第七单元 向量代数 空间解析几何
一、 向量概念及其加、减法和数乘运算 1、两点A （x 1,y 1）, B （x 2,y 2）之间的距离 212212)()(y y x x d -+-=
2、向量的定义：既有大小，又有方向的量。记作： 或a
向量的模：︱
︱ 0向量：模为0的向量。记作：0
单位向量：模为1的向量。记作：a 0
，a =
（=
3、两向量相等：方向相同，模相等。记作：a =b
4、加法运算：a +b =b +a (交换律) (a +b )+c = a +(b +c ) （结合律）
5、数与向量的积：记作λa （λ为常数） λa 的模：︱λa ︱=︱λ︱︱a ︱
λa 的方向：当λ>0时，与a 同向，当λ<0时，与a 反向。 6、向量的坐标表示法：
设向量的起点为M 1（x 1,y 1,z 1）,终点为M 2（x 2,y 2,z 2）,则 = (x 2-x 1)i +(y 2-y 1)j +(z 2-z 1)k
︱ ︱=2
12212212)()()(z z y y x x -+-+-
7、基本单位向量：三个坐标轴上正方向上的单位向量i ，j ，k 8、向量的加、减法与数乘运算
a = a x i + a y j + a z k ,
b = b x i + b y j + b z k a ±b =（a x ±b x ）i +（a y ±b y ）j +（a z ±b z ）k λa = (λa x )i + (λa y )j + (λa z ) k
例1 设向量a =8i +9j -12k ，其始点坐标为A （2，-1，7）
（1） 求其终点B 的坐标
（2） 如取向量a 方向且模为34的向量，求该向量的终点坐标（始点仍为A ）
解：（1）设终点坐标为B （x,y,z ）,则有
=(x-2)i +(y+1)j +(z-7)k ，令 = a ，即
8i +9j -12k =(x-2)i +(y+1)j +(z-7)k ，所以有： x-2=8，y+1=9，z-7=-12，解得x=10,y=8,z=-5 故终点坐标为B （10，8，-5）
（2）与a 同向的单位向量为：
a 0
=a ∕∣a ∣=
)1298(17
1
)12(9812982
22k j i k j i -+=
-++-+ 与a 同向的模为34的向量为：
b =34a 0
=16i +18j -24k
设其终点坐标为B （x,y,z ）,仿（1）得x-2=16，y+1=18，z-7=-24，解得x=18,y=17,z=-17
AB
AB
M 1M 2
M 1M 2 AB
AB
故终点坐标为B （18，17，-17） 9、方向角与方向余弦
向量a 分别与x 、y 、z 三个坐标轴的正向不超过π的夹角，用α、β、γ表示，则
称他们为向量a 的方向角，cos α、cos β、 cos γ称为方向余弦，且cos 2α+cos
2
β+cos 2
γ=1
10、单位向量的三角表示法
a 0
=i cos α+j cos β+k cos γ 11、方向余弦的计算
设向量a 的坐标表示为：a = x i +y j +z k ，则 2
2
2
2
2
2
a
a cos ,cos z
y x y y
z
y x x x
++=
=
++=
=
βα
2
2
2
a
cos z
y x z z
++=
=γ
例2 设向量a ={x,y,z}的方向角α=600
，β=600
且∣a ∣=3，问这种向量有几个，求之。
解：设第三个方向角为γ，则由cos 2α+cos 2β+cos 2
γ=1得 cos 2
γ=1-cos 2
600
-cos 2
600
=
21，cos γ=2
2±,这样的γ有两个子434ππ与，所以这样
的向量也有两个：
a =∣a ∣a 0
= 3（i cos α+j cos β+k cos γ）=
23i +23j +2
2
3k 或 a =
23i +23j -2
2
3k (单位向量的三角表示式)
例3 设一向量与x 轴及y 轴的夹角相等,而与z 轴的夹角是前者的2倍,求这个向量的方向
余弦.
解: 设该向量与x 、y 轴的夹角为α，则与z 轴的夹角为2α，
所以cos 2α+cos 2α+cos 22α=1,2cos 2α+(2cos 2α-1)2
=1
即4cos 4
α-2cos 2
α=0,解得cos α=0或2
2
cos ±
=α（负值为第二象限的角，2倍大于π，故舍去）4
,2
π
απ
α=
=
所以方向余弦为0，0，-1或
0,2
2,22 二、 数量积（点积）和向量积（叉称）的计算及应用
1、数量积（点积）：a ·b=∣a ∣∣b ∣cos θ θ为a 与b 的夹角，θ 运算性质：a ·b = b ·a (交换律) a ·（b +c ）= a ·b + a ·c (分配律)
λ(a ·b )= (λa )·b = a ·(λb ) (结合律) 2、两向量间的位置关系
向量a 在向量b 上的投影： （数量） a b = ∣a ∣cos(a ,b )或记作a j b Pr
平行：a ∥b ? a =λb 或b =λa 或λa +μb =0
（λ，μ不同时为0） 垂直：a ⊥b ? a ·b =0 （(a ,b )=
2
π
，cos(a ,b )=0) a ·a =∣a ∣2
两向量的夹角计算公式:设a = {x 1,y 1,z 1}, b = {x 2,y 2,z 2},
则 ∣a ∣=212121z y x ++,∣b ∣=2
22222z y x ++
a ·
b = x 1x 2 + y 1y 2 + z 1z 2 cos(a ,b
=
22
222221
21
21
212121z z y y x x z
y x z
y x ++++++
3、向量积
a ×
b =
① 模：∣a ×b ∣=∣a ∣∣b ∣sin θ, θ为a 与b 的夹角，πθ≤ ② C 垂直于a 、b 所确定的平面
∣a ×b ∣的几何意义:以a 、b 为邻边的平行四边形的面积（也可用于计算三角形的
面积）
运算性质：a ×b = - b ×a
a ×（
b +
c ）= a ×b + a ×c
(λa ) ×b =λ(a ×b ) = a ×(λb ) 计算方法：a = {x 1,y 1,z 1}, b = {x 2,y 2,z 2},则 i j k
a ×
b = x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 4、两向量平行的充分必要条件 a ×b = 0 即
z
z y x x b b b z z y y x x =
===或,21
2121 5、基本单位向量的点、叉积关系
i ·i = j ·j = k ·k = 1, （θ=0,cos θ=1）
i ·j = j ·k = k ·I = 0, （θ=
2
π
,cos θ=0） i ×i = j ×j = k ×k = 0,
i ×j = k , j ×k = I , k ×i = j 6、三阶行列式的计算
a 1
b 1
c 1 a 1 b 1
a 2
b 2
c 2 a
2 b 2 =a 1b 2c 3
+b 1c 2a 3+c 1a 2b 3-c 1b 2a 3-a 1c 2b 3-b 1a 2c 3 a 3 b 3 c 3 a 3 b 3
三条实斜线为主对角线，三条虚斜线为次对角线。
计算方法：主对角线上三个元素之积的和减去次对角线上三个元素之积的和 a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3
例4 设a ={-1，2，-2}，b ={1，-3，4},试计算a · b ，a × b ，
(a+b ) ×(a-b ),cos(a ,b )
解: a · b = x 1x 2+y 1y 2+z 1z 2=(-1) ×1+2×(-3)+(-2) ×4 = -15
a ×
b = k j i k
j i z y x z y x k j i ++=---=224
312212
22111
(a+b )×(a-b )= {0，-1， 2}×{-2，5，-6} }2,4,4{6
5221
0---=---==k
j
i
cos(a ,b 26
26
54)3(1)2(2)1(15
2
22222-
=+-+-++--=
例5 已知四个点A(0,0,0),B(3,4,-1),C(2,3,5),D(6,0,-3),求
△ ABC 的面积.
解: △ABC 面积应为以.
={3,4,-1}, ={2,3,5}
× } △ABC 面积=
21︱ × ︱2
91
3= 例6 求与向量a ={2,-1,2}平行且满足a ·b =-18的向量b
解:设b =λa ,则a ·b =λ︱a ︱2=λ(22+(-1)2+22
)=-18 解得λ=-2,即设b ={-4,2,-4}
例7 在xoy 平面上求一个垂直于向量a ={5,-3,4}且与a 等长的向量b 解: 因b 在xoy 平面,可设b ={x,y,0}（在xoy 平面上z=0）,则
a ·
b =5x-3y=0,︱b ︱2=x 2+y 2=52+(-3)2+42
=50 (︱a ︱=︱b ︱) 由上两方程联立解得17
25,17
15±
=±
=y x
AB
AB
AB
b =}0,17
25,17
15{±
±
（方向相反的两个向量）
例8 已知a ={m,5,-1}, b ={3,1,n}互相平行,求m,n 解: 因a ∥b ,所以有
n m 1153-==,解得m=15,5
1-=n
例9 设向量a ={3，4，-2}，b ={2,1,k},若a 与b 垂直，则k=( 5) (05、10)
解：因a 与b 垂直，所以a ·b = 0，即{3，4，-2}·{2,1,k}=0 6+4-2k=0,解得k=5
例10 设向量︱a ︱=1，︱b ︱=2，︱a +b ︱=3，则a ·b = （-1） （05B 、10）
解：设a = {x 1,y 1,z 1}, b = {x 2,y 2,z 2}，
则2,
12222222
12121=++=++z y x z y x
︱a +b ︱=2
21221221)()()(z z y y x x +++++
=)(2)()(2121212
22222212121z z y y x x z y x z y x ++++++++
=3)(25212121=+++z z y y x x 解得 1212121-=++z z y y x x a ·b = 1212121-=++z z y y x x
例11 设︱a ︱=1，a ⊥b ，则a ·（a +b ）= （1） （06、10）
解：因a ⊥b ，所以a ·b =0，a ·（a +b ）= a ·a +a ·b =︱a ︱2
=1 例12 已知a ，b 均为单位向量，且a ·b =
2
1
，则以向量a ，b 为邻边的平行四边形的面积为 （
2
3
） （07，10） 解：因a ，b 均为单位向量，所以︱a ︱=︱b ︱=1
a ·
b =︱a ︱︱b ︱cos(a ,b )=
21，cos(a ,b )=21, a ,b =3
π 平行四边形的面积=︱a ×b ︱=︱a ︱︱b ︱sin(a ,b ) =2
3
3
sin
=
π
例13 设a ={1，2，3}，b ={3，2，4}，则a ×b = （C ） （08、4） A 、{2，5，4} B 、{2，-5，-4} A 、{2，5，-4} A 、{-2，-5，4}
解：a ×b }4,5,2{4
2
3
3
21-==
k j i
三、 平面与直线 平面 1、 平面方程
（1） 平面的点法式方程：平面过点M 0（x 0,y 0,z 0）,以n ={A,B,C} 为法向量，方
程为：A （x- x 0）+ B （y- y 0）+ C （z- z 0）=0 （2） 平面的一般方程：Ax+ By+ Cz+D=0 （A ，B ，C 不全为零）,其法向量为n ={A,B,C}
（3） 平面的截距式方程：
1=++c
z
b y a x （a,b,
c 分别为x 轴，y 轴和z 轴上的截距，且a ·b ·c ≠0） 2、
特殊的平面方程：
过原点的平面方程：Ax+By+Cz=0
平行于oz 轴的平面方程：Ax+By+D=0 过oz 轴的平面方程：Ax+By =0
平行于坐标平面xoy 的平面方程：Cz+D=0
说明：过其他轴及平面的方程，可仿照上述方程写出。 3、
两平面的位置关系：
设两个平面的方程分别为1π：A 1x+ B 1y+ C 1z+D 1=0 2π：A 2x+ B 2y+ C 2z+D 2=0 1π⊥2π（充要条件）：A 1 A 2+ B 1 B 2+ C 1 C 2=0 1π∥2π（充要条件）
：2
1
2121C C B B A A =
= 1π与2π重合（充要条件）
：2
1
212121D D C C B B A A =
== 4、 建立平面方程
（1） 已知平面上的一点M 0（x 0,y 0,z 0）,以及法向量n ={A,B,C} ，可直接写出点法
式方程 。 （2） 过点 M 0（x 0,y 0,z 0）作平行于1π：A 1x+ B 1y+ C 1z+D 1=0的平面方程，取n ={A 1,B 1,C 1}及M 0（x 0,y 0,z 0），即可写出点法式方程 。
（3） 过点 M 0（x 0,y 0,z 0）作垂直于向量{A ，B ，C}的平面方程，取n ={A,B,C}及M 0
（x 0,y 0,z 0），即可写出点法式方程 。
（4） 过点M 1（x 1,y 1,z 1）M 2（x 2,y 2,z 2）M 0（x 3,y 3,z 3）的平面方程，设所求平面方程
为Ax+ By+ Cz+D=0，将已给三点的坐标代入，得到一个以A ，B ，C ，D 为未知量的方程组，求出A ，B ，C ，D 即得所求平面方程（一般情况下要选一个自由
量）。
例1 平面过点P （-3，1，5）且平行平面x-2y-3z+1=0，求此平面的方程。 解：已知平面的法向量为：n ={1,-2,-3}，即为所求平面的法向量 所以，1（x+3）-2(y-1)-3(z-5)=0 即所求平面的方程为：x-2y-3z+20=0
例2 求通过不在一条直线上的三点P 1（1，2，3），P 2（-1，0，0），和P 3（3，0，1）的
平面方程。
解：法一：所求平面的法向量应垂直P 1P 2，P 1P 3 P 1P 2={-2，-2，-3}，P 1P 3={2，-2，-2}
n }8,10,2{2
22322--=-----=k
j i
所以平面方程为：-2(x-1)-10(y-2)+8(z-3)=0 (点法式) 即x+5y-4z+1=0
法二：设所求平面方程为：A(x-1)+B(y-2)+C(z-3)=0 因平面过P 2，P 3点，代入方程得：
2A+2B+3C=0 ① A-B-C=0 ② 由①，②联立解得C A 4
1-= C B 4
5
-
=，代入所设方程，消去C 得所求平面方程为：x+5y-4z+1=0 法三：设所求平面方程为：Ax+By+Cz+D=0 (一般式)
用P 1，P 2，P 3的坐标代入得A+2B+3C+D=0,-A+D=0,3A+C+D=0，联立解得A=D ，B=5D ，
C=-4D ，代入所设方程得：Dx+5Dy-4Dz+D=0,即x+5y-4z+1=0
例3 平面过原点，且垂直于平面x+2y+3z-2=0, 也垂直于平面6x-y+5z+23=0,求此平面
方程。
解：所求平面的法向量n =n 1×n 2=}1,1,1{135
1632
1
-=-k
j i
所求平面方程为：x+y-z=0 例4 设平面过点（5，-7，4），且在三个坐标轴上的截距相等，求这个平面方程。 解：设这个平面方程为：
1=++a
z
a y a x ，用（5，-7，4）代入得a=2, 故所求平面方程为：x+y+z-2=0
直线
1、直线方程
（1）标准方程（点向式，对称式）：过点M 0（x 0,y 0,z 0）
且平行于方向向量s ={m,n,p}的直线方程：
p
z z n y y m x x 0
00-=
-=- （2）一般方程（交面式）：
(其中
（3）参数式方程：
说明：
直线过M 0（x
0s ={m,n,p}
2、两直线间的位置关系：
设两直线的方程分别为：11
11111:
p z z n y y m x x l -=
-=- 2
2
22222:
p z z n y y m x x l -=
-=- 21l l ⊥（充要条件）： 2121210===p p n n m m 1l ∥2l （充要条件）
： 2
12121p p n n m m == 例5 求过两点A （0，-3，2），B （-1，2，4）的直线方程。 解：取s =AB={-1，5，2} 所求直线方程为：
2
2531-=+=-z y x
例6 将直线L 的一般方程（点向式） 解：-3}
n 2={1，-2，-1}，s =2121---k
j i
令z=0,解得x=-1,y=3 ②求出一点的坐标 所求直线方程为：
2
1341z
y x =-=+ 例7 过点（0，-3，2）且平行于直线 解：已知直线的方向向量为：s =4
83111=--k j i 量)
所求直线与s 平行，且过点（0，-3，2），故其方程为：
5
2
134--=-+=z y x 3、直线 1l 与平面 π间的位置关系：
设直线与平面的方程分别为：p
z z n y y m x x l 0
00:
-=
-=-
0:=+++D Cz By Ax π π⊥1l （充要条件）
：p
C
n B m A == （方向向量与法向量平行） 1l ∥π（充要条件）：0=++Cp Bn Am （方向向量与法向量垂直）
1l 落在π上（充要条件）：
)
4、直线方程与平面方程的区别：
直线方程用连等式或方程组表示；平面方程为一个三元一次方程。 例8 求过两点P 1（1，0，-1）和P 2（-2，1，3）且与直线1
4
1523+=-+=-z y x 平行的平面方程。
解：已知直线的方向向量s ={2,-1,1}, P 2 P 1={3,-1,-4}
所求平面的法向量n =}1,11,5{4
13112
=---k
j i
所求平面方程为：5(x-1)+11y+1(z+1)=0
即5x+11y+z-4=0
例9 求过点P （1，2，-1）且垂直于平面2x-y+3z+1=0的直线方程。 解：方向向量s 平行于n ,取s =n ={2,-1,3} 所求直线方程为：
3
1
1221+=--=-z y x 例10 直线L 通过一个定点P （0，-1，2）且同时与平面x-2y+5z-1=0及3z-y-x=0平行，
求L 的方程。
解：由已知条件知，L 的方向向量同时垂直于两平面的法向量，故有：
s =}3,8,1{3
11521
---=---k
j i
所求直线方程为：
3
2811-=+=z y x 例11 判定平面x-y+2z=1及-3x+3y-6z=2的位置关系。
解：已知条件知：A 1=1，B 1=-1， C 1=2；A 2=-3，B 1=3， C 1=-6 所以，
3
1212121-===C C B B A A （对应成比例） 故知两平面平行。 例12 判定两直线1
2
111:,221111:
21+==-+-=-+=-z y x l z y x l 的位置关系。
解：由已知条件知：m 1=1, n 1=-1 p 1=2；m 2=-1, n 2=1 p 2=1； m 1 m 2+ n 1 n 2+ p 1 p 2=-1-1+2=0 所以21l l ⊥ 例13 判定直线L ：
3
3
7222-=-+=--z y x 及π：4x-2y-2z=3的位置关系。 解：由已知条件知：s ={-2,-7,3},n ={4,-2,-2}
则s ·n =(-2)4+(-1)(-2)+3(-2)=0 (方向向量与法向量垂直)
所以，L ∥π，由于M 0=(2,-2,3)在直线L 上，代入π的方程可得4×2-2×(-2)-2×
3=6≠3,即M 0不在平面上，故知直线L 平行于平面π但不在平面π上。
例14 求平面2x-3y-z+12=0在三个坐标轴上的截距。 解：由平面2x-3y-z+12=0可得： （化为截距式方程）
112
46=++-z y x 故在x,y,z 三个坐标轴上的截距分别为：-6，4，12
例15 过点（0，2，4）且与平面x+2z=1及平面y-3z=2都平行的直线方程。 解：所求直线的方向向量与平面x+2z=1及平面y-3z=2法向量都垂直，故
s =}1,3,2{3
1020
1
-=-k
j i
，且过点（0，2，4），故其方程为：
1
4322-=-=-z y x 例 16 求直线1
2233z
y x =-+=+与平面x+2y+2z+6=0的交点。 解：设
t z y x ==-+=+1
2233，则x=3t-3,y=-2t-2,z=t 代入平面方程得： （3t-3）+2（-2t-2）+2t+6=0,解得 t=1,故直线与与平面的交点坐标为：x=0,y=-4,z=1,即
（0，-4，1）
例17 求过点A （3，1，-2），且通过直线
1
2354z
y x =+=-的平面方程。 （05、18） 解：直线上的点为（4，-3，0）在平面上，AB ={1，-4，2}，设所求平面的法向量为n ，则n
⊥AB ，n ⊥s ,故有
n =}22,9,8{1
2
5
24
1-=-k
j i （取平面的法向量为直线的方向向量） 所求平面方程为：-8(x-3)+9(y-1)+22(z+2)=0 即 8x-9y-22z-59=0
例18 求过点A （-1，2，3）且垂直于直线L ：
6
54z
y x ==，又与平面π：7x+8y+9z+10=0平行的直线方程。 （05B 、20）
解：设所求直线的方向向量为s ，已知直线的方向向量s 1={4，5，6}，已知平面的法向量为
n ={7，8，9}，故有
s =n ×s 1=}1,2,1{39
8
7
654
--=k
j i
，所以，所求直线方程为：
1
3
2211-=--=+z y x 例19 求过点M （3，1，-2）且与两平面x-y+z-7=0,4x-3y+z-6=0都平行的直线方程。 （06、19）
解：设所求直线的方向向量为s ，则s 垂直两平面的法向量，故有
s =}1,3,1{1
34111=--k
j i ，所以，所求直线方程为：
1
2
3123+=-=-z y x 例20 求过点（1，2，3）且垂直于直线的平面方程。（07、19）
解：设所求平面的法向量为n ，则n
n =}3,1,2{1
1211
1
-=-k
j i
，所以，所求平面方程为：
2(x-1)+(y-2)-3(z-3)=0,即 2x+y-3z+5=0 例21 已知平面π过三点A （2，0，0），B （0，3，0），C （0，0，5），求过点（1，2，1）且垂直于平面π的直线方程。 （08、17）
解：法一：设平面方程为Ax+By+Cz+D=0,代入A ，B ，C 点的坐标得：
5
,3,2D
C D B D A -=-=-
=，所以平面方程为：15x+10y+6z-30=0,则 s =n ={15，10，6}，所以，所求直线方程为： 61
102151-=-=-z y x 法二：因AB ={-2,3,0}，BC ={0,-3,5}，
则s =AB ×BC }6,10,15{5
3003
2=--=k
j i ，所以，所求直线方程为：
6
1
102151-=-=-z y x 5、建立直线方程 （1）确定直线上的一点M 0（x 0,y 0,z 0）及直线的方向向量s ={m,n,p}，建立标准式方程。 （2）作过点M 0（x 0,y 0,z 0）且垂直于平面0:=+++D Cz By Ax π的直线方程：取M 0（x 0,y 0,z 0）及方向向量s ={A,B,C}，即可建立标准式方程。 （3） 作过点M 1（x 1,y 1,z 1），M 2（x 2,y 2,z 2）的直线方程：取M 0（x 0,y 0,z 0）= M 1（x 1,y 1,z 1）
（或= M 2（x 2,y 2,z 2））及方向向量s ={x 2-x 1, y 2-y 1, z 2-z 1},即可建立标准式方程。
（4）找到直线所在的两个平面，这两个平面方程联立就是所求的直线方程。（一般方
程）
（5）建立过已知点M 0（x 0,y 0,z 0）且与直线 p
z z n y y m x x l 1
11:
-=
-=-垂直的平面方程，用点法式：即m(x-x 0)+ n(y-y 0)+p(z-z 0)=0
三、简单的二次曲面
1、曲面方程：F(x,y,z)=0为二次方程时，它所表示的曲面称为二次曲面。
2、柱面方程
F(x,y)=0表示母线平行于oz 轴的柱面，则称其为柱面方程。 F(y,z)=0表示母线平行于ox 轴的柱面，则称其为柱面方程。 F(x,z)=0表示母线平行于oy 轴的柱面，则称其为柱面方程。 说明：方程中的三个未知量x,y,z 中，缺者为平行于该轴的柱面。
x 2+y 2-a 2
=0表示母线平行于oz 轴的圆柱面方程。
y 2+z 2-b 2
=0表示母线平行于ox 轴的圆柱面方程。 x 2+z 2-c 2
=0表示母线平行于oy 轴的圆柱面方程。 3、球面方程
(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R 2
表示球心在(a,b,c),半径为R 的球面方程。 4、椭球面方程
122
2222=++c
z b y a x 表示中心在原点的椭球面方程。 5、锥面方程
12
2
2222=-+c z b y a x 表示顶点在原点，oz 轴为对称轴的锥面方程。 说明：负项表示对称轴。
6、以坐标轴为旋转轴的旋转面方程
设在yoz 坐标面上曲线c 的方程为f(y,z)=0,绕z 轴旋转方程为
0),(22=+±z y x f （轴变量不变，另一变量改写成除轴变量外的两变量平方和
的开方）；绕y 轴旋转方程为0),(2
2=+±z x y f
7、旋转抛物面
若f(y,z)=0为yoz 面上的抛物线，则前述旋转面方程称为旋转抛物面方程。 例22 求下列曲面方程
（1）在xoy 平面上的直线y=2x 绕x 轴旋转的旋转曲面方程；（圆锥面）
（2）在xoz 平面上的曲线x=2z 2
绕x 轴旋转的旋转曲面方程；（抛物面） 解：（1）绕x 轴旋转，x 不变，方程中的y 换成x y z y z 2,2222=+±+±得
即4x 2
=y 2
+z 2
（2）绕x 轴旋转，x 不变，方程中的z 换成)(2,2222z y x y z +=+±
得
高等数学第六版课后全 部答案 标准化工作室编码[XX968T-XX89628-XJ668-XT689N]
习题 101 1. 设在 xOy 面内有一分布着质量的曲线弧 L, 在点(x, y)处它的线 密度为 μ(x, y), 用对弧长的曲线积分分别表达: (1) 这曲线弧对x轴、对y轴的转动惯量Ix, Iy; (2)这曲线弧的重心坐标 x , y . 解在曲线弧 L 上任取一长度很短的小弧段 ds(它的长度也记做 ds), 设(x, y) 曲线 L 对于 x 轴和 y 轴的转动惯量元素分别为dIx=y2μ(x, y)ds, dIy=x2μ(x, y)ds . 曲线 L 对于 x 轴和 y 轴的转动惯量分别为 I x = ∫ y 2μ ( x, y)ds , I y = ∫ x2μ ( x, y)ds . L L ww w. kh d ∫L ∫L 和L2, 则 2. 利用对弧长的曲线积分的定义证明: 如果曲线弧L分为两段光滑曲线L1 ∫L f (x, y)ds =∫L n 课
x= M y ∫L xμ ( x, y)ds M ∫ yμ (x, y)ds = , y= x = L . M M μ ( x, y)ds μ(x, y)ds 后 曲线 L 的重心坐标为 1 f ( x, y)ds + ∫ f ( x, y)ds . L2 证明划分L, 使得L1和L2的连接点永远作为一个分点, 则 ∑ f (ξi,ηi )Δsi = ∑ f (ξi,ηi )Δsi + i =1 i =1 n n1 n1 答 dMx=yμ(x, y)ds, dMy=xμ(x, y)ds . 令λ=max{Δsi}→0, 上式两边同时取极限 λ →0 λ →0
第七章 微分方程—练习题参考答案 一、填空题 1. 三阶； 2. 023=+'-''y y y ； 3. 1-=' x y y ； 4. x e 22ln ? ； 5. x x e c e c 221-+； 6. 错误 、错误、错误、正确. 二、选择题 1-5:ACDCB; 6-8: CCB; 三、计算与应用题 1、（1）解：变量分离得， 1 1 2 2 -= +x xdx y ydy ， 两边积分得， c x y ln 2 1)1ln(2 1)1ln(2 12 2 +-=+， 从而方程通解为 )1(122-=+x c y . （2）解：整理得， x y x y dx dy ln =，可见该方程是齐次方程， 令 u x y =，即xu y =，则dx du x u dx dy +=，代入方程得，u u dx du x u ln =+， 变量分离得， x dx u u du = -) 1(ln ，积分得，c x u ln ln )1ln(ln +=-， 所以原方程的通解为cx x y =-1ln ，或写为1 +=cx xe y . （3）解：整理得，x e y x y =+ '1，可见该方程是一阶线性方程，利用公式得通解为 )(1)(1)(1 1 c e xe x c dx xe x c dx e e e y x x x dx x x dx x +-= +=+??=??- . （4）解：整理得， x y x x dx dy 1ln 1= +，这是一阶线性方程，利用公式得通解为 )2 ln (ln 1)ln (ln 1)1(2 ln 1 ln 1 c x x c dx x x x c dx e x e y dx x x dx x x +=+=+??=??- ， 代入初始条件1==e x y 得2 1= c ，从而所求特解为)ln 1(ln 2 1x x y + = . （5）解：将方程两边逐次积分得，12 arctan 11c x dx x y +=+= '? ， 212 1)1ln(2 1arctan )(arctan c x c x x x dx c x y +++-=+= ? ，
第六章 向量空间 一、判断题 1. 121{(,,,)|1,}n n i i i x x x x x R ==∈∑L 为n R 的子空间. ( ). 2、所有n 阶实反对称矩阵的集合为全矩阵空间()n M R 的子空间. ( ). 3、n 维向量空间V 的任意n 个线性无关的向量都可构成V 的一个基. ( ). 4、设线性空间V 的子空间W 中每个向量可由W 中的线性无关的向量组12,,,s αααL 线性表出，则维(W )＝s . 5、 子空间12(,,,)r L αααL 的维数等于向量组12,,,r αααL 的秩 （ ） 6、s ααα,,,21Λ为V 的基，s βββ,,,21Λ为V 中向量，且 A s s ),,,(),,,(2121αααβββΛΛ=，则s βββ,,,21Λ为V 的基当且仅当A 可逆。（ ） 7、有限维线性空间同构的充要条件是维数相同. （ ） 8. 设12,,,n αααL 是向量空间V 的一个基, f 是V 到W 的一个同构映射, 则W 的一个基是12(),(),,()n f f f αααL . 9、.如果向量空间V 是3维的，那么V 中任意4个向量必是线性相关的( )。 10.、非齐次线性方程组的解集不构成一个向量空间( )。 11、线性空间的一组基所含向量的个数是该空间的维数. 12、设1V ，2V 均为线性空间V 的子空间，满足 12{0}V V =I ，则12V V V =⊕。 ( ). 14．若21V V V ⊕=，r ααα,,,21Λ是1 V 的基，s r r ααα,,,21Λ++是2V 的基，则s ααα,,,21Λ是V 的基. 二、填空题 1、 复数域C 作为实数域R 上的向量空间, 维数等于______, 它的一个基为_______. 2、在4P 中，若1234(1,2,0,1),(1,1,1,1),(1,,1,1),(0,1,,1)k k αααα===-=线性无关，则k 的 取值范围是____________.
第七章 空间解析几何与向量代数 §7.1 空间直角坐标系 §7.2 向量及其加减法、向量与数的乘法 一、判断题。 1． 点（-1，-2，-3）是在第八卦限。 （ ） 2． 任何向量都有确定的方向。 （ ） 3． 任二向量, =则=同向。 ( ) 4． 若二向量, ,则,同向。 （ ） 5． 若二向量b a ,满足关系b a -=a +b ，则b a ,反向。 （ ） 6． 若 +=+,则 = ( ) 7． 向 量 ,满 足 = ，则 ,同向。 （ ） 二、填空题。 1． 点（2，1，-3）关于坐标原点对称的点是 2． 点（4，3，-5）在 坐标面上的投影点是M （0，3，-5） 3． 点（5，-3，2）关于 的对称点是M （5，-3，-2）。 4． 设向量与有共同的始点，则与,共面且平分与的夹角的向量为 5． 已知向量a 与b 方向相反，且||2||a b =，则b 由a 表示为b = 。 6．设b a ,有共同的始点，则以b a ,为邻边的平行四边形的两条对角线的向量分别为 。 三、选择题。 1．点（4，-3，5）到oy 轴的距离为 （A ）2 225)3(4+-+ （B ） 225)3(+- （C ）2 2)3(4-+ （D ）2254+ 2．已知梯形OABC 、CB // OA 且= 2 1 a ，OC = b ，则AB = （A ） 2 1 - （B ）21- （C ）-21 （D ）21- 3．设有非零向量,，若a ⊥ b ，则必有
（A+（B+ （C<-（D+> 三、试证明以三点A（4，1，9）、B（10，-1，6）、C（2，4，3）为顶点的三角形为等腰直 角三角形。 四、在yoz平面上求与三个已知点A（3，1，2）、B（4，-2，-2）、C（0，5，1）等距离的 点D。 六、用向量方法证明：三角形两边中点的连线平行与第三边，且长度为第三边的一半。
高等代数(Ⅱ)试题一 1. 单项选择题 (2分5=10分) 1．设V是实数域上n阶矩阵构成的向量空间, 则V的维数是 ( ) A. n B. n２ C. D. 2．下列变换中, 哪一个是向量空间R3(R是实数域)的线性变换（ ） A. (x1 , x2 , x3 ) (x, x2 , x3 ) B. (x1 , x2 , x3 ) (x, x , x3 ) C. (x1 , x2 , x3 ) (x, x , x ) D. (x1 , x2 , x3 ) (x1+x2 , x2+x3 , x3+x1) 3. 四个三维向量构成的向量组 （） A. 秩为3 B. 秩为4 C. 线性无关 D. 线性相关. 4. 若n阶矩阵A的行列式不为零, 下列数中哪一个一定不是A的特征值( ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5. 向量组（）线性相关的充分必要条件是（） A. 至少有一个零向量 B. 中至少有两个向量成比例 C. 中至少有一个向量可由其余向量线性表示 D. 中任一个部分组都线性相关. 二.多项选择题 (3分4=12分) 1．设A是n（n>1）阶可逆矩阵, 下列结论中正确的是 ( ) A. |A|≠0 B. 秩A = n C. 秩A < n D. A的行向量线性无关 E . A的列向量线性无关 2．下列变换哪些是向量空间R3的线性变换. ( ) A. (x1 , x2 , x3 ) (0, 0, 0) B. (x1 , x2 , x3 ) (x1 , x2 , 0)
C. (x1 , x2 , x3 ) (x1 , x2 , x) D. (x1 , x2 , x3 ) (x3 , x2 , x1) E. (x1 , x2 , x3 ) (x , x, x) 3．设A是n阶正交矩阵, 下列结论中正确的是 ( ) A. | A | 0 B. | A | >0 C. | A | = 1 D. | A | = 一1 E. | A | = 1或一1 4．设是向量空间V的可逆线性变换, {1 , 2 ,…，n }是V的基，A是关于 这个基的 矩阵, 下列结论中正确的是 ( ) A. {(1) , (2) ,…，(n) }也是V的基 B. {(1) , (2) ,…，(n) }不一定是V的基 C. A是可逆矩阵 D. A-1是-1关于基{1 , 2 ,…，n }的矩阵 E. A T是-1关于基{1 , 2 ,…，n }的矩阵 三、判断题（你认为命题正确时,在题干后的括号内画“√”， 否则 画“×”, 2分5=10分） 1. 设V是有限维向量空间, 则V的基不唯一. ( ) 2. 设是向量空间V的线性变换, 则(V)一定是V的平凡子空间. ( ) 3. 设R3[x] (R是实数域)是次数不超过三的多项式连同零多项式构成的 向量空间, 则{x, x2, x3}是R3[x]的一个基. ( ) 4. 若两个n阶矩阵A与B有完全相同的特征根, 则A与B相似. ( ) 5. 任一n (n>1) 维欧氏空间一定有标准正交基. ( ) 四、计算题（7分4=28分） 1. 求向量组1 = (1, 2, 1), 2 = (2, 1, 3)，3 = (3, 0, 4), 4= (5, 1, 6) 的一
习题5. 1 1． 判断全体n 阶实对称矩阵按矩阵的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间． 答 是． 因为是通常意义的矩阵加法与数乘, 所以只需检验集合对加法与数乘运算的封闭性. 由n 阶实对称矩阵的性质知，n 阶实对称矩阵加n 阶实对称矩阵仍然是n 阶实对称矩阵，数乘n 阶实对称矩阵仍然是n 阶实对称矩阵, 所以集合对矩阵加法与数乘运算封闭, 构成实数域上的线性空间. 2．全体正实数R +, 其加法与数乘定义为 ,,k a b ab k a a a b R k R +⊕==∈∈o 其中 判断R +按上面定义的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间. 答 是. 设,R λμ∈. 因为,a b R a b ab R + + ?∈?⊕=∈, ,R a R a a R λλλ++?∈∈?=∈o , 所以R + 对定义的加法与数乘运算封闭. 下面一一验证八条线性运算规律 (1) a b ab ba b a ⊕===⊕; (2) ()()()()()a b c ab c ab c abc a bc a b c ⊕⊕=⊕====⊕⊕; (3) R +中存在零元素1, ?a R +∈, 有11a a a ⊕=?=; (4) 对R +中任一元素a ，存在负元素1n a R -∈, 使111a a aa --⊕==; (5)11a a a ==o ; (6)()()a a a a a λ μμλμλμλλμ??==== ??? o o o o ; (7) ()a a a a a a a a λμμμλλλμλμ++===⊕=⊕o o o ; 所以R +对定义的加法与数乘构成实数域上的线性空间. 3. 全体实n 阶矩阵，其加法定义为 按上述加法与通常矩阵的数乘是否构成实数域上的线性空间. 答 否. A B B A ∴⊕⊕与不一定相等. 故定义的加法不满足加法的交换律即运算规则（１）, 全体实n 阶矩阵按定义的加法与数乘不构成实数域上的线性空间. 4．在22P ?中，{}2222/0,,W A A A P W P ??==∈判断是否是的子空间.
高等代数北大版教案-第6章线性空间
收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 第六章 线性空间 §1 集合映射 一 授课内容:§1 集合映射 二 教学目的:通过本节的学习,掌握集合映射的有关定义、运算,求和 号与乘积号的定义. 三 教学重点:集合映射的有关定义. 四 教学难点:集合映射的有关定义. 五 教学过程: 1.集合的运算,集合的映射(像与原像、单射、满射、双射)的概念 定义:(集合的交、并、差) 设S 是集合,A 与B 的公共元素所组成的集合成为A 与B 的交集,记作B A ?；把A 和B 中的元素合并在一起组成的集合成为A 与B 的并集,记做B A ?；从集合A 中去掉属于B 的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为A 与B 的差集,记做B A \. 定义:(集合的映射) 设A 、B 为集合.如果存在法则f ,使得A 中任意元素a 在法则f 下对应B 中唯一确定的元素(记做)(a f ),则称f 是A 到 B 的一个映射,记为 ).(,:a f a B A f α→ 如果B b a f ∈=)(,则b 称为a 在f 下的像,a 称为b 在f 下的原像.A 的所有元素在f 下的像构成的B 的子集称为A 在f 下的像,记做)(A f ,即 {}A a a f A f ∈=|)()(. 若,'A a a ∈≠?都有),'()(a f a f ≠ 则称f 为单射.若 ,B b ∈?都存在 A a ∈,使得b a f =)(,则称f 为满射.如果f 既是单射又是满射,则称f 为双射,或称一一对应. 2.求和号与求积号 (1)求和号与乘积号的定义 为了把加法和乘法表达得更简练,我们引进求和号和乘积号. 设给定某个数域K 上n 个数n a a a ,,,21Λ,我们使用如下记号:
第六章 线性空间 §1 集合映射 一 授课内容:§1 集合映射 二 教学目的:通过本节的学习,掌握集合映射的有关定义、运算,求和号 与乘积号的定义. 三 教学重点:集合映射的有关定义. 四 教学难点:集合映射的有关定义. 五 教学过程: 1.集合的运算,集合的映射(像与原像、单射、满射、双射)的概念 定义:(集合的交、并、差) 设S 是集合,A 与B 的公共元素所组成的集合成为A 与B 的交集,记作B A ?；把A 和B 中的元素合并在一起组成的集合成为A 与B 的并集,记做B A ?；从集合A 中去掉属于B 的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为A 与B 的差集,记做B A \. 定义:(集合的映射) 设A 、B 为集合.如果存在法则f ,使得A 中任意元素a 在法则f 下对应B 中唯一确定的元素(记做)(a f ),则称f 是A 到B 的一个映射,记为 ).(,:a f a B A f → 如果B b a f ∈=)(,则b 称为a 在f 下的像,a 称为b 在f 下的原像.A 的所有元素在f 下的像构成的B 的子集称为A 在f 下的像,记做)(A f ,即 {}A a a f A f ∈=|)()(. 若,'A a a ∈≠?都有),'()(a f a f ≠ 则称f 为单射.若 ,B b ∈?都存在 A a ∈,使得b a f =)(,则称f 为满射.如果f 既是单射又是满射,则称f 为 双射,或称一一对应. 2.求和号与求积号 (1)求和号与乘积号的定义 为了把加法和乘法表达得更简练,我们引进求和号和乘积号. 设给定某个数域K 上n 个数n a a a ,,,21 ,我们使用如下记号:
第七章 空间解析几何与向量代数习题 (一)选择题 1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量 AB 的模是：（ A ） A ）5 B ） 3 C ） 6 D ）9 2. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求c =3a -2b 是：（ B ） A ）{-1,1,5}. B ） {-1,-1,5}. C ） {1,-1,5}. D ）{-1,-1,6}. 3. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求用标准基i , j , k 表示向量c ;(???) A ）-i -2j +5k B ）-i -j +3k C ）-i -j +5k D ）-2i -j +5k 4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是：（ C ） A ）2π B ）4π C ）3 π D ）π 5. 一质点在力F =3i +4j +5k 的作用下，从点A （1,2,0）移动到点B (3, 2,-1)，求力F 所作的功是：（ ??? ） A ）5焦耳 B ）10焦耳 C ）3焦耳 D ）9焦耳 6. 已知空间三点M (1,1,1)、A (2,2,1)和B （2，1，2），求∠AMB 是：（ C ） A ）2π B ）4π C ）3 π D ）π 7. 求点)10,1,2(-M 到直线L ：12213+= -=z y x 的距离是：（ ??? ） A ）138 B 118 C ）158 D ）1 8. 设,23,a i k b i j k =-=++ 求a b ? 是：（ D ） A ）-i -2j +5k B ）-i -j +3k C ）-i -j +5k D ）3i -3j +3k 9. 设⊿ABC 的顶点为(3,0,2),(5,3,1),(0,1,3)A B C -，求三角形的面积是：（ ） A ） 362 B ）3 6 4 C ）32 D ）3 10. 求平行于z 轴，且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程．是：（ ） A ）2x+3y=5=0 B ）x-y+1=0
姓名： 学号： 班级： 《高等数学》第七章作业 60 第七章 空 间 解 析 几 何 第 一 节 作 业 一、选择题（单选）： 1. 点M(2,-3,1)关于xoy 平面的对称点是： （A ）（-2,3,1）； （B ）（-2,-3,-1）； （C ）（2,-3,-1）； （D ）（-2,-3,1） 答：（ ） 2. 点M(4,-3,5)到x 轴距离为： （A ）.54)(;54)(;5)3()(; 5)3(42222222 22+++-+-+D C B 答：（ ） 二、在yoz 面上求与A （3,1,2）,B(4,-2,-2)和C(0,5,1)等距离的点。 第 二 节 作 业 设.32,,.2,v u c b a c b a v c b a u -+-=++=表示试用 第 三 节 作 业 一、选择题（单选）： 已知两点:),0,3,1()2,2,2(2121的三个方向余弦为则和M M M M .2 2 ,21,21) (.2 2 ,21,21) (; 2 2 ,21,21)(;2 2,21,21)(------- D C B A 答：（ ） 二、试解下列各题： 1. 一向量的终点为B （2，-1，7），它在x 轴，y 轴，z 轴上的投影依次为4，-4，4，求这向量的起点A 的坐标。
姓名： 学号： 班级： 《高等数学》第七章作业 61 {}. 6,7,6.3. 34.45,42,353.2的单位向量求平行于向量轴上的分向量上的投影及在轴 在求向量设-=-+=-+=-+=++=a y x p n m a k j i p k j i n k j i m 第 四 节 作 业 一、选择题（单选）： )() ()()(: .1D C B A b a 上的投影为在向量 答：（ ） . //)(;)(; )(;//)(: 0,.2的必要但不充分条件的充要条件的充要条件的充要条件是则为非零向量与设b a D b a C b a B b a A b a b a =⊥=? 答：（ ） . 6321)(; 14321)(;14321)(;6321)(: ,321,,.3222222=++=++=++=++++====D C B A c b a s c b a 的长度为则两两垂直向量 答：（ ）
同济大学第六版高等数学上下册课后习题答案7-6 习题7,6 yx,3z,1,, 1, 求过点(4～ ,1～ 3)且平行于直线的直线方程, 215 解所求直线的方向向量为s,(2～ 1～ 5)～所求的直线方程为 y，1x,4z,3,,, 215 2, 求过两点M(3～ ,2～ 1)和M(,1～ 0～ 2)的直线方程, 12 解所求直线的方向向量为s,(,1～ 0～ 2),(3～ ,2～ 1),(,4～ 2～ 1)～所求的直线方程为 y，2x,3x,1,,, ,421 x,y，z,1, 3, 用对称式方程及参数方程表示直线, ,2x，y，z,4, 解平面x,y，z,1和2x，y，z,4的法线向量为n,(1～ ,1～ 1)～ 1n,(2～ 1～ 1)～所求直线的方向向量为 2 ijk , s,n，n,1,11,,2i，j，3k12 211 x,y，z,1x，z,1,, 在方程组中～令y,0～得～解得x,3～ ,,2x，y， z,42x，z,4,,z,,2, 于是点(3～ 0～ ,2)为所求直线上的点, 所求直线的对称式方程为 yx,3z，2,, , ,213
参数方程为 x,3,2t～ y,t～ z,,2，3t, x,2y，4z,7,0, 4, 求过点(2～ 0～ ,3)且与直线垂直的平面,3x，5y,2z，1,0,方程, 解所求平面的法线向量n可取为已知直线的方向向量～即 ijk , n,(1, ,2, 4)，(3, 5, ,2),1,24,,16i，14j，11k 35,2 所平面的方程为 ,16(x,2)，14(y,0)，11(z，3),0～即 16x,14y,11z,65,0, 2x，2y,z，23,05x,3y，3z,9,0,, 5, 求直线与直线的夹角,,3x,2y，z,03x， 8y，z,18,0,,的余弦, 解两直线的方向向量分别为 ijk ～ s,5,33,3i，4j,k1 3,21 ijk , s,22,1,10i,5j，10k2 381 两直线之间的夹角的余弦为 s，s^12cos(s, s), 12|s|,|s|12 3，10，4，(,5)，(,1)，10,,0 , 2222223，4，(,1)10，(,5)，10 x，2y,z,73x，6y,3z,8,, 6, 证明直线与直线平行, ,,,2x，y，z,72x,y,z,0,, 解两直线的方向向量分别为
1. 设V 是数域Ω上的n 维向量空间, 1,,s u u V ∈…线性无关, 1,,t w w V ∈…, 这 里s t n +=. 对每个{1,2,,}i t ∈…, 记 {11111 [,,,], [,,,,,,,,].i s i i s i i t V u u w W u u w w w w ?+==………… 假设对每个{1,2,,}i t ∈…, 有dim 1i V s =+, 且对任意的{1,2,,}i j t ≠∈…, 有i j W W ≠. 证明: 11,,,,,s t u u w w ……恰是V 的一个基底. 2. 设V 是数域Ω上的n 维向量空间， σ是V 上的线性变换，设 Im {()|}, Ker {|()0},x x V x V x σσσσ=∈=∈= 证明存在正整数k 使得Im Ker .k k V σσ=⊕ 3. 设V 是复数域 上的n 维向量空间, σ,τ均是V 的线性变换, 假设σ,τ的特征多项式相同, 且σττσ=. 若V 可分解成σ的一维不变子空间的直和, 而τ的每个特征子空间都是一维的, 则对任意的u V θ≠∈, 有u 是σ的特征向量当且仅当u 是τ的根向量. 4. 设σ是欧氏空间V 上的线性变换，证明σ是正交变换当且仅当对V 的任意子空间S 均有() ().V S S σσ⊥⊥=⊕ 5. 设ξ是n 维欧氏空间V 上的一个双线性函数, 那么存在唯一的,p q ∈ , 使得在V 的适当基底1,,n u u …下, 对任意的11n n u a u a u V =++∈ , 有 22 2211(,)p p p q u u a a a a ξ++=++??? .
习题7.1 1.在空间直角坐标系中，指出下列各点位置的特点. ()0,5,0-A ；()0,3,3-B ；()3,0,6-C ；()0,0,4D ；()7,5,0-E ；()9,0,0F . 【解】A 点在y 轴上；B 点在xoy 坐标面上；C 点在zox 坐标面上；D 点在x 轴上；E 点在yoz 坐标面上；F 点在z 轴上. 2.指出下列各点所在的卦限. ()1,3,2-A ；()2,1,7--B ；()1,3,2---C ；()3,2,1--D . 【解】A 点在第五卦限；B 点在第三卦限；C 点在第七卦限；D 点在第六卦限. 3.自点()2,3,1--M 分别作xoy 、yoz 、zox 坐标面和x 、y 、z 坐标轴的垂线，写出各垂足的坐标，并求出点M 到上述坐标面和坐标轴的距离. 【解】()2,3,1--M 在xoy 坐标面上的垂足为()0,3,1-、在yoz 坐标面上的垂足为 ()2,3,0-、在zox 坐标面上的垂足为()2,0,1--； ()2,3,1--M 在x 轴的垂足为()0,0,1-、在y 轴的垂足为()0,3,0、在z 轴的垂 足为()2,0,0-； ()2,3,1--M 到x 轴的距离为()13232 2=-+； ()2,3,1--M 到y 轴的距离为()()52122=-+-； ()2,3,1--M 到z 轴的距离为 ()10312 2=+-. 3.已经点()2,1,3--M .求：（1）点M 关于各坐标面对称点的坐标；（2）点M 关于各坐标轴对称点的坐标；（3）点M 关于坐标原点的对称点的坐标. 【解】（1）()2,1,3--M 关于xoy 面对称点的坐标是(),2,1,3-； ()2,1,3--M 关于yoz 面对称点的坐标是(),2,1,3---； ()2,1,3--M 关于zox 面对称点的坐标是(),2,1,3-.
高等代数(Ⅱ)试题二 一. 单项选择题 ( 2分?5=10分） 1. 设V 是实数域R 上n ( n >1) 阶反对称矩阵构成的向量空间, 则V 的维数是 ( ) A. n B. n ２ C. 2)1(-n n D. 2 )1(+n n 2. 下列向量组中, 哪一个可作为向量空间R 3(R 是实数域)的基. ( ) A. { ( 1, 1, 0), ( 0, 1, 1), (1, 2, 1) } B. { ( 0, 0, 0 ), ( 0, 0, 1), ( 0, 1, 1) } C. { ( 1, 1, 1), ( 1, 1, 0), ( 1, 0, 0) } D. { ( 1, 2, 3 ), ( 1, 2, 4), ( 1, 2, 5) } 3．有限维向量空间V 的线性变换σ关于不同基的矩阵P 与Q 的关系是 ( ) A. P 与Q 相等 B. P 与Q 合同 C. P 与Q 互逆 D. P 与Q 相似 4．设λ是矩阵A 的特征值,β是相应的特征向量,下列说法中正确的是 ( ) A. β线性无关 B. β线性相关 C. β＝０ D. 前三种说法都不对 5．下列表达式中那一个是二次型 ( ) A. f 1 = x +2x 1x 2+x +x B. f 2 = x +x 2+x 3 C. f 3 = x 1+x 2+x 3 D. f 4 = x 1x 2+ x 1x 2x 3 二. 多项选择题 ( 3分?4=12分) 1. 设σ是向量空间V 的线性变换, 下列说法中正确的是 ( ) A. 零向量在σ之下的象是零向量 B. 零向量在σ之下的象不一定是零向量 C. ―α的象是―σ(α) D. α+β的象是σ(α)+σ(β) 2. 给定矩阵A = ???? ? ??300320210, 下列说法中正确的是 ( ) A. A 能与对角形矩阵相似 B. A 不能与对角形矩阵相似 C. A 所有的特征值是2,3 D. A 的行向量线性相关 E. A 的列向量线性相关 3. 下列关于数域构成的向量空间 (运算是普通数的加法与乘法)的说法正确的是 ( ) A. 复数域C 可看成是实数域R 上的向量空间 B. 实数域R 可看成是实数域R 上的向量空间 C. 有理数域Q 可看成是实数域R 上的向量空间 D. 任何数域可看成是有理数域Q 上的向量空间 E. 以上A,B,C,D 四种说法都正确 4. 下列变换中, 哪些是向量空间R 3( R 是实数域)的线性变换 ( ) A. ( x 1, x 2, x 3 ) → ( x 1, 0, 0 ) B. ( x 1, x 2, x 3 ) → ( x 1, x 2, 0 ) C. ( x 1, x 2, x 3 ) → ( x 1, x 2, x 3 ) D. ( x 1, x 2, x 3 ) → ( x , 0, 0 ) E. ( x 1, x 2, x 3 ) → ( x , x , 0 ) 三.判断题（你认为命题正确时,在题干后的括号内画“√”， 否则画“×”, 2分?5=10分） 1．数域F 上任何一个向量空间都与向量空间F n 同构 ( ) 2. 任何一个向量空间都有无穷多个向量 ( ) 3. n(n>1)维向量空间V 的基是唯一的. ( )
高等数学(本科)第七章课后习题解答
习题7.1 1.在空间直角坐标系中，指出下列各点位置的特点. ()0,5,0-A ；()0,3,3-B ；()3,0,6-C ；()0,0,4D ；()7,5,0-E ；()9,0,0F . 【解】A 点在y 轴上；B 点在xoy 坐标面上；C 点在zox 坐标面上；D 点在x 轴上；E 点在yoz 坐标面上；F 点在z 轴上. 2.指出下列各点所在的卦限. ()1,3,2-A ；()2,1,7--B ；()1,3,2---C ；()3,2,1--D . 【解】A 点在第五卦限；B 点在第三卦限；C 点在第七卦限；D 点在第六卦限. 3.自点()2,3,1--M 分别作xoy 、yoz 、zox 坐标面和x 、y 、z 坐标轴的垂线，写出各垂足的坐标，并求出点M 到上述坐标面和坐标轴的距离. 【解】()2,3,1--M 在xoy 坐标面上的垂足为()0,3,1-、在yoz 坐标面上的垂足为 ()2,3,0-、在zox 坐标面上的垂足为()2,0,1--； ()2,3,1--M 在x 轴的垂足为()0,0,1-、在y 轴的垂足为()0,3,0、在z 轴的 垂足为()2,0,0-； ()2,3,1--M 到x 轴的距离为()13232 2=-+； ()2,3,1--M 到y 轴的距离为()()52122=-+-； ()2,3,1--M 到z 轴的距离为 ()10312 2=+-. 3.已经点()2,1,3--M .求：（1）点M 关于各坐标面对称点的坐标；（2）点M 关于各坐标轴对称点的坐标；（3）点M 关于坐标原点的对称点的坐标. 【解】（1）()2,1,3--M 关于xoy 面对称点的坐标是(),2,1,3-； ()2,1,3--M 关于yoz 面对称点的坐标是(),2,1,3---； ()2,1,3--M 关于zox 面对称点的坐标是(),2,1,3-.
习题5. 1 1．判断全体n 阶实对称矩阵按矩阵的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间． 答 是． 因为是通常意义的矩阵加法与数乘, 所以只需检验集合对加法与数乘运算的封闭性. 由n 阶实对称矩阵的性质知，n 阶实对称矩阵加n 阶实对称矩阵仍然是n 阶实对称矩阵，数乘n 阶实对称矩阵仍然是n 阶实对称矩阵, 所以集合对矩阵加法与数乘运算封闭, 构成实数域上的线性空间. 2．全体正实数R +, 其加法与数乘定义为 ,,k a b ab k a a a b R k R +⊕==∈∈o 其中 判断R +按上面定义的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间. 答 是. 设,R λμ∈. 因为,a b R a b ab R ++?∈?⊕=∈, ,R a R a a R λλλ++?∈∈?=∈o , 所以R +对定义的加法与数乘运算封闭. 下面一一验证八条线性运算规律 (1) a b ab ba b a ⊕===⊕;
(2)()()()()()a b c ab c ab c abc a bc a b c ⊕⊕=⊕====⊕⊕; (3) R +中存在零元素1, ?a R +∈, 有11a a a ⊕=?=; (4) 对R +中任一元素a ，存在负元素1n a R -∈, 使111a a aa --⊕==; (5)11a a a ==o ; (6)()()a a a a a λ μμλμλμλλμ??==== ??? o o o o ; (7) ()a a a a a a a a λμμμλλλμλμ++===⊕=⊕o o o ; 所以R +对定义的加法与数乘构成实数域上的线性空间. 3. 全体实n 阶矩阵，其加法定义为 按上述加法与通常矩阵的数乘是否构成实数域上的线性空间. 答 否. A B B A ∴⊕⊕与不一定相等. 故定义的加法不满足加法的交换律即运算规则（１）, 全体实n 阶矩阵按定义的加法与数乘不构成实数域上的线性空间. 4．在22P ?中，{}2222/0,,W A A A P W P ??==∈判断是否是的子空间. 答 否. 121123123345?????? ? ? ??????? 例如和的行列式都为零，但的行列式不为零, 也就是说集合对加法不封闭.
第七章 空 间 解 析 几 何 第 一 节 作 业 一、选择题（单选）： 1. 点M(2,-3,1)关于xoy 平面的对称点是： （A ）（-2,3,1）； （B ）（-2,-3,-1）； （C ）（2,-3,-1）； （D ）（-2,-3,1） 答：（ ） 2. 点M(4,-3,5)到x 轴距离为： （A ）.54)(;54)(;5)3()(; 5)3(4222222222+++-+-+D C B 答：（ ） 二、在yoz 面上求与A （3,1,2）,B(4,-2,-2)和C(0,5,1)等距离的点。 第 二 节 作 业 设.32,,.2,v u c b a c b a v c b a u ρρρρρρρρρρρρρ-+-=++=表示试用 第 三 节 作 业 一、选择题（单选）： 已知两点:),0,3,1()2,2,2(2121的三个方向余弦为则和M M M M .2 2 ,21,21) (.2 2 ,21,21) (; 2 2,21,21)(;22 ,21,21)(------- D C B A 答：（ ） 二、试解下列各题： 1. 一向量的终点为B （2，-1，7），它在x 轴，y 轴，z 轴上的投影依次为4，-4，4，求这向量的起点A 的坐标。
{}. 6,7,6.3. 34.45,42,353.2的单位向量求平行于向量轴上的分向量上的投影及在轴在求向量设-=-+=-+=-+=++=a y x p n m a k j i p k j i n k j i m ρ ρ ρρρρρρρρρρρρρρρ 第 四 节 作 业 一、选择题（单选）： )() ()()(: .1D C B A b a ρρρ ρρρρρρ ρ上的投影为在向量 答：（ ） . //)(;)(; )(;//)(: 0,.2的必要但不充分条件的充要条件的充要条件的充要条件是则为非零向量与设b a D b a C b a B b a A b a b a ρρ ρρρ ρρρρ ρρρ=⊥=? 答：（ ） . 6321)(; 14321)(;14321)(;6321)(: ,321,,.3222222=++=++=++=++++====D C B A c b a s c b a 的长度为则两两垂直向量ρ ρρρρρρ 答：（ ）
[高等代数(下)课外习题-第六章-向量空间]
第六章 向量空间 一、判断题 1. 121{(,,,)|1,} n n i i i x x x x x R ==∈∑L 为 n R 的子空间. ( ). 2、所有n 阶实反对称矩阵的集合为全矩阵空间 () n M R 的子空间. ( ). 3、 n 维向量空间V 的任意n 个线性无关的向量都可构成V 的一个基. ( ). 4、设线性空间V 的子空间W 中每个向量可由W 中的线性无关的向量组1 2 ,,,s αααL 线性表出，则维(W ) ＝s . 5、 子空间1 2 (,,,)r L αααL 的维数等于向量组1 2 ,,,r αααL 的 秩 （ ） 6、s αα α,,,2 1 Λ为V 的基，s ββ β,,,2 1 Λ为V 中向量，且 A s s ),,,(),,,(2121αααβββΛΛ=，则s ββ β,,,2 1 Λ为V 的基当且仅当 A 可逆。（ ） 7、有限维线性空间同构的充要条件是维数相同. （ ） 8. 设1 2 ,,,n αααL 是向量空间V 的一个基, f 是V 到W 的 一个同构映射, 则W 的一个基是1 2 (),(),,()n f f f αααL . 9、.如果向量空间V 是3维的，那么V 中任意4个
向量必是线性相关的( )。 10.、非齐次线性方程组的解集不构成一个向量空间( )。 11、线性空间的一组基所含向量的个数是该空间的维数. 12、设1 V ，2 V 均为线性空间V 的子空间，满足 12{0} V V =I ，则1 2 V V V =⊕。 ( ). 14．若2 1 V V V ⊕=， r ααα,,,2 1 Λ是1 V 的基， s r r ααα,,,21 Λ++是2 V 的 基，则s αα α,,,2 1 Λ是V 的基. 二、填空题 1、 复数域C 作为实数域R 上的向量空间, 维数等于______, 它的一个基为_______. 2、在4 P 中，若1 234(1,2,0,1),(1,1,1,1),(1,,1,1),(0,1,,1) k k α ααα===-=线 性无关，则k 的取值范围是____________. 3、若1 2 V V V =⊕，则1 2 V V ?= ; 4 、若 1212 dim()dim dim V V V V +=+， 则 12V V ?= ; 5、3 ][x P 中由基2 ,,1x x 到基2 321,21,1x x x x ++++的过渡矩阵是 , 2 1x x ++在这两组基下的坐标分
天津大学07年高等代数 - 1 - 一、填空（每小题4分） 1、 设三阶方阵 123123123123[,,],[,24,39]A B B αααααααααααα==++++++， 若A =5，则B = 2、 设向量组的秩 12341235{,,,}4,{,,,}3 r r αααααααα==，则 1 2 34{,,,} r ααααα+= 3、 0 0111 0a b ?? ?? ?????? 课对角化，则a = 4、 设((0,1),(0,2),(0,3),(1,4),(1,5)) J diag J J J J J =为线性空间V 上的线性变 化Α的Jordan 标准型，则A 的线性无关特征值向量的最大数目为： ，A 的最小多项式为 5、 设1 2[1,2,2],[2,1,2] T T X X ==-都是三阶实对称矩阵A 的特征向量，则 3X = 是A 的单位特征向量，并满足123 ,,0X X X >。 二、 选择（每小题4分） 1、 下列矩阵中不只与自身的多项式可交换的是（） A 1 000200 3?? ???????? B 100011 0?? ???????? C 1 100100 2?? ???????? D 1 100100 1?? ???????? 2、设1234,,,αααα是线性空间V 的一个基，则（）也是V 的一个基 A 1223344 1,,,αααααααα++++ B 122 33441 ,,,αααααααα---- C 12233441,,,αααααααα+++- D 12233 441 ,,,αααααααα++-- 3、已知三个平面(1,2,3)i i i i a x b y c z d i ++==，它们所组成的线性方程组的系数矩阵的秩为2，增广矩阵的秩为3，则三个平面 A 交与一点 B 其中之一与另两个的交线平行
第六章 向量空间 6.1 定义和例子 1.令F 是一个数域,在3 F 里计算 (?)1 132(2,0,1)(1,1,2)(0,1,1);-+--+- (??)1 5(0,1,1)3(1,,2)(1,3,1).--+- 结果：(?)117(,,) 326--(??)(2,1,10)-- 2.证明:如果 (2,1,3)(0,1,2)(1,1,4)(0,0,0),a b c ++-= 那么0.a b c === 证 ：由题得20 3240a c a b c a b c +=?? ++=?? ++=? 2011110324 -≠0a b c ∴=== 3.找出不全为零的三个有理数,,a b c (即,,a b c 中至少有一个不是0),使得 (1,2,2)(3,0,4)(5,2,6)(0,0,0).a b c ++-= 解：由已知得350 2202460 a b c a c a b c ++=?? -=??++=?解之得2a c b c =??=-?取1c =则1,2a b ==-．故1,2a b ==-， 1c =为所求． 4.令123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1).εεε===证明,3 R 中每一向量α可以唯一地表示为 112233a a a αεεε=++的形式.这里123,,.a a a R ∈ 证：提示，设123(,,)a a a α=，则112233a a a αεεε=++，若112233b b b αεεε=++，则可证得11a b =，22a b =，33a b =． 5.证明，在数域F 上向量空间V 里，以下算律成立： （i ）();a a a αβαβ-=- （ii ）(),a b a b ααα-=-