则21x x -的最小值是_______
3．不等式1tan -
cos 3
cos ++=x x y 的值域是
思考题：
求函数x x x x y cos sin cos sin ++=的值域 （1cos 3cos sin 2sin 22+++=x x x x y 的值域）
§28 三角函数的性质（2）
【基本训练】
1．判断函数的奇偶性：①x y cos lg =__________②
)2
3sin(
x y +=π
__________ 2.函数)4
tan(π+=x y 的对称中心是___________,函数)3
2sin(π
-=x y 的对称
轴方程是___________
3．x y 2cos =的单调递减区间为___________________；)sin(2x y -=的单调递增区间为___________________；x y tan =的单调递减区间为_____________________
4．若)(x f 是奇函数，当0>x 时，,sin )(2x x x f -=则0 (x f π),6 (x f -π 则 ________)6 (=π f 【典型例题讲练】 例1设函数)(),0)(2sin()(x f y x x f =<<-+=?π?图象的一条对称轴是直线 ,8 π = x )1(求?； )2(求函数)(x f y =的单调减区间； 证明直线025=+-c y x 与函数)(x f y =的图象不相切 例2 求下列函数的单调区间: );3 23sin(21)1(x y -= π )4cos()2(π--=x y 例3 已知函数)0,0)(sin()(π?ω?ω≤≤>+=x x f 是R 上的偶函数,其图象关于点)0,4 3( πM 对称,且在区间]2,0[π 上是单调函数,求?和ω的值. 练习：若函数)(x f y =的图象和)4 sin(π+=x y 的图象关于点 )0,4 (π M 对称，则 )(x f 的表达式是_________________ 【课堂检测】 1．函数x y 2sin =的对称轴方程为_________， 函数)2 cos(π +=x y 的对称中 心坐标为_________ 2．求下列函数的单调区间 （1）)34 sin(x y -=π ；（2）)cos (sin sin )(x x x x f -= 3．已知)sin(3)sin()(θθ-++=x x x f 为偶函数，求θ的值. 【课后作业】 1．已知函数23sin cos cos ()y ωx ωx ωx R ωR =-∈∈3 x+， ，2 的最小正周期为π，且当6 πx =时，函数有最小值，(1)求()f x 的解析式；(2)求()f x 的单调递增区间。 2．求函数)]43[cos(log 2 1π+=x y 的单调区间 3．已知向量b a x f x x b x x a ?=-+=+=)()),4 2tan(),42sin(2()),42tan(,2cos 2(令π ππ. 求函数f (x )的最大值，最小正周期，并写出f (x )在[0，π]上的单调区间.（江西卷） 思考题： §29 三角函数的最值问题（1） 【基本训练】 1．(1)设M 和N 分别表示函数1cos 3 1-=x y 的最大值和最小值,则M +N 等于 _______. (2)函数 x x y c o s s i n 4=在区间[0,π3 2]上的最大值为_______,最小值为 _______. 2．(1)函数x x y cos sin +=的最大值为_______,最小值为_______. (2)函数)6 sin()3sin(2x x y ++-=π π 的最大值为_______. 3．函数2 5sin 25sin 2+-=x x y 的最大值为_______,最小值为_______. 4．函数x x x f sin 1sin )(+=,),0(π∈x ,则)(x f 的最小值是_______. 5．函数1 cos cos +=x x y 的最大值为_______. 【典型例题讲练】 例1 求函数x x y cos 3sin + =在区间[2 ,2π π- ]上的最大值与最小值. 练习： 函数)4 0)(sin (cos sin π<<-=x x x x y 的最大值是 例2 函数)(2cos 2 1cos )(R x x x x f ∈-=的最大值等于_______ 练习： 已知,4- 【课堂检测】 已知3 1sin sin =+y x ,求x y 2cos sin -的最大值与最小值. 1．当时，函数的最大值是 ，最小值是 2． 函数2cos 3cos 2+-=x y 的最小值为 3．函数x x y cos sin 21 ++= 的最大值是 §30 三角函数的最值问题（2） 【基础练习】 1.若函数)3 4sin(π --=x b a y 的最大值和最小值分别为5和1,则 =a ,=b . 2. 函数)6 cos()3sin(2x x y +--=π π 的最小值为_______. 3. 函数4 72cos sin cos 2+--=x x x y 的最大值_________. 4.函数2 sin sin +=x x y 的最小值为______,,最大值为_______. 【典型例题】 例1 已知函数x x x x x x f cos sin sin 3)3 sin(cos 2)(2+- +=π,求函数)(x f 的最大、最 小值. 练习： 已知 a R a a x x x x f ,.(1cos sin 32cos 2)(2∈-++=为常数).(1)若,R x ∈求 )(x f 的最小正周期； (2)若)(x f 在[0,6 π ]上的最大值与最小值之和为5,求a 的 值. 例2 设关于x 的函数)12(cos 2cos 22+--=a x a x y 的最小值为)(a f . （1）写出)(a f 的表达式； （2）试确定使2 1 )(=a f 的a 值，并对此时的a ，求y 的最大值. 例3 扇形AOB 的半径为1,中心角为 60，PQRS 是扇形的内接矩形，问P 在怎样的位置时，矩形PQRS 的面积最大，并求出这个最大值. 【课堂检测】 1．若)10(sin 2)(<<=ωωx x f 在区间]3 ,0[π上得最大值是 2 .则的值是_______ 2．求函数x x x x y 22cos 3cos sin 2sin ++=的最大值和最小值及相应x 的值. 【课外作业】 1．已知函数1cos sin 2 3 cos 2 12++ =x x x y ，R x ∈ （I ）当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合； （II ）该函数的图象可由x y sin =（R x ∈）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？ 2．已知函数1cos sin 32sin 2)(2++-=b x x a x a x f 的定义域为]2 ,0[π ，值域为 ]1,5[-，求b a ,之值. §31 两角和与差的三角函数式（1） R S O B A Q P 【考点及要求】 1． 掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式． 2．能正确运用三角公式进行简单的三角函数式的化简、求值． 【基础知识】： sin()αβ±= ； cos()αβ±= ；tan()αβ±= ． 公式的“三用”指 用、 用和 用 【基本训练】 1．(1)??-??43cos 73sin 47cos 17sin = （2）? +?-15tan 115tan 1=___________ 2．=++)19tan 1)(26tan 1( 3．若π tan 34 α?? -= ?? ?，则cot α等于 4．若tan 3α=，4 tan 3 β=，则tan()αβ-等于 5．求值)10tan 31(50sin 200+= ． 【典型例题讲练】 例1 求值：? +?+?+?10cos 1) 10tan 31(80sin 50sin 2 练习： ? --?? -100sin 110cos 20sin 12 例2 设),,2(ππα∈若,54sin =α试求：（1）)4cos(2π α+； （2）)3 tan(πα+. 练习： 设54)cos(-=-βα,1312 )cos(= +βα,),2(ππβα∈-,)2,2 3(ππβα∈+,求 α2cos ,β2cos 的值. 例3 已知m =+)cos(βα,n =-)cos(βα,)0(≠+n m ,求βαtan tan ?. 练习： 21 )s i n (= +βα,3 1)sin(=-βα,则βαcot tan =_____________ 【课堂检测】 1.化简： θθcos 2 1 sin 23+=___________ 2． 152 sin 118cos 28cos 62sin -=_______； ______15sin 15cos 15sin 15cos =+- . 3．,5 4 2cos ,532sin -==αα 则α角的终边在第____象限. 4．)20tan 10(tan 320tan 10tan ?+?+??= . §32 两角和与差的三角函数式（2） 【基础练习】 1．已知βα,均为锐角,且),sin()cos(βαβα-=+则______tan =α 2．________ 6 sin 36cos =+π π 3．在ABC ?中,若,13 5 cos ,5 4 cos ==B A 则C cos 的值是_________ 4．? ? -?70sin 20sin 10cos 2的值为_________ 【典型例题讲练】 例1 已知α、β、,cos cos cos ,sin sin sin ),2 ,0(αγββγαπγ=+=+∈ 求αβ-的值. 例2 设7 1cos =α,14 11)cos(-=+βα,)2 ,0(πα∈,),2 (ππ βα∈+,求β. 练习： 已知,7 1tan ,2 1)tan(-==-ββα,且),0(πβα∈、,求βα-2的值. 例3．化简：) 4 ( sin )4 tan( 22 1 cos 2cos 2224x x x x +-+-π π 例4 求证： αα α α2sin 4 1 2 tan 2 cot cos 2= -. 【课堂检测】 1． 化简： βαβαβα2cos 2cos 2 1 cos cos sin sin 2222-+ 2． 已知：ββαtan 2)tan(=+,求证：)2sin(sin 3βαα+= 【课后作业】 1．已知sin α= 5 5，则sin 4α-cos 4α的值为 2．化简：)]12tan()18[tan(3)12tan()18tan(x x x x ++-++- 3．若53)4cos(=+x π ,4 71217π π< x x tan 1sin 22sin 2-+的值. 4．设ABC ?中，有3tan tan 33tan tan ,sin cos 4 A B A B A A ++== ， 则此三角形是 三角形。 §33 二倍角的正弦、余弦、正切公式（1） 【基础知识】 1． cos2α= = = ， sin 2α= ，tan 2α= ． 2．在二倍角公式中,可得2s i n 2α= ；2cos 2 α= (也称为降次公式)； 【基本训练】 1．已知0cos 2sin 3=+x x ,则x 2tan =_______ 2.的值。，求， 已知απ απαcos )2 43(5 3 2sin -<<-= 4．化简sin 6 cos 24sin 78cos 48 = ． 5．若3 1 6 sin =?? ? ??-απ ，则?? ? ?? +απ232cos = ． 【典型例题讲练】 1.的值。 ，求，已知)42cos(2235 3 )4cos(π απαπαπ --<<- =- 例3．已知310 ,tan cot 43 παπαα<<+=- （Ⅰ）求tan α的值； （Ⅱ）求 2 2 5sin 8sin cos 11cos 8 2 2 2 2 2sin 2α α α α πα++-? ?- ? ? ?的值。 【课堂检测】 1．求值：（1）sin 2230cos2230''?= （2）8sin cos cos cos 48 48 24 12 ππππ= 2．已知：tan 2x =，则tan 2()4 x π -= 3．化简22sin 2cos4-+= 4．设(tan )tan 2f x x =，求(2)f §34 二倍角的正弦、余弦、正切公式（2） 【典型例题讲练】 例1．已知11tan tan 7 3 αβ==，，且αβ，为锐角，试求2αβ+的值。 练习：已知1 1tan()tan (0)2 7 αββαβπ-==-∈，，且，，，求2αβ-的值。 例2．若tan 3θ=，求sin 2cos2θθ-的值 例3．求证：（1）1sin cos [sin()sin()]2 αβαβαβ?=++-；（2）sin sin 2sin cos 2 2 θ?θ?θ?+-+=? 练习：求证：α α -= α+α= αsin cos 1cos 1sin 2tan ． 【课堂检测】 1．化简αα2sin 22cos +得 2．已知αππ αααtan ),,2 (,2cos sin 求∈= 3．化简 α αα α4cos 4sin 14cos 4sin 1-+++ 【课后作业】 1.求证： sin sin(2) 2cos()sin sin βαβαβαα +=-+ 2．已知：00090αβ<<<，且s i n ,s i n αβ是方程2001 (2cos 40)cos 4002 x x -+-= 的 两根，的值。求)2cos(βα- 3．6 6 cos sin 88 π π -= ； 4．已知3sin 25θ=，且022π θ<<，求22cos sin 122sin() 4 θ θπ θ--+的值。 §35 解三角形 (1) 【考点及要求】 1. 掌握正弦定理、余弦定理； 2. 并能初步应用正弦定理、余弦定理解决三角形中的有关问题． 【基础知识】 1．正弦定理： ． 利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： （1） ； （2） ． 2．余弦定理：第一形式：2b =B ac c a cos 22 2-+，第二形式：cos B = ac b c a 2222-+ 利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： （1） ； （2） ． 3 ． 三 角 形 的 面 积 公 式 . 4．△ABC 中，::sin :sin :sin ;a b c A B C = .A B C π++= 【基本训练】 2．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若三角形的面积 S =4 1（a 2+b 2－c 2），则∠C 的度数是_______． 3．在△ABC 中，4,7,A B A C ==M 为BC 的中点，且35AM =?，则 BC = . 4．在ABC △中，若1 tan 3 A =，150C =，1BC =，则A B = 【典型例题讲练】 例1 在ΔABC 中，已知a=3，b=2，B=45°，求A,C 及边c ． 1. 变式: 在 ABC △中，a b c ，，分别是三个内角A B C ，，的对边．若 4 π ,2= =C a ，5522cos =B ，则ABC △的面积S =________________ 例2在ΔABC 中，若2cos sin sin B A C =，则ΔABC 的形状为 . 【课堂小结】 利用正弦,余弦定理，可以解决以下几类有关三角形的问题. §36 解三角形 (2) 【典型例题讲练】 例3在△ABC 中 A=45°，B ：C = 4：5最大边长为10，求角B 、C 、外接圆半径及面积S 变式:在△ABC 中以知A=30°a 、b 分别为角A 、B 对边，且a=4=3 3b 解此三角形 例4．△ABC 的周长为12， 且sinA ·cosB －sinB=sinC －sinA ·cosC ，则其面积最大值为 。 变式:△ABC 三内角A 、B 、C 成等差数列，则cos C A 22cos +的最小值为 。 【课堂小结】 常用方法： （1）A+B+C=180° 可进行角的代换 （2） R A a 2sin = 可进行边角互换 （3）ab c b a C 2cos 2 22-+= 可进行角转化为边 （4）C ab S sin 2 1=? 面积与边角联系。 【课堂检测】 1．△ABC 中已知∠A=60°，AB ：AC=8：5，面积为103，则其周长为 。 2．△ABC 中A ：B ：C=1：2：3则a ：b ： c= 。 【课后作业】 1. 若a 、a+1、a+2为钝角三角形的三边求a 的范围 2．在ABC △中，tan 2,tan A c b B b -=则A ∠= . 3. 在ABC △中，已知2AC =，3BC =，4cos 5 A =-． （Ⅰ）求sin B 的值； （Ⅱ）求sin 26B π??+ ?? ? 的值 三角函数基本概念 1．角的有关概念 (1)从运动的角度看，角可分为正角、负角和零角．(2)从终边位置来看，可分为象限角和轴线角． (3)若α与β是终边相同的角，则β可用α表示为S ＝{β|β=α＋k ·360°，k ∈Z }(或{β|β＝α＋2k π，k ∈Z })． 2．象限角 3．弧度与角度的互化 (1)1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示． (2)角α的弧度数：如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么l ＝rα，角α的弧度数的绝对值是|α| ＝ l r . (3)角度与弧度的换算①1°＝π 180rad ；②1 rad ＝?π 180 (4)弧长、扇形面积的公式：设扇形的弧长为l ，圆心角大小为α(rad)，半径为r ，又l ＝rα，则扇形的面积为 S ＝12lr ＝12 |α|·r 2 . 4.任意角的三角函数 三角函数 正弦 余弦 正切 定义 设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么 y 叫做的正弦，记作sin x 叫做的余弦，记作cos x y 叫做的正切，记作tan α 三角函数 正弦 余弦 正切 各象限符号 Ⅰ 正 正 正 Ⅱ 正 负 负 Ⅲ 负 负 正 Ⅳ 负 正 负 各象限符号 口诀 一全正，二正弦，三正切，四余弦 5.三角函数线 设角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P 作PM 垂直于x 轴于M ，则点M 是点P 在x 轴上的正射影．由三角函数的定义知，点P 的坐标为(cosα，sinα)，即P(cosα，sinα)，其中cosα＝OM ，sinα＝MP ，单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则tanα＝AT ．我们把有向线段OM 、MP 、AT 叫做α的余弦线、正弦线、正切线． 三角函数知识点 一．考纲要求 考试内容3 要求层次 A B C 三角函数、 三角恒等 变换、 解三角形 三角函数 任意角的概念和弧度制 √ △ 弧度与角度的互化◇ √ 任意角的正弦、余弦、正切的定义 √ 用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦和正切 √ 诱导公式 √ △ 同角三角函数的基本关系式 √ 周期函数的定义、三角函数的周期性 √ 函数sin y x =，cos y x =，tan y x =的图象 和性质 √ 函数sin()y A x ω?=+的图象 √ 用三角函数解决一些简单的实际问题◇ √ 三角 恒等 变换 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 √ 二倍角的正弦、余弦、正切公式 √ 简单的恒等变换 √ 解三角形 正弦定理、余弦定理 √ △ 解三角形 √ △ 二．知识点 1．角度制与弧度制的互化：,23600π= ,1800π= 1rad ＝π 180°≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝ 180 π≈0.01745（rad ） 2.弧长及扇形面积公式 弧长公式：r l .α= 扇形面积公式:S=r l .2 1 α----是圆心角且为弧度制。 r-----是扇形半径 3.任意角的三角函数 设α是一个任意角，它的终边上一点p （x,y ）, r=22y x + (1)正弦sin α= r y 余弦cos α=r x 正切tan α=x y (2)各象限的符号： sin α cos α tan α 4、三角函数线 正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT. 5.同角三角函数的基本关系： （1）平方关系：sin 2α+ cos 2α=1。 （2）商数关系： ααcos sin =tan α（z k k ∈+≠,2 ππ α） 6.诱导公式：奇变偶不变，符号看象限 ()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-． ()5sin cos 2π αα??-= ???，cos sin 2παα?? -= ??? ． ()6sin cos 2παα??+= ???，cos sin 2παα??+=- ??? ． x y +O — — + x y O — + + — + y O — + + — (3) 若 o 三角函数的概念、基本关系式及诱导公式 一、角的相关概念 1、按旋转方向的不同形成_________,___________,___________ 2、终边位置的不同形成__________,__________,____________ 例如：第一象限角的集合________________ 终边在y 轴上角的集合_________________ 终边在x 轴上角的集合_________________ 3、终边相同的角的集合________________ 4、注意第一象限角、锐角的不同，钝角与第二象限角的不同 5、已知α是第二象限的角，则 2 α是第几象限的角？ 二、弧度制与角度制： 1、弧度制的定义：圆周上弧长等于_______的弧所对的圆心角的大小为1弧度（1rad ） 2、 3602=π 180=π _______1=rad rad _______1= 弧度制与角度制的换算_________________________________ 3、扇形的弧长、面积公式 ____________________________________________ 例1、已知一扇形周长为)0(>C C ，当扇形中心角为多少弧度时，它的面积最大？ 例2、扇形中心角为 120，则扇形面积与其内切圆的面积之比为_____________ 三、任意角的三角函数： 1、定义：设α是一个任意角，α的终边上任一点),(y x P O 为坐标原点，则 )(022y x r r OP +=>=则 r y = αsin r x =αcos x y =αtan y r =αcsc _____sec =α _____cot =α 实质是____________________ 2、三角函数的符号___________________________ 3、特殊角的三角函数值： ___________________________________________________________ 四、单位圆与三角函数线： 1、第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ象限的角的三角函数线 2、三角函数线的应用——用来解决三角不等式 三角角的概念及任意角 的三角函数 Standardization of sany group #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN# 课题 § 角的概念及任意角的三角函数 内容归纳 一．知识精讲 ㈠角的概念和弧度制 1．角：一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的 图形。其中顶点，始边，终边称为角的三要素。角可以是任 意大小的。 2．角按其旋转方向可分为：正角，零角，负角。 3．在直角坐标系中讨论角：①角的顶点在原点，始边在x 轴的 非负半轴上，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限 的角。（注意前提条件，否则不能从终边的位置来判断某角 属于第几象限）。⑵若角的终边在坐标轴上，就说这个角不 属于任何象限，它叫象限界角。 4．与α角终边相同的角的集合：{}Z k k ∈+?=,360αββ 注：①终边相同的角不一定相等，但相等的角的终边一定相 同； ②终边相同的角有无数多个，它们相差 360的整数倍。 5．正确理解角：“ 90~0间的角”指的是： 900<≤θ；“第 一象限的角”，“锐角”，“小于 90的角”，这三种角的 集合分别表示为： {} Z k k k ∈+?< 三角函数的概念、性质和图象 复习要求（以下内容摘自《考纲》） 1. 理解弧度的意义，并能正确进行弧度和角度的换算． 2. 掌握任意角的三角函数的定义、三角函数的符号、特殊角的三角函数值、三角函数的性质、同角三角函数的关系式与诱导公式，了解周期函数和最小正周期的意义．会求y ＝A sin(ωx ＋?)的周期，或者经过简单的恒等变形可化为上述函数的三角函数的周期，能运用上述三角公式化简三角函数式，求任意角的三角函数值与证明较简单的三角恒等式． 3. 了解正弦、余弦、正切、余切函数的图象的画法，会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数y ＝A sin(ωx ＋?)的简图，并能解决与正弦曲线有关的实际问题． 4.正弦函数、余弦函数的对称轴，对称点的求法。 5．形如y x y y x y cos sin cos sin -=+=或 的辅助角的形式，求最大、最小值的总题。 6．同一问题中出现y x y x x x cos sin ,cos sin ,cos sin ?-+，求它们的范围。如求y x y x y cos sin cos sin ?++=的值域。 7．已知正切值，求正弦、余弦的齐次式的值。 如已知求,2tan =x 4cos cos sin 2sin 22++?+y y x x 的 8 正弦定理：）R R C c swinB b A a 为三角形外接圆的半径(2sin sin === C B A c b a s i n :s i n :s i n ::= 余弦定理：A ab c b a cos 2222-+=，…ab a c b A 2cos 2 22-+= 可归纳为表9－1. 表9-1 三角函数的图象三、主要内容及典型题例 三角函数是六个基本初等函数之一，三角函数的知识包括三角函数的定义、图象、性质、 《三角函数》 【知识网络】 一、任意角的概念与弧度制 1、将沿x 轴正向的射线，围绕原点旋转所形成的图形称作角. 逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角 2、同终边的角可表示为 {}()360k k Z ααβ? =+∈g x 轴上角：{}()180k k Z αα=∈o g y 轴上角：{}()90180k k Z αα=+∈o o g 3、第一象限角：{}()036090360k k k Z αα? ?+<<+∈o g g 第二象限角：{}()90 360180360k k k Z αα??+<<+∈o o g g 第三象限角：{}()180360270360k k k Z αα? ?+<<+∈o o g g 第四象限角： {}()270 360360360k k k Z αα??+<<+∈o o g g 4、区分第一象限角、锐角以及小于90o 的角 第一象限角：{}()0360 90360k k k Z αα? ?+<<+∈o g g 锐角： {}090αα< ,2 4 , 0π απ ≤ ≤=k ,2 345, 1παπ≤≤=k 所以 2 α 在第一、三象限 6、弧度制：弧长等于半径时，所对的圆心角为1弧度的圆心角，记作1rad . 7、角度与弧度的转化：01745.0180 1≈=?π 815730.571801'?=?≈? = π 9、弧长与面积计算公式 弧长：l R α=?；面积：211 22 S l R R α=?=?，注意：这里的α均为弧度制. 二、任意角的三角函数 1、正弦：sin y r α=；余弦cos x r α=；正切tan y x α= 其中(),x y 为角α终边上任意点坐标，r = 2、三角函数值对应表： 3、三角函数在各象限中的符号 “任意角三角函数的概念”教学设计 陶维林 （江苏南京师范大学附属中学，210003） 一．内容和内容解析 三角函数是一个重要的基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型．它的基础主要是几何中的相似形和圆，研究方法主要是代数中的图象分析和式子变形，三角函数的研究已经初步把几何与代数联系起来．它在物理学、天文学、测量学等学科中都有重要的应用，它是解决实际问题的重要工具，它是学习数学中其他学科的基础． 角的概念已经由锐角扩展到0°~360°内的角，再扩充到任意角，相应地，锐角三角函数概念也必须有所扩充．任意角三角函数概念的出现是角的概念扩充的必然结果．比较锐角三角函数与任意角三角函数这两个概念，共同点是，它们都是“比值”，不同点是锐角三角函数是“线段长度的比值”，而任意角三角函数是直角坐标系中“坐标与长度的比值，或者是坐标的比值”．正是由于“比值”这一与在角的终边上所取点的位置无关的特点，因此，可以用角的终边与单位圆的交点的坐标（或坐标的比值）来表示任意角的三角函数，这是概念的核心．这样定义，不仅简化了任意角三角函数的表示，也为后续研究它的性质带来了方便． 从锐角三角函数到任意角三角函数类似于从自然数到整数扩充的过程，产生了“符号问题”．因此，学习任意角三角函数可以与锐角三角函数相类比，借助锐角三角函数的概念建立起任意角三角函数的概念． 任意角三角函数概念的重点是任意角的正弦、余弦、正切的定义．它们是本节，乃至本章的基本概念，是学习其他与三角函数有关内容的基础，具有根本的重要的作用．解决这一重点的关键，是学会用直角坐标系中，角的终边上的点的坐标来表示三角函数．因为正切函数并不独立，最主要的是正弦函数与余弦函数． 任意角三角函数自然具有函数的一切特征，有它的定义域，对应法则以及值域．任意角三角函数的定义域是实数集（或它的子集），这是因为，在建立弧度制以后，角的集合与 实数集合间建立了一一对应关系，从这个意义上说，“角是实数”，三角函数是定义在实数集上的函数．各种不同的三角函数定义了不同的对应法则，因而可能有不同的定义域与值域．任意角三角函数概念是核心概念，它是解决一切三角函数问题的基点．无论是研究三角函数在各象限中的符号、特殊角的三角函数值，还是同角三角函数间的关系，以及三角函数的性质，等等，都具有基本的重要的意义． 在建立任意角三角函数这个定义的过程中，学生可以感受到数与形结合，以及类比、运动、变化、对应等数学思想方法． 三角函数的概念、同角三角函数的关系和诱导公式 题组一 一、 选择题 1．（安徽省百校论坛2011届高三第三次联合考试理） 已知3cos( )||,tan 222ππ ???-=<且则等于 （ ） A ． B C D 答案 D. 2．（浙江省金丽衢十二校2011届高三第一次联考文）函数()sin sin(60)f x x x =++ 的最大 值是 （ ） A B C ．2 D ．1 答案 A. 3.（山东省莱阳市2011届高三上学期期末数学模拟6理）已知)2 ,2(,3 1sin π πθθ-∈-=，则)2 3sin()sin(θππθ--的值是（ ） A 、 9 2 2 B 、922- C 、91- D 、91 答案 B. 4．（湖南省嘉禾一中2011届高三上学期1月高考押题卷）在区间[1,1]-上随机取一个数 ,cos 2 x x π的值介于0到 1 2 之间的概率为 （ ） A ．1 3 B ． 2 π C ． 1 2 D ． 23 答案 D. 5. （湖北省补习学校2011届高三联合体大联考试题理） 已知cos()0,cos()0,2 π θθπ+<->下列不等式中必成立的是( ) A.tan cot 2 2 θ θ > B.sin cos 2 2 θ θ > C.tan cot 2 2 θ θ < D.sin cos 2 2 θ θ < 答案 A. 6．（河南省鹿邑县五校2011届高三12月联考理）函数()3sin 23f x x π? ? =- ?? ? 的图像为C,如下结论中正确的是 （ ） A ．图像C 关于直线6 x π = 对称 B ．图像 C 关于点,06π?? ??? 对称 C ．函数()f x 在区间5,1212ππ?? - ??? 内是增函数 D ．由3sin 2y x =的图像向右平移 3 π 个单位长度可以得到图像C 。 答案 C. 7. （河南省辉县市第一高级中学2011届高三12月月考理）若cos 2sin αα+=则 tan α= A.12- B.2 C.1 2 D.-2 答案 B. 8. （北京四中2011届高三上学期开学测试理科试题） 已知，则 等于（ ） A ．7 B ． C ． D ． 答案 C. 9.（福建省三明一中2011届高三上学期第三次月考理） 已知函数)(sin cos )(R x x x x f ∈=，给出下列四个命题： ①若;),()(2121x x x f x f -=-=则 ②)(x f 的最小正周期是π2； ③)(x f 在区间]4,4[π π-上是增函数； ④)(x f 的图象关于直线4 3π =x 对称； ⑤当??????-∈3,6ππx 时，)(x f 的值域为.43,43??????- 其中正确的命题为 （ ） A ．①②④ B ．③④⑤ C ．②③ D ．③④ 初中三角函数知识点总结(中考复习) 锐角三角函数知识点总结 1、勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。 2、如下图，在Rt△ABC中，∠C为直角，则∠A的锐角三角函数为(∠A可换成∠B)： 3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。 4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余 A 90 B 90 ∠ - ? = ∠ ? = ∠ + ∠ 得 由B A C 切值等于它的余角的正切值。 5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要) 6、正弦、余弦的增减性： 当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。 7、正切、余切的增减性： 当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大，cot α随α的增大而减小。 1、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。 依据：①边的关系：2 2 2 c b a =+；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。(注意：尽量避免使用中间数据和除法) 2、应用举例： (1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。 仰角铅垂线 水平线 视线 视线俯角 (2)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度 (坡比)。用字 母i 表示，即h i l =。坡度一般写成1:m 的形式，如1:5i =等。 把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan h i l α==。 3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：45°、135°、225°。 4、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如图4,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：北偏东30°（东北方向） ， 南偏东45°（东南方向）， 南偏西60°（西南方向）， 北偏西60°（西北方向）。 反比例函数知识点整理 一、 反比例函数的概念 :i h l =h l α 第七章 函数及其有关概念 一、角的概念： 1、正角、负角、零角：逆时针方向旋转的角叫做正角，顺时针方向的叫做负角；当射线没有旋转时，我们把它叫做零角。 2、象限角：角的终边落在象限内的角,根据角终边所在的象限把象限角分为：第一象限角、第二象限角、第三象限角、第四象限角。 3、轴线角：角的终边落在坐标轴上的角。终边在x 轴上的角的集合： {} Z k k ∈?=,180| ββ；终边在y 轴上的角的集合： {} Z k k ∈+?=,90180| ββ；终边在坐标轴上的角的集合：{} Z k k ∈?=,90| ββ。 4、终边相同的角：与α终边相同的角2x k απ=+。 5、与α终边反向的角： (21)x k απ=++；终边在y=x 轴上的角的集合：{} Z k k ∈+?=,45180| ββ ；终边在x y -=轴上的角的集合：{} Z k k ∈-?=,45180| ββ 6、若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k 180 7、成特殊关系的两角：（1）若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k 360；（2）若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+= 180360k ；（3）若角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系： 90360±+=βαk 二、弧度制：l R α= 角度与弧度的换算公式： 360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 弧长公式：R l θ= ； 扇形面积：S=α2 2 12 1r r l =? 任意角三角函数： （一）任意角的三角函数定义： 三角函数 定义域 =)(x f sinx {}R x x ∈| =)(x f cosx {}R x x ∈| =)(x f tanx ? ?? ???∈+≠∈Z k k x R x x ,21|ππ且 =)(x f cotx {}Z k k x R x x ∈≠∈,|π且 =)(x f secx ? ?? ???∈+≠∈Z k k x R x x ,21|ππ且 =)(x f cscx {}Z k k x R x x ∈≠∈,|π且 （二）三角函数在各象限内的符号规律： 高中数学三角函数知识点总结 1.特殊角的三角函数值： 2．角度制与弧度制的互化： ,23600π= ,1800 π= 1rad ＝π 180°≈57.30°=57°18ˊ 1°＝ 180 π≈0.01745（rad ） 3.弧长及扇形面积公式 (1)弧长公式：r l .α= α----是圆心角且为弧度制 (2)扇形面积公式:S=r l .2 1 r-----是扇形半径 4.任意角的三角函数 设α是一个任意角，它的终边上一点p （x,y ）, r=22y x + (1)正弦sin α= r y 余弦cos α=r x 正切tan α=x y (2)各象限的符号： 记忆口诀：一全正，二正弦，三两切，四余弦 sin α cos α tan α 5.同角三角函数的基本关系： （1）平方关系：s in 2α+ cos 2α=1 （2）商数关系：ααcos sin =tan α（z k k ∈+≠,2 ππ α） 6.诱导公式： 记忆口诀：把2 k π α±的三角函数化为α的三角函数，概括为：奇变偶不变，符号看象限。 ()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-． 口诀：函数名称不变，符号看象限． ()5sin cos 2π αα??-= ???，cos sin 2παα?? -= ??? ． ()6sin cos 2π αα??+= ???，cos sin 2παα?? +=- ??? ． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限． x y O — + + — + y O — + + — 第四章 三角函数 一、三角函数的基本概念 1.角的概念的推广 (1)角的分类:正角(逆转) 负角(顺转) 零角(不转) (2)终边相同角:)(3600Z k k ∈+?=αβ (3)直角坐标系中的象限角与坐标轴上的角. 2.角的度量 (1)角度制与弧度制的概念 (2)换算关系:8157)180(1) (180'≈==οο ο π π弧度弧度 (3)弧长公式:r l ?=α 扇形面积公式:22 1 21r lr S α== 3.任意角的三角函数 y x x y x r r x y r r y = ===== ααααααcot tan sec cos csc sin 注:三角函数值的符号规律“一正全、二正弦、三双切、四余弦” 二、同角三角函数的关系式及诱导公式 （一） 诱导公式： α±? 2 k )(Z k ∈与α的三角函数关系是“立变平不变，符号 看象限”。如： ()?? ? ??--??? ??+απαπαπ25sin ;5tan ,27cos 等。 （二） 同角三角函数的基本关系式：①平方关系1 cos sin 22 =+αα； α ααα22 22tan 11cos cos 1tan 1+=?= +②商式关系 α α α tan cos sin =；αααcot sin cos =③倒数关系1cot tan =αα；1sec cos ;1csc sin ==αααα。 （三） 关于公式1cos sin 22 =+αα的深化 () 2 cos sin sin 1ααα±=±； α ααcos sin sin 1±=±； 2 cos 2 sin sin 1α α α+=+ 如： 4cos 4sin 4cos 4sin 8sin 1--=+=+；4cos 4sin 8sin 1-=- 注：1、诱导公式的主要作用是将任意角的三角函数转化为ο0~ο90角的三角函数。 2、主要用途： a) 已知一个角的三角函数值，求此角的其他三角函数值（①要注意题设中角的范围，②用三角函数的定义求解会更方便）； b) 化简同角三角函数式； 证明同角的三角恒等式。 三、两角和与差的三角函数 （一）两角和与差公式 ()βαβαβαsin cos cos sin sin ±=± ()β αβαβαsin sin cos cos cos μ=± ()β αβ αβαtan tan 1tan tan tan μ±= ± （二）倍角公式 1、公式βαα cos sin 22sin = cos 2α= 2 2cos 1α + sin 2α= 2 2cos 1α - ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-= α αα2tan 1tan 22tan -= α α ααα sin cos 1cos 1sin 2 tan -= += )sin(cos sin 22?ααα++=+b a b a )sin ,(cos 2 2 2 2 b a a b a b += += ?? 注： （1）对公式会“正用”，“逆用”，“变形使用”。（2）掌握“角的演变”规律（3）将公式和其它知识衔接起来使用。（4）倍角公式揭示了具有倍数关系的两个角的三角函数的运算规律，可实现函数式的降幂的变化。 2、两角和与差的三角函数公式能够解答的三类基本题型： （1）求值 ①“给角求值”：给出非特殊角求式子的值。仔细观察非特殊角的特点，找出和特殊角之间的关系，利用公式转化或消除非特殊角 ②“给值求值”：给出一些角得三角函数式的值，求另外一些角得三角函数式的值。找出已知角与所求角之间的某种关系求解 ③ “给值求角”：转化为给值求值，由所得函数值结合角的范围求出角。 ④ “给式求值”：给出一些较复杂的三角式的值，求其他式子的值。将已知式或所求式进行化简，再求之 三角函数式常用化简方法：切割化弦、高次化低次 注意点：灵活角的变形和公式的变形， 重视角的范围对三角函数值的影响，对角的范围要讨论 实用文档 §4.2三角函数的基本概念 【复习目标】 1． 掌握任意角三角函数的定义，能写出各三角函数的定义域，能判断三角函数的符号； 2． 理解三角函数线的本质，能用三角函数线和单位圆解决简单的数学问题 【重点难点】 理解三角函数线的本质，能用三角函数线和单位圆解决简单的数学问题 【课前预习】 1. 已知角α的终边经过点)12,5(--P ，则sin ____,cos ___,tan ____ααα===． 2. 已知点)tan ,cos (sin ααα-P 在第一象限，则在)2,0[π内的α的取值范围 为 。 3. 已知,αβ均为第二象限角，且sin sin αβ>，则必有 （ ） A ．αβ< B ．tan tan αβ> C ．cos cos αβ> D ．cos cos αβ< 4. 填空： (1) 不等式x cos 22+≤0的解集是____________________________． (2) 函数1tan += x y 的定义域是______________________________． 【典型例题】 例1 已知角α终边上一点),3(y P -，且 y 42sin =α，求αcos 和αtan 的值． 实用文档 例2（1）若0cos sin >?θθ，则θ在 （ ） (A) 第一、四象限 (B) 第一、三象限 (C) 第一、二象限期 （D ）第二、四象限 （2）若α是第二象限角，用2cos |2cos |α α-=，则2α是 （ ） (A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限期 （D ）第四象限 例3 已知锐角α终边上一点A 的坐标为)3cos 2,3sin 2(-，求α的弧度数． 【巩固练习】 1. 已知cos sin 1αα-<-，则α是第 象限角。 5.2 三角函数的概念 A 组-[应知应会] 1．（2020·周口市中英文学校高一期中）已知角α终边经过点122P ?? ? ??? ,则 cos α=（ ） A ． 1 2 B C D ．12 ± 【参考答案】B 【解析】由于1,r OP x === ,所以由三角函数的定义可得cos x r α==,应选参考答案B ． 2．（2019·渝中·重庆巴蜀中学高一期末）若cos 0θ<,cos sin θθ-=那么θ的（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角 【参考答案】C 【解析】由题意得sin cos θθ==-, 即cos sin sin cos θθθθ-=-,所以sin θcos θ 0,即sin cos θθ≤,又cos 0θ<,所以sin 0,θ<θ位于第三象限,故选C. 3．若α为第二象限角,则下列各式恒小于零的是（ ） A ．sin cos αα+ B ．tan sin αα+ C ．cos tan αα- D ．sin tan αα- 【参考答案】B 【分析】画出第二象限角的三角函数线,利用三角函数线判断出sin tan 0αα+<,由此判断出正确选项. 【解析】如图,作出sin ,cos ,tan ααα的三角函数线,显然~OPM OTA ??,且MP AT <,∵0MP >,0AT <,∴MP AT <-．∴0MP AT +<,即sin tan 0αα+<.故选B. 4．若角α的终边经过点()() sin 780,cos 330P ?-?,则sin α=（ ） A B ． 12 C D ．1 【参考答案】C 【分析】利用诱导公式化简求得P 点的坐标,在根据三角函数的定义求得sin α的值. 高一三角函数知识 §1.1任意角和弧度制 ?? ? ??零角负角：顺时针防线旋转正角：逆时针方向旋转 任意角..1 2.象限角：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。 3.. ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合：{} Z k k ∈+?=,360|αββ ②终边在x 轴上的角的集合： {} Z k k ∈?=,180| ββ ③终边在y 轴上的角的集合：{} Z k k ∈+?=,90180| ββ ④终边在坐标轴上的角的集合：{} Z k k ∈?=,90| ββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合：{ } Z k k ∈+?=,45180| ββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合：{} Z k k ∈-?=,45180| ββ ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：Z k k ∈-=，βα 360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称，则α与角β的关系：Z k k ∈-+=，βα 180360 ⑨若角α与角β的终边在一条直线上，则α与角β的关系：Z k k ∈+=，βα 180 ⑩角α与角β的终边互相垂直，则α与角β的关系：Z k k ∈++=， 90180βα 4. 弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。若圆心角所对 的弧长为l ，则其弧度数的绝对值|r l = α,其中r 是圆的半径。 5. 弧度与角度互换公式： 1rad ＝（π 180）°≈57.30° 1°＝180 π 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 6.. 第一象限的角：? ?? ? ??∈+< 第三章三角函数 第一节三角函数及概念 复习要求： 1．任意角、弧度 了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化； 2．三角函数 （1）借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义； （2）借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式。 知识点： 1.任意角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。一条射线由原来的位置，绕着它的端点按逆时针方向旋转到终止 位置，就形成角。旋转开始时的射线叫做角的始边，叫终边，射 线的端点叫做叫的顶点。 2.角的分类 为了区别起见，我们规定: 按逆时针方向旋转所形成的角叫正角, 按顺时针方向旋转所形成的角叫负角。如果一条射线没有做任何旋转,我们称它为零角。 3.象限角 角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合。那么，角的终边（除端点外）落在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。 （1）第一象限角的集合： |22, 2 k k k Z π απαπ ?? <<+∈ ???? （2）第二象限的集合：。 O （3）第三象限角的集合： 。 （4）第四象限角的集合： 4.轴线角 角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合。若角的终边落在坐标轴上,称这个角为轴线角。它不属于任何象限,也称为非象限角。 5.终边相同的角 所有与角α终边相同的角连同角α在内，构成的角的集合，称之为终边相同的角。记为： {} |360,S k k Z ββα==+?∈或 {} |2,S k k Z ββαπ==+∈。它们彼此相差 2()k k Z π∈，根据三角函数的定义知，终边相同的角的各种三角函数值都相等。 6.区间角 区间角是指介于两个角之间的所有角，如5| ,6 666π πππααα? ??? =≤≤ =????? ???。 7，角度制与弧度制 角度制：规定周角的1 360为1度的角，记作0 1，它不会因圆的大小改变而改变， 与r 无关 弧度制：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad 或1弧度或1(单位可以省略不写)。 角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-π，-2π等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定。 8.角的度量 （1）角的度量制有：角度制，弧度制 （2）换算关系：角度制与弧度制的换算主要抓住180rad π=o 。 三角函数 一、任意角、弧度制及任意角的三角函数 1．任意角 (1)角的概念的推广 ①按旋转方向不同分为正角、负角、零角． ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 ②按终边位置不同分为象限角和轴线角． 角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?< 高中三角函数总结 1.任意角的三角函数定义： 设α为任意一个角，点),(y x P 是该角终边上的任意一点（异于原点），),(y x P 到原点的距离为22y x r += ，则： )(tan ),(cos ),(sin y x x y x r x y r y ?=== 正负看正负看正负看ααα 2.特殊角三角函数值： 3.同角三角函数公式： αααααααααα αtan 1 cot ,sin 1csc ,cos 1sec 1cos sin ,cos sin tan 22= ===+= 4.三角函数诱导公式： （1）)(;tan )2tan(,cos )2cos( ,sin )2sin(Z k k k k ∈=+=+=+απααπααπα （2）;tan )tan(,cos )cos(,sin )sin(απααπααπα=+-=+-=+ （3）;tan )tan(,cos )cos(,sin )sin(αααααα-=-=--=- （函数名称不变，符号看象限） （4）;cot )2 tan(,sin )2cos(,cos )2sin(απ ααπααπ α-=+-=+=+ （5）;cot )2 tan(,sin )2cos(,cos )2sin( ααπ ααπααπ =-=-=- （正余互换，符号看象限） 注意：tan 的值，总为sin/cos ，便于记忆； 5.三角函数两角诱导公式： （1）和差公式 βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± β αβ αβαtan tan 1tan tan )tan( ±= ± （2）倍角公式 令上面的βα=可得：αααcos sin 2)2sin(= α αααα2222sin 211cos 2sin cos )2cos(-=-=-= α α α2tan 1tan 2)2tan(-= 6.正弦定理： △ABC 中三边分别为c b a ,,,外接圆半径为R ，则有： R C c B b A a 2sin sin sin === 7.余弦定理： △ABC 中三边分别为c b a ,,,则有：ab c b a C 2cos 2 22-+= 8.面积公式： △ABC 中三边分别为c b a ,,,面积为S ，则有：)(sin 2 1 两边与夹角正弦值C ab S = 9.三角函数图象： 1三角函数的概念 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、角的概念与推广 1．任意角的概念：正角、负角、零角 2．象限角与轴线角： 与α终边相同的角的集合：},2|{Z k k ∈+=απββ 第一象限角的集合：{|22,}2 k k k Z π βπβπ<<+∈ 第二象限角的集合：{| 22,}2 k k k Z π βπβππ+<<+∈ 第三象限角的集合：3{|22,}2 k k k Z π βππβπ+<<+∈ 第四象限角的集合：3{| 222,}2 k k k Z π βπβππ+<<+∈ 终边在x 轴上的角的集合：{|,}k k Z ββπ=∈ 终边在y 轴上的角的集合：{|,}2 k k Z π ββπ=+∈ 终边在坐标轴上的角的集合：{|,}2 k k Z π ββ=∈ 要点诠释： 要熟悉任意角的概念，要注意角的集合表现形式不是唯一的，终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，还要注意区间角与象限角及轴线角的区别与联系. 三角函数的概念 角的概念的推广、弧度制 正弦、余弦的诱导公式 同角三角函数的基本关系式 任意角的三角函数 考点二、弧度制 1．弧长公式与扇形面积公式： 弧长l r α= ?，扇形面积21 122 S lr r α==扇形（其中r 是圆的半径，α是弧所对圆心角的弧度数）. 2．角度制与弧度制的换算： 180π=；180 10.017451()57.305718'180 rad rad rad π π = ≈=≈=； 要点诠释： 要熟悉弧度制与角度制的互化以及在弧度制下的有关公式. 考点三、任意角的三角函数 1. 定义：在角α上的终边上任取一点(,)P x y ，记r OP ==则sin y r α= , cos x r α=, tan y x α=，cot x y α=，sec r x α=，csc r y α= 2. 三角函数线：如图，单位圆中的有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做α的正弦线，余弦线，正切线. 3. 三角函数的定义域：sin y α=，cos y α=的定义域是R α∈；tan y α=，sec y α=的定义域是 {|,}2 k k Z π ααπ≠+ ∈；cot y α=，csc y α=的定义域是{|,}k k Z ααπ≠∈. 4. 三角函数值在各个象限的符号： 考点四、同角三角函数间的基本关系式 1. 平方关系：2 2 2222sin cos 1;sec 1tan ;csc 1cot α+α=α=+αα=+α. 2. 商数关系：sin cos tan ;cot cos sin α α α= α= α α . 3. 倒数关系：tan cot 1;sin csc 1;cos sec 1α?α=αα=α?α= 要点诠释： ①同角三角函数的基本关系主要用于：（1）已知某一角的三角函数，求其它各三角函数值；（2）证明三角恒等式；（3）化简三角函数式. ②三角变换中要注意“1”的妙用，解决某些问题若用“1”代换，如2 2 1sin cos =α+α， 221sec tan tan 45=α-α== ，则可以事半功倍；同时三角变换中还要注意使用“化弦法”、消去法 及方程思想的运用. 考点五、诱导公式 1.2(),,,2k k Z πααπαπα+∈-±-的三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值所在象限的符号.三角函数基本概念
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