第二篇 数学物理方程
——物理问题中的二阶线性偏微分方程及其解法
Abstracts:1、根据物理问题导出数理方程—偏微分方程；
2、给定数理方程的附加条件：初始条件、边界条件、物理条件
(自然条件，连接条件)，从而与数理方程一起构成定解问题；
3、方程齐次化；
４、数理方程的线性导致解的叠加。
一、数理方程的来源和分类（状态描述、变化规律）
1、来源
I ．质点力学：牛顿第二定律F mr = 连续体力学2222()(,)(,)0(()0;v 1()0(Euler eq.).u r t a u r t t v t v v p f t ρρρ?????-?=?????????+??=????-?+??=+=?????
弹性定律弦弹性体力学
杆 振动：波动方程);膜流体力学：质量守恒律：热力学物态方程： II.麦克斯韦方程
;;00;().,,,D D E l B s E B B B H l j D s H j D E u B A u A σρτρσ??=???=?=????=????=???=?=+????=+??=-?=?????????
???????????d d d d d d d 满足波动方程。Lorenz 力公式力学方程；Maxwell eqs.+电导定律电报方程。
III. 热力学统计物理
220;0.T k T t D t ρρ??-?=??????-?=???
热传导方程：扩 散方程：特别: 稳态（0t ρ?=?）:20ρ?= (Laplace equation). IV . 量子力学的薛定谔方程：
22.2u i u Vu t m
?=-?+?
二、数理方程的导出
推导泛定方程的原则性步骤：
（1）定变量：找出表征物理过程的物理量作为未知数（特征量），并确定影响未知函数的自变量。
（2）立假设：抓主要因素，舍弃次要因素，将问题“理想化”
---“无理取闹”（物理趣乐）。
（3）取局部：从对象中找出微小的局部（微元），相对于此局部一切高阶无穷小均可忽
略---线性化。
（4）找作用：根据已知物理规律或定律，找出局部和邻近部分的作用关系。
（5）列方程：根据物理规律在局部上的表现，联系局部作用列出微分方程。
Chapter 7 一维波动方程的傅里叶解
第一节 一维波动方程-弦振动方程的建立
7.1.1 弦横振动方程的建立
（一根张紧的柔软弦的微小振动问题）
（1）定变量：取弦的平衡位置为x 轴。表征振动的物理量为各点的横向位移),(t x u ，从
而速度为t u ，加速度为tt u .
（2）立假设：①弦振动是微小的，1<<α，因此，sin tan ααα≈≈，1cos ≈α，又
tan u x αα?=≈?，1<
u ；②弦是柔软的，即在它的横截面内不产生应力，则在拉紧的情况下弦上相互间的拉力即张力),(t x T 始终是沿弦的切向
(等价于弦上相互间有小的弹簧相连)；③所有外力都垂直于x 轴，外力线
密度为),(t x F ；④设弦的线密度（细长）为),(t x ρ，重力不计。
（3）取局部：在点x 处取弦段d x ,d x 是如此之小,以至可以把它看成质点(微元)。质量
微元：x t x d ),(ρ；微弧长：x x x u u x s d d 1d d d 2
22≈??? ????+=+=（即这一小段的长度在振动过程中可以认为是不变的，因此它的密度()t x ,ρ不随时间变化，
另外根据Hooke 定律F k x δδ=-可知，张力),(t x T 也不随时间变化，我们把
它们分别记为()x ρ和)(x T .
（4）找作用：找出弦段所受的力。
外力：x t x F d ),(，垂直于x 轴方向；
张力变化：()()d cos |cos |(d )()x x x T T T x x T x αα+-=+-,x 方向紧绷，
()()()()()d d sin |sin |||d x x x x x x x x x x T T Tu Tu Tu x αα++-=-=,垂直于x 轴方向。
（5）列方程：根据牛顿第二定律
0)()d (=-+x T x x T ，因x 方向无位移，故T x T x x T ==+)()d (.
()x Tu x t x F x Tu x t x F xu x xx x x tt d d ),(d d ),(d )(+=+=ρ 即，),(t x f u T
u xx tt =-ρ，其中ρ)
,(),(t x F t x f =是单位质量所受外力。
如果弦是均匀的，即ρ为常数，则可写ρT a =
为弦振动的传播速度，则
自由振动(0f ≡): 20tt xx u a u -=(齐次方程)。
小结1：对于弦的横振动、杆的纵振动方程（一根弹性均匀细杆的微小振动问题）、薄膜的横振动方程（张紧的柔软膜的微小振动问题），在不受外力情况下，其振动的微分方程为：
22tt u a u =?（齐次方程）
其中a 为振动的传播的速度。当单位质量所受外力为f 时，其振动微分方程为：
22tt u a u f =?+（非齐次方程）
7.1.2 定解问题
第一节从物理问题和相应的物理定律导出了其所满足的偏微分方程，但总是选择物体内
部，不含端点或边界，对一小部分来讨论其运动状况，仅反映了物体内部各部分之间的相互联系，且在区域内部相邻之间、相继时刻之间的这种联系（规律）通常与周围环境（边界上）和初始时刻对象（体系）所处的状态无关。
仅有方程还不足以确定物体的运动，因为外界的作用通常是通过物体边界“传”到内部的；一个方程可能有多个解，通解中含若干任意常数（函数），初始条件和边界条件就是确定它们的条件。
求一个微分方程的解满足一定初始条件和边界条件的问题称为定解问题：
泛定方程& ???????
初始条件边界条件定解条件衔接条件
自然条件。 1. 初始条件
00(,)()(,)().
t t t u x t x u x t x ?ψ==?=??=??，即已知初位移)(x ?和初速度)(x ψ 2. 边界条件
i. 第一类边界条件-狄利克雷条件（Dirichlet 边界条件）：直接给出了未知函数
在边界上的值。
ii. 第二类边界条件-诺依曼条件（Neumann 边界条件）：给出未知函数在边界上
法向导数的值。
自由端点边界（端点不受外力，自由振动，意味着弦张力在振动方向无分量）
属于此类，边界条件为(0,)0(,)0或x x u t u l t ==
iii. 第三类边界条件-罗宾条件：给出未知函数和其边界法向导数在边界上的线
性关系。
弹性支撑边界（端点受到弹簧的约束而无外力）属于此类，边界条件为：
(,)(,)000x u t hu t -=
Note ：初始条件和边界条件是场运动规律的极限。
例1．对弦的横振动问题导出下列情况的定解条件：弦的两端点0=x 和l x =固定，用手将弦上的点(0)x c c l =<<拉开使之与平衡位置的偏离为h （l h <<），然后放手。
解：两端固定，所以边界条件为：(0,)0,(,)0u t u l t ==
由点c x =的初始位移求出其他点的初始位移，它们是两段直线方程，容易求得：
(0)(,0)()() ()h x x c c u x x h l x c x l l c ??≤≤??==??-≤≤?-?
， ， 显然，初速度为零：(,0)0t u x =
第二节 齐次方程混合问题的傅里叶解
——分离变量法 本征值问题
Abstract ：求解数理方程定解问题的方法有分离变量法、行波法、积分变换法、变分法、复变函数论等，这些方法各有千秋。分离变量法普遍适用，在其使用条件下，自然导致了问题的核心—本征值问题。
求解常微分方程：一般先求通解，再用初始/边界条件定其参数；求解偏微分方程，即使求得通解，亦难于由定解条件来定解（含任意函数）—本征值问题可解决此类问题。
7.2.1 利用分离变量法求解齐次弦振动方程的混合问题
分离变量法：把二元函数(,)u x t 表示为两个一元函数相乘(,)()()u x t X x T t =?；然后带入函数的二阶偏微分齐次方程20tt xx u a u -=，把偏微分方程化为两个常微分方程；把偏微分方程的边界条件转化为常微分方程的边界条件。
题型I ：方程和边界条件都是齐次的，而初始条件是非齐次的。
例题1：下面以两端固定弦的自由振动为例(第一类齐次边界条件):
()20000 0,0; 0,(); ().
tt xx x x l t t t u a u x l u u u x u x ?ψ====?-=<
第一步, 分离变量，将二阶偏微分方程转化为两个常微分方程。 设)()(),(t T x X t x u =[取此特解形式，可得驻波解：()T t 是振荡函数，而与x 无关，()X x 是幅度函数，与t 无关],将此)()(),(t T x X t x u =代入泛定方程，即得
2()()()().X x T t a X x T t ''''=
等式两端除以)()(2t T x X a ，就有)
()()()(2x X x X t T a t T ''=''. 注意在这个等式中，左端只是t 的函数，与x 无关，而右端只是x 的函数，与t 无关。因此，左端和右端相等，就必须共同等于一个既与x 无关、又与t 无关的常数。令这个常数为λ-(参数)，即，λ-=''='')
()()()(2x X x X t T a t T . 由此得到两个常微分方程：
0)()(2=+''t T a t T λ （7.1）
0)()(=+''x X x X λ （7.2）
第二步，将(,)u x t 原来的边界条件转化为()X x 的边界条件。
将此(,)()()u x t X x T t =代入边界条件，得0)()0(=t T X ，0)()(=t T l X ，转化为()X x 的边界条件：
0)0(=X ，0)(=l X [因为)(t T 不可能恒为0，否则),(t x u 恒为0] （7.3）
这样就完成了分离变量法求解偏微分方程定解（亦定界）问题的前两步：分离变量。在这两步中，假设所要求的是变量分离形式的非零解)()(),(t T x X t x u =，导出了函数)(x X 应该满足的常微分方程和边界条件，以及)(t T 所满足的常微分方程。分离变量之所以能够实现，是因为原来的偏微分方程和边界条件都是齐次的（可分离变量）。
第三步,求解本征值问题
上面得到的函数)(x X 的常微分方程定解问题，称为本征值问题。其特点是：常微分方程0)()(=+''x X x X λ中含有一个待定常数λ，而定解条件0)0(=X ，0)(=l X 是一对齐次边界条件。这样的定解问题不同于我们过去熟悉的常微分方程的初值问题。下面将看到，并非对于任何λ值，都有既满足齐次常微分方程，又满足齐次边界条件的非零解。只有当λ取某些特定值时，才有既满足齐次常微分方程，又满足齐次边界条件的非零解)(x X .λ的这些特定值称为本征值(eigenvalue)，相应的非零解称为本征函数(eigenfunction).
通过讨论分析得出只有0>λ时，方程（7.2）的解才有意义。因此，0>λ时解（7.2）式得，
()X x A B =+.
将这个通解代入边界条件（7.3），就有
0;sin 0.A A B =???+=??
即0;0.
A B =???=?? A 和B 不能同时为0，否则)(x X 恒为零，),(t x u 恒为0（平凡解，虽然零解无物理意义，但至少说明数学上可能行得通），因此只能是，
0sin =l λ，即πλn l = () ,3,2,1=n .
于是，λ只能取如下的一系列值：2
??
? ??=l n n πλ () ,3,2,1=n ；相应的本征函数就是：x l n x X n πsin )(= 这里取1B =，因为我们所要求的必然只是线性无关解。不同的B 值给出的是线性相关的。由于同样的原因，我们也不必考虑n 为负整数的情形。这样求得的本征值有无穷多个，他们可以用正整数n 标记，因此，我们把本征值和本征函数分别记为n λ和)(x X n .
第四步,求特解，并进一步叠加出一般解：
对于每一个本征值n λ，由0)()(2
=+''t T a t T λ（7.1）解出相应的)(t T n : ()cos sin n n n n n T t C at D at l l
ππ=+. 因此，也就得到了满足偏微分方程和边界条件的特解:
(,)cos sin sin n n n n n n u x t C at D at x l l l πππ??=+ ???
() ,3,2,1=n . 这样的特解有无穷多个() ,3,2,1=n 。每一个特解都同时满足齐次偏微分方程和齐次边界条件。它们是一系列的驻波。但是，一般来说，单独任何一个特解都不能满足定解问题中的初始条件。然而，由于偏微分方程和边界条件都是齐次的，把它们的特解线性叠加起来，即
1(,)cos sin sin n n n n n n u x t C at D at x l l l πππ∞
=??=+ ???∑. 这样得到的),(t x u 也仍然是齐次偏微分方程在齐次边界条件下的解（当然要求此级数收敛
且可以逐项求二阶偏导，即求和和求导可以交换次序）。这种形式的解称为一般解。
现在根据初始条件中的已知函数)(x ?和)(x ψ定出叠加系数n C 和n D .将上面的一般解代入初始条件，得
11()sin , (7.4)()sin . (7.5)n n n n n x C x l n a n x D x l l π?ππψ∞=∞=?=???=∑∑???
注：)(x ?是已知函数而非任意函数().x ?(,)u x t 既要满足方程又要满足条件。(,)n u x t 由()n X x 构成，)(x ?亦由()n X x 构成。初、边条件仅是其内部规律的极限。
第五步,利用本征函数的正交性确定叠加系数： 设x l n x X n πsin )(=和x l
m x X m πsin )(=是分别对应本征值n λ和m λ的两个本征函数，m n λλ≠（即m n ≠）. 显然，它们分别满足
()()0,n
n n X x X x λ''+= （7.6） 0)0(=n X ，()0.n X l = （7.7）
和 ()()0,m
m m X x X x λ''+= （7.8） 0)0(=m X ，()0.m X l = （7.9）
用)(x X m 乘以(7.6)，用)(x X n 乘以(7.8)，相减并在区间[]l ,0上积分，即得
()[][]000
()()d ()()()()d ()()()()0,l l
n m n m n m m n l n m m n X x X x x X x X x X x X x x X x X x X x X x λλ''''-=-''=-=??
其中利用了)(x X n 和)(x X m 所满足的边界条件（7.7）和（7.9）.
考虑到m n λλ≠，因此，就证得本征函数的正交性:
进一步计算还可以得到本征函数的模方
:
因此，在(7.4)式两端同乘以x l m x X m πsin
)(=，并逐项积分，就得到 001
01()sin d sin sin d sin
sin d .2l l n n l n m n m x n x m x x x C x l l l n x m x l C x C l l πππ?ππ∞=∞====∑??∑? 所以，02()sin d l n n x C x x l l
πφ=?. 同样可以得到，02()sin d l n n x D x x n a l
πψπ=?.（实为傅里叶级数的奇延拓） 这样，根据初始条件中的已知函数)(x ?和)(x ψ，计算出积分，就可以得到叠加系数n C 和n D ，从而就求得了整个定解问题的解。
Step 6,解的物理解释
先观察特解：
()(,)cos sin sin sin sin ,n n n n n n n n n n u x t C at D at x N t k x l l l πππωδ??=+=+ ???
其中，l a n n πω=，l
n k n π=，cos n n n N C δ=，sin n n n N D δ=.因此，),(t x u n 代表一个驻波，sin n n N k x 表示线上各点的振幅分布，()n n t δω+sin 表示点谐振动。n ω是驻波的圆频率，称为两端固定弦的固有频率或本征频率，与初始条件无关；n k 称为波数，是单位长度上波的个数；n δ称为位相，由初始条件决定。在πm x k n =，即()n m l n m k m x n ,,2,1,0 , ===π的各点上，振动的幅度恒为0，称为波节。包括弦的两个端点在内，波节点共有1+n 个。在π??
? ??
+=21m x k n ，即()()1,,2,1,0 ,212212-=+=+=n m n l m k m x n π的各点上，振幅的绝对值恒为最大，称为波腹。波腹共有n 个。整个问题的解则是这些驻波的迭加。正是因为这个原因，这种解法也称为驻波法(a generized method of the separation variables).
就两端固定弦来说，固有频率中有一个最小值，即l a
πω=1，称为基频。其它固有频率
都是它的整数倍，称为倍频。弦的基频决定了所发声音的音调。在弦乐器中，当弦的质料一定（即ρ一定）时，通过改变弦的绷紧程度（即改变张力T 的大小），就可以调节基频1ω的
大小。基频和倍频的迭加系数{}n C 和{}n D 的相对大小决定了声音的频谱分布，即决定了声音的音色。
小结2：对于弦振动的齐次方程和第一类齐次边界条件的混合问题，即：
()20000 0,0; 0,(); ().
tt xx x x l t t t u a u x l
u u u x u x ?ψ====?-=<
它的解是：
1(,)cos sin sin n n n n n n u x t C at D at x l l l πππ
∞
=??=+ ???∑
其中：
02()sin d l
n n x C x x l l πφ=?
02()sin d l n n x
D x x n a l πψπ=?
习题七的1-6题属于例题1类型。
例题2，弦振动的齐次边界条件中存在第二类边界条件，如：
()20000 0,0; 0,
(); ().
tt xx x x x l t t t u a u x l
u u u x u x ?ψ====?-=<
注意：边界条件与例题1不一样。
第一步，分离变量，将偏微分方程转化为两个常微分方程。
令(,)()()u x t X x T t =，并代入泛定方程，即得
2()()()()X x T t a X x T t ''''=
等式两端同时除以()()X x T t ，就有
2()
()
()()X x T t X x a T t λ''''==-.
由此得到两个常微分方程：
()()0,X x X x λ''+=
2()()0.T t a T t λ''+=
第二步，将原函数的边界条件化为分离变量后函数的边界条件。
将(,)()()u x t X x T t =代入关于x 的一对齐次边界条件，得
(0)()0X T t '=，()()0X l T t =
得X 的边界条件为：
(0)0X '=，()0X l =
第三步，解()X x 本征值问题。
这样，我们得到本征值问题:
0)()(=+''x X x X λ, (0)0X '=，()0X l =.
0>λ才有解.
解得：()sin X x A B =+.
得到：()X x '=+
代入边界条件，就有
0;0.B A B =???+=??
即0;0.
B A =???=?? A 和B 不能同时为0，否则)(x X 恒为零，因而),(t x u 恒为0（平凡解）
。因此只能是0=
1()2
n π=+ () ,3,2,1,0=n . 于是，λ只能取如下的一系列值：2
1()2n n l πλ??=+???
?() ,3,2,1,0=n ; 相应的本征函数就是： 1()cos[()]2n X x n x l
π=+. 第四步，解()T t 的微分方程，得到(,)u x t 的特解(,)n u x y ，叠加得出一般解。 对于每一个本征值n λ，可以求出相应的()n T t :
11()cos[()]sin[()].22n n n a a T t C n t D n t l l
ππ=+++ 因此，也就得到了满足边界条件的特解:
111(,)cos[()]sin[()]cos[()].222n n n a a u x t C n t D n t n x l l l πππ
??=++++????
把这些特解叠加起来，就得到一般解:
0111(,)cos[()]sin[()]cos[()].222n n n a a u x t C n t D n t n x l l l πππ
∞
=?
?=++++????∑.
第五步，由本征函数的正交归一性，得到系数，确定解。
将上面的一般解代入初始条件，根据本征函数的正交性得系数为：
021()cos[()]d ,2l
n C x n x x l l π
?=+?
041()cos[()]d (21)2l
n x
D x n x n a l πψπ=++?
例题3，弦振动的齐次方程和齐次第一类、第二类边界条件
()20000 0,0; 0,(); ().
tt xx x x x l t t t u a u x l
u
u u x u x ?ψ====?-=<
注意：边界条件与例题1、例题2都不一样。
第一步，分离变量，将偏微分方程转化为两个常微分方程。
令(,)()()u x t X x T t =，并代入泛定方程，即得
2()()()()X x T t a X x T t ''''=
等式两端同时除以()()X x T t ，就有
2()()
()()X x T t X x a T t λ''''==-.
由此得到两个常微分方程：
()()0,X x X x λ''+=
2()()0.T t a T t λ''+=
第二步，将原函数的边界条件化为分离变量后函数的边界条件。
将(,)()()u x t X x T t =代入关于x 的一对齐次边界条件，得
(0)()0X T t =，()()0X l T t '=，这时也可以分离变量，得X 的边界条件为：
(0)0X =，()0X l '=.
第三步，解()X x 本征值问题。
这样，我们得到本征值问题:
0)()(=+''x X x X λ, (0)0X =，()0X l '=.
0>λ才有解.
解得：()sin X x A B =+.
得到：()X x '=+
以上两式代入边界条件，就有
0;0.A =???-+=??
即0;0.
A B =???=?? A 和B 不能同时为0，否则)(x X 恒为零，因而),(t x u 恒为0（平凡解）
。因此只能是0=
1()2
n π=+ () ,3,2,1,0=n . 于是，λ只能取如下的一系列值：2
1()2n n l πλ??=+???
?() ,3,2,1,0=n ; 相应的本征函数就是： 1()sin[()]2n X x n x l
π=+. 第四步，解()T t 的微分方程，得到(,)u x t 的特解(,)n u x y ，叠加得出一般解。 对于每一个本征值n λ，可以求出相应的()n T t :
11()cos[()]sin[()].22n n n a a T t C n t D n t l l
ππ=+++ 因此，也就得到了满足边界条件的特解:
111(,)cos[()]sin[()]sin[()].222n n n a a u x t C n t D n t n x l l l πππ??=++++???
? 把这些特解叠加起来，就得到一般解:
0111(,)cos[()]sin[()]sin[()].222n n n a a u x t C n t D n t n x l l l πππ∞
=??=++++????∑
第五步，由本征函数的正交归一性，得到系数，确定解。
将上面的一般解代入初始条件，根据本征函数的正交性得系数为：
021()sin[()]d ,2l n C x n x x l l π?=
+? 041()sin[()]d (21)2l n x D x n x n a l
πψπ=++?
小结3：对于弦的自由振动，针对齐次边界条件中存在第二类边界条件的两类例题：
例题2()20000 0,0; 0,(); ().
tt xx x x x l t t t u a u x l u u u x u x ?ψ====?-=<
0111(,)cos[()]sin[()]cos[()].222n n n a a u x t C n t D n t n x l l l πππ∞
=??=++++????∑ 其中
021()cos[()]d ,2l n C x n x x l l π?=
+? 041()cos[()]d (21)2l n x D x n x n a l
πψπ=
++? 例题3()20000 0,0; 0,(); ().
tt xx x x x l t t t u a u x l u u u x u x ?ψ====?-=<
0111(,)cos[()]sin[()]sin[()].222n n n a a u x t C n t D n t n x l l l πππ∞
=??=++++????∑ 其中
021()sin[()]d ,2l n C x n x x l l
π?=+?
041()sin[()]d (21)2l n x D x n x n a l
πψπ=++? 习题七的13题属于例题2类型。
题型II ：方程为齐次，边界条件为非齐次。
以习题10为例：求解长为l 的弦的振动问题
()20000 0, (1); 0, (2)0; 0. (3)
tt xx x x l t t t u a u x l u E u u u ====?-=≤≤??==??==?? 注意边界条件，边界条件为非齐次，直接用分离变量法无法求出解，所以需将非齐次边界条件处理成齐次边界条件，再用分离变量法。
解题方法：用辅助函数法，把非齐次边界条件转化为齐次边界条件。令函数(,)(,)(,)u x t V x t s x t =+，其中(,)s x t 为已知函数。已知函数(,)s x t 的选取条件是：必须能够使得(,)V x t 满足齐次边界条件的混合问题，即：
()20 0,(0,)0;(,)0,
tt xx V a V x l V t V l t ?-=≤≤??==?? 解：第一步，找出已知函数
令
()(,)(,)l x u x t V x t E l
-=+ （4） 第二步，把上式带入(,)u x t 的混合问题，转化为(,)V x t 的齐次边界条件的混合问题。
把公式（4）带入公式（1）得：
2tt xx V a V = （5）
将公式（2）带入公式（4）得：
(0,)0;(,)0V t V l t == （6）
将公式（3）带入公式（4）得：
()(,0)x l V x E l
-= （7） (,0)0t V x = （8）
这样，函数(,)V x t 满足的混合问题为：
()20 0,(0,)0;(,)0,
()(,0)();(,0)()0 tt xx t V a V x l V t V l t x l V x x E V x x l ?ψ??-=≤≤?==??-?====?
第三步，解关于(,)V x t 的混合问题。
(,)V x t 的混合问题为例题1，所以(,)V x t 解为
1(,)cos sin sin n n n n n n V x t C at D at x l l l πππ∞
=??=+ ???∑ 其中：
0022()()sin d sin d l l n n x E x l n x C x x x l l l l l
ππφ-==?? 02()sin d 0l n n x D x x n a l
πψπ==? 第四步，写出原方程的解。 由()(,)(,)l x u x t V x t E l -=+
得： 1()(,)cos sin sin n n n l x n n n u x t E C at D at x l l l l πππ∞=-??=++ ??
?∑
习题七第12题：
()20002 0 (1)0; 0 (2)(); () (3)
tt xx t x x l t t t u a u hu x l u u u x u x ?ψ====?=-<
分析：泛定方程（1）式除了u ，不存在第二个函数项，所示是齐次微分方程，（2）式为边界条件而且是齐次的，所以该题可以用分离变量法。
解：第一步，分离变量，将偏微分方程转化为两个常微分方程。
令
(,)()()u x t X x T t = （4）
将（4）式代入方程（1），即得
2()()()()2()()X x T t a X x T t hX x T t '''''=-
等式两端同时除以()()X x T t ，把关于x 和t 的函数分移至等号两边，有
2()()2() (0)()()
X x T t hT t X x a T t λλ'''''+==->. 由此得到两个常微分方程：
()()0X x X x λ''+= （5）
2()2()()0T t hT t a T t λ'''++= （6）
第二步，将原函数的边界条件化为分离变量后函数的边界条件。
将(,)()()u x t X x T t =代入关于x 的一对齐次边界条件（2）式，得
(0)()0X T t =，()()0X l T t =，这时也可以分离变量，得X 函数的边界条件为：
(0)0X =，()0X l = （7）
第三步，解()X x 本征值问题。
这样，我们得到本征值问题:
0)()(=+''x X x X λ, (0)0X =，()0X l =.
解得：()sin X x A B =+.
代入边界条件，就有
0;0.A A B =???+=??
即0;0.
A B =???=?? A 和B 不能同时为0，否则)(x X 恒为零，因而),(t x u 恒为0（平凡解）
。因此只能是0=
n π= ()1,2,3,
n =. 于是，λ只能取如下的一系列值：2(
)n n l πλ=()1,2,3,n =;
相应的本征函数就是： ()sin()n n X x x l
π= （8） 第四步，解()T t 的微分方程，得到(,)u x t 的特解(,)n u x y ，叠加得出一般解。
解（6）式：2()2()()0T t hT t a T t λ'''++=
（6）式的特征函数为22
20r hr a λ++=，其特征根为：
r h =-±
因此（6）式解为：
((()()h t h t ht T t C e D e e C D -+---''=+=+ 对于每一个本征值n λ，相应的()n T t
:
(){cos[sin[ht n n n T t e C D -=+ 因此，也就得到了满足边界条件的特解
:
(,){cos[sin[]}sin()ht n n n n u x t e C D x l
π-=+ 把这些特解叠加起来，就得到一般解
:
1(,){cos[sin[]}sin()ht n n n n u x t e C D x l
π∞-==+∑ （9） 第五步，由本征函数的正交性，得到系数，确定解。
将初始条件(,0)()u x x ?=代入上面的一般解，得：
1(,0)sin(
)()n n n u x C x x l
π?∞===∑ 根据本征函数sin()n x l
π的正交性得系数为： 02()sin()d l n n C x x x l l
π?=? （10） （9）式对t 求导为：
11(,){cos[sin[]}sin(){]}sin()ht t n n n ht n n u x t he C D x l n e C D x l ππ∞
-=∞-==-++-+∑∑
将初始条件(,0)()t u x x ψ=带入上求导式，得
11(,0)sin()sin()()t n n n n n u x hC x D x x l l ππψ∞
∞===-+=∑∑ 根据本征函数sin()n x l
π的正交性，得：
0()sin()d 2l n
n l n hC D x x x l πψ-+=? 把（10）式带入，得到
00()sin()d ()sin()d l l n n n D x x x x x x l l
ππ?ψ=+?（11） 该题的解为（9）式，（10）式和（11）式为（9）式中的系数。
第四节 非齐次振动方程求解
前面所讨论的问题中的偏微分方程都是齐次的，现在来讨论非齐次偏微分方程的解法。为方便起见，以长为l 两端固定的弦的强迫振动为例，所用方法对其它类型的方程也适合。即考虑定解问题
()()22222000(,)(0,0),(4.1)0,0(0),(4.2),(0).(4.3)
x x l t t u u a f x t x l t t x u u t u u x x x l t ?ψ====???=+<<>?????==>????==<
由上节例题1可知：两端固定的弦的自由振动在弦上形成驻波形式，其本征值为2()n n l πλ=，本征函数为sin n x l
π。则该弦在强迫力(,)f x t 作用下仍作类似该驻波形式的振动，因此，直接利用本征函数来求解。
第一步，将上述定解问题中未知函数(,)u x t 、已知函数(,)f x t 、()x ?和()x ψ都展开成本征函数sin n x l
π的级数形式。令 1(,)()sin
n n n u x t T t x l
π∞==∑ （4-1.4） 1(,)()sin
n n n f x t f t x l
π∞==∑ （4-1.5） 1
()sin
n n n x x l π??∞==∑ （4-1.6） 1
()sin
n n n x x l πψψ∞==∑ （4-1.7） 由本征函数的正交性可知：
1.下面对宪法内涵的理解，正确的有（ABCD ） A.宪法是国家的根本法 B.宪法是公民权利的保障书 C.宪法是民主事实法律化的基本形式 D.宪法是调整国家和公民关系的基本法律 2.我国现行宪法第44条规定，（ BC ）保障退休人员的生活 A.国家劳动机关 B.社会 C.国家 D.所在单位 3.在全国人大代表选举过程中，下列哪些组织可以联合或单独推荐代表候选人？（A C ） A.各政党 B.各企事业单位 C.各人民团体 D.各国家机关 4、建设项目中防治污染的设施，应当与主体工程（ ABC ）。防治污染的设施应当符合经批准的环境影响评价文件的要求，不得擅自拆除或者闲置。A 、同时设计 B 、同时施工C 、同时投产使用 D 、同时 5、国家建立跨行政区域的重点区域、流域环境污染和生态破坏联合防治协调机制，实行（ ABCD ）。A 、统一规划 B 、统一标准C 、统一监测 D 、统一的防治措施 6、某市土地管理部门发现某县A 公司存在违反《土地管理法》的行为，某县土地管理局却不给予行政处罚，作为某县土地管理局的上级部门，某市土地管理部门可采取下列哪些措施？ （ABC ） A ． 直接对A 公司进行行政处罚 B ． 责令某县土地管理局作出行政处罚决定 C ． 给予某县土地管理局的负责人行政处分 D ． 向某市人民政府的行政监察部门作出行政处分建议书，建议对某县土地管理局的负责人予以行政处分 7、根据《土地管理法》等法律法规的规定，以下(ABCDE)种土地违法行为应给予行政处、管路敷设技术通过管线敷设技术，不仅可以解决吊顶层配置不规范问题，而且可保障各类管路习题到位。在管路敷设过程中，要加强看护关于管路高中资料试卷连接管口处理高中资料试卷弯扁度固定盒位置保护层防腐跨接地线弯曲半径标高等，要求技术交底。管线敷设技术中包含线槽、管架等多项方式，为解决高中语文电气课件中管壁薄、接口不严等问题，合理利用管线敷设技术。线缆敷设原则：在分线盒处，当不同电压回路交叉时，应采用金属隔板进行隔开处理；同一线槽内，强电回路须同时切断习题电源，线缆敷设完毕，要进行检查和检测处理。、电气课件中调试对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料试卷相互作用与相互关系，根据生产工艺高中资料试卷要求，对电气设备进行空载与带负荷下高中资料试卷调控试验；对设备进行调整使其在正常工况下与过度工作下都可以正常工作；对于继电保护进行整核对定值，审核与校对图纸，编写复杂设备与装置高中资料试卷调试方案，编写重要设备高中资料试卷试验方案以及系统启动方案；对整套启动过程中高中资料试卷电气设备进行调试工作并且进行过关运行高中资料试卷技术指导。对于调试过程中高中资料试卷技术问题，作为调试人员，需要在事前掌握图纸资料、设备制造厂家出具高中资料试卷试验报告与相关技术资料，并且了解现场设备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。 、电气设备调试高中资料试卷技术电力保护装置调试技术，电力保护高中资料试卷配置技术是指机组在进行继电保护高中资料试卷总体配置时，需要在最大限度内来确保机组高中资料试卷安全，并且尽可能地缩小故障高中资料试卷破坏范围，或者对某些异常高中资料试卷工况进行自动处理，尤其要避免错误高中资料试卷保护装置动作，并且拒绝动作，来避免不必要高中资料试卷突然停机。因此，电力高中资料试卷保护装置调试技术，要求电力保护装置做到准确灵活。对于差动保护装置高中资料试卷调试技术是指发电机一变压器组在发生内部故障时，需要进行外部电源高中资料试卷切除从而采用高中资料试卷主要保护装置。
精品文档 #include "stdafx.h" #include 波动方程的求解方法 《高电压技术》第七章补充内容 20110517 一．求解算例：（暂态算例，与作业P93页7-3类似） 如图1所示，直流电源在t=0时刻合闸于无损单导线，已知电源电压E=1V,电源内阻为0，无损单导线单位长度的电感为L0、单位长度的对地电容为C0,线路长度为1m,且末端开路。（注：设线路末端为x=0的起始点，x正方向从线路末端指向电源端） 图1 直流电源合闸于有限长线路 1）写出无损单导线的时域波动方程。 2）写出无损单导线的频域波动方程。 3）根据频域方程和边界条件求线路上任意一点的电压的频域表达式。 二、求解过程 1.均匀传输线的波动方程： 00 00 u i ir L x t i u ug C x t ???-=+????????-=+???? 2.忽略损耗，上式的解耦形式为： 2200 222 2 00 22u u L C x t i i L C x t ??? =???????? =???? 3.应用拉普拉斯变换到频域得： 2 2 2 22 2 d u u d d i i d x x γγ = =， γ，p 为拉普拉斯算子 4.写出电压方程和电流方程的通解形式： u(x)=Aexp(-x)+Bexp(x) γγ A B i(x)= exp(-x)+ exp(x) z z γγ- 其中z 为线路波阻抗，且 5.代入边界条件 电源端:x=1,u=1/p; 线路末端：x=0,i=0,求出A 和B ，得到： 1cosh x u(x)=p cosh γγ ? 三、作业（稳态算例，选作,参见§11-1空载长线电容效应P297-298） 如图2所示，已知无损空载长线长为L ，末端开路，该线单位长度的电感为L 0、单位长度的对地电容为C 0, 电源电压为E ，且X L =0，求U X 的关于E 频域表达式。 图2 空载电路的沿线电压分布曲线 1() cos cos x U E U x L αα? ? ? = （P298页式11-1-8） 提示：1.应用正弦稳态变换，即p =j ω变换到频域求解。 2.应用欧拉公式有： cos sin cos sin j L j L e L j L e L j L αααααα-=+=- 即cos sin ch L L sh L j L γγ=α=α 这里有0000 j j ;j j Z L Y C γωωω= ==α == 2 振动与波动习题与答案 Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】 第10章 振动与波动 一. 基本要求 1. 掌握简谐振动的基本特征，能建立弹簧振子、单摆作谐振动的微分方程。 2. 掌握振幅、周期、频率、相位等概念的物理意义。 3. 能根据初始条件写出一维谐振动的运动学方程，并能理解其物理意义。 4. 掌握描述谐振动的旋转矢量法，并用以分析和讨论有关的问题。 5. 理解同方向、同频率谐振动的合成规律以及合振幅最大和最小的条件。 6. 理解机械波产生的条件。 7. 掌握描述简谐波的各物理量的物理意义及其相互关系。 8. 了解波的能量传播特征及能流、能流密度等概念。 9. 理解惠更斯原理和波的叠加原理。掌握波的相干条件。能用相位差或波程差概念来分析和确定相干波叠加后振幅加强或减弱的条件。 10. 理解驻波形成的条件，了解驻波和行波的区别，了解半波损失。 二. 内容提要 1. 简谐振动的动力学特征 作谐振动的物体所受到的力为线性回复力，即 取系统的平衡位置为坐标原点，则简谐振动的动力学方程（即微分方程）为 2. 简谐振动的运动学特征 作谐振动的物体的位置坐标x 与时间t 成余弦（或正弦）函数关系，即 由它可导出物体的振动速度 )sin(?+ωω-=t A v 物体的振动加速度 )cos(?+ωω-=t A a 2 3. 振幅A 作谐振动的物体的最大位置坐标的绝对值，振幅的大小由初始条件确定，即 4. 周期与频率 作谐振动的物体完成一次全振动所需的时间T 称为周期，单位时间内完成的振动次数γ称为频率。周期与频率互为倒数，即 ν= 1T 或 T 1=ν 5. 角频率(也称圆频率）ω 作谐振动的物体在2π秒内完成振动的次数，它与周期、频率的关系为 ω π = 2T 或 πν=ω2 6. 相位和初相 谐振动方程中（?+ωt ）项称为相位，它决定着作谐振动的物体的状态。t=0时的相位称为初相，它由谐振动的初始条件决定，即 应该注意，由此式算得的?在0~2π范围内有两个可能取值，须根据t=0时刻的速度方向进行合理取舍。 单选 Ch1 1、下述说法中正确的是（D） A．网络层的协议是网络层内部处理数据的规定 B．接口实现的是人与计算机之间的交互 C．在应用层与网络层直接的接口上交换的是包 D．上一层的协议数据单元就是下一层的服务数据单元 2、在OSI参考模型中，第n层与它之上的第n+1层的关系是（A） A．第n层为第n+1层提供服务 B．第n+1层为从第n层接收的报文添加一个报头 C．第n层使用第n+1提供的服务 D．第n层和第n+1层相互没有影响 3、在OSI参考模型中，自下而上第一个提供端到端服务的层次是（B） A．数据链路层 B．传输层 C．会话层 D．应用层 4、下列选项中，不属于网络体系结构中所描述的内容是（C） A．网络层次 B．每一层使用的协议 C．协议的内容实现细节 D．每一层必须完成的功能 5、下列说法正确的是（D） A．在较小范围内布置的一定是局域网，而在较大范围内布置的一定是广域网 B．城域网是连接广域网而覆盖园区的网络 C．城域网是为淘汰局域网和广域网而提出的一种网络技术 D．局域网是基于广播技术发展起来的网络，广域网是基于交换技术发展起来的网络 Ch2 1、在图所示的采用“存储-转发”方式分组的交换网络中，所有链路的数据传输速度为100Mbps，分组大小为1000B，其中分组头大小为20B，若主机H1向主机H2发送一个大小为980000B的文件，则在不考虑分组拆装时间和传播延迟的情况下，从H1发送到H2接收完为止，需要的时间至少是（C）。（2010年全国考研题） A 80ms B 80.08ms C 80.16ms D 80.24ms 2、在无噪声情况下，若某通信链路的带宽为3KHz，采用4个相位、每个相位有4种振幅的QAM调制技术，则该通信链路的最大数据传输速率是（B）。（2009年全国考研题） A 12Kbps B 24Kbps C 48Kbps D 96Kbps 3、将1路模拟信号分别编码为数字信号后，和另外7路数字信号采用同步TDM方式复用到一条通信线路上。1路模拟信号的频率变化范围为0~1KHz，每个样值采用PCM方式编码为4位的二进制数，7路数字信号的数据率均为7.2Kbps。复用线路需要的最小通信能力是（C）。 A 7.2Kbps B 8Kbps C 64Kbps D 512Kbps 4、在一个CDMA移动通信系统中，A、B、C站分配的地址码分别是（-1-1-1+1+1-1+1+1）、（-1-1+1-1+1+1+1-1）和（-1+1-1+1+1+1-1-1），某一时刻A发送数据位0，B发送数据1，C 未发送，则接收C站信息的接收者收到的信号是（A）。 A （0 0 +2-2 0 +2 0 -2） B （0 +2 +2 -2 0 +2 0 -2） C （+2 0 +2 -2 0 +2 0 -2） D （0 0 +2 -2 0 +2 0 0） 5、利用一根同轴电缆互连主机构建以太网，则主机间的通信方式为（B）。 A 全双工 B 半双工 C 单工 D 不确定 6、图是二进制序列的曼彻斯特编码，码元1是前低后高，试画出该二进制序列的差分曼彻斯特编码。如果以100Mbps数据率发送该二进制序列，则所需要的信道带宽至少为多少？ 基本波动方程的求解方法 This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020 关于弦振动的求解方法 李航 一、无界弦振动 1、一维齐次波动方程 达朗贝尔方程解无界的定解问题 ?+-+-++=at x at x d a at x at x t x u ξξ?φ?)(21)]()([21),( <达朗贝尔公式> 在常微分方程的定解问题中，通常是先求方程的通解，然后利用定解条件确定通解所含的任意常数，从而得到定解问题的解。考虑无界的定解问题一般方程为 由达郎贝尔公式，解在点),(t x 的值由初始条件在区间],[at x at x +-内的值决定，称区间 ],[at x at x +-为点),(t x 的依赖区域，在t x -平面上，它可看作是过点),(t x ，斜率分别a 1± 为的两条直线在x 轴上截得的区间。 2、一维非齐次波动方程的柯西问题 达朗贝尔方程解非齐次定解问题 令),(),(),(t x V t x U t x u +=，可将此定解分解成下面两个定解问题： (I) ??? ????=??=>+∞<<∞-??=??== ， )(|),(|0,0022222x t u x u t x x u a t u t x φ? (II) ??? ????=??=>+∞<<∞-+??=??== ， 0|,0|0,),(0022222t x t u u t x t x f x u a t u 其中问题(I)的解可由达朗贝尔公式给出： ?+-+-++=at x at x d a at x at x t x U ξξ???)(21)]()([21),(。 对于问题(II)，有下面重要的定理。 定理（齐次化原理）设),,(τωt x 是柯西问题 的解)0(≥τ，则?=t d t x t x V 0 ),,(),(ττω是问题(II)的解。 二、有界的弦振动方程 1、分离变量法 齐次条件的分离变量法 （1） （2） （3） 设)()(),(t T x X t x u =，代入方程（1）得： 上式右端不含x ，左端不含t ，所以只有当两端均为常数时才能相等。令此常数为λ-，则有： ?????????====>< 波动光学习题 光程、光程差 1.在真空中波长为λ的单色光，在折射率为n 的透明介质中从A 沿某路径传播到B ，若A 、B 两点相位差为3π，则此路径AB 的光程为 (A) 1.5 λ． (B) 1.5 λ/ n ． (C) 1.5 n λ． (D) 3 λ． ［ A ］ 2.在相同的时间内，一束波长为λ的单色光在空气中和在玻璃中 (A) 传播的路程相等，走过的光程相等． (B) 传播的路程相等，走过的光程不相等． (C) 传播的路程不相等，走过的光程相等． (D) 传播的路程不相等，走过的光程不相等． ［ C ］ 3.如图，S 1、S 2是两个相干光源，它们到P 点的距离分别为r 1和r 2．路径S 1P 垂直穿过一块厚度为t 1，折射率为n 1的介质板，路径S 2P 垂直穿过厚度为t 2，折射率为n 2的另一介质板，其余部分可看作真空，这两条路径的光程差等于 (A) )()(111222t n r t n r +-+ (B) ])1([])1([211222t n r t n r -+--+ (C) )()(111222t n r t n r --- (D) 1122t n t n - ［ B ］ 4.如图所示，平行单色光垂直照射到薄膜上，经上下两表面反射的两束光发生干涉，若薄膜的厚度为e ，并且 n 1＜n 2＞n 3，λ1为入射光在折射率为n 1的媒质中的波长，则两束反 射光在相遇点的相位差为 (A) 2πn 2e / ( n 1 λ1)． (B)[4πn 1e / ( n 2 λ1)] + π． (C) [4πn 2e / ( n 1 λ1) ]+ π． (D) 4πn 2e / ( n 1 λ1)． ［ C ］ 5.真空中波长为λ的单色光，在折射率为n 的均匀透明媒质中，从A 点沿某一路径传播到B 点，路径的长度为l ．A 、B 两点光振动相位差记为?φ，则 (A) l ＝3 λ / 2，?φ＝3π． (B) l ＝3 λ / (2n )，?φ＝3n π． (C) l ＝3 λ / (2n )，?φ＝3π． (D) l ＝3n λ / 2，?φ＝3n π． ［ ］ 6.如图所示，波长为λ的平行单色光垂直入射在折射率为n 2的薄膜上，经上下两个表面反射的两束光发生干涉．若薄膜厚度为e ，而 且n 1＞n 2＞n 3，则两束反射光在相遇点的相位差为 (A) 4πn 2 e / λ． (B) 2πn 2 e / λ． (C) (4πn 2 e / λ) +π． (D) (2πn 2 e / λ) -π． ［ A ］ P S 1S 2 r 1 n 1 n 2 t 2 r 2 t 1 n 1 3λ1 n 1 3λ 第七章 常微分方程 一．变量可分离方程及其推广 1．变量可分离的方程 （1）方程形式： ()()()()0≠=y Q y Q x P dx dy 通解() ()? ?+=C dx x P y Q dy （注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意常数另外再加） （2）方程形式：()()()()02211=+dy y N x M dx y N x M 通解()()()() C dy y N y N dx x M x M =+??1221 ()()()0,012≠≠y N x M 2．变量可分离方程的推广形式 （1）齐次方程 ?? ? ??=x y f dx dy 令 u x y =， 则()u f dx du x u dx dy =+= ()c x c x dx u u f du +=+=-?? ||ln 二．一阶线性方程及其推广 1．一阶线性齐次方程 ()0=+y x P dx dy 它也是变量可分离方程， 通解()?-=dx x P Ce y ，（c 为任意常数） 2．一阶线性非齐次方程 ()()x Q y x P dx dy =+ 用常数变易法可求出通解公式 令()()?-=dx x P e x C y 代入方程求出()x C 则得 ()()()[] ?+=??-C dx e x Q e y dx x P dx x P 3．伯努利方程 ()()()1,0≠=+ααy x Q y x P dx dy 令α -=1y z 把原方程化为()()()()x Q z x P dx dz αα-=-+11 再按照一阶线性 非齐次方程求解。 4．方程： ()()x y P y Q dx dy -=1可化为()()y Q x y P dy dx =+ 以y 为自变量，x 为未知函数 再按照一阶线性非齐次方程求解。 2020年度国库知识测试多选题库及答 案（共120题） 1、各兑付单位收缴的假券由收缴单位加盖“假券”戳记后入库保管，并应于（）日内送缴人民银行当地分支机构国库部门。 A、3日 B、5日 C、10日 D、15日 正确答案：C 2、根据《关于零余额账户管理有关事项的通知》，零余额账户包括（）。 A、财政部门零余额账户 B、预算单位零余额账户 C、财政汇缴零余额账户 D、事业单位零余额专户 E、国有企业零余额专户正确答案、ABC 3、根据《关于零余额账户管理有关事项的通知》，（）的用款额度具有与人民币存款相同的支付结算功能。 A、财政部门零余额账户 B、预算单位零余额账户 C、财政汇缴零余额账户 D、事业单位零余额专户 E、国有企业零余额账户正确答案、AB 4、根据《关于零余额账户管理有关事项的通知》，预算单位零余额账户可办理（）等支付结算业务。 A、转账 B、汇兑 C、委托收款 D、透支 E、提取现金 正确答案、ABCE 125、根据《关于零余额账户管理有关事项的通知》，零余额账户的（）须经同级财政部门批准，并按照财政国库管理制度规定的程序和要求执行。 A、变更 B、合并 C、撤销 D、业务处理 E、账簿登记 正确答案、ABC 6、中国人民银行分支机构对商业银行提交的国库集中收付代理银行资格申请材料进行审查时，定性指标应当考虑申请银行的（）等情况。 A、信息系统建设情况 B、代理国库业务的经验 C、机构网点覆盖 D、服务承诺 E、外部评价 正确答案、ABDE 7、中国人民银行分支机构对商业银行提交的国库集中收付代理银行资格申请材料进行审查时，定量指标应当考虑申请银行的（）等情况。 A、信息系统建设情况 B、资金安全性 C、流动性 D、效益性 E、机构网点覆盖正确答案、BCDE 8、中国人民银行分支机构成立地方国库集中收付代理银行资格认定专家评审组，成员由（）等行内相关部门人员组成。 A、国库部门 B、会计部门 C、法律事务部门 D、事后监督部门 E、营业部正确答案、AC 9、我们国家实行的是一级政府一级预算，分别是（）五级预算。 A.中央 B.省、自治区、直辖市 C.设区的市、自治州 D.县、自治县、不设区的市、市辖区 E.乡、民族乡、镇预算。 正确答案：ABCDE 10、一般公共预算是对以税收为主体的财政收入，安排用于（）等方面的收支预算。 第二篇 数学物理方程 ——物理问题中的二阶线性偏微分方程及其解法 Abstracts:1、根据物理问题导出数理方程—偏微分方程； 2、给定数理方程的附加条件：初始条件、边界条件、物理条件 (自然条件，连接条件)，从而与数理方程一起构成定解问题； 3、方程齐次化； ４、数理方程的线性导致解的叠加。 一、数理方程的来源和分类（状态描述、变化规律） 1、来源 I ．质点力学：牛顿第二定律F mr =r r && 连续体力学222 2() (,)(,)0(()0; v 1()0(Euler eq.).u r t a u r t t v t v v p f t ρρρ ?????-?=??????? ?? +??=????-?+??=+=????? r r r r r r r r &弹性定律弦弹性体力学杆 振动：波动方程);膜 流体力学：质量守恒律：热力学物态方程： II.麦克斯韦方程 ;;00;().,,,D D E l B s E B B B H l j D s H j D E u B A u A σρτρσ??=???=?=????=????=???=?=+????=+??=-?=????????????????????r r r r r r r r r &&r r r r r r r r r r r &&r r r r 已已d d d d d d d 满足波动方程。Lorenz 力公式力学方程；Maxwell eqs.+电导定律电报方程。 III. 热力学统计物理 220;0.T k T t D t ρρ?? -?=??????-?=??? 热传导方程：扩 散方程：特别: 稳态（0t ρ?=?）:20ρ?= (Laplace equation). IV. 量子力学的薛定谔方程： 22 .2u i u Vu t m ?=-?+?h h 2. 分类 1、一平面简谐波的表达式为 )3cos(1.0π+π-π=x t y (SI) ，t = 0时的波形曲线如图所示，则 (A) O 点的振幅为-0.1 m ． (B) 波长为3 m ． (C) a 、b 两点间相位差为π2 1 ． (D) 波速为9 m/s ． ［ ］ 2、已知一平面简谐波的表达式为 )cos(bx at A y -=（a 、b 为正值常量），则 (A) 波的频率为a ． (B) 波的传播速度为 b/a ． (C) 波长为 π / b ． (D) 波的周期为2π / a ． 3、一沿x 轴负方向传播的平面简谐波在t = 2 s 时的波形曲线如图所示，则原点O 的振动方程为 (A) )21 (cos 50.0ππ+=t y ， (SI)． (B) )21 21(cos 50.0ππ-=t y ， (SI)． (C) )21 21(cos 50.0ππ+=t y ， (SI)． (D) )2 1 41(cos 50.0ππ+=t y ， (SI)． 4、图示一简谐波在t = 0时刻的波形图，波速 u = 200 m/s ， 则图中O 点的振动加速度的表达式为 (A) )21cos(4.02 π-ππ=t a (SI)． (B) )23 cos(4.02π-ππ=t a (SI)． (C) )2cos(4.02 π-ππ-=t a (SI)． (D) )2 1 2cos(4.02π+ππ-=t a (SI) 5、一平面简谐波在弹性媒质中传播，在某一瞬时，媒质中某质元正处于平衡位置，此时它的能量是 (A) 动能为零，势能最大． (B) 动能为零，势能为零． (C) 动能最大，势能最大． (D) 动能最大，势能为零． 6、在同一媒质中两列相干的平面简谐波的强度之比是I 1 / I 2 = 4，则两列波的振幅之比是 (A) A 1 / A 2 = 16． (B) A 1 / A 2 = 4． (C) A 1 / A 2 = 2． (D) A 1 / A 2 = 1 /4． (m) 第一章 一、单项选择题 1、被认为提出现代社会调查研究方法起源的分析的方法和逻辑的方法的是（C ）。 A.中国人 B.古印度人 C.古希腊人 D.古罗马人 2、社会研究就是社会科学对社会中的人以及各种社会现象进行的以（B.经验研究）为主的活动。 A.案例研究 B.经验研究 C.理论研究 D.方法研究 3、下面哪种方式是社会研究的主要方式？（D.社会调查研究） A.方法论研究 B.文献研究 C.实验研究 D.社会调查研究 4、（C.文献研究）是依靠第二手的资料对社会现象进行分析。 A.社会调查研究 B.实验研究 C.文献研究 D.案例研究 5、（A.社会调查研究）注重通过对第一手的信息的分析达到认识社会的目的。 A.社会调查研究 B.实验研究 C.文献研究 D.方法论研究 6、社会研究的（A方法论）是社会研究的一般方法，是社会研究方法的指导思想。 A.方法论 B.社会研究的方式 C.社会研究的目的 D.社会研究的具体方法和研究技术 7、（B.马克思主义哲学方法论）是社会研究方法体系的基础。 A.恩格斯主义哲学方法论 B.马克思主义哲学方法论 C.社会科学的学科方法论 D.逻辑方法 8、社会科学学科方法论主要是指（B B.社会科学理论）在社会研究中的指导地位和作用。 A.社会科学方法 B.社会科学理论 C.社会科学思想 D.社会科学体系 9、普查是一种为了解对象的总的情况而对（B.社会科学理论）进行的调查。 A.全体调查对象逐一 B.全体调查对象部分 C.部分调查对象逐一 D.部分调查对象抽样 二、多项选择题 1. 社会研究的三种主要方式包括（BCD ）。 A.方法论研究 B.社会调查研究 C.实验研究 D.文献研究 E.问卷研究 2. 社会研究的特殊性主要是由于（ABCDE ）导致的。 A.人的特殊性 B.社会现象的复杂多变性 C.偶然性 D.主观性 E.干扰性 3. 社会研究方法的重要性包括（ ABDE）。 A.正确地认识和了解社会 B.描述社会的客观状况 C.提高人们的素质 D.解释社会现象产生、 全国计算机一级考试选择题题库 一选择题: 1.微型计算机硬件系统中最核心的部件是( 。答案:B A、主板 B、CPU C、内存储器 D、I/O设备 2.下列术语中,属于显示器性能指标的是( 。答案:C A、速度 B、可靠性 C、分辨率 D、精度 3.配置高速缓冲存储器(Cache是为了解决( 。答案:C A、内存与辅助存储器之间速度不匹配问题 B、CPU与辅助存储器之间速度不匹配问题 C、CPU与内存储器之间速度不匹配问题 D、主机与外设之间速度不匹配问题 4.计算机病毒是一种( 。答案:C A、特殊的计算机部件 B、游戏软件 C、人为编制的特殊程序 D、能传染的生物病毒 5.微型计算机存储系统中,PROM是( 。答案:D A、可读写存储器 B、动态随机存取存储器 C、只读存储器 D、可编程只读存储器 6.在计算机领域中通常用MIPS来描述( 。答案:A A、计算机的运算速度 B、计算机的可靠性 C、计算机的可运行性 D、计算机的可扩充性 7.在Word的编辑状态,单击文档窗口标题栏右侧的按钮后,会( 。答案:D A、将窗口关闭 B、打开一个空白窗口 C、使文档窗口独占屏幕 D、使当前窗口缩小 8.在Word的编辑状态,当前编辑的文档是C盘中的d1.doc文档,要将该文档拷贝到软盘,应当使用( 。答案:A A、"文件"菜单中的"另存为"命令 B、"文件"菜单中的"保存"命令 C、"文件"菜单中的"新建"命令 D、"插入"菜单中的命令 9.在Word的编辑状态,文档窗口显示出水平标尺,则当前的视图方式( 。答案:A A、一定是普通视图或页面视图方式 B、一定是页面视图或大纲视图方式 C、一定是全屏显示视图方式 D、一定是全屏显示视图或大纲视图方式 10.在Word的编辑状态,为文档设置页码,可以使用( 。答案:D A、"工具"菜单中的命令 B、"编辑"菜单中的命令 C、"格式"菜单中的命令 D、"插入"菜单中的命令 11.在Word的编辑状态,当前编辑文档中的字体全是宋体字,选择了一段文字使之成反显状,先设定了楷体,又设定了仿宋体,则( 。 答案:C 告实验报学生 偏微分方程数值解实验课程名称 开课实验室数统学院 信计02班专业班院数统年级2013 学 学号姓学生名 学年第2016 2 学期开课时间2015 至 总成绩 教师签名 数学与统计学院制 开课学院、实验室：数统学院实验时间2016年6月20日： kkjikkk1kk?1k?kkk u??2uuu?2u?2u?uu?u ,j?,iji,,ijj1ij?1,i,ij,jii?1,jj,?1i??（2）?????kk?1k21kkkk2）3（uu???u??u?ruuu?24r 222?hh整理得到： j,ij,i1?j,i1?j,ij1,?ij1,?ij,i ????，差分格式为：kkkk（4）,140?0,k?0,1,u?u?u?u N0,0,N0,N,0N 考虑初始条件y?sinsinuxx,y,0 ????????0????（5）,10usin?sin0,1,xjsinjh?y,?sini,ih jjii,2??????，利用二阶差商近似：考虑初始条件0,1?,y,0,?0,yuxx t1?1u?u j,jii,?0,i,j?0,1,,10（6）?2设时刻的点为内点，则满足差分格式（2），代入上式得到：0k? ????002211?000（7）u?uu?u4?ur??u2?r?u j,iii,,jj?j?i1?1,j1i,?1,jjii,11?uu?代入（将（6）得到的结果7）中，整理得到：ji,ji,1????01202000）（8?u?1??u2rru?uu?u j,j?1i,1,jjii,j?1?i1,j,ii?2 8）得到三层显格式的差分格式为：（4）、（5）、（综上（2）、??????1kk2kkk2kk?1u?u???uu4?urr?2u?u i,ij?1,,ii,,jj?1i?1,jji?1,jji?i,j?1,2,,9,k?1,2,,139??kkkk?u?u?u?u,1 40?0,k?0,1,（9）N0,N,0NN0,0,? ????????0?????,i,jih?u?sinsinx0,1,sin,10jhy?sin jji,i? 1?????02102000,10?0,1,uu,?ui?1?2ru?,ruj?u? ?1j?1i,ijii?,j1,j,j?ii,j?1,?2? ??22?0.1?r?其中，局部截断误差为ho?。h 四．实验环境（所用软件、硬件等）及实验数据文件 Matlab %二维波动方程数值计算（关键：怎么运用i,j,k三个指标建立循环） clc; %可以将代码换成函数m文件 h=0.1;tau=0.1*h;%定义步长 r=tau/h;%网比 空间网格剖分[x,y,t]=meshgrid(0:h:1,0:h:1,0:tau:1.4);%． 建筑施工安全生产测验题库 三、多选题及答案 1、在生产过程中，下列哪些属于事故？（ABCDE ） A．人员死亡 B．人员重伤 C．财产损失 D．人员轻伤 E．设备损失 正确答案：A B C D E 2、事故隐患泛指生产系统中导致事故发生的（ACE ）。 A．人的不安全行为 B．自然因素 C．物的不安全状态 D．客观因素E．管理上的缺陷 正确答案：A C E 3、安全生产是是为了使生产过程在符合物质条件和工作程序下进行，防止发生人身伤亡、财产损失等事故，采取的（BCDE ）的一系列措施和活动。 A．控制自然灾害的破坏 B．保障人身安全和健康 C．环境免遭破坏D．设备和设施免遭损坏 E．消除或控制危险和有害因素 正确答案：B C D E 4、安全生产管理具体包括哪几方面的内容?（ ABCDE ） A．安全生产法制管理 B．行政管理 C．工艺技术管理 D．设备设施管理 E．作业环境和作业条件管理 正确答案：A B C D E 5、安全生产法律法规包括安全生产方面的（ BE ） A．国家标准 B．行政法规 C．行业规范 D．规范性文件 E．地方法规 正确答案：B E 6、下列哪些属于安全技术标准规范规程？（ ACDE ） A．建筑施工高处作业安全技术规范JGJ80－91 B．建设工程监理规范GB50319－200 0 C．建筑机械使用安全技术规程JGJ33－2001 D．建筑施工安全检查标准JGJ59—99 E．塔式起重机安全规程GB5144－94 正确答案：A C D E 7、安全生产规章制度是指（ ABCD ）制定并颁布的安全生产方面的具体工作制度。A．国家 B．行业主管部门 C．地方政府 D．企事业单位 E．企业技术部门 正确答案：A B C D 8、从90年代起，建设部相继编写出台了多部建筑安全技术标准规范，其中包括（ACDE ）。A．建筑施工安全检查标准 B．建筑工程施工许可管理办法 第七章 微分方程 教学目的： 1．了解微分方程及其解、阶、通解，初始条件和特等概念。 2．熟练掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法。 3．会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程。 4． 会用降阶法解下列微分方程： ()()n y f x =， (,)y f x y '''+和(,)y f y y '''= 5． 理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。 6．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。 7.求自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解。 8.会解欧拉方程，会解包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组。 9．会解微分方程组（或方程组）解决一些简单的应用问题。 教学重点： 1、可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法 2、可降阶的高阶微分方程() ()n y f x =， (,)y f x y '''+和(,)y f y y '''= 3、二阶常系数齐次线性微分方程； 4、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程； 教学难点： 1、齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程； 2、线性微分方程解的性质及解的结构定理； 3、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。 4、欧拉方程 §12. 1 微分方程的基本概念 函数是客观事物的部联系在数量方面的反映, 利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究. 因此如何寻找出所需要的函数关系, 在实践中具有重要意义. 在许多问题中, 往往不能直接找出所需要的函数关系, 但是根据问题所提供的情况, 有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式. 这样的关系就是所谓微分方程. 微分方程建立以后, 对它进行研究, 找出未知函数来, 这就是解微分方程. 例1 一曲线通过点(1, 2), 且在该曲线上任一点M (x , y )处的切线的斜率为2x , 求这曲线的方程. 解 设所求曲线的方程为y =y (x ). 根据导数的几何意义, 可知未知函数y =y (x )应满足关系式(称为微分方程) x dx dy 2=. (1) 此外, 未知函数y =y (x )还应满足下列条件: x =1时, y =2, 简记为y |x =1=2. (2) 把(1)式两端积分, 得(称为微分方程的通解) ?=xdx y 2, 即y =x 2 +C , (3) 1、改革开放以来，我国取得一切成绩和进步的根本原因，可以归结为________。 A．坚持了社会主义基本制度与发展市场经济相结合 B．坚持了科学社会主义的基本原则 C．开辟了中国特色社会主义道路 D．形成了中国特色社会主义理论体系 2、和平共处五项原则的内容是________。 A．互相尊重领土 B．互不侵犯 C．互不干涉内政 D．平等互利 E．和平共处 3、社会主义的本质是________。 A．解放生产力，发展生产力 B．消灭剥削，消除两极分化，最终达到共同富裕 C．以公有制为主体，多种所有制经济共同发展 D．以按劳分配为主体，多种分配方式并存 E．物质文明和精神文明协调发展 4、社会主义民主政治与资本主义民主政治的原则区别在于________。A．经济基础不同 B．阶级实质不同 C．国家阶级结构不同 D．主体不同 E．宗旨不同 5、党的十七大提出要保障少数民族合法权益，巩固和发展________的社会主义民族关系。 A．平等 B．互助 C．和谐 D．团结 6、在新的历史时期，加强党的建设具有特殊重要性。这是因为，党现在面临________。 A．执政的考验 B．改革开放的考验 C．思想路线的考验 D．发展市场经济的考验 E．和平演变的考验 7、我国社会主义初级阶段基本路线中的两个基本点是________。A．坚持中国共产党的领导 B．坚持马克思主义 C．坚持社会主义道路 D．坚持四项基本原则 E．坚持改革开放 8、党的基本路线中的坚持四项基本原则是指坚持________。 A．社会主义道路 B．改革开放 C．人民民主专政 D．中国共产党的领导 E．马列主义、毛泽东思想 9、党的基本路线是________。 A．党在一定时期制定的行动纲领 B．总揽全局的根本指导方针 C．党制定各种具体方针、政策的依据 D．全党统一思想、统一行动的基础 E．基本纲领的展开 10、经济建设、改革开放、四项基本原则的相互关系是________。A．经济建设是中心 B．改革开放是动力 C．四项基本原则是政治保证 D．四项基本原则是目的 E．经济建设是目的 11、我国正处于社会主义的初级阶段，其基本特征是________。A．生产力发展的整体水平比较低，又具有多层次和不平衡性B．社会主义的经济政治制度还不够完善 C．阶级斗争已经不是我国社会的主要矛盾，但还在一定范围内长期存在，在某种条件下还有可能激化 D．社会主义精神文明建设还是一项重大战略任务 E．以马克思主义为指导的社会主义意识形态的统治地位已经确立，但非社会主义的意识形态也大量存在 12、中国共产党的群众路线的内容包括________。 A．一切为了群众 B．一切依靠群众 C．一切相信群众 D．从群众中来 E．到群众中去 13、消除贫困，逐步实现共同富裕是________。 A．社会主义建设目标的要求 B．社会主义本质的要求 C．社会主义制度优越性的体现 D．社会主义市场经济的要求 E．社会主义的根本原则和本质特征 14、我们党代表中国最广大人民的根本利益，这取决于________。 波动方程或称波方程（英语：wave equation）是一种重要的偏微分方程，主要描述自然界中的各种的波动现象，包括横波和纵波，例如声波、光波和水波。波动方程抽象自声学，电磁学，和流体力学等领域。 历史上许多科学家，如达朗贝尔、欧拉、丹尼尔·伯努利和拉格朗日等在研究乐器等物体中的弦振动问题时，都对波动方程理论作出过重要贡献。 波动方程是双曲形偏微分方程的最典型代表，其最简形式可表示为：关于位置x 和时间t 的标量函数u（代表各点偏离平衡位置的距离）满足： 这里c通常是一个固定常数，代表波的传播速率。在常压、20°C的空气中c为343米/秒（参见音速）。在弦振动问题中，c 依不同弦的密度大小和轴向张力不同可能相差非常大。而在半环螺旋弹簧（一种玩具，英文商标为 Slinky）上，波速可以慢到1米/秒。 在针对实际问题的波动方程中，一般都将波速表示成可随波的频率变化的量，这种处理对应真实物理世界中的色散现象。此时，c 应该用波的相速度代替： 实际问题中对标准波动方程的另一修正是考虑波速随振幅的变化，修正后的方程变成下面的非线性波动方程： 另需注意的是物体中的波可能是叠加在其他运动（譬如介质的平动，以气流中传播的声波为例）上的。这种情况下，标量u 的表达式将包含一个马赫因子（对沿流动方向传播的波为正，对反射波为负）。 三维波动方程描述了波在均匀各向同性弹性体中的传播。绝大多数固体都是弹性体，所以波动方程对地球内部的地震波和用于检测固体材料中缺陷的超声波的传播能给出满意的描述。在只考虑线性行为时，三维波动方程的形式比前面更为复杂，它必须同时考虑固体中的纵波和横波: 式中： 和被称为弹性体的拉梅常数（也叫“拉梅模量”，英文Lamé constants 或 Lamémoduli），是描述各向同性固体弹性性质的参数； 表示密度； 是源函数（即外界施加的激振力）； 表示位移； 注意在上述方程中，激振力和位移都是矢量，所以该方程也被称为矢量形式的波动方程。其他形式的波动方程还能在量子力学和广义相对论理论中用到。 标量形式的一维波动方程 [编辑]波动方程的推导 一维波动方程可用如下的方式推导：一列质量为m的小质点，相邻质点间用长度h的弹簧连接。弹簧的弹性系数（又称“倔强系数”）为k：波动方程的求解(补充)20110517
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