数学函数知识点总结
1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”
。
如：集合 A
x | y lg x ， B y | y lg x ， C ( x, y) | y lg x ， A 、 B 、 C
中元素各表示什么？
A 表示函数 y=lgx 的定义域，
B 表示的是值域，而
C 表示的却是函数上的点的轨迹
2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况
( 注重借助于数轴和文氏图解集合问题
)
空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。
如：集合 A
x|x 2
2x 3 0 ， B x|ax 1
若B A ，则实数 a 的值构成的集合为
（答：
1，0， 1
）
3
显然，这里很容易解出 A={-1,3}. 而 B 最多只有一个元素。故 B 只能是 -1 或者 3。根据条件，可以得到 a=-1,a=1/3. 但是， 这里千万小心，还有一个 B 为空集的情况，也就是 a=0, 不要把它搞忘记了。 3. 注意下列性质：
（1）集合 a 1，a 2，??，a n 的所有子集的个数是 2n
；
要知道它的来历： 若 B 为 A 的子集，则对于元素
a 1 来说，有 2 种选择（在或者不在） 。同样，对于元
素 a 2, a 3, ?? a n , 都有 2 种选择，所以，总共有 2n 种选择， 即集合 A 有 2n 个子集。
当然，我们也要注意到，这 2n 种情况之中，包含了这 n 个元素全部在和全部不在的情况，故 真子集个 数为 2n 1，非空真子集个数为 2n 2
（2）若A B
A B A
A B B ；
（3）德摩根定律：
C U A
B
C U A C U B ，C U A
B
C U A
C U B
4. 你会用补集思想解决问题吗？（ 排除法、间接法 ）
如：已知关于 x 的不等式
ax
5 0的解集为 M ，若 3 M 且 5 M ，求实数 a
x 2
a
的取值范围。
（∵ 3
M ，∴
a · 3
5 0
32
a
a
1，
5
9， 25 ）
M ，∴
a · 5
5 3
∵ 5
52
a
5. 熟悉命题的几种形式、
可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有
“或” (
)，“且”(
)和“非”(
).
1. 若p q 为真，当且仅当 p 、 q 均为真
2.
若p q 为真，当且仅当 p 、 q 至少有一个为真
3,
若 p 为真，当且仅当 p 为假
命题的四种形式及其相互关系是什么？
答: （互为逆否关系的命题是等价命题。 ） 原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同
假。
6. 熟悉充要条件的性质（高考经常考）
A { x | x 满足条件 p} ，
B { x | x 满足条件 q} ，
若 ；则 p 是 q 的充分非必要条件 A _____ B ； 若 ；则 p
是 q
的必要非充分条件
A _____
B ；
若
；则 p 是 q
的充要条件 A _____ B ；
若
；则 p 是 q
的既非充分又非必要条件 ___________ ； 7. 对映射的概念了解吗？映射 f ：A → B ，是否注意到 A 中元素的任意性和 B 中与之对应元素的唯一性，
哪几种对应能构成映射？ （一对一，多对一，允许 B 中有元素无原象。）
m
注意映射个数的求法。如集合 A 中有 m 个元素，集合 B 中有 n 个元素，则从 A 到 B 的映射个数有 n 个。
如：若 A {1,2,3,4} ， B
{ a, b, c} ；问： A 到 B 的映射有 个， B 到 A 的映射有 个； A 到
B 的函数有
个，若 A
{1,2,3} ，则 A 到 B 的一一映射有
个。
8. 求函数的定义域有哪些常见类型？
x 4 x
（答： 0， 2
2， 3
3，4 ）
例：函数 y
的定义域是
lg x
2
3
函数定义域求法：
（1）. 分式中的分母不为零；
（2）. 偶次方根下的数（或式）大于或等于零；
（3）. 指数式的底数大于零且不等于一；
（4）. 对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。
（5）. 正切函数 y
tan x
x
R, 且 x k
, k
2
（6）. 余切函数 y
cot x x R,且 x k , k
9. 如何求复合函数的定义域？
如：函数 f (x)的定义域是
a ，
b ， b a 0，则函数 F ( x) f (x) f ( x)的定
义域是 _____________。 （答： a ， a ）
复合函数定 义域 的 求法 ：已 知 y
f ( x) 的 定义 域为 m, n ， 求 y
f g(x) 的定 义域 ，可 由
m g( x) n 解出 x 的范围，即为 y
f g(x) 的定义域。
例：若函数 y
f ( x) 的定义域为
1 ，则 f (log
2 x) 的定义域为
。
,2
2
分析：由函数 y
f (x) 的定义域为
1
,2 可知：
1
x 2 ；所以 y
f (lo
g 2 x) 中有
1
log 2 x 2 。
2
2
2
解：依题意知：
1
log 2 x
2
2
解之，得： 2
x 4
∴
f (lo
g 2 ) 的定义域为 x | 2 x 4
x
10．函数值域的求法
（1）、配方法 配：求二次函数值域最基本的方法之一。
例、求函数 y= x 2 -2x+5 ，x [-1 ，2] 的值域。
（2）、判别式法： 对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用
（ 3）、反函数法
直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。
例 求函数 y= 3x 4 值域。
5x
6
（ 4）、函数有界性法
直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调
性，最常用的就是三角函数的单调性。
例 求函数 y=
e x
1
， y
2sin 1
， y
2sin 1
的值域。
e x 1
1 sin
1 cos
y
e x 1 e x
1 y 0
e x
1
1 y
y
2sin 1 | sin | | 1
y | 1,
1 sin
2 y
y 2sin 1 2sin 1 y(1 cos )
1 cos
2sin y cos 1 y
4 y 2 sin(
x)
1 y,即sin(
x)
1 y
4 y 2
又由
sin(
x) 知
1 y 1
1
4 y 2
解不等式，求出 y ，就是要求的答案
（5）、函数单调性法： 通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容
例：求函数 y=
2
x 5
log 3
x 1 （2≤x ≤10）的值域
（6）、换元法： 通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三
角函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。
例：求函数 y=x+
x 1 的值域。
（7）、数形结合法： 其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，
这
类题目若运用数形结合法，往往会更加简单。
2
2
例: 求函数 y=
x
6x 13 +
x
4x 5 的值域
( x
2
2
2
2
解：原函数可变形为： y=
3)
(0 2) +
(x
2)
(0 1)
上式可看成 x 轴上的点 P （x ，0）到两定点 A （ 3， 2），B （-2 ，-1 ）的距离之和，
2
2
由图可知当点 P 为线段与 x 轴的交点时， y m in =∣AB ∣ = (3 2)
(2 1) = 43，
故：所求函数的值域为 [ 43 ， +∞）。
(8) 、不等式法： 利用基本不等式 a+b ≥2 ab ，a+b+c ≥3 3 abc （a ，b ，c ∈
R ），求函数的最值，
其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。
例：
x 2 2 ( x 0)
x
=x
2
1 1
3 3 x
2
1 1
3
x
x x x
(
应用公式
a+b+c
3 3
abc 时，注意使
者的乘积变成常数）
3 (9). 倒数法 ：有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况
例：
求函数 y=
x
2
的值域
x 3
y
x 2
x 3
x 2 0时，
1 x
2 1
x
1 1
y
x 2
2
2 0 y
x 2
2
x 2 时， y =0
0 y 1
2
11. 反函数存在的条件是什么？（一一对应函数）
求反函数的步骤：①反解 x ；②互换 x 、 y ；③注明定义域
如：求函数 f (x )
1 x x 0 x 2
x
的反函数
（答： f x 1
x 1
1
(x)
x
）
x
12.
反函数的性质： 1. 反函数的定义域是原函数的值域 （可扩展为反函数中的 x 对应原函数中 y ）
2. 反函数的值域是原函数的定义域 （可扩展为反函数中的 y 对应原函数中的 x ）
3. 反函数的图像和原函数关于直线 =x 对称（难怪点（ x,y ）和点（ y ，x ）关于直线 y=x 对称
①互为反函数的图象关于直线 y ＝x 对称；②保存了原来函数的单调性、奇函数性；
③设 y f(x) 的定义域为 A ，值域为 C ， a
A ， b C ，则 f(a) = b f 1 (b) a f 1 f (a) f 1 (b) a ， f f 1 (b) f (a)
b
13. 如何用定义证明函数的单调性？（取值、作差、判正负）
判断函数单调性的方法：
根据定义，设任意得 x 1,x 2，找出 f(x 1),f(x 2 ) 之间的大小关系
可以变形为求
f ( x 1 )
f ( x 2 )
的正负号或者
f ( x 1 )
与 1 的关系
x 1 x 2
f (x 2 )
如：求 y log
1 x
2 2 x 的单调区间
2
（设 u x 22x，由 u0则 0 x 2
且 log 1u， u x 12
1，如图：
2
u
O12x
当x( 0， 1]时， u，又 log 1u，∴ y
2
当x[1， 2) 时， u，又 log 1u，∴ y
2
∴??）
14.如何利用导数判断函数的单调性？
在区间 a，b 内，若总有 f '( x )0则 f ( x )为增函数。（在个别点上导数等于零，不影响函数的单调性），反之也对，若 f '( x)0呢？
如：已知 a0，函数 f ( x)x 3ax在 1，上是单调增函数，则 a的最大值是（）
（令 f '( x) 3x 2 a 3 x a x a0
33
则 x a
或 x a 33
由已知 f ( x) 在 [1，)上为增函数，则a
1，即 a 3 3
∴a 的最大值为 3。
15.复合函数奇偶性：在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；
一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。
16.若 f(x) 是奇函数且定义域内有原点，则f(x)=0 。
如：若 f ( x)a· 2 x a
2 为奇函数，则实数a
2 x1
（∵ f ( x) 为奇函数， x R，又 0R，∴ f (0)0
即 a· 20a20，∴ a1）
201
17.判断函数奇偶性的方法
1、定义域法：一个函数是奇（偶）函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇（偶）函数的必要条件.
若函数的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数.
2、奇偶函数定义法：在给定函数的定义域关于原点对称的前提下，计算 f ( x) ，然后根据函数的奇偶性的定
义判断其奇偶性 .
这种方法可以做如下变形
f(x)+f(-x) =0奇函数
f(x)-f(-x)=0偶函数
f(x)
偶函数
1
f(-x)
f(x)
奇函数
1
f(-x)
18 . 你熟悉周期函数的定义吗？
如：若 f x a f ( x) ，则
（答： f (x)是周期函数， T2a为f (x) 的一个周期）
我们在做题的时候，经常会遇到这样的情况：告诉 f(x)+f(x+t)=0,要马上反应过来，这时说这个函
f ( x )f( x t )0
f ( x )f ( x 2 t ) ，
数周期 2t. 推导：f ( x t )f( x2t ) 0
同时可能也会遇到这种样子：f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x).其实这都是说同样一个意思：函数 f(x) 关于直线对称，对称轴可以由括号内的 2 个数字相加再除以 2 得到。比如，f(x)=f(2a-x),
或者说 f(a-x)=f(a+x)就都表示函数关于直线x=a 对称。
如：
又如：若
f ( x)图象有两条对称轴，
x b
x a
即
f (a x) f (a
，
f (b x) f (b x) x)
f (x) f (2a x)
f (2a x) f (2b x)
f (x) f (2b x)
令 t 2a x,则2b x t 2b 2a, f (t) f (t2b 2a)
即f ( x) f ( x 2b 2a)
所以 ,函数 f (x)以2 | b a | 为周期 (因不知道 a, b的大小关
系 , 为保守起见 ,我加了一个绝对值
19.你掌握常用的图象变换了吗？
f ( x) 与f ( x) 的图象关于y轴对称联想点（x,y）,(-x,y)
f ( x)与 f ( x)的图象关于x轴对称联想点（x,y）,(x,-y)
f ( x)与 f ( x) 的图象关于原点对称联想点（x,y）,(-x,-y)
f ( x)与f 1 ( x) 的图象关于直线y x 对称联想点（x,y）,(y,x)
f ( x)与f (2a x)的图象关于直线x a 对称联想点（x,y）,(2a-x,y)
f ( x)与 f ( 2a x) 的图象关于点( a，0)对称联想点（x,y）,(2a-x,0)
将 y f (x ) 图象
左移 a(a 0) 个单位y f ( x a)上移 b(b 0) 个单位y f ( x a)b
右移 a(a 0) 个单位y f ( x a)下移 b(b 0) 个单位y f ( x a)b 注意如下“翻折”变换：
f (x)| f ( x) |把 x轴下方的图像翻到上面
f (x) f (| x |)把 y轴右方的图像翻到上面
如：f ( x)log 2x1
作出 y log 2x 1 及y log 2x 1 的图象
y
y=log 2x
O1x
20.你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？
(k<0) y(k>0)
y=b
O’ (a,b)
O x
x=a
（ 1）一次函数： y kx b k0(k 为斜率， b 为直线与 y 轴的交点 )
（ 2）反比例函数：y k
0 推广为 y b
k
0是中心 O'( a， b) k k
x x a
的双曲线。
2
b2
（ 3）二次函数 y ax2bx c a0 a x b4ac图象为抛物线
2a4a
顶点坐标为 b ， 4ac b2，对称轴 x b
2a4a2a
开口方向： a0，向上，函数
4ac b2 y
min4a
4ac b2
a 0，向下， y max
4a
根的关系： x b
2a
x1x2b c
x2 |
, x1 x2,| x1
a a| a |
二次函数的几种表达形式：
f ( x)ax2bx c(一般式 )
f ( x)a(x m)2n(顶点式，（ m， n）为顶点
f ( x)a(x x1 )( x x2 )( x1 , x2是方程的 2个根）
f ( x)a(x x1 )( x x2 )h(函数经过点（ x1 , h)(x2 ,h)
例如：二次方程ax2bx c 0的两根都大于k
b
k 2a
f ( k )0
y
(a>0)
O k x1x2x
一根大于 k，一根小于 k f (k )0
在区间（ m，n）内有 2根在区间（ m，n）内有 1根
m
b
n
2a
f ( m)0
f ( n)0
f (m) f (n)0
（ 4）指数函数： y a x a0， a1（5）对数函数 y log a x a0，a1由图象记性质（注意底数的限定）！
y
y=a x (a>1)
(0
1
O 1x
(0 （ 6）“对勾函数” y x k k x 利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？（均值不等式一定要注意等号成立的条件） y k O k x 21.如何解抽象函数问题？ （赋值法、结构变换法） 如：（ 1） x R，f ( x)满足 f ( x y) f ( x) f ( y )，证明 f (x)为奇函数。 （先令 x y 0 f (0) 0再令 y x，??） （ 2）x R，f (x)满足 f (xy) f (x) f ( y)，证明 f (x)是偶函数。 （先令 x y t f ( t)( t) f ( t· t ) ∴f ( t ) f ( t ) f ( t) f (t ) ∴f ( t ) f ( t) ??） 22.几类常见的抽象函数 1.正比例函数型的抽象函数 f （x）＝ kx（ k≠） f （x±y）＝ f （ x）± f （y） 0 --------------- 2. 幂函数型的抽象函数 f （x）＝ x a---------------- f （ xy）＝ f （x）f （y）； f （x ）＝ f (x) yf ( y) 3.指数函数型的抽象函数 f （x）＝ a x------------------- f （x＋y）＝ f （x）f （y）；f （x－y）＝ f ( x) f ( y) 4. 对数函数型的抽象函数 f（x）＝ lo g a x（a >0 且 a≠） ----- f （x·y）＝ f （ x）＋ f （y）； f （ x ）＝ f （x）－ f （y）1 y 5.三角函数型的抽象函数 f （x）＝ t gx--------------------------f（x＋y）＝ f ( x) f ( y) 1 f ( x) f ( y) f（x）＝cot x------------------------f（x＋y）＝ f ( x) f ( y) 1 f ( x) f ( y)
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