D
C
B
A
1. 2.2 函数的表示方法 第一课时 函数的几种表示方法
【教学目标】
1．掌握函数的三种主要表示方法
2．能选择恰当的方法表示具体问题中的函数关系 3．会画简单函数的图像 【教学重难点】
教学重难点：图像法、列表法、解析法表示函数 【教学过程】 一、复习引入：
1．函数的定义是什么？函数的图象的定义是什么？ 2．在中学数学中, 画函数图象的基本方法是什么？
3．用描点法画函数图象, 怎样避免描点前盲目列表计算？怎样做到描最少的点却能显示出图象的主要特征？
二、讲解新课：函数的表示方法
表示函数的方法, 常用的有解析法、列表法和图象法三种. ⑴解析法：就是把两个变量的函数关系, 用一个等式表示, 这个等式叫做函数的解析表达式, 简称解析式.
例如, s=602t , A=π2
r , S=2rl π,y=a 2
x +bx+c(a ≠0),y=
2-x (x ≥2)等等都是用解析
式表示函数关系的.
优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值.中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数.
⑵列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系.
学号 1 2 3 4 5 6
7
8 9 身高
125
135
140
156
138
172 167
158
169
用列表法来表示函数关系的.公共汽车上的票价表
优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值. ⑶图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系.
例如, 气象台应用自动记录器描绘温度随时间变化的曲线, 课本
中我国人口出生率变化的曲线, 工厂的生产图象, 股市走向图等都是用图象法表示函数关系的.
优点：能直观形象地表示出自变量的变化, 相应的函数值变化的趋势, 这样使得我们可以通过图象来研究函数的某些性质.
三、例题讲解
例1某种笔记本每个5元, 买 x ∈{1,2,3,4}个笔记本的钱数记为y
（元）, 试写出以x 为自变量的函数y 的解析式, 并画出这个函数的图像
解：这个函数的定义域集合是{1,2,3,4}, 函数的解析式为 y=5x, x ∈{1,2,3,4}.
它的图象由4个孤立点A (1, 5) B (2, 10) C (3, 15) D (4, 20)组成, 如图
所示
变式练习1 设,)(331--+=+x x x x f 221)(--+=+x x x x g 求f [g (x )]。
解：)1
(3)1()1(3x x x x x x f +-+=+ ∴x x x f 3)(3-=
2)1
()1(2-+=+x x x x g ∴2)(2-=x x g
∴[]=)(x g f 296246-+-x x x
例2作出函数x x y 1
+
=的图象
列表描点：
Q P O G N M L K
(0.2， 5.0)(0.3， 4.0)(0.4， 3.0)(1.0， 2.0)(2.0， 2.5)(3.0， 3.3)(4.0， 4.3)(5.0， 5.2)
K'L'M'N'G'O'P'Q'
(-5.0， -5.2)(-4.0， -4.3)(-3.0， -3.3)(-2.0， -2.5)(-1.0， -2.0)(-0.4， -3.0)(-0.3， -4.0)(-0.2， -5.0)
变式练习2 画出函数y =∣x ∣与函数y=∣x －2∣的图象
四、小结 本节课学习了以下内容：函数的表示方法及图像的作法 【板书设计】 一、 函数的表示方法 二、 典型例题
例1： 例2： 小结：
【作业布置】
课本第56习题2.2：1, 2, 3, 4
1.2.2 函数的表示方法 第一课时 函数的几种表示方法
一 、 预习目标
通过预习理解函数的表示
二 、预习内容 1.列表法：通过列出 与对应 的表来表示 的方法叫做
列表法
2.图象法：以 为横坐标, 对应的 为纵坐标的点 的集合, 叫做函数y=f （x ）的图象, 这种用“图形”表示函数的方法叫做图象法.
3.解析法（公式法）：用 来表达函数y=f （x ）（x ∈A ）中的f （x ）, 这种表达函数的方法叫解析法, 也称公式法。
4.分段函数：在函数的定义域内, 对于自变量x 的不同取值区间, 有着 , 这样的函数通常叫做 。
三、提出疑惑
D C
B A
同学们, 通过你的自主学习, 你还有哪些疑惑, 请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
课内探究学案
一 、学习目标
1．掌握函数的三种主要表示方法
2．能选择恰当的方法表示具体问题中的函数关系 3．会画简单函数的图像
学习重难点：图像法、列表法、解析法表示函数 二 、 学习过程
表示函数的方法, 常用的有解析法、列表法和图象法三种. ⑴解析法：就是把两个变量的函数关系, 用一个等式表示, 这个等式叫做函数的解析表达式, 简称解析式.
例如, s=602
t , A=π2
r , S=2rl π,y=a 2
x +bx+c(a ≠0),y=
2-x (x ≥2)等等都是用解析式
表示函数关系的.
优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值.中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数.
⑵列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系.
例如, 学生的身高 单位：厘米 学号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 身高
125
135
140
156
138
172
167
158
169
数学用表中的平方表、平方根表、三角函数表, 银行里的利息表, 列车时刻表等等都是用列表法来表示函数关系的.公共汽车上的票价表
优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值. ⑶图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系.
例如, 气象台应用自动记录器描绘温度随时间变化的曲线, 课本中我国人口出生率变化的曲线, 工厂的生产图象, 股市走向图等都是用图象法表示函数关系的.
优点：能直观形象地表示出自变量的变化, 相应的函数值变化的趋势, 这样使得我们可以通过图象来研究函数的某些性质.
三、例题讲解
例1某种笔记本每个5元, 买 x ∈{1,2,3,4}个笔记本的钱数记为y
（元）, 试写出以x 为自变量的函数y 的解析式, 并画出这个函数的图像
变式练习1 设,)(331--+=+x x x x f 221)(--+=+x x x x g 求f [g (x )]。
例2作出函数
x x y 1
+
=的图象
变式练习2 画出函数y =∣x ∣与函数y=∣x －2∣的图象
三 、当堂检测
课本第56页练习1, 2, 3
课后练习与提高
1.在股票买卖过程中,经常用到两种曲线,一种是即时价格曲线y ＝f(x)(实线表示),另一种是平均价格曲线y ＝g(x)(虚线表示)〔如f(2)＝3是指开始买卖后两个小时的即时价格为3元;g(2)＝3表示两个小时内的平均价格为3元〕,下图给出的四个图象中,其中可能正确的是( )
2.函数f(x+1)为偶函数,且x ＜1时,f(x)＝x 2+1,则x ＞1时,f(x)的解析式为( )
A.f(x)＝x 2-4x+4
B.f(x)＝x 2-4x+5
C.f(x)＝x 2-4x-5
D.f(x)＝x 2+4x+5 3.函数)1(·|
|)(>=
a a x x x f x
的图象的大致形状是( )
4.如图,设点A 是单位圆上的一定点,动点P 从点A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周,点P 所旋转过的
的长为l,弦AP 的长为d,则函数d ＝f(l)的图象大致是( )
5.用一根长为12m 的铝合金条做成一个“目”字形窗户的框架(不计损耗),要使这个窗户通过的阳光最充足,则框架的长与宽应分别为_________.
6.已知定义域为R 的函数f(x)满足f ［f(x)-x 2+x ］＝f(x)-x 2+x. (1)若f(2)＝3,求f(1);又若f(0)＝a,求f(a);
(2)设有且仅有一个实数x 0,使得f(x 0)＝x 0,求函数f(x)的解析表达式. 解答：
1 解析:解答该题要注意平均变化率是一个累积平均效应,因此可以得到正确选项为C. 答案:C
2 解析:因为f(x+1)为偶函数,
所以f(-x+1)＝f(x+1),即f(x)＝f(2-x).
当x ＞1时,2-x ＜1,此时,f(2-x)＝(2-x)2+1,即f(x)＝x 2-4x+5. 答案:B
3 解析:该函数为一个分段函数,即为?????<->=>=,
0,,
0,)1(||
)(x a x a a a x x x f x
x x 当x ＞0时函数f(x)＝a x 的图象单调递增;当x ＜0时,函数f(x)＝-a x 的图象单调递减.故选B.
答案:B
4 解析:函数在［0,π］上的解析式为
2
sin 22sin 4cos 22cos 112112
22l l l l d ==-=???-+=. 在［π,2π］上的解析式为2
sin
2)2cos(22l l d =--=
π, 故函数d ＝f(l)的解析式为2
sin 2l
d =,l ∈［0,2π］. 答案:C
5 解析:由题意可知,即是求窗户面积最大时的长与宽,设长为xm,则宽为(x 2
1
3-
)m, ∴),60(32
1
)213(2<<+-=-=x x x x x S 解得当x ＝3时,2
9
max =S .
∴长为3m,宽为1.5m. 答案:3m,1.5m
全方位教学辅导教案姓名性别年级高一 教学 内容 函数与映射的概念及其函数的表示法 重点难点教学重点：理解函数的概念；区间”、“无穷大”的概念，定义域的求法，映射的概念教学难点：函数的概念，无穷大”的概念，定义域的求法，映射的概念 教学目标1．理解函数的定义；明确决定函数的定义域、值域和对应法则三个要素； 2．能够正确理解和使用“区间”、“无穷大”等记号；掌握分式函数、根式函数定义域的求法，掌握求函数解析式的思想方法 3.了解映射的概念及表示方法 4.了解象与原象的概念，会判断一些简单的对应是否是映射，会求象或原象. 5.会结合简单的图示，了解一一映射的概念 教学过程课前检 查与交 流 作业完成情况： 交流与沟通 针 对 性 授 课 一、函数的概念 一、复习引入： 初中（传统）的函数的定义是什么？初中学过哪些函数？ 设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的 值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数.并将自变量x取值的集合叫做 函数的定义域，和自变量x的值对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数 的值域.这种用变量叙述的函数定义我们称之为函数的传统定义. 初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等 问题1：（）是函数吗？ 问题2：与是同一函数吗？ 观察对应： 30 45 60 90 2 1 2 2 2 3 9 4 1 1 -1 2 -2 3 -3 3 -3 2 -2 1 -1 1 4 9 1 2 3 1 2 3 4 5 6 (1)(2) (3)(4) 开平方求正弦 求平方乘以2 A A A A B B B B 1 二、讲解新课：
函数的概念和函数的表示法 考点一：由函数的概念判断是否构成函数 函数概念：设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有 唯一确定的数f （x ）和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数。 例1. 下列从集合A 到集合B 的对应关系中，能确定y 是x 的函数的是（ ） ① A={x x ∈Z}，B={y y ∈Z}，对应法则f ：x →y= 3 x ; ② A={x x>0,x ∈R}, B={y y ∈R}，对应法则f ：x →2y =3x; ③ A=R,B=R, 对应法则f ：x →y=2 x ; 变式1. 下列图像中，是函数图像的是（ ） ① ② ③ ④ 变式2. 下列式子能确定y 是x 的函数的有（ ） ①22x y +=2 1= ③ A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个 变式3. 已知函数y=f （x ），则对于直线x=a （a 为常数），以下说法正确的是（ ） A. y=f （x ）图像与直线x=a 必有一个交点 B.y=f （x ）图像与直线x=a 没有交点 C.y=f （x ）图像与直线x=a 最少有一个交点 D.y=f （x ）图像与直线x=a 最多有一个交点 变式4.对于函数y ＝f(x)，以下说法正确的有…( ) ①y 是x 的函数 ②对于不同的x ，y 的值也不同 ③f(a)表示当x ＝a 时函数f(x)的值，是一个常量 ④f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 变式5．设集合M ＝{x|0≤x ≤2}，N ＝{y|0≤y ≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M 到集合N 的函数关系的有( ) A ．①②③④ B ．①②③ C ．②③ D ．② 考点二：同一函数的判定 函数的三要素：定义域、对应关系、值域。 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等。 例2. 下列哪个函数与y=x 相同（ ） ①. y=x ②.y = ③. 2 y = ④.y=t ⑤.3 3x y = ；⑥.2x y =
题一：定义集合{1,2,…,n }到{1,2,…,n }上的函数f ：k →i k ，k =1,2,…,n .记作：121,2,,,,,n n i i i ?? ??? . 设121,2,,,,,n n f i i i ??= ??? ，12 1,2,,,,,n n g j j j ??= ??? (这里的j 1，j 2，…，j n n j j j ,,,21 也是1,2,…,n 这n 个整数的一个排列).定义g f 12 1,2,,,,,n n i i i ??= ??? 121,2,,,,,n n j j j ?? ??? ，其中)]([)(k g f k g f = ，k =1,2,…,n ..则? ?? ? ?????? ??4,5,1,2,35,4,3,2,13,1,2,4,55,4,3,2,1= 题二：在加工爆米花的过程中，爆开且不糊的粒数占加工总数的比率称为可食用率p .它的大小主要取决于加工时间t (单位：分钟). 做了三次实验，数据记录如图所示.已知图中三个点都在函数p =－0.2t 2+bt +c 上，则由此得到的理论最佳加工时间为 分钟. 题三：3,10 ()((5)),10x x f x f f x x -≥?=?+
函数定义域与值域 1.函数的概念 本节我们将学习一种特殊的对应—映射。 看下面的例子：设A ，B 分别是两个集合，为简明起见，设A ，B 分别是两个有限集 求平方 B B 说明：（2）（3）（4）这三个对应的共同特点是： 映射：设A ，B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，这样的对应（包括集合A 、B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到集合B 的映射 记作：B A f : 映射与函数的区别： 3.函数的三种表示法 （1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式 （2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系 （3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系
4.求函数解析式的题型有： （1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法； （2）已知()f x 求[()]f g x 或已知[()]f g x 求()f x ：换元法、配凑法； （3）已知函数图像，求函数解析式； （4）()f x 满足某个等式，这个等式除()f x 外还有其他未知量，需构造另个等式解方程组法； （5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等 5 区间的表示： ],[}|{b a b x a x =≤≤ ),[}|{b a b x a x =<≤ ],(}|{b a b x a x =≤< ),(}|{b a b x a x =<< ],(}|{b b x x -∞=≤ ),[}|{+∞=≤a x a x 6 如果A ，B 都是非空的数集，那么A 到B 的映射f ：A →B 就叫做A 到B 的函数，记作y=f(x)，其中x ∈A ，y ∈B.原象的集合A 叫做函数y=f(x)的定义域，象的集合C （C ?B ）叫做函数y=f(x)的值域.函数符号y=f(x)表示“y 是x 的函数”，有时简记作函数f(x). 明确函数的三要素：定义域、值域、解析式 二 典型例题 例1．若函数y ＝f(x)的定义域为M ＝{x|－2≤x≤2}，值域为N ＝{y|0≤y≤2}，则函数y ＝f(x)的图象可能是 ( ) 变式：设集合M={x |0≤x ≤2}，N={y |0≤y ≤2}，从M 到N 有4种对应如下图所示：
第四讲函数的概念与表示 一．知识归纳： 1．映射 （ 1）映射：设 A 、 B 是两个集合，如果按照某种映射法则f，对于集合 A 中的任一个 元素，在集合 B 中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应（包括集合A、B以及 A到 B 的对应法则 f ）叫做集合 A 到集合 B 的映射，记作 f ： A→B。 （ 2）象与原象：如果给定一个从集合 A 到集合 B 的映射，那么集合 A 中的元素 a 对应的 B 中的元素 b 叫做 a 的象， a 叫做 b 的原象。 注意：（ 1）对映射定义的理解。（ 2）判断一个对应是映射的方法。 2．函数 （ 1）函数的定义 ①原始定义：设在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于 x 在某一范围内的每一个确定的值， y 都有唯一确定的值与它对应，那么就称y 是 x 的函数， x 叫作自变量。 ②近代定义：设 A 、 B 都是非空的数的集合，f： x→y是从 A 到 B 的一个对应法则，那么从 A 到 B 的映射 f ： A→B就叫做函数，记作y=f(x) ，其中 x∈ A,y ∈ B，原象集合 A 叫做函数的定义域，象集合 C 叫做函数的值域。 注意：①C B; ② A,B,C 均非空 （ 2）构成函数概念的三要素：①定义域②对应法则③值域 3．函数的表示方法：①解析法②列表法③图象法 注意：强调分段函数与复合函数的表示形式。 二．例题讲解： 【例 1】下列各组函数中，表示相同函数的是（） (A) f(x)=lnx 2,g(x)=2lnx (B)f(x)= a log a x (a>0 且 a≠1),g(x)=x (C) f(x)= 1 x 2 , g(x)=1 - |x| (x ∈[ - 1,1]) (D) f(x)= log a a x (a>0 且 a≠1),g(x)= 3 x3 解答：选D 点评：判断两个函数是否相同主要是从定义域、对应法则两个方面加以分析。 变式：下列各对函数中，相同的是（ D ） (A) f(x)= x 2, g(x)=x (B)f(x)=lgx 2 ,g(x)=2lgx (C)f(x)= lg x 1 , g(x)=lg(x - 1)- lg(x+1) (D) f(x)= 1 u 1 v 1 , g(x)= v x 1 u 1 【例 2】（ 1）集合 A={3,4},B={5,6,7} ，那么可以建立从 A 到 B 的映射的个数是；从B 到 A 的映射的个数是。 （ 2）设集合 A 和 B 都是自然数集合N，映射 f：A→B把集合 A 中的元素 n 映射到集 合 B 中的元素2n+n，则在映射 f 下，像20 的原象是。 解答：（ 1）从 A 到 B 可分两步进行，第一步 A 中的元素 3 可有 3 种对应方法（ 5 或 6 精选
函数的定义及其表示 一、选择题（共16小题；共80分） 1. 设集合 M ={x ∣0≤x ≤2}，N ={y ∣0≤y ≤2}，给出如下四个图形，其中能表示从集合 M 到集合 N 的函数关系的是 ( ) A. B. C. D. 2. 设函数 f (x )={x 2+1,x ≤1 2x ,x >1，则 f(f (3))= ( ) A. 1 5 B. 3 C. 2 3 D. 13 9 3. 设集合 M ={x ∣(x +3)(x ?2)<0}，N ={x ∣1≤x ≤3}，则 M ∩N = ( ) A. [1,2) B. [1,2] C. (2,3] D. [2,3] 4. 定义在 R 上的函数 f (x ) 满足 f (x +y )=f (x )+f (y )+2xy (x,y ∈R )，f (1)=2，则 f (?3) 等 于 ( ) A. 2 B. 3 C. 6 D. 9 5. 已知函数 f (x )={2x +1,x <1 x 2+ax,x ≥1 ，若 f(f (0))=4a ，则实数 a 等于 ( ) A. 1 2 B. 4 5 C. 2 D. 9 6. 下列各组函数中，表示同一函数的是 ( ) A. y =x +1 与 y = x 2+x x B. f (x )= 2(√x) 2 与 g (x )=x C. f (x )=∣x ∣ 与 g (x )=√x n n D. f (x )=x 与 g (t )=log a a t 7. 下列各组函数中，表示同一个函数的是 ( ) A. y = x 2?1x?1 与 y =x +1 B. y =x 与 y =∣x∣ C. y =∣x∣ 与 y =2 D. y =2?1 与 y =x ?1 8. 已知函数 f (x )={2x +1,x <1 x 2+ax,x ≥1 ，若 f(f (0))=4a ，则实数 a 等于 ( ) A. 1 2 B. 4 5 C. 2 D. 9 9. 若 f (x )=ax(a ＞0且a ≠1) 对于任意实数 x ，y 都有 ( )
一、函数的概念及其表示 函数是刻画变量之间对应关系的数学模型和工具。 函数的共同特征： （1）都包含两个非空数集，用A 、B 来表示； （2）都有一个对应关系； （3）尽管对应关系的表示方法不同，但它们都有如下特性：对于数级A 中的任意一个数x ，按照对应关系，在数集B 中都有唯一确定的数y 和它对应。 事实上，除了解析式、图象、表格外，还有其他表示对应关系的方法。为了表示方便，我们引进符号f 统一表示对应关系。 一般地，设A 、B 是非空的实数集，如果对于集合A 中的任意一个数x,按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合b 的一个函数，记作 ().,A x x f y ∈= 其中x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合(){}A x x f ∈|叫做函数的值域。 我们所熟悉的一次函数y=kx+b ，k ≠0的定义域是R ，值域也是R 。对应关系f 把r 中的任意一个数x ，对应到R 中唯一确定的数kx+b 。二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的定义域是R ，值域是B 。当A>0时，B=??????-≥a b ac y y 44|2；当A<0时，B=? ?????-≤a b ac y y 44|2。对应关系f 把R 中任意一个数x,对应到B 中唯一确定的数)0(2≠++a c bx ax 。 由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系
和值域。因为值域是由定义域和对应关系决定的，所以如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数。两个函数如果仅有对应关系相同，但定义域不相同，那么它们不是同一个函数。 函数的三种表示方法：解析法、列表法和图象法。 解析法，就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系； 列表法，就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系； 图象法，的就是用图象表示两个变量之间的对应关系。 这三种方法是常用的函数表示法。
函数的定义及表示方法 1若函数()f x 满足(21)1f x x -=+，则(1)f = ． 2函数()f x 对于任意实数x 满足条件1(2)() f x f x += ，若(1)5f =-，则((5))f f = ． 3若函数2(21)2f x x x +=-，则(3)f = ． 4已知函数2 2 (),1x f x x R x =∈+. （1）求1()()f x f x +的值； （2）计算：111 (1)(2)(3)(4)()()()234 f f f f f f f ++++++. 5已知,a b 为常数，若22()43,()1024,f x x x f ax b x x =+++=++求5a b -的值 6设函数3 (100)(),(89).[(5)](100)x x f x f f f x x -≥?=? +
函数的概念及表示方法 一、选择题（每小题5分，共60分） 1、 数)(x y ?=的图象与直线a x =的交点个数为（ ） A 、必有1个 B 、1个或2个 C 、至多1个 D 、可能2个以上 2、 下列四组中的函数 )(x f 与)(x g ，表示相同函数的一组是（ ） A 、2)()(,)(x x g x x f == B 、1)(,11)(2-=-+=x x g x x x f C 、 x x x g x x f ==)(,)(0 D 、2)(,)(x x g x x f == 3、 下列选项正确的是（ ） （1）x x y -+-= 12可以表示函数 （2）521=-+-y x 可以表示函数（3）122=+y x 可以表示函数 （4）12=+y x 可以表示函数 A 、 （2）（4） B 、（1）（3） C 、（1）（2） D 、（3）（4） 4、下列关于分段函数的叙述正确的是（ ） （1） 分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集 （2）分段函数尽管在定义域不同的部分有不同的对应法则，但它们是同一个函数 （3）若21,D D 分别是分段函数的两个不同对应法则的值域，则Φ=21D D I A 、 （1） B 、（2）、（3） C 、（1）、（2） D 、（1）、（3） 5、设2:x x f →是集合A 到B 的映射，如果{}2,1=B ，那么B A I =( ) A 、 Φ B 、 {}1 C 、Φ 或{}2 D 、Φ或{}1 6、若函数)(x f 满足),)(()()(R y x y f x f y x f ∈+=+，则下列各项不恒成立 的是（ ） A 、0)0(=f B 、)1(3)3(f f = C 、)1(2 1)21(f f = D 、0)()(<-x f x f 7、将x y 1=的图像变换至函数23++=x x y 的图像，需先向 平移 个单位，再向 平移 个单位（ ） A 、左,2，上，1 B 、左，2，下，1 C 、右，2，上，1 D 、右，2，上，1 8、已知函数)(x f 的定义域是),(b a ，其中b>a+2,则)13()13()(+--=x f x f x f 的定义域是（ ）
1.1函数定义及表示方法 1.给出四个命题：①f(x)=3-x +x -2是函数；②函数f(x)=2x(x ∈N)的图像是一条直线；③f(x)=1与g(x)=（x-1）0表示同一函数；④f ﹝x)=2x 2－1（3＜x ＜5﹚,f(a)=7,则a=2，其中正确的有（ ）个。 A.1 B.2 C.3 D.4 2.若函数y=f(3x-1)的定义域是[0,1]，则y=f(x+1)的定义域是（ ） A.﹙﹣2,0﹚ B. [﹣1,0] C. [﹣2,1] D. [﹣3,2] 3. ⑴已知函数f(x)=x 2,求f(x －1). ⑵已知函数f(x －1)=x 2,求f(x) 4.若f(x)=ax 2－2,a 是一个正常数，f[f(2)]=﹣2,那么a 的值是（ ） A.22 B.2－2 C.22－2 D.22 2+ 5.若函数f(x)=x 2－3x+1 ,则f(a) －f(﹣a)=_________ 6.求下列函数的定义域 ⑴y=－1x ·1+x ⑵y=142 --x x ⑶y=32-x +25x - 7.已知函数f （x+1）=3x+2,则f(x)=______________________ 8.已知f(x)=???+-＜2)(,3﹣x 2) ≥(,122x x x x ,则f(﹣1)+f(4)的值为__________ 9.已知y=f(x)是一次函数且有f[f ﹙x ﹚]=9x+8,求f(x)
10.y=﹣x 2－4x+1,x ∈[﹣3,3]的值域为（ ） A. ﹙﹣∞,5] B. [5,+∞ ﹚ C. [﹣20,5] D. [4,5] 11.A=﹛1,2,3,4,5﹜,B=﹛1,3,7,15,,31,33﹜下列对应法则f 能构成从A 到B 的映射的是（ ） A.f:x →x 2－x+1 B.f:x →x+(x －1)2 C.f: x →2－1x －1 D.f: x →2x －1 12.设A=R,B=R,f:x → 2 12+x 是A →B 的映射，若t+1∈A,t+1在映射f 下的象为5，则t 是（ ） A.27 B. ﹣27 C.25 D. ﹣25 13.若M=﹛x|﹣1≤x ≤1﹜,N=﹛y|﹣1≤y ≤1﹜则从M 到N 不是映射的是（ ） 14在下列函数中，定义域和值域不同的是（ ） A. y=x 31 B.y=x 21 C.y=x 35 D.y=x 32 15.若函数f(x)= －34x mx (x ≠4 3)在定义域内恒有f[f(x) ]=x,则m 等于﹙ ﹚ A.3 B.23 C. ﹣23 D. ﹣3 16.已知f(x)=ax 2+bx+c,若f(0)=0且f(x+1)=f(x)+x+1,则f(x)=_______________ 17.设函数y=f(x)的图像关于直线x=1对称，在x ≤1时，f （x ）=(x+1)2 －1,则x>1时 f （x ）等于（ ） A.f(x)=(x+3)2 －1 B.f(x)=(x －3)2 －1 C.f(x)=(x －3)2+1 D.f(x)=(x －1)2 －1
函数的定义及表示方法 【知识要点】 1．函数的概念:设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的，在集合B中都有确定的数f(x)和它对应，那么称f：A→B为从集合A到集合B的一，记作.其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的；与x 的值相对应的y的值叫做函数值．函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的，{f(x)|x∈A}?B. 2．函数的表示法:函数的表示法：、、. 3．判断两个函数为同一个函数的方法 两个函数的完全相同(当值域未指明时)． 4．分段函数:若函数在定义域的不同子集上对应法则不同，可用几个式子表示函数，这种形式的函数叫.注意：不要把分段函数误认为是多个函数，它是一个整体，分段处理后，最后写成一个函数表达式． 5.常见函数的定义域与值域
类型一 函数定义域与求值 1.已知函数2 11)(-+-=x x x f （1）求函数定义域 （2）求)3()1(),(),1(>-a a f a f f 2.已知函数???<-≥-=)0(2)0(2)(x x x x x f ，则=))1((f f . 3.下列函数中哪个与函数y=x 相等（ ） A.2)(x y = B.33x y = C.2 x y = D.x x y 2= 类型二 函数图像 1. 作出下列函数的图象 变式: (1)x y -=1 x y -=1{})2,1,0,1,2(--∈x (2)232+-=x x y 232+-=x x y [))2,1(-∈x (3)x y = 1-=x y
类型三 求函数解析式 1.(1)已知一次函数)(x f 满足5)0(=f ,且图象过点(-2,1),求)(x f 的解析式 (2)已知二次函数)(x g 满足5)1(,1)1(=-=g g ,图象过原点,求)(x g 的解析式 2.(1)已知1)(2+=x x f ,求)1(+x f (2)已知2)(+=x x f ,求)(x f (3) 已知1)11(-=+x x f ,求)(x f
函数及其表示方法（习题） 1. 集合A ={x |0≤x ≤4}，B ={y |0≤y ≤2}，下列不表示从A 到B 的函数的是（ ） A ．12：f x y x →= B ．1 3：f x y x →= C ．2 3 ：f x y x →= D ．：f x y →=2. 若函数()y f x =的定义域为M ={x |-2≤x ≤2}，值域为 N ={y |0≤y ≤2}，则函数()y f x =的图象可能是（ ） A ． B ． C ． D ． 3. 函数()y f x =的图象与直线x =1的交点有（ ） A ．1个 B ．0个 C ．0个或1个 D ．1个或2个 4. 下列说法中不正确的是（ ） A ．函数值域中的每一个数在定义域中都有值相对应 B ．函数的定义域和值域一定是不包括数0的数集 C ．定义域和对应法则确定后，函数的值域也就确定了 D ．若函数的定义域中只含有一个元素，则值域中也只含有一个元素 5. 下列各项表示同一函数的是（ ） A ．21 ()1 x f x x -=-与()1g x x =+
B ．()1f x 与()1g x x =- C ．()f t = ()g x =D ．()1f x =与1 ()g x x x =? 6. 若一系列函数的解析式相同、值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪 生函数”．那么函数解析式为221y x =+，值域为{9，19}的“孪生函数”共有（ ） A ．4个 B ．6个 C ．8个 D ．9个 7. 函数|| x y x x =+ 的图象是（ ） A ． B ． y D ． 8. 已知f (x -1)=x 2，则f (x )的解析式为（ ） A ． f (x )=x 2-2x -1 B ．f (x )=x 2-2x +1 C ．f (x )=x 2+2x -1 D ．f (x )=x 2+2x +1 9. 已知2 2 11()11x x f x x --=++，则f (x )的解析式为（ ） A ．22()1x f x x =+ B ．2 2()1x f x x =-+ C ．2()1x f x x =+ D ．2 ()1x f x x =-+
函数的定义和表示方法 1 函数的定义 （1）由函数的定义知，由于函数的值域被函数的定义域和对应法则完全确定，这样确定一个函数就只需两个要素：定义域和对应法则。因此，定义域和对应法则是“y是x的函数”的两个基本条件，缺一不可。只有当两个函数的定义域和对应法则完全相同时，这两个函数才是同一函数，这就是说：a 定义域不同，两个函数不同；b 对应法则不同，两个函数也不同 （2）由函数的定义知，我们要检验两个变量之间是否具有函数关系，只要检验： A 定义域和对应法则是否给出 B 根据给出的对应法则，自变量x在其定义域中的每个值，是否都能确定唯一的函数y 2 映射与函数 函数是一种特殊的映射，它是数集到数集的映射。 A 映射中的两个集合A，B可以是数集、点集或由图形组成的集合等等，总之只要是非空集合即可 B 映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射不是同一个映射 C 映射要求对于集合A中的每一个元素，在集合B中都有它的象并且象是唯一确定的，这种集合A中元素的任意性和集合B中元素的唯一性是映射的重要性质，缺一不可。 D 映射允许集合A中不同的元素在集合B中有相同的象，即映射可以是“多对一”或“一对一”，但不能一对多 E 当A、B都是非空数集时，A到B的映射就构成了A到B的一个函数，因此函数是一类特殊的映射 3 函数的表示方法 函数的表示方法通常有三种，他们是列表法、图像法和解析法 4 分段函数 A 分段函数的定义域是各段定义域的并集，其值域是各段值域的并集 B 分段函数求值要先找准自变量所在区间及所对应的解析式，然后求值 C 在研究分段函数图像时，要特别注意定义域的制约作用 D 分段函数时一个函数，并非几个函数。 典型例题 一利用映射与函数的定义域解题 例1 关于函数有下列四种说法：（1）自变量x在其定义域内的每一个值，都有唯一确定的函数值f（x）；（2）定义域不同，尽管两个函数的值域与解析式都相同，但两函数仍不是同一函数（3）若函数的定义域只有一个元素，则函数的值域也只有一个元素；（4）定义域和值域相同的两个函数一定是同一函数。其中正确的个数有（） A 1 B 2 C 3 D 4 二求映射个数问题 例2 已知A=｛a，b，c｝，B=｛-1，0，1｝，映射f：A→B满足f（a）+f（b）=f（c），则映射A→B的个数为
函数的概念及其表示 一、什么是函数？ 1、函数的定义： 设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数（function ）。记作： y=f(x)，x ∈A ． 其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域（domain ）；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x ∈A }叫做函数的值域（range ）． 注意： 1) “y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”。 2) 函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x 对应的函数值，是一个数；而f()表示的 是对应关系。（用集合关系讲解） 2、映射与函数 函数的特殊的映射 二、构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 1、函数是一个整体“y=f(x)，x ∈A ．”表示一个函数。函数=定义域+对应关系+值域 2、比喻理解： 定义域f ?? →值域 等价于 原材料f ??→产品 一个函数就是一个完整过程，定义域是原材料、对应关系f 是生产设备、值域是生产的产品，而我们是老板，老板刷题就是从三要素出发不断地管理匹配这个生产过程 3、举例说明：2 1,y x x R =+∈ 问：定义域？值域是？对应关系是？
三、求函数定义域 主要题型：偶次方被开方数为非负；分式的分母不为零；零次幂的底数不为零；对数真数大于零；指数对数的底数大于零且不等于1 例题讲解： 1、1()f x x x =- 2、1()11f x x =+ 3 、()f x =4、2()ln(1)f x x =- 5 、()1 f x x = - 四、求函数解析式 1、函数的三种表达方法 解析式法+图像法+列表法 因此我们可以看出解析式是函数的表达方式之一，也是我们学习过程中接触最多的。 2、函数解析式求法 1) 配凑法 由已知条件(())()f g x F x =，可以将()F x 改写成关于()g x 的表达式，然后以x 替代()g x 例题：已知22 22(1))3x f x x ++=-，求()f x 解析式 2) 待定系数法 如已知函数类型（如一次函数、二次函数）可用待定系数法 例题：已知()f x 是一次函数，且满足3(1)()29f x f x x +-=+，求函数()f x 的解析式 3) 换元法 若已知(())f g x 的解析式，可用换元法 例题：已知22 22(1))3x f x x ++=-，求()f x 解析式 4) 解方程组法 已知关于()f x 与1()f x 或者()f x -与()f x 的表达式，可根据条件构造出另外一个等式，组成方程组求解 例题：已知()f x +21 ()f x =3x ，则求()f x 的解析式。
2.1.2 函数的表示方法(一) 【学习要求】 1.会用列表法、图象法、解析法表示一些具体的函数； 2.会根据具体条件求函数的解析式； 3.会在不同情境中用不同形式表示函数． 【学法指导】 学习函数的表示方法，不仅是研究函数的性质和应用的需要，而且是为加深函数概念的理解．通过根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，感受函数与生活实际联系的密切性，通过求函数解析式加深对数学思想方法的理解，提高分析问题、解决问题的能力. 填一填：知识要点、记下疑难点 1.列表法：通过列出自变量与对应函数值的表来表示函数关系的方法叫做列表法． 2.图象法：如果图形F是函数y＝f(x)的图象，则图象上的任一点的坐标(x，y)都满足函数关系y＝f(x)，反之，满足函数关系y＝f(x)的点(x，y)都在图象F上．这种用“图形”表示函数的方法叫做图象法． 3.解析法：如果在函数y＝f(x)(x∈A)中，f(x)是用代数式(或解析式) 来表达的，这种方法叫做解析法. 研一研：问题探究、课堂更高效 [问题情境] 语言是沟通人与人之间的联系的，同样的祝福又有着不同的表示方法．例如，简体中文中的“生日快乐！”用繁体中文为：生日快樂！英文为：Happy Birthday！…，那么对于函数，又有什么不同的表示方法呢？ 探究点一函数的表示方法 问题1 在初中学习的函数有哪几种常用的表示法？ 答：解析法、图象法、列表法． 问题2列表法是如何定义的？ 答：通过列出自变量与对应函数值的表来表示函数关系的方法叫做列表法． 问题4 图象法是如何定义的？ 答：如果图形F是函数y＝f(x)的图象，则图象上的任一点的坐标(x，y)都满足函数关系y＝f(x)，反之，满足函数关系y＝f(x)的点(x，y)都在图象F上．这种用“图形”表示函数的方法叫做图象法． 问题5我们在作函数y＝2x＋1的图象时，先列表，后描点作图．这实际上就是函数的列表法表示和图象法表示，而y＝2x＋1这种表示方法叫做解析法．你能给解析法下个定义吗？ 答：如果在函数y＝f(x) (x∈A)中，f(x)是用代数式(或解析式)来表达的，这种方法叫做解析法．(也称为公式法．) 问题6 三种表示函数的方法各有哪些优缺点？ 答：(1)用解析法表示函数的关系．优点：简捷明了．能从解析式清楚看到两个变量之间的全部相依关系，并且适合于进行理论分析和推导计算；缺点：在求对应值时，有时要做较复杂的计算. (2)用列表法表示函数关系．优点：对于表中自变量的每一个值，可以不通过计算，直接把函数值找到，查询时很方便；缺点：表中不能把所有的自变量与函数对应值全部列出，而且从表中看不出变量间的对应规律． (3)用图象法表示函数关系．优点：形象直观，可以形象地反映出函数关系变化的趋势和某些性质，把抽象的函数概念形象化；缺点：从自变量的值常常难以找到对应的函数的准确值． 例1某种笔记本的单价是5元，买x (x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元．试用函数的三种表示法表示函数y＝f(x)． 解：这个函数的定义域是数集{1,2,3,4,5}．用解析法可将函数y＝f(x)表示为y＝5x，
1．2 函数的的概念及其表示方法 （一）基础训练题 1、判断下列函数是否表示同一函数？ ⑴2)()(,)(x x g x x f == ⑵33)(,)(x x g x x f == ⑶2 )(,)(x x g x x f == ⑷1)(,11)(2+=--=x x g x x x f ⑸3)(,)3()(2-=-=x x g x x f 2、设{}{}31 ,15,7,3,1,5,4,3,2,1==B A 下列对应法则B A f →:是从A 至B 的函数是： (A)1:2+-→x x x f (B)2)1(:-+→x x x f (C)12:1-→-x x f (D)12:-→x x f 二、知识点讲解 1、函数的定义： 设A ，B 是非空的集合，如果按照某个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，则称B A f →:为从集合A 至集合B 的一个函数，记作：A x x f y ∈=),(，其中x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数)(x f 的定义域，与x 的值对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈)(叫做函数的值域。 注意：函数的值域{}A x x f ∈)(与集合B 不一定相等。 2、函数的三要素：一个函数由定义域，对应法则和值域三个要素构成。 3、函数相等，当函的定义域及其对应关系确定后，函数的值域也随之确定。如果两个函的的三要素相同，称两个函数相等。 4、区间的表示方法： 区间是集合的一种表示方法： ⑴{}b x a x ≤≤用区间],[b a 表示；⑵{}b x a x <<用开区间),(b a 表示；
人教 A 版必修 1 函数的概念及其表示练习题 1．下列说法中正确的为 ( ) A ． y ＝f ( x ) 与 y ＝ f ( t ) 表示同一个函数 B ． y ＝f ( x ) 与 y ＝ f ( x ＋ 1) 不可能是同一函数 C ． f ( x ) ＝ 1 与 f ( x ) ＝ x 表示同一函数 D ．定义域和值域都相同的两个函数是同一个函数 2．下列函数完全相同的是 () A ． ( ) ＝ | x | ， ( ) ＝ ( x ) 2 f x g x B ． f ( x ) ＝ | x | ，g ( x ) ＝ x 2 x 2 C ． f ( x ) ＝ | x | ，g ( x ) ＝ x x 2－ 9 D ． f ( x ) ＝ x － 3 ，g ( x ) ＝ x ＋3 3．函数 y ＝ 1－ x ＋ x 的定义域是 ( ) A ． { x | x ≤1} B ． { x | x ≥0} C ． { x | x ≥1或 x ≤0} D ． { x |0 ≤ x ≤1} 4．图中 (1)(2)(3)(4) 四个图象各表示两个变量 x ， y 的对应关系，其中表示 y 是 x 的 函数关系的有 ________． 1．下列各图中，不能是函数 f ( x ) 图象的是 ( ) 5．如果二次函数的二次项系数为 1 且图象开口向上且关于直线 x ＝ 1 对称，且过点 (0,0) ，则此二次函数的解析式为 ( ) A ． f ( x ) ＝ x 2－ 1 B ． f ( x ) ＝－ ( x －1) 2＋ 1 C ． f ( x ) ＝ ( x － 1) 2＋ 1 D ． f ( x ) ＝( x － 1) 2－ 1 7．已知 f ( x ) ＝2x ＋ 3，且 f ( m ) ＝6，则 m 等于 ________． 3．设函数 f ( x ) ＝ 2x ＋ 3，g ( x ) ＝ f ( x ) ，则 g ( x ) 的表达式是 ( ) A ． 2x ＋ 1 B ． 2x － 1 C ． 2 x +3 D ． 2 ＋ 7 x 2 将函数 y ＝x 2 的图象向下平移 2 个单位，得函数 ________，再将得到函数向右平移 1 个单位，得函数 ， ________ 1 ) ： 1．函数 y ＝ 的定义域是 ( x A ． R B ． {0} C ． { x | x ∈ R ，且 x ≠0} D ． { x | x ≠1} 2．下列式子中不能表示函数 y ＝ f ( x ) 的是 ( ) A ． x ＝y 2＋ 1 B ．y ＝ 2x 2＋ 1 C ． x －2y ＝ 6 D ． x ＝ y 5．下列各组函数表示相等函数的是 ( ) A ． y x 2 － 3 与 y ＝x ＋ 3( x ≠3) ＝ x － 3 B ． y ＝ x 2－ 1 与 y ＝ x － 1 C ． y ＝x 0( x ≠0) 与 y ＝ 1( x ≠0) D ． y ＝2x ＋ 1， x ∈ Z 与 y ＝2x － 1， x ∈ ZX k b 1 . c o m 6．设 f ： x → x 2 是集合 A 到集合 B 的函数，如果 B ＝ {1,2} ，则 A ∩B 一定是 ( ) A ． ? B ． ?或 {1} C ． {1} D ． ?或 {2}
函数(一) --函数的概念和表示方法[教学目的] ⒈以集合、映射的观点加深学生对函数概念的理解，明确决定函数的三个要素（定义域、值域和对应法则）； ⒉掌握函数的三种主要表示方法(解析法、列表法、图象法). [重点难点] 重点：在映射的基础上理解函数的概念； 难点：函数的概念. [教学过程] 一、复习引入 ⒈复习提问：在从集合A到集合B的映射中， ⑴对于集合A中的任意一个元素a，在集合B中是不是一定有象？是不是只有一个象？ 答：必定有象，且只有一个象. ⑵对于集合B中的任意一个元素b，在集合A中是不是一定有原象？是不是只有一个原象？ 答：对于集合B中任意一个元素b，在集合A中不一定有原象，在有原象时，也不一定只有一个. ⒉复习引入：我们在初中已经学过函数，例如，正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等.那么函数的概念是什么？在初中我们是怎样定义它呢？ 那时的定义可叙述为：设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x 的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数.并将自变量x取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x的值对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域. 这种用变量叙述的函数定义我们称之为函数的传统定义. 我们回想映射的定义，不难知道，上面所说的函数实际上就是集合Ａ到集合Ｂ的一个特殊映射f：A→B，构成这种映射的集合Ａ，Ｂ是非空的数集，而且对于自变量在定义域A内的任何一个值x，在集合B中都有唯一的函数值和它对应；自变量的值是原象，和它对应的函数值是象；原象的集合A就是函数的定义域，象的集合C就是函数的值域，显然C B. 这种用映射刻划的函数定义是我们高中阶段学习的函数定义.