第五章定积分
一、基本要求:
1.理解定积分的概念、几何意义、物理意义及定积分的性质.
2.理解积分上限的函数,并掌握其求导法则.
3.掌握牛顿——莱布尼兹公式.
4.掌握定积分的换元法和分布积分法.
5.理解反常积分(广义积分)的概念,会计算反常积分,了解反常积分的审敛法.
6.了解定积分的近似计算方法.
二、主要内容
Ⅰ. 定积分概念:
1. 定积分定义:设()f x 在区间[,]a b 上有界,在[,]a b 中任意插入若干个分点
0121n n a x x x x x b -=<<<<<=.把[,]a b 分成n 个小区间1[,],(1,2,
,)i i x x i n -=,小
区间的长度记为1,(1,2,
,)i i i x x x i n -?=-=,在1[,]i i x x -上任意取一点i ξ,作1
()n
i i i f x ξ=?∑,
若0
1
lim
()n
i
i
i f x λξ→=??∑ 1(max{})i
i n
x λ≤≤=?存在. 就称该极限为()f x 在[,]a b 上的定积分.
记为
1
()lim ()n
b
i i a
i f x dx f x λξ→==??∑?
当上述极限存在时,称()f x 在[,]a b 上可积. 2. 若()f x 在[,]a b 上连续,则()f x 在[,]a b 上可积。
3. 若()f x 在[,]a b 上有界,且只有有限个间断点,则()f x 在[,]a b 上可积. Ⅱ. 定积分的几何意义 定积分
()b
a
f x dx ?
在几何上表示:由曲线()y f x =,直线x a =和x b =以及x 轴所围图形面
积的代数和 (x 轴上方的面积取正,x 轴下方的面积取负)
Ⅲ. 定积分的性质
1. 补充规定:(1)当a b =时,
()0b
a
f x dx =?
(2)当a b >时,
()()b a
a
b
f x dx f x dx =-??
2. 性质:
(1) [()()]()()b
b
b
a a
a
f x
g x dx f x dx g x dx -
-+=+?
??
(2) ()(),()b
b
a a
kf x dx k f x dx k =?
?为常数
(3) ()()()b
c b
a
a
c
f x dx f x dx f x dx =+?
??
(4)
b
a
dx b a =-?
(5) 若在[,]a b 上,()0f x ≥,则
()0,()b
a
f x dx a b ≥
推论1:若在[,]a b 上,()()f x g x ≤,则
()(),()b
b
a
a
f x dx
g x dx a b ≤
?.
推论2:
()(),()b
b
a
a
f x dx f x dx a b ≤
?.
(6 ) 若在[,]a b 上,()m f x M ≤≤,则()()(),()b
a
m b a f x dx M b a a b -≤
≤-
(7) (定积分中值定理):若()f x 在[,]a b 上连续,则在[,]a b 上至少存在ξ,使
()()(),()b
a
f x dx f b a a b ξξ=-≤≤?
.
3. 连续函数()f x 在[,]a b 上的平均值,1()b
a y f x dx
b a
-
=-? Ⅳ. 积分上限函数及其导数 1. 若对任意[,]x a b ∈,
()x
a
f t dt ?
存在,则称()()x
a
x f t dt Φ=?为积分上限的函数.
2. 若()f x 在[,]a b 上可积,则()f x 在[,]a b 上有界. 且积分上限函数()()x
a
x f t dt Φ=
?
在
[,]a b 上连续.
3. 设
()f x 在[,]a b 上连续,则()()x
a
x f t dt Φ=?在[,]a b 上可导,且
'
()()(),()x
a
d x f t dt f x a x b dx Φ==≤≤?.
4. 设()f x 连续,()x φ可导,则()'
'()()[()]()x a
d x f t dt f x x dx φφφΦ==?. 5. 设()f x 连续,()x φ,()x ?可导,则 ()'
''
()
()()[()]()[()]()x x d x f t dt f x x f x x dx φ?φφ??Φ=
=-?.
Ⅴ. 牛顿——莱布尼兹公式.(微积分基本定理)
设()f x 在[,]a b 上连续,()F x 为()f x 在[,]a b 上的一个原函数,则
()()()b
a
f x dx F b F a =-?
.
Ⅵ. 定积分的换元法
设()f x 在[,]a b 上连续,()x t φ=满足: (1) (),()a b φαφβ==.
(2)()t φ在[,]αβ(或[,]βα)上具有连续导数,且()x t φ=的值域不越出[,]a b 的范围,则有
'()[()]()b
a
f x dx f t t dt β
α
φφ=?
?.
注:当()t φ的值域[,]R A B φ=越出[,]a b 的范围,但满足其余条件时,只要()f x 在[,]A B 上连续,则换元法的结论仍然成立.
Ⅶ. 定积分的分部积分法
设()u x 与()v x 在[,]a b 上具有连续导数,则有
()()()()()()b
b
b
a a
a
u x dv x u x v x v x du x =-?
?
Ⅷ. 几类特殊的积分公式
1. 设()f x 在[,]a a -上连续,则有0
()[()()]a
a
a
f x dx f x f x dx -=+-?
?.
2()()[,]()()[,]a a
a
f x dx f x a a f x dx f x a a -?-?
=??-???
当为上连续的偶函数时0
当为上连续的奇函数时
2. 设()f x 是以l 为周期的连续函数,则对任意实数a ,
有
()()a l
l
a
f x dx f x dx +=?
?.
3. 设()f x 在[0,1]上连续,则
2
20
(sin )(cos )f x dx f x dx π
π
=??
(sin )(sin )2xf x dx f x dx π
π
π
=
?
?
20
(sin )2(sin )f x dx f x dx π
π
=?
?
4. 22001231342212
42
sin cos 1353
1
n n n n n n n n n xdx xdx n n n n ππ
π--??-?--?==?
-?=???
??为正偶数
为大于1的正奇整数1 Ⅸ. 反常积分(广义积分) 1. 无穷限的反常积分
(1) 设()f x 在[,)a +∞上连续, ()lim
()b
a a
b f x dx f x dx ∞
→+∞=?
?
(2) 设()f x 在(,]b -∞上连续,
()lim
()b
b
a
a f x dx f x dx -∞
→-∞=?
?
(3) 设()f x 在(,)-∞+∞上连续,
()()()lim
()lim
()b
a
a b f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx ∞
∞
-∞
-∞
→-∞→+∞=+=+?
?
??
?
若上述各式右端的极限存在,则对应的反常积分收敛,否则称该反常积分发散. 注:(3)的右端是两个独立的极限,只有当两个极限都存在使,才有
()f x dx ∞
-∞
?
收敛. 只要有
一个极限不存在,
()f x dx ∞
-∞
?
就发散.
2. 无界函数的反常积分
(1) 设()f x 在(,]a b 上连续,点a 为()f x 的瑕点,()lim ()b
b
a t
t a
f x dx f x dx +→=??
(2) 设()f x 在[,)a b 上连续,点b 为()f x 的瑕点,
()lim ()b
t
a
a
t b
f x dx f x dx -→=?
?
(3) 设()f x 在[,]a b 上除点c ()a c b <<外连续,点c 为()f x 的瑕点,
()()()lim ()lim ()b
c b t b
a
a
c
a
t
t c
t c
f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx -+→→=+=+?
????
若上述各式右端的极限存在,则对应的反常积分收敛,否则称该反常积分发散. 注:(3)的右端是两个独立的极限,只有当两个极限都存在使,才有
()b
a
f x dx ?
收敛. 只要有
一个极限不存在,()b
a
f x dx ?
就发散.
3. 反常积分的审敛法
(1) (比较审敛法1) 设()f x 在[,)(0)a a +∞>上连续,且()0f x ≥. 若存在常数0
M >及1p >,使得()p M
f x x
≤ ()a x ≤<+∞,则反常积分()a f x dx +∞?收敛;若存在常数
0N >,使得()N
f x x
≥ ()a x ≤<+∞,则反常积分()a f x dx +∞?发散.
(2) (极限审敛法1) 设()f x 在[,)a +∞上连续,且()0f x ≥. 若存在常数1p >,使得
lim ()p x x f x →∞
存在,则反常积分()a
f x dx +∞
?
收敛;若lim ()0x xf x d →∞
=>,
(或lim ()x xf x →∞
=+∞)则反常积分
()a
f x dx +∞
?
发散.
(3) (比较审敛法2)设()f x 在(,]a b 上连续,且()0f x ≥. x a =为()f x 的瑕点.若存在
常数0M >及1q <,使得()()()q
M
f x a x b x a ≤
<≤-,则反常积分()b a f x dx ?收敛;若存在常数0N >,使得()N
f x x a
≥- ()a x b <≤,则反常积分()b a f x dx ?发散.
(4) (极限审敛法2) 设()f x 在(,]a b 上连续,且()0f x ≥. x a =为()f x 的瑕点. 若存
在常数01q <<,使得lim()()q
x a
x a f x +
→-存在,则反常积分()b
a
f x dx ?
收敛;若
lim()()0x a x a f x d +
→-=>,(或lim()()x a
x a f x +
→-=+∞)则反常积分()b a
f x dx ?发散.
三、重点与难点
1. 积分上限的函数及其导数.
2. 牛顿——莱布尼兹公式.
3. 定积分的换元法和分部积分法.
四、例题解析
例1 求222
22
12
lim()12n n
n n n n →∞++
+
+++
分析 由定积分定义知
1
()()lim
()n
b
i
i
a
i n f x dx f x λξ→=→∞=??∑?
,可见求右端的极限也可通过求左端的定
积分值而得到. 解决此类问题的关键是把和式归结为某个函数在某区间上的积分和式.
解 原式22221111lim lim lim 11()n n n
i i n n n i i i i
i
i n x i n i n
n
ξξ→∞→∞→∞======?+++∑∑∑
111
22220001111(1)ln(1)ln 212122
x dx d x x x x ==+
=+=++?
?
例2下列解法是否正确
(1).
22
sec 02tan x dx x π
π==+?
(2).1
1
1
122211111111x t
dx
dt dx x t x =
----?=-+++???令,即1122111
2011dx dx x x --?=++??
解 这两题的解法都不正确.
(1) 被积函数220
sec ()2tan x f x dx x π
=
+?
在积分区间[0,]π内2
x π
=
处不满足“牛顿——莱布尼兹”公式的条件,故不能直接应用公式.
(2) 代换1
x t
=
在
[1,1]-上不连续,故在[1,1]-上不可导,不符合换元法的条件.
例3 求下列定积分
(1)
0π
?
(2)2
2
1min{,}x x dx -?
(3)
2
-?
(4)
2
1
?
解
x dx
π
π
π
==?
?
?
22
xdx xdx π
π-=
-?
33
2
2
20
2
22sin sin 33x x π
π
π
=- 224333=+=
注:带绝对值符号的函数的积分,需先脱掉绝对值符号,如在积分区间上脱掉绝对值符号后为分段函数,则转化为分段函数的积分.
(2) 2
2
11
min{,}12
x x x x x
x ?-≤≤=?
<≤?
2
1
2
2
2
1
1
1
13
min{,}6
x x dx x dx xdx --=+=
?
??
(3)
2
2
2
1d
---==?
?
?
21arcsin 4612
x πππ
-==-+=-
(4)
2
2
1
1
=?
?
令1sin ,x t -=则cos dx tdt =
原式2
2
222
20
(sin 1)cos cos cos cos t tdt td t tdt π
π
π
=
+=-+?
??
23
111cos 3
2234
t
πππ
=-+
=+ 例4设()f x 连续,0
()()x g x x f t dt =?
,求''(0)g
解 '
()()()x
g x xf x f t dt =+
?
(1)
'(0)0g =
'
'
''
00()()()(0)(0)lim lim x
x x xf x f t dt g x g g x x
→→+-==?
()()
lim ()(0)lim
2(0)1
x
x x f t dt f x f x f f x
→→=+
=+=? 注:此题没有()f x 可导的条件,故“(1) 式两边再对x 求导得
'''''()()()()2()()(0)2(0)g x f x xf x f x f x xf x g f =++=+?=”这种解法是错误的.
例5计算下列极限
(1) 20
sin 0
ln(1)lim sin 2x
x
x t dt tdt
→+??
(2) 20
30
[()]lim
x
t
t
x
x te f u du dt
x e →??
解 (1) 20
sin 0
000
ln(1)ln(12)24lim
lim
lim sin(2sin )cos sin 2sin 2x
x
x x x t dt x x
x x x
tdt
→→→++?==??
(2) 2
22
32
3
23
[()]()()lim
lim
lim
(3)3x
x t
x
t
x x
x
x x x te f u du dt
xe
f u du
f u du
x e
x x e
x x →→→-==++???
?
20()2(0)0
lim
0323
x f x x f x →-?-?===+ 例6 设()f x 为连续函数,且
22
1(2)()arctan 2
x
x x t f t dt x -=?,(1)1f =,求21()f x dx ?. 解 222
12()()arctan 2
x x x x x f t dt tf t dt x -=??
两边对x 求导,得
242()2[2(2)()][4(2)()]1x x x f t dt x f x f x xf x xf x x
+---=+? 整理后,有241()[()]21x x x
f t dt xf x x
=++? 令1x =, 即得 21113
()[(1)]224
f x dx f =+=?
例7 设()f x 在(,)-∞+∞内连续,且0()()()2
x x
F x t f t dt =-?
证明 (1) 若()f x 为偶函数,则()F x 也是偶函数.
(2) 若()f x 为单减函数,则()F x 也是单增函数 ..
证 (1) 00()()()()()()22x
x x x
F x t f t dt u f u du t u --=--=--+-=-??
0()()()2
x x
u f u du F x =-=?, 即()F x 为偶函数
(2) 0
0()()()2x
x x F x f t dt tf t dt =-??
'
00
11()()()()[()()]222x x x F x f t dt f x xf x f t dt xf x =+-=-??
000
11[()()][()()]22x x x
f t dt f x dt f t f x dt
=-=-???
不定积分例题 例1、设)(x f 的一个原函数是x e 2-,则=)(x f ( ) A 、x e 2- B 、2-x e 2- C 、4-x e 2- D 、4x e 2- 分析:因为)(x f 的一个原函数是x e 2- 所以)(x f ='=-)(2x e 2-x e 2- 答案:B 例2、已知?+=c x dx x xf sin )(,则=)(x f ( ) A 、x x sin B 、x x sin C 、x x cos D 、x x cos 分析:对?+=c x dx x xf sin )(两边求导。 得x x xf cos )(=,所以= )(x f x x cos 答案:C 例3、计算下列不定积分 1、dx x x 23)1(+ ? 2、dx x e e x x x )sin 3(2-+? 分析:利用基本积分公式积分运算性质进行积分,注意在计算时,对被积函数要进行适当的变形 解:1、dx x x 23)1 (+?dx x x x )12(3++ =? c x x x dx x dx x xdx +-+=++=? ??22321ln 22112 2、dx x e e x x x )sin 3(2-+?dx x dx e x ??+=2sin 1)3(c x e x +-+=cot 3ln 1)3( 例4、计算下列积分
1、dx x x ?-21 2、dx e e x x ?+2) 1( 分析:注意到这几个被积函数都是复合函数,对于复合函数的积分问题一般是利用凑微分法,在计算中要明确被积函数中的中间变量)(x u ?=,设法将对x 求积分转化为对)(x u ?=求积分。 解:1、dx x x ?-21c x x d x +--=---=?2221)1(1121 2、dx e e x x ?+2) 1(c e e d e x x x ++-=++=?11)1()1(12 例5、计算?+xdx x sin )1( 分析:注意到这些积分都不能用换元积分法,所以要考虑分部积分,对于分部积分法适用的函数及u ,v '的选择可以参照下列步骤①凑微分,从被积函数中选择恰当的部分作为dx v ',即dv dx v =',使积分变为?udv ;②代公式,?udv ?-=vdu uv ,计算出dx u du '=;③计算积分?vdu 解:?+xdx x sin )1(???--=+=x x xd xdx xdx x cos cos sin sin ?+-+-=---=c x x x x x xdx x x cos sin cos cos )cos cos (
定积分与微积分基本定理复习讲义[备考方向要明了] 考什么怎么考 1.了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念. 2.了解微积分基本定理的含义. 1.考查形式多为选择题或填空题. 2.考查简单定积分的求解. 3.考查曲边梯形面积的求解. 4.与几何概型相结合考查. 1.定积分 (1)定积分的相关概念:在∫b a f(x)d x中,a,b分别叫做积分下限与积分上限,区间[a,b]叫做积分区间,f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量,f(x)d x叫做被积式. (2)定积分的几何意义 ①当函数f(x)在区间[a,b]上恒为正时,定积分∫b a f(x)d x的几何意义是由直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分). ②一般情况下,定积分∫b a f(x)d x的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线x=a,x=b之间的曲边梯形面积的代数和(右上图中阴影所
示),其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值,在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数. (3)定积分的基本性质:①∫b a kf(x)d x=k∫b a f(x)d x. ②∫b a[f1(x)±f2(x)]d x=∫b a f1(x)d x±∫b a f2(x)d x. ③∫b a f(x)d x=∫c a f(x)d x+∫b c f(x)d x. [探究] 1.若积分变量为t,则∫b a f(x)d x与∫b a f(t)d t是否相等? 提示:相等. 2.一个函数的导数是唯一的,反过来导函数的原函数唯一吗? 提示:一个函数的导数是唯一的,而导函数的原函数则有无穷多个,这些原函数之间都相差一个常数,在利用微积分基本定理求定积分时,只要找到被积函数的一个原函数即可,并且一般使用不含常数的原函数,这样有利于计算. 3.定积分∫b a[f(x)-g(x)]d x(f(x)>g(x))的几何意义是什么? 提示:由直线x=a,x=b和曲线y=f(x),y=g(x)所围成的曲边梯形的面积. 2.微积分基本定理:如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且F′(x)=f(x),那么∫b a f(x)d x=F(b)-F(a),这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿—莱布尼兹公式.为了方便,常把F(b)-F(a)记成F(x)| b a,即∫b a f(x)d x=F(x) |b a=F(b)-F(a). 课前预测: 1.∫421 x d x等于( ) A.2ln 2 B.-2ln 2 C.-ln 2 D.ln 2
《高等数学》考研辅导练习4 不定积分 1. 求()x f x e -=在R 上的一个原函数。 2. 已知2 2 2 (sin )cos tan f x x x '=+,求()01f x x <<。 3. 设 2 ()f x dx x C =+?,则2(1)xf x dx -=? 。 4. 计算 3。 5。 计算。 6. 计算 71 (2) dx x x +?。 7。 计算。 8. 计算 21 13sin dx x +?。 9。 计算172 2 1sin cos dx x x ? 。 10. 计算 () 2 2 sin cos x dx x x x +?。 11. 计算 ()()2 ln ()ln ()()()()f x f x f x f x f x dx ''''++?。 12. 设()arcsin xf x dx x C =+? ,则 1 () dx f x =? 。 13. 设2 2 2(1)ln 2 x f x x -=-,且(())ln f x x ?=,求()x dx ??。 14. 计算arctan 23/2(1)x xe dx x +?。 15. 计算x 。 16. 计算 1sin 22sin dx x x +?。 17. 计算ln t tdt α ? 。 18. 计算()ln n x dx ?。 《高等数学》考研辅导练习5 定积分 1.设02 ()2 l kx x f x l c x l ? ≤≤??=??<≤??,求0 ()()x x f t dt Φ=?。 2. 设1 ()2()f x x f x dx =+? ,则()f x = 。 3. 计算 {}2 23 min 2,x dx -? 。 4. 已知()f x 连续,且满足()()1f x f x -=,则 2 2cos 1()x dx f x π π-+?= 。
第4章不定积分 内容概要 课后习题全解 习题4-1
1.求下列不定积分: 知识点:直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析:利用不定积分的运算性质和基本积分公式,直接求出不定积分! ★(1) 思路: 被积函数 5 2 x -=,由积分表中的公式(2)可解。 解:5 322 23x dx x C --==-+? ★(2)dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解:1 14111 3332223()2 4dx x x dx x dx x dx x x C --=-=-=-+???? ★(3)22x x dx +?() 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解:22 32122ln 23x x x x dx dx x dx x C +=+=++???() ★(4)3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解:3153 222223)325x dx x dx x dx x x C -=-=-+??? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422223311311 x x x x x ++=+++后,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。
解:42232233113arctan 1 1x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +? 思路:注意到222221111111x x x x x +-==-+++,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。 解:22 21arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注:容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地,如果被积函数为一个有理的假分式,通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式,再分项积分。 ★(7)x dx x x x ?34134(-+-)2 思路:分项积分。 解:3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?????34134(-+-)2 223134ln ||.423 x x x x C --=--++ ★(8) 23(1dx x -+? 思路:分项积分。 解: 2231(323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++?? ★★(9) 思路=?11172488x x ++==,直接积分。 解:715888.15 x dx x C ==+?? ★★(10) 221(1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。
题 号 一 二 三 四 总分 统分人 分 数 得 分 一、选择 (8小题,共26分) 得分 阅卷人 1. 4)(2 x dt t f x =? ,则=?dx x f x 40)(1( ) A 、16 B 、8 C 、4 D 、2 2.设正值函数 )(x f 在],[b a 上连续,则函数 dt t f dt t f x F x b x a ? ?+=) (1 )()(在),(b a 上至少有( )个根。 A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 3. =+? dx x x 3 1 ( ) A .18 B . 3 8 C . 1 D .0 4.设 )(x ?''在[b a ,]上连续,且a b =')(?,b a =')(?,则 ?='''b a dx x x )()(??( ) (A )b a - (B )21(b a -) (C ))(2 1 22b a + (D ))(2 122 b a - 5. 19 3 8 dx x +? 定积分作适当变换后应等于 A 、3 23xdx ? B 、30 3xdx ? C 、 2 3xdx ? D 、3 23xdx --? 6.sin 22y x x ππ?? -=???? 在 ,上的曲线与轴围成图形的面积为 A 、 22 sin xdx π π-? B 、2 sin xdx π ? C 、0 D 、 22 sin x dx π π-? 7.2 1 x xe dx +∞ -=? 广义积分 A 、 12e B 、12e - C 、e D 、+∞ 8 . 2 ()d ()(0)0(0)2lim x x f x x f x f f x →'==?若为可导函数,且已知,,则之值为 A 、0 B 、1 C 、2 D 、1 2 二、填空 (2小题,共5分) 得分 阅卷人
高等数学不定积分例题思路和答案超全 内容概要 课后习题全解 习题4-1 :求下列不定积分1.知识点:。直接积分法的练习——求不定积分的基本方法思路分析:!利用不定积分的运算性质和基本积分公式,直接求出不定积分(1)★思路: 被积函数,由积分表中的公式(2)可解。 解: (2)★思路: 根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。解: (3)★思路: 根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。:解. (4)★思路: 根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。解: (5)思路:观察到后,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。
解: (6)★★思路:注意到,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。 解: 注:容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地,如果被积函数为一个有理的假分式,通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式,再分项积分。(7)★思路:分项积分。 解: (8)★思路:分项积分。 解: (9)★★思路:?看到,直接积分。 解: (10)★★思路: 裂项分项积分。解: (11)★解: (12)★★思路:初中数学中有同底数幂的乘法:指数不变,底数相乘。显然。 解: (13)★★思路:应用三角恒等式“”。 解: (14)★★思路:被积函数,积分没困难。 解: (15)★★思路:若被积函数为弦函数的偶次方时,一般地先降幂,再积分。 解: (16)★★思路:应用弦函数的升降幂公式,先升幂再积分。 解: () 17★思路:不难,关键知道“”。 :解. ()18★思路:同上题方法,应用“”,分项积分。 解: ()19★★思路:注意到被积函数,应用公式(5)即可。 解: ()20★★思路:注意到被积函数,则积分易得。 解: 、设,求。2★知识点:。考查不定积分(原函数)与被积函数的关系思路分析::。即可1直接利用不定积分的性质解::等式两边对求导数得 、,。求的原函数全体设的导函数为3★知识点:。仍为考查不定积分(原函数)与被积函数的关系思路分析:。连续两次求不定积分即可解:,由题意可知:。所以的原函数全体为、证明函数和都是的原函数4★知识点:。考查原函数(不定积分)与被积函数的关系思路分析:。只需验证即可解:,而、,且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数,求此曲线的方程。一曲线通过点5★知识点:属于第12章最简单的一阶线性微分方程的初值问题,实质仍为考查原函数(不定积分)与被积函数的关系。 思路分析:求得曲线方程的一般式,然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。 解:设曲线方程为,由题意可知:,; 又点在曲线上,适合方程,有, 所以曲线的方程为 、,:问6一物体由静止开始运动,经秒后的速度是★★(1)在秒后物体离开出发点的距离是多少?
不定积分内容概要
课后习题全解 习题4-1 1.求下列不定积分: 知识点:直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析:利用不定积分的运算性质和基本积分公式,直接求出不定积分!★(1) 思路: 被积函数 5 2 x- =,由积分表中的公式(2)可解。 解:53 22 2 3 x dx x C -- ==-+ ? ★ (2)dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解:114 111 333 222 3 ()2 4 dx x x dx x dx x dx x x C -- -=-=-=-+ ???? ★(3)2 2x x dx + ?() 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解:223 21 22 ln23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++ ??? ( ) ★(4)3) x dx - 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解:3153 2222 2 3)32 5 x dx x dx x dx x x C -=-=-+ ??
★★(5)4223311 x x dx x +++? 思路:观察到422223311311 x x x x x ++=+++后,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。 解:42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +? 思路:注意到222221111111x x x x x +-==-+++,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项, 分别积分。 解:2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注:容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地,如果被积函数为一个有理的假分式,通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式,再分项积分。 ★(7)x dx x x x ?34134(-+-)2 思路:分项积分。 解:3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?? ???34134(-+-)2 223134ln ||.423 x x x x C --=--++ ★(8) 23(1dx x -+? 思路:分项积分。 解: 2231(323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x -=-=-+++?? ★★(9) 思路=11172488x x ++==,直接积分。 解:715888.15 x dx x C ==+? ★★(10)221(1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。
第四章 不 定 积 分 § 4 – 1 不定积分的概念与性质 一.填空题 1.若在区间上)()(x f x F =',则F(x)叫做)(x f 在该区间上的一个 , )(x f 的 所有原函数叫做)(x f 在该区间上的__________。 2.F(x)是)(x f 的一个原函数,则y=F(x)的图形为?(x)的一条_________. 3.因为 dx x x d 2 11)(arcsin -= ,所以arcsinx 是______的一个原函数。 4.若曲线y=?(x)上点(x,y)的切线斜率与3 x 成正比例,并且通过点A(1,6)和B(2,-9),则该 曲线方程为__________?。 二.是非判断题 1. 若f ()x 的某个原函数为常数,则f ()x ≡0. [ ] 2. 一切初等函数在其定义区间上都有原函数. [ ] 3. ()()()??'='dx x f dx x f . [ ] 4. 若f ()x 在某一区间内不连续,则在这个区间内f ()x 必无原函数. [ ] 5. =y ()ax ln 与x y ln =是同一函数的原函数. [ ] 三.单项选择题 1.c 为任意常数,且)('x F =f(x),下式成立的有 。 (A )?=dx x F )('f(x)+c; (B )?dx x f )(=F(x)+c; (C )? =dx x F )()('x F +c; (D) ?dx x f )('=F(x)+c. 2. F(x)和G(x)是函数f(x)的任意两个原函数,f(x)≠0,则下式成立的有 。 (A )F(x)=cG(x); (B )F(x)= G(x)+c; (C )F(x)+G(x)=c; (D) )()(x G x F ?=c. 3.下列各式中 是| |sin )(x x f =的原函数。 (A) ||cos x y -= ; (B) y=-|cosx|; (c)y={ ;0,2cos , 0,cos <-≥-x x x x (D) y={ . 0,cos ,0,cos 21<+≥+-x c x x c x 1c 、2c 任意常数。 4.)()(x f x F =',f(x) 为可导函数,且f(0)=1,又2 )()(x x xf x F +=,则f(x)=______.