燃振动波形是具有钟形包络的高频波；齿轮轴承等机械零部件出现剥落。裂纹等王府机械活塞连杆、气阀磨损缺陷在运行过程中产生的冲击振动呈现出接近单边震荡衰减波形，等等充分利用基函数的各种性质，根据研究对象的特点和需求，选用针对性强的小波基函数，才能合理地解决工程实际问题，融合表征各种不同类型机械状态特征波形的混合基函数，是现代信号处理进行机械动态分析和检测诊断的一个新的研究方向。 4、 对于基函数的各种性质的物理意义如何理解？ 1、 正交性——是小波基函数一个非常优良的性质，他保证信号处理时将信息独立化的提取出来。 2、 正则性——在数学上表现为小波函数的光滑性或可微性。 3、 消失矩——小波基函数的消失矩必须具有足够高的阶数，一个小波消失矩为N ，则它的滤波器长 度不能少于2R 。在信号奇异性检测中要求有足够高的消失矩，但不能过高否则会将奇异的信号平滑掉。表示基函数必行光滑性的程度，R 越大越光滑。) ( ,t b a ψ 第一章 练习题 1.1（1）对一AR 模型随机信号()x n ，证明：()x n 的功率谱可以表示为： ()() ()2 2 1 01j x p j k p k b P e a k e ω ω-== +∑，其中() {} 1 p p k a k =和()0b 都是AR 模型参数。要求给出证明过 程中用到的假定条件。 （2）假定测得观测数据为()01x =，()10.5x =，()20.4x =。求：()x n 的有偏自相关函数的估计值。 1.2设()x n 是均值为0，方差为1的白噪声()v n 通过一个1阶线性移不变系统产生的随机信号，系统传递函数为()1 1 10.25H z z -=-，求：（1）、()x n 的功率谱()xx P z ；（2）、() x n 的自相关函数()xx r m 。 1.3一个2阶过程()()()()0.810.482x n x n x n v n =-+-+，其中()v n 是均值为0，方差为1的白噪声。求： ()x n 的功率谱。 第二章 练习题 2.1已知()()()x n s n v n =+，其中信号()s n 是AR(1)过程：()()()0.61s n s n w n =-+， ()w n 是均值为0，方差为0.64的白噪声，()v n 是均值为0，方差为1的白噪声，且() s n 与()v n 不相关。试设计一个长度为M ＝2的维纳滤波器估计()s n 。 求：（1）、Wiener 滤波器的传递函数；（2）、()?s n 的表达式。 2.2已知()()()x n s n v n =+，其中信号()s n 是AR(1)过程：()()()0.81s n s n w n =-+， ()w n 是均值为0，方差为0.36的白噪声；()v n 是均值为0，方差为1的白噪声，且() s n 与()v n 不相关。试设计一个长度为M=2的维纳滤波器估计()s n 。 求：（1）维纳滤波器的 传递函数()opt H z ；（2）滤波器的输出()?s n 的表达式。 2.3已知：（1）、观测数据()()()x n d n v n =+，其中，()d n 为期望信号，其自相关函数为()0.8k d R k =；()v n 是均值为0，方差为1的白噪声。 （2）、期望信号是一个AR(1)过程：()()()0.81d n d n w n =-+，其中，()w n 是一白噪声， 其均值为0，方差为2 0.36w σ=。 （3）、期望信号()d n 与噪声()v n 不相关，噪声()v n 与()w n 不相关，且观测数据()x n 为实信号。试用因果Wiener 滤波器对()x n 进行滤波，滤波器输出作为期望信号()d n 的估计 ()?d n 。 求：（1）、因果Wiener 滤波器的传递函数；（2）、()?d n 的表达式。 320 第11章 正交小波构造 我们在上一章中集中讨论了离散小波变换中的多分辨率分析，证明了在空间0V 中存在正交归一基}),({Z k k t ∈-φ，由)(t φ作尺度伸缩及位移所产生的},),({,Z k j t k j ∈φ是j V 中的正交归一基。)(t φ是尺度函数，在有的文献中又称其为“父小波”。同时，我们假定j V 的正交补空间j W 中也存在正交归一基},),({,Z k j t k j ∈ψ，它即是小波基，)(t ψ为小波函数，又称“母小波”。本章，我们集中讨论如何构造出一个正交小波)(t ψ。所谓“正交小波”，指的 是由)(t ψ生成的}),({Z k k t ∈-ψ，或j W 空间中的正交归一基},),({,Z k j t k j ∈ψ。 Daubechies 在正交小波的构造中作出了突出的贡献。本章所讨论的正交小波的构造方法即是以她的理论为基础的。 11.1 正交小波概述 现在举两个大家熟知的例子来说明什么是正交小波及对正交小波的要求, 一是Haar 小波，二是Shannon 小波。 1.Haar 小波 我们在10.1节中已给出Haar 小波的定义及其波形，见图10.1.1(d)，Haar 小波的尺度函数 )(t φ如图10.1.1(a)所示。重写其定义，即 ??? ??-=011 )(t ψ 其它12/12/10<≤<≤t t (11.1.1) ? ??=01 )(t φ 其它10<≤t (11.1.2) 显然, )(t ψ的整数位移互相之间没有重叠，所以)()(),(' 'k k k t k t -=--δψψ，即它们 321 是正交的。同理， )()(),(',,' k k t t k j k j -=δψψ。 很容易推出)(t ψ和)(t φ的傅里叶变换是 4 /4 /sin )(22 /ωωωωj je -=ψ 2 /2 /sin )(2 /ωωωωj e -=Φ 注意式中ω实际上应为Ω。由于Haar 小波在时域是有限支撑的，因此它在时域有着极好的定位功能。但是，由于时域的不连续引起频域的无限扩展，因此，它在频域的定位功能极差，或者说频域的分辨率极差。 上一章指出，Haar 小波对应的二尺度差分方程中的滤波器是： ??????=21,21)(0n h ，??????-=21,2 1 )(1 n h (11.1.5) 它们是最简单的两系数滤波器。 2.Shannon 小波 令 t t t ππφsin )(= (11.1.6) 则 ?? ?=Φ01)(ω 其它π ω≤ (11.1.7) 由于 ?ΦΦ= --ωωωπ φφd k t k t k k )()(21 )(),(',0*,0' )(21')(' k k d e k k j -==? ---δωπ π π ω (11.1.8) 所以{}Z k k t ∈-),(φ构成0V 中的正交归一基。)(t φ称为Shannon 小波的尺度函数。 由于0,0)(V t k ∈φ，100-=⊕V W V ，由二尺度性质，1)2(V k t ∈-φ，因此 ???=Φ-0 1 )(,1ωk 其它πω2≤ (11.1.9) 这样，对0)(W t ∈ψ，有 1.设()u n 是离散时间平稳随机过程，证明其功率谱()w 0S ≥。 证明：将()u n 通过冲激响应为()h n 的LTI 离散时间系统，设其频率响应()w H 为 ()001,w -w w 0, w -w w H w ???? 输出随机过程()y n 的功率谱为()()()2y S w H w S w = 输出随机过程()y n 的平均功率为()()()00201 1r 022w w y y w w S w dw S w dw π π π+?-?= =?? 当频率宽度w 0???→时，上式可表示为()()()01 r 00y S w w π =?≥ 由于频率0w 是任意的，所以有()w 0 S ≥ 3、已知：状态方程 )()1,()1()1,()(1n n n n x n n F n x ν-Γ+--=观测方程 )()()()(2n n x n C n z ν+= )()]()([111n Q n n E H =νν )()]()([222n Q n n E H =νν 滤波初值 )]0([)|0(0x E x =ξ } )]]0([)0()]][0([)0({[)0(H x E x x E x E P --= 请简述在此已知条件下卡尔曼滤波算法的递推步骤。 解：步骤1 状态一步预测，即 1 *11)|1(?)1,()|(N n n C n x n n F n x ∈--=--∧ ξξ 步骤2 由观测信号z(n)计算新息过程，即 1*11)|(?)()()|(?)()(M n n C n x n C n z n z n z n ∈-=-=--ξξα 步骤3 一步预测误差自相关矩阵 N N H H C n n n Q n n n n F n P n n F n n P *1)1,()1()1,() 1,()1()1,()1,(∈-Γ--Γ+---=- 步骤4 新息过程自相关矩阵M M H C n Q n C n n P n C n A *2)()()1,()()(∈+-= 步骤5 卡尔曼增益M N H C n A n C n n P n K *1)()()1,()(∈-=- 或 )()()()(1 2n Q n C n P n K H -= 步骤6 状态估计 1*1)()()|(?)|(?N n n C n n K n x n x ∈+=-αξξ 步骤7 状态估计自相关矩阵 N N C n n P n C n K I n P *)1,()]()([)(∈--= 或 )()()()]()()[1,()]()([)(2n K n Q n K n C n K I n n P n C n K I n P H H +---= 步骤8 重复步骤1-7，进行递推滤波计算 4、经典谱估计方法： 现代信号处理课程设计实验报告 实验课题：现代信号处理 专业班级： 学生姓名： 学生学号： 指导老师： 完成时间： 目录 一．前言-------------------------------------------------2 二．课程设计内容要求及题目-------------------------3 三．设计思想和系统功能结构及功能说明-----------4 四．关键部分的详细描述和介绍，流程图描述关键模块和设计思想--------------------------------------------------7 五．问题分析及心得体会--------------------------20 六．参考文献------------------------------------------21 七．附录：程序源代码清单------------------------21 一、前言 数字滤波在通信、图像编码、语音编码、雷达等许多领域中有着十分广泛的应用。目前，数字信号滤波器的设计在图像处理、数据压缩等方面的应用取得了令人瞩目的进展和成就。它是数字信号处理理论的一部分。数字信号处理主要是研究用数字或符号的序列来表示信号波形，并用数字的方式去处理这些序列，以便估计信号的特征参量，或削弱信号中的多余分量和增强信号中的有用分量。具体来说，凡是用数字方式对信号进行滤波、变换、调制、解调、均衡、增强、压缩、固定、识别、产生等加工处理，都可纳入数字信号处理领域。数字信号处理学科的一项重大进展是关于数字滤波器设计方法的研究。关于数字滤波器，早在上世纪40年代末期就有人讨论设计它的可能性问题，在50年代也有人讨论过数字滤波器，但直到60年代中期，才开始形成关于数字滤波器的一整套完整的正规理论。在这一时期，提出了各种各样的数字滤波器结构，有的以运算误差最小为特点，有的则以运算速度高见长，而有的则二者兼而有之。出现了数字滤波器的各种实现方法，对递归和非递归两类滤波器作了全面的比较，统一了数字滤波器的基本概念和理论。 数字滤波器与模拟滤波器相比，具有精度高、稳定、体积小、重量轻、灵活、不要求阻抗匹配以及能实现模拟滤波器无法进行的特殊滤波等优点。 上学期学习了《数字信号处理》这门课，这学期的课程设计使我更加形象具体的掌握这门课程，并且可以熟练的运用MATLAB进行编程， “现代数字信号处理”复习思考题 变换 1.给出DFT的定义和主要性质。 2.DTFT与DFT之间有什么关系？ 3.写出FT、DTFT、DFT的数学表达式。 离散时间系统分析 1.说明IIR滤波器的直接型、级联型和并联型结构的主要特点。 2.全通数字滤波器、最小相位滤波器有何特点？ 3.线性相位FIR滤波器的h(n)应满足什么条件？其幅度特性如何？ 4.简述FIR离散时间系统的Lattice结构的特点。 5.简述IIR离散时间系统的Lattice结构的特点。 采样 1．抽取过程为什么要先进行滤波，此滤波器应逼近什么样的指标？ 维纳滤波 1．画出Wiener滤波器结构，写出平稳信号下的滤波方程，导出Wiener-Hopf方程。 2．写出最优滤波器的均方误差表示式。 3．试说明最优滤波器满足正交性原理，即输出误差与输入信号正交。 4．试说明Wiener-Hopf方程和Yule-Walker方程的主要区别。 5．试说明随机信号的自相关阵与白噪声的自相关阵的主要区别。 6．维纳滤波理论对信号和系统作了哪些假设和限制？ 自适应信号处理 1．如何确定LMS算法的μ值，μ值与算法收敛的关系如何？ 2．什么是失调量？它与哪些因素有关？ 3．RLS算法如何实现？它与LMS算法有何区别？ 4．什么是遗忘因子，它在RLS算法中有何作用，取值范围是多少？ 5．怎样理解参考信号d(n)在自适应信号处理处理中的作用？既然他是滤波器的期望响应，一般在滤波前是不知道的，那么在实际应用中d(n)是怎样获得的，试举两个应用例子来加以说明。 功率谱估计 1.为什么偏差为零的估计不一定是正确的估计？ 2.什么叫一致估计？它要满足哪些条件？ 3.什么叫维拉－辛钦(Wiener-Khinteche)定理？ 4.功率谱的两种定义。 5.功率谱有哪些重要性质？ 6.平稳随机信号通过线性系统时输入和输出之间的关系。 7.AR模型的正则方程(Yule-Walker方程)的导出。 8.用有限长数据估计自相关函数的估计质量如何？ 9.周期图法谱估计的缺点是什么？为什么会产生这些缺点？ 10.改进的周期图法谱估计有哪些方法？它们的根据是什么？ 11.既然隐含加窗有不利作用，为什么改进周期图法谱估计是还要引用各种窗？ 12.经典谱估计和现代谱估计的主要差别在哪里？ 13.为什么AR模型谱估计应用比较普遍？ 14.对于高斯随机过程最大熵谱估计可归结为什么样的模型？ 15.为什么Levison-Durbin快速算法的反射系数的模小于１？ 16.什么是前向预测？什么是后向预测？ 17.AR模型谱估计自相关法的主要缺点是什么？ 18.Burg算法与Levison-Durbin算法的区别有哪些？ 1 第1章 信号分析基础 1．1 信号的时－频联合分析 我们生活在一个信息社会里，而信息的载体就是我们本书要讨论的主题——信号。在我们身边以及在我们身上，信号是无处不在的。如我们随时可听到的语音信号，随时可看到的视频图像信号，伴随着我们生命始终的心电信号，脑电信号以及心音、脉搏、血压、呼吸等众多的生理信号。 对一个给定的信号，如)(t x ，我们可以用众多的方法来描述它，如)(t x 的函数表达式， 通过傅立叶变换所得到的)(t x 的频谱，即)(Ωj X ，再如)(t x 的相关函数，其能量谱或功率谱等。在这些众多的描述方法中，有两个最基本的物理量，即时间和频率。显然，时间和频率与我们的日常生活关系最为密切，我们时时可以感受到它们的存在。时间自不必说，对频率，如夕阳西下时多变的彩霞，音乐会上那优美动听的旋律以及在一片寂静中突然冒出的一声刺耳的尖叫等，这些都包含了丰富的频率内容。正因为如此，时间和频率也成了描述信号行为的两个最重要的物理量。 信号是变化着的，变化着的信号构成了我们周围五彩斑斓的世界。此处所说的“变化”，一是指信号的幅度随时间变化，二是指信号的频率内容随时间变化。幅度不变的信号是“直流”信号，而频率内容不变的信号是由单频率信号，或多频率信号所组成的信号，如正弦波、方波、三角波等。不论是“直流”信号还是正弦类信号都只携带着最简单的信息。 给定了信号)(t x 的函数表达式，或x 随t 变化的曲线，我们可以由此得出在任一时刻处 该信号的幅值。如果想要了解该信号的频率成分，即“在××Hz 处频率分量的大小”，则可通过傅立叶变换来实现，即 ?∞ ∞ -Ω-=Ωdt e t x j X t j )()( （1.1.1a ） ? ∞ ∞ -ΩΩΩ= d e j X t x t j )()(21π （1.1.1b ） 式中f π2=Ω，单位为弧度/秒，将)(Ωj X 表示成) (|)(|ΩΩ?j e j X 的形式，即可得到 |)(|Ωj X 和)(Ω?随Ω变化的曲线，我们分别称之为)(t x 的幅频特性和相频特性。 如果我们想知道在某一个特定时间，如0t ，所对应的频率是多少，或对某一个特点的频 P29采样、频率混叠，画图说明 将连续信号转换成离散的数字序列过程就是信号的采样。 它包含了离散和量化两个主要步骤。 若采样间隔Δt 太大，使得平移距离2π/Δt 过小。移至各采样脉冲函数对应频域序列点上的频谱X(ω)就会有一部分相互重叠， 由此造成离散信号的频谱与原信号频谱不一致，这种现象称为混叠。 P33列举时域参数（有量纲和无量纲），说明其意义与作用。 有量纲参数指标包括方根幅值、平均幅值、均方幅值和峰值四种。 无量纲参数指标包括了波形指标、峰值指标、脉冲指标和裕度指标。 偏斜度指标S 表示信号概率密度函数的中心偏离正态分布的程度，反映信号幅值分布相对其均值的不对称性。 峭度指标K 表示信号概率密度函数峰顶的陡峭程度，反映信号波形中的冲击分量的大小。 P37～自相关互相关及作用（举例说明） 相关，就是指变量之间的线性联系或相互依赖关系。 信号x (t )的自相关函数： 信号中的周期性分量在相应的自相关函数中不会衰减，且保持了原来的周期。因此，自相关函数可从被噪声干扰的信号中找出周期成分。 在用噪声诊断机器运行状态时，正常机器噪声是由大量、无序、大小近似相等的随机成分叠加的结果，因此正常机器噪声具有较宽而均匀的频谱。当机器状态异常时，随机噪声中将出现有规则、周期性的信号，其幅度要比正常噪声的幅度大得多。 依靠自相关函数就可在噪声中发现隐藏的周期分量，确定机器的缺陷所在。 （如：自相关分析识别车床变速箱运行状态，确定存在缺陷轴的位置；确定信号周期。） 互相关函数： 互相关函数的周期与信号x(t)和y(t)的周期相同，同时保留了两个信号的相位差信息φ。可在噪音背景下提取有用信息；速度测量；板墙对声音的反射和衰减测量等。 （如：利用互相关分析测定船舶的航速；探测地下水管的破损地点。P42） P51～蝶形算法 FFT 的基本思想是把长度为2的正整数次幂的数据序列｛x k ｝分隔成若干较短的序列作DFT 计算，用以代替原始序列的DFT 计算。然后再把他们合并起来。得到整个序列｛x k ｝DFT 。(图示N=8时FFT) t t x t x T R T T x d )()(1lim )(0 ? ±=∞ →ττt t y t x T R T T xy d )()(1lim )(0 ? +=∞ →ττ x 0 x 1x 2x 3x 4x 5x 6 x 7x 0x 4x 6x 3x 5 x 0x 4x 2x 6x 1x 5x 3x 7x 0x 4x 2x 6x 1x 5x 3x 7x'0 x'4 x' 2x'6 x'1 x'5x'3 x'7 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1-1 -1 -1 -1 -1 X 0 X 1 X 2X 3 X 4X 5X 6X 7 x 7x 1x 2N W N W N W 0N W 0N W N W N W 1 N W 1 N W 1 N W 0N 0N W 2N W 3 第5章信号的抽取与插值 5.1前言 至今，我们讨论的信号处理的各种理论、算法及实现这些算法的系统都是把抽样频率 f视为恒定值，即在一个数字系统中只有一个抽样率。但是，在实际工作中，我们经常会s 遇到抽样率转换的问题。一方面，要求一个数字系统能工作在“多抽样率（multirate）”状态，以适应不同抽样信号的需要；另一方面，对一个数字信号，要视对其处理的需要及其自身的特征，能在一个系统中以不同的抽样频率出现。例如： 1. 一个数字传输系统，即可传输一般的语音信号，也可传输播视频信号，这些信号的频率成份相差甚远，因此，相应的抽样频率也相差甚远。因此，该系统应具有传输多种抽样率信号的能力，并自动地完成抽样率的转换； 2. 如在音频世界，就存在着多种抽样频率。得到立体声声音信号（Studio work）所用的抽样频率是48kHz，CD产品用的抽样率是44.1kHz，而数字音频广播用的是32kHz[15]。 3. 当需要将数字信号在两个具有独立时钟的数字系统之间传递时，则要求该数字信号的抽样率要能根据时钟的不同而转换； 4.对信号（如语音，图象）作谱分析或编码时，可用具有不同频带的低通、带通及高通滤波器对该信号作“子带”分解，对分解后的信号再作抽样率转换及特征提取，以实现最大限度减少数据量，也即数据压缩的目的； 5. 对一个信号抽样时，若抽样率过高，必然会造成数据的冗余，这时，希望能在该数字信号的基础上将抽样率减下来。 以上几个方面都是希望能对抽样率进行转换，或要求数字系统能工作在多抽样率状态。近20年来，建立在抽样率转换理论及其系统实现基础上的“多抽样率数字信号处理”已成为现代信号处理的重要内容。“多抽样率数字信号处理”的核心内容是信号抽样率的转换及滤波器组。 减少抽样率以去掉过多数据的过程称为信号的“抽取（decimatim）”，增加抽样率以增加数据的过程称为信号的“插值（interpolation）。抽取、插值及其二者相结合的使用便可实现信号抽样率的转换。 推荐精选 现代数字信号处理实验报告 1、估计随机信号的样本自相关序列。先以白噪声()x n 为例。 (a) 产生零均值单位方差高斯白噪声的1000个样点。 (b)用公式： 999 1?()()()1000x n r k x n x n k ==-∑ 估计()x n 的前100个自相关序列值。与真实的自相关序列()()x r k k δ=相比较，讨论你的估计的精确性。 (c) 将样本数据分成10段，每段100个样点，将所有子段的样本自相关的平均值作为()x n 自相关的估值，即： 999 00 1?()(100)(100) , 0,1,...,991000x m n r k x n m x n k m k ===+-+=∑∑ 与(b)的结果相比，该估计值有什么变化？它更接近真实自相关序列()()x r k k δ=吗？ (d)再将1000点的白噪声()x n 通过滤波器1 1 ()10.9H z z -= -产生1000点的y (n )，试重复(b)的工作，估计y (n )的前100个自相关序列值，并与真实的自相关序列()y r k 相比较，讨论你的估计的精确性。 仿真结果： (a) 图1.1零均值单位方差高斯白噪声的1000个样本点 分析图1.1：这1000个样本点是均值近似为0，方差为1的高斯白噪声。(b) 图1.2() x n的前100个自相关序列值 分析上图可知：当k=0时取得峰值，且峰值大小比较接近于1，而当k≠0时估计的自相关值在0附近有小幅度的波动，这与真实自相关序列r (k)=δ(k) x 比较接近，k≠0时估计值非常接近0，说明了估计的结果是比较精确的。 仿真作业 姓名：李亮 学号：S130101083 4.17程序 clc; clear; for i=1:500 sigma_v1=0.27; b(1)=-0.8458; b(2)=0.9458; a(1)=-(b(1)+b(2)); a(2)=b(1)*b(2); datlen=500; rand('state',sum(100*clock)); s=sqrt(sigma_v1)*randn(datlen,1); x=filter(1,[1,a],s); %% sigma_v2=0.1; u=x+sqrt(sigma_v2)*randn(datlen,1); d=filter(1,[1,-b(1)],s); %% w0=[1;0]; w=w0; M=length(w0); N=length(u); mu=0.005; for n=M:N ui=u(n:-1:n-M+1); y(n)=w'*ui; e(n)=d(n)-y(n); w=w+mu.*conj(e(n)).*ui; w1(n)=w(1); w2(n)=w(2); ee(:,i)=mean(e.^2,2); end end ep=mean(ee'); plot（ep）; xlabel('迭代次数');ylabel('MSE');title('学习曲线'); plot(w1); hold; plot(w2); 仿真结果： 步长0.015仿真结果 0.10.20.30.4 0.50.60.7迭代次数 M S E 学习曲线 步长0.025仿真结果 步长0.005仿真结果 4.18 程序 data_len = 512; %样本序列的长度 trials = 100; %随机试验的次数 A=zeros(data_len,2);EA=zeros(data_len,1); B=zeros(data_len,2);EB=zeros(data_len,1); for m = 1: trials a1 = -0.975; a2 = 0.95; sigma_v_2 =0.0731; v = sqrt(sigma_v_2) * randn(data_len, 1, trials);%产生v(n) u0 = [0 0]; num = 1; den = [1 a1 a2]; Zi = filtic(num, den, u0); %滤波器的初始条件 u = filter(num, den, v, Zi); %产生样本序列u(n) %（2）用LMS滤波器来估计w1和w2 mu1 = 0.05; mu2 = 0.005; w1 = zeros(2, data_len); 现代数字信号处理期末试题 1.短时Fourier变换、小波变换和Gabor变换都是时频信号分析的（线性变换）或（线性时频）表示，而Wigner-Ville分布则属于时频信号分析的（非线性变换）。 2. 简述小波变换的概念及其优点。 答：小波变换从基函数角度出发，吸取傅里叶变换中的三角基(进行频率分析)与短时傅里叶变换中的时移窗函数的特点，形成振荡、衰减的基函数，因为它的定义域有限，故称为小波。小波基函数是时间t、尺度因子a和时移参数b的函数。 小波变换的优点： ⑴小波分解可以覆盖整个频域（提供了一个数学上完备的描述）。 ⑵小波变换通过选取合适的滤波器，可以极大的减小或去除所提取得不同特征之间的相关性。 ⑶小波变换具有“变焦”特性，在低频段可用高频率分辨率和低时间分辨率（宽分析窗口），在高频段，可用低频率分辨率和高时间分辨率（窄分析窗口）。 ⑷小波变换实现上有快速算法（Mallat小波分解算法）。 3. 相对于Mallat塔形算法而言，第二代小波方法的优势在哪里？ 答：1.它不依赖于傅里叶变换，完全在时域中完成对双正交小波的构造，具有结构化设计和自适应构造方面的有点 2.构造方法灵活，可以从一些简单的小波函数，通过提升改善小波函数的特性，从而构造出具有期望特性的小波 3.不再是某一给定小波函数的伸缩和平移，它适合于不等间隔采样问题的小波构造 4.算法简单，运算速度快，占用内存少，执行效率高，可以分析任意长度的信号。4.EMD方法在机械设备故障诊断中的应用有（机车轮对轴承损伤定量识别方法）、（烟气轮机摩擦故障诊断）。 5. 随机信号特点？ 答：随机信号也称随机过程，随机信号在任何时间的取值都是不能先验证确定的随机变量。虽然随机信号取值不能先验证确定，但这些取值却服从某种统计规律，换言之，随机信号或过程可以用概率分布特点（简称统计性能）统计的描述。6. 简述经典功率谱估计与现代功率谱估计的差别。 答:功率谱反映了随机信号各频率成份功率能量的分布情况，可以揭示信号中隐含的周期性及靠得很近的谱峰等有用信息，在许多领域都发挥了重要作用。然而，实际应用中的平稳随机信号通常是有限长的，只能根据有限长信号估计原信号的真实功率谱，这就是功率谱估计。功率谱估计分为经典谱估计和现代谱估计。经典谱估计是将数据工作区外的未知数据假设为零，相当于数据加窗，主要方法有相关法和周期图法；现代谱估计是通过观测数据估计参数模型再按照求参数模型输出功率的方法估计信号功率谱，主要是针对经典谱估计的分辨率低和方差性能不好等问题提出的。 7.自适应滤波方法主要是基于几种基本理论再融合递推算法导出来的？ 答：（1）基于维纳滤波理论的方法。基于维纳滤波原理，利用相关的瞬时值通过在工作过程中的逐步调整参数逼近信号的统计特性，实现最优滤波。由此得到一种最常用的算法——最小均方算法，简称LMS算法 （2）基于卡尔曼滤波理论的方法。利用卡尔曼滤波理论的递推求解法导出自适应滤波器更新权矢量得不同递推算法。 第一章 ） ，（服从正态分布，即之间的唯一性定理知：由特征函数与分布函数）（）（）（）（）（）（的特征函数则），，，（此外，）（的特征函数为： ）（）（）（）（）。概率密度函数为： ，（服从正态分布，即 、证明：∑ ∑∑∑∑∑ ∑ =-=-===-=? ? ? ???---= -x T x x T T T x x T T T T T x T x N x T T x X x T x x x N x x B B B m N X B B B B m j B B B m j B f f t t t t t t t m j t f X m X m X x p m N X X ~]2 1exp[]2 1exp[ ]2 1exp[21exp 21 ~121121 2 ξξμμμμμμμμξπξ [] 相互独立。 与） （）（）（）（），（的联合概率密度函数为 ，），（的协方差为 ，的协方差为 设、证明： Y X Y p X p Y Y X X Y X R Y X R Y X p Y X Y X E R Y X Cov Y X T X T X Y X M N T XY T XY M N Y X Y X T Y X N N N N ∴=??????--= ??? ?????????????????????-= ∴??? ???? ?===∑∑∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑ ++??2121exp 21 21exp 21 00 ][22 12122 12 ππ 。 且，则，，则要使））（（则，为常量。，其中设、证明： ∑ = =-==∴====+-=----==+=x T x x xx ee x T ee T T x x xx T x x ee T x x x Cov m m R R m x a a a aa R aa m m R a m x a m x E R ee E a a m x ),(?0 0min ] [][?3 现代信号处理第一章习题答案： 习题 1) 证明1： 可通过特征函数证明（证明略） 证明2： 设X ，Y 为量个独立的随机变量，概率密度分别为()X f x ，()Y f y 。那么随即变量Z=X+Y 的分布函数为 {}()()()Z X Y x y z F z P Z z f x f y d x d y +≤=≤=??。将该式化成累次积分，得到 ()()()z y Z X Y F z f x f y dx dy ∞--∞-∞??=???? ??，令x=t-y ，得到()()()()z y z X Y X Y f x f y dx f t y f y dt --∞-∞=-?? 那么 ()()()()()z z Z X Y X Y F z f t y f y dt dy f t y f y dy dt ∞∞ -∞-∞-∞-∞????=-=-???????? ???? 所以 ()()()Z X Y X Y f z f z y f y dy f f ∞-∞ =-=*? 。证毕。 2) 根据题意，有 2 2 (),x X f x x -= -∞<<∞ ，22 (),y Y f y y - = -∞<<∞ 根据习题1， Z=X+Y 的概率密度为 2 2()2 2 1 ()()()2z y y Z X Y X Y f z f f f z y f y dy e e dy π -- - ∞∞ -∞ -∞ =*=-= ? ? =2 2 ()4 2 12z z y e e dy π ---∞ -∞ ? 通过换元，得到 2 2 4 1()2z t z f z e e dt π -∞ --∞=?，2 2 02t t e dt e dt ∞ ∞---∞=??，其中2 0t e dt ∞ -?为Poisson 积分，2 t e dt ∞ -= ?所以 24 ()z z f z -= ，所以~(0,2)Z N 。 3) 由相关系数的定义 12 Z Z ρ= ，1211221212(,){[()][()]}()()()Cov Z Z E Z E Z Z E Z E Z Z E Z E Z =--=-由 题意得2()(),()() E X E Y D X D Y μσ====，22222()()[()]()E X D X E X E Y σμ=+=+=根据均值和方差的性质： 1()()()()()E Z E X Y E X E Y αβαβαβμ=+=+=+ 222221()()()()()D Z D X Y D X D Y αβαβαβσ=+=+=+， 2()()()()()E Z E X Y E X E Y αβαβαβμ=-=-=- ！！根据方差的定义展开222222()()()()()D Z D X Y D X D Y αβαβαβσ=-=+=+ 222212()[()()]()(E Z Z E X Y X Y E X Y αβαβαβαβμσ=+-=-=2222-)(+) 现代数字信号处理Advanced Digital Signal Processing 东南大学信息科学与工程学院 杨绿溪 教科书、参考书 ?杨绿溪, 现代数字信号处理, 科学出版社, 2008年12月。?胡广书，数字信号处理----理论、算法与实现，清华大学出版社，1997(或2003)年。 ?皇甫堪等，现代数字信号处理，电子工业出版社，2004年6月。 ?丁玉美等，数字信号处理-----时域离散随机信号处理，西安电子科技大学出版社，2002年12月。 ?金连文，韦岗，现代数字信号处理简明教程，清华大学出版社，2004年1月。 ?何子述等，现代数字信号处理及其应用，清华大学出版社，2009年5月。 ?S.Haykin, Adaptive Filter Theory, Prentice Hall, 2001. 课程基本内容 1.离散时间信号处理基础(本科内容复习) 2.离散随机信号分析基础 –离散时间随机信号基本概念? –基本的正交变换(与信号正交展开、去相关) –基本的参数估计方法 3.线性预测和格型滤波器(语音编码应用)? 4.随机信号的线性建模? 5.功率谱估计(与频率估计、子空间分析)? 6.最优线性滤波: 维纳滤波与卡尔曼滤波? 7.自适应滤波器(线性系统的学习)? 可能选讲或简介的内容 8.多速率数字信号处理和滤波器组 9. 神经智能信息处理；压缩感知等 10. 盲信号处理 11.空时、阵列与MIMO信号处理 12.信号的时频分析 第一章离散时间信号处理基础??本科课程内容复习?? ?数字信号与数字信号处理(DSP)概述 ?滤波器－－简单的数字信号处理系统 ?信号的变换－z变换、DTFT、DFT和FFT ?特殊的序列（和对应的滤波器） –全通序列、最小相位序列、线性相位、半正定序列 西 以时间为自变量描述物理量的变化是信号最基 在时域内对信号进行滤波、放大、统计特征计 通过时域分析方法，可以有效提高信噪比，求 常用的信号预处理方法传感器获取的信号往往比较微弱，并伴随着各种噪 声。 不同类型的传感器，其输出信号的形式也不尽相 同。 为了抑制信号中的噪声，提高检测信号的信噪比， 便于信息提取，须对传感器检测到的信号进行预处 所谓信号预处理，是指在对信号进行变换、提取、 信号滤波处理是消除或减弱干扰噪声，保留有用信 把实现滤波功能的系统称之为滤波器。 滤波器可分为两大类，即经典滤波器和现代滤波定义：当噪声和有用信号处于不同的频带时，噪声通过滤波器将被衰减或消除，而有用信号得以保留分类 经典滤波概念和方法建立在频域分析基础上理想模拟滤波器是一个理想化的模型，对其讨论有 助于进一步了解和改进实际滤波器的性能 理想模拟滤波器的幅频特性曲线 由于理想低通滤波器具有矩形幅频特性和线性相位 特性。同时，理想高通、带通和带阻滤波器均可以 理想低通滤波器的矩形 理想低通滤波器的单位脉冲响应函数 实际的滤波器为了物理上可实现，通常在通带和阻带之间设置过渡带实际滤波器的幅频特性幅值在通带和阻带内一般不严格为 波动的大小分别用通带和阻带内的衰减 实际滤波器的参数还有：波纹幅度、带宽、品质因数和倍频程选择性等 数字滤波器有无限冲击响应击响应 IIR FIR FIR IIR 数字滤波器目前最通用的设计方法是利用已经很成 不论是 设计都包括三个步骤 Matlab数字滤波器设计演示(FDATool.fda, SPTool.fda)当噪声频带和有用信号频带相互重叠时，经典滤波器就无法实现滤波功能 现代滤波器也称统计滤波器，从统计的概念出发对信号在时域进行估计，在统计指标最优的意义下，常用的统计滤波器有维纳滤波器和卡尔曼滤波器两类现代信号处理教程 - 胡广书(清华)
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