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二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象
教学目标 (一)教学知识点 1．能够作出函数 y＝a(x－h)2 和 y＝a(x－h)2＋k 的图象，并能理解它与 y＝ax2 的图象的关系．理解 a，h，k 对二次函数图象的影响． 2．能够正确说出 y＝a(x－h)2＋k 图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． (二)能力训练要求 1．通过学生自己的探索活动，对二次函数性质的研究，达到对抛物线自身 特点的认识和对二次函数性质的理解． 2．经历探索二次函数的图象的作法和性质的过程，培养学生的探索能力． (三)情感与价值观要求 1．经历观察、猜想、总结等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演 绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点． 2．让学生学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果． 教学重点 1．经历探索二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象的作法和性质的过程． 2．能够作出 y＝a(x—h)2 和 y＝a(x－h)2＋k 的图象，并能理解它与 y＝ax2 的 图象的关系，理解 a、h、k 对二次函数图象的影响． 3．能够正确说出 y＝a(x－h)2＋k 图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 教学难点 能够作出 y＝a(x－h)2 和 y＝a(x－h)2＋k 的图象，并能够理解它与 y＝ax2 的 图象的关系，理解 a、h、k 对二次函数图象的影响． 教学方法 探索——比较——总结法． 教具准备 投影片四张 第一张：(记作§2．4．1A) 第二张；(记作§2．4．1B) 第三张：(记作§2．4．1C)
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第四张：(记作§2．4．1D)
教学过程
Ⅰ．创设问题情境、引入新课
[师]我们已学习过两种类型的二次函数，即 y＝ax2 与 y＝ax2＋c，知道它们
都是轴对称图形，对称轴都是 y 轴，有最大值或最小值．顶点都是原点．还知道
y＝ax2＋c 的图象是函数 y＝ax2 的图象经过上下移动得到的，那么 y＝ax2 的图象
能否左右移动呢？它左右移动后又会得到什么样的函数形式，它又有哪些性质
呢？本节课我们就来研究有关问题．
Ⅱ．新课讲解
一、比较函数 y＝3x2 与 y＝3(x－1)2 的图象的性质．
投影片：(§2．4A)
(1)完成下表，并比较 3x2 和 3(x－1)2 的值，它们之间有什么关系？
x
－3 －2 －1 0 1 2 3 4
3x2
3(x－1)2
(2)在下图中作出二次函数 y＝3(x－1)2 的图象．你是怎样作的？
(3)函数 y＝3(x－1)2 的图象与 y＝3x2 的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？ 它的对称轴和顶点坐标分别是什么？ (4)x 取哪些值时，函数 y＝3(x－1)2 的值随 x 值的增大而增大？x 取哪些值时， 函数 y＝3(x－1)2 的值随 x 值的增大而减小？
[师]请大家先自己填表，画图象，思考每一个问题，然后互相讨论，总结． [生](1)第二行从左到右依次填：27，12，3，0，3，12，27，48；第三行从 左到右依次填 48，27，12，3，0，3，12，27． (2)用描点法作出 y＝3(x－1)2 的图象，如上图．
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(3)二次函数 y＝3(x－1)2 的图象与 y＝3x2 的图象形状相同，开口方向也相同， 但对称轴和顶点坐标不同，y＝3(x－1)2 的图象的对称轴是直线 x＝1，顶点坐标 是(1，0)．
(4)当 x＞1 时，函数 y＝3(x－1)2 的值随 x 值的增大而增大，x＜1 时， y＝3(x－1)2 的值随 x 值的增大而减小．
[师]能否用移动的观点说明函数 y＝3x2 与 y＝3(x－1)2 的图象之间的关系 呢？
[生]y＝3(x－1)2 的图象可以看成是函数 y＝3x2 的图象整体向右平移得到的． [师]能像上节课那样比较它们图象的性质吗？ [生]相同点： a．图象都是抛物线，且形状相同，开口方向相同． b．都是轴对称图形． c．都有最小值，最小值都为 0． d．在对称轴左侧，y 都随 x 的增大而减小，在对称轴右侧，y 都随 x 的增大 而增大． 不同点： a．对称轴不同．y＝3x2 的对称轴是 y 轴．y＝3(x－1)2 的对称轴是 x＝1． b．它们的位置不同． c．它们的顶点坐标不同．y＝3x2 的顶点坐标为(0，0)，y＝3(x－1)2 的顶点坐 标为(1，0)． 联系： 把函数 y＝3x2 的图象向右移动一个单位，则得到函数 y＝3(x－1)2 的图像． 二、做一做 投影片：(§2．4．1B) 在同一直角坐标系中作出函数 y＝3(x－1)2 和 y＝3(x－1)2＋2 的图象．并比 较它们图象的性质． [生]图象如下
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它们的图象的性质比较如下： 相同点： a．图象都是抛物线，且形状相同，开口方向相同． b．都是轴对称图形，对称轴都为 x＝1． c．在对称轴左侧，y 都随 x 的增大而减小，在对称轴右侧，y 都随 x 的增大 而增大． 不同点： a．它们的顶点不同，最值也不同．y＝3(x－1)2 的顶点坐标为(1，0)，最小 值为 0．y＝3(x－1)2＋2 的顶点坐标为(1，2)，最小值为 2． b．它们的位置不同． 联系： 把函数 y＝3(x－1)2 的图象向上平移 2 个单位，就得到了函数 y＝3(x－1)2＋2 的图象． 三、总结函数 y＝3x2，y＝3(x－1)2，y＝3(x－1)2＋2 的图象之间的关系． [师]通过上面的讨论，大家能够总结出这三种函数图象之间的关系吗？ [生]可以． 二次函数 y＝3x2，y＝3(x－1)2，y＝3(x－1)2＋2 的图象都是抛物线，并且形 状相同，开口方向相同，只是位置不同，顶点不同，对称轴不同，将函数 y＝3x2 的图象向右平移 1 个单位，就得到函数 y＝3(x－1)2 的图象；再向上平移 2 个单 位，就得到函数 y＝3(x－1)2＋2 的图象． [师]大家还记得 y＝3x2 与 y＝3x2－1 的图象之间的关系吗？ [生]记得，把函数 y＝3x2 向下平移 1 个平位，就得到函数 y＝3x2－1 的图象． [师]你能系统总结一下吗？ [生]将函数 y＝3x2 的图象向下移动 1 个单位，就得到了函数 y＝3x2－1 的图
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象；向上移动 1 个单位，就得到函数 y＝3x2＋1 的图象；将 y＝3x2 的图象向右平 移动 1 个单位，就得到函数 y＝3(x－1)2 的图象；向左移动 1 个单位，就得到函 数 y＝3(x＋1)2 的图象；由函数 y＝3x2 向右平移 1 个单位、再向上平移 2 个单位， 就得到函数 y＝3(x－1)2＋2 的图象．
[师]下面我们就一般形式来进行总结． 投影片：(§2．4．1C) 一般地，平移二次函数 y＝ax2 的图象便可得到二次函数为 y＝ax2＋c， y＝a(x－h)2，y＝a(x－h)2＋k 的图象． (1)将 y＝ax2 的图象上下移动便可得到函数 y＝ax2＋c 的图象，当 c＞0 时， 向上移动，当 c＜0 时，向下移动． (2)将函数 y＝ax2 的图象左右移动便可得到函数 y＝a(x－h)2 的图象，当 h＞0 时，向右移动，当 h＜0 时，向左移动． (3)将函数 y＝ax2 的图象既上下移，又左右移，便可得到函数 y＝a(x－h)2＋k 的图象． 因此，这些函数的图象都是一条抛物线，它们的开口方向，对称轴和顶点坐 标与 a，h，k 的值有关． 下面大家经过讨论之后，填写下表：
y＝a(x－h)2＋k 开口方向 对称轴 顶点坐标 a＞ a＜0
四、议一议 投影片：(§2．4．1D) (1)二次函数 y＝3(x＋1)2 的图象与二次函数 y＝3x2 的图象有什么关系？它是 轴对称图形吗？它的对称轴和顶点坐标分别是什么？ (2)二次函数 y＝－3(x－2)2＋4 的图象与二次函数 y＝－3x2 的图象有什么关 系？它是轴对称图形吗？它的对称轴和顶点坐标分别是什么？ (3)对于二次函数 y＝3(x＋1)2，当 x 取哪些值时，y 的值随 x 值的增大而增大？ 当 x 取哪些值时，y 的值随 x 值的增大而减小？二次函数 y＝3(x＋1)2＋4 呢？ [师]在不画图的情况下，你能回答上面的问题吗？
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[生](1)二次函数 y＝3(x＋1)2 的图象与 y＝3x2 的图象形状相同，开口方向也
相同，但对称轴和顶点坐标不同，y＝3(x＋1)2 的图象的对称轴是直线 x＝－1，
顶点坐标是(－1，0)．只要将 y＝3x2 的图象向左平移 1 个单位，就可以得到
y＝3(x＋1)2 的图象．
(2)二次函数 y＝－3(x－2)2＋4 的图象与 y＝－3x2 的图象形状相同，只是位
置不同，将函数 y＝－3x2 的图象向右平移 2 个单位，就得到 y＝－3(x－2)2 的图
象，再向上平移 4 个单位，就得到 y＝－3(x－2)2＋4 的图象．y＝－3(x－2)2＋4
的图象的对称轴是直线 x＝2，顶点坐标是(2，4)．
(3)对于二次函数 y＝3(x＋1)2 和 y＝3(x＋1)2＋4，它们的对称轴都是 x＝－1，
当 x＜－1 时，y 的值随 x 值的增大而减小；当 x＞－1 时，y 的值随 x 值的增大
而增大．
Ⅲ．课堂练习
随堂练习
Ⅳ．课时小结
本节课进一步探究了函数 y＝3x2 与 y＝3(x－1)2，y＝3(x－1)2＋2 的图象有什
么关系，对称轴和顶点坐标分别是什么这些问题．并作了归纳总结，还能利用这
个结果对其他的函数图象进行讨论．
Ⅴ．课后作业
习题 2．4
Ⅳ．活动与探究
二次函数 y＝ 1 (x＋2)2－1 与 y＝ 1 (x－1)2＋2 的图象是由函数 y＝ 1 x2 的图
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象怎样移动得到的？它们之间是通过怎样移动得到的？
解：y＝ 1 (x＋2)2－1 的图象是由 y＝ 1 x2 的图象向左平移 2 个单位，再向下
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平移 1 个单位得到的，y＝ 1 (x－1)2＋2 的图象是由 y＝ 1 x2 的图象向右平移 1 个
2
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单位，再向上平移 2 个单位得到的．
y＝ 1 (x＋2)2－1 的图象向右平移 3 个单位，再向上平移 3 个单位得到 2
y＝ 1 (x－1)2＋2 的图象． 2
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y＝ 1 (x－1)2＋2 的图象向左平移 3 个单位，再向下平移 3 个单位得到 2
y＝ 1 (x＋2)2－1 的图象． 2 板书设计 §4．2．1 二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象(一) 一、1．比较函数 y＝3x2 与 y＝3(x－1)2 的图象和性质(投影片§2．4．1A) 2．做一做(投影片§2．4．1B) 3．总结函数 y＝3x2，y＝3(x－1)2，y＝3(x－1)2＋2 的图象之间的关系(投影
片§2．4．1C) 4．议一议(投影片§2．4．1D) 二、课堂练习 1．随堂练习 2．补充练习 三、课时小结 四、课后作业
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