《大学物理A Ⅰ》真空中的静电场习题、答案及解法
一、选择题
1、一“无限大”均匀带电平面A 的附近放一与它平行的“无限大”均匀带电平面B ，如图1所示。已知A 上的电荷面密度为σ，B 上的电荷面密度为2σ，如果设向右为正方向，则两平面之间和平面B 外的电场强度分别为 （A ）
002εσεσ， （B ）0
0εσεσ，
（C ）0
0232εσεσ，-
（D ）002εσ
εσ，-
[ C ]
参考答案： ()0002222εσεσεσ
-=-=
AB E ()0
0023222εσεσεσ=+=B
E
2、在边长为b 的正方形中心处放置一电荷为Q 的点电荷，则正方形顶角处的电场强度大小为 （A ）
2
04b
Q πε （B ）
2
02b
Q πε （C ）
2
03b
Q πε （D ）
2
0b
Q
πε [ C ]
参考答案：()
2
02
22
031
2
241b Q b b Q
E πεπε=
??
?
?
???
?
+=
3、下面为真空中静电场的场强公式，正确的是［ D ］ （Ａ）点电荷q 的电场02
04r r q Ε πε=
（r 为点电荷到场点的距离，0r
为电荷到场点的单位矢量）
（Ｂ）“无限长”均匀带电直线（电荷线密度为λ）的电场302r Ε
πελ=（r
为带电直线到场点的垂直于直线的矢量）
（Ｃ）一“无限大”均匀带电平面（电荷面密度σ）的电场0
εσ=
Ε （Ｄ）半径为Ｒ的均匀带电球面（电荷面密度σ）外的电场02
02r r R Ε εσ=（0r
为球心到场点的单位矢量）
解：由电场强度的定义计算知：A 错，应为02
04r r q Ε
πε=
，B 不对应为002r r
E
πελ=
,C 应为σ σ2
A B
图1
2εσ=
E D 对，完整表达应为??
?
???≤=R r r r R R
r E 0
2020
εσ 0
202022002044141r r
R r r R r r q E εσσππεπε===
4、如图2所示，曲线表示球对称或轴对称静电场的场强大小随径向距 离r 变化的关系，请指出该曲线可描述下列哪种关系（E 为电场强度
的大小）
（A ）半径为R 的无限长均匀带电圆柱体电场的r E ~关系
（B ）半径为R 的无限长均匀带电圆柱面电场的r E ~关系 （C ）半径为R 的均匀带电球面电场的r E ~关系
（D ）半径为R 的均匀带正电球体电场的r E ~关系 [ C ]
参考答案：
柱形带电体 ???
?
??
?≥??=R
r r r
R R
r r r E 02
000
202
ερερ
柱形带电面 ???
??≥?=R r r r R R r E 0
00
εσ
球形带电面 ??
?
??≥?=R
r r r Q R r E 0
20410
πε
球形带电体 ???
?
??
?
≥??=R
r r r Q R
r r R r Q E 0
200
3041
041
πεπε
5、如图3所示，曲线表示球对称或轴对称静电场的某一物理量随径向距离r 变化的关系，请指出该曲线可描述下列哪方面容（E 为电场强度的大小，U 为电势）。
（A ）半径为R 的无限长均匀带电圆柱体电场的E~r 关系 （B ）半径为R 的无限长均匀带电圆柱面电场的E~r 关系 （C ）半径为R 的均匀带正电球体电场的E~r 关系
（D ）半径为R 的均匀带正电球面电势的U~r 关系 [ C ]
参考答案：
图2
图3
柱形带电体 ???
?
??
?≥??=R
r r r R R
r r r E 02
000
202
ερερ
柱形带电面 ???
?
?≥?=R r r r R R r E 0
00
εσ
球形带电面 ???
?
?≥?=R
r r r
Q R
r E 0
2041
0 πε
球形带电体 ????
??
?≥??=R
r r r Q R
r r R r Q E 0
200
3041
041
πεπε
球形带电面 ??
?
?
?≥?=R
r r r Q R r E 0
2041
0 πε
球形带电面 ???
?
??
??≤?=R
r r
Q R
r R Q U 0041041πεπε
6、一均匀电场E 的方向与x 轴同向，如图4所示，则通过图中半径为R 的半球面的电场强度的通量为
（A ）0 （B ）22
ΕR π （C ）ΕR 22π （D ）ΕR 2
π
[ A ]
解：因为穿入与穿出半球面的E 通量相等，总和为零，所以答
案A 正确。
7、如果一高斯面所包围的体积电荷代数和C 10
850.812
∑-?=q ，则可肯定：
（A ）高斯面上各点场强可均为零
（B ）穿过高斯面上每一面元的电场强度通量均为C m 1N 2
? （C ）穿过整个高斯面的电场强度通量为C m 1N 2
?
（D ）以上说法都不对 [ C ]
图4
参考答案：?∑==
?S
n i i q S d E 1
1ε
()
121
C m N 11-=??==
??∑S
n
i i
q
S d E ε
8、如图5所示，在半径为R 的“无限长”均匀带电圆筒的静电场中，各点的电场强度E 的大小与距轴线的距离r 关系曲线为[ A ]
参考答案：柱形带电面 ??
?
??≥?=R
r r r R r E 0
0210
λπε
9、两个同心均匀带电球面，半径分别为b a R R 和（a R ＜b R ），所带电荷分别为b a Q Q 和。设某点与球心相距r ，当b R ＜r 时，该点的电场强度的大小为
(A)???? ?
?+?22
041
b b a R Q r Q πε (B)2041r Q Q b
a +?πε (C)
2
41r Q Q b a -?
πε (D)2041r Q a
?πε [ B ] 参考答案：?∑==
?S
n i i q S d E 1
1ε
b a a R r R r r Q E ??=
2041
πε
10、根据真空中的高斯定理，判断下列说确的是
（A ）闭合面的电荷代数和为零时，闭合面上各点场强不一定处处为零 （B ）闭合面的电荷代数和不为零时，闭合面上各点场强一定处处不为零 （C ）闭合面的电荷代数和为零时，闭合面上各点场强一定为零 （D ）闭合面上各点场强均为零时，闭合面一定处处无电荷
[ A ]
参考答案：?∑==
?S
n
i i
q
S d E 1
1ε
11、根据静电场中电势的定义，静电场中某点电势的数值等于
R
r
E
(A)
R
r E
(B)
R
r (C)
R
r
(D)
图5
（A ）单位试验电荷置于该点时具有的电势能 （B ）试验电荷0q 置于该点时具有的电势能
（C ）把单位正电荷从该点移到电势零点时外力所做的功
（D ）单位试验正电荷置于该点时具有的电势能 [ C ]
参考答案：由电势的定义只有C 对
12、如图6所示，在点电荷q 的电场中，在以q 为中心、R 为半径的球面上，若选取P 处作电势零点，则与点电荷q 距
离为r 的P '点的电势为[ A ] （A ）
???
??-?r R q
1140πε （B ）??
? ??-?R r q 1140πε
（C ）()
R r q -04
πε （D ）r q 04πε
参考答案：??
? ??-=
???
??--==?
'r R R r dr r Q U r
R
a p 1141114141002
0πεπεπε
13、图7中实线为某电场中的电场线，虚线表示等势（位）面，由图可看出： （A ）C B A
C B A U U ，U >>E C B A U U ，U < C B A U U ，U >>E >E >E （D ）C B A C B A U U ，U < 参考答案：电力线密集处电场强度大，电力线指向电势下降方向。 二、填空题 1、根据电场强度的定义，静电场中某点的电场强度为 单位正试验电荷置于该点时所受到的 电场力。 参考答案：单位正试验电荷置于该点时所受到的。 2、电量为C 1049 -?的试验电荷放在电场中某点时，受到N 1089 -?的向下的力,则该点的电场强度大小为 1C N 2-?，方向 向下 。 R q P P r P ' 图6 图7 参考答案：0 q F E = ()1 9 90C N 2104108---?=??==q F E 3、A 、B 为真空中两个平行的“无限大”的均匀带电平面，已知两平面 间的电场强度大小为0E ，两平面外侧电场强度大小都为30E ，方向如 图8所示，则A 、B 两平面上的电荷面密度分别为=A σ003 2 E ε- ， =B σ003 4 E ε-。 参考答案：??????? +=-=-0000 00223 22εσεσεσεσB A B A E E ??? ??? ? -=-=∴ 343 20 000E E B A εσεσ 4、在静电场中，任意作一闭合曲面，通过该闭合曲面的电场强度通量??S d E 的值取决于 闭合曲面的电 荷量 ，而与 电荷量的分布 无关。 参考答案：∑?==?n i i S q S d E 1 1ε 5、如图9所示，点电荷q 2和q -被包围在高斯面S ，则通过该高斯面的电场 强度通量?=?S q S d E 0 ε ，式中E 为 高斯面任意点 处的场强。 6、如图10所示，试验电荷q 在点电荷+Q 产生的电场中，沿半径为R 的43圆弧轨道由a 点移到b 点，再从d 点移到无穷远处的过程中，电场力做的功为R qQ 04πε- 。 参考答案： ??? ??=??? ??-∞-===? ∞ R qQ R qQ dr r Q q qU W R 1411441 002 0πεπεπε 7、如图11所示，在静电场中，一电荷C 106.119 -?=q 沿41圆弧轨道从A 点移到B 点，电场力做功J 10 2.315 -?，当质子沿43圆弧轨道从B 点回到 0E 图8 图10 A 点时，电场力做功=W J 10 2.315 -?-，设B 点电势为零，则A 点的电势=V V 1024?。 参考答案： ()V 10210 6.1102.34 19 15?=??==--q W U A 8、一均匀静电场，电场强度( ) 1 m V 2050-?+=j i E ，则点()2,4a 和点()0,2b 之间的电势差V 140-。（点 的坐标x 、y 以m 计） 参考答案：()?????-=+=+=?=2 4 02 24 02 V 1402050dx dx dx E dx E l d E U y x b a ab 9、如图12所示，在电荷为q 的点电荷的静电场中，将一电荷为0q 的试验电荷从a 点经任意路径移动到b 点，外力克服静电场力所做的功= W ???? ??-b a r r q q 1140 0πε。 参考答案：? ??? ??-=???? ??--===? 'b a a b r r p r r qq r r qq dr r q q U q W b a 11411441 00002 000πεπεπε 三、计算题 1、用绝缘细线弯成的半圆环，半径为R ，其上均匀地带有正电荷Q ，试求圆心的电场强度。 解： 选取圆心O 为原点，坐标Oxy 如图所示，其中Ox 轴沿半圆环的对称轴．在环上任意取一小段圆弧θRd dl =，其上电荷θπ θππd Q Rd R Q dl R Q dq === ，它在O 点产生的场强为 02 020204d 4R R Q R R dq E d εθεπ=π= 在x 、y 轴方向的两个分量 θθεθd cos 4cos 2 02R Q dE dE x π= = θθεθd sin 4sin 2 02R Q dE dE y π== 由于y 方向对称，所以只对x 方向积分 2 02 2 /2 /2 02 2d cos 4R Q R Q dE E x x εθθεπ= π= =?? ππ- 由此得合场强为 i R Q i E E x 2 022επ= = 2、一半径为R 的均匀带电球体，其电荷体密度为ρ，求球、外各点的电场强度。 解：r ≤R 时，在球作一半径为r 的同心闭合球面为高斯球面，且高斯面上的场强处处相等。 x 由高斯定理有∑?==?n i i S q S d E 1 1ε 得： 左边：???==?S S r E dS E S d E 24π 右边： 30103 4 1 1 r q n i i πρεε= ∑= 3023 4 14r E r πρε=π 得 r E 0 3ερ = E 方向沿半径向外． r >R 时，在球作一半径为r 的同心闭合球面为高斯球面，且高斯面上的场强处处相等。 由高斯定理有∑?==?n i i S q S d E 1 1ε 得： 左边：???==?S S r E dS E S d E 24π 右边： 30 1 3 41 1 R q n i i πρεε= ∑= 30 23 41 4R E r πρε= π 得 2 03 2034r R r q E ερε=π= E 方向沿半径向外． ??? ? ?? ? ?≤=R r r r R R r r r E 0 2030033 ερερ 3、电荷q 均匀分布在长为l 2的细杆上，求在杆外延长线上与杆端距离为a 的P 点的电势（设无穷远处为电势零点）。 解：设坐标原点位于杆中心O 点，x 轴沿杆的方向，如图所示．细杆的电荷线密度l q 2=λ，在x 处取电荷元dx l q dx dq 2= =λ，它在P 点产生的电势为 ()() x a l l x q x a l q U P -+π=-+π=008d 4d d εε 整个杆上电荷在P 点产生的电势 ()?--+π= l l P x a l x l q U d 80ε()l l x a l l q --+π-=ln 80ε?? ? ??+π=a a l l q 2ln 80ε 302-静电场的高斯定理 1 选择题 1. 一点电荷，放在球形高斯面的中心处。下列哪一种情况，通过高斯面的电场强度通量发生变化：〔 〕 ()A 将另一点电荷放在高斯面外； ()B 将另一点电荷放进高斯面内； ()C 将球心处的点电荷移开，但仍在高斯面内； ()D 将高斯面半径缩小。 答案：()B 2. 如图所示，任一闭合曲面S 内有一点电荷q ，O 为S 面上任一点，若将q 由闭合曲面内的P 点移到T 点，且OP=OT ，那么〔 〕 ()A 穿过S 面的电通量改变，O 点的场强大小不变； ()B 穿过S 面的电通量改变，O 点的场强大小改变； ()C 穿过S 面的电通量不变，O 点的场强大小改变； ()D 穿过S 面的电通量不变，O 点的场强大小不变。 答案：()C 3. 如图所示，闭合面S 内有一点电荷 Q ，P 为S 面上一点，在S 面外A 点有一点电荷'Q ，若将电荷'Q 移至 B 点，则；〔 〕 ()A S 面的总通量改变，P 点场强不变； ()B S 面的总通量不变，P 点场强改变； ()C S 面的总通量和P 点场强都不变； ()D S 面的总通量和P 点场强都改变。 答案：()B 4. 已知一高斯面所包围的体积内电荷代数和 0i q =∑，则可肯定： 〔 〕 ()A ()B ()C () D 答案：()C 5. 如图所示，一球对称性静电场的~E r 关系曲线，请指出该电场是由下列哪种带电体产生的（E 表示电场强度的大小，r 表示离对称中心的距离）〔 〕 ()A 点电荷； ()B 半径为R 的均匀带电球体； ()C 半径为R 的均匀带电球面； ()D 内外半径分别为r 和R 的同心均匀带球壳。 答案：()C 6. 半径为R 的均匀带电球体的静电场中各点的电场强度的大小E 与距球心的距离r 的关系曲线为：〔 〕 答案：()B r ()A ()B ()C ()D 第6章 真空中的静电场 习题及答案 1. 电荷为q +和q 2-的两个点电荷分别置于1=x m 和1-=x m 处。一试验电荷置于x 轴上何处，它受到的合力等于零 解：根据两个点电荷对试验电荷的库仑力的大小及方向可以断定，只有试验电荷0q 位于点电荷 q +的右侧，它受到的合力才可能为0，所以 2 00 200) 1(π4)1(π42-=+x qq x qq εε 故 223+=x 2. 电量都是q 的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点。试问：(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)(2)这种平衡与三角形的边长有无关系 解：(1) 以A 处点电荷为研究对象，由力平衡知，q '为负电荷，所以 2 220)3 3(π4130cos π412a q q a q '=?εε 故 q q 3 3- =' (2)与三角形边长无关。 3. 如图所示，半径为R 、电荷线密度为1λ的一个均匀带电圆环，在其轴线上放一长为l 、电荷线密度为2λ的均匀带电直线段，该线段的一端处于圆环中心处。求该直线段受到的电场力。 解：先求均匀带电圆环在其轴线上产生的场强。在带电圆环上取dl dq 1λ=，dq 在带电圆环轴线上x 处产生的场强大小为 ) (4220R x dq dE += πε 根据电荷分布的对称性知，0==z y E E 2 3220)(41 cos R x xdq dE dE x += =πεθ 式中：θ为dq 到场点的连线与x 轴负向的夹角。 ?+= 2 32 20)(4dq R x x E x πε 232210)(24R x R x +?=πλπε2 32201)(2R x x R +=ελ 下面求直线段受到的电场力。在直线段上取dx dq 2λ=，dq 受到的电场力大小为 dq E dF x =dx R x x R 2 322021)(2+= ελλ 方向沿x 轴正方向。 直线段受到的电场力大小为 ?=dF F dx R x x R l ?+= 02 3220 21)(ελλ2 R O λ1 λ2 l x y z 关于静电场的高斯定理和静电场的环路定理 静电场的高斯定理和静电场的环路定理是库仑定律的推论，所以称之为定理。由于库仑定律是静电场的基本规律，适用于静电场，所以库仑定律的推论也适用于静电场。 电场有许多种：静电场（由静止电荷激发）、恒定电场（由运动然而空间分布不随时间改变的电荷体系激发的电场）、位电场（可以在其中建立电位函数的电场，位电场的电场强度等于电位的负梯度，分为恒定的与时变的，静电场和恒定电场就属于恒定的位电场）、涡旋电场。 静电场的高斯定理的文字表述是：静电场中，电场强度穿出闭合曲面的通量等于该闭合曲面所包围的总电量除以真空电容率。静电场的高斯定理的数学表述式是：in 0d i S q E S ε?=∑? 。英国著名物理学家麦克斯韦首先假设静电场的高斯定理的数学表示式in 0d i S q E S ε?=∑? 适用于一切电场，也就是说，实际的电场强度（即总电场强度） 穿出闭合曲面的通量等于闭合曲面内的总电量除以真空电容率。这个假设后来被实验证实了。正因为这个原因，数学表示式in 0d i S q E S ε?=∑? 也叫做高斯定律。 由于德国数学家高斯根据库仑定律推出的这个静电场规律的数学表示式是普遍适用的，这让高斯在电磁学中享有很高的声誉。 in 0d i S q E S ε?=∑? 有好几个称谓：高斯定理、高斯通量定理、电场的高斯定 理、电场的高斯通量定理、高斯定律、高斯通量定律、电场的高斯定律、电场的高斯通量定律。对于静电场，这个规律叫做静电场的高斯定理，或者静电场的高斯通量定理。 高斯在数学方面有一项重要成就，叫做高斯公式（也可以叫做高斯通量公式 或者高斯散度公式）。高斯公式的数学表示式是d d S V f S f V ?=???? 。其含义是：矢量场穿出闭合曲面的通量等于矢量场的散度在闭合曲面所包围的空间区域内的体积分。 高斯定理是电（磁）学规律，高斯公式是纯粹数学规律，两者截然不同。但是把两者结合起来，就可以推出0E ρε??= 。 根据库仑定律还可以推出d 0l E l ?=? ，其含义是静电场强度沿任意回路的线积分恒等于零。数学表示式d 0l E l ?=? 除了适用于静电场，也适用于恒定电场， 还适用于位电场，但是不适用于涡旋电场。所以，d 0l E l ?=? 不是电磁学中普遍 适用的规律。正因为这个原因，首先从库仑定律导出d 0l E l ?=? 的那个人没有名 气，我们甚至不知道他姓甚名谁。大理大学工程学院教授罗凌霄 2020年3月11日 静电场中的高斯定理： 高斯定理是静电学中的一个重要定理, 它反映了静电场的一个基本性质, 即静电场是有源场, 其源即是电荷。可表述为: 在静电场中, 通过任意闭合曲面的电通量, 等于该闭合曲面所包围的电荷的代数和的1/ε倍, 与闭合曲面外的电荷无关。表达式为 01 ()1/n i i S E ds q φε==?=∑?? （1） 高斯定理是用来求场强E 分布, 定理中, S 是任意曲面, 由于数学水平 的限制, 要由高斯定理计算出E,则对由场的分布有一定的要求, 即电荷分布具有严格的对称性( 若电荷分布不对称性即不是均匀的, 引起电场分布不对称, 不能从高斯定理求空间场强分布,高斯定理当然仍是成立的) , 由于电荷分布的对称性导致场强分布的对称性, 场强分布的对称性应包括大小和方向两个方面。典型情况有三种: 1) 球对称性, 如点电荷, 均匀带电球面或球体等; 2) 轴对称性, 如无限长均匀带电直线, 无限长均匀带电圆柱或圆柱面, 无限长均匀带电同轴圆柱面 3) 面对称性, 如均匀带电无限大平面或平板,或者若干均匀带电无限大平行平面。 根据高斯定理计算场强时, 必须先根据电荷分布的对称性, 分析场强分布的对称性; 再适当选取无厚度的几何面作为高斯面。选取的原则是: ○ 1 待求场强的场点必须在高斯面上;○ 2 使高斯面的各个部分或者与E 垂直, 或者E 平行;○ 3 与E 垂直的那部分高斯面上各点的场强应相等;○ 4 高斯面的形状应是最简单的几何面。 最后由高斯定理求出场强。高斯定理说明的是通过闭合曲面的电通量与闭合 曲面所包围的所有电荷的代数和之间的关系, 即闭合曲面的总场强E 的电通量 只与曲面所包围的电荷有关, 但与曲面内电荷的分布无关。但闭合曲面上的电场强度却是与曲面内外所有电荷相联系的,是共同激发的结果。 下面举一些例子来说静电场中高定理的应用： 例1：一半径为R 的带电球体，其电荷体密度分布为()Ar r R ρ=≤，0()r R ρ=>，A 为大于零的常量。试求球体内外的场强分布及其方向。 解：在球内取半径为r 、厚为d r 的薄球壳，该壳内所包含的电荷为 23d d 4d 4d q V Ar r r Ar r ρ==?π=π 在径为r 的球面内包含的总电荷为 430d 4d Ar r r A V q V r ππρ==?=???? ()r R ≤ .. 普通物理学 程守洙第六版 静止电荷电场总结 真空中的静电场 教学目的要求 1. 理解点电荷概念，掌握库仑定律、电场强度和场强叠加原理； 2. 理解电场线与电通量，掌握静电场的高斯定理及其应用； 3. 理解静电场的保守性、环路定理与电势能； 4. 掌握电势和电势叠加原理； 5. 了解电场强度和电势梯度的关系. 本章内容提要 ⒈两个基本定律 ① 电荷守恒定律 在一个孤立系统内，无论进行怎样的物理过程，系统内电荷量的代数和总是保持不变，这个规律称为电荷守恒定律.它是物理学中普遍遵守的规律之一. ② 真空中的库仑定律 真空中两个静止的点电荷之间的相互作用力的大小与这两个电荷所带电荷量q l 和q 2的乘积成正比，与它们之间距离r 的平方成反比.作用力的方向沿着两个点电荷的连线，同号电荷相斥，异号电荷相吸.即 121212122201212012 4π4πr q q q q r r r εε=?=r F e ⒉两个重要物理量 ① 电场强度 单位试验电荷在电场中任一场点处所受的力就是该点的电场强度.即 q F E = ② 电势 电场中某点的电势等于把单位正电荷自该点移到“电势零点”过程中电场力做的功.若取“无限远”处为“电势零点”，则 0d p p p W V q ∞ ==??E l 电场强度和电势都是描述电场中各点性质的物理量，二者的积分关系为 d p p V ∞ =??E l 微分关系是 grad V =V =--?E ⒊两个重要定理 ① 高斯定理 在真空中的静电场内，通过任意闭合曲面的电场强度通量等于该闭合曲面所包围的电荷电荷量的代数和的1/ε 0倍.即 01d i S S q ε?=∑?内 E S 第9章静电场的基本规律 ◆本章学习目标 1．理解电荷的量子化和电荷守恒定律；掌握库仑定律的内容。 2．理解静电场的概念，掌握电场强度和电位的概念、电场强度和电位叠加原理、二者的计算方法以及它们之间的联系。 3．掌握高斯定理和静电场的环路定理的内容，会用高斯定理计算电场强度分布。 ◆本章教学内容 1．电荷的量子化和电荷守恒定律；库仑定律；电场强度及其计算。 2．电场线；电场强度通量；高斯定理及其应用。 3．电场力做功的特点；静电场的环路定理；电势和电势差；电势叠加原理及电势的计算。 4．等势面；电场强度和电势的关系；利用电势求电场强度的分布的计算方法。 ◆本章教学重点 1．库仑定律；静电场；电场强度及其计算。 2．高斯定理的内容及其应用。 3．电场力做功的特点；电势和电势差的概念；电势的计算方法。 4．等势面的概念；电场强度和电势的关系。 ◆本章教学难点 1．电场强度及其计算。 2．高斯定理及其应用。 3．电势的计算。 4．电场强度和电势的关系。 ◆本章学习方法建议 1．正确理解静电场、电场强度、电势和电势差的概念。 2．掌握库仑定律的矢量表达式，明确“点电荷”的概念和库仑定律的适用条件。 3．明确电场强度是矢量，而电势是标量，前者服从矢量叠加原理，后者服 从标量叠加原理；注意理解掌握电场强度和电势间的关系。 4．结合实例，透彻分析、理解高斯定理的物理意义，明确应用高斯定理求解场强的条件。 参考资料 程守洙《普通物理学》（第五版）、张三慧《大学物理基础学》及马文蔚《物理学教程》等教材。 §9.1 电荷 电场 一、电荷 电荷量 带电体：处于带电状态的物体称为带电体。 自然界的电荷?? ?? ?的橡胶棒上相同的电荷负电荷：与毛皮摩擦过的玻璃棒上相同的电荷 正电荷：与丝绸摩擦过(解释摩擦带电的原 因) 电力：带电体之间的相互作用力；同种电荷相排斥，异种电荷相吸引。 电荷(电荷量)：表示物体所带电荷的多寡程度的物理量。 二、电荷的量子化 原子结构： ??????????????? ?) ()()(负电核外电子不带电中子正电质子原子核原子 原子核外的电子数目等于原子核内的质子数目，原子呈电中性；若原子或分子由于外来原因失去(或得到)电子，就成为带正电(或带负电)的离子。 自然界中电子或质子所带电荷是最小的： 电子：C 106.1e 19-?-= 质子：C 106.1e 19-?= 电荷的量子化：所有带电体或其它粒子所带电量都是电子或质子所带电量的整数倍，是以不连续的量值出现的。 说明：由于电子的电荷量很小，所以在对宏观带电体的电现象进行研究时，可以不考虑电荷的量子性。（举例说明） 三、电荷守恒定律 如图9-1为感应起电现象： 当带正电的玻璃棒A 移近B 端时，B,C 因感应而带电，B 端带负电，C 端带正电。这时将B,C 两部分分开，再撤走A ，则B,C 两部分带等量的 静电场中的高斯定理 [摘要] 高斯定理是静电学的重要定理，它可以通过数学证明方法得到，同时 要注意高斯面的选择和对高斯定理的理解。 [关键字] 高斯定理 高斯面 证明 注意事项 [内容] 高斯定理是静电学中的一个重要定理，它反映了静电场的一个基本性质，即静电场是有源场，其源就是电荷。可以将其表述为：在静电场中，通过任意闭合曲面的电通量，等于该闭合曲面所包围的电荷的代数和的ε0 分之一，而与闭合曲面外的电荷无关。高斯定理的表达式如下： ? ?= ?=ΦV e dq 1 d εS S E 其中，E 表示在闭合曲面上任一dS 面处的电场强度，而EdS 则表示通过面元dS 的电场强度通量， 就表示通过整个闭合曲面S 的电场强度通量， 习惯上称闭合曲面S 为高斯面。由高斯定理可知：静电场是有源的，发散的，源头在电荷所在处，由此确定的电场线起于正电荷，终于负电荷。 下面对于静电场中的高斯定理进行证明： （a ）点电荷在球面中心 点电荷q 的电场强度为 r r q 41 30??=πεE 球面的电通量为 2 20S 2 030q r 4r 4q d r 4q d r r q 41 d εππεπεπε= ??==???=????S S S E S S （1） （b ）点电荷在任意闭曲面外 闭曲面S 的电通量为 ()??? ?++= ++=??? =?S S S S S E zdxdy r 1ydxdz r 1xdydz r 14q zdxdy ydxdz xdydz r 1 4q d r r q 41d 3330S 3030 πεπεπε （2） 根据高斯公式 ?????++=???? ? ???+??+??S V R Q P R Q P dxdy dzdx dydz dxdydz z y x （3） 并考虑到3 33r z r y ,r x === R Q P ，在S 内有连续一阶的偏导数，故式（2）可以用高斯公式计算。 将式（2）代入式（3）中得 ()???? ?? ? =???? ? ??? ???????? ???+???? ???+???? ???= ++= ++=??? =?V 33303330 S 3030 0dxdydz z r z y r y x r x 4q zdxdy r 1 ydxdz r 1xdydz r 14q zdxdy ydxdz xdydz r 1 4q d r r q 41d πεπεπεπεS S S S S E 第七章 真空中的静电场 7－1 在边长为a 的正方形的四角，依次放置点电荷q,2q,-4q 和2q ，它的几何中心放置一个单位正电荷，求这个电荷受力的大小和方向。 解：如图可看出两2q 的电荷对单位正电荷的在作用力 将相互抵消，单位正电荷所受的力为 )41()2 2( 420+= a q F πε＝,252 0a q πε方向由q 指向-4q 。 7－2 如图，均匀带电细棒，长为L ，电荷线密度为λ。（1） 求棒的延长线上任一点P 的场强；(2)求通过棒的端点与棒垂直上任一点Q 的场强。 解：（1）如图7－2 图a ，在细棒上任取电荷元dq ，建立如图坐标，dq ＝λd ξ，设棒的延长线上任一点P 与坐标原点0的距离为x ，则 2 02 0)(4)(4ξπεξ λξπεξ λ-= -= x d x d dE 则整根细棒在P 点产生的电场强度的大小为 )1 1(4)(400 20 x L x x d E L --=-= ? πελξξπελ ＝ ) (40L x x L -πελ方向沿ξ轴正向。 （2）如图7－2 图b ，设通过棒的端点与棒垂直上任一点Q 与坐标原点0的距离为y 2 04r dx dE πελ= θπελcos 42 0r dx dE y = ， θπελsin 42 0r dx dE x = 因θ θθθcos ,cos ,2y r d y dx ytg x ===， 习题7－1图 dq ξ d ξ 习题7－2 图a x x dx 习题7－2 图b y 代入上式，则 )cos 1(400θπελ-- =y ＝)1 1(4220L y y +--πελ，方向沿x 轴负向。 θθπελ θd y dE E y y ??= =0 0cos 4 00sin 4θπελy = ＝ 2204L y y L +πελ 7－3 一细棒弯成半径为R 的半圆形，均匀分布有电荷q ，求半圆中心O 处的场强。 解：如图，在半环上任取d l =Rd θ的线元，其上所带的电荷为dq=λRd θ。对称分析E y =0。 θπεθ λsin 42 0R Rd dE x = ??==πθπελ 00sin 4R dE E x R 02πελ = 2 02 2R q επ= ，如图，方向沿x 轴正向。 7－4 如图线电荷密度为λ1的无限长均匀带电直线与另一长度为l 、线电荷密度为λ2的均匀带电直线在同一平面内，二者互相垂直，求它们间的相互作用力。 解：在λ2的带电线上任取一dq ，λ1的带电线是无限长，它在dq 处产生的电场强度由高斯定理容易得到为， x E 01 2πελ= 两线间的相互作用力为 θ θπελ θd y dE E x x ??-= -=0 0sin 4x 习题7－3图 λ1 习题7－4图 第九章 真空中的静电场 一． 选择题 [ B ] 1（基础训练1） 图中所示为一沿x 轴放置的“无限长”分段均匀带电直线，电荷 线密度分别为＋(x ＜0)和－ (x ＞0)，则Oxy 坐标平面上点(0，a )处的场强E 为 (A) 0． (B) i a 02ελπ． (C) i a 04ελπ． (D) ()j i a +π04ελ． 【提示】：左侧与右侧半无限长带电直线在(0，a)处产生的场强大小E ＋、E －大小为： 022E E a πε+-== 矢量叠加后，合场强大小为： 02E a λ πε=合，方向如图。 ［ C ］ 2（基础训练3） 如图所示，一个电荷为q 的点电荷位于立方体的A 角上，则通过侧面abcd 的电场强度通量等于： (A) 06εq ． (B) 0 12εq ． (C) 024εq ． (D) 0 48εq ． 【提示】：添加7个与如图相同的小立方体构成一个大立方体，使A 处于大立方体的中心。则大立 方体外围的六个正方形构成一个闭合的高斯面。由Gauss 定理知，通过该高斯面的电通量为 q ε。再据对称性可知，通过侧面abcd 的电场强度通量等于 24εq 。 A b c a q E + E - E 合 O +λ -λ x y (0, a ) +λ -λ x y (0, a ) ［ D ］ 3（基础训练6） 在点电荷+q 的电场中，若取图中P 点处为电势零点 ， 则M 点的电势为 (A) a q 04επ． (B) a q 08επ． (C) a q 04επ-． (D) a q 08επ-． 【提示】：2 20048P a M M a q q V E dl dr r a πεπε-= ==? ? ［ C ］ 4（自测提高4）如图9-34，设有一“无限大”均匀带正电荷的平面。取x 轴垂直带电平面，坐标原点在带电平面上，则其周围 空间各点的电场强度E 随距离平面的位置坐标x 变化的关系曲线为(规定场强方向沿x 轴正向为正、反之为负)： 【提示】：由于电场分布具有平面对称性，可根据高斯定理求得该带电平面周围的场强为： (+0;0)2E i x x σ ε=± > -<“”号对应“”号对应 ［ B ］ 5（自测提高6）如图所示，两个同心的均匀带电球面，内球面半径为R 1、带电荷Q 1，外球面半径为R 2、带有电荷Q 2．设无穷远处为电势零点，则在内球面之内、距离球心为r 处的P 点的电势U 为： (A) r Q Q 0214επ+． (B) 202 10144R Q R Q εεπ+π． (C) 0． (D) 1 01 4R Q επ． 【提示】：根据带点球面在求内外激发电势的规律，以及电势叠加原理即可知结果。 x 图1-1 班号： 姓名： 学号： 成绩： 2．真空中的静电场2（电场与电势） 一、选择题 1. 关于静电场中某点电势值的正负，下列说法正确的是：[ ] A. 电势值的正负取决于置于该点的试探电荷的正负； B. 电势值的正负取决于电场力对试探电荷做功的正负； C. 电势值的正负取决于电势零点的选取 ； D. 电势值的正负取决于产生电场的电荷的正负。 2．在下列关于静电场的表述中，正确的是：[ ] A ．初速度为零的点电荷置于静电场中，将一定沿一条电场线运动； B ．带负电的点电荷，在电场中从a 点移到b 点，若电场力作正功，则a 、b 两点的电势关系为U a ＞U b ； C ．由点电荷电势公式r q U 0π4ε= 可知，当r →0时，则U →∞； D ．在点电荷的电场中，离场源电荷越远的点，其电势越低； E ．在点电荷的电场中，离场源电荷越远的点，电场强度的量值就越小。 3. 如图1-1所示，图中实线为某电场中的电场线，虚线表示等势面，a 、b 、c 为电场中的三个点，由图可以看出：[ ] A ．c b a E E E >>，c b a U U U >>； B ．c b a E E E <<，c b a U U U <<； C ．c b a E E E >>，c b a U U U <<； D ．c b a E E E <<，c b a U U U >>。 4. 在静电场中，若电场线为均匀分布的平行直线，则在该电场区域内电场线方向上任意两点的电场强度E 和电势U 相比较：[ ] A. E 相同，U 不同； B. E 不同，U 相同； C. E 不同，U 不同； D. E 相同，U 相同。 普通物理学 程守洙第六版 静止电荷电场总结 真空中的静电场 教学目的要求 1. 理解点电荷概念，掌握库仑定律、电场强度和场强叠加原理； 2. 理解电场线与电通量，掌握静电场的高斯定理及其应用； 3. 理解静电场的保守性、环路定理与电势能； 4. 掌握电势和电势叠加原理； 5. 了解电场强度和电势梯度的关系. 本章内容提要 ⒈两个基本定律 ① 电荷守恒定律 在一个孤立系统内，无论进行怎样的物理过程，系统内电荷量的代数和总是保持不变，这个规律称为电荷守恒定律.它是物理学中普遍遵守的规律之一. ② 真空中的库仑定律 真空中两个静止的点电荷之间的相互作用力的大小与这两个电荷所带电荷量q l 和q 2的乘积成正比，与它们之间距离r 的平方成反比.作用力的方向沿着两个点电荷的连线，同号电荷相斥，异号电荷相吸.即 121212 122201212012 4π4πr q q q q r r r εε= ?=r F e ⒉两个重要物理量 ① 电场强度 单位试验电荷在电场中任一场点处所受的力就是该点的电场强度.即 q F E = ② 电势 电场中某点的电势等于把单位正电荷自该点移到“电势零点”过程中电场力做的功.若取“无限远”处为“电势零点”，则 d p p p W V q ∞ = =??E l 电场强度和电势都是描述电场中各点性质的物理量，二者的积分关系为 d p p V ∞ =??E l 微分关系是 grad V =V =--?E ⒊两个重要定理 ① 高斯定理 在真空中的静电场内，通过任意闭合曲面的电场强度通量等于该闭合曲面所包围的电荷电荷量的代数和的1/ε 0倍.即 1 d i S S q ε?= ∑? 内 E S ② 静电场的环路定理 在静电场中，电场强度E 的环流恒为零.即 0d =??l E 高斯定理和静电场的环路定理都是描写静电场性质的重要定理，前者说明静电场是有源场，而后者说明静电场是无旋场，即静电场是有源无旋场. ⒋三个叠加原理 ① 静电力叠加原理 作用在某一点电荷上的力为其它点电荷单独存在时对该点电荷静电力的矢量和.即 1 n i i ==∑F F ② 场强叠加原理 电场中某点的场强等于每个电荷单独在该点产生的场强的叠加，即 1 n i i==∑E E ③ 电势叠加原理 电场中某点的电势等于各电荷单独在该点产生的电势的叠加，即 1 n p Pi i V V ==∑ ⒌几个基本概念 ① 电场 电荷周围存在的一种特殊物质，称为电场.它与分子、原子等组成的实物一样，具有质量、能量、动量和角动量，它的特殊性在于能够叠加.相对于观察者静止的电荷在其周围所激发的电场称为静电场.静电场对外的表现主要有：对处于电场中的其他带电体有作用力；在电场中移动其他带电体时，电场力要对它做功. ② 电场线 为形象地反映电场而人为地在电场中描绘的曲线.其画法规定：电场线上某点的 第六章 真空中的静电场 §6-1 电荷 库仑定律 5.电荷的量子化效应：到目前为止的所以实验表明，一切带电体包括微观粒子所带的电量 q ，都是某一基本电荷量的整数倍，这个基本电荷就是 e = 1.602 10-19 库仑 一个带电体带的电量 q = ne n = 1,2,3,... 只能取不连续的值，这称为电荷的量子化。 宏观带电体的带电量 q e ，准连续 二、库仑定律与叠加原理 库仑定律是两个点电荷相互作用的定律。 2.库仑定律 实验给出：k = 8.9880 10 9 N·m2/C2 121200 22014q q q q F k r r r r πε== ▲ 库仑定律适用的条件： ? 真空中点电荷间的相互作用 ? 电荷对观测者静止 41πε= k 0 —真空介电常量 2212o m /N C 1085.841 ??== -k πε 3.静电力的叠加原理 作用于某电荷上的总静电力等于其他点电荷单独存在时作用于该电荷的静电力的矢量和。 离散状态: ∑==N i i F F 1 2004i i i i r r q q F πε= 连续分布: 2004r r dq q F d πε= ?=F d F 结论：库仑力比万有引力大得多，所以在原子中，作用在电子上的力，主要是电场力，万有引力完全可以忽略不计。 §6-2 静电场 电场强度 一、电场 电荷间的相互作用是通过场来传递的 2. 静电场的对外表现： 静电场：相对于观察者静止的电荷所产生的电场称为静电场。 静电场最重要的表现有两方面： ★研究方法： 电场能量—引入电势 U E 电场力—引入场强 二、电场强度 1.试验电荷 q 0 及条件 { 点电荷(尺寸小) q 0 足够小，对待测电场影响小 4.场强叠加原理 设有若干个静止的点电荷q1、q2、…… qN ，它们单独存 在时的场强分别为N E E E ,2,1，则它们同时存在时的场强为 i N i i i N i i N i i r r q E q F q F E 012011004∑∑∑=======πε 三、电场强度的计算 1. 点电荷的电场强度 000 220000144ππq q F q E r r q r q r εε==?= 特点: (1)是球对称的; (2)是与 r 平方成反比的非均匀场。 22 2. 点电荷系的电场强度 q 1 ·· ·· ··q i q 2 E E i P ×r i 点电荷 q i 的场强： 2o 4i r i i r e q E i πε = ∑ =i i r i r e q E i 2 o 4πε 总场强： 点电荷系 场强叠加原理 第 9 章静电场的基本规律 ◆本章学习目标 1．理解电荷的量子化和电荷守恒定律；掌握库仑定律的内容。 2．理解静电场的概念，掌握电场强度和电位的概念、电场强度和电位叠加原理、二者的计算方法以及它们之间的联系。 3．掌握高斯定理和静电场的环路定理的内容，会用高斯定理计算电场强度分布。 ◆本章教学内容 1．电荷的量子化和电荷守恒定律；库仑定律；电场强度及其计算。 2．电场线；电场强度通量；高斯定理及其应用。 3．电场力做功的特点；静电场的环路定理；电势和电势差；电势叠加原理及电势的计算。 4．等势面；电场强度和电势的关系；利用电势求电场强度的分布的计算方法。 ◆本章教学重点 1．库仑定律；静电场；电场强度及其计算。 2．高斯定理的内容及其应用。 3．电场力做功的特点；电势和电势差的概念；电势的计算方法。 4．等势面的概念；电场强度和电势的关系。 ◆本章教学难点 1．电场强度及其计算。 2．高斯定理及其应用。 3．电势的计算。 4．电场强度和电势的关系。 ◆本章学习方法建议 1．正确理解静电场、电场强度、电势和电势差的概念。 2．掌握库仑定律的矢量表达式，明确“点电荷”的概念和库仑定律的适用条件。 3．明确电场强度是矢量，而电势是标量，前者服从矢量叠加原理，后者服 从标量叠加原理；注意理解掌握电场强度和电势间的关系。 4．结合实例，透彻分析、理解高斯定理的物理意义，明确应用高斯定理求解场强的条件。 参考资料 程守洙《普通物理学》（第五版）、张三慧《大学物理基础学》及马文蔚《物理学教程》等教材。 § 9.1电荷电场 一、电荷电荷量 带电体：处于带电状态的物体称为带电体。 正电荷：与丝绸摩擦过的玻璃棒上相同的电荷自然界的电荷( 解释摩擦带电的原 负电荷：与毛皮摩擦过的橡胶棒上相同的电荷 因) 电力：带电体之间的相互作用力；同种电荷相排斥，异种电荷相吸引。 电荷 (电荷量 )：表示物体所带电荷的多寡程度的物理量。 二、电荷的量子化 原子结构： 质子(正电 ) 原子核 中子 (不带电 ) 原子 核外电子 (负电 ) 原子核外的电子数目等于原子核内的质子数目，原子呈电中性；若原子或分子由于外来原因失去(或得到 )电子，就成为带正电 (或带负电 )的离子。 自然界中电子或质子所带电荷是最小的： 电子： e 1.6 10 19 C质子：e 1.610 19 C 电荷的量子化：所有带电体或其它粒子所带电量都是电子或质子所带电量的整数倍，是以不连续的量值出现的。 说明：由于电子的电荷量很小，所以在对宏观带电体的电现象进行研究时，可以不考虑电荷的量子性。（举例说明） 三、电荷守恒定律 如图 9-1 为感应起电现象： 当带正电的玻璃棒 A 移近 B 端时，B,C 因感 应而带电， B 端带负电， C 端带正电。这时将 B,C 两部分分开，再撤走A，则 B,C 两部分带等量的 真空静电场 习题解答： 12-1 将以长带电细线弯成如图形状，设电荷均匀分布，电荷线密度为λ，圆弧的半径分别为R 1和R 2，直线部分长度为l 。试求，圆心O 处的电场强度。 解：将所有的电荷当作正电荷来处理，在处θ 取一电荷元dq, 它在O 点处产生的场强为： 将其分解为二分量： 对各分量进行积分得： 同理，下半圆积分得： 所以合场强为： x 00x x dx Edx U a x a εσ=εσ-==≤≤-? ?dl dq λ=2 1 0210R 4dl R 4dq dE πελ=πε= θ πελ= θπε= θ=cos R 4dl cos R 4dq cos dE dE 2 102 10x θ πελ=θπε= θ=sin R 4dl sin R 4dq sin dE dE 2 1 02 1 0y + πελ= θθπελ= =? ?π 方向2 00 2 2 02y R 2d sin R 4R dE E y 0d cos R 4R dE E x 0 2 1 01 x ? ?π=θθπελ==j R 2d sin R 4R dE E y 1 0021 01y -πελ =θθπελ==??π方向0 d cos R 4R dE E x 02202 x ??π=θθπελ== 12-2 一半径为R 的半球面，均匀的带有电荷，其面密度为σ。求球心处的场强的大小。 解：可将半球面分割成无限多个细同轴圆环，由圆环轴线上的场强公式合场强迭加原理，求得球心处的场强。取如图的细圆环，其在O 处产生的场强大小为： 其中x 为圆环中心至球心距离，r 为圆环半径 将带入上式得到： 所以球心处的场强为： 12-3 用场强迭加原理求证无限大均匀带电板外一点的场强大小为： 由圆环轴线上的场强公式： 对无限大平板X →∞,所以： 12-4 有一带电球壳内外半径分别为R 1和R 2，电荷体密度为ρ=A/r ，A 为正数，在球心处放置一点电荷Q 。求： （1）空间任一点的场强； （2）当A 为多少时，球壳区域内的场强的大小与r 无关； 解：（1）球壳所带的电量为： ( ) i r x 4Xd q E d 2 /32 2 +πε= Rdx 2dq πσ=d x R 2x d E 2 0εσ= ? ?εσ = εσ= = R 204d x R 2x d E E 方向向右 2E εσ= ( ) i r x 4Xd q E d 2 /32 20 +πε= ( ) 220 2 /32 20 o 2X X 12r x 4Xdq dE E εσ=? ??? ??∞+-εσ=+πε= = ? ? ∞ ∞ 4r 34d r A d v d q 3π=?? ? ??π= ρ=( ) 2 1 2 2 R R v 3v R R A 2Ard r 4r 34d r A d v d q q 2 1 -π=π= ?? ? ??π= ρ= =? ? ??j R 1R 12E 21 ???? ??-πελ= 物理选修3-1第一章静电场基础习题 第一节电荷及其守恒定律 1．下列关于电荷．电荷量的说法正确的是( ) A．自然界只存在三种电荷：正电荷、负电荷和元电荷 B．物体所带的电荷量可以是任意值 C．物体所带的电荷量只能是某些特定的值 D．物体的带电量可以是2×10-19C 2. 下列关于元电荷的说法正确的是( ) A．元电荷是除正、负电荷外的第三种电荷 B．元电荷就是质子 C．元电荷e=1.6×10-19C D．自然界所有带电体的电荷量一定是元电荷的整数倍 3．关于摩擦起电和感应起电的实质，下列说法正确的是( ) A．摩擦起电现象说明了机械能可以转化为电能，也说明通过做功可以创造电荷 B．摩擦起电说明电荷可以从一个物体转移到另一个物体 C．感应起电说明电荷可以从物体的一个部分转移到物体另一个部分 D．感应起电说明电荷从带电的物体转移到原来不带电的物体上去了 4．一带负电的金属小球放在潮湿的空气中，经过一段时间后，发现该金属小球上的净电荷几乎不存在了，这说明( ) A．金属小球上原来的负电荷消失了 B．此过程中电荷不守恒 C．金属小球上的负电荷减少是由于潮湿的空气将电子导走了 D．该现象是由于电子的转移引起，仍遵守电荷守恒定律 5．把两个完全相同的小球接触后分开，两球相互排斥，则两球原来带电情况可能是 ( ) A ．只有一个小球原来带电 B ．两个小球原来分别带等量异种电荷 C ．两个小球原来分别带同种电荷 D ．两个小球原来分别带不等量异种电荷 6．一验电器原来带正电，当一个金属球A 靠近验电器上的金属球时，验电器中的金箔张角减小，则说明 ( ) A ．金属球A 可能不带电 B ．金属球可能带正电 C ．金属球A 可能带负电 D ．金属球A 一定带负电 7．如图所示，原来不带电的绝缘金属导体MN ，在其两端下面都悬挂着金属验电箔，若使带负电的绝缘金属球A 靠 近导体的M 端，可能看到的现象是 A ．只有M 端验电箔张开，且M 端带正电 B ．只有N 端验电箔张开，且N 端带负电 C ．两端的验电箔都张开，且左端带负电，右端带正电 D ．两端的验电箔都不张开，且左端带正电，右端带负电 8．绝缘细线上端固定，下端悬挂一轻质小球a ，a 的表面镀有铝膜，在a 的近旁有一金属球b 电，如图所示，现使b 带电，则 ( ) A ．ab 之间不发生相互作用 B ．b 将吸引a ，吸在一起不分开 C ．b 立即把a 排斥开 D ．b 先吸引a ，接触后又把a 排斥开 第二节 库仑定律 真空中的静电场 一、基本要求 1、掌握库仑定律，确切理解电场强度概念，明确电场强度的矢量性，迭加性； 2、确切理解电势和电势差的概念，明确电势是标量及它的迭加性、相对性； 3、在已知电荷分布的情况下，掌握计算电场强度和电势的各种方法； 4、确切理解电通量概念，掌握表征静电场性质的两条基本定理--高斯定理和环路定理。必须明确：两条定理各自反映了静电场的一个侧面，只有两者结合起来，才能全面地反映静电场的性质。 5、掌握导体静电平衡条件和在静电平衡时导体的电特性，并能熟练地求出几何形状比较规则的导体内外的场强和电势； 6、掌握电容器的储能公式，了解电场能量和能量密度概念。 二、基本概念和规律 1、库仑定律 在真空中，两点电荷之间的作用力满足：式中是从q1看出，点电 荷q1的位置矢量，表示q1作用于q2的力。 同理 应该指出： 1）库仑定律只有在真空中，对于两个点电荷成立。亦即只 有q1、q2的本身线度与它们之间的距离相比很小时，库仑定律成立。 2）注意库仑定律的矢量性。 当q1、q2为同号电荷，即q1q2 >0时，表示与，与同向，即同号电荷相斥；当q1q2 <0时，表示与，与反向，即异号电荷相吸。 3）静电力的迭加原理 如果有q0、q1、q2 ……q n个电荷组成的点电荷系，从q0看，各点电荷的矢径分别等于，则点电荷q0受到的静电力为 上式称为静电力的迭加原理，即在点电荷系中，任意一点电荷所受的静电力应等于每个点电荷单独存在时对该点电荷所作用静电力的矢量和。 带电体（体积为V）作用于点电荷q0的静电力 4）库仑定律仅适用于求相对于观察者静止的两点电荷之间的相互作用力，或者放宽一点，亦适用于求相对于观察者静止的点电荷作用于运动的点电荷力的情形。其理由是电磁现象不满足伽利略相对性原理，而只满足狭义相对性原理。 5）库仑定律是静电场理论的基础。正是由库仑定律和静电力迭加原理而导出了描述静电场性质的两条定理（高斯定理和环路定理）。因此库仑定律是静电学的最基本的定律。 2、描述静电场特性的物理量 1）电场强度 电场强度的定义： 即单位试验正电荷在电场中某点所受的力定义为该点的电场强度。 应该指出： a、试验电荷必须满足两个条件：一是试验电荷的电量q0必须充分小，使其q0的的引入而改变原来的电场分布；二是试验电荷的线度必须充分小，由此才可以精确地检验出空间各点的电场强度。至于试验电荷的正负完全是人为的，习惯上规定试验电荷为正电荷。 b、是表征电场对置于其中的电荷施以作用力的这一性质，亦即是刻画电场性质的物理量，与试验电荷的存在与否无关。 c、是矢量，必须遵从矢理运算法则。 第一章静电场的基本规律 本章首先介绍了电荷的基本概念，从实验事实出发，给出了库仑定律和叠加原理；从库仑定律和叠加原理出发，引入电场强度定义，证明了静电场的两个基本定理——高斯定理和环路定理；举例说明了场强和电势的计算方法。 本章的基本要求是： 1、掌握点电荷、电场强度、电通量、电势等基本概念。 2、正确理解：两个定律：（电荷守恒定律，库仑定律）；两个定理：（高斯定理，环路定理）；两个叠加原理：（电场强度叠加原理，电势叠加原理）。 3、掌握场强的三中计算方法：叠加法，高斯定理法，电势梯度法。 电势的两种计算方法：场强积分法，电势叠加法 §1 静电的基本现象和基本规律 一、两种电荷 早在公元前六百年，人们就发现用毛皮磨擦过的琥珀能够吸引羽毛，纸片等轻小物体。后来发现，用毛皮或丝绸磨擦后的玻璃棒、火漆棒、硬橡胶棒等都能吸引轻小物体，这表明经磨擦后的棒下入了一种特别的状态，将处于这种状态的物体叫带电体，并说它们带有电荷，英文中el ect ric ity(电)就是从希腊字ele ctr on(琥珀)而来。 1、电荷的种类： 电荷有两种，同种电荷相斥，异种电荷相吸。美国物理学家富兰克林（Be nja min F ran kli n 1706-1790）首先以正电荷、负电荷的名称来区分两种电荷，这种命名法一直延续到现在。自然界中的电荷只有两种，一种与丝绸磨擦过的玻璃棒的电荷相同，叫正电荷；另一种与毛皮磨擦过的火漆棒的电荷相同，叫负电荷。现在我们知道在原子内部质子带正电荷，电子带负电荷，中子不带电，由于正负电荷电量相等，所以整个原子对外不显电性。 2、电荷的检验、验电器 利用同性相斥的现象可制成验电器，它可检验物体是否带电。 3、电荷间的作用：同性电荷相排斥，异性电荷相吸引。 4、物体按导电性的分类，电荷的传递 由日常生活，我们知道，并非所有物体都允许电荷通过。允许电荷通过的物体叫导体。不允许电荷通过的物体叫电绝缘体（或电介质）。干燥的玻璃、橡胶、塑料、陶瓷、木材等是良好的绝缘体，金属、石墨、酸碱是良好的导体。人体、墙壁和地球也是导体，但导电性不如金属。干燥且未被电离的气体是绝缘体，被电离的气体是导体。介于导体和绝缘体之间且电性属非常特殊的材料，叫半导体。如锗和硅。半导体是近代电子技术的重要材料，如二极管、三极管、芯片。 物体之所以具有不同的导电性，是由物质的微观结构所定，金属导电是因为内部有许多自由电子，它们可以摆脱原子核的束缚而自由在金属内部运动，电解液的导电是因其内部有许多能作宏观运动的正、负离子。而在绝缘 － 选择题 1.关于高斯定理的理解有下面几种说法，其中正确的是： ()A 如果高斯面上E 处处为零，则该面内必无电荷； ()B 如果高斯面内无电荷，则高斯面上E 处处为零； ()C 如果高斯面上E 处处不为零，则高斯面内必有电荷； ()D 如果高斯面内有净电荷， 则通过高斯面的电场强度通量必不为零。 〔 〕 答案：()D 2.如在边长为a 的正立方体中心有一个电量为q 的点电荷，则通过该立方体任一面的电场强度通量为 ()A 0/q ε； ()B 0/2q ε； ()C 0/4q ε； ()D 0/6q ε。 〔 〕 答案：()D 3.在电场强度为E Ej =的匀强电场中，有一如图所示的三棱柱，取表面的法线向外，设过面AA'CO ，面B'BOC ，面ABB'A'的电通量为1φ， 2φ，3φ，则 ()A 1230Ebc Ebc φφφ===； ()B 1230Eac Eac φφφ=-==； ()C 22123Eac Ec a b Ebc φφφ=-=-+=-； ()D 22 123Eac Ec a b Ebc φφφ==+=。 〔 〕 答案：()B 4.已知一高斯面所包围的体积内电荷代数和 0i q =∑，则可肯定： ()A 高斯面上各点场强均为零。 ()B 穿过高斯面上每一面元的电通量均为零。 ()C 穿过整个高斯面的电通量为零。()D 以上说法都不对。 〔 〕 答案：()C 5.有两个点电荷电量都是q +，相距为2a ，今以左边的点电荷所在处为球心，以a 为半径作一球形高斯面。 在球面上取两块相等的小面积1S 和2S ，其位置如图所示。设通过1S 和2S 的电场强度通量分别为1φ和 2φ，通过整个球面的电场强度通量为φ，则 ()A 120,/q φφφε>=； ()B 120,2/q φφφε<=； ()C 120,/q φφφε==； ()D 120,/q φφφε<=。 〔 〕 答案：()D 6.一点电荷，放在球形高斯面的中心处。下列哪一种情况，通过高斯面的电场强度通量发生变化： ()A 将另一点电荷放在高斯面外； ()B 将另一点电荷放进高斯面内； ()C 将球心处的点电荷移开，但仍在高斯面内； ()D 将高斯面半径缩小。 答案：()B 7.A 和B 为两个均匀带电球体，A 带电荷q +，B 带电荷q -，作一与A 同心的球面S 为高斯面，如图所示。则 x y z a b c E O A A B B C x O q q a 2a S 1 S 2 A S +q r -q B静电场的高斯定理
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