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北师大版九年级下册5二次函数与一元二次方程第二章：二次函数与一元二次方程课程设计一、课程背景二次函数与一元二次方程是数学中非常重要的基础概念，它们是接下来高中阶段学习的重要基础。
此外，一元二次方程解法是数学中的基础之一，因此对于九年级的学生来说巩固这些知识点是必要的。
二、教学目标1.熟悉二次函数的定义，掌握一般式、顶点式、三种标准式的互相转化方法。
2.掌握用二次函数解决实际问题的方法。
3.熟悉一元二次方程的定义，解一元二次方程的方法，了解一元二次方程根的性质。
4.应用一元二次方程解决实际问题。
三、教学重点与难点教学重点：1.掌握求顶点式和标准式的转化方法。
2.掌握应用二次函数解决实际问题的方法。
3.熟练掌握一元二次方程解法。
教学难点：1.如何将已知的二次函数转化成顶点式或标准式。
2.一元二次方程的实际应用问题。
四、教学方法与手段教学方法：1.讲授法：对二次函数和一元二次方程的基础概念、公式进行讲解和演示。
2.举例法：通过例子讲解方法、步骤与技巧。
3.讨论法：引导学生通过课堂讨论发现问题，加深理解。
4.互动法：利用多媒体、互动白板等手段，增加课堂互动交流。
教学手段：1.小黑板和彩色粉笔。
2.PowerPoint课件。
3.数学实物或图片。
4.数学公式编辑器。
五、教学内容和进程安排第一节二次函数基础1.二次函数的定义和性质介绍2.一般式、顶点式、三种标准式之间的转化方法3.二次函数的图像和性质4.如何求解实际问题第二节一元二次方程及其解法1.一元二次方程的定义2.解一元二次方程的方法3.一元二次方程根的性质4.应用一元二次方程解决实际问题第三节课堂练习由老师出一些题目并进行讲解，然后让学生自己动手解决问题，并提供思路和纠错。
第四节分组讨论老师将学生分为小组，每组出一道应用题并进行分享和讨论，激发学生的学习热情和积极性。
第五节考核教师通过小测验和复习考试对学生所掌握的知识进行检查和总结。
六、课堂效果评估1.观察学生课堂表现和反应，加强个别差异化教育。
二次函数与一元二次方程（二）教学目标知识与技能1．巩固理解二次函数图象与x 轴交点的横坐标就是方程ax 2+bx+c=0的根；2．巩固理解一元二次方程ax 2+bx+c=h 的根就是二次函数y=ax 2+bx+c 与直线y=h （h是实数）图象交点的横坐标．过程与方法1．经历一元二次方程ax 2+bx+c=0的根的近似值的探索得到的过程；2．经历一元二次方程ax 2+bx+c=h 的根的近似值的探索得到的过程。
情感态度与价值观1系．第一环节 仔细观察、大胆联想（5分钟）问题：函数y = ax 2 +bx +c 的图象如下图所示，x= 31 为该图象的对称轴，根据图象 信息你能得到关于系数a ，b ，c 的一些 什么结论？ 分析点拨：⑴ a ＞0⑵ -1＜c ＜0⑶ b 2-4ac ＞0;⑷ ∵x= 31 , ∴2a=-3b; ⑸ 由⑴，(4)得b ＜0⑹ 由⑴,⑵,⑸得 abc ＞0;⑺ 考虑x = 1时y ＜0，所以有a+b+c ＜0⑻ 又x = -1 时 y＞0，所以有a-b+c ＞0;⑼ 考虑顶点的纵坐标，有0＜c-ab 42＜-1。
第二环节 课前热身、耐心填一填（5分钟） 1. 抛物线y=ax 2＋bx ＋c 经过点（0，0）与（12，0），最高点纵坐标是3，求这条抛物线的表达式___________________ . 2．若a ＞0，b ＞0，c ＞0，△＞0，那么抛物线y=ax 2＋bx ＋c 经过 象限．3. 在平原上，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度y （m ）与飞行时间x （s ）的关系满足y=－x 2＋10x ．（1）经过_____时间，炮弹达到它的最高点？最高点的高度是_____？（2）经过_____秒，炮弹落在地上爆炸？4.一元二次方程ax 2+bx+c=0的根就是二次函数y=ax 2+bx+c 的图象抛物线与直线________交点的________坐标。
5.一元二次方程ax 2+bx+c=h 的根就是二次函数y=ax 2+bx+c 的图象抛物线与直线_________交点的_________坐标 .第三环节 用心想一想，马到功成（10分钟）你能利用二次函数的图象估计一元二次方程x 2+2x-10=0的根吗？分析解答：-1 -11(1) 用描点法作二次函数y=x2+2x-10的图象(2) 观察估计二次函数y=x2+2x-10的图象与x轴的交点的横坐标；由图象可知：图象与x轴有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间,分别约为-4.3和2.3.(3) 确定方程x2+2x-10=0的解;由此可知,方程x2+2x-10=0的近似根为:x1≈-4.3,x2≈2.3第四环节教材题变形，拓展延伸（5分钟）利用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x-10=3的近似根.(1)用描点法作二次函数y=x2+2x-10的图象(2) 作直线y=3；(3) 观察估计抛物线y=x2+2x-10和直线y=3的交点的横坐标；由图象可知,它们有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间,分别约为-4.7和2.7.(4) 确定方程x2+2x-10=3的解;由此可知,方程x2+2x-10=3的近似根为:x1≈-4.7,x2≈2.7第五环节大胆尝试、练一练（10分钟）问题1：利用二次函数的图象求一元二次方程-2x2+4x+1=0的近似根分析解答：1)用描点法作二次函数y=-2x2+4x+1的图象；2)观察估计二次函数y=-2x2+4x+1的图象与x轴的交点的横坐标；由图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐标一个在-1与0之间,另一个在2与3之间,分别约为-0.2和2.2(3) 确定方程x2+4x+1=0的解;由此可知,方程x2+4x+1=0的近似根为:x1≈-0.2, x2≈2.2问题2：利用二次函数的图象求一元二次方程3x2-x=1的近似根.分析解答：(1) 原方程可变形为3x2-x-1=0；(2) 用描点法作二次函数y=3x2-x-1的图象(3) 观察估计抛物线y=3x2-x-1和x轴的交点的横坐标；图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐标一个在-1与0之间,另一个在0与1之间,分别约为-0.4和0.8.x1≈-0.4, x2≈0.8第六环节课堂小结（5分钟）师生互相交流本节课的学习心得，感受及收获。
教学设计5 二次函数与一元二次方程教学目标教学反思1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系.2.掌握二次函数图象与x轴的交点横坐标与一元二次方程两根的关系．3.理解二次函数图象与x轴的交点的个数与一元二次方程的根的个数的关系．教学重难点重点：把握二次函数图象与x轴的交点个数与一元二次方程的根的个数之间的关系．难点：理解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根就是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标.教学过程导入新课我们学习了一元一次方程kx＋b＝0（k≠0）和一次函数y＝kx＋b（k≠0）后，讨论了它们之间的关系，请同学们回顾一下它们二者之间有何关系？问题1：一次函数y＝x＋2的图象与x轴的交点为（，）,一元一次方程x＋2＝0的根为________．问题2：一次函数y＝－3x＋6的图象与x轴的交点为（，）,一元一次方程－3x＋6＝0的根为________．问题3：一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点与一元一次方程kx＋b＝0的根有什么关系？让学生独立解决上面的三个问题，学生口答，教师展示答案.借此引导学生回顾总结一元一次方程kx＋b＝0（k≠0）和一次函数y＝kx＋b（k≠0）之间的关系.一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点的横坐标就是一元一次方程kx＋b＝0的根．现在我们学习了一元二次方程ax²＋bx＋c＝0（a≠0）和二次函数y ＝ax²＋bx＋c（a≠0），它们之间是否也存在一定的关系呢？由此引出本节要研究的课题.设计意图：首先利用所学习过的一元一次方程kx＋b＝0（k≠0）和一次函数y＝kx＋b（k≠0）的关系进行回顾，让学生进一步理解和掌握所学知识，为本课的学习做铺垫，最后提出问题“一元二次方程和二次函数，它们之间是否也存在一定的关系呢？”激发学生学习的兴趣.探究新知一、预习新知多媒体展示教学反思我们已经知道，竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可以近似地用公式h＝－5t2＋v0t＋h0表示，其中h0(m)是抛出时的高度，v0(m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面被以40 m/s的速度竖直向上抛起，小球距离地面的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示，那么(1)h与t的关系式是什么？(2)小球经过多少秒后落地?你有几种求解方法?与同伴进行交流.教师引导学生仔细审题，回答下面的问题：1.由图象可得h0＝，v0＝.2.由h与t的关系式为h＝－5t2＋v0t＋h0，可得h与t的关系式为.生：h与t的关系式为h＝－5t2＋v0t＋h0，其中的v0为40 m/s，小球从地面被抛起，所以h0＝0.把v0＝40，h0＝0代入上式即可求出h与t的关系式，所以h＝－5t2＋40t.师：怎样求出小球落地所需要的时间?思路一教师引导学生通过观察图象得出结论，学生观察、分析、讨论后，师生统一答案.生1：观察图象可得小球经过8 s后落地.思路二教师引导学生仔细审题，回答下面的问题：师：小球落地时高度h为何值？生：h为0.师：求出的一元二次方程的两个解是否都满足题意？教师要求学生思考后，与同伴交流，教师巡视并参与讨论，及时订正学生出现的错误.学生独立完成后，同伴交流，代表板演解题过程.解：令h＝0，得－5t2＋40t＝0，即t2－8t＝0，∴t(t－8)＝0.解得t1＝0，t2＝8.∴t＝0是小球没抛时的时间，∴t＝8是小球落地时的时间.∴小球经过8 s后落地.教师点评：两种方法一个运用“数”，一个运用了“形”，再次体现了数形结合的数学思想方法.设计意图：通过实际问题的解答，使学生进一步理解和掌握二次函数和一元二次方程之间的关系，同时利用两种不同的方法进行求解，体现了解题方法的灵活性，同时也使学生进一步感受到数形结合的解题思想.二、合作探究二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象与x轴的交点个数与一元二次方程ax²教学反思＋bx＋c＝0根的个数之间有什么关系？图象与x轴的交点的横坐标与方程的根又有什么关系？多媒体展示课本中的议一议.二次函数y＝x2＋2x，y＝x2－2x＋1，y＝x2－2x＋2的图象分别如图所示.(1)每个图象与x轴有几个交点?(2)一元二次方程x2＋2x＝0，x2－2x＋1＝0有几个实数根?用判别式验证一下.一元二次方程x2－2x＋2＝0有实数根吗?(3)二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标和一元二次方程ax²＋bx＋c＝0的根有什么关系?教师组织学生观察图象，对学生进行分组：共分六个组，两两合作，共同完成第(1)(2)(3)题.各组分别讨论，教师巡回指导并参与各小组讨论，最后找学生代表阐述观点.第一组得出二次函数y＝x2＋2x与x轴有两个交点，第二组得出方程x2＋2x＝0有两个不相等的实数根.第三组得出二次函数y＝x2－2x＋1与x轴有一个交点，第四组得出方程x2－2x＋1＝0有两个相等的实数根.第五组得出二次函数y＝x2－2x＋2与x轴没有公共点，第六组得出方程x2－2x＋2＝0没有实数根.学生总结，教师点评：二次函数与一元二次方程之间的关系：二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点.与此相对应，一元二次方程ax2+bx+c＝0的根也有三种情况：有两个不相等的实数根（b2－4ac>0）、有两个相等的实数根（b2－4ac＝0）、没有实数根（b2－4ac<0）.二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根.设计意图：通过对三个函数图象与x轴交点的观察、对一元二次方程根的求解，让学生进一步掌握二次函数与一元二次方程之间的关系，提高发现问题、解决问题的能力. 典型例题【例】求二次函数y ＝－14(x －2)2＋1的图象与x 轴的交点坐标．【问题探索】求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，只需令y ＝0，求出x 的值即可．【解】令y ＝－14(x －2)2＋1＝0，解得x 1＝0，x 2＝4.∴二次函数y ＝－14(x －2)2＋1的图象与x 轴的交点坐标为(0，0)，(4，0)．【总结】一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根即为二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴的交点的横坐标．课堂练习1.抛物线y ＝－3x 2－x ＋4与坐标轴的交点个数是( ) A.3个 B.2个 C.1个D.0个2.小兰画了一个函数y ＝x 2＋ax ＋b 的图象如图，则关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0的解是( )A.无解B.x ＝1C.x ＝－4D.x 1＝－1，x 2＝43.若函数y ＝x 2＋2x －m的图象与x 轴有且只有一个交点，则m 的值为___________.4.已知二次函数y ＝2x 2－mx －m 2.(1)求证：对于任意实数m ，该二次函数图象与x 轴总有公共点；教学反思(2)若该二次函数图象与x 轴有两个公共点A ，B ，且A 点坐标为(1，0)，求B 点坐标.参考答案1.A2.D3.－14.(1)证明：2x 2－mx －m 2＝0，Δ＝(－m )2－4×2×(－m 2)＝9m 2. ∴m 2≥0，∴9m 2≥0，∴对于任意实数m ，该二次函数图象与x 轴总有公共点. （2）解：把(1，0)代入二次函数表达式， 得2－m －m 2＝0，∴m 1＝－2，m 2＝1.当m ＝－2时，二次函数表达式为y ＝2x 2＋2x －4, 令y ＝0，得2x 2＋2x －4＝0，解得x ＝1或x ＝－2，∴二次函数图象与x 轴的两个公共点的坐标是(1，0)，(－2，0). 又∴A 点坐标为(1，0)，∴B (－2，0).当m ＝1时，同理可得B ⎪⎭⎫⎝⎛-0,21.课堂小结(学生总结，老师点评)1.二次函数与一元二次方程有下列对应关系：00＋c ＝0的根．教学反思板书设计第二章二次函数5 二次函数与一元二次方程第1课时二次函数与一元二次方程的关系1.二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点.与此相对应，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根也有三种情况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、没有实数根.2.二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根.。
九年级数学下册２．５.2 二次函数与一元二次方程教案(新版)北师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（九年级数学下册２.5.2 二次函数与一元二次方程教案（新版）北师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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课题：2。
5．2二次函数与一元二次方程教学目标:1.复习巩固用函数y＝ax2+bx+c的图象求方程ax2+bx+c＝0的解.2.让学生体验一元二次方程ax2+bx+c＝h的根就是二次函数y=ax2+ｂx＋ｃ与直线y=h （h是实数)图象交点的横坐标的探索过程，掌握用图象交点的方法求一元二次方程ax2+bx+c =h的近似根.３.利用图象法求一元二次方程的近似根，重要的是让学生懂得这种求解方程的思路,体验数形结合思想。
教学重点与难点:重点：1。
经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会方程与函数之间的联系.2．经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程。
难点：利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根并且估算。
教学过程:一、复习回顾，开辟道路二次函数ｙ=ａx２+ｂx＋ｃ的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程aｘ2+ｂx+c＝0的根有什么关系?1.若方程ax2+bｘ+c＝0的根为ｘ1=-2和x2=3,则二次函数ｙ=ax2+bx+c的图象与x轴交点坐标是.2．抛物线ｙ=０。
5ｘ２—x+3与x轴的交点情况是（)A 、两个交点B 、一个交点 Ｃ、没有交点 D 、画出图象后才能说明3.不画图象,求抛物线y ＝x ２—x -６与x 轴交点坐标．处理方式:以问题的形式引导学生思考，让学生思考并回答以上问题,在集体交流时，对于学生给出的正确答案给予肯定,不足之处给予纠正.设计意图:这一环节属于课前热身训练准备利用5分钟时间让学生尽快进入到学习新知识的准备中来.问题（1)(2）是对上节课知识内容的复习,考察学生对二次函数与一元二次方程关系的理解是否准确。
北师大版九年级数学下册：2.5《二次函数与一元二次方程》教学设计2一. 教材分析《二次函数与一元二次方程》是北师大版九年级数学下册第2.5节的内容。
这部分内容是在学生已经学习了二次函数的图象与性质的基础上进行学习的，通过这部分内容的学习，使学生能够理解二次函数与一元二次方程之间的关系，能够运用二次函数的性质解决一些实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于二次函数的图象与性质有一定的了解。
但是，对于二次函数与一元二次方程之间的关系，以及如何运用二次函数的性质解决实际问题，还需要进一步的学习和引导。
三. 教学目标1.理解二次函数与一元二次方程之间的关系。
2.能够运用二次函数的性质解决一些实际问题。
3.提高学生的数学思维能力，培养学生的解决问题的能力。
四. 教学重难点1.二次函数与一元二次方程之间的关系。
2.如何运用二次函数的性质解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法，引导学生通过观察、思考、探究、交流等方式，发现二次函数与一元二次方程之间的关系，并能够运用二次函数的性质解决实际问题。
六. 教学准备1.教学课件。
2.练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过复习二次函数的图象与性质，引导学生思考二次函数与一元二次方程之间的关系。
2.呈现（10分钟）展示一些实际问题，让学生尝试用二次函数的知识解决。
通过学生的尝试，引导学生发现二次函数与一元二次方程之间的关系。
3.操练（10分钟）让学生通过练习题的方式，巩固二次函数与一元二次方程之间的关系，并能够运用二次函数的性质解决实际问题。
4.巩固（10分钟）通过课堂提问的方式，巩固学生对二次函数与一元二次方程之间关系的理解，以及运用二次函数性质解决实际问题的能力。
5.拓展（10分钟）让学生思考一些更深入的问题，如：二次函数的图象与一元二次方程的解之间的关系。
引导学生通过观察、思考、探究等方式，发现更深层次的数学规律。
6.小结（5分钟）对本节课的内容进行小结，强调二次函数与一元二次方程之间的关系，以及如何运用二次函数的性质解决实际问题。
二次函数和一元二次方程(续表)(续表)(续表)∵点C 在对称轴左侧，且CD ＝8， ∴点C 的横坐标为－7.∴点C 的纵坐标为(－7)2＋6×(－7)＋5＝12. ∵点B 的坐标为(0，5)，∴△BCD 中CD 边上的高为12－5＝7. ∴△BCD 的面积＝12×8×7＝28.【板书设计】提纲挈领，重点突出.【教学反思】 ①[授课流程反思]通过问题情景的设置，让学生能带着求知欲进行这节课的学习．复习回顾、置疑导入等环节，也充分调动了学生学习的积极性，为新课的学习做了铺垫. ②[讲授效果反思]教师引导学生注意以下几点：(1)抛物线与坐标轴交点的求法，即令x ＝0或y ＝0，然后求出相应的纵坐标或横坐标；(2)抛物线与x 轴交点个数可通过计算“b 2－4ac”进行判断．教学过程中，以学生为主体，通过学生自主探索和合作交流，真正理解和掌握二次函数与一元二次方程之间的关系.③师生互动反思___________________________________________________ ___________________________________________________ ④[习题反思]好题题号反思，更进一步提升.活动三：开放训练体现应用【应用举例】例1 根据下列表格中二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数值y的对应值，判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)的一个解x的范围是( )x 6.17 6.18 6.19 6.20y＝ax2＋bx＋c －0.03 －0.01 0.02 0.06A．6<x<6.17 B．6.17<x<6.18C.6.18<x<6.19 D．6.19<x<6.20例2 利用二次函数y＝x2＋x－3的图象求一元二次方程x2＋x－3＝0的近似根．考查同学们是否理解了用图象法求方程根的方法，能否快速准确的利用图象探求方程根的近似值，观察他们是否能自觉利用化归思想把复杂问题转化成简单情况进行解决.【拓展提升】例3 借助二次函数y＝2x2－3x－1的图象，可求出下面哪个方程的近似根( )A.x2＋5x－1＝0 B．x2＋3x－1＝0C.2x2－3x＋5＝6 D．x2＋5x＝0例4 一元二次方程x2＋7x＋9＝1的根与二次函数y＝x2＋7x＋9的图象有什么关系？试把方程的根在图象上表示出来．通过这两个题的解决，让学生找寻不同的解题方法，培养学生的分析能力，深刻体会数学思想的多样性和灵活性．在一题多解的过程中，贯彻分层教学的理念，让学生在思维最活跃的时候，最大化地提高学习能力.活动四：课堂总结反思【当堂检测】1.课本P55随堂练习2.课本P57习题2.11中T1、T2、T3当堂检测，及时反馈学习效果.【板书设计】提纲挈领，重点突出.【教学反思】①[授课流程反思]通过情景引入，让学生能够建立二次函数与一元二次方反思，更进一步提升.。
2024北师大版数学九年级下册2.5.2《二次函数与一元二次方程》教学设计一. 教材分析《二次函数与一元二次方程》是北师大版数学九年级下册第2.5.2节的内容。
本节课的内容包括：了解二次函数与一元二次方程的关系，掌握一元二次方程的解法，以及运用二次函数的性质解决实际问题。
教材通过实例引导学生探究二次函数与一元二次方程之间的联系，培养学生的抽象思维能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了二次函数的图象与性质，以及一元二次方程的基本知识。
但部分学生对于如何运用二次函数的性质解决实际问题还不够熟练。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的个体差异，引导他们通过自主学习、合作探讨，提高解决问题的能力。
三. 教学目标1.知识与技能：理解二次函数与一元二次方程的关系，掌握一元二次方程的解法，能运用二次函数的性质解决实际问题。
2.过程与方法：通过探究、合作、交流，培养学生的抽象思维能力和问题解决能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养他们勇于探索、积极进取的精神。
四. 教学重难点1.重点：二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程的解法。
2.难点：如何运用二次函数的性质解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过实例引入，激发学生的学习兴趣。
2.启发式教学法：引导学生主动探究，发现规律。
3.合作学习法：鼓励学生相互讨论，共同解决问题。
4.实践教学法：让学生在实际问题中运用所学知识，提高解决问题的能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示二次函数与一元二次方程的关系及解法。
2.实例：准备一些实际问题，用于引导学生运用二次函数的性质解决实际问题。
3.练习题：准备一些练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一个实际问题：某商场举行打折活动，某商品原价为800元，打八折后售价为多少？引导学生思考如何用数学知识解决这个问题。
2.呈现（10分钟）展示商品打折问题，引导学生列出相应的二次函数和一元二次方程。
北师大版九年级数学下册：第二章 2.5《二次函数与一元二次方程》精品教学设计一. 教材分析北师大版九年级数学下册第二章2.5《二次函数与一元二次方程》的内容，是在学生已经掌握了二次函数的图象与性质的基础上，进一步引导学生从数形结合的角度来理解二次函数与一元二次方程的内在联系，通过解决实际问题，提高学生运用二次函数与一元二次方程解决实际问题的能力。
本节课的内容对于学生来说，既有联系又有挑战，需要学生在理解二次函数的基础上，能够熟练运用二次函数的性质来解一元二次方程。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了二次函数的基本知识，对于二次函数的图象与性质有一定的了解，能够通过配方法或者公式法来解一元二次方程。
但是，学生在解决实际问题时，往往不能将二次函数与一元二次方程很好的结合起来，对于一些复杂的一元二次方程，学生解题思路不清晰，需要老师的引导和启发。
三. 教学目标1.理解二次函数与一元二次方程的关系，能够从数形结合的角度理解二次函数与一元二次方程的内在联系。
2.能够运用二次函数的性质来解一元二次方程，提高学生解决实际问题的能力。
3.通过解决实际问题，培养学生的合作交流能力和思维的条理性。
四. 教学重难点1.教学重点：理解二次函数与一元二次方程的关系，能够运用二次函数的性质来解一元二次方程。
2.教学难点：如何引导学生从数形结合的角度来理解二次函数与一元二次方程的内在联系，以及如何解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过设置实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探索。
2.数形结合法：通过绘制二次函数的图象，引导学生理解二次函数与一元二次方程的关系。
3.小组合作法：通过小组合作解决实际问题，培养学生的合作交流能力和思维的条理性。
六. 教学准备1.准备相关的实际问题，用于引导学生理解二次函数与一元二次方程的关系。
2.准备二次函数的图象，用于引导学生直观的理解二次函数与一元二次方程的关系。
3.准备黑板和粉笔，用于板书解题过程和重点知识。
《二次函数与一元二次方程》教学设计二次函数与一元二次方程是义务教育课程标准实验教科书（北师版）《数学》九年级下册第二章第五节内容，本章主要研究二次函数的性质及二次函数的应用；本节要求理解二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴交点的个数与一元二次方程02=++c bx ax 根的个数之间的对应关系；会利用二次函数的图象与x 轴交点的横坐标解相应的一元二次方程。
因此本节的重点是理解二次函数c bx ax y++=2的图象与x 轴交点的个数与一元二次方程02=++c bx ax 的根的个数之间的关系。
【知识与能力目标】1.理解二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交点的个数与一元二次方程02=++c bx ax 根的个数之间的对应关系；2．会利用二次函数的图象与x 轴交点的横坐标解相应的一元二次方程．【过程与方法目标】培养学生根据实际情况把二次函数转化为方程进行而解决问题的能力，引导学生把实际问题数学化，即建立数学模型解决实际问题。
【情感态度价值观目标】经历“问题情境——自主探究——交流与讨论——猜想结论——得出结论”的数学思维、活动过程，体验成功的喜悦，感受数学与实际生活的紧密联系，增加学习数学的兴趣。
【教学重点】理解二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴交点的个数与一元二次方程02=++c bx ax 的根的个数之间的关系【教学难点】理解一元二次方程02=++c bx ax 的根就是二次函数c bx ax y++=2与x 轴交点的横坐标多媒体课件(一)情景导入二次函数22122222+-=+-=+=xxyxxyxxy，，的图象如下图所示．（1）每个图象与x轴有几个交点？（2）一元二次方程022122222=+-=+-=+xxxxxx，，有几个实数根？分别求出来（3）二次函数22122222+-=+-=+=xxyxxyxxy，，的图象与x轴交点的坐标分别和一元二次方程022122222=+-=+-=+xxxxxx，，的根有什么关系？（4）二次函数cbxaxy++=2的图象与x轴交点的坐标分别和一元二次方程2=++cbxax的根有什么关系？◆课前准备◆教学过程结论：1. 二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴的交点有 情况，分别是：、 、2. 一元二次方程02=++c bx ax 的根有 情况，分别是：、 、3. 二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴交点的 就是一元二次方程02=++c bx ax的根 4. 二次函数c bx ax y++=2与一元二次方程02=++c bx ax 的关系1.观察二次函数322--=x x y 、962+-=x x y 和322+-=x x y 的图象，并分别说出方程的0322=--x x 、0962=+-x x 和0322=+-x x 根．32+x2.判断下列函数的图象与x 轴是否有公共点，若有，写出交点坐标．(1)x x y -=2 (2)962-+-=x x y (3)11632++=x x y (三)拓展提升1.已知抛物线k x x y 232+-=(1)当k 取何值时，抛物线与x 轴有两个交点？(2)当k 取何值时, 抛物线与x 轴只有一个公共点？并求出这个公共点的坐标．(3)当k 取何值时，抛物线与x 轴没有一个公共点？若函数值y 总是大于0，求k 的取值范围．(4)当k 取何值时，抛物线与坐标轴只有一个公共点？2.已知二次函数22-++=k kx x y ，(1) 说明：对于任意实数k ，该二次函数图象与x 轴必有两个不同交点．(2) 若图象与x 轴的两个交点为A 、B ，与y 轴的交点为C ，且A 点坐标为（1，0），求B 点、C 点的坐标．(3)在（2）的条件下，求△ABC 的面积．(4)若抛物线的顶点为D ，在（2）的条件下，求四边形ABCD 的面积．(四)课下作业1.若方程02=++c bx ax 的根为21-=x 和32=x ，则二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴交点坐标是 .2.二次函数bx ax y +=2的图象如图所示，则一元二次方程02=+bx ax 的解为 .3．已知抛物线c bx ax y ++=2的图象与x 轴有两个交点，那么一元二次方程02=++c bx ax 的根的情况是 ．4．抛物线142-=x y 与x 轴的交点坐标是 ，与y 轴的交点坐标是 ．5．若抛物线42++=bx x y 与坐标轴只有一个交点，则b = ．6．已知抛物线772--=x kx y 的图象与x 轴有两个交点，则k 的取值范围7．已知二次函数322--=x x y 的图象与x 轴交于A 、B 两点，在抛物线上的有一点C ，且△ABC 的面积等于10，则C 点的坐标为 ．7．已知：抛物线m m x m x y -+--=22)12(，说明：此抛物线与x 轴必有两个不同交点．8．已知抛物线1422--=x x y 与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于C 点，顶点为P ，求（1）AB 长；（2）△ABC 的面积；（3）四边形ABPC 的面积．。
北师大版九年级数学下册：2.5《二次函数与一元二次方程》教学设计一. 教材分析《二次函数与一元二次方程》是北师大版九年级数学下册第2.5节的内容。
这部分内容是在学生已经掌握了二次函数的图像和性质的基础上进行学习的，主要让学生了解二次函数与一元二次方程之间的关系，以及如何利用二次函数的性质来解决一元二次方程的问题。
教材中安排了丰富的例题和练习题，有助于学生巩固所学知识。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于二次函数的图像和性质有一定的了解。
但是，对于如何将二次函数与一元二次方程联系起来，以及如何运用二次函数的性质来解决实际问题，部分学生可能还存在一定的困惑。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，针对性地进行引导和讲解。
三. 教学目标1.理解二次函数与一元二次方程之间的关系。
2.学会利用二次函数的性质来解决一元二次方程的问题。
3.提高学生的数学思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.二次函数与一元二次方程之间的关系。
2.如何利用二次函数的性质来解决一元二次方程的问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究二次函数与一元二次方程之间的关系。
2.通过例题和练习题，让学生在实践中掌握利用二次函数的性质解决一元二次方程的方法。
3.采用分组讨论和合作交流的方式，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学PPT和教学素材。
2.准备相关的练习题和答案。
3.准备黑板和粉笔。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入本节课的主题，例如：“某商品的原价为200元，商家进行打折促销，折扣率为x（0≤x≤1），求打折后的价格。
”让学生思考如何用数学模型来表示这个问题。
2.呈现（10分钟）呈现二次函数的一般形式：y=ax^2+bx+c（a≠0），并引导学生回顾二次函数的图像和性质。
3.操练（10分钟）让学生尝试将实际问题转化为二次函数模型，并利用二次函数的性质来解决问题。
北师大版九年级数学下册：2.5《二次函数与一元二次方程》教学设计一. 教材分析北师大版九年级数学下册2.5《二次函数与一元二次方程》是学生在学习了函数和方程的基础上，进一步深化对二次函数和一元二次方程的理解和应用。
本节课的主要内容是一元二次方程的解法，通过二次函数的图象和性质，引导学生理解一元二次方程的解法，并能够运用到实际问题中。
教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生巩固知识，提高解题能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的函数和方程的基础知识，对二次函数的图象和性质有一定的了解。
但是，对于如何运用二次函数的图象和性质来解决一元二次方程，可能还存在一定的困惑。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察和分析，自主探索一元二次方程的解法，并能够运用到实际问题中。
三. 教学目标1.理解一元二次方程的解法，并能够运用到实际问题中。
2.通过对二次函数的图象和性质的分析，提高解决问题的能力。
3.培养学生的观察能力、分析能力和创新能力。
四. 教学重难点1.重点：一元二次方程的解法及其应用。
2.难点：如何引导学生通过观察和分析，自主探索一元二次方程的解法。
五. 教学方法1.情境教学法：通过丰富的例题和练习题，激发学生的学习兴趣，提高学生的参与度。
2.引导发现法：引导学生通过观察和分析，自主探索一元二次方程的解法。
3.合作学习法：鼓励学生相互讨论、交流，提高解题能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作精美的课件，辅助教学。
2.练习题：准备一定数量的一元二次方程题目，用于巩固知识。
3.教学工具：准备黑板、粉笔等教学工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一些实际问题，引导学生运用已学的函数和方程知识解决问题。
通过问题的解决，引出一元二次方程的概念。
2.呈现（10分钟）呈现一组一元二次方程，引导学生观察方程的特点，并尝试运用已学的二次函数知识解决问题。
通过观察和分析，引导学生发现一元二次方程的解法。
3.操练（10分钟）让学生独立解决一些一元二次方程题目，教师巡回指导，解答学生的疑问。
北师大版九年级下册5二次函数与一元二次方程第二章：二次函数与一元二次方程课程设计一、教学目标1.掌握二次函数的基本概念、图像和性质；2.理解一元二次方程的定义及解法；3.熟练掌握解一元二次方程的方法，包括配方法、公式和图像法；4.能够将二次函数和一元二次方程应用到实际问题中。
二、教学内容及安排1. 二次函数的基本概念和图像1.1 二次函数的定义和一般形式1.2 二次函数图像的基本特点1.3 二次函数图像的平移和伸缩2. 二次函数的性质2.1 二次函数的单调性和零点2.2 二次函数的极值和最值2.3 二次函数的导数3. 一元二次方程3.1 一元二次方程的定义和一般形式3.2 一元二次方程的解法：配方法3.3 一元二次方程的解法：公式法3.4 一元二次方程的解法：图像法4. 应用题4.1 二次函数的应用题4.2 一元二次方程的应用题三、教学重点和难点3.1 教学重点：二次函数图像的基本特点、二次函数图像的平移和伸缩、一元二次方程的解法：配方法、公式法和图像法。
3.2 教学难点：二次函数的导数和一元二次方程的应用题。
四、教学方法4.1 探究法：以引导学生发现、总结二次函数的图像、性质和解法为主要方法。
4.2 合作学习法：以小组为单位合作，共同解一元二次方程和应用二次函数。
4.3 师生互动法：以提问、激励、引导为主要方式，增强学习兴趣和培养能力。
五、教学手段5.1 多媒体课件：通过PPT、动画等方式呈现二次函数图像、一元二次方程解法及应用题。
5.2 实物模型：制作二次函数的模型，让学生更加直观地理解二次函数的性质和变化。
5.3 案例分析：引导学生参考实际问题，调查分析并通过解一元二次方程和应用二次函数的方法解决问题。
六、教学评价与反思6.1 教学评价6.1.1 知识与技能方面：学生能正确掌握二次函数和一元二次方程的知识和解法。
6.1.2 思维能力方面：学生能熟练运用所学知识解决二次函数和一元二次方程相关问题。
5二次函数与一元二次方程第1课时二次函数与一元二次方程1．理解二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的个数与一元二次方程ax2＋bx＋c ＝0的根的个数之间的对应关系．2．会利用二次函数的图象与x轴交点的横坐标解相应的一元二次方程．重点理解二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的个数与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的个数之间的关系．难点理解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根就是二次函数y＝ax2＋bx＋c与x 轴交点的横坐标．一、复习导入1．一次函数y＝x＋2的图象与x轴的交点坐标为________．2．任意一个一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与x轴有几个交点？3．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根与其判别式有什么关系？二、探究新知活动1：我们已经知道，竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可以近似地用公式y＝－5t2＋v0t＋h0表示，其中h0(m)是抛出时的高度，v0(m/s)是抛出时的速度．一个小球从地面被以40 m/s的速度竖直向上抛起，小球距离地面的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示，观察并思考下列问题：(1)h与t的表达式是什么？(2)小球经过多少秒后落地？你有几种求解方法？与同伴进行交流．解：(1)h＝－5t2＋40t.(2)方法一：看图象可知，8秒落地．方法二：解方程－5t2＋40t＝0.活动2：二次函数y＝x2＋2x，y＝x2－2x＋1，y＝x2－2x＋2的图象如下图所示．(1)每个图象与x轴有几个交点？(2)一元二次方程x2＋2x＝0，x2－2x＋1＝0有几个实数根？用判别式验证一下．一元二次方程x2－2x＋2＝0有根吗？(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根有什么关系？(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴有无交点与一元二次方程根的判别式有何关系？处理方式：学生分小组讨论交流，教师巡视指导学生的活动情况．指名学生回答，对学生的回答情况进行总结，并指导学生得出结论．二次函数图象图象与x轴的交点一元二次方程方程的根与x轴有两个交点：(－2，0)，(0，0)x2＋2x＝0x1＝－2，x2＝0与x轴有1个交点：(1，0)x2－2x＋1＝0x1＝x2＝1与x轴没有交点x2－2x＋2＝0方程无实数根活动3：二次函数y＝ax＋bx＋c 的图象与x轴的交点的坐标与一元二次方程ax ＋bx＋c＝0的根有什么关系？二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴的交点有三种情况一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根有三种情况有两个交点有两个不相等的实数根有一个交点有两个相等的实数根没有交点没有实数根三、举例分析例在本节一开始的小球上抛问题中，何时小球离地面的高度是60 m？你是如何知道的？解法1：令h＝60，则－5t2＋40t＝60，t2－8t＋12＝0，解得t1＝2，t2＝6.故2 s和6 s时，小球离地面的高度是60 m.解法2：观察图象．四、练习巩固1．不画图象说出下列二次函数与x轴的公共点各有几个．(1)y＝x2＋6x＋9；(2)y＝－4x2＋9；(3)y＝x2－3x＋5；(4)y＝ax2＋bx＋c(a>0，c<0)．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴两交点的坐标为(2，0)，(－5，0)，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根是________________．3．画出函数y＝x2－4x－3的图象，根据图象回答下列问题：(1)图象与x轴交点的坐标是什么？(2)方程x2－4x－3＝0的根是什么？(3)不等式x2－4x－3>0，x2－4x－3<0的解集是什么？4．一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h(m)可以用公式h＝－4.9t 2＋19.6t 来表示．其中t(s)表示足球被踢出后经过的时间．(1)t＝1时，足球的高度是________；(2)t＝________时，h最大？(3)经过多长时间球落地？(4)方程－4.9t 2＋19.6t ＝0的根的实际意义是什么？(5)方程14.7＝－4.9t2＋19.6t 的根的实际意义是什么？五、课堂小结鼓励学生结合本节课的学习谈一谈他们对二次函数与一元二次方程的关系的认识，检查学生是否理解了二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，即何时方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根；是否掌握了通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，来讨论一元二次方程的根的情况；是否理解了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根就是二次函数y＝ax2＋bx＋c 与x轴交点的横坐标．六、课外作业教材第52～53页习题2.10第1～4题．本节课的主要内容是用函数的观念看一元二次方程，探讨二次函数与一元二次方程的关系．本节课先复习一次函数与一元一次方程的关系，通过类比引出二次函数与一元一次方程的关系问题，并结合一个具体的实例讨论了一元二次方程的实根与二次函数图象之间的联系．这一节是反映函数与方程这两个重要数学概念之间的联系的内容．由于九年级学生已经具备一定的抽象思维能力，再者，在八年级时已经学习了一次函数与一元一次方程的关系，因而，采用类比的方法在学生预习自学的基础上放手让学生大胆地猜想、交流，分组合作，同时设定一定的问题情境来引导学生的探究过程，最后在老师的释疑、归纳、拓展、总结的过程中结束本节课的教学．第2课时利用二次函数求方程的近似根1．能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根．2．进一步发展学生的估算能力．重点能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根．难点利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根．一、情境导入上节课我们学习了二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点坐标和一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的关系，懂得了二次函数图象与x轴交点的横坐标，就是y＝0时的一元二次方程的根，于是，我们在不解方程的情况下，只要知道二次函数与x轴交点的横坐标即可．但是在图象上我们很难准确地求出方程的解，所以要进行估算．本节课我们将学习利用二次函数的图象估计一元二次方程的根．二、探究新知探究活动：利用二次函数的图象估计一元二次方程x2＋2x－10＝0的根．下图是函数y＝x2＋2x－10的图象．(1)从图象上来看，二次函数y＝x2＋2x－10的图象与x轴交点的横坐标一个在－5与－4之间，另一个在2与3之间，所以方程x2＋2x－10＝0的两个根一个在－5与－4之间，另一个在2与3之间. 这只是大概范围，究竟更接近于哪一个数呢？请大家讨论解决．①先求－5和－4之间的根由于计算比较烦琐，所以大家可以用计算器进行计算：从图象上看，x的取值应大于－4.5，所以可以只代入－4.1，－4. 2，－4.3，－4.4这四个数进行计算.x－4.1－4.2－4.3－4.4y－1.39－0.76－0.110.56x的取值还不准确，应继续估计百分位上的数，十分位上的数字应取y的值和零最接近的数字．所以x应取负的4点3几．再按同样的方法求百分位上的数字．依次类推，即可求出比较准确的x的值．教师强调：按这样的步骤重点是求解方程的思路，而不是求解的结果．因此本书规定用图象法求一元二次方程的近似根时，结果只取到十分位．②另一个根在2与3之间，应是2点几，再用计算器进行探索.x 2.1 2.2 2.3 2.4y－1.39－0.76－0.110.56由于当x(2)还有其他的方法吗？可以把－5与－4之间的线段十等分再判断交点更接近于哪一个分点．如上题中的两个根可以这样求：三、举例分析例利用二次函数的图象求一元二次方程x2＋2x－10＝3的近似根．上面的题是利用二次函数y＝x2＋2x－10的图象估计方程x2＋2x－10＝0的根，现在我们应该利用哪一个函数图象求方程x2＋2x－10＝3的根呢？①利用函数y＝x2＋2x－13的图象求方程x2＋2x－10＝3的近似根；②也可以在上题的基础上进行，利用函数y＝x2＋2x－10的图象与直线y＝3的交点的横坐标求方程x2＋2x－10＝3 的解．方法一：函数y＝x2＋2x－13的图象如下图：由图可知，图象与x轴的两个交点的横坐标中，一个在－5与－4之间，一个在2与3之间，因此两个根分别为负4点几和2点几，下面用计算器进行探索.x－4.5－4.6－4.7－4.8－4.9y－1.75－1.04－0.310.44 1.21因此x＝－4.7是方程的一个近似根．另一个根可以类似地求出：x 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9y－1.75－1.04－0.310.44 1.21因此x＝2.7是方程的另一个近似根．方法二：分别画出函数y＝x2＋2x－10的图象和直线y＝3，找它们交点的横坐标即可．由图可知两近似根分别为x＝－4.7和x＝2.7.四、练习巩固1．二次函数y＝－2x2＋4x＋1的图象如图所示，则一元二次方程－2x2＋4x＋1＝0的近似根是________________．(精确到0.1)2．如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c的对称轴为x＝2，点A，B均在抛物线上，且AB 与x轴平行，其中点A的坐标为(0，3)，则点B的坐标为()A．(2，3)B．(3，2) C．(3，3) D.(4，3)3．利用二次函数的图象求一元二次方程2x2＋x－15＝0 的近似根．五、课堂小结1．通过本节课的学习，你有什么收获？2．如何利用二次函数估计一元二次方程的根？六、课外作业1．教材第55页“随堂练习”．2．教材第57页习题2.11第1～3题．本课时内容在以往的教学中往往容易一带而过，以练代讲，但是这样的教学处理重结果、轻过程，学生无法体验到近似根的探索过程，特别是在计算器、计算机盛行的时代，学生对近似根的求解往往不清楚．为此本课在设计过程中作了以下几点处理：1．以问题的形式引导学生参与研究，在经历和体验中总结方法，进而理解问题的本质.2．不仅关注学生对知识的应用，更要关注学生对知识进行迁移.3．针对学生不太喜欢画图以及画图不是本节课的重点这一特点，在涉及图形的时候，简单地采用直接提供方格，便于学生操作，突出重点，提高效率．4．合理利用几何画板，几何画板并不是求解近似解的工具，而是验证近似解的工具，所以在几何画板的应用上，主要用它来验证近似解的合理性.5．在本课的教学中重点关注学生探索、分析问题的能力，结果反而可以淡化，因为近似解这一课时，本身就是对精确概念的一个补充，所以教学上也应该更多关注学生的思维的合理性，而不是关注结果的准确性．。
《二次函数与一元二次方程（2）》教案2一、学生知识状况分析本节课是北师大版九年级下册第二章最后一个课时，是学生在学习掌握了二次函数和一元二次方程的基础上，研究二次函数图象与一元二次方程的近似解之间的关系.与用函数的观点看方程（组）与不等式比较类似，因此学生对函数与方程之间的联系已不再陌生.通过本节课的学习，学生可以进一步加深对二次函数的图象和性质的理解.同时让学生进一步体会数形结合的思想，也是高中阶段学习一元二次不等式的基础.二、教学任务分析知识与技能目标：利用二次函数的图象求一元二次方程近似解.过程与方法目标：经历探索用二次函数图象求解一元二次方程近似解的过程，体会用二次函数函数图象求一元二次方程解的方法.情感态度价值观：通过图象，体会数与形的完美结合，体会解决问题的方法，培养学生合作交流的意识和探索精神.教学重点：利用数形结合的思想估计一元二次方程近似解教学难点：用逼近法求一元二次方程近似解三、教学过程分析（一）课前检测，回顾迎新1.若方程02=++c bx ax 的根为21-=x 和32=x ，则二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴交点坐标是 .2.二次函数x x y 22+=的图象如图所示，则一元二次方程022=+x x 的解为 .注：课前的训练让学生用已有的知识研究二次函数与一元二次方程的精确解，为新课研究近似解提供研究思路.（二）合作交流，探索新知你能利用二次函数的图象估计一元二次方程01022=-+x x 的根吗？1.自主探索（1）观察二次函数的图象，抛物线与x 轴的交点的横坐标约为________________.（2）由图象可知，方程01022=-+x x 有 个根，一个根在 和 之间，另一个根在和（填1022-+=x x y两个整数）.（3）估计方程01022=-+x x 的近似根是 （精确到0.1）注：此处以问题串的形式引导学生探索近似解的研究方法.2.小结反思（小组合作交流，解决问题）（1）用什么方法验证你的结果是否正确？（2）利用二次函数c bx ax y ++=2的图象求一元二次方程02=++c bx ax 的近似根的一般步骤.步骤一：____________________________________________________步骤二：____________________________________________________步骤三：____________________________________________________注：①作二次函数c bx ax y ++=2的图象.②观察估计二次函数的图象与x 轴的交点的横坐标.③确定一元二次方程ax 2+bx+c=0的解.3.及时强化试用二次函数的图象估计下列方程的近似根（1）2822=-+x x ，（2）11022=-+x x你是如何解决这一问题的，在小组内交流你们的解法. 注：（1）2822=-+x x 是对案例01022=-+x x 作了简单的变形，学生可以按照上述的三个步骤操作，也可以将方程2822=-+x x 直接转化为方程01022=-+x x ，进而应用例题的结论，引导学生多方面多角度研究问题.（2）11022=-+x x 可以转化为一般式进行常规研究，也可以引导学生作直线1=y 与二次函数的交点，研究横坐标，引导学生学会知识的迁移.（三）运用提高，形成技能1022-+=x x y1.二次函数1xy的图象如图所示，则一元二次方-=x22++4程0-xx的近似根是（精确到+1+422=0.1）2. 如图，已知抛物线cbx=2的对称轴为2=x，点+y+xA，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为（0，3），则点B的坐标为（）A．（2，3） B．（3，2） C．（3，3）D．（4，3）3.利用二次函数的图象求一元二次方程01522=x的+x-近似根.4.如图，一个圆形喷水池的中央竖立安装了一个柱形喷水装置OA ，A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径流下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y (m) 与水平距离x (m)之间的关系式是4722++-=x x y （x >0）.柱子OA 的高度为多少米？若不计其他因素，水池的半径至少为多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？(结果保留根号)注：此处的练习层次分明，在让学生形成成就感的同时，有利于培养学生的研究习惯.（四）小结提升，作业布置将你本节课学到的方法与同伴交流，小组小结本课所学知识.注：要给予学生时间进行小结和反思，并鼓励小组进行交流，最后通过学生的发言判断学生本课学习的情况.四、教学反思本课时内容在以往的教学中往往容易一带而过，以练代讲，但是这样的教学处理重结果，轻过程，学生无法体验到近似根的探索过程，特别是在计算器计算机盛行的时代，学生对近似根的求解往往不清楚.为此本课在设计过程中作了以下几点处理：1.以问题的形式引导学生参与研究，在经历和体验中总结方法，进而理解问题的本质（“自主探索”环节）.2.不仅关注学生对知识的应用，更要关注学生对知识进行迁移（“及时强化”环节）.3.针对学生不太喜欢画图以及画图不是本节课的重点这一特点，在涉及到图形的时候，简单的采用直接提供，提升一点的，提供方格，便于学生操作，突出重点，提高效率.4.合理利用几何画板，几何画板并不是求解近似解的工具，而是验证近似解的工具，所以在几何画板的应用上，主要用它来验证近似解的合理性.5.在本课的教学中重点关注的学生探索分析问题的能力，结果反而可以淡化，因为近似解这一课时，本身就是对精确概念的一个补充，所以教学上也应该更多关注学生的思维的合理性，而不是关注结果的准确性.。
第二章 二次函数
《二次函数与一元二次方程（第2课时）》
教学设计说明
一、学生知识状况分析
本节课是北师大版九年级下册第二章最后一个课时，是学生在学习掌握了二次函数和一元二次方程的基础上，研究二次函数图象与一元二次方程的近似解之间的关系.与用函数的观点看方程（组）与不等式比较类似，因此学生对函数与方程之间的联系已不再陌生.通过本节课的学习，学生可以进一步加深对二次函数的图象和性质的理解.同时让学生进一步体会数形结合的思想，也是高中阶段学习一元二次不等式的基础.
二、教学任务分析
知识与技能目标：利用二次函数的图象求一元二次方程近似解.
过程与方法目标：经历探索用二次函数图象求解一元二次方程近似解的过程，体会用二次函数函数图象求一元二次方程解的方法.
情感态度价值观：通过图象，体会数与形的完美结合，体会解决问题的方法，培养学生合作交流的意识和探索精神.
教学重点：利用数形结合的思想估计一元二次方程近似解
教学难点：用逼近法求一元二次方程近似解
三、教学过程分析
（一）课前检测，回顾迎新
1.若方程02=++c bx ax 的根为21-=x 和32=x ，则二次函数
c bx ax y ++=2的图象与x 轴交点坐标是 .
2.二次函数x x y 22+=的图象如图所示，则一元二次方程
022=+x x 的解为 . 注：课前的训练让学生用已有的知识研究二次函数与一元二
次方程的精确解，为新课研究近似解提供研究思路.
（二）合作交流，探索新知
你能利用二次函数的图象估计一元二次方程01022=-+x x 的根吗？
1.自主探索
（1）观察二次函数的图象，抛物线与x 轴的交点的横坐标
约为________________.
（2）由图象可知，方程01022=-+x x 有 个根，一个根在
和 之间，另一个根在和 （填两个整数）.
（3）估计方程01022=-+x x 的近似根是 （精确到
0.1）
注：此处以问题串的形式引导学生探索近似解的研究方法.
2.小结反思（小组合作交流，解决问题）
（1）用什么方法验证你的结果是否正确？
（2）利用二次函数c bx ax y ++=2的图象求一元二次方程02=++c bx ax 的近似根的一般步骤.
步骤一：____________________________________________________ 步骤二：____________________________________________________ 步骤三：____________________________________________________ 注：①作二次函数c bx ax y ++=2的图象.
②观察估计二次函数的图象与x 轴的交点的横坐标.
③确定一元二次方程ax 2+bx+c=0的解.
3.及时强化
试用二次函数的图象估计下列方程的近似根
（1）2822=-+x x ，（2）11022=-+x x
10
22-+=x x y
你是如何解决这一问题的，在小组内交流你们的解法.
注：（1）2822=-+x x 是对案例01022=-+x x 作了简单的变形，学生可以按照上述的三个步骤操作，也可以将方程2822=-+x x 直接转化为方程01022=-+x x ，进而应用例题的结论，引导学生多方面多角度研究问题.
（2）11022=-+x x 可以转化为一般式进行常规研究，也可以引导学生作直线1=y 与二次函数的交点，研究横坐标，引导学生学会知识的迁移.
（三）运用提高，形成技能
1.二次函数1422++-=x x y 的图象如图所示，则一元二次方程
01422=++-x x 的近似根是 （精确到0.1）
2. 如图，已知抛物线c bx x y ++=2的对称轴为2=x ，点A ，B 均在抛物线上，且AB 与x 轴平行，其中点A 的坐标为（0，3），则点B 的坐标为（ ）
A ．（2，3）
B ．（3，2）
C ．（3，3）
D ．（4，3）
3.利用二次函数的图象求一元二次方程01522=-+x x 的近似根.
1022-+=x x y
4.如图，一个圆形喷水池的中央竖立安装了一个柱形喷水装置OA ，A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径流下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y (m) 与水平距离x (m)之间的关系式是
4
722++-=x x y （x >0）.柱子OA 的高度为多少米？若不计其他因素，水池的半径至少为多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？(结果保留根号)
注：此处的练习层次分明，在让学生形成成就感的同时，有利于培养学生的研究习惯.
（四）小结提升，作业布置
将你本节课学到的方法与同伴交流，小组小结本课所学知识.
注：要给予学生时间进行小结和反思，并鼓励小组进行交流，最后通过学生的发言判断学生本课学习的情况.
四、教学反思
本课时内容在以往的教学中往往容易一带而过，以练代讲，但是这样的教学处理重结果，轻过程，学生无法体验到近似根的探索过程，特别是在计算器计算机盛行的时代，学生对近似根的求解往往不清楚.为此本课在设计过程中作了以
下几点处理：
1.以问题的形式引导学生参与研究，在经历和体验中总结方法，进而理解问题的本质（“自主探索”环节）.
2.不仅关注学生对知识的应用，更要关注学生对知识进行迁移（“及时强化”环节）.
3.针对学生不太喜欢画图以及画图不是本节课的重点这一特点，在涉及到图形的时候，简单的采用直接提供，提升一点的，提供方格，便于学生操作，突出重点，提高效率.
4.合理利用几何画板，几何画板并不是求解近似解的工具，而是验证近似解的工具，所以在几何画板的应用上，主要用它来验证近似解的合理性.
5.在本课的教学中重点关注的学生探索分析问题的能力，结果反而可以淡化，因为近似解这一课时，本身就是对精确概念的一个补充，所以教学上也应该更多关注学生的思维的合理性，而不是关注结果的准确性.。
