平面向量典型例题
平面向量经典例题：
1.
已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,0)，若向量λa ＋b 与向量c ＝(1，－2)共线，则实数λ等于( ) A ．－2 B ．－13
C ．－1
D ．－23
[答案] C
[解析] λa ＋b ＝(λ，2λ)＋(2,0)＝(2＋λ，2λ)，∵λa ＋b 与c 共线，∴－2(2＋λ)－2λ＝0，∴λ＝－1. 2.
(文)已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0,1)，c ＝(k ，3)，若a ＋2b 与c 垂直，则k ＝( ) A ．－1 B ．－ 3 C ．－3 D ．1 [答案] C
[解析] a ＋2b ＝(3，1)＋(0,2)＝(3，3)，
∵a ＋2b 与c 垂直，∴(a ＋2b )·c ＝3k ＋33＝0，∴k ＝－3.
(理)已知a ＝(1,2)，b ＝(3，－1)，且a ＋b 与a －λb 互相垂直，则实数λ的值为( ) A ．－611
B ．－116
C.611
D.116 [答案] C
[解析] a ＋b ＝(4,1)，a －λb ＝(1－3λ，2＋λ)， ∵a ＋b 与a －λb 垂直，
∴(a ＋b )·(a －λb )＝4(1－3λ)＋1×(2＋λ)＝6－11λ＝0，∴λ＝6
11.
3.
设非零向量a 、b 、c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则向量a 、b 间的夹角为( ) A ．150°
B ．120°
C ．60°
D ．30° [答案] B
[解析] 如图，在?ABCD 中，
∵|a |＝|b |＝|c |，c ＝a ＋b ，∴△ABD 为正三角形，∴∠BAD ＝60°，∴〈a ，b 〉＝120°，故选B.
(理)向量a ，b 满足|a |＝1，|a －b |＝3
2
，a 与b 的夹角为60°，则|b |＝( ) A.12 B.13 C.14 D.15 [答案] A [解析] ∵|a －b |＝
32，∴|a |2＋|b |2－2a ·b ＝34
，∵|a |＝1，〈a ，b 〉＝60°， 设|b |＝x ，则1＋x 2－x ＝34，∵x >0，∴x ＝1
2
.
4.
若AB →·BC →＋AB →2＝0，则△ABC 必定是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形
[答案] B
[解析] AB →·BC →＋AB →2＝AB →·(BC →＋AB →)＝AB →·AC →＝0，∴AB →⊥AC →， ∴AB ⊥AC ，∴△ABC 为直角三角形． 5.
若向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－2,4)，则用a ，b 表示c 为( ) A ．－a ＋3b B ．a －3b C ．3a －b D ．－3a ＋b [答案] B
[解析] 设c ＝λa ＋μb ，则(－2,4)＝(λ＋μ，λ－μ)， ∴??? λ＋μ＝－2λ－μ＝4，∴???
λ＝1μ＝－3
，∴c ＝a －3b ，故选B. 在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →
等于( )
A.14a ＋12b
B.23a ＋1
3b C.12a ＋14
b D.13a ＋23b [答案] B
[解析] ∵E 为OD 的中点，∴BE →＝3ED →， ∵DF ∥AB ，∴
|AB ||DF |＝|EB |
|DE |
，
∴|DF |＝13|AB |，∴|CF |＝23|AB |＝2
3|CD |，
∴AF →＝AC →＋CF →＝AC →＋23CD →＝a ＋23(OD →
－
OC →)＝a ＋23(12b －12a )＝23a ＋1
3b .
6.
若△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，CA ＝6，则AB →·BC →的值为( ) A ．19 B ．14 C ．－18 D ．－19 [答案] D
[解析] 据已知得cos B ＝72＋52－622×7×5＝1935，故AB →·BC →＝|AB →|×|BC →|×(－cos B )＝7×5×()
－1935＝－19.
7.
若向量a ＝(x －1,2)，b ＝(4，y )相互垂直，则9x ＋3y 的最小值为( ) A ．12 B ．2 3 C ．3 2 D ．6 [答案] D
A.15
B.14
C.13
D.12
[答案] A
[解析] 如图，取CD 的三等分点M 、N ，BC 的中点Q ，则EF ∥DG ∥BM ∥NQ ，易知AK →＝15AC →，∴λ＝1
5
.
8.
已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若ma ＋4b 与a －2b 共线，则m 的值为( ) A.1
2 B ．2 C ．－2 D ．－12
[答案] C
[解析] ma ＋4b ＝(2m －4,3m ＋8)，a －2b ＝(4，－1)， 由条件知(2m －4)·(－1)－(3m ＋8)×4＝0，∴m ＝－2，故选C. 9.
在△ABC 中，C ＝90°，且CA ＝CB ＝3，点M 满足BM →＝2MA →，则CM →·CB →等于( ) A ．2 B ．3 C ．4
D ．6 [答案] B
[解析] CM →·CB →＝(CA →＋AM →)·CB → ＝(CA →＋13AB →)·CB →＝CA →·CB →＋13
AB →·CB →
＝13|AB →|·|CB →|·cos45°＝13×32×3×22
＝3. 10. 在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点，AB ＝3，BD ＝1，则AB →·AD →
＝
________. [答案]
15
2
[解析] 由条件知，|AB →|＝|AC →|＝|BC →|＝3，〈AB →，AC →
〉＝60°， 〈AB →，CB →〉＝60°，CD →＝23
CB →，
∴AB →·AD →＝AB →·(AC →＋CD →)＝AB →·AC →＋AB →·23CB →＝3×3×cos60°＋23×3×3×cos60°＝152.
11. 已知向量a ＝(3,4)，b ＝(－2,1)，则a 在b 方向上的投影等于________．
[答案] －255。[解析] a 在b 方向上的投影为a ·b |b |＝－25＝－25
5.
12. 已知向量a 与b 的夹角为
2π
3
，且|a |＝1，|b |＝4，若(2a ＋λb )⊥a ，则实数λ＝________. [答案] 1
[解析] ∵〈a ，b 〉＝
2π3，|a |＝1，|b |＝4，∴a ·b ＝|a |·|b |·cos 〈a ，b 〉＝1×4×cos 2π3
＝－2，∵(2a ＋λb )⊥a ，∴a ·(2a ＋λb )＝2|a |2＋λa ·b ＝2－2λ＝0，∴λ＝1.
13. 已知：|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →＝0，点C 在∠AOB 内，且∠AOC ＝30°，设OC →＝mOA →＋nOB →
(m ，
n ∈R ＋
)，则m n
＝________.
[答案] 3
[解析] 设mOA →＝OF →，nOB →＝OE →，则OC →＝OF →＋OE →
，
∵∠AOC ＝30°，∴|OC →|·cos30°＝|OF →|＝m |OA →
|＝m ， |OC →|·sin30°＝|OE →|＝n |OB →|＝3n ，
两式相除得：m 3n ＝|OC →
|cos30°|OC →|sin30°
＝1tan30°＝3，∴m
n ＝3.
14. (文)设i 、j 是平面直角坐标系(坐标原点为O )内分别与x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量，且OA →
＝
－2i ＋j ，OB →
＝4i ＋3j ，则△OAB 的面积等于________． [答案] 5
[解析] 由条件知，i 2＝1，j 2＝1，i ·j ＝0，∴OA →·OB →＝(－2i ＋j )·(4i ＋3j )＝－8＋3＝－5，又OA →·OB →＝|OA →
|·|OB →|·cos 〈OA →，OB →〉＝55cos 〈OA →，OB →〉，
∴cos 〈OA →，OB →〉＝－55，∴sin 〈OA →，OB →〉＝25
5，
∴S △OAB ＝12|OA →|·|OB →|·sin 〈OA →，OB →〉＝12×5×5×25
5
＝5.
(理)三角形ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，能得出三角形ABC 一定是锐角三角形的条件是________(只写序号)
①sin A ＋cos A ＝15 ②AB →·BC →
<0 ③b ＝3，c ＝33，B ＝30° ④tan A ＋tan B ＋tan C >0.
[答案] ④
[解析] 若A 为锐角，则sin A ＋cos A >1，∵sin A ＋cos A ＝15，∴A 为钝角，∵AB →·BC →<0，∴BA →·BC →
>0，
∴∠B 为锐角，由∠B 为锐角得不出△ABC 为锐角三角形；由正弦定理b sin B ＝c sin C 得，3sin30°＝33
sin C
，∴sin C ＝
32，∴C ＝60°或120°，∵c ·sin B ＝332，3<33
2
<33，∴△ABC 有两解，故①②③都不能得出△ABC 为锐角三角形．
④由tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan(A ＋B )(1－tan A tan B )＋tan C ＝－tan C (1－tan A tan B )＋tan C ＝tan A tan B tan C >0，及A 、B 、C ∈(0，π)，A ＋B ＋C ＝π知A 、B 、C 均为锐角，
∴△ABC 为锐角三角形．
15. 已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )．
(1)若a ⊥b ，求x 的值． (2)若a ∥b ，求|a －b |.
[解析](1)若a⊥b，
则a·b＝(1，x)·(2x＋3，－x)＝1×(2x＋3)＋x(－x)＝0，
整理得x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.
(2)若a∥b，则有1×(－x)－x(2x＋3)＝0，则x(2x＋4)＝0，解得x＝0或x＝－2，当x＝0时，a＝(1,0)，b＝(3,0)，
∴|a－b|＝|(1,0)－(3,0)|＝|(－2,0)|＝(－2)2＋02＝2，
当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)，
∴|a－b|＝|(1，－2)－(－1,2)|＝|(2，－4)|＝22＋(－4)2＝2 5.
16.已知向量a＝(sin x，－1)，b＝(3cos x，－1
2)，函数f(x)＝(a＋b)·a－2.
(1)求函数f(x)的最小正周期T；
(2)将函数f(x)的图象向左平移π
6上个单位后，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，得到
函数g(x)的图象，求函数g(x)的解析式及其对称中心坐标．
[解析](1)f(x)＝(a＋b)·a－2＝a2＋a·b－2＝sin2x＋1＋3sin x cos x＋1
2－2
＝1－cos2x
2＋
3
2sin2x－
1
2＝
3
2sin2x－
1
2cos2x＝sin(2x－
π
6)，
∴周期T＝2π
2＝π.
(2)向左平移π
6个单位得，y＝sin[2(x＋
π
6)－
π
6]＝sin(2x＋
π
6)，横坐标伸长为原来的3倍得，
g(x)＝sin(2
3x＋π
6)，令
2
3x＋
π
6＝kπ得对称中心为(
3kπ
2－
π
4，0)，k∈Z.
17.(文)三角形的三个内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，设向量m＝(c－a，b－a)，n＝(a＋b，
c)，若m∥n.
(1)求角B的大小；
(2)若sin A＋sin C的取值范围．
[解析](1)由m∥n知c－a
a＋b
＝
b－a
c，
即得b2＝a2＋c2－ac，据余弦定理知cos B＝1
2，得B＝
π
3.
(2)sin A＋sin C＝sin A＋sin(A＋B)＝sin A＋sin(A＋π3)
＝sin A＋1
2sin A＋
3
2cos A＝
3
2sin A＋
3
2cos A＝3sin(A＋
π
6)，
∵B＝π
3，∴A＋C＝
2π
3，∴A∈(0，
2π
3)，
∴A＋π
6∈(
π
6，
5π
6)，∴sin(A＋
π
6)∈(
1
2，1]，
∴sin A＋sin C的取值范围为(
3
2，3]．
(理)在钝角三角形ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，m＝(2b－c，cos C)，n＝(a，cos A)，且m∥n.
(1)求角A的大小；
(2)求函数y ＝2sin 2B ＋cos(π
3－2B )的值域．
[解析] (1)由m ∥n 得(2b －c )cos A －a cos C ＝0， 由正弦定理得2sin B cos A －sin C cos A －sin A cos C ＝0， ∵sin(A ＋C )＝sin B ，∴2sin B cos A －sin B ＝0， ∵B 、A ∈(0，π)，∴sin B ≠0，∴A ＝π
3
.
(2)y ＝1－cos2B ＋12cos2B ＋32sin2B ＝1－12cos2B ＋32sin2B ＝sin(2B －π
6)＋1，
当角B 为钝角时，角C 为锐角，则
?????
π
2
3－B <π
2?π2
3
， ∴
5π6<2B －π6<7π6，∴sin(2B －π6)∈(－12，12)，∴y ∈(12，3
2
)． 当角B 为锐角时，角C 为钝角，则 ?????
0
?0
6
，
∴－π6<2B －π6<π6，∴sin(2B －π6)∈(－12，12)，∴y ∈(12，32)，
综上，所求函数的值域为(12，32
)．
18. 设函数f (x )＝a ·b ，其中向量a ＝(2cos x,1)，b ＝(cos x ，3sin2x )，x ∈R.
(1)若f (x )＝1－3且x ∈[－π3，π
3
]，求x ；
(2)若函数y ＝2sin2x 的图象按向量c ＝(m ，n )(|m |<π
2)平移后得到函数y ＝f (x )的图象，求实数m 、n 的
值．
[解析] (1)依题设，f (x )＝2cos 2x ＋3sin2x ＝1＋2sin(2x ＋π
6
)．
由1＋2sin(2x ＋π6)＝1－3，得sin(2x ＋π6)＝－3
2
，
∵－π3≤x ≤π3，∴－π2≤2x ＋π6≤5π6，∴2x ＋π6＝－π3，即x ＝－π
4
.
(2)函数y ＝2sin2x 的图象按向量c ＝(m ，n )平移后得到函数y ＝2sin2(x －m )＋n 的图象，即函数y ＝f (x )的图象．由(1)得f (x )＝2sin2(x ＋
π12)＋1.∵|m |<π2，∴m ＝－π
12
，n ＝1. 19. 已知向量OP →＝(2cos x ＋1，cos2x －sin x ＋1)，OQ →＝(cos x ，－1)，f (x )＝OP →·OQ →
.
(1)求函数f (x )的最小正周期；
(2)当x ∈[0，π
2
]时，求函数f (x )的最大值及取得最大值时的x 值．
[解析] (1)∵OP →＝(2cos x ＋1，cos2x －sin x ＋1)，OQ →
＝(cos x ，－1)， ∴f (x )＝OP →·OQ →
＝(2cos x ＋1)cos x －(cos2x －sin x ＋1)
＝2cos 2x ＋cos x －cos2x ＋sin x －1＝cos x ＋sin x ＝2sin(x ＋π4)，
∴函数f (x )最小正周期T ＝2π. (2)∵x ∈[0，π2]，∴x ＋π4∈[π4，3π
4
]，
∴当x ＋π4＝π2，即x ＝π4时，f (x )＝2sin(x ＋π
4
)取到最大值 2.
20. △ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，向量m ＝(－1,1)，n ＝(cos B cos C ，sin B sin C
－
3
2
)，且m ⊥n . (1)求A 的大小；
(2)现在给出下列三个条件：①a ＝1；②2c －(3＋1)b ＝0；③B ＝45°，试从中选择两个条件以确定△ABC ，求出所确定的△ABC 的面积．
(注：只需要选择一种方案答题，如果用多种方案答题，则按第一方案给分)． [解析] (1)因为m ⊥n ，所以－cos B cos C ＋sin B sin C －3
2
＝0， 即cos B cos C －sin B sin C ＝－
32，所以cos(B ＋C )＝－32
， 因为A ＋B ＋C ＝π，所以cos(B ＋C )＝－cos A ，所以cos A ＝3
2
，A ＝30°. (2)方案一：选择①②，可确定△ABC ， 因为A ＝30°，a ＝1,2c －(3＋1)b ＝0， 由余弦定理得，12＝b 2＋(
3＋12b )2－2b ·3＋12b ·3
2解得b ＝2，所以c ＝6＋22
， 所以S △ABC ＝12bc sin A ＝1
2·2·6＋22·12＝3＋14，
方案二：选择①③，可确定△ABC ， 因为A ＝30°，a ＝1，B ＝45°，C ＝105°，
又sin105°＝sin(45°＋60°)＝sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝6＋2
4
， 由正弦定理c ＝
a sin C sin A ＝1·sin105°sin30°＝6＋2
2
， 所以S △ABC ＝12ac sin B ＝1
2·1·6＋22·22＝3＋14.
(注意：选择②③不能确定三角形)
(理)如图，⊙O 方程为x 2＋y 2＝4，点P 在圆上，点D 在x 轴上，点M 在DP 延长线上，⊙O 交
y 轴于点N ，DP →∥ON →，且DM →＝32
DP →
.
(1)求点M 的轨迹C 的方程；
(2)设F 1(0，5)、F 2(0，－5)，若过F 1的直线交(1)中曲线C 于A 、B 两点，
求F 2A →·F 2B →的取值范围．
[解析] (1)设P (x 0，y 0)，M (x ，y )，
∵DM →＝32
DP →
，∴???
y ＝32
y 0
x ＝x 0
，∴???
y 0＝23y
x 0＝x
，
代入x 20＋y 2
0＝4得，x 24＋y 2
9
＝1. (2)①当直线AB 的斜率不存在时，显然F 2A →·F 2B →＝－4，
②当直线AB 的斜率存在时，不妨设AB 的方程为：y ＝kx ＋5，
由?
????
y ＝kx ＋5x 24＋y 2
9＝1得，(9＋4k 2)x 2＋85kx －16＝0，
不妨设A 1(x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 ???
x 1
＋x 2
＝－85k 9＋4k 2
x 1x 2
＝－169＋4k
2
，
F 2A →·F 2B →＝(x 1，y 1＋5)·(x 2，y 2＋5)＝(x 1，kx 1＋25)·(x 2，kx 2＋25)＝(1＋k 2)x 1x 2＋25k (x 1＋x 2)＋20
＝－16(1＋k 2)9＋4k 2＋－80k 29＋4k 2＋20＝－96k 2－169＋4k 2＋20
＝－4＋
200
9＋4k 2
， ∵k 2≥0，∴9＋4k 2≥9，∴0<2009＋4k
2≤200
9， ∴－4 9 ， 综上所述，F 2A →·F 2B →的取值范围是(－4，164 9 ]． 21. 在平面直角坐标系内，已知两点A (－1,0)、B (1,0)，若将动点P (x ，y )的横坐标保持不变，纵坐标扩大 到原来的2倍后得到点Q (x ，2y )，且满足AQ →·BQ → ＝1. (1)求动点P 所在曲线C 的方程； (2)过点B 作斜率为－ 22 的直线l 交曲线C 于M 、N 两点，且OM →＋ON →＋OH → ＝0，又点H 关于原点O 的对称点为点G ，试问M 、G 、N 、H 四点是否共圆？若共圆，求出圆心坐标和半径；若不共圆，请说明理由． [解析] (1)设点P 的坐标为(x ，y )，则点Q 的坐标为(x ，2y )， 依据题意得，AQ →＝(x ＋1，2y )，BQ → ＝(x －1，2y )． ∵AQ →·BQ →＝1，∴x 2－1＋2y 2＝1.∴动点P 所在曲线C 的方程是x 22＋y 2＝1. (2)因直线l 过点B ，且斜率为k ＝－ 22，∴l ：y ＝－2 2(x －1)， 联立方程组??? ?? x 2 2 ＋y 2＝1y ＝－2 2 (x －1)，消去y 得，2x 2－2x －1＝0. 设M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)，∴??? x 1＋x 2＝1， x 1x 2＝－1 2 ，∴y 1＋y 2＝－ 22(x 1－1)－2 2 (x 2－1) ＝－ 22(x 1＋x 2)＋2＝2 2 . 由OM →＋ON →＋OH →＝0得，OH →＝(－x 1－x 2，－y 1－y 2)，即H (－1，－2 2)， 而点G 与点H 关于原点对称，∴G (1， 22 )， 设线段MN 、GH 的中垂线分别为l 1和l 2，k GH ＝ 2 2 ，则有 l 1：y －24＝2(x －12 )，l 2：y ＝－2x .联立方程组????? y －24＝2(x －12)，y ＝－2x 解得l 1和l 2的交点为O 1(18，－2 8)． 因此，可算得|O 1H |＝ (98)2＋(328)2＝3118 ， |O 1M |＝ (x 1－18)2＋(y 1＋28)2＝311 8 . 所以M 、G 、N 、H 四点共圆，且圆心坐标为O 1(18，－28)，半径为311 8.
相关主题
文本预览