排列数、组合数及二项式定理整理
慈济中学全椒 刘
1、排列数公式
m n A =)1()1(+--m n n n Λ=！！
)(m n n -.(n ，m ∈N*，且m n ≤)．
2、排列恒等式
(1)
1(1)m
m n
n A n m A
-=-+;(2)
1m
m
n n n A A n m -=
-;(3)11m m n n A nA --=; (4)11n n n n n n nA A A ++=-;
(5)
1
1m m m n n n
A A mA -+=+.(6) 1!22!33!!(1)!1n n n +?+?++?=+-L .
3、组合数公式
m n C =m n m m A A =m m n n n ???+--ΛΛ21)1()1(=！！！)(m n m n -?(n ∈N*，m N ∈，且m n ≤).
4、组合数的两个性质 (1)
m n C =m
n n
C - ; (2) m n C +1
-m n C =m n C 1
+.
5、排列数与组合数的关系
m m
n n
A m C =?！ .
6、二项式定理：
011()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈L L
【注】：
1．基本概念：
①二项式展开式：右边的多项式叫做()n
a b +的二项展开式。 ②二项式系数:展开式中各项的系数r
n C (0,1,2,,)r n =???. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项r
n r
r n C a b -叫做二项式展开式的通项。用1r n r r
r n T C a b -+=表示。
2．注意关键点：
①项数：展开式中总共有(1)n +项。
②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。()n
a b +与()n
b a +是不同的。
③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。
各项的次数和等于n .
④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.
r n
n n n n n C C C C C ??????项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系数）。
3．常用的结论：
令1,,a b x == 0122(1)()n r r n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈L L 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *
-=-+-+++-∈L L
4．性质：
①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即
0n n n C C =，···1k k n n C C -=
②二项式系数和：令
1a b ==,则二项式系数的和为
0122r n
n n n n n n C C C C C ++++++=L L ，
变形式1221r n n
n n n n C C C C +++++=-L L 。
③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：
在二项式定理中，令1,1a b ==-，则0123(1)(11)0n n n
n n n n n C C C C C -+-++-=-=L ，
从而得到：0242132111222
r r n
n n n n n n n n C C C C C C C +-++???++???=++++???=
?=L ④奇数项的系数和与偶数项的系数和：
00112220120120011222021210
01230123()()1, (1)1,(1)n n n n n n
n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a x C a x C a x C a x C a x a a x a x a x x a C a x C ax C a x C a x a x a x a x a x a a a a a a x a a a a a a ----+=++++=+++++=++++=++++=++++=+---------=--+-++=-----L L L L L L 令则①令则024135(1)(1),()
2
(1)(1),()
2
n n n n n
n a a a a a a a a a a a a ----++-++++=+---+++=L L ②①②得奇数项的系数和①②得偶数项的系数和
⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数n 是偶数时，则中间一项的二项式系数2n n
C 取得最大值。 如果二项式的幂指数n 是奇数时，则中间两项的二项式系数12n n
C -,12n n
C
+同时取
得最大值。
⑥系数的最大项：求()n
a bx +展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项
系数分别
为121,,,n A A A +???，设第1r +项系数最大，应有112
r r
r r A A A A +++≥??
≥?，从而解
出r 来。
7、组合数公式的应用:
公式1
m m
c +m m c 1++m m c 2++……+m k m c +=1
1+++m k m c 此公式可由下面方法推得 从
1++n m 个不同元素中取出m 个不同元素的组合数为1
1
+++m k m
c 先将其分为1++n m 个元素中不含其中一个元素1a 的和含元素1a 的两类而这两类的组合数分别为
1++m k
m
c 与
m k
m
c +即得
11
+++m k m
c =
1++m k
m
c +
m k
m
c +，依此再将组合数
1++m k
m
c 分为两类可得
1++m k
m c =11+-+m k m c +m k m c 1-+，不断将组合数上标为1+m 的项进行如此分类即得公式1。 公式2
0m
c .k n c +1m c .1-k n c +2m c .2-k n c +……+m m c m k n c -=k
n m c + 此公式可由下面方法推得。 从放在一个盒中的m 个不同黑球与n 个不同白球中任取出k 的球的方法种数为k
n m c +，将取出的k 个球按所含白球数分类，分为含白球数为0个，1个，2个….k 个共k+1类，取法种数分别为0
m c .k
n c ，1
m c .1-k n c ，2m c .2
-k n c ，……，m
m
c m
k n
c -即得公式2。下面举例说明以上两个公式在数列求和方面的应用。
例1
n s =1×2+2×3+3×4+….. +n ×(n+1) 求n s
解：1×2+2×3+3×4+….. +n ×(n+1)= 2(2
2c +2
3c +24c +…+2
1+n c ) ∴n s =23
2+n c =
3
)1)(2(n
n n ++
例2 求n s =12+22+32+……+n 2
解：∵2
1+n c =
2
)1(n n + ∴22
1+n c =n 2+n ∴2（22c +23c +2
4c +…+21+n c ）=n s +2
)1(n n +
∴23
2+n c =n s +2)1(n n + 得3)1)(2(n n n ++=n s +2)1(n n +
整理得n s =6
)
12)(1(++n n n
例3求n s =13+23+33+……+n 3
解：∵3
2+n c =
6
)1)(2(n n n ++ ∴63
2+n c =n 3+3n 2+2n
6（33c +3
4c +35c +…+32+n c ）=n s +36)12)(1(++n n n +22
)1(n n +
∴64
3+n c =n s +36)12)(1(++n n n +22
)1(n n + 解出n s 并整理得
n s =4
)1(2
2n n + 用类似的方法可求出a n =n 4，a n =n 5，…的和。
例4 一盒内有大小相同的黑球M 个，白球N 个，从中任取m 个球（m ≤M ，m ≤N ），求含有白球的个数ξ的数学期望。
∴E ξ=
m
N
M c +1
（1
1-m M N c c +222-m M N c c +…+（m-1）11M m N c c -+m 0M m N c c ）
E ξ=
m N
M c N
+（
N 111-m M N c c +N 222-m M N c c +…+
N m 1-11M m N c c -+N
m 0
M m N c c ） E ξ=
m
N
M c N
+（1
1--m M N c c +2
1
1--m M N c c +…+1
21M m N c c --+0
11M m N c c --）(∵
N
m m N c =1
1--m N c ) ∴E ξ=
m N
M c N
+1
1--+m M N c =
m
N
M c N
+M N m +m
M
N c +=N
M Nm +（此为超几何分布的数学期望） 8、二项式定理的应用：
题型一：二项式定理的逆用；
例：12321
666 .n n n n n n C C C C -+?+?++?=L
解：012233(16)6666n n n
n n n n n C C C C C +=+?+?+?++?L 与已知的有一些差距，
123211221666(666)6
n n n
n n n n n n n n C C C C C C C -∴+?+?++?=
?+?++?L L 0122111(6661)[(16)1](71)666
n n n n n n n n C C C C =+?+?++?-=+-=-L
练：1231393 .n n
n n n n C C C C -++++=L 解：设1231393n n
n n n n n S C C C C -=++++L ，则
122330122333333333331(13)1
n n n n
n n n n n n n n n n n S C C C C C C C C C =++++=+++++-=+-L L (13)141
33
n n n S +--∴==
题型二：利用通项公式求n x 的系数；
例：在二项式n
的展开式中倒数第3项的系数为45，求含有3x 的项的系数？ 解：由条件知2
45n n
C -=，即2
45n C =，2900n n ∴--=，解得9()10n n =-=舍去或，
由
2102
1
10343
4110
10
()
()r r r
r
r
r r T C x x C x
--
+-
-+==，由题意102
3,643
r r r --
+==解得， 则含有3x 的项是第7项633
6110210T C x x +==,系数为210。
练：求29
1()2x x
-
展开式中9x 的系数？ 解：291821831999111()()()()222
r r r r r r r r
r r r T C x C x x C x x ----+=-=-=-，令1839r -=,则
3r =
故9x 的系数为3
39121()22
C -=-。
题型三：利用通项公式求常数项； 例：求二项式210(
x +
的展开式中的常数项？ 解：5202102
110
10
1()()2r r
r
r
r r r T C x C x --+==，令5
2002r -=，得8r =，所以
88
910145()2256
T C ==
练：求二项式6
1(2)2x x
-的展开式中的常数项？
解：666216611(2)(1)()(1)2()22
r r r r r r r r r
r T C x C x
x ---+=-=-，令620r -=，得3r =，所以33
46(1)20T C =-=-
练：若21
()n x x
+的二项展开式中第5项为常数项，则____.n =
解：42444212
51()()n n n n T C x C x
x
--==，令2120n -=，得6n =.
题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项；
例：求二项式9
展开式中的有理项？
解：1271
936
219
9
()
()(1)r r r
r
r
r r T C x x C x
--+=-=-，令
276
r
Z -∈,(09r ≤≤)得39r r ==或，
所以当3r =时，
2746r -=，334
449
(1)84T C x x =-=-， 当9r =时，2736
r -=，393
3109
(1)T C x x =-=-。 题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和；
例：若
n 展开式中偶数项系数和为256-，求n .
解：设
n 展开式中各项系数依次设为01,,,n a a a ???
1x =-令,则有010,n a a a ++???=①，1x =令,则有
0123(1)2,n n n a a a a a -+-+???+-=②
将①-②得：1352()2,n a a a +++???=-1
1352,n a a a -∴+++???=-
有题意得，1
822562n --=-=-，9n ∴=。
练：若n 的展开式中，所有的奇数项的系数和为1024，求它的中间项。 解：024*******r r n n n n n n n n C C C C C C C +-++???++???=++++???=Q L ，1
21024n -∴=，解
得11n =
所以中间两个项分别为6,7n n ==，5
65
451462n T C x -+==?，61
15
61462T x
-
+=?
题型六：最大系数，最大项；
例：已知1(2)2
n x +，若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展
开式中二项式系数最大项的系数是多少？
解：4652
2,21980,n n n C C C n n +=∴-+=Q 解出714n n ==或，当7n =时，展开式中二
项式系数最大的项是45T T 和3
43471
35()2,22
T C ∴==
的系数，
434
571()270,2
T C ==的系数当14n =时，展开式中二项式系数最大的项是8T ，
777
8141C ()234322
T ∴==的系数。
练：在2()n a b +的展开式中，二项式系数最大的项是多少？
解：二项式的幂指数是偶数2n ，则中间一项的二项式系数最大，即211
2n
n T T ++=，也就是第
1n +项。
练：在(
2n x -的展开式中，只有第5项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少？ 解：只有第5项的二项式最大，则
152
n
+=，即8n =,所以展开式中常数项为第七项等于6281
()72
C =
例：写出在7
()a b -的展开式中，系数最大的项？系数最小的项？
解：因为二项式的幂指数7是奇数，所以中间两项(4,5第项)的二项式系数相等，且同时取
得最大值，从而有34347T C a b =-的系数最小，434
57T C a b =系数最大。
例：若展开式前三项的二项式系数和等于79，求1(2)2
n x +的展开式中系数最大的项？
解：由01279,n n n C C C ++=解出12n =,假设1r T +项最大，121212
11(2)()(14)22
x x +=+Q
111121211
12121244
44
r r r r r r r r r r r r A A C C A A C C --+++++?≥≥??∴=??≥≥???，化简得到9.410.4r ≤≤，又012r ≤≤Q ，10r ∴=，展开式中系数最大的项为11T ,有12101010
101112
1()4168962
T C x x == 例：在（7
)y x -的展开式中，系数绝对值最大项是 ；
解：求系数绝对最大问题都可以将“n b a )(-”型转化为")("n
b a +型来处理， 故此答案为第4项
4
347y x C ，和第5项525
7y x C -。
练：在10
(12)x +的展开式中系数最大的项是多少？
解：假设1r T +项最大，1102r r r
r T C x +=?Q
111010111
12101022
2(11)12(10)22,
r r r r r r r r r r r r C C A A r r A A r r C C --+++++?≥≥-≥???∴=???≥+≥-≥????解得，化简得到
6.3
7.3k ≤≤，又010r ≤≤Q ，7r ∴=，展开式中系数最大的项为
777
7810215360.T C x x ==
题型七：含有三项变两项；
例：求当25
(32)x x ++的展开式中x 的一次项的系数？
解法①：2525(32)[(2)3]x x x x ++=++，2515(2)(3)r r r
r T C x x -+=+，当且仅当1r =时，
1r T +的展开式中才有x 的一次项，此时1
24125(2)3r T T C x x +==+，所以x 得一次项为144
5423C C x
它的系数为144
5423240C C =。
解法②：
255505145051455
555555(32)(1)(2)()(22)x x x x C x C x C C x C x C ++=++=++???+++???+
故展开式中含x 的项为45544
55522240C xC C x x +=，故展开式中x 的系数为240.
练：求式子31
(2)x x
+
-的常数项？
解：36
1(2)x
x +
-=，设第1r +项为常数项，则66261661(1)(
)(1)r
r r
r r r
r T C x
C x x
--+=-=-，得620r -=,3r =, 33
316(1)20T C +∴=-=-.
题型八：两个二项式相乘；
例：342
(12)(1)x x x +-求展开式中的系数.
解：333(12)(2)2,m m m m m
x x x +?=??Q 的展开式的通项是C C
444(1)C ()C 1,0,1,2,3,0,1,2,3,4,
n n n n n
x x x m n -?-=?-?==的展开式的通项是其中
342,02,11,20,(12)(1)m n m n m n m n x x +=======+-令则且且且因此
20022111122003434342(1)2(1)2(1)6
x C C C C C C ???-+???-+???-=-的展开式中的系数等于.
练：6
10
(1(1+求展开式中的常数项.
解：436
103412
610610(1(1m n m n
m n m n
C x C x C C x --++?=??展开式的通项为 0,3,6,
0,1,2,,6,0,1,2,,10,43,0,4,8,
m m m m n m n n n n ===???=???=???=???
===???其中当且仅当即或或
003468
6106106104246C C C C C C ?+?+?=时得展开式中的常数项为.
练：
2*31(1)(),28,______.n
x x x n N n n x
+++
∈≤≤=已知的展开式中没有常数项且则 解：
3431()C C ,n r n r r r n r n n x x x x x
---+
??=?展开式的通项为通项分别与前面的三项相乘可得
44142
C ,C ,C ,,28r n r r n r r n r n n n x x x
n --+-+???≤≤Q 展开式中不含常数项 441424,83,72,6, 5.n r n r n r n n n n ∴≠≠+≠+≠≠≠∴=且且，即且且
题型九：奇数项的系数和与偶数项的系数和； 例：
2006(,,,_____.
x x S x S -==在的二项展开式中含的奇次幂的项之和为当
解：2006123200601232006(x a a x a x a x a x +++++L 设=-------①
2006123200601232006(x a a x a x a x a x --+-++L =-------②
3520052006200613520052()((a x a x a x a x x x -++++=-L ①②得
2006200620061
(()[((]2
x S x x x ∴=-展开式的奇次幂项之和为
32006
2
20062006300812
,]222
x S ?==-=-
=-当
题型十：赋值法；
例：设二项式1)n x
+的展开式的各项系数的和为p ，所有二项式系数的和为s ,若
272p s +=,则n 等于多少？
解：若20121
)n n n a a x a x a x x
=+++???+，有01n P a a a =++???+，
02n
n n n S C C =+??+=，
令1x =得4n P =，又272p s +=,即42272(217)(216)0n n n n
+=?+-=解得
216217()n n ==-或舍去，4n ∴=.
练：若n
x x ???? ??-13的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为多少？
解：令1x =，则n
x x ?
??? ?
?-13的展开式中各项系数之和为264n
=，所以6n =，则展开
式的常数项为3
3
3
6(C ?540=-. 例：
20091232009200912
0123200922009(12)(),222
a a a x a a x a x a x a x x R -=+++++∈++???+L 若则
的值为
解：200920091212002200922009
1
,0,2222222a a a a a a x a a =
+++???+=∴++???+=-令可得 200912022009
01, 1.222
a a a
x a ==++???+=-在令可得因而 练：554321
54321012345(2),____.x a x a x a x a x a x a a a a a a -=+++++++++=若则
解：0012345032,11,x a x a a a a a a ==-=+++++=-令得令得
1234531.a a a a a ∴++++=
题型十一：整除性；
例：（02潍坊模拟）求证：15151
-能被7整除。 证明：15151
-Θ =1)249(51
-+
=
12.2.49.....2.49.2.49.4951
51
515050
512492
51501
51510
51-+++++C C C C C
=49P+1251-（*
∈N P ） 又Θ1)2(12
17351
-=-
=（7+1）171- =
17.....7.7.7.17
17161715
2171611717017-+++++C C C C C
=7Q （Q *
∈N ）
)(77715151Q P Q P +=+=-∴
15151
-∴能被7整除。
例：证明：22
*389()n n n N +--∈能被64整除
证：22
113
89989(81)89n n n n n n +++--=--=+--
011121111111888889n n n n n n n n n n C C C C C n +-++++++=++???+++-- 011121118888(1)189n n n n n n C C C n n +-+++=++???++++--01112
111888n n n n n n C C C +-+++=++???+
由于各项均能被64整除22
*3
89()64n n n N +∴--∈能被整除
题型十二：利用二项式定理求近似值 例15．求6
998.0的近似值，使误差小于001.0；
分析：因为6998.0=6
)002.01(-，故可以用二项式定理展开计算。
解：6
998.0=6
)002.01(-=6
2
1
)002.0(...)002.0.(15)002.0.(61-++-+-+
001.000006.0)002.0(15)
002.0.(22
2
63<=-?=-=
C T Θ，
且第3项以后的绝对值都小于001.0，
∴从第3项起，以后的项都可以忽略不计。
∴6
998.0=6
)002.01(-)002.0(61-?+≈=988.0012.01=- 小结：由n
n
n n n n
x x x x C C C ++++
=+...1)1(22
1
，当x 的绝对值与1相比很小且n 很大时，n x x x ,....,32等项的绝对值都很小，因此在精确度允许的范围内可以忽略不计，
因此可以用近似计算公式：nx x n
+≈+1)1(，在使用这个公式时，要注意按问题对精确度的要求，来确定对展开式中各项的取舍，若精确度要求较高，则可以使用更精确的公式：2
2
)1(1)1(x n n nx x n
-+
+≈+。
作业：1、求4)13(x
x +
的展开式；
解：原式=4
)1
3(
x
x +=2
4)13(x x + =
])3()3()3()3([144342
243144042C C C C C x x x x x ++++ =)112548481(12
342++++x x x x x
=54112848122
++++x
x x x
2、计算c C C C n
n n
n n n n 3)1( (279313)
2
1
-++-+-； 解：原式=
n
n n n n n n n C C C C C )2()31()3(....)3()3()3(3
33
22
11
-=-=-++-+-+-+
3、（03全国）9
2
)21(x
x -展开式中9x 的系数是 ； 解：r r r r x x T C )21()(9291
-=-+=r r r r x x C )1()21(2189--=x r r
x C 3189)2
1(--
令,9318=-x 则3=r ，从而可以得到9
x 的系数为：
221)21(33
9-=-C ，∴填2
21
- 4、（02全国）
7
2
)2)(1-+x x （的展开式中，3x 项的系数是 ； 解：在展开式中，3
x 的来源有：
① 第一个因式中取出2
x ，则第二个因式必出x ，其系数为
667
)2(-C
；
② 第一个因式中取出1，则第二个因式中必出3
x ，其系数为
4
4
7
)2(-C 3x ∴的系数应为：∴=-+-,1008)2()2(44
766
7C C 填1008。
5、（04安徽改编）3)21
(-+
x
x 的展开式中，常数项是 ； 解：3
6323
)1(])1([)21(x x x x x x -=-=-+
上述式子展开后常数项只有一项
3
3
33
6
)1(x x C -，即20-
6、（00京改编）求（103
)1
x
x -
的展开式的中间项；
解：,)1()(31010
1r r
r
r x
x T C -=
-+Θ∴展开式的中间项为53
55
10)1()(x
x C -
即：6
5
252x -。
当n 为奇数时，n
b a )(+的展开式的中间项是2
12121-+-n n n n b
a
C 和
2
12
121+-+n n n n
b
a
C
；
当n 为偶数时，n b a )(+的展开式的中间项是
2
2
2n n n n
b a C
。
7、（00京改编）求103
)1
(x
x -
的展开式中有理项共有 项；
解：3
410103
1010
1)1()1()
(r r
r
r
r
r
r x
x
r T C C
-
-+-=-=
Θ
∴当9,6,3,0=r 时，所对应的项是有理项。故展开式中有理项有4项。
8、（00上海）在二项式11
)1(-x 的展开式中，系数最小的项的系数是 ； 解：r
r r
r x T C
)1(1111
1-=
-+Θ ∴要使项的系数最小，则r 必为奇数，且使C r
11为最大，由此得5=r ，从而可知最小项的
系数为
462)1(5
5
11
-=-C 9、求84)21(x
x +
展开式中系数最大的项；
解：记第r 项系数为r T ，设第k 项系数最大，则有
??
?≥≥+-11k k
k k T T T T 又1
182.+--=r r r C T ，那么有
?????≥≥-+--+--+--k
k k k k k k k C C C C 2.2
.2.2
.8118228118 即???????
-≥?--?--≥--)!8(!!
82)!
9)!.(1(!82)!
10)!.(2(!8)!9)!.(1(!8K K K K K K K k
???
??≥--≥-∴K
K K K 1922211
解得43≤≤k ，∴系数最大的项为第3项2537x T =和第4项2
747x T =。 9、 （99全国）若443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+，
则2
312420)()(a a a a a +-++的值为 ；
解： Θ443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+ 令1=x ，有432104)32(a a a a a ++++=+， 令1-=x ，有)()()32(314204a a a a a +-++=+- 故原式=)]()).[((3142043210a a a a a a a a a a +-++++++
=44)32.()32(+-+=1)1(4
=-
10、
（04天津）若200422102004
2004...)
21(x x a x a a x ++++=-，
则=++++++)(...)()(200402010a a a a a a ；
解：Θ200422102004
2004...)
21(x x a x a a x ++++=-， 令1=x ，有1...)
21(20042102004
=++++=-a a a a 令0=x ，有1)
01(02004
==-a
故原式=020*********)...(a a a a a +++++=200420031=+
11设015
5666...)12(a x a x a x a x ++++=-，
则=++++6210...a a a a ； 解：r r
r
r x T C )1()
2(66
1-=
-+Θ
∴65432106210...a a a a a a a a a a a +-+-+-=++++
=)()(5316420a a a a a a a ++-+++=0
排列组合与二项式定理知识点
第一、第二……第n 位上选取元素的方法都是m 个，所以从m 个不同元素中，每次取出n 个元素可重复排列数m·m·… m = m n .. 例如：n 件物品放入m 个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？ （解：n m 种） 二、排列. 1. ⑴对排列定义的理解. 定义：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素，按照一定顺序．．．．．． 排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. ⑵相同排列. 如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同. ⑶排列数. 从n 个不同元素中取出m (m≤n )个元素排成一列，称为从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数，用符号m n A 表示. ⑷排列数公式： ) ,,()! (! )1()1(N m n n m m n n m n n n A m ∈≤-= +--=Λ 注意：!)!1(!n n n n -+=? 规定0! = 1 111--++=?+=m n m n m n m m m n m n mA A C A A A 1 1 --=m n m n nA A 规定10 ==n n n C C
2. 含有可重元素．．．．．． 的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S 有k 个不同元素a 1，a 2,…...a n 其中限重复数为n 1、n 2……n k ，且n = n 1+n 2+……n k , 则S 的排 列个数等于! !...!!2 1 k n n n n n =. 例如：已知数字3、2、2，求其排列个数3 ! 2!1)!21(=+=n 又例如：数字5、5、5、求其排列个数？其排列 个数1!3!3==n . 三、组合. 1. ⑴组合：从n 个不同的元素中任取m (m≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合. ⑵组合数公式： )!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C m n m m m n m n -= +--==Λ ⑶两个公式：①;m n n m n C C -= ②m n m n m n C C C 11+-=+ ①从n 个不同元素中取出m 个元素后就剩下n-m 个元素，因此从n 个不同元素中取出 n-m 个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的就是说从n 个不同元素中取出n-m 个元素的唯一的一个组合. （或者从n+1个编号不同的小球中，n 个白球一
组合导学案 课题：组合数的计算公式 课型：新授 执笔： 审核: 使用时间： 一、学习目标 1、 掌握组合数的计算公式 2、 组合数公式的应用 二、重点难点 1、 组合数的计算公式 2、 用组合数的计算公式解决相关问题 三、学习内容 组合数的计算与选排列数的计算有紧密联系．对于n 个元素中选k 个的选排列，可以 分两步完成．第一步，在n 个元素中选出k 个构成一个组，这是一个组合问题，共可以构成 个组；第二步，对每一组中的 个元素作全排列，每一组的排列数是 个．根据分步计数法和乘法原理，选排列数 k n A =k n C k k A ， 所以 k n C = ， 以选排列数计算公式代入，即得组合数计算公式 k n C = 四、探究分析 1、把下面的问题归结为排列或组合问题，如果是组合问题请根据公式计算结果： (1)在人数为50人的班级中，选举正、副班长、学习委员、生活委员和文体委员各一人组成班委，求可能的组成方案数． (2)在人数为50人的班级中，选举5人组成班委，求班委可能的组成方案数． (3)由12人组成的篮球队中，需选5人作为首发阵容，求可组成多少个不同的首发阵容．又在50名啦啦队员中要挑选20人前往助阵，有几种挑选方案？ (4)10份内容相同的信函，发给20个人中的10人，每人一份，有几种发信的方案？ 方法总结： 2、计算： （1）26C ； （2）37C ； （3）3 100C ． 方法总结：
课堂训练 1．把下面的问题能归结为排列或组合问题吗？如果能，请写出排列数或组合数的记号，如果不能，请说明理由，组合问题请计算结果： (1)在人数为60人的班级中，分成各30名学生的两个助残公益活动小组，可以有多少种分 法？ (2)有一个由6人组成的全能乐队，每人都能演奏6种乐器．要挑选5名队员参加某次演出， 可以组建多少种不同的演出阵容？ (3)6个朋友互相握手道别，共握手多少次？ (4)5道习题任意选做3题，有多少不同的选法？ (5)10支球队进行循环赛，共需安排多少场比赛？ (6)某种饮料是混合四种原料配制而成．现在每种原料都有9种不同品牌可供选择，共有几 种选择原料的方案？ (7)正16边形有几条对角线？课后作业 1、把下列问题归结为排列或组合问题并计算结果 （1）某次文艺汇演欲从20个节目中选出15个节目参加正式演出，则不同的节目单共有多少种？（2）10份相同的纪念品送给12个人中的10个人，每人一份，有几种分配方案？ 2、某小组有男生3人，女生5人，现从中选出3人，要求男、女生都有，则共的选法有多少种？教学后记
排列组合项定理考试内容：分类计数原理与分步计数原理． 排列．排列数公式． 组合．组合数公式．组合数的两个性质．二项式定理．二项展开式的性质． 考试要求： （1）掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题． （2）理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题． （3）理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题． （4）掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题． 排列组合二项定理知识要点 一、两个原理. 1. 乘法原理、加法原理. 2. 可．以．有．重．复．元．素．的排列. 从m个不同元素中，每次取出n个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二……第n位上选取元素的方法都是m个，所以 从m个不同元素中，每次取出n个元素可重复排列数m- m?…m = m n..例
3! 1 . 3! 如：n 件物品放入m 个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？ (解: m n 种) 二、排列. 1.(1)对排列定义的理解. 定义：从n 个不同的元素中任取 m (贰n )个元素，按照一定顺序 排成一列， 叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. ⑵相同排列. 如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺 序也必须完全相同. ⑶排列数. 从n 个不同元素中取出m (mcn)个元素排成一列，称为从n 个不同元素中取 出 m 个元素的一个排列.从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数，用 符号表 示. ⑷排列数公式： 注意：n n! (n 1)! n!规定 0! = 1 m m m m 1 m m 1 m m 1 On, A n 1 A n A m C n A n mA n A n nA n 1 /规^定 C n C n 1 2.含有可重元素的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集 S 有k 个不同元素a 1, a 2,……a n 其中限重复数为n 1、n ..... n k ,且n = n 计尊+ .. n k ,则S 的排列 例如：已知数字3、2、2,求其排列个数n 喈3又例如：数字5、5、5、 求其排列个数？其排列个数 个数等于n n! n !n 2!...n k
第一章 计数原理 1.2 排列与组合 1.2.1 排列 第1课时 排列与排列数公式 A 级 基础巩固 一、选择题 1．从集合{3，5，7，9，11}中任取两个元素：①相加可得多少 个不同的和？②相除可得多少个不同的商？③作为椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1中的a ，b ，可以得到多少个焦点在x 轴上的椭圆方程？④作为双曲线x 2 a 2－y 2 b 2＝1中的a ，b ，可以得到多少个焦点在x 轴上的双曲线方程？ 上面四个问题属于排列问题的是( ) A ．①②③④ B ．②④ C ．②③ D ．①④ 解析：因为加法满足交换律，所以①不是排列问题；除法不满足 交换律，如53≠35 ，所以②是排列问题． 若方程x 2a 2＋y 2 b 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则必有a >b ，a ，b 的大小一定；在双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1中不管a >b 还是a
是排列问题． 答案：B 2．甲、乙、丙三人排成一排去照相，甲不站在排头的所有排列种数为() A．6 B．4 C．8 D．10 解析：先排甲，有2种方法，排乙，丙共有A22种方法， 所以由分步乘法原理，不同的排列为2A22＝4(种)． 答案：B 3．已知A2n＋1－A2n＝10，则n的值为() A．4 B．5 C．6 D．7 解析：因为A2n －A2n＝10，则(n＋1)n－n(n－1)＝10， ＋1 整理得2n＝10，所以n＝5. 答案：B 4．若从6名志愿者中选出4名分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，则选派方案有() A．180种B．360种 C．15种D．30种 解析：由排列定义知选派方案有A46＝6×5×4×3＝360(种)． 答案：B 5．用1，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有() A．24个B．30个C．40个D．60个 解析：将符合条件的偶数分为两类：一类是2作个位数，共有A24个，另一类是4作个位数，也有A24个．因此符合条件的偶数共有A24＋A24＝24(个)．
排列组合二项式定理与概率统计 重点知识回顾 1. 排列与组合 ⑴ 分类计数原理与分步计数原理是关于计数的两个基本原理，两者的区别在于分步计数原理和分步有关, 分类计数原理与分类有关 ⑵ 排列与组合主要研究从一些不同元素中，任取部分或全部元素进行排列或组合, ⑶排列与组合的主要公式 _ r — r+1 项是 T r+1 =C n a n r b r . ⑵二项展开式的通项公式 二项展开式的第r+1项T r+1=c n a n —r b r （r=0,1,…叫）做二项展开式的通项公式。 ⑶二项式系数的性质 ① 在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等， 即 c n = c n r （r=0,1,2，…,n ）. 项和第n 3项）的二项式系数相等，并且最大，其值为 2 A n = n! =n(n — 1)(n — 2) ....... 2 ? 1. ②组合数公式： c m n! n(n 1) (n m 1) (m < n) m!( n m)! m (m 1) 2 1 ③组合数性质： ①c m ㈡ m (m < n) ② c 0 c ； c n 2 c ； 2n ③ Cn Cn c 4 C n c 1 c 3 C n C n 2n 1 2.二项式定理 ⑴二项式定理 (a +b)n =C 0a n +c n a n — 1 r b+ …+C n a n r b r +… + c n b n ,其中各项系数就是组合数c n ，展开式共有n+1项，第 问题?区别排列问题与组合问题要看是否与顺序有关, 与顺序有关的属于排列问题, 与顺序无关的属于组合问题 求共有多少种方法的 ①排列数公式: A m n! (n m)! n(n 1) (n m 1) (m 10.3组合与组合数公式及性质 达标要求 1．理解组合的概念． 2．掌握组合数公式． 3．理解排列与组合的区别和联系。 4．熟练掌握组合数的计算公式；掌握组合数的两个性质，并且能够运用它解决一些简单的 应用问题． 基础回顾 1．组合的概念：一般地，从n 个不同元素中取出m （m n ≤）个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合． 2．组合数的概念：从n 个不同元素中取出m （m n ≤）个元素的所有组合的个数，叫做 从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．用符号m n C 表示．． 3．组合数的公式： (1)(2)(1)!m m n n m m A n n n n m C A m ---+== 或()!!! m n n C m n m =-（,n m N +∈且m n ≤） 4．组合数性质： （1）m n m n n C C -= （2）111m m m n n n C C C ++++= 典型例题 例题1 4名男生和6名女生选三人，组成三人实践活动小组。 (1) 共有多少种选法？ (2) 其中男生甲不能参加，有多少种选法？ (3) 若至少有1个男生，问组成方法共有多少种？ 解：(1) 共有310120C =种。 (2) 共有3984C =种 (3) 解法一：（直接法）小组构成有三种情形：3男，2男1女，1男2女， 分别有34C ，2146C C ，12 46C C ， 所以一共有3211244646100C C C C C ++= 种方法． 解法二：（间接法）33106100C C -= 例题2 100件产品中有合格品90件，次品10件，现从中抽取4件检查． (1) 都不是次品的取法有多少种？ (2) 至少有1件次品的取法有多少种？ 排列组合的基本理论和公式 排列与元素的顺序有关，组合与顺序无关．如231与213是两个排列，2＋3＋1的和与2＋1＋3的和是一个组合． (一)两个基本原理是排列和组合的基础 (1)加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋m3＋…＋mn种不同方法． (2)乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1 种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×m3×…×mn种不同的方法．这里要注意区分两个原理，要做一件事，完成它若是有n类办法，是分类问题，第一类中的方法都是独立的，因此用加法原理；做一件事，需要分n个步骤，步与步之间是连续的，只有将分成的若干个互相联系的步骤，依次相继完成，这件事才算完成，因此用乘法原理． 这样完成一件事的分“类”和“步”是有本质区别的，因此也将两个原理区分开来． (二)排列和排列数 (1)排列：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．从排列的意义可知，如果两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序必须完全相同，这就告诉了我们如何判断两个排列是否相同的方法． (2)排列数公式：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列 当m＝n时，为全排列Pnn=n(n－1)(n－2)…3·2·1＝n！ (三)组合和组合数 (1)组合：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个组合． 从组合的定义知，如果两个组合中的元素完全相同，不管元素的顺序如何，都是相同的组合；只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合． (2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个 排列组合与二项式定理知识点 １．计数原理知识点 ①乘法原理：N=n1·n2·n3·…nM (分步) ②加法原理：N=n1+n2+n3+…+nM (分类) ２．排列（有序）与组合（无序） Anm=n(n－1)(n－2)(n－3)…(n－m+1)=n!/(n-m)! Ann =n! Cnm = n!/(n-m)!m! Cnm= Cnn－m Cnm＋Cnm＋1= Cn+1m+1 k?k!=(k+1)!－k! ３．排列组合混合题的解题原则：先选后排，先分再排 排列组合题的主要解题方法：优先法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素. 以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置. 捆绑法（集团元素法，把某些必须在一起的元素视为一个整体考虑） 插空法（解决相间问题）间接法和去杂法等等 在求解排列与组合应用问题时，应注意： (1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题； (2)通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理； (3)分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏； (4)列出式子计算和作答. 经常运用的数学思想是： ①分类讨论思想；②转化思想；③对称思想. ４．二项式定理知识点： ①(a+b)n=Cn0ax+Cn1an－1b1+ Cn2an－2b2+ Cn3an－3b3+…+ Cnran－rbr+-…+ Cn n－1abn－1+ Cnnbn 特别地：(1+x)n=1+Cn1x+Cn2x2+…+Cnrxr+…+Cnnxn ②主要性质和主要结论：对称性Cnm=Cnn－m 最大二项式系数在中间。（要注意n为奇数还是偶数，答案是中间一项还是中间两项） 所有二项式系数的和：Cn０+Cn1+Cn2+ Cn3+ Cn4+…+Cnr+…+Cnn=2n 奇数项二项式系数的和＝偶数项而是系数的和 Cn０+Cn２+Cn４+ Cn６+ Cn８+…＝Cn１+Cn３+Cn５+ Cn７+ Cn９+…=2n -1 ③通项为第r+1项：Tr+1= Cnran－rbr 作用：处理与指定项、特定项、常数项、有理项等有关问题。 5.二项式定理的应用：解决有关近似计算、整除问题，运用二项展开式定理并且结合放缩法证明与指数有关的不等式。 6.注意二项式系数与项的系数（字母项的系数，指定项的系数等，指运算结果的系数）的区别，在求某几项的系数的和时注意赋值法的应用。 排列数、组合数及二项式定理整理 慈济中学全椒 1、排列数公式 m n A =)1()1(+--m n n n Λ=！！ )(m n n -.(n ，m ∈N*，且m n ≤)． 2、排列恒等式 (1) 1(1)m m n n A n m A -=-+;(2) 1m m n n n A A n m -= -;(3)11m m n n A nA --=; (4)11n n n n n n nA A A ++=-; (5) 1 1m m m n n n A A mA -+=+.(6) 1!22!33!!(1)!1n n n +?+?++?=+-L . 3、组合数公式 m n C =m n m m A A =m m n n n ???+--ΛΛ21)1()1(=！！！)(m n m n -?(n ∈N*，m N ∈，且m n ≤). 4、组合数的两个性质 (1) m n C =m n n C - ; (2) m n C +1 -m n C =m n C 1 +. 5、排列数与组合数的关系 m m n n A m C =?！ . 6、二项式定理： 011()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈L L 【注】： 1．基本概念： ①二项式展开式：右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式。 ②二项式系数:展开式中各项的系数r n C (0,1,2,,)r n =???. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项r n r r n C a b -叫做二项式展开式的通项。用1r n r r r n T C a b -+=表示。 2．注意关键点： ①项数：展开式中总共有(1)n +项。 ②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。()n a b +与()n b a +是不同的。 ③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。 高中数学第十章-排列组合二项定理 考试内容： 分类计数原理与分步计数原理． 排列．排列数公式． 组合．组合数公式．组合数的两个性质． 二项式定理．二项展开式的性质． 考试要求： （1）掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题． （2）理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题． （3）理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题． （4）掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题． §10. 排列组合二项定理 知识要点 一、两个原理. 1. 乘法原理、加法原理. 2. 可．以有．．重复．．元素．． 的排列. 从m 个不同元素中，每次取出n 个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二……第n 位上选取元素的方法都是m 个，所以从m 个不同元素中，每次取出n 个元素可重复排列数m·m·… m = m n .. 例如：n 件物品放入m 个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？ （解：n m 种） 二、排列. 1. ?对排列定义的理解. 定义：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素，按照一定顺序．．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. ?相同排列. 如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同. ?排列数. 从n 个不同元素中取出m (m≤n )个元素排成一列，称为从n 个不同元素中取出m 个元素的 一个排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数，用符号m n A 表示. ?排列数公式： ),,()! (! )1()1(N m n n m m n n m n n n A m ∈≤-= +--= 注意：!)!1(!n n n n -+=? 规定0! = 1 111--++=?+=m n m n m n m m m n m n mA A C A A A 11 --=m n m n nA A 规定10 ==n n n C C 2. 含有可重元素．．．．．． 的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S 有k 个不同元素a 1，a 2,…...a n 其中限重复数 1.2排列与组合 1．2.1排列 第1课时排列与排列数公式 1．理解排列的概念，能正确写出一些简单问题的所有排列．(重点) 2．理解排列数公式，能利用排列数进行计算和化简．(难点) [基础·初探] 教材整理1排列的概念 阅读教材P14～P16第二个思考下面第一自然段，完成下列问题． 1．一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． 2．两个排列相同，当且仅当两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也相同． 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个排列的元素相同，则这两个排列是相同的排列．() (2)从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法属于排列问题．() (3)有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案属于排列问题．() (4)从3,5,7,9中任取两个数进行指数运算，可以得到多少个幂属于排列问 题．() (5)从1,2,3,4中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个点属于排列问题．() 【解析】(1)×因为相同的两个排列不仅元素相同，而且元素的排列顺序相同． (2)√因为三名学生参赛的科目不同为不同的选法，每种选法与“顺序”有关，属于排列问题． (3)×因为分组之后，各组与顺序无关，故不属于排列问题． (4)√因为任取的两个数进行指数运算，底数不同、指数不同结果不同．结果与顺序有关，故属于排列问题． (5)√因为纵、横坐标不同，表示不同的点，故属于排列问题． 【答案】(1)×(2)√(3)×(4)√(5)√ 教材整理2排列数与排列数公式 阅读教材P16第二个思考下面第二自然段～P18例2，完成下列问题. 1．A24＝________，A33＝________. 【解析】A24＝4×3＝12；A33＝3×2×1＝6. 【答案】12 6 2.A34 5！ ＝________. 【解析】A34 5！ ＝ 4×3×2 5×4×3×2×1 ＝ 1 5. 组合与组合数公式 一、选择题 1．若C x 6＝C 26，则x 的值为( ) A ．2 B ．4 C ．4或2 D ．3 2．某新农村社区共包括8个自然村，且这些村庄分布零散没有任何三个村庄在一条直线上，现要在该社区内建“村村通”工程，共需建公路的条数为 ( ) A ．4 B ．8 C ．28 D ．64 3．已知C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n ，则n 等于( ) A ．14 B ．12 C ．13 D ．15 4．从5名志愿者中选派4人在星期六和星期日参加公益活动，每人一天，每天两人，则不同的选派方法共有( ) A ．60种 B ．48种 C ．30种 D ．10种 5．平面直角坐标系中有五个点，分别为O (0,0)，A (1,2)，B (2,4)，C (－1,2)，D (－2,4)．则这五个点可以确定不同的三角形个数为( ) 6．若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( ) A ．60种 B ．63种 C ．65种 D ．66种 二、填空题 7．若已知集合P ＝{1,2,3,4,5,6}，则集合P 的子集中含有3个元素的子集数为________． 8．不等式C 2n －n <5的解集为________． 9．若对任意的x ∈A ，则1x ∈A ，就称A 是“具有伙伴关系”的集合．集合M ＝???? ??－1，0，13，12，1，2，3，4的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为________． 10．计算：(1)C 58＋C 98100·C 77； (2)C 05＋C 15＋C 25＋C 35＋C 45＋C 55； (3)C n n ＋1·C n －1n . 11．某区有7条南北向街道，5条东西向街道．(如图) n n +1n n n 排列组合、二项式定理总结复习 1，分类计数原理 完成一件事有几类方法，各类办法相互独立每类办法又有多种不同的办法（每一种都可以独立的完成这个事情） 分步计数原理 完成一件事，需要分几个步骤，每一步的完成有多种不同的 方法 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合 组合数 从 n 个不同元素中，任取 m （m ≤n ）个元素的所有组合个数 m n m = n ! n m !(n - m )! 性质 C m = C n -m C m = C m + C m -1 排列组合题型总结 一． 直接法 1 .特殊元素法 例 1 用 1，2，3，4，5，6 这 6 个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个 C C （1）数字 1 不排在个位和千位 （2）数字 1 不在个位，数字 6 不在千位。 分析：（1）个位和千位有 5 个数字可供选择A2 ，其余 2 位有四个可供选择A2 ，由乘法原理： 5 4 A2 A2 =240 5 4 2．特殊位置法 （2）当 1 在千位时余下三位有A3 =60，1 不在千位时，千位有A1 种选法，个位有A1 种，余下 5 4 4 的有A2 ，共有A1 A1 A2 =192 所以总共有 192+60=252 4 4 4 4 二间接法当直接法求解类别比较大时，应采用间接法。如上例中（2）可用间接法A4 - 2 A3 +A2 =252 6 5 4 Eg 有五张卡片，它的正反面分别写 0 与 1，2 与 3，4 与 5，6 与 7，8 与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？ 分析：：任取三张卡片可以组成不同的三位数C 3 ? 23 ?A3 个，其中 0 在 5 3 百位的有C 2 ? 22 ?A2 个，这是不合题意的。故共可组成不同的三位数 4 2 C 3 ? 23 ?A3 - C 2 ? 22 ?A2 =432 5 3 4 2 Eg 三个女生和五个男生排成一排 （1）女生必须全排在一起有多少种排法（捆绑法） （2）女生必须全分开（插空法须排的元素必须相邻） （3）两端不能排女生 （4）两端不能全排女生 （5）如果三个女生占前排，五个男生站后排，有多少种不同的排法 排列组合公式 排列定义??? 从n个不同的元素中，取r个不重复的元素，按次序排列，称为从n个中取r个的无重排列。排列的全体组成的集合用 P(n,r)表示。排列的个数用P(n,r)表示。当r=n时称为全排列。一般不说可重即无重。可重排列的相应记号为 P(n,r),P(n,r)。 组合定义从n个不同元素中取r个不重复的元素组成一个子集，而不考虑其元素的顺序，称为从n个中取r个的无重组合。 组合的全体组成的集合用C(n,r)表示，组合的个数用C(n,r)表示，对应于可重组合 有记号C(n,r),C(n,r)。 一、排列组合部分是中学数学中的难点之一，原因在于 (1)从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象思维能力； (2)限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词(特别是逻辑关联词和量词)准确理解； (3)计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大； (4)计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析能力。 二、两个基本计数原理及应用 (1)加法原理和分类计数法 1．加法原理 2．加法原理的集合形式 3．分类的要求 每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏) (2)乘法原理和分步计数法 1．乘法原理 2．合理分步的要求 任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同 例1：用1、2、3、4、5、6、7、8、9组成数字不重复的六位数 集合A为数字不重复的九位数的集合，S（A）=9！ 集合B为数字不重复的六位数的集合。 把集合A分为子集的集合，规则为前6位数相同的元素构成一个子集。显然各子集没有共同元素。每个子集元素的个数，等于剩余的3个数的全排列，即3！ 这时集合B的元素与A的子集存在一一对应关系，则 S（A）=S（B）*3！ S（B）=9！/3！ 这就是我们用以前的方法求出的P（9，6） 例2：从编号为1-9的队员中选6人组成一个队，问有多少种选法？ 设不同选法构成的集合为C，集合B为数字不重复的六位数的集合。把集合B分为子集的 8、九张卡片分别写着数字0,1，2，…，8，从中取出三张排成一排组成一个三位数，如果6可以当作9使用，问 可以组成多少个三位数？ 【参考答案】可以分为两类情况： ① 若取出6，则有() 2111 82772P C C C +种方法； ②若不取6，则有1277C P 种方法． 根据分类计数原理，一共有() 2111 8277 2P C C C ++1277C P ＝602种方法． 9、从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台,其中至少有原装与组装计算机各两台,则不同的取法有 种. 【参考答案】由分析，完成第一类办法还可以分成两步：第一步在原装计算机中任意选取2台，有26C 种方法； 第二步是在组装计算机任意选取3台，有35C 种方法，据乘法原理共有3 526C C ?种方法.同理，完成第二类办法中有2536C C ?种方法.据加法原理完成全部的选取过程共有+?3526 C C 3502 536=?C C 种方法. 经典例题： 例1．四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同取法共有（ ） A ．150种 B. 147种 C. 144种 D. 141种 【答案】取出的四个点不共面的情况要比取出的四个点共面的情况复杂，可采用间接法， 先不加限制任取四点，再减去四面共点的取法． 在10个点中任取4点，有4 10C 种取法，取出的4点共面有三类 第一类：共四面体的某一个面，有44 6C 种取法； 第二类：过四面体的一条棱上的三点及对棱的中点，如图中的平面ABE ，有6种取法； 第三类：过四面体的四条棱的中点，面与另外两条棱平行，如图中的平面EFGM ，共有3个． 故取4个不共面的点的不同取法共有4 10C －(44 6C ＋6＋3)＝141，因此选D 例2. 一天要排语文、数学、英语、生物、体育、班会六节课（上午四节，下午二节），要求上午第一节不排体育， 高中数学之排列组合二项式定理 一、分类计数原理和分步计数原理： 分类计数原理：如果完成某事有几种不同的方法，这些方法间是彼此独立的，任选其中一种 方法都能达到完成此事的目的，那么完成此事的方法总数就是这些方法种数的和。 分步计数原理：如果完成某事，必须分成几个步骤，每个步骤都有不同的方法，而—个步骤 中的任何一种方法与下一步骤中的每一个方法都可以连接，只有依次完成所有各 步，才能达到完成此事的目的，那么完成此事的方法总数就是这些方法种数的积。 区别：如果任何一类办法中的任何一种方法都能完成这件事，则选用分类计数原理，即类 与类之间是相互独立的，即“分类完成”；如果只有当n 个步骤都做完，这件事才能完成，则选用分步计数原理，即步与步之间是相互依存的，连续的，即“分步完成”。 二、排列与组合： （1）排列与组合的区别和联系：都是研究从一些不同的元素中取出n 个元素的问题； 区别：前者有顺序，后者无顺序。 （2）排列数、组合数： 排列数的公式：)()! (!)1()2)(1(n m m n n m n n n n A m n ≤-= +---= 注意：①全排列：!n A n n =； ②记住下列几个阶乘数，1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，6！=720； 排列数的性质： ①11--=m n m n nA A （将从n 个不同的元素中取出)(n m m ≤个元素，分两步完成： 第一步从n 个元素中选出1个排在指定的一个位置上； 第二步从余下1-n 个元素中选出1-m 个排在余下的1-m 个位置 上） ②m n m n m n A mA A 111---+=（将从n 个不同的元素中取出)(n m m ≤个元素，分两类完成： 第一类：m 个元素中含有a ，分两步完成： 第一步将a 排在某一位置上，有m 不同的方法。 第二步从余下1-n 个元素中选出1-m 个排在余下的1-m 个位置 上） 即有11--m n mA 种不同的方法。 第二类：m 个元素中不含有a ，从1-n 个元素中取出m 个元素排在m 个 位置上，有m n A 1-种方法。 组合数的公式：)()!(!!!)1()2)(1(n m m n m n m m n n n n A A C m m n m n ≤-=+---== 组合数的性质： ①m n n m n C C -=（从n 个不同的元素中取出m 个元素后，剩下m n -个元素，也就是说， 排列组合和排列组合计算公式 排列组合公式/排列组合计算公式 排列P--_-和顺序有关 组合C一不牵涉到顺序的问题. 排列分顺序,组合不分 例如把5本不同的书分给3个人，有几种分法. "排列” 把5本书分给3个人，有几种分法 ”组合” 1.排列及计算公式 从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列;从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号p(n, m)表示. . p (n, m)=n(n-1) (n2) ..... (n-m+1)= n!/(n-m)!规定0!=1). 2.组合及计算公式. 从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成-一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合;从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的组合数.用符号 c(n,m)表示. c (n, m)=p (n, m)/m!=n!/((n- m)!*m!} c(n,m)=c(n, n-m); 3.其他排列与组合公式 从n个元素中取出r个元素的循环排列数=p(n, r)/r=n!/r (n-r)!.n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1, n2.... nk 这n个元 素的全排列数为n!/ (n1 !*n2!*. .. *nk!).k类元素,每类 的个数无限从中取出m个元素的组合数为c (m+k-1, m). 排列(Pnm(n为下标， m为上标)) Pnm=nX (n-1) .... (n-m+1) ; Pnm=n! / (n-m) ! (注: !是 阶乘符号) ; Pnn (两个n分别为上标和下标) =n! ; 0! =1;Pn1 (n 为下标1为上标) =n组合(Cnm(n为下标，m为上标)) Cnm=Pnm/Pmm; Cnm=n! /m! (n-m) ! ; Cnn (两个n分别为上 标和下标) =1 ; Cn1 (n 为下标1为上标) =n; Cnm=Cnn-m 公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。 公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列。 N-元素的总个数 R参与选择的元素个数 !-阶乘，如 9! =9*8*7*6*5*4*3*2*1 从N倒数r个，表达式应该为n* (n-1)*(n-2).. (n-r+1); 因为从n到(n-r+1)个数为 . 1．排列及计算公式 从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号p(n,m)表示. p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1). 2．组合及计算公式 从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号 c(n,m) 表示. c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m); 3．其他排列与组合公式 从n个元素中取出r个元素的循环排列数＝p(n,r)/r=n!/r(n-r)!. n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为 n!/(n1!*n2!*...*nk!). k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m). 排列（Pnm(n为下标，m为上标)） Pnm=n×（n-1）....（n-m+1）；Pnm=n！/（n-m）！（注：！是阶乘符号）；Pnn（两个n分别为上标和下标）=n！；0！=1；Pn1（n为下标1为上标）=n 组合（Cnm(n为下标，m为上标)） Cnm=Pnm/Pmm ；Cnm=n！/m！（n-m）！；Cnn（两个n分别为上标和下标）=1 ；Cn1（n为下标1为上标）=n；Cnm=Cnn-m . 排列组合与二项式定理 一、排列组合 1.（2016年四川高考）用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为( ) （A ）24 （B ）48 （C ）60 （D ）72 【答案】D 【解析】由题意，要组成没有重复的五位奇数，则个位数应该为1、3、5，其他 位置共有44A ，所以其中奇数的个数为44372A =，故选D. 2.（2015年四川高考）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（ ） （A ）144个 （B ）120个 （C ）96个 （D ）72个 【答案】B 【解析】据题意，万位上只能排4、5.若万位上排4，则有3 42A ?个；若万位上 排5，则有343A ?个.所以共有342A ?343524120A +?=?=个.选B. 3. （2015年广东高考）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言．（用数字作答） 【答案】1560．【解析】依题两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的 排列数，所以全班共写了24040391560A =?=条毕业留言，故应填入1560． 4．(2014大纲全国，理5)有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有( )． A ．60种 B ．70种 C ．75种 D ．150种 答案：C 解析：从6名男医生中选出2名有26C 种选法，从5名女医生中选出1名有15C 种选法，故共有216565C C 57521 ??=?=?种选法，选C. 5．(2014福建，理10)用a 代表红球，b 代表蓝球，c 代表黑球．由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1＋a )(1＋b )的展开式1＋a ＋b ＋ab 表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a ”表示取出一个红球、而“ab ”则表示把红球和蓝球都取出来．依此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是( )． A ．(1＋a ＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)(1＋b 5)(1＋c )5 B ．(1＋a 5)(1＋b ＋b 2＋b 3＋b 4＋b 5)(1＋c )5 C ．(1＋a )5(1＋b ＋b 2＋b 3＋b 4＋b 5)(1＋c 5) D ．(1＋a 5)(1＋b )5(1＋c ＋c 2＋c 3＋c 4＋c 5) 答案：A 解析：本题可分三步：第一步，可取0,1,2,3,4,5个红球，有1＋a ＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5种取法；第二步，取0或5个蓝球，有1＋b 5种取法；第三步，取5个有区别的黑球，有(1＋c )5种取法．所以共有(1＋a ＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)(1＋b 5)(1＋c )5种取法．故选A. 排列组合二项式定理知识点 2、排列、组合 3、二项式定理 内容典型题 定义①二项式定理： (a＋b)n＝C 0n a n＋C 1n a n－1b1＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n ＝∑ = n r r n C a n－r b r（n∈N＋） ②二项式展开式第r＋1项通项公式： T r－1 ＝C r n a n－r b r 其中C r n（r＝0，1，2，…，n）叫做二项式系数. 8.二项式8)1 (- x的展开式中的第5项是( ) A. 70x4 B. 70x2 C. 56x3 D. －562 3 x 9.二项式(x－2)12展开式中第3项的系数是( ) A.264 B.－264 C.66 D.－1760 10.(x－2)8 的展开式中, x6的系数是( ) A. 56 B. －56 C. 28 D. 224 11.(x2＋)5展开式中的10x是( ) A.第2项 B.第3项 C.第4项 D.第5项 12.二项式x－1 x 6 的展开式中常数项是( ) A. 1 B. 6 C. 15 D. 20 13.设(3－x)n＝n n x a x a x a a+???+ + +2 2 1 ,已知 n a a a a+???+ + + 2 1 ＝64,则n＝. 14.设二项式(3x＋5)10＝ 1 8 8 9 9 10 10 a x a x a x a x a+ +???+ + +,则 1 8 9 10 a a a a a+ -???- + -＝. 15.二项式2x－1 x 6 的展开式中二项式系数最大的项是. 性质①在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等. ②如果二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，则中间两项的二项式系数相等并且最大. ③二项式系数的和为n2，即 n C＋1 n C＋…＋r n C＋…＋n n C＝n2 ④奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即 n C＋2 n C＋…＝1 n C＋3 n C＋…＝1 2-n组合与组合数公式及性质
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