第五章习题第一部分01-15
1. M 为线性空间X 的子集,证明span( M )是包含M 的最小线性子空
间.
[证明] 显然span( M )是X 的线性子空间.设N 是X 的线性子空间,且M N .
则由span( M )的定义,可直接验证span( M ) N . 所以span( M )是包含M 的最小线性子空间.
2. 设B 为线性空间X 的子集,证明
conv(B ) = {∑=n i i i x a 1
| a i 0, ∑=n
i i a 1
= 1, x i
B , n 为自然数}.
[证明] 设A = {∑=n i i i x a 1
| a i 0, ∑=n
i i a 1
= 1, x i B , n 为自然数}.首
先容易看出A 为包含B 的凸集,设F 也是包含B 的凸集,则显然有 A F ,故A 为包含B 的最小凸集.
3. 证明[a , b ]上的多项式全体P [a , b ]是无限维线性空间,而E = {1,
t , t 2, ..., t n , ...}是它的一个基底.
[证明] 首先可以直接证明P [a , b ]按通常的函数加法和数乘构成线性空间,
而P [a , b ]中的任一个元素皆可由E 中有限个元素的线性组合表示.
设c 0, c 1, c 2, ..., c m 是m + 1个实数,其中c m 0,m 1.
若∑=m
n n n t c 0
= 0,由代数学基本定理知c 0 = c 1 = c 2 = ... = c m = 0,
所以E 中任意有限个元素线性无关,
故P [a , b ]是无限维线性空间,而E 是它的一个基底。
4. 在
2
中对任意的x = (x 1, x 2) 2,定义|| x ||1 = | x 1 | + | x 2 |,|| x ||2 = (x 12 + x 22)1/2,|| x || = max{ | x 1 |, | x 2 | }.证明它们都是2中的范数,并画出各自单位球的图形.
[证明] 证明是直接的,只要逐条验证范数定义中的条件即可.单位球图形略.
5. 设X 为线性赋范空间,L 为它的线性子空间。证明cl(L )也是X 的
线性子空间.
[证明] x , y cl(L ),a ,存在L 中的序列{ x n }, { y n }
使得x n x ,y n y .
从而x + y = lim x n + lim y n = lim (x n + y n )cl(L ),a x = a lim x n = lim (a x n ) cl(L ). 所以cl(L )是X 的线性子空间. [注] 这里cl(L )表示子集L 的闭包.
6. 设X 为完备的线性赋范空间,M 为它的闭线性子空间,x 0
M .证
明:
L = { a x0 + y | y M, a}也是X的闭线性子空间.
[证明] 若a, b,y, z M使得a x0 + y = b x0 + z,
则(a b) x0 = z y M,得到a = b,y = z;即L中元素的表示是唯一的.
若L中的序列{ a n x0 + y n }收敛于X中某点z,则序列{ a n x0 + y n }为有界序列.
由于M闭,x0M,故存在r > 0,使得|| x0y|| r,y M.则当a n 0时有
| a n | = | a n | · r · (1/r) | a n | · || x0 + y n/a n || · (1/ r) = || a n x0 + y n || · (1/r),
所以数列{ a n }有界,故存在{ a n }的子列{ a n(k)}使得a n(k)a.这时y n(k) = (a n x0 + y n) a n x0z a x0 M.所以z L,所以L闭.
[注] 在此题的证明过程中,并未用到“X为完备的”这一条件.7.证明:a. 在2中,|| ?||1,|| ?||2与|| ?||都是等价
范数;b. || ?||1与|| ?||2是等价范数的充要条件是:X中任意序列在两个范数下有相同的收敛性.
[证明] a. 显然|| x || || x ||2 || x ||1 2|| x ||,所以|| ?||1,|| ?||2与|| ?||都是等价范数.b. 必要性是
显然的,下面证明充分性.首先inf {|| x ||2 | || x ||1 = 1} 0.若inf {|| x ||2 | || x ||1 = 1} = 0,则存在X中序列{ x n},使得|| x n||1 = 1,|| x n||2 0.
而任意序列在两个范数下有相同的收敛性,从而|| x n||1 0.
这矛盾说明inf {|| x ||2 | || x ||1 = 1} = a > 0.
对x X,当x 0时,|| (x/|| x ||1) ||1 = 1,所以|| (x/|| x ||1) ||2 a.
故x X有a || x ||1 || x ||2.
类似地可以证明存在b > 0使得b || x ||2 || x ||1,x X.所以两个范数等价.
8.证明:Banach空间m不是可分的.[证明见教科书p187, 例]
9.证明:c是可分的Banach空间.[证明见第4章习题16]
10.设X, Y为线性赋范空间,T B(X, Y).证明T的零空间N(T) = {x X
| Tx = 0 }是X的闭线性子空间.
[证明] 显然N(T) = { x X | Tx = 0 }是X的线性子空间.对x N(T)c,Tx0,由于T是连续的,存在x的邻域U使得u U 有Tu 0,从而U N(T)c.故N(T)c是开集,N(T)是X的闭子空间.
11.设无穷矩阵( a i j ),( i , j = 1, 2, ...)满足∞<∑∞
=1
||sup j ij i
a ,定
义算子T : m m 如下:y = Tx ,∑∞
==1
j j ij i a ξη,其中x = (
i
),
y = (
i
) m .证明:T 是有界线性算子,并且∑∞
==1
||sup ||||j ij i
a T 。
[
证
明
]
因
|)|(sup )||sup ()||sup ||(sup ||sup ||||1
1
1
j j
j ij i
j j j
ij i
j j ij i
a a a Tx ξξξ?=?≤=∑∑∑∞=∞=∞=,及
T 是线
性的,所以T 为有界线性算子, ∑∞
=≤1
||sup ||||j ij i
a T 。对任意的实数
∑∞=<1
||sup j ij i
a u ,存在自然数K 使得u a j Kj >∑∞
=1
||。取m x i K ∈=)(ξ,使得其
第j 个坐标)sgn(Kj j a =ξ,则1||||=K x ,且∑∞
=≥1
||||||j Kj K a Tx 。所以
u a T j Kj >≥∑∞=1
||||||,故有∑∞=≥1
||sup ||||j ij i
a T ,从而∑∞
==1
||sup ||||j ij i
a T 。
12.设22:l l S n →满足对221),,,,(l x n ∈=? ξξξ有),,()(21 ++=n n n x S ξξ。证
明n S 是有界线性算子,1||||=n S 。
[证明] 显然n S 是线性算子。因为21
21
2
2
||||||||||)(||x x S k k n k k
n =≤=
∑∑∞
=∞
+=ξξ
,
2l x ∈?,所以||||||)(||x x S n ≤,2l x ∈?,可见n S 是有界线性算子,且1||||≤n S 。
令),0,1,0,0,0( =n x (仅第)1(+n 个坐标不为零),则2l x n ∈,1||||=n x ,
),0,1()( =n n x S ,1||)(||=n n x S 。所以1||)(||||)(||sup ||||1
||||=≥==n n n x n x S x S S 。
13.证明],[b a C 上的泛函?=b
a dt t x x f )()(是有界线性泛函,且a
b f -=||||。
[证明] 显然f 是线性泛函。对],[b a C x ∈?有
||||)(|)(|max )(|)(||)(||)(|]
,[x a b t x a b dt t x dt t x x f b a t b
a
b a
-=-≤≤=∈??,
所以f 是有界线性泛函,且a b f -≤||||。进一步,取],[0b a C x ∈使得1)(0≡t x ,则1||||0=x 。得到a b x f x f f x -=≥==|)(||)(|sup ||||01
||||。
14.取定],[0b a t ∈,在],[b a C 上定义泛函1f 如下:)()(01t x x f =。证明1f 是
有界线性泛函,1||||1=f 。
[证明]显然1f 是线性泛函,由|||||)(|max |)(||)(|]
,[01x t x t x x f b a t =≤=∈,知1f 有界
1
||||1≤f 。取
]
,[0b a C x ∈使1)(0≡t x ,则
1
||||0=x ,得
1|)(||)(||)(|sup ||||000111
||||1==≥==t x x f x f f x 。
15.证明:∞=l l *1)(。
[证明] 任取∞
∈=l y i )(η,显然∑∞
==1
)(i i i x f ηξ是1l 上有界线性泛函,且
||||||||y f ≤。又取1l x k ∈使其第k 个坐标为1其余皆为0,则|||)(|||||k k x f f η=≥, ,2,1=?k 。从而||||||||y f ≥,进而||||||||y f =.
另一方面,设f 为1l 上有界线性泛函,令)(i i x f =η,则||||||||||||||f x f i i =?≤η, ,2,1=?i ,从而∞∈=l y i )(η。对1)(l x i ∈=?ξ,我们令),0,0,,,,(21 n n u ξξξ=,
则∑∑∑======n
i i i n
i i i n
i i i n x f x f u f 1
1
1
)()()(ηξξξ.
注意到在1l 中x u n →,以及f 为1l 上有界线性泛函,
故∑∞
==1
)(i i i x f ηξ,并且满足这样条件的∞∈=l y i )(η是唯一的.
16.证明:n 维线性赋范空间的共轭空间仍是一个n 维线性赋范空间。
[证明] 设X 是n 维线性赋范空间,{ x 1, x 1, ..., x n }是它的一个基.
令f i : X ? X 表示i n
k k k i a x a f =∑=)(1
,
i = 1, 2, ....
则∑∑==?≤==n k i k i
i i i i n
k k k i x a x x x a a x a f 11||||||||1
|||||||||||)(|,注意到∑==n
k i k x a x N 1||||)(也是X 上的范数,以及有限维线性空间上的范数都是等价的,故存在M > 0
使得||||)(x M x N ≤,所以||||||
|||)(|x x M
x f i i ≤
,所以f i X *.下面证明{ f 1,
f 1, ..., f n }是X *的一组基。事实上,f X *,
∑∑∑∑∑∑=========n
k n
j j j n
k k k n
k n
j j j k k k k n
k k k x a f x f x a f x f x f a x a f 1
1
1
1
1
1
))()(()()()()(,
所以∑==n
k k k f x f f 1
)(。故X *
为有限维空间,且维数不超过n .若01
=∑=n
k k k f c ,
则0))(()(1
1
===∑∑==i n
k k k n k i k k i x f c x f c c ,所以{ f 1, f 1, ..., f n }线性无关,
故X *
维数为n 。
17.证明:无穷维线性赋范空间的共轭空间仍是无穷维线性赋范空间。
[证明] 设X 是无穷维线性赋范空间,由于典范映射J : X ? X **是
保范的线性同构,故X **必定是无穷维空间.由前面的习题16知道X *必然也是无穷维的.
18.设X是赋范空间,M为X的子集,x X。证明:x cl( span(M) )
的充分必要条件为f X*,若f (M) = 0则f (x) = 0.
[证明] 设x cl(span(M)),则对f X*,若f (M) = 0,由于f是线性的和连续的,自然有f(cl(span(M))) = 0,从而f(x) = 0.反过来,设x cl(span(M)),则d(x, cl(span(M))) > 0.由Hann-Banach定理,存在f X*,使f(cl(span(M))) = 0,且f(x) = d(x, cl(span(M))) > 0,得到矛盾.
19.验证极化恒等式。
[证明] 我们只对实内积空间来验证,对于复内积空间,方法是类似的.
|| x + y ||2 || x y ||2 = < x + y, x + y > < x y, x y >
= (< x, x > + < x, y > + < y, x > + < y, y> ) ( < x, x >
< x, y > < y, x > + < y, y >)
= 4< x, y >.
20.证明由内积导出的范数|| x || = < x, x >1/2满足范数定义的三个
条件。
[证明] 前两个条件是显然的,我们只证明三角不等式.事实上,
|| x + y ||2 = < x + y, x + y > = || x ||2 + < x, y > + >
x,
+ || y ||2 = || x ||2 + 2 Re(< x , y >) + || y ||2 || x ||2 + 2 | < x , y > | + || y ||2 || x ||2 + 2 || x || · || y || + || y ||2 = (|| x || + || y ||)2.所以三角不等式成立. 21.证明内积空间中的勾股定理。 [证明] 设x = x 1 + x 2,且x 1 x 2.则< x 1, x 2> = < x 2, x 1> = 0,所以 || x ||2 = || x 1 + x 2 ||2 = < x 1 + x 2, x 1 + x 2> = < x 1, x 1 > + < x 1, x 2 > + < x 2, x 1 > + < x 2, x 2> = < x 1, x > + < x 2, x 2> = || x 1 ||2 + || x 2 ||2. 22.设X 是内积空间,X N M ?,,N M ⊥。证明:⊥?M N 。 [证明] 对N x ∈?,因N M ⊥,得M x ⊥,故⊥∈M x ,所以⊥?M N 。 23.设X 是内积空间,X N M ?,,N M ?。证明:⊥⊥?M N 。 [证明] 对⊥∈?N x ,由N x ⊥,及N M ?,知M x ⊥,故⊥∈M x 。所以⊥⊥?M N 。 24.设 H 为Hilbert 空间,M 是H 的线性子空间。证明:⊥⊥=)(M M , ⊥⊥=)(M M 。 [证明] 对M x ∈?,显然有⊥⊥M x ,从而⊥⊥∈)(M x ,故⊥⊥?)(M M 。若 M x ?,由投影定理,设21x x x +=,其中M x ∈1,⊥∈)(2M x ,且02≠x 。 此时⊥∈M x 2,故有0||||,,,22222212≠>=>=<+>=< 由23题结果,⊥⊥?)(M M ,而对⊥∈?M x ,M x ⊥, 故M x ⊥,所以⊥∈)(M x ,因此⊥⊥?)(M M ,故有⊥⊥=)(M M 。 25.设 X 为内积空间,M 是X 的线性子空间,满足:对任何X x ∈,它在M 上的正交投影都存在。证明:M 是X 的闭线性子空间。 [证明] 对M x ∈?,由于存在它在M 上的正交投影,故可设21x x x +=,其中M x ∈1,⊥∈M x 2。由26题知⊥∈)(2M x ,而M x x x ∈-=12,故02=x ,所以M x x ∈=1,因此M M =,即M 为X 的闭子空间。 26.设X 为内积空间,M 是X 的稠密子集,{ e n }是X 的标准正交系。 证明:{ e n }完备的充要条件是在子集M 上,Parseval 等式成立. [证明] 由{ e n }完备性定义知必要性是显然的,下面证明充分性。对x X ,由M 在X 中稠密,对任意的0>ε,存在M y ∈,使得2||||ε<-y x ,2 ||||||||22ε+≤y x 。而对于M y ∈,Parseval 等式成立,即∑∞ =><=12 2 |,|||||n n e y y ,存在自然数N 使得 2 |,|1 2ε <><∑∞ +=N n n e y 。下面估计 2||||x : εεε +>-<+><=+><≤+ ≤∑∑==N n n n N n n e y x e x e y y x 1 21 2 2 2|,,||,|2 |||||||| ε+??? ? ??>-<+><≤∑∑==2 1212|,||,|N n n N n n e y x e x (三角不等式) ε+-+-?+><≤∑=2 1 2 ||||||||||||2|,|y x y x x e x N n n (用21 2|||||,|u e u N n n ≤><∑=放 大) εε )14 ||(|||,|1 2+++><≤∑∞ =x e x n n , 由0>ε的任意性,及Bessel 不等式有∑∞ =><=1 2|,|||||n n e x x 。即x X , Parseval 等式成立,所以{ e n }是完备的标准正交系。 27.设X 为内积空间,{ e n }是X 的标准正交系。证明: x , y X , 都有 |||||||||,,|1 y x e y e x n n n ?≤>><<∑∞ =。 [证明] 由Cauchy-Schwarz 不等式,及Bessel 不等式,有 |||||||||,||,||,,|1 21 2 1 y x e y e x e y e x n n n n n n n ?≤> ><≤ >><<∑∑∑∞ =∞ =∞ =。 28.设 H 为Hilbert 空间,{ e n }是H 的标准正交系。证明:{ e n }是完全的的充要条件是:对于x , y H ,都有 ∑∞ =>><>= <1 ,,,n n n e y e x y x 。 [证明] 若{ e n }是完全的,则它是完备的.于是 x , y H 总有 ∑∞ =><=1 ,n n n e e x x ,∑∞ =><=1,n n n e e y y ,计算x , y 的内积得: >><><>=><><>=< <∑∑∑∑∞ =∞=∞ =∞ =1 11 1,,,,,,,m m m n n n m m m n n n e e y e e x e e y e e x y x >>><>=><><=∑∑∞ =∞=n n n n n n n n n n e e e y e x e e y e e x 1 1 ,,,,,, ∑∞ =>><=1 ,,n n n e y e x 。 反过来,若 x , y H 都有∑∞ =>><>=<1 ,,,n n n e y e x y x ,令y = x ,则 有Parseval 等式成立,从而{ e n }是完备的,所以在Hilbert 空间H 中{ e n }是完全的。 29.设H 为Hilbert 空间,{ e n },}~{n e 是H 的两个标准正交系,其中{ e n }是完备的,并且它们满足条件1||~||1 2<-∑∞ =n n n e e ,并且。证明:}~{n e 也完备的。 [证明] 对 x H ,若}~{n e x ⊥,由于{ e n }是完备的,所以 ∑∑∑∑∞ =∞=∞=∞ =-?≤-?≤>-<=><=1 221 221 21 2 2 ||~||||||||~|||||||~,||,|||||n n n n n n n n n n n e e x e e x e e x e x x 如果x 0,则上式将导出矛盾:|| x || < || x ||,故必有x = 0.所 以}~{n e 是完全的,因而也是完备的。 30.设H 为Hilbert 空间,M 是 H 的线性子空间,f 是M 上的有界线性泛函.证明:存在f 在H 上的唯一的延拓F ,使得|| F ||H = || f ||M . [证明] 首先,存在f 在L = cl(M )上的唯一的延拓g ,使得g 为L 上的有界线性泛函,并且|| g || = || f ||.若L = H 则结论显然成立. 若L H ,在L 上用Rieze 表示定理,u L ,使得g (x ) = 对x L . 在H 上定义F (x ) = 且 || F ||H = || u || = || g ||L = || f ||M ,而且F 是g 的延拓, 因而F也是f的延拓. 若G也是f的满足条件的延拓,用Rieze表示定理, 存在v H,使得G(x) = 因f在L上的的延拓唯一,故G|L作为L上的有界线性泛函就是g,故x L, 因u L.由勾股定理,|| v ||2 = ||(v u) + u ||2 = || v u ||2 + || u ||2. 而|| u || = || F ||H = || f ||M = || G ||H = || v ||,故|| v u ||2 = 0,即v = u. 从而G = F,即f在H上的满足条件的延拓是唯一的. 泛函分析答案: 1、 所有元素均为0的n ×n 矩阵 2、 设E 为一线性空间,L 是E 中的一个子集,若对任意的x,y ∈L ,以及变数λ和μ均有λx +μy ∈L ,则L 称为线性空间E 的一个子空间。子空间心室包含零元素,因为当λ和μ均为0时,λx +μy =0∈L ,则L 必定含零元素。 3、 设L 是线性空间E 的子空间,x 0∈E\L,则集合x 0+L={x 0+l,l ∈L}称为E 中一个线性流形。 4、 设M 是线性空间E 中一个集合,如果对任何x,y ∈M ,以及λ+μ=1,λ≥0,μ≥0的 λ和μ,都有λx +μy ∈M ,则称M 为E 中的凸集。 5、 设x,y 是线性空间E 中的两个元素,d(x,y)为其之间的距离,它必须满足以下条件: (1) 非负性:d(x,y)>0,且d(x,y)=0<―――>x=y (2) d(x,y)=d(y,x) (3) 三角不等式:d(x,y)≤d(x,z)+d(y,z) for every x,y,z ∈E n 维欧几里德空间常用距离定义: 】 设x={x 1,x 2,…x n }T ,y={y 1y 2,…y n }T d 2(x,y)=( 21 ||n i i i x y =-∑)1/2 d 1(x,y)=1 ||n i i i x y =-∑ d p (x,y) = ( 1 ||n p i i i x y =-∑ )1/p d ∞(x,y)=1max ||i i i n x y ≤≤- 6、距离空间(x,d)中的点列{x n }收敛到x 0是指d(x n ,x 0)0(n ∞),这时记作 0lim n n x x -->∞ =,或 简单地记作x n x 0 7、设||x||是线性空间E 中的任何一个元素x 的范数,其须满足以下条件: (1)||x||≥0,且||x||=0 iff x=0 (2)||λx||=λ||x||,λ为常数 (3)||x+y||≤||x||+||y||,for every x,y ∈E 8、设E 为线性赋范空间,{x n }∞ n=1是其中的一个无穷列,如果对于任何ε>0,总存在自然数N ,使得当n>N,m>N 时,均有|x m -x n |<ε,则称序列{x n }是E 中的基本列。若E 的基本列的收敛元仍属于E ,则称E 为完备的线性赋范空间,即为Banach 空间。线性赋范空间中的基本列不一定收敛。 9、有限维的线性赋范空间必然完备,所以它必定是Banach 空间。 $ 10、如果内积空间能在由内积诱导的赋范空间完备,则此内积空间称为Hilbert 空间。 11、L 2(a,b )为定义在(a,b)上平方可积函数空间,即设f(t)∈L 2(a,b ), 2|()|b a f t dt ? <∞。 当 L 2(a,b )中内积的定义为(f,g )= _____ ()()b a f t g t dt ? (其中f(t),g(t)∈L 2(a,b ))时其为Hilbert 空间。 ★ 12、算子表示一种作用,一种映射。设X 和Y 是给定的两个线性赋范空间,集合D ?X , 若对D 中的每一个x ,均有Y 中的一个确定的变量y 与其对应,则说这种对应关系确定 博士生入学考试《泛函分析》考试大纲 第一章度量空间 §1 压缩映象原理 §2 完备化 §3 列紧集 §4 线性赋范空间 4.1 线性空间 4.2 线性空间上的距离 4.3 范数与Banach空间 4.4 线性赋范空间上的模等价 4.5 应用(最佳逼近问题) 4.6 有穷维* B空间的刻划 §5 凸集与不动点 5.1 定义与基本性质 5.2 Brouwer与Schauder不动点原理* 5.3 应用* §6 内积空间 6.1 定义与基本性质 6.2 正交与正交基 6.3 正交化与Hilbert空间的同构 6.4 再论最佳逼近问题 第二章线性算子与线性泛函 §1 线性算子的概念 1.1 线性算子和线性泛函的定义 1.2线性算子的连续性和有界性 §2 Riesz定理及其应用 Laplace方程f ? -狄氏边值问题的弱解 u= 变分不等到式 §3 纲与开映象定理 3.1 纲与纲推理 3.2 开映象定理 3.3 闭图象定理 3.4 共鸣定理 3.5应用 Lax-Milgram定理 Lax等价定理 §4 Hahn-Banach定理 4.1线性泛函的延拓定理 4.2几何形式----凸集分离定理 §5 共轭空间·弱收敛·自反空间 5.1 共轭空间的表示及应用(Runge) 5.2 共轭算子 5.3弱收敛及*弱收敛 5.4弱列紧性与*弱列紧性 §6 线性算子的谱 6.1 定义与例 6.2 Γелbφaнд定理 第三章紧算子与Fredholm算子 §1 紧算子的定义和基本性质 §2 Riesz-Fredholm 理论 §3 Riesz-Schauder理论 §4 Hilbert-Schmidt定理 §5 对椭圆方程的应用 §6 Fredholm算子 参考文献 1.张恭庆林源渠,“泛函分析讲义”,北京大学出版社,1987。 2.黄振友杨建新华踏红刘景麟《泛函分析》,科学出版社, 2003。 泛函分析答案: 1、所有元素均为0的n ×n 矩阵 2、设E 为一线性空间,L 是E 中的一个子集,若对任意的x,y ∈L ,以及变数λ和μ均有λx +μy ∈L ,则L 称为线性空间E 的一个子空间。子空间心室包含零元素,因为当λ和μ均为0时,λx +μy =0∈L ,则L 必定含零元素。 3、设L 是线性空间E 的子空间,x 0∈E\L,则集合x 0+L={x 0+l,l ∈L}称为E 中一个线性流形。 4、设M 是线性空间E 中一个集合,如果对任何x,y ∈M ,以及λ+μ=1,λ≥0,μ≥0的λ和μ,都有λx +μy ∈M ,则称M 为E 中的凸集。 5、设x,y 是线性空间E 中的两个元素,d(x,y)为其之间的距离,它必须满足以下条件: (1) 非负性:d(x,y)>0,且d(x,y)=0<―――>x=y (2) d(x,y)=d(y,x) (3) 三角不等式:d(x,y)≤d(x,z)+d(y,z)foreveryx,y,z ∈E n 维欧几里德空间常用距离定义: 设x={x 1,x 2,…x n }T ,y={y 1y 2,…y n }T d 2(x,y)=(21 ||n i i i x y =-∑)1/2 d 1(x,y)=1 ||n i i i x y =-∑ d p (x,y)=(1 ||n p i i i x y =-∑)1/p d ∞(x,y)=1max ||i i i n x y ≤≤- 6、距离空间(x,d)中的点列{x n }收敛到x 0是指d(x n ,x 0)?0(n ?∞),这时记作 0lim n n x x -->∞ =,或简单地记作x n ?x 0 7、设||x||是线性空间E 中的任何一个元素x 的范数,其须满足以下条件: (1)||x||≥0,且||x||=0 iffx=0 (2)||λx||=λ||x||,λ为常数 (3)||x+y||≤||x||+||y||,foreveryx,y ∈E 8、设E 为线性赋范空间,{x n }∞n=1是其中的一个无穷列,如果对于任何ε>0,总存在自然数N ,使得当n>N,m>N 时,均有|x m -x n |<ε,则称序列{x n }是E 中的基本列。若E 的基本列的收敛元仍属于E ,则称E 为完备的线性赋范空间,即为Banach 空间。线性赋范空间中的基本列不一定收敛。 9、有限维的线性赋范空间必然完备,所以它必定是Banach 空间。 10、如果内积空间能在由内积诱导的赋范空间完备,则此内积空间称为Hilbert 空间。 11、L 2 (a,b )为定义在(a,b)上平方可积函数空间,即设f(t)∈L 2 (a,b ),2|()|b a f t dt ?<∞。 [Word格式]《成本会计》习题及答案(自学推荐,23页) [Word格式]《成本会计》配套习题集参考答案 [Word格式]《实用成本会计》习题答案 [Word格式]《会计电算化》教材习题答案(09年) [JPG格式]会计从业《基础会计》课后答案 [Word格式]《现代西方经济学(微观经济学)》笔记与课后习题详解(第3版,宋承先)[Word格式]《宏观经济学》习题答案(第七版,多恩布什) [Word格式]《国际贸易》课后习题答案(海闻 P.林德特王新奎) [PDF格式]《西方经济学》习题答案(第三版,高鸿业)可直接打印 [Word格式]《金融工程》课后题答案(郑振龙版) [Word格式]《宏观经济学》课后答案(布兰查德版) [JPG格式]《投资学》课后习题答案(英文版,牛逼版) [PDF格式]《投资学》课后习题答案(博迪,第四版) [Word格式]《微观经济学》课后答案(高鸿业版) [Word格式]《公司理财》课后答案(英文版,第六版) [Word格式]《国际经济学》教师手册及课后习题答案(克鲁格曼,第六版) [Word格式]《金融市场学》课后习题答案(张亦春,郑振龙,第二版) [PDF格式]《金融市场学》电子书(张亦春,郑振龙,第二版) [Word格式]《微观经济学》课后答案(平狄克版) [Word格式]《中级财务会计》习题答案(第二版,刘永泽) [PDF格式]《国际经济学》习题答案(萨尔瓦多,英文版) [JPG格式]《宏观经济学》课后答案(曼昆,中文版) [PDF格式]《宏观经济学》答案(曼昆,第五版,英文版)pdf格式 [Word格式]《技术经济学概论》(第二版)习题答案 [Word格式]曼昆《经济学原理》课后习题解答 [PDF格式]西方经济学(高鸿业版)教材详细答案 [Word格式]完整的英文原版曼昆宏观、微观经济学答案 [Word格式]《金融市场学》课后答案(郑振龙版) 化学物理 [Word格式]《固体物理》习题解答(方俊鑫版) [Word格式]《简明结构化学》课后习题答案(第三版,夏少武) [Word格式]《生物化学》复习资料大全(3套试卷及答案+各章习题集) [PDF格式]《光学教程》习题答案(第四版,姚启钧原著) [Word格式]《流体力学》实验分析答案(浙工大版) [Word格式]《高分子化学》课后习题答案(第四版,潘祖仁主编) [PDF格式]《化工热力学》习题与习题答案(含各种版本) [Word格式]《材料力学》习题答案 [Word格式]《量子力学导论》习题答案(曾谨言版,北京大学) [PDF格式]《理论力学》习题答案(动力学和静力学) 第七章 习题解答 1.设(X ,d )为一度量空间,令 }),(,|{),(},),(,|{),(0000εεεε≤∈=<∈=x x d X x x x S x x d X x x x U 问),(0εx U 的闭包是否等于),(0εx S ? 解 不一定。例如离散空间(X ,d )。)1,(0x U ={0x },而)1,(0x S =X 。 因此当X 多于两点时,)1,(0x U 的闭包不等于)1,(0x S 。 2. 设 ],[b a C ∞是区间],[b a 上无限次可微函数的全体,定义 证明],[b a C ∞按),(g f d 成度量空间。 证明 (1)若),(g f d =0,则) ()(1)()(max ) () ()()(t g t f t g t f r r r r b t a -+-≤≤=0,即f=g (2))()(1)()(max 2 1 ),()()()()(0t g t f t g t f g f d r r r r b t a r r -+-=≤≤∞ =∑ =d (f ,g )+d (g ,h ) 因此],[b a C ∞按),(g f d 成度量空间。 3. 设B 是度量空间X 中的闭集,证明必有一列开集ΛΛn o o o 21,包含B ,而且B o n n =?∞ =1 。 证明 令n n n o n n B x d Bo o .2,1},1 ),({K =<==是开集:设n o x ∈0,则存在B x ∈1,使 n x x d 1),(10<。设,0),(1 10>-=x x d n δ则易验证n o x U ?),(0δ,这就证明了n o 是 开集 显然B o n n ??∞=1 。若n n o x ∞ =?∈1 则对每一个n ,有B x n ∈使n x x d 1 ),(1< ,因此 大学几乎所有学科的课本答案 ! 任明嘉的日志 经济金融 [PDF格式]《会计学原理》同步练习题答案 [Word格式]《成本会计》习题及答案(自学推荐,23页) [Word格式]《成本会计》配套习题集参考答案 [Word格式]《实用成本会计》习题答案 [Word格式]《会计电算化》教材习题答案(09年) [JPG格式]会计从业《基础会计》课后答案 [Word格式]《现代西方经济学(微观经济学)》笔记与课后习题详解(第3版,宋承先)[Word格式]《宏观经济学》习题答案(第七版,多恩布什) [Word格式]《国际贸易》课后习题答案(海闻P.林德特王新奎) [PDF格式]《西方经济学》习题答案(第三版,高鸿业)可直接打印 [Word格式]《金融工程》课后题答案(郑振龙版) [Word格式]《宏观经济学》课后答案(布兰查德版) [JPG格式]《投资学》课后习题答案(英文版,牛逼版) [PDF格式]《投资学》课后习题答案(博迪,第四版) [Word格式]《微观经济学》课后答案(高鸿业版) [Word格式]《公司理财》课后答案(英文版,第六版) [Word格式]《国际经济学》教师手册及课后习题答案(克鲁格曼,第六版) [Word格式]《金融市场学》课后习题答案(张亦春,郑振龙,第二版)[PDF格式]《金融市场学》电子书(张亦春,郑振龙,第二版) [Word格式]《微观经济学》课后答案(平狄克版) [Word格式]《中级财务会计》习题答案(第二版,刘永泽) [PDF格式]《国际经济学》习题答案(萨尔瓦多,英文版) [JPG格式]《宏观经济学》课后答案(曼昆,中文版) [PDF格式]《宏观经济学》答案(曼昆,第五版,英文版)pdf格式 [Word格式]《技术经济学概论》(第二版)习题答案 [Word格式]曼昆《经济学原理》课后习题解答 [PDF格式]西方经济学(高鸿业版)教材详细答案 [Word格式]完整的英文原版曼昆宏观、微观经济学答案 [Word格式]《金融市场学》课后答案(郑振龙版) 化学物理 [Word格式]《固体物理》习题解答(方俊鑫版) [Word格式]《简明结构化学》课后习题答案(第三版,夏少武) [Word格式]《生物化学》复习资料大全(3套试卷及答案+各章习题集)[PDF格式]《光学教程》习题答案(第四版,姚启钧原著) [Word格式]《流体力学》实验分析答案(浙工大版) [Word格式]《高分子化学》课后习题答案(第四版,潘祖仁主编) 2002年北京国际数学家大会 (ICM 2002 北京) 一 ICM2002 我国做45分钟报告的数学家 第24 届国际数学家大会于2002 年8 月20 日至28 日在北京举行,有101 个国家和地区的4270 余名数学家参加了会议,其中1%来自澳洲,3%来自非洲,56%来自亚洲,16%来自美洲,24%来自欧洲。 ICM2002大会其间,马宁()领导的程序委员会以及19个国际专家组选出20个大会报告和174个特邀报告,代表了近期数学科学领域中的前沿成果与重大发展。菲尔兹奖和奈瓦林纳奖获得者的报告无疑将是大会学术活动中最精彩的部分。作1小时大会报告的20 名国际知名数学家来自美国、法国、英国、日本、意大利、丹麦、俄罗斯等国,他们的报告代表了当今国际数学发展的最高水平。ICM2002大会45分钟分组报告共有逻辑、代数、拓扑、数论等19 个学科组,学术交流内容涵盖十分广泛,有174名学者在各学科组作了邀请报告。 此外,为了充分利用这个4年一次的难得的大聚会,大会提供一切可能的学术交流条件。凡已注册登记者均可报名作15分钟的专题报告,大会予以安排。1114人作了15 分钟的小组分组报告,张贴了93 篇墙报,报告(含张贴墙报者)总人数超过1400 人。 在往届国际数学家大会上,我国大陆被邀请作45分钟报告的数学家有华罗庚、吴文俊、陈景润、冯康、张恭庆、马志明等。陈省身、丘成桐等华人数学家曾被邀请作1小时大会报告。 ICM2002大会有3名华裔数学家作1 小时大会报告,他们分别是:美国麻省理工学院教授、北京大学“长江学者”田刚,华人数学家美国哈佛大学教授肖荫堂和普林斯顿大学教授张圣容,有12位我国大陆数学家作45分钟邀请报告,他们分别是:丁伟岳、王诗宬、龙以明、曲安京、严加安、张伟平、陈木法、周向宇、洪家兴、郭雷、萧树铁和葛力明,ICM2002会议是历史上华人数学家作大会报告和邀请报告人数最多的一次大会。 二 ICM2002 卫星会议、公众报告情况 ICM2002举行了46 个卫星会议,为大会增添了风光。这些卫星会议分布在中国的26个城市以及日本、俄罗斯、新加坡、韩国和越南的6个城市。几乎每一个卫星会议都是国际合作的成果,一些菲尔兹奖、沃尔夫奖(Wolf Prize)和诺贝尔奖获得者的参与使得这些卫星会议更加引人注目。尽管举办卫星会议一直是国际数学家大会的惯例,但2002年国际数学家大会扩大了卫星会议的规模,并使之对国际数学家大会的圆满成功更有意义。 泛函分析复习题2012 1.在实数轴R 上,令p y x y x d ||),(-=,当p 为何值时,R 是度量 空间,p 为何值时,R 是赋范空间。 解:若R 是度量空间,所以R z y x ∈?,,,必须有: ),(),(),(z y d y x d z x d +≤成立 即p p p z y y x z x ||||||-+-≤-,取1,0,1-===z y x , 有2112=+≤p p p ,所以,1≤p 若R 是赋范空间,p x x x d ||||||)0,(==,所以R k x ∈?,, 必须有:||||||||||x k kx ?=成立,即p p x k kx ||||||=,1=p , 当1≤p 时,若R 是度量空间,1=p 时,若R 是赋范空间。 2.若),(d X 是度量空间,则)1,m in(1d d =,d d d +=12也是使X 成为度量空间。 解:由于),(d X 是度量空间,所以X z y x ∈?,,有: 1)0),(≥y x d ,因此0)1),,(m in(),(1≥=y x d y x d 和0) ,(1) ,(),(2≥+= y x d y x d y x d 且当y x =时0),(=y x d , 于是0)1),,(m in(),(1==y x d y x d 和0) ,(1) ,(),(2=+=y x d y x d y x d 以及若 0)1),,(m in(),(1==y x d y x d 或0) ,(1) ,(),(2=+= y x d y x d y x d 均有0),(=y x d 成立,于是y x =成立 2)),(),(y x d x y d =, 因此),()1),,(m in()1),,(m in(),(11y x d y x d x y d x y d === 和),() ,(1) ,(),(1),(),(22y x d y x d y x d x y d x y d x y d =+=+= 3)),(),(),(z y d y x d z x d +≤,因此 }1),,(),(m in{)1),,(m in(),(1z y d y x d z x d z x d +≤= ),(),()1),,(m in()1),,(m in(11z y d y x d z y d y x d +=+≤ 以及设x x x f += 1)(,0)1(1)(2 >+='x x f ,所以)(x f 单增, 所以) ,(),(1),(),(),(1),(),(2z y d y x d z y d y x d z x d z x d z x d +++≤+= ),(),(1) ,(),(),(1),(z y d y x d z y d z y d y x d y x d +++++= ),(),() ,(1) ,(),(1),(22z y d y x d z y d z y d y x d y x d +=+++≤ 综上所述)1,m in(1d d =和d d d += 12均满足度量空间的三条件, 故),(1y x d 和),(2y x d 均使X 成为度量空间。 第五章习题第一部分01-15 1. M 为线性空间X 的子集,证明span( M )是包含M 的最小线性子空 间. [证明] 显然span( M )是X 的线性子空间.设N 是X 的线性子空间,且M N . 则由span( M )的定义,可直接验证span( M ) N . 所以span( M )是包含M 的最小线性子空间. 2. 设B 为线性空间X 的子集,证明 conv(B ) = {∑=n i i i x a 1 | a i 0, ∑=n i i a 1 = 1, x i B , n 为自然数}. [证明] 设A = {∑=n i i i x a 1 | a i 0, ∑=n i i a 1 = 1, x i B , n 为自然数}.首 先容易看出A 为包含B 的凸集,设F 也是包含B 的凸集,则显然有 A F ,故A 为包含B 的最小凸集. 3. 证明[a , b ]上的多项式全体P [a , b ]是无限维线性空间,而E = {1, t , t 2, ..., t n , ...}是它的一个基底. [证明] 首先可以直接证明P [a , b ]按通常的函数加法和数乘构成线性空间, 而P [a , b ]中的任一个元素皆可由E 中有限个元素的线性组合表示. 设c 0, c 1, c 2, ..., c m 是m + 1个实数,其中c m 0,m 1. 若∑=m n n n t c 0 = 0,由代数学基本定理知c 0 = c 1 = c 2 = ... = c m = 0, 所以E 中任意有限个元素线性无关, 故P [a , b ]是无限维线性空间,而E 是它的一个基底。 4. 在 2 中对任意的x = (x 1, x 2) 2,定义|| x ||1 = | x 1 | + | x 2 |,|| x ||2 = (x 12 + x 22)1/2,|| x || = max{ | x 1 |, | x 2 | }.证明它们都是2中的范数,并画出各自单位球的图形. [证明] 证明是直接的,只要逐条验证范数定义中的条件即可.单位球图形略. 5. 设X 为线性赋范空间,L 为它的线性子空间。证明cl(L )也是X 的 线性子空间. [证明] x , y cl(L ),a ,存在L 中的序列{ x n }, { y n } 使得x n x ,y n y . 从而x + y = lim x n + lim y n = lim (x n + y n )cl(L ),a x = a lim x n = lim (a x n ) cl(L ). 所以cl(L )是X 的线性子空间. [注] 这里cl(L )表示子集L 的闭包. 6. 设X 为完备的线性赋范空间,M 为它的闭线性子空间,x 0 M .证 泛函分析题1_3列紧集p19 1.3.1 在完备的度量空间中,求证:为了子集A是列紧的,其充分必要条件是对?ε > 0,存在A的列紧的ε网. 证明:(1) 若子集A是列紧的,由Hausdorff定理, ?ε > 0,存在A的有限ε网N. 而有限集是列紧的,故存在A的列紧的ε网N. (2) 若?ε > 0,存在A的列紧的ε/2网B. 因B列紧,由Hausdorff定理,存在B的有限ε/2网C. 因C ?B ?A,故C为A的有限ε网. 因空间是完备的,再用Hausdorff定理,知A是列紧的. 1.3.2 在度量空间中,求证:紧集上的连续函数必是有界的,并且能达到它的上、下确界. 证明:设(X, ρ)是度量空间,D是紧子集,f : D→ 是连续函数. (1) 若f无上界,则?n∈ +,存在x n∈D,使得f (x n) > 1/n. 因D是紧集,故D是自列紧的. 所以{x n}存在收敛子列x n(k) →x0∈D (k→∞). 由f的连续性,f (x n(k))→f (x0) (k→∞). 但由f (x n) > 1/n知f (x n)→ +∞(n→∞), 所以 f (x n(k))→ +∞ (k→∞),矛盾. 故f有上界.同理,故f有下界. (2) 设M = sup x∈D f(x),则?n∈ +,存在y n∈D,使得f (y n) > M- 1/n. {y n}存在子列y n(k) →y0∈D (k→∞). 因此f ( y0 ) ≥M. 而根据M的定义,又有f ( y0 ) ≤M. 所以f ( y0 ) = M.因此f能达到它的上确界. 同理,f能达到它的下确界. 1.3.3 在度量空间中,求证:完全有界的集合是有界的,并通过考虑l 2的子集E = {e k }k≥ 1,其中e k = { 0, 0, ..., 1, 0, ... } (只是第k个坐标为1,其余都是0 ),来说明一个集合可以是有界的但不完全有界的. 证明:(1) 若A是度量空间(X, ρ)中的完全有界集. 则存在A的有限1-网N = { x0, x1, x2, ..., x n }. 令R = ∑1 ≤j≤nρ(x0, x j) + 1. 则?x∈A,存在某个j使得0 ≤j≤n,且ρ(x, x j) < 1. 因此,ρ(x, x0) ≤ρ(x, x j) + ρ(x j, x0) ≤ 1 + ∑1 ≤j≤nρ(x0, x j) = R. 所以A是度量空间(X, ρ)中的有界集. (2) 注意到ρ(e k , e j) = 21/2 ( ?k ≠ j ), 故E中任意点列都不是Cauchy列. 所以,E中任意点列都没有收敛子列(否则,该收敛子列就是Cauchy列,矛盾). 第七章习题解答 1.设(X ,d )为一度量空间,令}),(,|{),(},),(,|{),(0000εεεε≤∈=<∈=x x d X x x x S x x d X x x x U 问),(0εx U 的闭包是否等于),(0εx S ? 解不一定。例如离散空间(X ,d )。)1,(0x U ={0x },而)1,(0x S =X 。因此当X 多于两点时,)1,(0x U 的闭包不等于)1,(0x S 。 2.设],[b a C ∞ 是区间],[b a 上无限次可微函数的全体,定义 证明],[b a C ∞按),(g f d 成度量空间。 证明(1)若),(g f d =0,则) ()(1)()(max ) () ()()(t g t f t g t f r r r r b t a -+-≤≤=0,即f=g (2))()(1)()(max 21 ),()()()()(0 t g t f t g t f g f d r r r r b t a r r -+-=≤≤∞ =∑ =d (f ,g )+d (g ,h ) 因此],[b a C ∞ 按),(g f d 成度量空间。 3. 设B 是度量空间X 中的闭集,证明必有一列开集 n o o o 21,包含B ,而且B o n n =?∞ =1。 证明令n n n o n n B x d Bo o .2,1},1 ),({ =<==是开集:设n o x ∈0,则存在B x ∈1,使n x x d 1 ),(10< 。设,0),(110>-=x x d n δ则易验证n o x U ?),(0δ,这就证明了n o 是开集 显然B o n n ??∞ =1 。若n n o x ∞ =?∈1则对每一个n ,有B x n ∈使n x x d 1 ),(1< ,因此)(∞?→??→? n x x n 。因B 是闭集,必有B x ∈,所以B o n n =?∞ =1 。 4.设d (x ,y )为空间X 上的距离,证明) ,(1) ,(),(___ y x d y x d y x d += 是X 上的距离。 证明(1)若0),(___ =y x d 则0),(=y x d ,必有x=y (2)因),(),(),(z y d z x d y x d +≤而 t t +1在),[∞o 上是单增函数,于是) ,(),(1) ,(),(),(),(1),(),(___ ___ z y d z x d z y d z x d y x d y x d y x d y x d +++=≤+= 21.试在2([1,1])L -中将函数231,,,,t t t L 进行正交化. 解: 根据Schmidt 正交化过程, 可取 0()1u t =, 01000(,)()()(,) t u u t t u t u u =- 1111 1111t dt t t dt --?=- =??? ; 2 2 2 102101100(,)(,)()()()(,) (,) t u t u u t t u t u t u u u u =- - 112 2 2 111 1 1 1 1111t tdt t dt t t t tdt dt ----??=- -??? ? ? ? 2 13 t =- ; L L 再单位化可得 000()()|||| u t e t u = = = ; 111()()|||| 2 u t e t u = = = ; 2 22221()1()|||| 43t u t e t t u - ? = = = -??? ; L L . 解二: 引入如下形式的Legendre 正交多项式: 2 1,0, ()(1),1,2,. k k k k k u t d t k dt =?? =?-=??L 我们断言{}0()k k u t ∞ =是2 ([1,1])L -中由2 3 1,,,,t t t L 直交 化所得到的直交函数列。 首先我们断言{}0()k k u t ∞ =是直交的. 事实上, 不失一 般性, 可设l k ≥. (i) 如果0k =, 显然有 1 001((),())2u t u t dt -= =?; 而对于1,2,l =L 1 201 ((),())(1)l l l l d u t u t t dt dt -= -? 1 12 1 1 (1) 0l l l d t dt ---= -=. (ii) 对于1k ≥, 根据定积分的分部积分法,可以得到 1 221 ((),())(1)(1)k l k l k l k l d d u t u t t t dt dt dt -= -? -? 1 12 21 1 (1)(1)k l k l k l d d t d t dt dt ---= -?-? 1 1221 1 (1) (1) l k l k l k d d t t dt dt ---=-- 1 1221 1 (1)(1)l k l k l k d d t d t dt dt -----?-? 1 222 222 2 1 (1) (1)(1)l k l k l k d d t t dt dt dt -+-+-=--? -? =L 1 221 (1) (1)(1)k l l l k k l d t t dt dt ++-=--? -? , (*) 当l k =时, 2222(1)(1)(2)!k l k k k k l k d d t t k dt dt ++-= -=, 因此 ((),())((),())k l k k u t u t u t u t = 12 1 (1) (1)(2)!k k t k dt -=--?? 1 20 (1)2(2)!(1)k k k t dt =--? /2 20 2(2)! (1sin )sin k k s d s π=-? /2 21 2(2)! cos k k sds π+=? Hahn - Banach延拓定理及其应用 [论文摘要]本文首先概述Hahn - Banach延拓定理发展的历史、其对泛函分析及微分方程乃至物理学的重要意思,然后介绍了Hahn - Banach延拓定理包括它的推论和推广,最后以例题的形式给出了Hahn - Banach延拓定理的一些应用。 [关键字]Hahn - Banach定理Zorn引理延拓 [Abstract]In this passage,we introduce the history of Hahn-Banach theorem.Then we introduce the Hahn-Banach theorem and the deduction.At the end,we introduce some application of the Hahn-Banach theorem. [Key Word]Hahn-Banach theorem Zorn lemma application 目录 摘要 1目录 2 1 引言 3 1.1 选题背景 3 1.2 本文的主要内容 3 2 Hahn—Banach定理 5 2.1 Hahn—Banach定理的定义 5 2.2 Hahn—Banach定理的推论 6 3 Hahn—Banach定理的推广 13 4 Hahn—Banach定理的应用 43参考文献45 1引言 1.1 选题背景 Banach空间理论是由波兰数学家S.Banach在192O年创立的,数学分析及泛函分析中许多常用的空间都是巴拿赫空间及其推广,它们有许多重要的应用。以Banach空间为基础的Hahn - Banach定理跟共鸣定理及闭图象定理是 泛函分析的三大基本定理。其应用十分广泛, 而且越来越深入地渗透于现代数学的各个领域乃至物理等其它学科。其中Hahn - Banach延拓定理,在泛函分析中扮演着重要的角色。该定理保证了赋范线性空间上具有“足够多”的连续线性泛函,并且还刻划了连续线性泛函的值可以事先被指定的程度,这就使得建立共轭空间具有实质性的意义。而这些理论也是赋范空间一般理论的根本部分。从这个意义上来说,Hahn-Banach定理是关于有界线性算子最重要的定理之一。 Hahn - Banach定理是1923年S.Banach在研究不变测度时,首先提出来的。在1929年S.Banach又得出了定理的一般形式。而Hahn在1927年及Ascoli在1932年也相互独立的得出了一般定理。随后H.F.Bahnenblust与Sobczyk(1938)将其推广到复向量空间上。从几何上看该定理表现成凸集的分离性质,而这个分离性质是研究与凸集有关的Banach空间几何学的基本出发点。由Hahn—Banach定理可以导出一些很有用的结果,如短量定理、最佳逼近的对偶关系和凸集分离定理等等,这些结果在泛函分析理论、远近论、控制论和数学规划中均有重要作用。而且Hahn - Banach延拓定理在偏微分方程及概率论等方面有着广泛的应用,而在确信一般的局部凸线性拓扑空间中非平凡连续线性泛函的存在时也要用到它。 1.2 本文的主要内容 本文拟对Hahn - Banach定理进行一点探讨, 分为三大部分。第一部分首先给出Hahn - Banach延拓定理,然后以推论的形式给出本定理的若干特殊形式。第二部分给出本定理的推广。第三部分则以例题的形式给出Hahn - Banach定理的一些应用。值得注意的是, Hahn-Banach 定理的推广实际上也是Hahn - Banach定理的重要应用。 1 泛函分析与应用-国防科技大学 第 一 章 第 一 节 3.设}{k x 是赋范空间E 中的Cauchy 列,证明}{k x 有界,即∞ 第 七 章 习 题 解 答 1.设(X ,d )为一度量空间,令 }),(,|{),(},),(,|{),(0000εεεε≤∈=<∈=x x d X x x x S x x d X x x x U 问),(0εx U 的闭包是否等于),(0εx S ? 解 不一定。例如离散空间(X ,d )。)1,(0x U ={0x },而)1,(0x S =X 。 因此当X 多于两点时,)1,(0x U 的闭包不等于)1,(0x S 。 (23. n x 1)1<。设δ )∞。因B 4. 设d (x ,y )为空间X 上的距离,证明) ,(1) ,(),(___ y x d y x d y x d += 是X 上的距离。 证明 (1)若0),(___ =y x d 则0),(=y x d ,必有x=y (2)因),(),(),(z y d z x d y x d +≤而 t t +1在),[∞o 上是单增函数,于是) ,(),(1) ,(),(),(),(1),(),(___ ___ z y d z x d z y d z x d y x d y x d y x d y x d +++=≤+= = ) ,(),(1) ,(),(),(1),(z y d z x d z y d z y d z x d z x d +++++ ) ,(1),(),(1),(z y d z y d z x d z x d +++≤=),(),(___ __z y d z x d +。 5. 证明点列{n f }按习题2中距离收敛与],[b a C f ∞ ∈的充要条件为n f 的各阶导数在 [a ,b]上一致收敛于f 的各阶导数。 证明 若{n f }按习题2中距离收敛与],[b a C f ∞ ∈,即 t a ≤ ∑∞ +=o r r 即d A={f|当t 上)(t f n 一致收敛于f (t )。设B t ∈,则0)(lim )(==∞ >-t f t f n n ,所以f ∈E ,这就证明了E 为闭集 充分性。当B 是闭集时,设f ∈A 。因f 在B 上连续而B 是有界闭集,必有B t ∈0,使 )(max )(0t f t f B t ∈=。设 0)(0>=-δt f a 。我们证明必有A f U ?),(δ。设),(δf U g ∈,则若B t ∈, 必有δ<-)()(t g t f ,于是a t f t f t g t f t g =+<+-≤)(||)(|)()(|)(|0δ,所以A g ∈,这样就证明了A 是开集 必要性。设A 是开集,要证明B 是闭集,只要证明对任意.....2,1,=∈n B t n 若0t t n >-)(∞?→? n , 精 品 资 料 第五章习题第一部分01-15 1. M 为线性空间X 的子集,证明span( M )是包含M 的最小线性子空间. [证明] 显然span( M )是X 的线性子空间.设N 是X 的线性子空间,且M ? N . 则由span( M )的定义,可直接验证span( M ) ? N . 所以span( M )是包含M 的最小线性子空间. 2. 设B 为线性空间X 的子集,证明 conv(B ) = {∑=n i i i x a 1| a i ≥ 0, ∑=n i i a 1 = 1, x i ∈B , n 为自然数}. [证明] 设A = {∑=n i i i x a 1 | a i ≥ 0, ∑=n i i a 1 = 1, x i ∈B , n 为自然数}.首先容易看出A 为 包含B 的凸集,设F 也是包含B 的凸集,则显然有A ? F ,故A 为包含B 的最小凸集. 3. 证明[a , b ]上的多项式全体P [a , b ]是无限维线性空间,而E = {1, t , t 2, ..., t n , ...}是它的一个基底. [证明] 首先可以直接证明P [a , b ]按通常的函数加法和数乘构成线性空间, 而P [a , b ]中的任一个元素皆可由E 中有限个元素的线性组合表示. 设c 0, c 1, c 2, ..., c m 是m + 1个实数,其中c m ≠ 0,m ≥ 1. 若∑=m n n n t c 0= 0,由代数学基本定理知c 0 = c 1 = c 2 = ... = c m = 0, 所以E 中任意有限个元素线性无关, 故P [a , b ]是无限维线性空间,而E 是它的一个基底。 4. 在 2 中对任意的x = (x 1, x 2)∈ 2 ,定义|| x ||1 = | x 1 | + | x 2 |,|| x ||2 = (x 12 + x 22)1/2, || x ||∞ = max{ | x 1 |, | x 2 | }.证明它们都是2中的范数,并画出各自单位球的 图形. [证明] 证明是直接的,只要逐条验证范数定义中的条件即可.单位球图形略. 5. 设X 为线性赋范空间,L 为它的线性子空间。证明cl(L )也是X 的线性子空间. [证明] ?x , y ∈cl(L ),?a ∈,存在L 中的序列{ x n }, { y n }使得x n x ,y n y . 从而x + y = lim x n + lim y n = lim (x n + y n )∈cl(L ),a x = a lim x n = lim (a x n ) ∈cl(L ). 所以cl(L )是X 的线性子空间. [注] 这里cl(L )表示子集L 的闭包. 6. 设X 为完备的线性赋范空间,M 为它的闭线性子空间,x 0? M .证明: L = { a x 0 + y | y ∈M , a ∈}也是X 的闭线性子空间. [证明] 若a , b ∈,y , z ∈ M 使得a x 0 + y = b x 0 + z ,泛函分析答案
博士生入学考试泛函分析考试大纲
泛函分析答案
各科书的下载地址
泛函分析习题解答
大学几乎所有学科的课本答案
2002年北京国际数学家大会
最新泛函分析考试题集与答案
泛函分析答案泛函分析解答(张恭庆)
泛函分析答案
泛函分析第七章 习题解答125
泛函分析 曹广福版答案
Banach延拓定理及其应用(精)
应用泛函分析习题解答
泛函分析习题解答
泛函分析答案泛函分析解答(张恭庆).doc