高2014级第五期10月阶段性考试数学试题（理）
一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知全集，集合，，那么( )
A． B． C． D．
2. 复数(为虚数单位)所对应复平面内的点在( )
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
3.已知是平面内的两条不同直线，直线在平面外，则是的（）
A.充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
4.若表示不超过的最大整数，如，执行如图所示的程序
框图，记输出的值为，则( )
A. -1
B. 0
C. 1
D. 2
5. 函数的图像向左平移个单位后关于原点对称,
则等于（）
A. B. C. D.
6. 若等差数列的公差, 前项和为, 若, 都有, 则( )
A. ,
B.
C.
D.
7.某公司庆祝活动需从甲、乙、丙等5名志愿者中选2名担任翻译，2名担任向导，还有1名机动人员，为来参加活动的外事人员提供服务，并且翻译和向导都必须有一人选自甲、乙、丙，则不同的选法有（）
A． B． C． D．
8.已知点在直线上, 点在直线上, 线段的中点为
, 且, 则的取值范围是( )
A. B. C. D.
9. 已知某几何体的三视图如图所示, 三视图是边长为1的等腰直角三角形和 边长为1的正方形, 则该几何体的体积为( ) A. B. C.
D.
10. 已知函数, 则使得成立的的取值范围是
( ) A.
B.
C. D.
11. 设分别为具有公共焦点
的椭圆和双曲线的离心率,
是椭圆和双曲线的一个公共
点, 且满足
, 则
( )
A. B. C. D. 1
12.在锐角中, 所对边分别为, 且, 则的取值范
围为( ) A. B.
C.
D.
二. 填空题（每小题5分，共20分） 13.二项式的展开式的第四项的系数为
, 则的值为 .
14. 已知正数
满足
，则
的最小值为 . 正视
侧视
俯视
15.过直线上的一点作圆的两条切线，当直线关于对称时，它们之间的夹角为__________.
16.
已知函数, , 两个函数图象的公切线恰为3条, 则实数的取值范围为.
三. 解答题（共70分）
17. （12分）已知数列的前项和满足其中
(1)求数列的通项公式；
（2）设求数列的前项的和。
18. （12分）为了解人们对于国家颁布的“房产新政策”的热度，现在某市进行调查，随机抽调了50人，他们年龄的频数分布及支持“房产新政策”人数如下表：
年龄
频数 5 10 15 10 5 5
支持“房
产新政
策”
4 5 12 8 2 1
(1) 由以上统计数据填下面2乘2列联表, 并问是否有99%的把握认为以45岁为分界点对“房产新政策”的支持度有差异；
年龄不低于45岁的人数年龄低于45岁的人数合计支持
不支持
合计
持“房产新政策”人数为，求随机变量的分布列及数学期望.
附表：
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
19. （12分）在如图所示的几何体中, 四边形为正方形, 平
面, .
(1) 求与平面所成角的正弦值;
(2)在棱上是否存在一点, 使得平面平面?
如果存在, 求的值; 如果不存在, 说明理由.
20. （12分）已知椭圆的中心在原点, 焦点在轴上, 离心率为, 椭圆上的点到右焦点的最大距离为3.
(1) 求椭圆的标准方程；
(2) 斜率存在的直线与椭圆交于两点, 并且满足, 求直线在轴上截距的取值范围.
21. （12分）设函数, 其中, 和是实数, 曲线恒与轴相切于坐标原点.
(1) 求常数的值；
(2)当时，讨论函数的单调性；
（3）当时关于的不等式恒成立, 求实数的取值范围.
选做题：请在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°.以O为圆心，OA为半径作圆.
(1)证明：直线AB与O相切；
(2)点C,D在⊙O上，且A,B,C,D四点共圆，证明：AB∥CD.
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以为原点，轴为极轴，单位长度不变，建立极坐标系，直线的的极坐标方程为：，曲线C的参数方程为：.
（1）写出直线和曲线的普通方程；
（2）若直线和曲线相交于两点，定点，求线段和的值.
24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知不等式的解集与关于的不等式的解集相同.
（1）求实数的值；
（2）求函数的最大值.
高2014级第五期10月阶段性考试数学试题参考答案(理)
1.C
2.C.
3. B.
4.A.
5. D.
6.D
7. C.
8.D.
9.A. 10.D 11.A. 12.B 13. 3 14. 15. 16.
17.解: (1) , ①
当时, , ,
当时, , ②
①②, 得, 即. 又,
对都成立, 所以是等比数列, .
(2) ,
,, 即.
18. 解: (1) 2乘2列联表
年龄不低于45岁的
人数年龄低于45岁的人
数
合计
支持32 不支持18 合计10 40 50
.
所以没有99%的把握认为以45岁为分界点对“房产新政策”支持度有差异。(2) 所有可能取值有,
,
,
,
所以的期望是.
19. 解(1)如图, 建立空间直角坐标系, 则, ,
, , . 所以,
, . 设平面的法向量为
. 则, 令, 则,
所以. 设与平面所成的角为, 则
. 所以与平面所成角的正弦值是.
(2) 假设点存在, 连接, 可设, 则,
. 设平面的法向量为, 则
, 令, 则, 所以. 因为平面平面, 所以, 即, 所以, 点. 所以.
20. 解: (1) 设椭圆的方程为, 半焦距为.
依题意, 由椭圆上的点到右焦点的最大距离3, 得, 解得,
所以, 所以椭圆的标准方程是.
(2) 设直线的方程为, 由, 得,
化简得.
设, , 则.
若成立, 等价于,
所以, 即,
则,
, 化简得.
将代入中, ,
解得. 又由,
从而或.
所以实数的取值范围是.
21. (1) 对求导得: , 根据条件知, 所以
.
(2)
设则, , .
单减, 单增, 单减.
(3) 由(1)得, ,
.
①当时, 由于, 所以, 于是在上单
调递增, 从而, 因此在上单调递增, 即, 而且仅有; ②当时, 由, 有, 于是在上单调递减, 即, 而且仅有; ③当时, 令
, 当时, , 于是在上单调递减, 从而, 因此在上单调递减, 即，而且仅有，综上可知, 所求实数的取值范围是.
22：（Ⅰ）设是