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(完整版)曲线积分与曲面积分(解题方法归纳)

第十一章解题方法归纳

一、曲线积分与曲面积分的计算方法

1.曲线积分与曲面积分的计算方法归纳如下：

(1) 利用性质计算曲线积分和曲面积分.

(2) 直接化为定积分或二重积分计算曲线或曲面积分 (3) 利用积分与路径无关计算对坐标的曲线积分. (4) 利用格林公式计算平面闭曲线上的曲线积分. (5) 利用斯托克斯公式计算空间闭曲线上的曲线积分. (6) 利用高斯公式计算闭曲面上的曲面积分. 2. 在具体计算时，常用到如下一些结论：（1）若积分曲线L 关于y 轴对称，则

(,)2(,)L

L f x f x y ds f x y ds f x ??=?

???

?对为奇函数对为偶函数 10 (,)2(,)L L P x P x y dx P x y dy P x ??=?????对为奇函数

对为偶函数

0 (,)2(,)L L Q x Q x y dy Q x y dy Q x ??=?????对为偶函数

对为奇函数

其中1L 是L 在右半平面部分.

若积分曲线L 关于x 轴对称，则

(,)2(,)L

L f y f x y ds f x y ds f y ??=?

???

?对为奇函数对为偶函数 1

0 (,)2(,)L L P y P x y dx P x y dy P y ??=?????对为偶函数

对为奇函数

0 (,)2(,)L L Q y Q x y dy Q x y dy Q y ??=?????对为奇函数

对为偶函数

其中1L 是L 在上半平面部分.

（2）若空间积分曲线L 关于平面=y x 对称，则

()()=?

f x ds f y ds .

（3）若积分曲面∑关于xOy 面对称，则

0 (,,)2(,,)f z f x y z dS R x y z dS f z ∑

∑??

=?????

??对为奇函数对为偶函数

0 (,,)2(,,)R z R x y z dxdy R x y z dxdy R z ∑∑??

=???????对为偶函数对为奇函数其中1∑是∑在xOy 面上方部分.

若积分曲面∑关于yOz 面对称，则

0 (,,)2(,,)f x f x y z dS R x y z dS f x ∑

∑??

=?????

??对为奇函数

对为偶函数

0 (,,)2(,,)P x P x y z dydz P x y z dydz P x ∑∑??

=???????对为偶函数对为奇函数其中1∑是∑在yOz 面前方部分.

若积分曲面∑关于zOx 面对称，则

0 (,,)2(,,)f y f x y z dS R x y z dS f y ∑

∑??

=?????

??对为奇函数

对为偶函数

0 (,,)2(,,)Q y Q x y z dzdx Q x y z dzdx Q y ∑∑??

=???????对为偶函数对为奇函数其中1∑是∑在zOx 面右方部分.

（4）若曲线弧()

:()()

αβ=?≤≤?=?x x t L t y y t ，则

[

(,)(),()()β

αβ=

f x y ds f x t y t

若曲线弧:()()θαθβ=≤≤L r r （极坐标），则

[

(,)()cos ,()sin β

θθθθθ=?

f x y ds f r r

若空间曲线弧()

:()()()αβ=??

Γ=≤≤??=?

x x t y y t t z z t ，则

[

(,,)(),(),()()β

αβΓ

?f x y z ds f x t y t z t

（5）若有向曲线弧()

:(:)()αβ=?→?=?

x x t L t y y t ，则

[][]{}(,)(,)(),()()(),()()β

''+=+?

P x y dx Q x y dy P x t y t x t Q x t y t y t dt

若空间有向曲线弧():()(:)()αβ=??

Γ=→??=?

x x t y y t t z z t ，则

(,,)(,,)(,,)Γ

++?

P x y z dx Q x y z dy R x y z dz

[][][]{}(),(),()()(),(),()()(),(),()()β

'''=++?

P x t y t z t x t Q x t y t z t y t R x t y t z t z t dt

（6）若曲面:(,)((,))xy z z x y x y D ∑=∈，则

[

(,,),,(,)xy

D f x y z dS f x y z x y ∑

=??

其中xy D 为曲面∑在xOy 面上的投影域.

若曲面:(,)((,))yz x x y z y z D ∑=∈，则

[

(,,)(,),,yz

D f x y z dS f x y z y z ∑

=????

其中yz D 为曲面∑在yOz 面上的投影域.

若曲面:(,)((,))zx y y x z x z D ∑=∈，则

[

(,,),(,),zx

D f x y z dS f x y x z z ∑

=????

其中zx D 为曲面∑在zOx 面上的投影域.

（7）若有向曲面:(,)z z x y ∑=，则

(,,)[,,(,)]xy

D R x y z dxdy R x y z x y dxdy ∑

=±????（上“+”下“-”

）其中xy D 为∑在xOy 面上的投影区域.

若有向曲面:(,)x x y z ∑=，则

(,,)[(,),,]yz

D P x y z dydz P x y z y z dydz ∑

=±????（前“+”后“-”

）其中yz D 为∑在yOz 面上的投影区域.

若有向曲面:(,)y y x z ∑=，则

(,,)[,(,),]zx

D Q x y z dzdx Q x y x z z dzdx ∑

=±????（右“+”左“-”

）其中zx D 为∑在zOx 面上的投影区域.

（8）d d +?L

P x Q y 与路径无关d d 0?+=??c

P x Q y （c 为D 内任一闭曲线）

(,)?=+du x y Pdx Qdy （存在(,)u x y ） ???

=??P Q

y x

其中D 是单连通区域，(,),(,)P x y Q x y 在D 内有一阶连续偏导数.

（9）格林公式

(,)(,)??

??+=- ????

?????L D Q P P x y dx Q x y dy dxdy x y 其中L 为有界闭区域D 的边界曲线的正向，(,),(,)P x y Q x y 在D 上具有一阶连续偏导数.

（10）高斯公式

(,,)(,,)(,,)P Q R P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy dv x y z ∑Ω??

???++=++ ???????????ò 或

(cos cos cos )P Q R P Q R dS dv x y z αβγ∑Ω??

???++=++ ?????

??????ò 其中∑为空间有界闭区域Ω的边界曲面的外侧，(,,),(,,),(,,)P x y z Q x y z R x y z 在

Ω上具有一阶连续偏导数，cos ,cos ,cos αβγ为曲面∑在点(,,)x y z 处的法向量的方向余弦.

（11）斯托克斯公式

dydz dzdx dxdy Pdx Qdy Rdz x y z P

∑

++=??????

? 其中Γ为曲面∑的边界曲线，且Γ的方向与∑的侧（法向量的指向）符合右手螺旋法则，,,P Q R 在包含∑在内的空间区域内有一阶连续偏导数.

1. 计算曲线积分或曲面积分的步骤：

（1）计算曲线积分的步骤：

1）判定所求曲线积分的类型（对弧长的曲线积分或对坐标的曲线积分）； 2）对弧长的曲线积分，一般将其化为定积分直接计算；

对坐标的曲线积分：

① 判断积分是否与路径无关，若积分与路径无关，重新选取特殊路径积分； ② 判断是否满足或添加辅助线后满足格林公式的条件，若满足条件，利用格林公式计算（添加的辅助线要减掉）；

③ 将其化为定积分直接计算.

④ 对空间曲线上的曲线积分，判断是否满足斯托克斯公式的条件，若满足条件，利用斯托克斯公式计算；若不满足，将其化为定积分直接计算.

（2）计算曲面积分的步骤：

1）判定所求曲线积分的类型（对面积的曲面积分或对坐标的曲面积分）； 2）对面积的曲面积分，一般将其化为二重积分直接计算；

对坐标的曲面积分：

① 判断是否满足或添加辅助面后满足高斯公式的条件，若满足条件，利用高斯公式计算（添加的辅助面要减掉）；

② 将其投影到相应的坐标面上，化为二重积分直接计算. 例1 计算曲线积分2

+=++?L

dx dy

I x y x

，其中L 为1+=x y 取逆时针方向. 解 22

22111++===++++++?

???L

L L L dx dy dx dy dx dy

I x y x x x x 由于积分曲线L 关于x 轴、y 轴均对称，被积函数2

1==+P Q x

对x 、y 均为偶函数，因此

220,

011==++??L L dx

x x

故 2

0+==++?

dx dy

I x y x

『方法技巧』对坐标的曲线积分的对称性与对弧长的曲线积分对称性不同，记清楚后再使用.事实上，本题还可应用格林公式计算.

例 2 计算曲面积分2()∑

=+++??I ax by cz n dS ，其中∑为球面

2222++=x y z R .

解 2()∑

=+++??I ax by cz n dS

2222222(222222)∑

=+++++++++??a x b y c z n abxy acxz bcyz anx bny cnz dS

由积分曲面的对称性及被积函数的奇偶性知

0∑

∑

======????????????xydS xzdS yzdS xdS ydS zdS

又由轮换对称性知

222∑

∑

==??????x dS y dS z dS 故 2222222∑

∑

=+++????????I a x dS b y dS c z dS n dS

22222()∑

∑

=+++????a b c x dS n dS

222

2222()43

π∑

++=

+++??a b c x

y z dS R n

2222

2222222244[()]33ππ∑

++=+=+++??a b c R R dS R n R a b c n

『方法技巧』对面积的曲面积分的对称性与对坐标的曲面积分的对称性不同，理解起来更容易些.若碰到积分曲面是对称曲面，做题时可先考虑一下对称性.

例3 计算曲面积分222

()∑

++??

òx y z dS ，其中∑为球面2222++=x y z ax . 解 222

()22()2∑

∑

++==-+??

??????乙乙x y z dS axdS a x a dS a dS 2224

02248ππ∑

=+==??

g òa dS a a a 『方法技巧』积分曲面∑是关于0-=x a 对称的，被积函数-x a 是-x a 的奇函数，因此()0∑

-=??òx a dS

例4

计算曲线积分22?

L 为圆周222(0)+=>x y a a 的逆

时针方向.

解法1 直接计算. 将积分曲线L 表示为参数方程形式

cos :(:02)sin θθπθ

=?→?

=?x a L y a

代入被积函数中得

2223

220

[cos sin cos cos sin (sin )]π

θθθθθθθ=--?

223223220

2sin cos 2sin (1sin )ππ

θθθθθθ==-??a d a d

24332

1311

8(sin sin )8224222

ππθθθπ??=-=-= ????

g g g a

d a a

解法2 利用格林公式

2222221

()=

??L

xy dy x ydx x y dxdy a

a 其中222:+≤D x y a ，故

222230011

πθρρρπ==?

??g a d d a a

『方法技巧』本题解法1用到了定积分的积分公式：

sin 13312

422

θθπ--???-=?--??-??g g L g g g L g g g n n n n n n d n n n n n 为奇数为偶数

解法2中，一定要先将积分曲线222+=x y a 代入被积函数的分母中，才能应用格林公式，否则不满足,P Q 在D 内有一阶连续偏导数的条件.

例5 计算曲线积分22()()+--+?

L x y dx x y dy

x y

，其中L 为沿cos π=y x 由点 (,)ππ-A 到点(,)ππ--B 的曲线弧.

解直接计算比较困难.

由于 2222

,+-+==++x y x y

P Q x y x y

，222222()?--?==?+?P x y xy Q y x y x 因此在不包含原点(0,0)O 的单连通区域内，积分与路径无关.

取圆周2222π+=x y 上从(,)ππ-A 到点(,)ππ--B 的弧段'L 代替原弧段L ，

其参数方程为：cos 5:(:)4

sin θπ

θθ

?=?'-

→

?=??x L y ，代入被积函数中得 222

()()1

()()2π'

+--=+--+??

L x y dx x y dy x y dx x y dy x y

544

[(cos sin )(sin )(cos sin )cos ]π

πθθθθθθθ-=

+---?d

2ππθπ-=-=-?d

『方法技巧』本题的关键是选取积分弧段'L ，既要保证'L 简单，又要保证不经过坐标原点.

例6 计算曲面积分∑

++??xdydz ydzdx zdxdy ，其中∑

1=的法

向量与各坐标轴正向夹锐角的侧面.

解由于曲面∑具有轮换对称性，∑

∑

==??????xdydz ydzdx zdxdy ，∑投影到

xOy

面的区域{

}

(,)

1=≤xy D x y ，故

33(1∑

∑

++==??????xdydz ydzdx zdxdy zdxdy dxdy

(12

3(13(1==????

D dxdy dx

dy 1

1(12=?dx

1(1)30

--=

?t t dt 『方法技巧』由于积分曲面∑具有轮换对称性，因此可以将,dydz dzdx 直接转换为dxdy ，∑只要投影到xOy 面即可.

例7 计算曲面积分222()()()∑

-+-+-??x y dydz y z dzdx z x dxdy ，其中∑为锥

面222=+z x y 在0≤≤z h 部分的上侧.

解利用高斯公式. 添加辅助面2221:()∑=+≤z h x y h ，取下侧，则

222

()()()∑

-+-+-??x y dydz y z dzdx z x dxdy 1

222()()()∑+∑=

-+-+-??

x y dydz y z dzdx z x dxdy

222()()()∑--+-+-??x y dydz y z dzdx z x dxdy

23()Ω

∑=---?????dxdydz h x dxdy 23()Ω

=-+-?????xy

D dxdydz h x dxdy

其中Ω为∑和1∑围成的空间圆锥区域，xy D 为∑投影到xOy 面的区域，即

{}222(,)=+≤xy D x y x y h ，由xy D 的轮换对称性，有

222

1()2=

+????xy

D D x dxdy x y dxdy 故

2()()()∑

-+-+-??x y dydz y z

dzdx z x dxdy

22211

3()32π=-+-+????g g xy

D D h h h dxdy x y dxdy

340011

πππθρρπ=-+-=-??g h h h h d d h

『方法技巧』添加辅助面时，既要满足封闭性，又要满足对侧的要求.本题由于积分锥面取上侧（内侧），因此添加的平面要取下侧，这样才能保证封闭曲面取内侧，使用高斯公式转化为三重积分时，前面要添加负号.

例8 计算曲线积分()()()-+-+-??L z y dx x z dy x y dz ，其中221

:2?+=?

-+=?x y L x y z 从z 轴的正向往负向看，L 的方向是顺时针方向.

解应用斯托克斯公式计算. 令22:2(1)∑-+=+≤x y z x y 取下侧，∑在xOy 面的投影区域为{}22(,)1=+≤xy D x y x y ，则

()()()∑

-+-+-=???---???

dydz

dzdx dxdy z y dx x z dy x y dz x y z z y

x z

x y

222π∑

==-=-????xy

D dxdy dxdy

『方法技巧』本题用斯托克斯公式计算比直接写出曲线L 的参数方程代入要简单，所有应用斯托克斯公式的题目，曲面∑的选取都是关键，∑既要简单，又要满足斯托克斯的条件，需要大家多加练习.

二、曲线积分与曲面积分的物理应用

1.曲线积分与曲面积分的物理应用归纳如下： (1) 曲线或曲面形物体的质量. (2) 曲线或曲面的质心（形心）. (3) 曲线或曲面的转动惯量. (4) 变力沿曲线所作的功. (5) 矢量场沿有向曲面的通量. (6) 散度和旋度.

2. 在具体计算时，常用到如下一些结论：（1）平面曲线形物体 (,)ρ=?L

M x y ds

空间曲线形物体 (,,)ρ=?L

M x y z ds

曲面形构件 (,,)ρ∑

=??M x y z dS

（2）质心坐标

平面曲线形物体的质心坐标： (,)(,),

(,)(,)ρρρρ=

????L L L

x x y ds y x y ds x y x y ds

x y ds

空间曲线形物体的质心坐标：

(,,)(,,)(,,),

(,)(,)(,)ρρρρρρ=

????

x x y z ds

y x y z ds

z x y z ds

x y z x y ds

x y ds

曲面形物体的质心坐标：

(,,)(,,)(,,),,(,,)(,,)(,,)ρρρρρρ∑

∑

????????????x x y z dS

y x y z dS

z x y z dS

x y z x y z dS

x y z dS

当密度均匀时，质心也称为形心.

（3）转动惯量

平面曲线形物体的转动惯量：22(,),(,)ρρ==??x y L

I y x y ds I x x y ds

空间曲线形物体的转动惯量：

2222()(,,),()(,,)ρρ=+=+??x y L

I y z x y z ds I z x x y z ds

22()(,,)ρ=+?z L

I x y x y z ds

曲面形物体的转动惯量：

2222()(,,),()(,,)ρρ∑

∑

=+=+????x y I y z x y z dS I z x x y z dS

22()(,,)ρ∑

=+??z I x y x y z dS

其中(,)ρx y 和(,,)ρx y z 分别为平面物体的密度和空间物体的密度.

（4）变力沿曲线所作的功

平面上质点在力F (,)=P x y i +(,)Q x y j 作用下，沿有向曲线弧L 从A 点运动到B 点，F 所做的功

?(,)(,)=+?AB

W P x y dx Q x y dy

空间质点在力F (,,)=P x y z i +(,,)Q x y z j +(,,)R x y z k 作用下，沿有向曲线弧L 从A 点运动到B 点，F 所做的功

?(,,)(,,)(,,)=++?AB

W P x y z dx Q x y z dy R x y z dz

（2）矢量场沿有向曲面的通量

矢量场A (,,)=P x y z i +(,,)Q x y z j +(,,)R x y z k 通过有向曲面∑指定侧的通量

(,,)(,,)(,,)∑

Φ=++??P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy

（3）散度和旋度

矢量场A (,,)=P x y z i +(,,)Q x y z j +(,,)R x y z k 的散度

div A ???=

++???P Q R x y z

矢量场A (,,)=P x y z i +(,,)Q x y z j +(,,)R x y z k 的旋度

rot A (

)??=-??R Q y z i ()??+-??P R z x

j +()??-??Q P x y k x y z P

???=??? 1. 曲线积分或曲面积分应用题的计算步骤：

j k

（1）根据所求物理量，代入相应的公式中；（2）计算曲线积分或曲面积分.

例9 设质点在场力F {}2,=

-k y x r 的作用下，沿曲线π:cos 2=L y x 由(0,)2

A 移动到(,0)2

B ，求场力所做的功.

（其中=r k

解积分曲线L 如图11.7所示. 场力所做的功为

?(,)(,)=+?AB

W P x y dx Q x y dy ?

22=-?AB y x

k dx dy r r

令22,==-y x P Q r r ，则2222

4()(?-?==

+≠??P k x y Q

x y y r x

即在不含原点的单连通区域内，积分与路径无关. 另取由A 到B 的路径：

1πππ

:cos ,sin (:0)222

θθθ=

=→L x y 1022222

π(sin cos )d 2πθθθ=-=-+=?

?L y x W k dx dy k k r r 『方法技巧』本题的关键是另取路径1L ，一般而言，最简单的路径为折线路径，比如U AO OB ，但不可以选取此路径，因为,P Q 在原点处不连续. 换句话说，所取路径不能经过坐标原点，当然路径1L 的取法不是唯一的.

例10 设密度为1的流体的流速v 2=xz i sin +x k ，曲面∑是由曲线

(12)0

??=≤≤?

=??y z x 饶z 轴旋转而成的旋转曲面，其法向量与z 轴正向的夹角为锐角，求单位时间内流体流向曲面∑正侧的流量Q .

解旋转曲面为222:1(12)∑+-=≤≤x y z z ，令1∑为平面1=z 在∑内的部分取上侧，2∑为平面2=z 在∑内的部分取下侧，则12∑+∑+∑为封闭曲面的内侧，故

(,,)(,,)(,,)∑

=++??Q P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy

2sin ∑

=+??xz dydz xdxdy

222sin sin sin ∑+∑+∑∑∑=

+-+-+??????xz dydz xdxdy xz dydz xdxdy xz dydz xdxdy

2sin sin Ω∑∑=---???????z dxdydz xdxdy xdxdy

222

22222

sin sin +≤++≤+≤=--

???

x y z x y x y z dz

dxdy xdxdy xdxdy

221

128

(1)0015

ππ=-+-+=-

?z z dz 『方法技巧』本题的关键是写出旋转曲面∑的方程，其次考虑封闭曲面的侧，以便应用高斯公式，最后用截痕法计算三重积分，用对称性计算二重积分.

曲线积分和曲面积分

定积分、二重积分、三重积分、曲线和曲面积分统称为黎曼积分，是高等数学研究的热点。定义了定积分、二重积分、三重积分、曲线积分和曲面积分的划分、逼近、求和、极值等概念。最后，将它们简化为特定结构和公式的限制。定义可以用统一的形式给出：从上述积分的概念形式和计算方法来看，定积分的积分区域是线性的，二重积分的区域是平坦的，三重积分的区域是主体。上述三种积分的概念、性质和计算方法是相似的，在逼近过程中，得到的点是积分曲线或积分曲面上满足曲线或曲面方程的点。因此，曲线和曲面积分转化为定积分或二重积分的方法可以用来计算曲线和曲面积分。曲面积分的形式如下： \begin{equation*}\int{S}\stackrel→{F}·d\overArrowRow{a}\end{equation*} 这意味着在向量场中，我们需要对向量场中的曲面s进行积分，D/stacklel→{a}表示曲面上任何一点垂直于Δs方向的方向向量（Δs代表微分曲面上的任何点），即它只代表一个方向。二者之间的数学关系是点乘，点乘的结果是矢量在垂直于Δs方向（即右箭头

{a}）上任何一点的分量向量。最后，利用{f}·D{a}对整个曲面进行积分，即不断增加曲面上每个点的点乘结果。求某向量场中曲面s上垂直于Δs方向的所有子向量之和。换句话说，曲面积分表示向量场{f}与曲面s相交的程度，因此，它也被生动地称为通量。在这里，我们可以说明为什么麦克斯韦方程组的积分形式的二重积分也被称为电通量和磁通量。根据点乘的几何定义，由于{f}与{a}D/stacklel→{a}之间存在点积 \超右箭头{a}·\overarrowRow{b}=|\overarrow{a}| | \\ overArrowRow{b}| cos\theta\qquad（0≤\theta≤\pi）如果stacklel→{f}与s平行，则所有向量的方向垂直于{overarrowRow}的{a}，则cos ＜theta=cos（＜pi/2）=0，其中点积为0，表面积为0。

曲线积分与曲面积分(解题方法归纳)

第十一章解题方法归纳一、曲线积分与曲面积分的计算方法 1.曲线积分与曲面积分的计算方法归纳如下： (1) 利用性质计算曲线积分和曲面积分. (2) 直接化为定积分或二重积分计算曲线或曲面积分 (3) 利用积分与路径无关计算对坐标的曲线积分. (4) 利用格林公式计算平面闭曲线上的曲线积分. (5) 利用斯托克斯公式计算空间闭曲线上的曲线积分. (6) 利用高斯公式计算闭曲面上的曲面积分. 2. 在具体计算时，常用到如下一些结论：（1）若积分曲线L 关于y 轴对称，则 1 (,)2(,)L L f x f x y ds f x y ds f x ??=? ??? ?对为奇函数对为偶函数 1 0 (,)2(,)L L P x P x y dx P x y dy P x ??=?????对为奇函数对为偶函数 1 0 (,)2(,)L L Q x Q x y dy Q x y dy Q x ??=?????对为偶函数对为奇函数其中1L 是L 在右半平面部分. 若积分曲线L 关于x 轴对称，则 1 (,)2(,)L L f y f x y ds f x y ds f y ??=? ??? ?对为奇函数对为偶函数 1 0 (,)2(,)L L P y P x y dx P x y dy P y ??=?????对为偶函数对为奇函数 1 0 (,)2(,)L L Q y Q x y dy Q x y dy Q y ??=?????对为奇函数对为偶函数其中1L 是L 在上半平面部分.

（2）若空间积分曲线L 关于平面=y x 对称，则 ()()=??L L f x ds f y ds . （3）若积分曲面∑关于xOy 面对称，则 1 0 (,,)2(,,)f z f x y z dS R x y z dS f z ∑ ∑?? =????? ??对为奇函数对为偶函数 1 0 (,,)2(,,)R z R x y z dxdy R x y z dxdy R z ∑∑?? =???????对为偶函数对为奇函数其中1∑是∑在xOy 面上方部分. 若积分曲面∑关于yOz 面对称，则 1 0 (,,)2(,,)f x f x y z dS R x y z dS f x ∑ ∑?? =????? ??对为奇函数对为偶函数 1 0 (,,)2(,,)P x P x y z dydz P x y z dydz P x ∑∑?? =???????对为偶函数对为奇函数其中1∑是∑在yOz 面前方部分. 若积分曲面∑关于zOx 面对称，则 1 0 (,,)2(,,)f y f x y z dS R x y z dS f y ∑ ∑?? =????? ??对为奇函数对为偶函数 1 0 (,,)2(,,)Q y Q x y z dzdx Q x y z dzdx Q y ∑∑?? =???????对为偶函数对为奇函数其中1∑是∑在zOx 面右方部分. （4）若曲线弧() :()()αβ=?≤≤?=? x x t L t y y t ，则 [ (,)(),()()β α αβ=

曲线积分和曲面积分

定积分，二重积分，三重积分，曲线和曲面积分统称为黎曼积分，这是高等数学研究的重点。定积分，二重积分，三重积分，曲线和曲面积分的定义均被划分，近似，求和和极值。最后，它们被减小到特定结构和公式的极限值。该定义可以统一形式给出：

从以上积分的概念形式和计算方法来看，定积分的积分区域是线性的，二重积分的区域是平面的，三重积分的区域是主体的。以上三个积分的概念，性质和计算方法相似；在逼近过程中，获取的点是积分曲线或积分曲面上满足曲线或曲面方程的点。因此，可以使用将曲线和曲面积分转换为定积分或双积分的方法来计算曲线和曲面积分。表面积分的形式如下： \ begin {equation *} \ int_ {S} \ stackrel→{F}·d \ overarrowarrow {a} \ end {equation *}这意味着在向量场中，我们需要在向量场中对表面s进行积分，并且D / stacklel→{a}表示垂直于表面上任意点上Δs方向的方向向量（Δs表示微分曲面上的任意一点），也就是说，它仅代表一个方向。两者之间的数学关系是点相乘，点相乘的结果是向量在垂直于Δs的方向（即，由右箭头{a}指向的方向）上的任意点处的向量的分量向量。）。最后，通过使用{f}·D {a}进行整个表面的积分，即连续增加表面上每个点的点相乘结果。求出一定矢量场中表面s上垂直于Δs方向的所有子矢量的总和。

换句话说，表面积分表示矢量场{f}与表面s相交的程度。因此，它也生动地称为通量。在这里，我们可以关联为什么麦克斯韦方程组的积分形式的双积分也称为电通量和磁通量。然后，由于在{f}和{a} D / stacklel→{a}之间存在一个点积，根据点乘法的几何定义\ overrightarrow {a}·\ overarrowarrow {b} = | \ overarrowarrow {a} || \\ overarrowarrow {b} | cos \ theta \ qquad（0≤\theta≤\ pi）如果stacklel→{f}平行于s，则所有向量的方向均垂直于{overarrowarrow}的{a}，则cos ﹤theta = cos（﹤pi / 2）= 0，其中点积为0 ，表面积分为0。

第十一章曲线积分与曲面积分经典例题

第十一章曲线积分与曲面积分内容要点一、引例设有一曲线形构件所占的位置是xOy 面内的一段曲线L （图10-1-1），它的质量分布不均匀，其线密度为),(y x ρ，试求该构件的质量. 二、第一类曲线积分的定义与性质性质1 设α，β为常数，则 ???+=+L L L ds y x g ds y x f ds y x g y x f ),(),()],(),([βαβα；性质2设L 由1L 和2L 两段光滑曲线组成(记为=L 21L L +)，则 .),(),(),(2 1 2 1 ???+=+L L L L ds y x f ds y x f ds y x f 注：若曲线L 可分成有限段，而且每一段都是光滑的，我们就称L 是分段光滑的，在以后的讨论中总假定L 是光滑的或分段光滑的. 性质3 设在L 有),(),(y x g y x f ≤，则 ds y x g ds y x f L L ??≤),(),( 性质4（中值定理）设函数),(y x f 在光滑曲线L 上连续，则在L 上必存在一点),(ηξ，使 s f ds y x f L ?=?),(),(ηξ 其中s 是曲线L 的长度. 三、第一类曲线积分的计算：)(), (),(βα≤≤?? ?==t t y y t x x dt t y t x t y t x f ds y x f L )()(])(),([),(22'+'=??β α 如果曲线L 的方程为 b x a x y y ≤≤=),(，则 dx x y x y x f ds y x f b a L )(1])(,[),(2'+=?? 如果曲线L 的方程为 d y c y x x ≤≤=),(，则 dy y x y y x f ds y x f d c L )(1]),([),(2'+=?? 如果曲线L 的方程为 βθαθ≤≤=),(r r ，则 θθθθθβ α d r r r r f ds y x f L )()()sin ,cos (),(22'+=??

曲线积分与曲面积分

第十章曲线积分与曲面积分一、基本内容要求 1．理解线、面积分的概念，了解线、面积分的几何意义及物理意义，能用线、面积分表达一些几何量和物理量； 2．掌握线、面积分的计算法； 3．知道两类曲线积分及两类曲面积分的联系； 4．掌握格林公式，并能将沿闭曲线正向的积分化为该曲线所围闭区域上的二重积分； 5．掌握曲线积分与路径无关的充要条件，并能求全微分为已知的某个原函数，注意此时所讨论问题单连通域的条件不可缺少； 6．掌握高斯公式，并能将闭曲面Σ外侧上的一个曲面积分化为由其所围空间闭区间Ω上的三重积分。二、选择 1．设OM 是从O （0，0）到点M （1，1）的直线段，则与曲线积分I=ds e om y x ? +2 2不相等的积分是：（） A)dx e x 21 2? B) dy e y 21 02? C) dt e t ? 2 D) dr e r 21 ? 2．设L 是从点O(0,0)沿折线y=1-|x-1| 至点A(2,0) 的折线段，则曲线积分I= ? +-L xdy ydx 等于（） A)0 B)-1 C)2 D)-2 3．设L 为下半圆周)0(222≤=+y R y x ，将曲线积分I= ds y x L ? +)2(化为定

积分的正确结果是：（） A) dt t t R )sin 2(cos 0 2+? -π B) dt t t R )sin 2(cos 0 2 +?π C) dt t t R )cos 2sin (0 2+-?- π D) dt t t R )cos 2sin (232 2+-?π π 4．设L 是以A(-1,0) ,B(-3,2) ,C(3,0) 为顶点的三角形域的周界沿ABCA 方向，则 ? -+-L dy y x dx y x )2()3(等于：（） A) -8 B) 0 C) 8 D) 20 5．设AEB 是由点A(-1,0) 沿上半圆 21x y -=经点E(0,1)到点B(1,0)，则曲线积分I= dx y AEB ? 3等于：（） A) 0 B)dx y BE ? 32 C) dx y EB ? 32 D) dx y EA ? 32 三、填空 1．γβαcos ,cos ,cos 是光滑闭曲面Σ的外法向量的方向余弦，又Σ所围的空间闭区域为Ω；设函数P(x,y,z),Q(x,y,z)和R(x,y,z)在Ω上具有二阶连续偏导数，则由高斯公式，有 ds y P x Q x R z P z Q y R ]cos )(cos )(cos )[( γβα??-??+??-??+??-???? ∑ = 。 2．设L 是xoy 平面上沿顺时针方向绕行的简单闭曲线，且

曲线积分曲面积分总结

第十三章曲线积分与曲面积分定积分和重积分是讨论定义在直线段、平面图形或者空间区域上函数的积分问题．但在实际问题中，这些还不够用，例如当我们研究受力质点作曲线运动时所作的功以及通过某曲面流体的流量等问题时，还要用到积分区域是平面上或空间中的一条曲线，或者空间中的一张曲面的积分，这就是这一章要讲的曲线积分和曲面积分. 第一节对弧长的曲线积分一、对弧长的曲线积分的概念与性质在设计曲线构件时，常常要计算他们的质量，如果构件的线密度为常量，那么这构件的质量就等于它的线密度与长度的乘积. 由于构件上各点处的粗细程度设计得不完全一样, 因此, 可以认为这构件的线密度(单位长度的质量)是变量, 这样构件的质量就不能直接按下面它的线密度与长度的乘积来计算. 下面考虑如何计算这构件的质量. 设想构件为一条曲线状的物体在平面上的曲线方程为()x f y =，[]b a x ,∈，其上每一点的密度为()y x ,ρ．如图13-1我们可以将物体分为n 段，分点为 n M M M ,...,,21, 每一小弧段的长度分别是12,,...,n s s s ???．取其中的一小段弧i i M M 1-来分析．在线密度连续变化的情况下, 只要这一小段足够小，就可以用这一小段上的任意一点 (),i i ξη的密度(),i i ρξη来近似整个小段的密度．这样就可以得到这一小段的质量近似于 (),i i i s ρξη?．将所有这样的小段质量加起来，就得到了此物体的质量的近似值．即 ()∑=?≈n i i i i s y x M 1,ρ．用λ表示n 个小弧段的最大长度. 为了计算M 的精确值, 取上式右端之和当0λ→时的极限，从而得到 1 lim (,).n i i i i M s λρξη→∞ ==?∑ 即这个极限就是该物体的质量．这种和的极限在研究其它问题时也会遇到. 上述结果是经过分割、求和、取极限等步骤而得到的一种和数得极限，这意味着我们已经得到了又一种类型的积分. 抛开问题的具体含义，一般的来研究这一类型的极限，便引入如下定义：定义13.1 设L 是xoy 面内的一条光滑曲线，函数()y x f ,在L 上有界，用L 上任意插入图13-1

曲线积分与曲面积分(答案word

第十章曲线积分与曲面积分 (一) 1．解：两点间直线段的方程为：x y -=1，()10≤≤x 故()dx dx dx y ds 21112 2=-+='+= 所以()()2211 =-+=+??dx x x dx y x L 。 2．解：L 的参数方程为??? ????=+=θθsin 212 1cos 21a y a a x ，()πθ20≤≤ 则()?θθcos 12||2 1 sin 2121cos 212 22+=??? ??+??? ??+=+a a a a y x 2cos ||12cos 212||212θθa a =??? ? ? -+= ||21cos 2sin 22 2 2 2 a a a d y x ds =?? ? ??+??? ??-='+'=θθθ 所以? ? =+πθθ 20 22 22 cos 21d a ds y x L ?? ? ??-= ??πππθθθθ0222cos 2cos 21d d a 220222sin 22sin 221a a =??? ? ??-=π ππθ θ 3．解：()()atdt dt t at t at dt y x ds =+= '+'=2222sin cos 故() ()()[] ? ?-++=+π20 2 2 222cos sin sin cos atdt t t t t t t a ds y x L ()()? +=? ??? ??+=+=ππ ππ20 2 3220 42 33321242a t t a dt t t a 4．解：如图? ? ? ?++++++=3 2 22 2 21 2 22 2L y x L y x L y x L y x ds e ds e ds e ds e

曲线积分与曲面积分总结

对弧长的曲线积分??+=L L y d x d y x f ds y x f 22),(),( ???==) ()(:t y y t x x L βα≤≤t dt t y t x t y t x f ?'+'βα)()())(),((22 (,,)((),(),(L L f x y z ds f x t y t z t =??():()()x x t L y y t z z t =??=??=? βα≤≤t ((),(),(f x t y t z t βα ? 22222.2x y L L L e ds e ds e ds e π+===? ?? 22=2(0)L x y y +≥为上半圆周 ?+L dy y x q dx y x p ),(),( ???==) ()(:t y y t x x L α=t β=t dt t y t y t x q dt t x t y t x p )())(),(()())(),(('+'?βα (,,)(,,)(,,)L P x y z dx Q x y z dy R x y z dz ++?

():()()x x t L y y t z z t =??=??=? α=t β =t ((),(),())()((),(),())()((),(),())()P x t y t z t x t dt Q x t y t z t y t dt R x t y t z t z t dt βα'''++? 11 (,)(,)(,)(,)L L L p x y dx q x y dy p x y dx q x y dy ++-+?? 1( )(,)(,)L D q p dxdy p x y dx q x y dy x y ??=±--+????? ??=??-??D dxdy y p x q )( ?+L dy y x q dx y x p ),(),( y p x q ??=?? ???+=+2 1212211),(),(),(),(21) ,(),(y y x x y x y x dy y x q dx y x p dy y x q dx y x p (,)(,)(,)P x y dx Q x y dy dU x y +=Q P x y ??? =?? 1、 ?? ??++= =∑xy D y x dxdy f f y x f y x ds z y x y x f z 221)),(,,(),,(),(μμ 2、 (,)(,,)(,(,),xz D y f x z x y z ds x f x z z μμ∑==???? 3、 (,)(,,)((,),,yz D x f y z x y z ds f y z y z μμ∑==???? ds ∑ =∑??面积。

第八章曲线积分与曲面积分

第八章曲线积分与曲面积分本章是把定积分概念推广到定义在曲线是的函数和定义曲面上的函数上去，就得到曲线积分和曲面积分。 §1对弧长的曲线积分问题：设有一曲线形构件占xOy 面上的一段曲线L ，设构件的质量分布函数为),(y x ρ，设),(y x ρ定义在L 上且在L 上连续，求构件的质量。 ∑=→=n i i i i S M 10 ),(lim ?ηξρλ 定义：设L 为xOy 平面上的一条光滑的简单曲线弧，),(y x f 在L 上有界，在L 上任意插入一点列1M ，2M ，…，1-n M 把L 分成n 个小弧段 i i i M M L 1-=?的长度为i S ?，又),(i i ηξ是i L ?上的任一点，作乘积 i i i S f ?ηξ),(，),,2,1(n i =，并求和∑=n i i i i S f 1 ),(?ηξ，记}max {i S ?λ=，若 ∑=→n i i i i S f 1 ),(lim ?ηξλ存在，且极限值与L 的分法及),(i i ηξ在i L ?的取法无关，则称极限值为),(y x f 在L 上对弧长的曲线积分，记为：?L s y x f d ),(，即 ?L s y x f d ),(∑=→=n i i i i S f 1 ),(lim ?ηξλ 。其中),(y x f 叫做被积函数，L 叫做积分曲线。对弧长曲线积分的存在性：设),(y x f 在光滑曲线L 上连续，则?L s y x f d ),(一定存在。对弧长曲线积分的性质：

1、???±=±L L L s y x g s y x f s y x g y x f d ),(d ),(d )],(),([ 2、??=L L s y x f k s k y x kf d ),(d ),( 3、设21L L L +=，则???+=2 1 d ),(d ),(d ),(L L L s y x f s y x f s y x f 这里规定：若L 是封闭曲线，则曲线积分记为?L s y x f d ),( 有上述对弧长的曲线积分，则上面的问题就可以用对弧长的曲线积分表示为 ?=L s y x f M d ),( 对弧长的曲线积分的计算法：在一定体积下化为定积分计算，首先要注意： 1、),(y x f 定义在曲线L 上， 2、s d 是弧长微分。定理：设),(y x f 在光滑曲线L 上连续，L 由参数方程) ()() (βαψ?≤≤? ? ?==t t y t x 给出，其中)(t ?、)(t ψ在],[βα上具有连续导数且0)()(22≠'+'t t ψ?，则 ? L s y x f d ),(存在，且：??'+'=β α ψ?ψ?t t t t t f s y x f L d )()()](),([d ),(22。若L 方程为：)(x y ψ=，b x a ≤≤，则??'+=b a L x x x x f s y x f d )(1)] (,[d ),(2ψψ。若L 方程为：)(y x ?=，d y c ≤≤，则??'+=d c L y y y y f s y x f d )(1]),([d ),(2?? 例1、计算?L s y d ，其中L ：)20()cos 1() sin (π≤≤? ? ?-=-=t t a y t t a x

曲线积分与曲面积分总结

第十一章：曲线积分与曲面积分一、对弧长的曲线积分 ?? +=L L y d x d y x f ds y x f 22),(),( 若 ? ? ?==)() (:t y y t x x L βα≤≤t 则原式= dt t y t x t y t x f ?'+'β α)()()) (),((22 对弧长的曲线积分 (,,)((),(),L L f x y z ds f x t y t z t =? ?若 ():()()x x t L y y t z z t =?? =??=? βα≤≤t 则原式 = ((),(),(f x t y t z t β α ? 常见的参数方程为：特别的： 2 2 222.2x y L L L e ds e ds e ds e π+===? ?? 22=2(0)L x y y +≥为上半圆周二、对坐标的曲线积分 ? +L dy y x q dx y x p ),(),( 计算方法一：若 ? ? ?==)() (:t y y t x x L 起点处α=t ，终点处β=t 则原式= dt t y t y t x q dt t x t y t x p )())(),(()())(),(('+'?β α 对坐标的曲线积分 (,,)(,,)(,,)L P x y z dx Q x y z dy R x y z dz ++?

():() ()x x t L y y t z z t =?? =??=? 起点处 α=t ，终点处β=t 则原式= ((),(),())()((),(),())()((),(),())()P x t y t z t x t dt Q x t y t z t y t dt R x t y t z t z t dt β α'''++? 计算方法二：在计算曲线积分时，通过适当的添加线段或曲线，是之变成一个封闭曲线上的曲线积分与所添加线段或曲线上的曲线积分之差，从而对前者利用格林公式，后者利用参数方程。 1 1 (,)(,)(,)(,)L L L p x y dx q x y dy p x y dx q x y dy ++-+? ? 1 ( )(,)(,)L D q p dxdy p x y dx q x y dy x y ??=±--+????? 如图：三、格林公式 ??=??-??D dxdy y p x q )( ? +L dy y x q dx y x p ),(),( 其中L 为D 的正向边界特别地：当 y p x q ??=??时，积分与路径无关，且 ??? +=+2 1 21 2211),(),(),(),(21) ,() ,(y y x x y x y x dy y x q dx y x p dy y x q dx y x p (,)(,)(,)P x y dx Q x y dy dU x y +=是某个函数的全微分Q P x y ??? =?? 注：在计算曲线积分时，通过适当的添加线段或曲线，是之变成一个封闭曲线上的曲线积分与所添加线段或曲线上的曲线积分之差，从而对前者利用格林公式。四、对面积的曲面积分 1、当曲面为 ????++==∑ xy D y x dxdy f f y x f y x ds z y x y x f z 221)) ,(,,(),,() ,(μμ 2、当曲面为 (,) (,,)(,(,),xz D y f x z x y z ds x f x z z μμ∑ ==???? 3、当曲面为 (,) (,,)((,),,yz D x f y z x y z ds f y z y z μμ∑ ==????

曲线积分和曲面积分

曲线积分：在数学中，曲线积分是积分的一种。积分函数的取值沿的不是区间，而是特定的曲线，称为积分路径。曲线积分有很多种类，当积分路径为闭合曲线时，称为环路积分或围道积分。曲线积分可分为：第一类曲线积分和第二类曲线积分。分类：曲线积分分为：（1）对弧长的曲线积分（第一类曲线积分）（2）对坐标轴的曲线积分（第二类曲线积分）两种曲线积分的区别主要在于积分元素的差别；对弧长的曲线积分的积分元素是弧长元素ds；例如：对L的曲线积分∫f(x,y)*ds 。对坐标轴的曲线积分的积分元素是坐标元素dx或dy，例如：对L’的曲线积分∫P（x,y）dx+Q(x,y)dy。但是对弧长的曲线积分由于有物理意义，通常说来都是正的，而对坐标轴的曲线积分可以根据路径的不同而取得不同的符号。曲面积分：定义在曲面上的函数或向量值函数关于该曲面的积分。曲面积分一般分成第一型曲面积分和第二型曲面积分。第一型曲面积分物理意义来源于对给定密度函数的空间曲面，计算该曲面的质量。第二型曲面积分物理意义来源对于给定的空间曲面和流体的流速，计算单位时间流经曲面的总流量。第一型曲面积分：

定义在曲面上的函数关于该曲面的积分。第一型曲线积分物理意义来源于对给定密度函数的空间曲面，计算该曲面的质量。第二型曲面积分：第二型曲面积分是关于在坐标面投影的曲面积分，其物理背景是流量的计算问题。第二型曲线积分与积分路径有关，第二型曲面积分同样依赖于曲面的取向，第二型曲面积分与曲面的侧有关，如果改变曲面的侧(即法向量从指向某一侧改变为指另一侧)，显然曲面积分要改变符号，注意在上述记号中未指明哪侧，必须另外指出，第二型曲面积分有类似于第二型曲线积分的一些性质。

曲线积分与曲面积分备课教案

第十章曲线积分与曲面积分一、教学目标及基本要求： 1、理解二类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。 2、会计算两类曲线积分 3、掌握（Green）公式，会使用平面曲线积分与路径无关的条件。 4、了解两类曲面积分的概念及高斯（Grass）公式和斯托克斯（Stokes）公式并会计算两类曲面积分。 5、了解通量，散度，旋度的概念及其计算方法。 6、会用曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（如曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、功、流量等）。二、教学内容及学时分配：第一节对弧长的曲线积分2学时第二节对坐标的曲线积分2学时第三节格林公式及其应用4学时第四节对面积的曲面积分2学时第五节对坐标的曲面积分2学时第六节高斯公式通量与散度2学时第七节斯托克斯公式环流量与旋度2学时三、教学内容的重点及难点： 1、二类曲线积分的概念及其计算方法 2、二类曲面积分的概念及其计算方法 3、格林公式、高斯公式及斯托克斯公式 4、曲线积分及曲面积分的物理应用和几何应用也是本章重点。 5、两类曲线积分的关系和区别 6、两类曲面积分的关系和区别 7、曲线积分和曲面积分的物理应用及几何应用五、思考题与习题第一节习题10—1 131页：3（单数）、4、5 第二节习题10-2 141页：3（单数）、4、5、7（单数）第三节习题10-3 153页：1、2、3、4（单数）、5（单数）6（单数）、7 第四节习题10-4 158页：4、5、6（单数）、7、8 第五节习题10-5 167页：3（单数）、4 第六节习题10-6 174页：1（单数）、2（单数）、3（单数）第七节习题10-7 183页：1（单数）、2、3、4 第一节对弧长的曲线积分一、内容要点由例子引入对弧长的曲线积分的定义给出性质，然后介绍将对弧长的曲线积分化为定积分的计算方法。 1、引例：求曲线形构件的质量

曲线积分与曲面积分试题及解答B

曲线积分与曲面积分测试题B 一、选择（每题6分，共2４分) 1、曲线弧上的曲线积分和上的曲线积分有关系（）２、C 为沿以)3,1(),2,2(),1,1(C B A 为顶点的三角形逆时针方向绕一周，则Ｉ=?=?+++c dy y x dx y x 222)()(2( ) （A ）??--x x dy y x dx 421 )( (B)??--x x dy y x dx 421 )(2 （C)[ ] ???++-+++1 . 321 2 2 22 1 2 2)1()4(2)2()2(2dy y dx x x dx x dx x （D){}[]?? ?+++-+-++1 . 321 2222 1 2)1()4()4(28dy y dx x x x x dx x ３、C 为沿222R y x =+逆时针方向一周,则I ＝?+?-σ dy xy dx y x 22用格林公式计算得 ( ) (Ａ）??R dr r d 0 3 20πθ (B ）?? R dr r d 0220 πθ （C ） ?? -R dr r d 0 320 cos sin 4θθπ (D ）?? R dr r d 0 320 cos sin 4θθπ 4、 ∑为)(222y x z +-=在xoy 平面上方部分的曲面，则??∑ dS = （）（A ）rdr r d r ?? +πθ20 2 41 （B)rdr r d ? ? +πθ20 20241 (C)rdr r r d ? ?+-πθ20 20 2 2 41)2( （D ）rdr r d ? ? +π θ20 2 241 二、填空（每题６分,共24分) 1、设是M （1，３)沿圆(x -2）2+（y －2)2=2到点N (3，1)的半圆，则积分。 2、设f （x )有连续导数，Ｌ是单连通域上任意简单闭曲线，且则f （x )= ． 3、由物质沿曲线10,3 ,2,:3 2≤≤===t t z t y t x C 分布,其密度为y 2=γ，则它的质量=M 。 (化为定积分形式即可不必积出）

第二型曲线积分与曲面积分的计算方法

第二型曲线积分与曲面积分的计算方法摘要：本文主要利用化为参数的定积分法，格林公式，积分与路径无关的方法解答第二型曲线积分的题目；以及利用曲面积分的联系，分面投影法，合一投影法，高斯公式解答第二型曲面积分的题目. 关键词：曲面积分；曲线积分 1 引言第二型曲线积分与曲面积分是数学分析中的重要知识章节，是整本教材的重点和难点.掌握其基本的计算方法具有很大的难度，给不少学习者带来了困难.本文通过针对近年来考研试题中常见的第二型曲线积分与曲面积分的计算题目进行了认真分析，并结合具体实例以及教材总结出其特点，得出具体的计算方法.对广大学生学习第二型曲线积分与第二型曲面积分具有重要的指导意义. 2 第二型曲线积分例1 求()()()sin cos x x I e y b x y dx e y ax dy =-++-?，其中a ，b 为正的常数，L 为从点A （2a ，0）沿曲线y=22ax x -到点o （0，0）的弧. 方法一：利用格林公式法 L D Q P Pdx Qdy dxdy x y ?? ??+=- ????????，P(x ，y)，Q （x ，y ）以及它们的一阶偏导数在D 上连续，L 是域D 的边界曲线，L 是按正向取定的. 解：添加从点o （0，0）沿y=0到点A （2a,0）的有向直线段1L , ()()()()()()11sin cos sin cos x x L L x x L I e y b x y dx e y ax dy e y b x y dx e y ax dy =-++---++-?? 记为12I I I =- ，则由格林公式得：()1cos cos x x D D Q P I dxdy e y a e y b dxdy x y ??????=-=---- ??????????? ()()22 D b a dxdy a b a π =-= -?? 其中D 为1L L 所围成的半圆域，直接计算2I ,因为在1L 时，0y =，所以dy =0

第十一章曲线积分与曲面积分

第十一章曲线积分与曲面积分一、基本要求（1）理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。（2）掌握计算两类曲线积分的方法。（3）熟练掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数。（4）了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法，了解高斯公式、斯托克斯公式，会用高斯公式计算曲面积分。（5）知道散度与旋度的概念，并会计算。（6）会用曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量。二、教学重点（1）两类曲线积分的计算方法；（2）格林公式及其应用；（3）两类曲面积分的计算方法；（4）高斯公式、斯托克斯公式；（5）两类曲线积分与两类曲面积分的应用。三、教学难点（1）两类曲线积分的关系及两类曲面积分的关系；（2）对坐标的曲线积分与对坐标的曲面积分的计算；（3）应用格林公式计算对坐标的曲线积分；（4）应用高斯公式计算对坐标的曲面积分；（5）应用斯托克斯公式计算对坐标的曲线积分。四、释疑解难问题11.1 如何认识多元函数的几种积分的定义？答：多元函数的几种积分的定义可以用统一形式给出，统称为几何形体上的积分： 1 ()lim ()n i i i G f P dP f P P λ →==?∑?，其中i P ?是将积分区域G 任意分割为n 块后的任一块(1,2 ,)i n =，i P 为i P ?内的任一点，{}max i i P λ=?，它是定积分的推广。若G 为平面域D ，则是二重积分 (,)D f x y d σ??。若G 为空间区域Ω，则是三重积分 (,,)f x y z dv Ω ???。若G 为曲线弧L ，则是对弧长的曲线积分(,)L f x y ds ?。若G 为曲面∑，则是对面积的曲面积分 (,,)f x y z dS ∑ ??。另外还有对坐标的曲线积分(cos cos )L L Pdx Qdy P Q ds αβ+=+??

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第十三章曲线积分与曲面积分定积分和重积分是讨论定义在直线段、平面图形或者空间区域上函数的积分问题．但在实际问题中，这些还不够用，例如当我们研究受力质点作曲线运动时所作的功以及通过某曲面流体的流量等问题时，还要用到积分区域是平面上或空间中的一条曲线，或者空间中的一张曲面的积分，这就是这一章要讲的曲线积分和曲面积分. 第一节对弧长的曲线积分一、对弧长的曲线积分的概念与性质在设计曲线构件时，常常要计算他们的质量，如果构件的线密度为常量，那么这构件的质量就等于它的线密度与长度的乘积. 由于构件上各点处的粗细程度设计得不完全一样, 因此, 可以认为这构件的线密度(单位长度的质量)是变量, 这样构件的质量就不能直接按下面它的线密度与长度的乘积来计算. 下面考虑如何计算这构件的质量. 设想构件为一条曲线状的物体在平面上的曲线方程为()x f y =， []b a x ,∈，其上每一点的密度为()y x ,ρ．如图13-1我们可以将物体分为n 段，分点为n M M M ,...,,21, 每一小弧段的长度分别是 12,,...,n s s s ???．取其中的一小段弧i i M M 1-来分析．在线密度连续变化的情况下, 只要这一小段足够小，就可以用这一小段上的任意一点(),i i ξη的密度 (),i i ρξη来近似整个小段的密度．这样就可以得到这一小段的质量近似于 (),i i i s ρξη?．将所有这样的小段质量加起来，就得到了此物体的质量的近似值．即 ()∑=?≈n i i i i s y x M 1,ρ．用λ表示n 个小弧段的最大长度. 为了计算M 的精确值, 取上式右端之和当 0λ→时的极限，从而得到 1lim (,).n i i i i M s λρξη→∞ ==?∑ 即这个极限就是该物体的质量．这种和的极限在研究其它问题时也会遇到. 图13-1

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(),i i i s ρξη?．将所有这样的小段质量加起来，就得到了此物体的质量的近似值．即 ()∑=?≈n i i i i s y x M 1,ρ．用λ表示n 个小弧段的最大长度. 为了计算M 的精确值, 取上式右端之和当 0λ→时的极限，从而得到 1lim (,).n i i i i M s λρξη→∞ ==?∑ 即这个极限就是该物体的质量．这种和的极限在研究其它问题时也会遇到. 上述结果是经过分割、求和、取极限等步骤而得到的一种和数得极限，这意味着我们已经得到了又一种类型的积分. 抛开问题的具体含义，一般的来研究这一类型的极限，便引入如下定义：定义13.1 设L 是xoy 面内的一条光滑曲线，函数()y x f ,在L 上有界，用L 上任意插入一点列n M M M ,...,,21将曲线分为n 个小段. 设第i 段的长度为 i s ?(1,2, ,i n =)，又()i i ηξ,为第i 个小段上任意取定的一点，作乘积 ()i i i s f ?ηξ,，并作和()i i i n i s f ?∑=ηξ,1 ，若当各小段的长度λ的最大值趋于零时，此和式的极限存在，称此极限为函数()y x f ,在曲线L 上对弧长的曲线积分, 也称为第一类曲线积分, 记作()?L ds y x f ,, 即 1 (,)lim (,)n i i i L i f x y ds f s λξη→==?∑? , 其中()y x f ,叫做被积函数，L 称为积分弧段．当L 是光滑封闭曲线时，记为 ()?L ds y x f ,．

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(完整版)曲线积分与曲面积分(解题方法归纳)

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