第5讲 圆周运动中常见的模型及应用
第一部分
知识点一 常见模型之一 1．火车转弯
如果车轮与铁轨间无挤压力，则向心力完全由重力和支持力提供
r v m
mg 2
tan =ααtan gr v =?,v 增加，外轨挤压，如果v 减小，内轨挤压
2．圆锥摆
αωαsin tan 2l m mg =
3．圆锥问题
θωωθωθθtan tan cos sin 22r g
r
g
r m N mg
N =
?=
?==
典型例题：
例1 列车轨道在转弯处外轨高于内轨，其高度差由转弯半径与火车速度确定。若在某转弯处规定行驶速度为v ，则下列说法中正确的是： （ ） ①当以速度v 通过此弯路时，火车重力与轨道面支持力的合力提供向心力
②当以速度v 通过此弯路时，火车重力、轨道面支持力和外轨对轮缘侧弹向力的合力提供向心力 ③当速度大于v 时，轮缘侧向挤压外轨 ④当速度小于v 时，轮缘侧向挤压外轨
A. ①③
B. ①④
C. ②③
D. ②④
例2 用细线吊着一个小球，使小球在水平面内做半径为R 匀速圆周运动；圆周运动的水平面距离悬点h ，距离水平地面H ．若细线突然在A 处断裂，求小球在地面上的落点P 与A 的水平距离．
例3 小球在半径为R 的光滑半球内做水平面内的匀速圆周运动，球心连线跟竖直方向的夹角）与线速度v 、周期T 的关系。
针对性练习：
1．在高速公路的拐弯处，路面要造得外高内低，即当车向右拐弯时，司机左侧的路面比右侧要高一
些，路面与水平面的夹角为θ，设拐弯路段为半径为R 的圆弧，要使车速为V 时车轮与路面之间的横向（即垂直于前进方向）摩擦力等于零，θ应等于………… （ ）
A. B. C. D.
2．如图所示，固定的锥形漏斗内壁是光滑的，内壁上有两个质量相等的小球A 和B ，在各自不同的水平面做匀速圆周运动，以下说法正确的是 ( ) A ．V A > V B B ． ωA > ωB C ．a A > a B D ．压力N A > N B
3．如图所示，在男女双人花样滑冰运动中，男运动员以自己为转动轴拉着女运动员
做匀速圆周运动，若男运动员的转速为30转/分，女运动员触地冰鞋的线速度为4.7m/s 。g 取10m/s 2。求：
（1）女运动员做圆周运动的角速度及触地冰鞋做圆周运动的半径；
（2）若男运动员手臂与竖直夹角600，女运动员质量50kg ，则男运动员手臂拉力是多大？
4．有一种叫“飞椅”的游乐项目，示意图如图14所示，长为L 的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r 的水平转盘边缘。转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动.当转盘以角速度ω匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ,不计钢绳的重力，求转盘转动的角速度ω与夹角θ的关系.
5．如图(a)所示，在光滑的圆锥顶用长为L 的细线悬挂一质量为m 的小球，圆锥顶角为2θ，当圆锥和球一起以角速度ω匀速转动时，球压紧锥面．此时绳的张力是多少？若要小球离开锥面，则小球的角速度至少为多少？
知识点二 常见模型之二 1．汽车过拱桥
r v m
N mg 2
cos =-θ mg sin θ = f
如果在最高点，那么
r v m
N mg 2
=- 此时汽车不平衡，mg ≠N 说明：F ＝mv 2 / r 同样适用于变速圆周运动，F 和v 具有瞬时意义，F 随v 的变化而变化。
补充 ：r v m mg N 2
=- (抛体运动)
2．绳杆球
（1）如图1、图2所示，没有物体支承的小球，在竖直平面作圆周运动过最高点的情况 ①临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用
v 临界＝Rg
②能过最高点的条件：v ≥Rg ，当v ＞Rg 时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力。 ③不能过最高点的条件：v ＜v 临界（实际上球没到最高点时就脱离了轨道）。
（2）如图3所示情形，小球与轻质杆相连。杆与绳不同，它既能产生拉力，也能产生压力 ①能过最高点v 临界＝0，此时支持力N ＝mg
②当0＜v ＜Rg 时，N 为支持力，有0＜N ＜mg ，且N 随v 的增大而减小 ③当v ＝Rg 时，N ＝0
④当v ＞Rg ，N 为拉力，有N ＞0，N 随v 的增大而增大 3．临界情况问题 典型例题：
1．如图4所示，细杆的一端与一小球相连，可绕过O 的水平轴自由转动。现给小球一初速度，使它做圆周运动。图中a 、b 分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球作用力可能是 （ ） A ．a 处为拉力，b 处为拉力 B ．a 处为拉力，b 处为推力 C ．a 处为推力，b 处为拉力 D ．a 处为推力，b 处为推力
2．汽车以恒定的速率v 通过半径为r 的凹型桥面，如图6-8-4 所示，求汽车在最低点时对桥面的压力是多大？
图 1
v 0
图
2
图 3
图 4
3．如图，质量为0.5kg 的小杯里盛有1kg 的水，用绳子系住小杯在竖直平面内做“水流星”表演，转动半径为1m ，小杯通过最高点的速度为4m/s ，g 取10m/s 2,求：(1) 在最高点时，绳的拉力？(2) 在最高点时水对小杯底的压力？(3) 为使小杯经过最高点时水不流出, 在最高点 时最小速率是多少?
4．如图5-4-6所示，细绳一端系着质量为M=0.6kg 的物体，静止在水平面上. 另一端通过光滑的小孔吊着质量为m=0.3kg 的物体，M 的中点与圆孔距离为0.2m ，并知M 和水平面的最大静摩擦力为2N.现使此平面绕中心轴转动.问角速度ω在什么范围内M 处于静止状态？（g 取10m/s 2）
针对性练习：
1．长度为L ＝0.5m 的轻质细杆OA ，A 端有一质量为m ＝3.0kg 的小球，如图5所示，小球以O 点为圆心在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速率是2.0m ／s ，g 取10m ／s 2，则此时细杆OA 受到 （ ） A ．6.0N 的拉力 B ．6.0N 的压力 C ．24N 的拉力
D ．24N 的压力
2．一质量为m 的物体，沿半径为R 的向下凹的圆形轨行，如图6-8-7所示，经过最低点的速度为v ，物体与轨道之间的动摩檫因数为μ，则它在最低点时受到的摩檫力为：（ ） A ．μmg B ．μmv2/R C ．μm(g+v2/R) D ．μm(g-v2/R)
3．一辆质量m=2.0t 的小轿车，驶过半径R=90m 的一段圆弧形桥面， 重力加速度g=10m ／s 2．求：
(1)若桥面为凹形，汽车以20m ／s 的速度通过桥面最低点时，对桥面压力是多大? (2)若桥面为凸形，汽车以l0m ／s 的速度通过桥面最高点时，对桥面压力是多大? (3)汽车以多大速度通过凸形桥面顶点时，对桥面刚好没有压力
图（5-4-6）
图 5
4．一辆载重汽车的质量为4m,通过半径为R 的拱形桥，若桥顶能承受的最大压力为F=3mg ，为了安全行驶，汽车应以多大的速度通过桥顶？
5．如图所示，小球沿光滑的水平面冲上一人光滑的半圆形轨道，轨道半公式为R ，小球在轨道的最高点对轨道压力等于小球的重力，问
（1）小球离开轨道落到距地面R/2处，小球的水平位移是多少？ （2）小球落地时速度为多大？
6．A 、B 两球质量分别为m 1与m 2，用一劲度系数为K 的弹簧相连，一长为l 1的细线与m 1相连，置于水平光滑桌面上，细线的另一端拴在竖直轴OO`上，如图所示，当m 1与m 2均以角速度w 绕OO`做匀速圆周运动时，弹簧长度为l 2。求：
（1）此时弹簧伸长量多大？绳子张力多大？ （2）将线突然烧断瞬间两球加速度各多大？
第二部分
课后练习：
1．如图所示，一个小球沿竖直固定的光滑圆形轨道的内侧做圆周运动，圆形轨道的半径为R ，小球可看作质点，则关于小球的运动情况，下列说法错误的是（ ） A ．小球的线速度方向时刻在变化，但总在圆周切线方向上 B ．小球通过最高点的速度可以等于0 C ．小球线速度的大小总大于或等于Rg D ．小球通过最高点的速度可以等于0
2．小球在半径为R 的光滑半球内做水平面内的匀速圆周运动，试分析图中的θ（小球与半球球心连线跟竖直方向的夹角）与线速度v 、周期T 的关系。（小球的半径远小于R ）
3．如图所示, 在内壁光滑的平底试管内放一个质量为1g的小球, 试管的开口端加盖与水平轴O连接. 试管底与O相距5cm, 试管在转轴带动下沿竖直平面做匀速圆周运动. 求：
(1) 转轴的角速度达到多大时, 试管底所受压力的最大值等于最小值的3倍.
(2) 转轴的角速度满足什么条件时,会出现小球与试管底脱离接触的情况? g取10m/s2.
4．在水平转台上放一个质量为M的木块，静摩擦因数为μ，转台以角速度ω匀速转动时，细绳一端系住木块M，另一端通过转台中心的小孔悬一质量为m的木块，如右图所示，求m与转台能保持相对
静止时，M到转台中心的最大距离R
1和最小距离R
2
.
2014高考物理易错创新专题预测提分知识点优化解析：4 圆周运动及其应用（含详解） 一、单项选择题(本大题共4小题，每小题6分，共24分，每小题只有一个选项符合题意) 1.(创新题)第十三届中国吴桥国际杂技艺术节于2011年10月22日在石家庄市(主会场)拉开了序幕.如图所示的杂技演员在表演“水流星”的节目时，盛水的杯子经过最高点杯口向下时水也不洒出来，对于杯子经过最高点时水的受力情况，下列说法正确的是( ) A.水处于失重状态，不受重力的作用 B.水受平衡力的作用，合力为零 C.由于水做圆周运动，因此必然受到重力和向心力的作用 D.杯底对水的作用力可能为零 2.汽车甲和汽车乙质量相等，以相等的速率沿同一水平弯道做匀速圆周运动，甲车在乙车的外侧，两车沿半径方向受到的摩擦力分别为f 甲和f 乙，以下说法正确的是( ) A.f 甲小于 f 乙 B.f 甲等于f 乙 C.f 甲大于f 乙 D.f 甲和f 乙大小均与汽车速率无关 3.(预测题)如图所示，倾斜轨道AC 与有缺口的圆轨道BCD 相切于C ， 圆轨道半径为R ，两轨道在同一竖直平面内，D 是圆轨道的最高点， 缺口DB 所对的圆心角为90°，把一个小球从斜轨道上某处由静止 释放，它下滑到C 点后便进入圆轨道，要想使它上升到D 点后再落 到B 点，不计摩擦，则下列说法正确的是( ) A.释放点需与D 点等高 B.释放点需比D 点高R 4
C.释放点需比D 点高R 2 D.使小球经D 点后再落到B 点是不可能的 4.(创新题)小明同学在学习中勤于思考，并且善于动手，在学习了圆周运动 知识后，他自制了一个玩具，如图所示，用长为r 的细杆粘住一个质量为m 的小球，使之绕另一端O 在竖直平面内做圆周运动，小球运动到最高点时的 速度v ＝gr/2，在这点时( ) A.小球对细杆的拉力是mg 2 B.小球对细杆的压力是mg 2 C.小球对细杆的拉力是32 mg D.小球对细杆的压力是mg 二、双项选择题(本大题共5小题，每小题8分，共40分，每小题有两个选项符合题意) 5.关于匀速圆周运动的说法，正确的是( ) A.匀速圆周运动的速度大小保持不变，所以做匀速圆周运动的物体没有加速度 B.做匀速圆周运动的物体，虽然速度大小不变，但方向时刻都在改变，所以必有加速度 C.做匀速圆周运动的物体，加速度的大小保持不变，所以是匀变速曲线运动 D.匀速圆周运动加速度的方向时刻都在改变，所以匀速圆周运动一定是变加速曲线运动 6.如图所示为一皮带传动装置，右轮的半径为r ，a 是它边缘上的一点，左侧是一轮轴，大轮的半径为4r ，小轮的半径为2r ，b 点在小轮上，到小轮中心的距离为r ，c 点和d 点分别位于小轮和大轮的边缘上，若在转动过程中，皮带不打滑，则( ) A.a 点与b 点的线速度大小相等 B.a 点与b 点的角速度大小相等 C.a 点与c 点的线速度大小相等 D.a 点与d 点的向心加速度大小相等 7.如图所示，在匀速转动的水平盘上，沿半径方向放着用细线相连的质量相等的两个物体A
高中物理必修2复习--圆周运动的问题难点突破 一、难点形成的原因 1、对向心力和向心加速度的定义把握不牢固，解题时不能灵活的应用。 2、圆周运动线速度与角速度的关系及速度的合成与分解的综合知识应用不熟练，只是了解大概，在解题过程中不能灵活应用； 3、圆周运动有一些要求思维长度较长的题目，受力分析不按照一定的步骤，漏掉重力或其它力，因为一点小失误，导致全盘皆错。 4、圆周运动的周期性把握不准。 5、缺少生活经验，缺少仔细观察事物的经历，很多实例知道大概却不能理解本质，更不能把物理知识与生活实例很好的联系起来。 二、难点突破 （1）匀速圆周运动与非匀速圆周运动 a.圆周运动是变速运动，因为物体的运动方向（即速度方向）在不断变化。圆周运动也不可能是匀变速运动，因为即使是匀速圆周运动，其加速度方向也是时刻变化的。 b.最常见的圆周运动有：①天体（包括人造天体）在万有引力作用下的运动；②核外电子在库仑力作用下绕原子核的运动；③带电粒子在垂直匀强磁场的平面里在磁场力作用下的运动；④物体在各种外力（重力、弹力、摩擦力、电场力、磁场力等）作用下的圆周运动。 c.匀速圆周运动只是速度方向改变，而速度大小不变。做匀速圆周运动的物体，它所受的所有力的合力提供向心力，其方向一定指向圆心。非匀速圆周运动的物体所受的合外力沿着半径指向圆心的分力，提供向心力，产生向心加速度；合外力沿切线方向的分力，产生切向加速度，其效果是改变速度的大小。 例1：如图1所示，两根轻绳同系一个质量m=0.1kg的小球，两绳的另一端分别固定在轴上的A、B两处，上面绳AC长L=2m，当两绳都拉直时，与轴的夹角分别为30°和45°，求当小球随轴一起在水平面内做匀速圆周运动角速度为ω=4rad/s时，上下两轻绳拉力各为多少？ 【审题】两绳张紧时，小球受的力由0逐渐增大时，ω可能出现两个临界值。 【解析】如图1所示，当BC刚好被拉直，但其拉力T2 恰为零， 图1
匀速圆周运动 质点沿圆周运动，在任意相等的时间里通过的圆弧长度都相等 亦称“匀速率圆周运动”。因为物体作圆周运动时速率不变，但速度方向随时发生变化。所以匀速圆周运动的线速度是无时无刻在发生变化的。 描述匀速圆周运动快慢的物理量： 1、线速度 v ：①意义：描述质点沿圆弧运动的快慢，线速度越大，质点沿圆弧运动越快。 ②定义：线速度的大小等于质点通过的弧长s与所用时间t的比值。 ③单位：m/s ④矢量：方向在圆周各点的切线方向上 ⑤就是物体做匀速圆周运动的瞬时速度 ⑥质点做匀速圆周运动时，线速度大小不变，但方向时刻在改变，故其线速度不是恒矢量。 ⑦边缘相连接的物体，线速度相同。 2、角速度ω：①定义：连接质点和圆心的半径(动半径)转过的角度跟所用时间的比值，叫做匀速圆周运动的角速度。 ②单位：rad/s(弧度每秒) ③矢量(中学阶段不讨论,用右手定则<安培定则>可判断方向，例如：当其在水平面上顺时针转动时角速度方向竖直向下)。 ④质点做匀速圆周运动时，角速度ω恒定不变。 ⑤同一物体上任意两点，除旋转中心外，角速度相同。 3、周期 T：①定义：做匀速圆周运动的物体运动一周所用的时间叫做周期。 ②单位：s(秒)。 ③标量：只有大小。 ④意义：定量描述匀速圆周运动的快慢。半径相等时，周期长说明运动得慢，周期短说明运动得快。 ⑤质点做匀速圆周运动时，周期恒定不变 4、频率 f：①定义：周期的倒数(每秒内完成周期性运动的次数)叫频率。 ②单位：Hz(赫)。 ③标量：只有大小。 ④意义：定量描述匀速圆周运动的快慢，频率高说明运动得快，频率低说明运动得慢。 ⑤质点做匀速圆周运动时，频率恒定不变。 5、转速 n：①定义：做匀速圆周运动的质点每秒转过的圈数。 ②单位：在国际单位制中为r/s(转每秒)；常用单位为r/min(转每分)。1 r/s=60 r/min。 （注：r=round 英：圈，圈数） ③标量：只有大小。 ④意义：实际中定量描述匀速圆周运动的快慢，转速高说明运动得快，转速低说明运动得慢。 ⑤质点作匀速圆周运动时，转速恒定不变。
2020届高考物理二轮复习非选择题特训练习（5） 功能关系及其与圆周运动的综合应用 1、如图所示,竖直平面内放一直角杆,杆的各部分均光滑,水平部分套有质量为3A m kg =的小球A ,竖直部分套有质量为2B m kg =的小球B ,A 、B 之间用不可伸长的轻绳相连。在作用于A 球上的水平拉力F 的作用下,系统处于静止状态,且3,OB 4OA m m ==,重力加速度 210/g m s =. 1.求水平拉力F 的大小和水平杆对小球A 弹力F N 的大小; 2.若改变水平力F 大小,使小球A 由静止开始,向右做加速度大小为24.5/m s 的匀加速直线运动,求经过2 3 t s =拉力F 所做的功. 2、 如图所示，半径R ＝0.45m 的四分之一光滑圆弧轨道，圆心O 与右端点A 连线水平，底端距水平地面的高度h ＝0.2m 。一质量m ＝1.0kg 的小滑块（可视为质点）从圆弧轨道顶端A 由静止释放。忽略空气阻力，取g ＝10m/s 2。求： （1）小滑块在圆弧轨道底端B 点受到的支持力大小F N ； （2）小滑块落地点与B 点的水平距离x 。
3、竖直平面内光滑圆轨道和两倾斜直轨道组成如图所示装置,其中直轨道bc 粗糙,直轨道cd 光滑,两轨道相接处为一很小的圆弧.质量为m =0.1kg 的滑块(可视为质点)在圆轨道上做圆周运动,到达轨道最高点a 时的速度大小为v =4m/s,当滑块运动到圆轨道与直轨道bc 的相切处b 时,脱离圆轨道开始沿倾斜直轨道滑行,到达轨道cd 上的d 点时速度为零.若滑块变换轨道瞬间的能量损失可忽略不计,已知圆轨道的半径为R =0.25m,直轨道bc 的倾角θ=37°,其长度为L =26.25m,d 点与水平地面间的高度差为h =0.2m,重力加速度g 取10m/s 2 ,sin37°=0.6,cos37°=0.8.求: 1.滑块在圆轨道最高点a 时对轨道的压力大小 2.滑块与直轨道bc 间的动摩擦因数; 3.滑块在直轨道bc 上运动的时间. 4、如图所示,地面上放一质量为m =2kg 的小物块,通过薄壁圆筒的轻细绕线牵引,圆筒半径为R =0.5m,质量为M =4kg,t =0时刻,圆筒在电动机的带动下由静止开始绕竖直中心轴转动,转动角速度与时间的关系满足ω=4t ,物块和地面之间的动摩擦因数μ=0.3,细线始终与地面平行,其他摩擦不计,g 取10m/s 2 ,求: 1.物块运动过程中受到的拉力大小; 2.从开始运动至t =2s 时电动机对外做的功. 5、如图所示，将一质量为0.1kg m =的小球自水平平台右端O 点以初速度0v 水平抛出，小球飞离平台后由A 点沿切线落入竖直光滑圆弧轨道并沿轨道恰好通过最高点C ，圆弧轨道ABC 的形状为半径 2.5m R =的圆截去了左上角圆心角为127°的圆弧，CB 为其竖直直径(sin530.8,cos530.6==°°,重力加速度g 取102m/s ,不计空气阻力)。求：
圆周运动中的临界问题和周期性问题 一、圆周运动问题的解题步骤： 1、确定研究对象 2、画出运动轨迹、找出圆心、求半径 3、分析研究对象的受力情况，画受力图 4、确定向心力的来源 5、由牛顿第二定律r T m r m r v m ma F n n 222)2(π ω====……列方程求解 二、临界问题常见类型： 1、按力的种类分类： （1）、与弹力有关的临界问题：接触面间的弹力：从有到无,或从无到有 绳子的拉力：从无到有，从有到最大，或从有到无 （2）、与摩擦力有关的弹力问题：从静到动，从动到静，临界状态下静摩擦力达到最大静摩擦 2、按轨道所在平面分类： （1）、竖直面内的圆周运动 （2）、水平面内的圆周运动 三、竖直面内的圆周运动的临界问题 1、单向约束之绳、外轨道约束下的竖直面内圆周运动临界问题： 特点：绳对小球，轨道对小球只能产生指向圆心的弹力 ① 临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用： mg=mv 2/R →v 临界=Rg （可理解为恰好转过或恰好转不过的速度） 即此时小球所受重力全部提供向心力 ②能过最高点的条件：v ≥Rg ，当v ＞Rg 时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力． ③不能过最高点的条件：v ＜V 临界（实际上球还没到最高点时就脱离了轨道做斜抛运动） 例1、绳子系着装有水的木桶，在竖直面内做圆周运动，水的质量m=0.5kg ，绳子长度为l=60cm ，求：（g 取10m/s 2） A 、最高点水不留出的最小速度？ B 、设水在最高点速度为V=3m/s ，求水对桶底的压力？ 答案：（1）s m /6 （2）2.5N
变式1、如图所示，一质量为m 的小球，用长为L 细绳系住，使其在竖直面内作圆周运动.(1)若过小球恰好能通过最高点，则小球在最高点和最低点的速度分别是多少？小球的受力情况分别如何？(2)若小球在最低点受到绳子的拉力为10mg ，则小球在最高点的速度及受到绳子的拉力是多少？ 2、单向约束之内轨道约束下（拱桥模型）的竖直面内圆周运动的临界问题： 汽车过拱形桥时会有限速，是因为当汽车通过半圆弧顶部时的速度 gr v =时，汽车对弧顶的压力FN=0，此时汽车将脱离桥面做平抛运动， 因为桥面不能对汽车产生拉力． 例2、半径为 R 的光滑半圆球固定在水平面上，顶部有一小物体， 如图所示。今给小物体一个水平初速度0v = ） A.沿球面下滑至 M 点 B.先沿球面下滑至某点Ｎ，然后便离开斜面做斜下抛运动 Ｃ.按半径大于 R 的新的圆弧轨道做圆周运动 D.立即离开半圆球做平抛运动 3、双向约束之轻杆、管道约束下的竖直面内圆周运动的临界问题 物体(如小球)在轻杆作用下的运动，或在管道中运动时，随着速度的变化，杆或管道对其弹力发生变化．这里的弹力可以是支持力，也可以是压力，即物体所受的弹力可以是双向的，与轻绳的模型不同．因为绳子只能提供拉力，不能提供支持力；而杆、管道既可以提供拉力，又可以提供支持力；在管道中运动，物体速度较大时可对上壁产生压力，而速度较小时可对下壁产生压力．在弹力为零时即出现临界状态． （一）轻杆模型 如图所示，轻杆一端连一小球，在竖直面内作圆周运动． (1)能过最高点的临界条件是：0v =．这可理解为恰好转过或恰好不能转过最高点的临界条件，此时支持力mg N =． (2) 当0v << mg N <<0，N 仍为支持力，且N 随v 的增大而减小，
匀速圆周运动重点知识总结 一.基本概念： 1．匀速圆周运动 （1）定义：质点沿圆周运动，如果在相等 的时间内通过的弧长相等，就 称质点作匀速圆周运动 （2）条件： a.有一定的初速度 b.受到一个大小不变方向始终跟速度 垂直的力的作用（即向心力） （3）特点：速度大小不变，方向时刻改变（4）描述匀速圆周运动的物理量： a.线速度：大小不变，方向时刻改变， 单位是m/s, 是矢量。 b.角速度: 恒定不变，是矢量，（方向 可由右手螺旋定则确定，高中 不要求掌握）单位rad/s c.周期：标量，单位：s d.转速:①单位时间物体转过的圈数 ②标量，符号：n ③单位：r/s或r/min e.频率:①质点在单位时间完成圆周运 动的周数 ②标量，符号：f ③单位：Hz （5）注意： a.匀速圆周运动是非匀变速曲线运动 b.“匀速”应理解为“匀速率”不能理 解为“匀速度” c.合力不为零，不能称作平衡状态 2.向心力： （1）定义：做匀速圆周运动的物体所受到 的合力指向圆心，叫向心力。（2）特点：指向圆心，大小不变，方向时 刻改变，是变力。F向=F合（3）作用：只改变速度大小，不改变方向（4）注意： a.是一种效果力，它可以由重力、弹力、 摩擦力等单独提供，也可以由它们的 合力提供。 b.“向心力”只是说明做圆周运动的物 体需要一个指向圆心方向的力，而并 非物体又受到一个“新的性质”的力。 即在受力分析时，向心力不能单独作 为一种力。 c.变速圆周运动的向心力不等于合力， 合力也不一定指向圆心。 3．向心加速度 （1）定义：由向心力产生的加速度 （2）特点：指向圆心，大小不变，方向时 刻改变，是矢量。 4．提供的向心力： 通过受力分析求出来的，沿半径方向指向圆心的力，匀速圆周运动中F需向=F合5．需要的向心力： 根据物体实际运动时的质量m、半径r、线速度v(或角速度w)求出的向心力 F提=mrw2=mrv2/r 6．离心现象 （1）做圆周运动物体的运动特点： 做圆周运动的物体由于本身的惯性， 总有沿圆周切线飞出的倾向。 （2）概念： 在所受合力突然消失或不足以提供圆 周运动所需的向心力的情况下，就会 做靛渐远离圆心的运动，这种现象称 为离心现象。 （3）特别注意： a. 物体做离心运动并不是受到了什 么所谓的“离心力”作用（准确 讲没离心力这个概念） b. 产生离心运动的根本原因是由于 物体的惯性。 c. 离心现象既有利又有害，要注意利 用和防止。 二．基本公式 1．线速度：2 l r v t T π ? == ? n r? ? =π2 2．角速度：2 t T θπ ω ? == ? n? =π2 3．转速（n）频率（f）周期三者的关系：n=f 11 T f n == 4．线速度与角速度、半径r的关系：v=ωr 5．向心力： 2 2 2 2 n n v F ma m m r m r r T π ω?? ==== ? ??6．向心加速度： 2 2 2 2 n v a r r r T π ω?? === ? ?? ，
圆周运动在生活中的应用 一、教学目标 1．能定性分析火车转弯外轨比内轨高的原因 2．知道离心运动及产生的条件，了解离心运动的应用和防止 二、教学重难点 1．理解向心力是一种效果力． 2．在具体问题中能找到是谁提供向心力的，并结合牛顿运动定律求解有关问题． 课时一 弯道问题 教学过程： 环节一：火车转弯问题，介绍轨道 火车车轮的结构特点：火车的车轮有凸出的轮缘，且火车在轨道上运动时，有凸出轮缘的一边在两轨道内侧，这种结构特点，主要是有助于固定火车运动的轨迹 。如下图所示。 环节二：结合运动，受力分析 如果转弯处内外轨一样高 ，外侧车轮的轮缘挤压外轨，使外轨发生弹性形变，外归队轮圆的弹力就是火车转弯的向心力。 但火车质量太大，靠这种办法得到向心力，轮缘与外轨间的相互作用力太大，铁轨和车轮极易受损。 如果在转弯处使外轨略高于内轨，火车转弯时铁轨对火车的支持力的方向不再是竖直的，而是斜向弯道的内侧，它与重力G 的合力指向圆心，为火车转弯提供了一部分向心力。这就减轻了轮缘与外轨的挤压。在修筑铁路时，要根据弯道的半径和规定的行驶速度，适当选择内外轨的高度差，时转弯时所需的向心力几乎完全有重力G 和支持力N F 的合力来提供（如图） 设内外轨间的距离为L ，内外轨的高度差为h ，火车转弯的半径为R ，火车转弯的规定速度为 0v 。由上图所示力的合成的向心力为 G F 合 F N
合F ＝mgtan α≈mgsin α=mg L h 由牛顿第二定律得：合F ＝m R v 2 所以 mg L h ＝m R v 20 即火车转弯的规定速度 0v ＝ L Rgh 。 环节三：分类讨论，分析转弯情况 对火车转弯时速度与向心力的讨论： 当火车以规定速度转弯时，合力F 等于向心力，这时轮缘与内外轨均无侧压力。 当火车转弯速度大于规定速度时，该合力F 小于向心力，外轨向内挤压轮缘，提供侧压力，与F 共同充当向心力。 当火车转弯速度小于规定速度时，该合力F 大于向心力，内轨向外挤压轮缘，产生的侧压力与合共同充当向心力。 课时二 离心现象 教学过程： 环节一：给出离心运动定义 （1）定义：作匀速圆周运动的物体，在所受合理突然消失或者不足以提供圆周运动所需的向心力情况下，就做逐渐远离圆心的运动，这种运动叫做离心运动。 本质：离心运动是物体惯性的表现 如图所示： 向心力的作用效果是改变物体运动方向。 a 、如果它们受到合外力恰好等于物体所需的向心力，物体就做匀速圆周运动。此时合外力提供向心力。 b 、如果向心力突然消失（例如小球转动时绳子突然断裂），则物体的速度方向不再变化，由于惯性，物体将沿此时的速度方向（即切线方向）按此时的速度大小飞出。这时F ＝0。 c 、如果提供的外力小于物体做匀速圆周运动所需的向心力，虽然物体的速度方向还要变化，但速度方向变化较慢，因此物体偏离原来的圆周做离心运动。其轨迹为圆周和切线间的某条线，这时，合外力小于所需向心力。 环节二：结合实例，分析应用 F=0 F 圆周运动的实例及临界问题 一、汽车过拱形桥 1．汽车在拱形桥最高点时，向心力：F 合＝ mg －N ＝m v 2 R . 支持力：N ＝mg －mv 2 R ＜mg ，汽车处于失重状 态． 2．汽车对桥的压力N ′与桥对汽车的支持N 是一对相互作用力，大小相等，所以汽车通过最高点时的速度越大，汽车对桥面的压力就越小． 例1 一辆质量m ＝2 t 的轿车，驶过半径R ＝90 m 的一段凸形桥面，g ＝10 m/s 2 ，求： (1)轿车以10 m/s 的速度通过桥面最高点时，对桥面的压力是多大？ (2)在最高点对桥面的压力等于轿车重力的一半时，车的速度大小是多少？ 解析 (1)轿车通过凸形桥面最高点时，受力分析如图所示： 合力F ＝mg －N ，由向心力公式得mg －N ＝m v 2 R ，故 桥面的支持力大小N ＝mg －m v 2R ＝(2 000×10－2 000×102 90) N ≈×104 N 根据牛顿第三定律，轿车在桥面最高点时对桥面压力的大小为×104 N. (2)对桥面的压力等于轿车重力的一半时，向心力F ′＝mg －N ′＝，而F ′＝m v ′2R ，所以此时轿 车的速度大小v ′＝错误!＝错误! m/s ≈21.2 m/s 答案 (1)×104 N (2)21.2 m/s 二、圆锥摆模型 1．运动特点：人及其座椅在水平面内做匀速圆周运动，悬线旋转形成一个圆锥面． 图1 2．运动分析：将“旋转秋千”简化为圆锥 摆模型(如图1所示) (1)向心力：F 合＝mg tan_α (2)运动分析：F 合＝mω2r ＝mω2 l sin α (3)缆绳与中心轴的夹角α满足cos α＝ g ω2l . 图6 例2 如图6所示，固定的锥形漏斗内壁是光滑的，内壁上有两个质量相等的小球A 和B ，在各自不同的水平面做匀速圆周运动，以下物理量大小关系正确的是( ) A ．速度v A ＞v B B ．角速度ωA ＞ωB C ．向心力F A ＞F B D ．向心加速度a A ＞a B 解析 设漏斗的顶角为2θ，则小球的合力为F 合 ＝mg tan θ，由F ＝F 合＝mg tan θ＝mω2 r ＝m v 2 r ＝ma ，知向心力F A ＝F B ，向心加速度a A ＝a B ，选项C 、D 错误；因r A ＞r B ，又由v ＝ gr tan θ 和ω＝ g r tan θ 知v A ＞v B 、ωA ＜ωB ，故A 对，B 错． 答案 A 三、火车转弯 1．运动特点：火车转弯时做圆周运动，具有向心加速度，需要向心力． 2．铁路弯道的特点：转弯处外轨略高于内轨，铁轨对火车的支持力斜向弯道的内侧，此支 持力与火车所受重力的合力指向圆心，为火车转弯提供了一部分向心力． 例3 铁路在弯道处的内、外轨道高度是不 同的，已知内、外轨道平面与水平面的夹角为θ， 如图7所示，弯道处的圆弧半径为R ，若质量为m 的火车转弯时速度等于gR tan θ，则( ) A ．内轨对内侧车轮轮缘有挤压 B ．外轨对外侧车轮轮缘有挤压 C ．这时铁轨对火车的支持力等于mg cos θ D ．这时铁轨对火车的支持力大于mg cos θ 难点之三：圆周运动的实例分析 一、难点形成的原因 1、对向心力和向心加速度的定义把握不牢固，解题时不能灵活的应用。 2、圆周运动线速度与角速度的关系及速度的合成与分解的综合知识应用不熟练，只是了解大概，在解题过程中不能灵活应用； 3、圆周运动有一些要求思维长度较长的题目，受力分析不按照一定的步骤，漏掉重力或其它力，因为一点小失误，导致全盘皆错。 4、圆周运动的周期性把握不准。 5、缺少生活经验，缺少仔细观察事物的经历，很多实例知道大概却不能理解本质，更不能把物理知识与生活实例很好的联系起来。 二、难点突破 （1）匀速圆周运动与非匀速圆周运动 a.圆周运动是变速运动，因为物体的运动方向（即速度方向）在不断变化。圆周运动也不可能是匀变速运动，因为即使是匀速圆周运动，其加速度方向也是时刻变化的。 b.最常见的圆周运动有：①天体（包括人造天体）在万有引力作用下的运动；②核外电子在库仑力作用下绕原子核的运动；③带电粒子在垂直匀强磁场的平面里在磁场力作用下的运动；④物体在各种外力（重力、弹力、摩擦力、电场力、磁场力等）作用下的圆周运动。 c.匀速圆周运动只是速度方向改变，而速度大小不变。做匀速圆周运动的物体，它所受的所有力的合力提供向心力，其方向一定指向圆心。非匀速圆周运动的物体所受的合外力沿着半径指向圆心的分力，提供向心力，产生向心加速度；合外力沿切线方向的分力，产生切向加速度，其效果是改变速度的大小。 例1：如图3-1所示，两根轻绳同系一个质量m=0.1kg 的小球，两绳的另一端分别固定在轴上的A 、B 两处，上面绳AC 长L=2m ，当两绳都拉直时，与轴的夹角分别为30°和45°，求当小球随轴一起在水平面内做匀速圆周运动角速度为ω=4rad/s 时，上下两轻绳拉力各为多少？ 【审题】两绳张紧时，小球受的力由0逐渐增大时，ω可能出现两个临界值。 【解析】如图3-1所示，当BC 刚好被拉直，但其拉力T 2恰为零，设此时角速度为ω1，AC 绳上拉力设为T 1，对小球有： mg T =?30cos 1 ① 30sin L ωm =30sin T A B 2 11② 代入数据得： s rad /4.21=ω， 要使BC 绳有拉力，应有ω>ω1，当AC 绳恰被拉直，但其拉力T 1恰为零，设此时角速度为ω2，BC 绳拉力为T 2，则有 mg T =?45cos 2 ③ T 2sin45°=m 2 2ωL AC sin30°④ 代入数据得：ω2=3.16rad/s 。要使AC 绳有拉力，必须ω<ω2，依题意ω=4rad/s>ω2，故AC 绳已无拉力，AC 绳是松驰状态，BC 绳与杆的夹角θ>45°，对小球有： 图3-1 高一物理匀速圆周运动知识点及习题 高一物理匀速圆周运动知识介绍 质点沿圆周运动，如果在任意相等的时间里通过的圆弧长度都相等，匀速圆周运动，这种运动就叫做“匀速圆周运动”，匀速圆周运动是圆周运动中，最常见和最简单的运动（因为速度是矢量，所以匀速圆周运动实际上是指匀速率圆周运动）。 天体的匀速圆周运动 定义 质点沿圆周运动，如果在任意相等的时间里通过的圆弧长度都相等，这种运动就叫做“匀速圆周运动”，亦称“匀速率圆周运动”。因为物体作圆周运动时速率不变，但速度方向随时发生变化。所以匀速圆周运动的线速度是无时不刻不在变化的。 匀速圆周运动 运动条件 物体作匀速圆周运动时，速度的大小虽然不变，但速度的方向时刻改变，所以匀速圆周运动是变速运动。又由于作匀速圆周运动时，它的向心加速度的大小不变，但方向时刻改变，故匀速圆周运动是变加速运动。“匀速圆周运动”一词中的“匀速”仅是速率不变的意思。做匀速圆周运动的物体仍然具有加速度,而且加速度不断改变，因其加速度方向在不断改变，其运动轨迹是圆，所以匀速圆周运动是变加速曲线运动。匀速圆周运动加速度方向始终指向圆心。做变速圆周运动的物体总能分解出一个指向圆心的加速度，我们将方向时刻指向圆心的加速度称为向心加速度。 公式解析 计算公式 1、v（线速度）=ΔS/Δt=2πr/T=ωr=2πrf (S代表弧长，t代表时间，r代表半径,f代表频率) 2、ω（角速度）=Δθ/Δt=2π/T=2πn （θ表示角度或者弧度） 3、T（周期）=2πr/v=2π/ω 4、n（转速）=1/T=v/2πr=ω/2π 5、Fn（向心力）=mrω^2=mv^2/r=mr4π^2/T^2=mr4π^2f^2 6、an（向心加速度）=rω^2=v^2/r=r4π^2/T^2=r4π^2n^2 7、vmax=√gr （过最高点时的条件） 8、fmin (过最高点时的对杆的压力)=mg-√gr （有杆支撑） 第5讲 圆周运动中常见的模型及应用 第一部分 知识点一 常见模型之一 1．火车转弯 如果车轮与铁轨间无挤压力，则向心力完全由重力和支持力提供 r v m mg 2 tan =ααtan gr v =?,v 增加，外轨挤压，如果v 2．圆锥摆 αωαsin tan 2l m mg = 3．圆锥问题 θωωθωθθtan tan cos sin 22r g r g r m N mg N = ?= ?== 典型例题： 例1 列车轨道在转弯处外轨高于内轨，其高度差由转弯半径与火车速度确定。若在某转弯处规定行驶速度为v ，则下列说法中正确的是： （ ） ①当以速度v 通过此弯路时，火车重力与轨道面支持力的合力提供向心力 ②当以速度v 通过此弯路时，火车重力、轨道面支持力和外轨对轮缘侧弹向力的合力提供向心力 ③当速度大于v 时，轮缘侧向挤压外轨 ④当速度小于v 时，轮缘侧向挤压外轨 A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 例2 用细线吊着一个小球，使小球在水平面内做半径为R 匀速圆周运动；圆周运动的水平面距离悬点h ，距离水平地面H ．若细线突然在A 处断裂，求小球在地面上的落点P 与A 的水平距离． 例3 小球在半径为R 的光滑半球内做水平面内的匀速圆周运动，试分析图中的θ（小球与半球球心连线跟竖直方向的夹角）与线速度v 、周期T 的关系。 针对性练习： 1．在高速公路的拐弯处，路面要造得外高内低，即当车向右拐弯时，司机左侧的路面比右侧要高一些，路面与水平面的夹角为θ，设拐弯路段为半径为R 的圆弧，要使车速为V 时车轮与路面之间的 N mg N mg 横向（即垂直于前进方向）摩擦力等于零，θ应等于………… （ ） A. B. C. D. 2．如图所示，固定的锥形漏斗内壁是光滑的，内壁上有两个质量相等的小球A 和B ，在各自不同的水平面做匀速圆周运动，以下说法正确的是 ( ) A ．V A > V B B ． ωA > ωB C ．a A > a B D ．压力N A > N B 3．如图所示，在男女双人花样滑冰运动中，男运动员以自己为转动轴拉着女运动员 做匀速圆周运动，若男运动员的转速为30转/分，女运动员触地冰鞋的线速度为4.7m/s 。g 取10m/s 2。求： （1）女运动员做圆周运动的角速度及触地冰鞋做圆周运动的半径； （2）若男运动员手臂与竖直夹角600，女运动员质量50kg ，则男运动员手臂拉力是多大？ 4．有一种叫“飞椅”的游乐项目，示意图如图14所示，长为L 的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r 的水平转盘边缘。转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动.当转盘以角速度ω匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ,不计钢绳的重力，求转盘转动的角速度ω与夹角θ的关系. 5．如图(a)所示，在光滑的圆锥顶用长为L 的细线悬挂一质量为m 的小球，圆锥顶角为2θ，当圆锥和球一起以角速度ω匀速转动时，球压紧锥面．此时绳的张力是多少？若要小球离开锥面，则小球的角速度至少为多少？ 知识点二 常见模型之二 1．汽车过拱桥 r v m N mg 2 cos =-θ mg sin θ = f 如果在最高点，那么 r v m N mg 2=- 此时汽车不平衡，mg ≠N B A 火车转弯（圆周运动）问题 圆周运动专题二 题号一二总分 得分 一、单选题（本大题共9小题，共36.0分） 1.高速公路的拐弯处,通常路面是外高低,如图所示,在某路段车向左转弯,司机左侧的 路面比右侧路面低一些车的运动可看作是做半径为R的圆周运动外路面高度差为h,路基的水平宽度为已知重力加速为g,要使车轮与路面之间的横向摩擦力即垂直于前进方向的摩擦力等于零,则汽车转弯时的车速应等于() A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：路面的斜角为,作出车的受力图 由数学知识得： 如图,支持力与重力的合力提供向心力,由牛顿第二定律得： 联立得 故选：D 由题意知汽车转弯时所需的心力完全由重力和支持力的合力提供,根据受分析计算即可得出结论． 类似于火车拐弯问题,知道按条件转弯时,向心力由重力和支持力的合力提供． 2.如图所示的圆周运动,下列说法不正确的是() A. 如图a,汽车通过拱桥的最高点处于失重状态置 B. 如图b,火车转弯超过规定速度行驶时,外轨对外侧车轮的轮缘会有挤压作用 C. 如图c,钢球在水平面做圆周运动,钢球距悬点的距离为则圆锥摆的周期 D. 如图d,在水平公路上行驶的汽车,车轮与路面之间的静摩擦力提供转弯所需的 向心力 【答案】C 【解析】【分析】 根据加速度的方向确定汽车在最高点处于超重还是失重；根据合力提供向心力得出角速度的表达式,从而进行判断；抓住重力不变,结合平行四边形定则比较支持力和向心力,结合半径不同分析角速度的关系；当火车转弯的速度超过规定速度,支持力和重力的合力不够提供向心力,会挤压外轨。 此题考查圆周运动常见的模型,每一种模型都要注意受力分析找到向心力,从而根据公式判定运动情况,如果能记住相应的规律,做选择题可以直接应用,从而大大的提高做题的速度,所以要求同学们要加强相关知识的记忆。 【解答】 A.汽车在最高点知,故处于失重状态,故A正确； B.火车转弯超过规定速度行驶时,外轨对轮缘会有挤压作用,故B正确； C .圆锥摆,重力和拉力的合力,,则圆锥摆的周期,故C错误； D.在水平公路上行驶的汽车,车轮与路面之间的静摩擦力提供转弯所需的向心力,故D 正确。 本题要求选不正确的,故选C。 3.火车转弯可近似看成是做匀速圆周运动,当火车速度提高时会使轨道的外轨受损为 解决火车高速转弯时外轨受损这一难题,你认为以下措施可行的是() A. 减小外轨的高度差 B. 增加外轨的高度差 C. 减小弯道半径 D. 增大火车质量 【答案】B 【解析】【分析】 火车转弯时需要向心力,若重力和轨道的弹力的合力充当向心力,则外轨道均不受侧压力；根据向心力公式可得出解决方案。 本题考查了牛顿第二定律在圆周运动中的应用,火车转弯是向心力的实际应用之一,应掌握火车向心力的来源,以及如何减小外轨道的压力。 【解答】 火车转弯时为减小外轨所受压力,可使外轨略离于轨,使轨道形成斜面,若火车速度合适,外轨均不受挤压此时,重力与支持力的合力提供向心力,如图： 第十八课时常见的圆周运动问题 [知识梳理] 一．水平面内的匀速圆周运动 1．物体在水平面内作匀速圆周运动，其所受的合外力提供向心力，故物体所受的水平合力即为__________。竖直方向的合力为__________。 2．处理匀速圆周运动问题时，一要进行正确的受力分析，还要设法确定圆周运动的圆心和半径，这一点在磁场中尤其重要。 二．竖直平面内的圆周运动 1．运动物体在竖直平面内作圆周运动，如果物体带电，且处在电磁场中，此时物体有可能作匀速圆周运动。 2．对没有物体支撑的小球(如小球系在细绳的一端、小球在圆轨道的内侧运动等)在竖直平面内作圆周运动过最高点的临界条件：绳子和轨道对小球无力作用，则若小球作圆周运动的半径为 R，它在最高点的临界速度为：V=__________。 3．对有物体支撑的小球(如球固定在杆的一端、小球套在圆环上或小求在空心管内的运动)在竖宜平面内作圆周运动过最高点的，临界速度为：V=__________。 [能力提高] 火车转弯处的铁轨一般是外轨略高于内轨，试结合作图分析这样铺轨的原因，并说出火车转弯时要求按规定速度行驶的道理。 [典型例题] [例1]长为L的轻绳一端系一质量为M的小球，以另一端为圆心，使小球恰好能在竖直平面内做圆周运动，则小球通过最高点时，下列说法正确的是 A．绳中张力恰好为mg B．小球加速度恰好为g C．小球速度恰好为零 D．小球所受重力恰好为零 [例2]长L=0．5m、质量可忽略的杆，其下端固 定在O点，上端连接着一个零件A，A的质量为 m=2kg，它绕O点做圆周运动，如图所示，在A点通 过最高点时，求在下列两种情况下杆受的力：(1)A 的速率为1m／s；(2)A的速率为4m／s。 [例3]如图所示，一种电动夯的结构为：在固定于夯上的电动机的转轴上固定一杆，杆的另一端固定一铁块。工作时电动机 带动杆与铁块在竖直平面内匀速转动，则当铁块转至 最低点时，夯对地面将产生很大的压力而夯实地面。 第3．5节 圆周运动的应用 答案 例题2： 练1：解析：要使悬线碰钉后小球做完整的圆周运动，须使小球到达以P 点为圆心的圆周最高点M ，当刚能到达最高点M 时，小球只受重力mg 作用，此时悬线 拉力为零，即有mg =m R v 2 min ，其中R 为以P 点为圆心的圆周的半径，v min 为小球到达M 点的最小速度，而根据机械能守恒定律，有mg （L －2R ）=2 1mv min 2 联立解得R =52L ，此为小球以P 点为圆心的最大半径，所以OP =L －R =53L 为OP 间的最小距离. 故OP 段的最小距离是5 3L . 例题3：解析】 两根绳张紧时，小球受力如图4－3－7所示，当ω由0逐渐增大时，ω可能出现以下两个临界值． (1)BC 恰好拉直，但F 2仍然为零，设此时的角速度为ω1，则有F 1sin30°＝m ω12L sin30° F 1cos30°＝mg 代入数据解得ω1＝2.4 rad/s. (2)AC 由拉紧转为恰好拉直，但F 1已为零，设此时的角速度为ω2，则有F 2sin45°＝m ω22LBC sin45° F2cos45°＝mg 代入数据解得ω2＝3.16 rad/s 可见，要使两绳始终张紧，ω必须满足2.4 rad/s≤ω≤3.16 rad/s. 【答案】 2.4 rad/s≤ω≤3.16 rad/s 练2：D 练3：解析：要使B静止，A必须相对于转盘静止——具有与转盘相同的角速度．A 需要的向心力由绳的拉力和静摩擦力的合力提供．角速度取最大值时，A有离心趋势，静摩擦力指向圆心O；角速度取最小值时，A有向心运动的趋势，静摩擦力背离圆心O. 对于B：F T＝mg 对于A：F T＋Ff＝Mrω12 或F T－Ff＝Mrω22 代入数据解得 ω1＝6.5 rad/s，ω2＝2.9 rad/s 所以2.9 rad/s≤ω≤6.5 rad/s. 答案：2.9 rad/s≤ω≤6.5 rad/s 匀速圆周运动的实例分析 - 教学 知识目标 1、进一步理解向心力的概念． 2、理解向心力公式，进一步明确匀速圆周运动的产生条件，掌握向心力公式的应用． 能力目标 1、培养在实际问题中分析向心力来源的能力． 2、培养运用物理知识解决实际问题的能力． 情感目标 1、激发学生学习兴趣，培养学生关心周围事物的习惯． 教学 教材分析 教材首先明确提出向心力是按效果命名的力，任何一个力或几个力的合力只要它的作用效果是使物体产生向心加速度，它就是物体所受的向心力，接着详细介绍了火车转弯和汽车过拱桥两个常见的实际问题．后面又附有思考与讨论，开拓学生的思维． 教法建议 1、培养学生分析向心力来源的能力，分析问题时，要首先引导学生对做周围运动的物体进行受力情况分析，并让学生清楚地认识 到求出物体沿半径方向受到的合外力，就是提供给物体做圆周运动的向心力． 2、培养学生运用物体知识解决实际问题的能力．通过例题的分析与讨论（结合动画或课件），引导学生从中领悟掌握运用向心力公式的思路和方法．即：第一：根据物体受力情况分析向心力的来源，做匀速圆周运动的物体． 第二：运用向心力公式计算做圆周运动所需的向心力． 第三：由物体实际受到的力提供了它所需要的向心力，列出方程 3、可多举一些实例让学生分析．向心力可由重力、弹力、摩擦力等单独提供，也可由它们的合力提供． 4、在讲述汽车过拱桥的问题时，汽车做的是变速圆周运动，对此要根据牛顿第二定律的瞬时性向学生指出：在变速圆周运动中，物体在各位置受到的向心力分别产生了物体通过各位置的向心加速度，向心力公式仍是适用的．但要注意，对于物体做匀速圆周运动的情况，只有在物体通过最高点和最低点时，向心力才是合外力．同时，还可以向学生指出：此问题中出现的汽车对桥面的压力大于或小于车重的现象，是发生在圆周运动中的超重或失重现象． 教学 教学 教学 主要设计： 一、讨论向心力的来源： 2016届高考物理一轮复习讲义：平抛运动与圆周运动的综合问题应用举例 热点1 平抛运动与圆周运动的综合问题 综合考查平抛运动和圆周运动，是近几年高考命题的热点．试题可分为两类：一是物体先做平抛运动后做圆周运动；二是物体先做圆周运动后做平抛运动．关键点都是两种运动衔接点处的速度关系． 1．(多选)(2012·高考浙江卷)由光滑细管组成的轨道如图所示，其中AB 段和BC 段是半径为R 的四分之一圆弧，轨道固定在竖直平面内．一质量为m 的小球，从距离水平地面高为H 的管口D 处静止释放，最后能够从A 端水平抛出落到地面上．下列说法正确的是( ) A ．小球落到地面时相对于A 点的水平位移值为2RH －2R 2 B ．小球落到地面时相对于A 点的水平位移值为22RH －4R 2 C ．小球能从细管A 端水平抛出的条件是H ＞2R D ．小球能从细管A 端水平抛出的最小高度H min ＝5 2 R 2．(2014·广州模拟)如图所示，有一长为L 的细线，细线的一端固定在O 点，另一端拴一质量为m 的小球，现使小球恰好能在竖直面内做完整的圆周运动．已知水平地面上的C 点位于O 点正下方，且到O 点的距离为1.9L .不计空气阻力． (1)求小球通过最高点A 时的速度v A ； (2)若小球通过最低点B 时，细线对小球的拉力F T 恰好为小球重力的6倍，且小球经过B 点的瞬间让细线断裂，求小球落地点到C 点的距离． 3. 如图所示，半径R ＝0.8 m 的1/4光滑圆弧轨道固定在竖直平面内，过最低点的半径OC 处于竖直位置，在其右方有一可绕竖直轴MN (与圆弧轨道共面)转动的、内部空心的圆筒， 圆筒半径r ＝5 10 m ，筒的顶端与C 点等高，在筒的下部有一小孔，离筒顶的高度h ＝0.8 m ， 开始时小孔在图示位置(与圆弧轨道共面)．现让一质量m ＝0.1 kg 的小物块自A 点由静止开始下落，打在圆弧轨道上的B 点，但未反弹，在瞬间的碰撞过程中小物块沿半径方向的分速度立刻减为零，而沿圆弧切线方向的分速度不变．此后，小物块沿圆弧轨道滑下，到达C 点时触动光电装置，使圆筒立刻以某一角速度匀速转动起来，且小物块最终正好进入小孔．已知A 点、B 点到圆心O 的距离均为R ，AO 、BO 与水平方向的夹角θ均为30°，不计空气阻 力，g 取10 m/s 2 .试求： (1)小物块到达C 点时的速度大小是多少？ (2)圆筒匀速转动时的角速度是多少？ (3)要使小物块进入小孔后能直接打到圆筒的内侧壁，筒身长L 至少为多少？ 热点2 万有引力定律的应用 万有引力定律的应用是每年高考的必考内容，命题重点主要有二个：一是以现代航天成果为背景考查人造卫星问题；二是与圆周运动和牛顿第二定律综合起来考查． 4．(多选)(2014·苏北四市调研)设想我国宇航员随“嫦娥”号登月飞船贴近月球表面做匀速圆周运动，宇航员测出飞船绕行n 圈所用的时间为t .登月后，宇航员利用身边的弹簧秤测出质量为m 的物体重力为G 1.已知引力常量为G ，根据以上信息可得到( ) A ．月球的密度 B ．飞船的质量 C ．月球的第一宇宙速度 D ．月球的自转周期 5．(单选)假设宇宙中存在质量相等的三颗星体且分布在一条直线上，其中两颗星体围绕中央的星体转动，假设两颗星体做圆周运动的半径为R ，每个星体的质量均为m ，引力常量为G .忽略其他星体对该三颗星体的作用．则做圆周运动的星体的线速度大小为( ) A.Gm 4R B.5Gm R C.5Gm 4R D.Gm R 6. (单选)2013年6月，我国成功实现目标飞行器“神舟十号”与轨道空间站“天宫一号”的对接．如图所示，已知“神舟十号”从捕获“天宫一号”到实现对接用时为t ，这段时间圆周运动的实例及临界问题
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