第五章.相交线与平行线
5.1相交线
5.1.1相交线
有关概念
邻补角：如果两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，那么这两个角互为邻补
角。
对顶角：如果一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线，那么这两个角互为对顶角。
对顶角的性质:对顶角相等.
例题;
已知：直线AB与CD相交于O点(如图),说明∠1=∠3、∠2=∠4的理由
解：∵直线AB与CD相交于O点,
∴∠1+∠2=180°、∠2+∠3=180°
∴∠1=∠3
同理可得：∠2=∠4
如图,直线a、b相交，∠1=40°,求∠2、∠3、∠ 4的度数。
解：∵∠3=∠1（对顶角相等）∠1=40°（已知）
∴∠3=40°（等量代换）
∴∠2=180°—∠1=140°（邻补角的定义）
∴∠4=∠2=140°（对顶角相等）
填空
1、一个角的对顶角有个，邻补角最多有个，而补角则可以有
个。
2、右图中∠AOC的对顶角是,邻补角
是 .
3、如图，直线AB、CD相交于O，∠AOC=80°∠1=30°；求∠2的度数.
解：∵∠DOB=∠，（）
=80°（已知）
∴∠DOB= °（等量代换）
又∵∠1=30°（）∴∠2=∠ -∠ = - =
填空
如图1，直线AB、CD交EF于点
G、H，∠2=∠3，∠1=70度。求
∠4的度数。
解：∵∠2=∠（）
∠1=70 °（）
∴∠2= （等量代换）
又∵（已知）
∴∠3= （）
∴∠4=180°—∠ = （的定义）
解答题
直线AB、CD交于点O，OE是∠AOD的平分线，已知∠AOC=50°。求∠DOE的度数。
解：∵∠AOC=50°（已知）
∴∠AOD=180°—∠AOC=180°—50°=130°（邻补角的定义）
∵OE平分∠AOD（已知）
∴∠DOE=1/2∠AOD=130°÷2=65°（角平分线的定义）
5.1.2垂线
有关概念
1.垂直定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足。
从垂直的定义可知，
判断两条直线互相垂直的关键：只要找到两条直线相交时四个交角中一个角是直角。
2.垂直的表示：
1）图形：
2）文字：a、b互相垂直, 垂足为O
3）符号：a⊥b或b⊥a,若要强调垂足，则记为：a⊥b, 垂足为O
3.垂直的书写形式：
如图，当直线AB与CD相交于O点，∠AOD=90°时，AB⊥CD，垂足为O。
书写形式：
①判定：∵∠AOD=90°（已知）
∴AB⊥CD（垂直的定义）
反之，若直线AB与CD垂直，垂足为O，那么，∠AOD=90°。
书写形式：
②性质：∵ AB⊥CD （已知）
∴∠AOD=90°（垂直的定义）
(∠AOC=∠BOC=∠BOD=90°)
4.垂线的性质（1）
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
垂线的性质（2）
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短或说成垂线段最短
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
例1 如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，∠1=55°,求∠EOD的度数.
解:∵ AB⊥OE （已知）
∴∠EOB=90°(垂直的定义)
∵∠BOD= ∠1=55°（对顶角相等）
∴∠ EOD= ∠ EOB+ ∠ BOD
=90 °+55 °=145 °
5.1.3同位角、错角、同旁角
同位角：①在直线EF的同侧②在直线AB、CD的同方向
错角：①在直线AB、CD的侧②在直线EF的两侧
同旁角：①在直线AB、CD的侧②在直线EF的同侧
例：如图直线DE、BC被直线AB所截，
(1)∠1和∠2、∠1和∠3、∠1和∠4各是什么角？
(2)如果∠1=∠4，哪么∠1和∠2相等吗？∠1和∠3互补吗？为什么？
答：(1)∠1和∠2是错角；∠1和∠3是同旁角；∠1和∠4是同位角。
(2)∵∠1=∠4（已知）
∠4＝∠2
（对顶角相等）
∴∠1＝∠2.
∵∠4＋∠3＝180°(邻补角定义)
∠1＝∠4(已知)
∴∠1＋∠3＝180°
即∠1和∠3互补.
例：
（1）如果把图看成是直线ＡＢ，ＥＦ被直线ＣＤ所截，那么∠１与∠２是一对什么角？
∠３与∠４呢？∠２与∠４呢？
∠１与∠２是一对同位角,
∠３与∠４是一对错角,
∠２与∠４是一对同旁角.
（2）如果把图看成是直线CＤ，ＥＦ被直线ＡＢ所截，那么∠１与∠５是一对什么角？∠4与∠5呢？
∠１与∠５是一对同旁角, ∠4与∠5是一对错角.
(3) 哪两条直线被哪一条直线所截, ∠ 2与∠ 5是同位角
直线ＡＢ，CD被直线EF所截
看图填空：
（1）若ED，BF被AB所截，
则∠ 1与∠2是同位角；
（2）若ED，BC被AF所截，
则∠3与∠4是错角；
（3）∠1与∠3是AB和AF被ED所截构成的错角；
（4）∠2 与∠4是 AB和 AF 被BC所截构成的
同位角。
如图，∠ AED与哪个角是同位角？∠ EDC与哪个角是错角？∠ DEC与哪个角是同旁角？
答：∠ AED与∠ ACB、∠ AED与∠ ACD是同位角；
∠ EDC与∠DCB，∠ EDC与∠FED，∠ EDC与∠AED是错角；
∠ DEC与∠ ECB，∠ DEC与∠ ECD ∠ DEC与∠EDB，∠ DEC与∠EDC是同旁角。
从图中所示的9个角中，找出所有的同位角，错角，同旁角。
答：（1）当直线AB、BC被DE所截
同位角：∠1和∠5，∠ 2和∠ 6，
∠ 3和∠ 7，∠ 4和∠ 8 。
错角：∠2和∠ 8，∠3和∠ 5。
同旁角：∠ 2和∠5，∠3和∠8。
（2）当直线AB、DE被BC所截
同位角：∠5和∠9
错角：∠7和∠ 9
同旁角：∠8和∠9
（3）当直线BC、DE被AB所截
同位角：∠ 2和∠ 9
错角：∠ 4和∠9
同旁角：∠ 3和∠ 9
5.2平行线及其判定
5.2.1平行线
有关概念
1.平行线的定义：
在同一平面不相交的两条直线叫做平行线。
2.平行线的表示：
我们通常用符号“//”表示平行。
同一平面的两条不重合的直线的位置关系只有两种：相交或平行
3.平行公理：
经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
如果a//c,b//c;那么a//b
如果两条直线都垂直于第三条直线,那么这两条直线互相平行.
如果a⊥c, a⊥b;那么b//c
5.2.2平行线的判定
有关概念
一般地，判定两直线平行有以下的方法：
1.两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简单地说，同位角相等，两直线平行．
2.两条直线被第三条直线所截，如果错角相等，那么这两条直线平行.
简单说成：错角相等，两直线平行.
3.两条直线被第三条直线所截，如果同旁角互补，那么这两条直线平行.
简单说成：同旁角互补，两直线平行.
例题
如图，量得∠1=80°，∠2=100°，可以判定AB∥CD，根据是什么？
解：∵∠1=80°，∠2=100° (已知)
∴∠1+ ∠2=180°
∴ AB∥CD(同旁角互补，两直线平行)
1.如图，
若∠1=∠2 = ∠3
1) ∵∠1=∠2，
∴ AD ∥ BC . （同位角相等，两直线平行）
2) ∵∠3=∠2，
∴ AB ∥ CD .（错角相等，两直线平行）
3) ∵∠_1__+∠__4__=_180_°__，
∴ AB ∥ CD .( 同旁角互补，两直线平行)
如图，已知∠A与∠D互补，可以判定哪两条直线平行？
∠B与哪个角互补，可以判定直线AD∥BC？
解：
1) ∵∠A与∠D互补(已知)
∴AB∥DC(同旁角互补，两直线平行)
2) ∠B与∠A互补时
可判定AD∥BC(同旁角互补，两直线平行)
5.3 平行线的性质
5.3.1 平行线的性质
1.平行线的性质1
两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.
简写为：两直线平行，同位角相等.
2.平行线的性质2
两条平行线被第三条直线所截，错角相等.
简写为：两直线平行，错角相等.
3.平行线的性质3
两条平行线被第三条直线所截，同旁角互补.
简写为：两直线平行，同旁角互补.
如图，在汶川震当中，一辆抗震救灾汽车经过一条公路两次拐弯后，和原来的方向相同，也就是拐弯前后的两条路互相平行.第一次拐的角∠B等于1420，第二次拐的角∠C是多少度？为什么？
解：∵AB∥CD （已知）,
∴∠B=∠C(两直线平行，错角相等).
又∵∠B=142°（已知）,
∴∠B=∠C=142°（等量代换）.
5.3.2命题、定理
判断一件事情的语句叫做命题。
注意：
1、只要对一件事情作出了判断，不管正确与否，都是命题。
2、如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就不是命题。
命题是由题设(或条件)和结论两部分组成。题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。两直线平行，同位角相等。
题设（条件）结论
命题一般都写成“如果…，那么…”的形式。
“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论。
注意：添加“如果”、“那么”后，命题的意义不能改变，改写的句子要完整，语句要通顺，使命题的题设和结论更明朗，易于分辨，改写过程中，要适当增加词语，切不可生搬硬套。正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题。
真命题的正确性是经过推理证实的，这样的真命题叫做定理。
5.4平移
1、把一个图形整体沿某一个方向移动，会得到一个新的图形．新图形与原图
形的形状和大小完全相同。
2、新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点就是对应
点。连接各组对应点的线段平行且相等。
3、图形的这种移动，叫做平移变换，简称平移。
形状不变，大小不变，位置改变 .
第六章平面直角坐标系
1. 平面直角坐标系的意义: 在平面有公共原点且互相垂直的两条数轴组成平面直角坐标系。水平的数轴为X轴，铅直的数轴为y轴，它们的公共原点O为直角坐标系的原点。
2. 象限: 两坐标轴把平面分成四个象限，坐标轴上的点不属于任何一个象限。
3.可用有序数对(x ,y)表示平面任一点P的坐标。x表示横坐标，y表示纵坐标。
4.各象限点的坐标符号特点: 第一象限(+ ，+),第二象限(- ,+)第三象限(- ，-)
第四象限(+ ，-)。
5.坐标轴上点的坐标特点: 横轴上的点纵坐标为零,纵轴上的点横坐标为零。
6.利用平面直角坐标系绘制某一区域的各点分布情况的平面图包括以下过程:
(1)建立适当的坐标系,即选择适当的点作为原点,确定x轴、y轴的正方向; (注重寻找最佳位置)
(2)根据具体问题确定恰当的比例尺,在数轴上标出单位长度;
(3)在坐标平面上画出各点,写出坐标名称。
7.一个图形在平面直角坐标系中进行平移,其坐标就要发生相应的变化, 可以简单地理解为: 左、右平移纵坐标不变,横坐标变,变化规律是左减右加, 上下平移横坐标不变,纵坐标变,变化规律是上加下减。
例如:
当P(x ,y)向右平移a个单位长度,再向上平移b个单位长度后
坐标为p′(x+a ,y+b)。
8.平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同,横坐标不同.
平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同,纵坐标不同.
9.点(x, y )关于X轴的对称点是(x, -y)
点(x, y)关于Y 轴的对称点是 (-x, y)
点(x, y)关于原点的对称点是 (-x, -y)
第七章三角形
7.1.1 三角形的边
有关概念
1.三角形的定义：
由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.
2.表示方法
三角形用“△”符号表示，“△ABC”，读作“三角形ABC”。
3.三角形的分类
4、三角形的边、角
组成三角形的三条线段叫做三角形的边。
任意两条相邻的边组成的角叫做三角形的角（简称为三角形的角）。
注意：
1、三角形的三边用字母表示时，字母没有顺序限制。
2、三角形的三边，有时也用一个小写字母来表示。如：△ABC的三边中，顶点A所对的边BC也可表示为a，顶点B所对的边AC表示为b，顶点C所对的边AB表示c。
3、一般情况下，我们把边BC叫做∠A的对边，AC、AB叫∠A的邻边；边AC叫∠B的对边，AB、BC叫∠B的邻边；你能说出∠C的对边及邻边吗？
5.三角形的三边有这样的关系：
三角形两边的和大于第三边
三角形两边的差小于第三边
6.等腰三角形
在等腰三角形中，两条相等的边叫腰，另一边叫底边。
在等腰三角形中，腰与底边的夹角叫底角，两腰的夹角叫顶角。
如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，则AB、AC为腰，而BC为底边；∠B、∠C 是△ABC 的底角，∠A是△ABC的顶角。
例题：
1.用一条长为18ｃｍ的细绳围成一个等腰三角形．
（１）如果腰长是底边的２倍，那么各边的长是多少？
（２）能围成有一边的长为４ｃｍ的等腰三角形吗？为什么？
解：（１）设底边长为xｃｍ，则腰长为２xｃｍ
x+２x+２x＝１８
解得x＝３．６
所以，三边长为３．６ｃｍ，７．２ｃｍ，７．２ｃｍ
（2）因为４ｃｍ长的边可能是腰，也可能是底。
①当４ｃｍ的边为底时，设腰长为xｃｍ，则
４+２x＝１８解得x＝７
三边长为４，７，７。此时能构成三角形。
②当４ｃｍ长的边为腰时，设底边长为xｃｍ，则
２ｘ４＋x＝１８解得x＝１０三边长为４、４、１０。
因为４＋４﹤１０，出现两边的和小于第三边的情况，所以不能围成腰长是４ｃｍ的等腰三角形。
由以上讨论可知能围成底边长是４ｃｍ的等腰三角形。
2.若三角形的两边长分别是2和7，第三边长为奇数，求第三边的长。
解：设第三边的长为x，
根据两边之和大于第三边得：
x＜2+7即x＜9
根据两边之差小于第三边得：
x>7-2即x>5
所以x的值大于5小于9，又因为它是奇数，
所以x只能取7。
答：第三边的长为7。
7.1.2三角形的高、中线与角平分线
1.三角形的高：从三角形一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫三角形的高。
2.三角形的中线：三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段叫三角形的中线。
3.三角形的角平分线：三角形一个角的平分线与它的对边相交，这个顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线。
三角形的
重要线段
概念图形表示法
三角形
的高线
从三角形的一个
顶点向它的对边
所在的直线作垂
线,顶点和垂足
之间的线段
∵AD是△ABC的BC上的高
线.
∴AD⊥BC
∠ADB=∠ADC=90°.
三角形
的中线
三角形中,连结
一个顶点和它对
边中的线段
∵AD是△ABC的BC上的中
线.
∴BD=CD=? BC.
三角形的一条中线把三角形
分成面积相等的两个三角形
D C
B
A
D C
B
A
2
1
三角形的
角平分线
三角形一个角的
平分线与它的对
边相交,这个角
顶点与交点之间
的线段
∵.AD是△ABC的∠BAC的平
分线
∴∠1=∠2= ?∠BAC
三角形具有稳定性，四边形没有稳定性
7.2有三角形有关的角
7.2.1三角形的角
1.三角形的角和等于180°
证法1：延长BC到CD，过C作CE∥BA，
∴∠B=∠2 (两直线平行，同位角相等).
又∵∠1+∠2+∠ACB=180°
∴∠A+∠B+∠ACB=180°
证法2：延长BC到D，过C作CE∥BA，
∴∠A=∠1 (两直线平行，错角相等)
∠B=∠2(两直线平行，同位角相等)
又∵∠1+∠2+∠ACB=180°
∴∠A+∠B+∠ACB=180°
证法3：过A作EF∥BA，
∴∠B=∠2(两直线平行,错角相等)
∠C=∠1(两直线平行,错角相等)
又∵∠2+∠1+∠BAC=180°
∴∠B+∠C+∠BAC=180
证法4：过A作AE∥BC，
∴∠B=∠BAE(两直线平行,错角相等)
∠EAB+∠BAC+∠C=180°(两直线平行,同旁角互补)∴∠B+∠C+∠BAC=180°
21
D C
B
A
1.在△ABC
中,∠A=80°,∠B=∠C , 求∠C的度数。
解：在△ABC中,
∠A+∠B+∠C=180°，∠A=80°
∴∠B+∠C=100°
∵∠B=∠C
∴∠B=∠C=50°
2.已知三角形三个角的度数之比为1:3:5，求这三个角的度数。
解：设三个角度数分别为：x、3x、5x.
列出方程 x+3x+5x=180°
x=20°
答：三个角度数分别为20°,60°,100°。
已知：在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝∠ＡＢＣ＝２∠Ａ，ＢＤ是ＡＣ边上的高。求∠ＤＢＣ的度数。
解：设∠Ａ=x°，则∠Ｃ＝∠ＡＢＣ=2X°
∴x＋２x＋２x＝１８０
解得:x=36°
∴∠Ｃ＝７２°
在△ＢＤＣ中，∵∠ＢＤＣ＝９０°
∴∠ＤＢＣ＝１８０°－∠ＢＤＣ－∠Ｃ
＝１８０°－９０°－７２°
=18°
7.2.2三角形的外角
1.三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角.
2.每一个三角形都有６个外角;
每一个顶点相对应的外角都有２个
这6个外角中有3个外角相等。
3.三角形的一个外角与它相邻角的和是180°
4.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个角的和
5.三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的角。
6.三角形的外角和等于360°
已知:如图6-14,在△ABC中, ∠1是它的一个外角, E为边AC上一点,延长BC到D,连接DE. 求证: ∠1>∠2.
证明:∵∠1是△ABC的一个外角(已知),
∴∠1>∠3(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的角).
∵∠3是△CDE的一个外角 (外角定义).
∴∠3>∠2(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的角).
∴∠1>∠2(不等式的性质).
7.3多边形及其角和
7.3.1多边形
1.在平面,由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫多边形.
如果多边形由n条线段组成，那么这个多边形叫做n边形．
2.多边形的角:多边形相邻两边组成的角叫做它的角.
3.多边形的外角:多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.
4.多边形的对角线:连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线.
5.整个多边形都在直线的同侧,这样的多边形叫做凸多边形.
6.在平面，各个角都相等、各条边都相等的多边形叫做正多边形。
7.3.2多边形的角和
从n边形的一个顶点可以引（n-3）对角线，把多边形分成（n-2）个三角形．
n边形的角和等于(n-2) ×180°
n边形共可以引多少条对角线？
1/2 n（n-3）
例题
.已知一个多边形每个角都等于 108°，求这个多边形的边数？
解：设这个多边形的边数为n，根据题意得：
(n－2) ×180=108n解得：n=5 答：这个多边形是五边形。
4.如图：AD ⊥AB,BC ⊥CD,则∠B与∠D是什么关系？为什么？
解：∠B与∠D是互补。
因为AD ⊥AB,BC ⊥CD,
所以∠A= ∠C= 90°
因为四边形角和等于360°
所以∠B＋∠D= 180°
多边形的外角和
多边形的外角和与多边形的边数无关，都等于360°.
［例1］一个多边形的角和等于它的外角和的3倍，它是几边形？
解：设这个多边形是n边形，则它的角和是
(n－2)·180°,外角和等于360°，
所以：(n－2)·180=3×360
解得：n=8
答:这个多边形是八边形.
7.4镶嵌
用形状相同的一种或形状不同的几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地把平面的一部分完全覆盖，这就是平面图形的镶嵌．
要用几个形状、大小完全相同的图形不留空隙、不重叠地镶嵌一个平面，需使得拼接点处的各角之和为360°．