课时作业
一、选择题
1．按数列的排列规律猜想数列23，－45，67，－8
9，…的第10项是
( )
A ．－1617
B ．－1819
C ．－2021
D ．－2223
C [所给数列呈现分数形式，且正负相间，求通项公式时，我们可以把每一部分进行分解：符号、分母、分子．很容易归纳出数列{a n }的通项公式，a n ＝(－1)n ＋1·2n 2n ＋1
，故a 10＝－20
21.]
2．数列{a n }的前n 项积为n 2，那么当n ≥2时，a n ＝
( )
A ．2n －1
B ．n 2 C.（n ＋1）2n 2
D.n 2
（n －1）2
D [设数列{a n }的前n 项积为T n ， 则T n ＝n 2，
当n ≥2时，a n ＝T n T n －1＝n 2
（n －1）2
.]
3．对于数列{a n }，“a n ＋1>|a n |(n ＝1，2，…)”是“{a n }为递增数列”的
( )
A ．必要不充分条件
B ．充分不必要条件
C ．必要条件
D ．既不充分也不必要条件
B [当a n ＋1>|a n |(n ＝1，2，…)时，∵|a n |≥a n ，∴a n ＋1>a n ，∴{a n }为递增数列．当{a n }为递增数列时，若该数列为－2，0，1，则a 2>|a 1|不成立，即知a n ＋1>|a n |(n ＝1，2，…)不一定成立．故综上知，“a n ＋1>|a n |(n ＝1，2，…)”是“{a n }为递增数列”的充分不必要条件．]
4．(2014·温州测试)已知数列{a n }满足a 1＝5，a n a n ＋1＝2n ，则a 7a 3
＝
( )
A ．2
B ．4
C ．5
D.52
B [依题意得，a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝2n ＋12n ＝2，即a n ＋2
a n ＝2，数列a 1，a 3，a 5，a 7，…是一
个以5为首项，以2为公比的等比数列，因此a 7
a 3
＝4，选B.]
5．(2014·江西八校联考)将石子摆成如图的梯形形状．称数列5，9，14，20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第2 012项与5的差，即a 2 012－5＝
( )
A ．2 018×2 012
B ．2 018×2 011
C ．1 009×2 012
D ．1 009×2 011
D [因为a n －a n －1＝n ＋2(n ≥2)， 所以a n ＝5＋（n ＋6）（n －1）2，
所以a 2 012－5＝1 009×2 011.]
6．(2014·合肥模拟)已知函数f (x )＝???2x
－1，x ≤0，
f （x －1）＋1，x ＞0，
把函数g (x )＝f (x )－x
的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为
( )
A ．a n ＝
n （n －1）2
(n ∈N *
) B ．a n ＝n (n －1)(n ∈N *) C ．a n ＝n －1(n ∈N *) D ．a n ＝2n －2(n ∈N *)
C [作为选择题，本题有一种有效的解法是先确定函数的第1，2，3，…有限个零点，即数列的前几项，然后归纳出其通项公式，或代入选项验证即可，
据已知函数关系式可得f (x )＝???2x －1，x ≤0，
2
x －1
，0＜x ≤1，
2
x －2
＋1，1＜x ≤2，
…
此时易知函数g (x )＝f (x )－x 的前几个零点依次为0，1，2，…，代入验证只
有C 符合．] 二、填空题
7．已知数列{a n }满足a st ＝a s a t (s ，t ∈N *)，且a 2＝2，则a 8＝________． 解析 令s ＝t ＝2，则a 4＝a 2×a 2＝4， 令s ＝2，t ＝4，则a 8＝a 2×a 4＝8. 答案 8
8．已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，且a n ＝a n －1
a n －2
(n ≥3)，则a 2 012＝________．
解析 将a 1＝1，a 2＝2代入a n ＝a n －1a n －2得a 3＝a 2
a 1＝2，
同理可得a 4＝1，a 5＝12，a 6＝1
2，a 7＝1，a 8＝2， 故数列{a n }是周期数列，周期为6， 故a 2 012＝a 335×6＋2＝a 2＝2. 答案 2
9．已知{a n }的前n 项和为S n ，且满足log 2(S n ＋1)＝n ＋1，则a n ＝________． 解析 由已知条件可得S n ＋1＝2n ＋1. 则S n ＝2n ＋1－1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝3，
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－1－2n ＋1＝2n ，n ＝1时不适合a n ， 故a n ＝???3，n ＝1，
2n ，n ≥2.
答案 ???3，n ＝1，
2n ，n ≥2.
三、解答题
10．数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2－7n ＋6. (1)这个数列的第4项是多少？
(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？
(3)该数列从第几项开始各项都是正数？ 解析 (1)当n ＝4时， a 4＝42－4×7＋6＝－6. (2)令a n ＝150， 即n 2－7n ＋6＝150， 解得n ＝16或n ＝－9(舍去)， 即150是这个数列的第16项． (3)令a n ＝n 2－7n ＋6>0， 解得n >6或n <1(舍)． 故从第7项起各项都是正数．
11．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋2n ，数列{b n }的前n 项和T n ＝2－b n .求数列{a n }与{b n }的通项公式． 解析 ∵当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝(2n 2＋2n )－[2(n －1)2＋2(n －1)]＝4n ， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝4也适合， ∴{a n }的通项公式是a n ＝4n (n ∈N *)．
∵T n ＝2－b n ，∴当n ＝1时，b 1＝2－b 1，b 1＝1. 当n ≥2时，b n ＝T n －T n －1＝(2－b n )－(2－b n －1)， ∴2b n ＝b n －1.
∴数列{b n }是公比为1
2，首项为1的等比数列． ∴b n ＝? ??
??12n －1.
12．已知数列{a n }中，a 1＝1，且满足递推关系a n ＋1＝2a 2n ＋3a n ＋m
a n ＋1(n ∈N *)．
(1)当m ＝1时，求数列{a n }的通项公式a n ；
(2)当n ∈N *时，数列{a n }满足不等式a n ＋1≥a n 恒成立，求m 的取值范围． 解析 (1)∵m ＝1，由a n ＋1＝2a 2n ＋3a n ＋1
a n ＋1(n ∈N *)，
得a n ＋1＝（2a n ＋1）（a n ＋1）
a n ＋1
＝2a n ＋1，
∴a n
＋1
＋1＝2(a n＋1)，
∴数列{a n＋1}是以2为首项，公比也是2的等比数列．于是a n＋1＝2·2n－1，∴a n＝2n－1.
(2)∵a n＋1≥a n，而a1＝1，知a n≥1，
∴2a2n＋3a n＋m
a n＋1
≥a n，
即m≥－a2n－2a n，
依题意，有m≥－(a n＋1)2＋1恒成立．
∵a n≥1，∴m≥－22＋1＝－3，
即满足题意的m的取值范围是[－3，＋∞)．