直线、平面、简单几何体
【模拟试题】
第I卷（选择题共60分）
一. 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. （青岛统测）已知直线与平面满足，，，那么必有（）
A. 且
B. 且
C. 且
D. 且
2. （知识原创题）若A、B、C、D四点满足AB⊥CD、AC⊥BD、AD⊥BC，则这四点的位置关系是（）
A. 一定共面
B. 一定不共面
C. 不一定共面
D. 不存在
3. （郑州二次质量预测）正四棱锥P—ABCD的所有棱长都相等，E为PC的中点，那么异面直线BE与PA所成角的余弦值等于（）
A. B. C. D.
4. （知识交汇题）已知相交直线都在平面内，并且都不在平面内，若
中至少有一条与相交；与相交，则p是q的（）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条
件 D. 不充分也不必要条件
5. （热点创新题）若正三棱锥的侧面都是直角三角形，那么侧面与底面所成的角的余弦值是（）
A. B. C. D.
6. （北京西城抽测）球O的截面把垂直于截面的直径分成1：3两部分，若截面圆半径为，则球O的体积为（）
A. B. C. D.
7. （济南统测）如图，正方体ABCD—中，E、F分别是AB、的中点，则异面直线与EF所成角的余弦值为（）
A. B. C. D.
8. （南京模拟）四棱锥P—ABCD，AD⊥面PAB，BC⊥面PAB，底面ABCD 为梯形，AD=4，BC=8，AB=6，，满足上述条件的四棱锥的顶点P的轨迹是（）
A. 圆
B. 不完整的圆
C. 抛物线
D. 抛物线的一部分
9. （知识创新题）把一副三角板ABC与ABD摆成如下图所示的直二面角D —AB—C，则异面直线DC与AB所成的角为（）
A. B. C. D.
10. （易错警醒题）已知正四棱锥的侧棱与底面成角，则此四棱锥的两个相邻侧面所成的二面角的余弦值是（）
A. B. C. D.
11. （苏锡常镇调查一）设为两条直线，为两个平面，给出下列四个命题，其中，正确命题的个数是（）
①若，则
②若，则
③若，则④若，则
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 3个
12. （知识原创题）若，，如果与为共线向量，则（）
A. B.
C. D.
第II卷（非选择题共90分）
二. 填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。）
13. （基本概念题）设，，，且点B的坐标为，则点A的坐标为。齿轮油泵kcb 55
14. （知识创新题）是用“斜二测画法”画出的等腰直角三角形ABC 的直观图，设的面积为，的面积为S，则。
15. （条件开放题）以正方体的8个顶点中4个为顶点，且4个面均为直角三角形的四面体是（只要写出一个四面体即可）。高压渣油泵
16. （真题·辽宁卷）如图，正方体的棱长为1，C、D分别是两条棱的中点，
A、B、M是顶点，那么点M到截面ABCD的距离是。KCB齿轮油泵
三. 解答题（本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）2CY齿轮油泵
17. （本小题满分12分）
（湖北八校二次联考）如图，在多面体ABCDE中，AE⊥面ABC，BD//AE，且AC=AB=BC=BD=2，AE=1，F为CD中点。
（1）求证：EF⊥面BCD；螺杆油泵
（2）求面CDE与面ABDE所成的二面角的余弦值。
螺杆油泵
18. （本小题满分12分）
（成都二诊）如图，已知四棱锥S—ABCD的底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，E是SC上的一点。
（1）求证：平面EBD⊥平面SAC；渣油泵
（2）设SA=4，AB=2，求点A到平面SBD的距离；
（3）当的值为多少时，二面角B—SC—D的大小为。YHB卧式齿轮润滑油泵
19. （本小题满分12分）沥青保温泵
（高考变式题）如下图，已知是直三棱柱，D是AC的中点，O是的中点，E在上，且，AC=BC=CE=2，，。
（1）证明：截面BDE//AO；
（2）求三棱锥的体积。zyb增压燃油泵
20. （本小题满分12分）螺杆油泵
（思维拓展题）
图（1）是一个正方形的表面展开图，MN和PQ是两条面对角线。请在图（2）的正方体中将MN、PQ画出来，并就这个正方体解答下列各题。
（1）求MN与PQ所成角的大小；煤焦油泵
（2）求四面体M—NPQ的体积与正方体的体积之比；
（3）求二面角M—NQ—P的大小。
煤焦油泵
21. （本小题满分12分）
（经典常考题）如下图，在正方体中，E、F分别是、的中点。煤焦油泵
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）设P为的中点，问：在上是否存在一点Q使得，若存在指出Q点的位置，若不存在说明理由。3GR螺杆泵
22. （本小题满分14分）
（知识原创题）已知直棱柱，底面四边形ABCD是直角梯形，上底边长AD=6，直角边所在的腰AB=2，BC=2，，G是CD的中
点，E是的中点，F在AD上，且。沥青齿轮泵
（1）求异面直线EF与所成的角；
（2）求直线EF和平面所成的角；
（3）求二面角的大小。沥青泵
【试题答案】
一.
1. A KCB齿轮油泵
解析：由已知，，可得，又，得，故得答案A。
2. C可调压渣油泵
解析：点A可以是的垂心，也可以是平面外的一点，使得三棱锥A—BCD的三条侧棱两两垂直，即此四点的位置关系是不一定共面，应选C。
3. D高压渣油泵
解析：设O为底面正方形的中心，连结EO，有EO//PA，则是异面直线BE与PA所成的角。设正四棱锥P—ABCD的棱长为2，则在中，
，，，故选D。KCB-300
4. C
解析：本题将直线，平面知识与简易逻辑知识相结合，体现了在知识交汇处命题的高考趋势，从p出发能推到q，从q出发也能推出p，所以p是q的充分必要条件，故选C。齿轮油泵kcb 55
5. D
解析：如图，V—ABC是正三棱锥，所以顶点V在底面的射影O点为正三角形的中心，即O在AM上，M为BC的中点，连结VM，则为侧面与
底面所成的角，设，，又为等腰直角三角形，高压渣油泵
∴故选D
KCB齿轮油泵
6. C
解析：设直径被分成的两部分分别为，易知，得，则球O的半径R=2，故。
7. B2CY齿轮油泵
解析：建立如图坐标系，设正方体的边长为2，则，E（2，1，0），F（0，2，1），C（0，2，0），，，
则螺杆油泵
所以异面直线与EF所成角的余弦值为，故选B。
8. B螺杆油泵
解析：由AD⊥面PAB及BC⊥面PAB，可得AD//BC，，又，及AD=4，BC=8，可得，即
得，在平面PAB内以AB所在直线为x轴，AB中点O为坐标原点，建立直角坐标系，则，B（3，0），设点P的坐标为，则有
，整理可得一个圆方程，渣油泵由于点P不在直线AB上，故此轨迹为一个不完整的圆，故应选B。
9. B
解析：过点C作CE//AB，过点A作AF⊥CE于点F，连结DF，设AD=1，则，，在中，，，故选B。
10. D YHB卧式齿轮润滑油泵
解析：如图，正四棱锥S—ABCD，作BH⊥SC于H，连结HD，则
为所求二面角的平面角，设底面边长为1，则，，在中，由余弦定理得，故选择D。沥青保温泵
易错点是错误理解“此四棱锥的两个相邻侧面所成的二面角”而错选A。
11. B zyb增压燃油泵
解析：①由，，，可得或或相交，相交时只需都与交线平行；②线线平行的判定；③必须；④由，要得到，必须有垂直于与的交线，故选B。
12. C螺杆油泵
解析：若与共线，则有
∴，故应选C。煤焦油泵
二.
13. 煤焦油泵
解析：
∴点A的坐标为
14. 煤焦油泵
解析：设原等腰直角三角形的底边长为，高为，则利用斜二测画法画成的三角形底边长不变，高为∴
15. 3GR螺杆泵
解析：如图，侧棱与上下两个底面垂直，则与底面内的任一直线垂直，连结AC，则，同理。
16. 沥青齿轮泵
解析：由等体积法求解，设点M到平面ABCD的距离为x，
沥青泵
∴
KCB齿轮油泵
三.
17. （1）取BC中点G，连结FG、AG
∵AE⊥面ABC，BD//AE ∴BD⊥面ABC
又AG面ABC ∴BD⊥AG 可调压渣油泵
又AC=AB，G是BC中点∴AG⊥BC
∴AG⊥平面BCD
∵F是CD的中点且BD=2 ∴FG//BD且FG=1
∴FG//AE高压渣油泵
又AE=1 ∴AE=FG，故四边形AEFG是平行四边形，从而EF//AG
∴EF⊥面BCD KCB-300
（2）取AB的中点H，则H为C在面ABDE上的射影，过C作CK⊥DE 于K，连结KH，由三垂线定理的逆定理得KH⊥DE
∴为二面角C—DE—B的平面角
易知，，，齿轮油泵kcb 55
由
可得，中，，故
∴面CDE与面ABDE所成的二面角的余弦值为高压渣油泵
18. （1）∵SA⊥底面ABCD，底面ABCD ∴SA⊥BD
∵ABCD是正方形∴AC⊥BD KCB齿轮油泵
∴BD⊥平面SAC 又BD平面EBD
∴平面EBD⊥平面SAC2CY齿轮油泵
（2）设，连结SO，则SO⊥BD
由AB=2，知，
∴螺杆油泵
∴
令点A到平面SBD的距离为h，由SA⊥平面ABCD
则∴
∴点A到平面SBD的距离为螺杆油泵
（3）设SA=，建立如图所示空间直角坐标系，为计算方便，不妨设AB=1，则C（1，1，0），S（0，0，），B（1，0，0），D（0，1，0）
∴，，渣油泵
再设平面SBC和平面SCD的法向量分别为，，则
YHB卧式齿轮润滑油泵
∴，取，则∴可得
又沥青保温泵
∴，取，则
∴可取∴zyb增压燃油泵
要使得二面角的大小为，则，从而，即当时，二面角B—SC—D的大小为
螺杆油泵
19. （1）设G为的中点，连结DF、OG，则，
∴OG//BE 易知F为OC中点，又D为AC中点∴AO//DF
又∵面BDE ∴AO//截面BDE
（2）∵是直三棱柱，∴BC⊥侧面
∴侧面⊥侧面煤焦油泵
设O到侧面的距离为h，则h等于O到侧面的距离
又∵O为的中点煤焦油泵
∴
故煤焦油泵
20. （1）连结MC、NC，可得PQ//NC，则就是异面直线MN与PQ 所成的角
∵是等边三角形∴3GR螺杆泵
则MN与PQ所成的角等于
（2）不失一般性，设正方体的棱长为1，则（立方单位）
∵（立方单位）沥青齿轮泵
∴沥青泵
（3）∵PN⊥平面AQMP ∴平面MPQ⊥平面NPQ
作MO⊥PQ于O，ME⊥NQ于E，连结OE，并设正方体的棱长为1，则MO⊥平面NPQ
∵OE是ME在平面NPQ内的射影KCB齿轮油泵
∴OE⊥NQ
则是二面角M—NQ—P的平面角
由～，得∴可调压渣油泵
∵ MO⊥OE ∴
∴
则二面角M—NQ—P的大小为高压渣油泵
21. （1）以点D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则A（，0，0），，，
KCB-300
∴，
∴齿轮油泵kcb 55
∴异面直线与所成角的余弦值为
（2）假设存在点使得
∴，，高压渣油泵
∴，，，则
KCB齿轮油泵∴存在点，且时，
22. 以A为原点，分别为所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空
间直角坐标系，则C（2，2，0），D（0，6，0），G（1，4，0），，F（0，2，0），E（2，2，2）2CY齿轮油泵
（1），
∴螺杆油泵
即与所成的角为
所以异面直线EF与所成的角为螺杆油泵
（2）取，连结，则H（0，2，4），
∵平面∴是EF在平面上的射影渣油泵
∵∴
∴直线EF与平面所成的角为
（3）过E作EP⊥FG于P，过作于Q YHB卧式齿轮润滑油泵∵P、Q在平面内，且在直线FG上，在平面内FG的方程为
故可设P、Q点坐标为，
则，，沥青保温泵∵∴∴
又∵∴∴
∴，zyb增压燃油泵
∴
∴二面角E—FG—D1的大小为螺杆油泵