平面的法向量与平面的向量表示
一、基础过关
1．若平面α、β的法向量分别为u ＝(2，－3,5)，v ＝(－3，1，－4)，则
( ) A ．α∥β B ．α⊥β
C ．α、β相交但不垂直
D ．以上均不正确 2．若直线l 的一个方向向量为a ＝(2,5,7)，平面α的一个法向量为u ＝(1,1，－1)，则( )
A ．l ∥α
B ．l ⊥α
C ．l ?α
D ．A 、C 都有可能
3．已知平面α内有一个点A (2，－1,2)，α的一个法向量为n ＝(3,1,2)，则下列点P 中，在平面α内的是
( ) A ．(1，－1,1)
B.????1，3，32
C.?
???1，－3，32 D.????－1，3，－32 4．若n 1，n 2分别是平面α，β的法向量，且α⊥β，n 1＝(1,2，x )，n 2＝(x ，x ＋1，x )，则x 的值为
( ) A ．1或2
B ．－1或－2
C ．－1
D ．－2
5．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k )，若α∥β，则k 等于( )
A ．2
B ．－4
C ．4
D ．－2
6．已知A (1,0,0)、B (0,1,0)、C (0,0,1)，则平面ABC 的一个单位法向量是
( ) A.????33
，33，－33 B.????33，－33，33 C.????－33，33，33 D.???
?－33，－33，－33 7．已知平面α和平面β的法向量分别为a ＝(1,1,2)，b ＝(x ，－2，3)，且α⊥β，则x ＝________.
8．下列命题中：
①若u ，v 分别是平面α，β的法向量，则α⊥β?u·v ＝0；
②若u 是平面α的法向量且向量a 与α共面，则u·a ＝0；
③若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直．
正确的命题序号是________．
9．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4,2,0)，
AP →＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的法向量； ④AP →∥BD →.
其中正确的是________．(填序号)
二、能力提升
10．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点，试在棱BB 1上找一点
M ，使得D 1M ⊥平面EFB 1.
11.如图所示，△ABC 是一个正三角形，EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，且CE
＝CA ＝2BD ，M 是EA 的中点．求证：平面DEA ⊥平面ECA .
12.如图，在四棱锥P —ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，∠ABC
＝60°，P A ＝AB ＝BC ，AD ＝
233
AB ，E 是PC 的中点． 证明：PD ⊥平面ABE .
三、探究与拓展
13.如图所示，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AB ∥CD ，
∠DAB ＝60°，AB ＝AD ＝2CD ，侧面P AD ⊥底面ABCD ，且△P AD
为等腰直角三角形，∠APD ＝90°，M 为AP 的中点． 求证：DM ∥平面PCB .
答案
1．C 2．D 3．B 4．B 5．C 6．D
7．－4
8．①②③
9．①②③
10．解 建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ，设正方体的棱长为
2，则E (2,1,0)，F (1,2,0)，D 1(0,0,2)，B 1(2,2,2)．
设M (2,2，m )，则EF →＝(－1,1,0)，B 1E →＝(0，－1，－2)，D 1M →＝
(2,2，m －2)．
∵D 1M ⊥平面EFB 1，∴D 1M ⊥EF ，D 1M ⊥B 1E ，
∴D 1M →·EF →＝0且D 1M →·B 1E →＝0，
于是?????
－2＋2＝0，－2－2(m －2)＝0， ∴m ＝1， 故取B 1B 的中点为M 就能满足D 1M ⊥平面EFB 1.
11．证明 建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz ，不妨设CA ＝2，
则CE ＝2，BD ＝1，C (0,0,0)，A (3，1,0)，B (0,2,0)，E (0,0,2)，D (0,2,1)．
所以EA →＝(3，1，－2)，CE →＝(0,0,2)，ED →＝(0,2，－1)．
分别设面CEA 与面DEA 的法向量是n 1＝(x 1，y 1，z 1)，n 2＝(x 2，y 2，
z 2)，
则????? n 1·EA →＝0，n 1·CE →＝0，即???
3x 1＋y 1－2z 1＝0，2z 1＝0. 解得??? y 1＝－3x 1，z 1
＝0. ????? n 2·EA →＝0，n 2·ED →＝0， 即???
3x 2＋y 2－2z 2＝0，2y 2－z 2＝0. 解得??? x 2＝3y 2，z 2＝2y 2.
不妨取n 1＝(1，－3，0)，n 2＝(3，1,2)，
因为n 1·n 2＝0，所以两个法向量相互垂直．
所以平面DEA ⊥平面ECA .
12．证明 ∵P A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，
∴AB 、AD 、AP 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，
设P A ＝AB ＝BC ＝1，则P (0,0,1)、A (0,0,0)、B (1,0,0)、
D ???
?0，233，0. ∵∠ABC ＝60°，∴△ABC 为正三角形．
∴C ????12，32，0，E ???
?14，34，12. ∴AB →＝(1,0,0)，AE →＝???
?14，34，12， ∴设平面ABE 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，
则????? x ＝0，14x ＋34y ＋12z ＝0，
令y ＝2，则z ＝－3，∴n ＝(0,2，－3)．
∵PD →＝???
?0，233，－1，显然PD →＝33n ，∴PD →∥n ， ∴PD →⊥平面ABE ，即PD ⊥平面ABE .
13．证明 取AD 的中点G ，连接PG ，GB .
∵侧面P AD ⊥底面ABCD .
∵PG ⊥AD ，∴PG ⊥底面ABCD ，
∴PG ⊥BG .又∵BG ⊥AD ，
∴直线DA 、GB 、GP 两两互相垂直，故可以分别以直线DA ，GB ，GP 为x 轴、y 轴和z 轴建立如图所示的空间直角坐标系Gxyz ，
设PG ＝a ，C (x ，y ，z )，则可求得
P (0,0，a )，A (a,0,0)，B (0，3a,0)，D (－a,0,0)，
则GP →＝(0,0，a )，AB →＝(－a ，3a,0)，PB →＝(0，3a ，－a )．
∵AB ＝2DC ，且AB ∥CD ，
∴AB →＝2DC →，即(－a ，3a,0)＝2[(x ，y ，z )－(－a,0,0)]．
∴(x ，y ，z )＝????－32a ，32a ，0，即C ???
?－32a ，32a ，0. ∴BC →＝???
?－32a ，－32a ，0. 设n ＝(x 0，y 0，z 0)是平面PBC 的法向量，
则n ·BC →＝0且n ·PB →＝0，
∴????? －32ax 0－32ay 0＝03ay 0－az 0＝0?????? x 0＝－33y 0，z 0＝3y 0， 取y 0＝3，得n ＝(－1，3，3)．
∵点M 是AP 的中点，∴M ????a 2
，0，a 2， ∴DM →＝????a 2，0，a 2－(－a,0,0)＝????32
a ，0，a 2. DM →·n ＝????32
a ，0，a 2·(－1，3，3)＝0，∴DM →⊥n . ∵DM ?平面PCB ，∴DM ∥平面PCB .
“ 量无论无论是 和具有规具有规律性。 时有时会显得特别探索空间平面法向量的求法与方向的判定 问题，都离不开平面的 成角 ” ” 距离 “ 问题，还是 杨玉春 (铜仁市第二中学，贵州铜仁 554300) 向量具有一套完整的运算体系，可以把几何图形的性质 转化为向量运算，变抽象的逻辑推理为具体的向量运算，实 现了“数”与“形”的结合。因此用量知识解决某些立体几 何问题，有时会显得特别简洁和具有规律性。但用向量无论 是解决“成角”问题，还是“距离”问题，都离不开平面的 法向量，可以说平面的法向量是用向量来解决立几问题的瓶 颈，平面法向量的正确求出是关键。而用向量来求二面角的 大小时，往往还需判断法向量的方向，是指向二面角内还是 指向二面角外。本文介绍空间平面法向量的求法与方向的判 定。 一、平面法向量的求法 1、几何法：如图(1)，若λ⊥α，在λ上任取两点A、B， 则或即为平面α的一个法向量。 2、待定系数法(两种设法)：
（1）设n=(1,λ,μ)或n=(λ，1，μ)或n=(λ, μ，1)是平面α的一个法向量。a ，b 是平面α内任一两个不共线向量，由 n ·a=0 n ·b=0求出λ，μ即可。 （2）或设n=（x ，y ，z ）是平面a=0 ·b=0 得出关于x 、y 、z 的三元一次方程组的一个解即为平面α的一个法向量。 3、利用空间平面方程：Ax+By+Cz+D=0(其中：A 、B 、C 不同时为零)，则n=（A ，B ，C ）为平面的一个法向量。 4利用向量的向量积：如图(1)，设a=(111,,x y z ),b=（223,,x y z ） 则a ×b= =( ,| |,|) =(122121121221,,y z y z x z x z x y x y ---) 取n=(a ×b )(λ∈R 且λ≠0)是平面α的法向量。 二、空间平面法向量方向的判定 1、由几何法求出的法向量，此时方向看图即可。 2、由向量的向量积求出的法向量，用“右手定则”可确定a ×b 的方向，取n=λ(a ×b),当＞0时，则n 方向与向
平面向量及空间向量高考数学专题训练（四） 一、选择题（本大题共12小题，每小题分6，共72分） 1．设-=1(a cos α,3), (=b sin )3,α,且a ∥b ， 则锐角α为（ ） A. 6π B. 4π C. 3 π D. 125π 2．已知点)0,2(-A 、)0,3(B ，动点2),(x y x P =?满足，则点P 的轨迹是（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 3．已知向量值是相互垂直，则与且k b a b a k b a -+-==2),2,0,1(),0,1,1(（ ） A. 1 B. 51 C. 53 D. 5 7 4．已知b a ,是非零向量且满足的夹角是与则b a b a b a b a ,)2(,)2(⊥-⊥-（ ） A. 6π B. 3 π C. 32π D. 65π 5．将函数y=sinx 的图像上各点按向量=a （2,3 π ）平移，再将所得图像上各点的横坐标 变为原来的2倍，则所得图像的解析式可以写成（ ） A.y=sin(2x+ 3π)+2 B.y=sin(2x －3 π )－2 C.y=(321π+x )－2 D.y=sin(321π-x )+2 6．若A,B 两点的坐标是A(3φcos ,3φsin ,1),B(2,cos θ2,sin θ1),||的取值范围是( ) A. [0,5] B. [1,5] C. (1,5) D. [1,25] 7．从点A(2,－1,7)沿向量)12,9,8(-=a 方向取线段长|AB|=34,则点B 的坐标为（ ） A.(-9,-7,7) B. (-9,-7,7) 或(9,7,-7) C. (18,17,-17) D. (18,17,-17)或(-18,-17,17) 8．平面直角坐标系中，O 为坐标原点， 已知两点A(3, 1)， B(-1, 3)，若点C 满足 =OB OA βα+, 其中α、β∈R 且α+β=1, 则点C 的轨迹方程为 ( ) A.01123=-+y x B.5)2()1(2 2 =-+-y x C. 02=-y x D. 052=-+y x 9．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于m ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则?的值为 （ ） A.2 m B. 212m C. 4 1 2m D. 432m 10．O 为空间中一定点，动点P 在A,B,C 三点确定的平面内且满足)()(-?-=0,
平面向量 【基本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】 1.向量：既有大小又有方向的量。记作：AB 或a 。 2.向量的模：向量的大小（或长度），记作：||AB 或||a 。 3.单位向量：长度为1的向量。若e 是单位向量，则||1e =。 4.零向量：长度为0的向量。记作：0。【0方向是任意的，且与任意向量平行】 5.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。 6.相等向量：长度和方向都相同的向量。 7.相反向量：长度相等，方向相反的向量。AB BA =-。 8.三角形法则： AB BC AC +=；AB BC CD DE AE +++=；AB AC CB -=（指向被减数） 9.平行四边形法则： 以,a b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b +，a b -。 10.共线定理：//a b a b λ=?。当0λ>时，a b 与同向；当0λ<时，a b 与反向。 11.基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。 12.向量的模：若(,)a x y =，则2||a x y =+，22||a a =，2||()a b a b +=+ 13.数量积与夹角公式：||||cos a b a b θ?=?； cos ||||a b a b θ?= ? 14.平行与垂直：1221//a b a b x y x y λ?=?=；121200a b a b x x y y ⊥??=?+= 题型1.基本概念判断正误： （1）共线向量就是在同一条直线上的向量。 （2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。 （3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。 （4）四边形ABCD 是平行四边形的条件是AB CD =。 （5）若AB CD =，则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形。 （6）若a 与b 共线， b 与c 共线，则a 与c 共线。 （7）若ma mb =，则a b =。
向量公式大全 『ps.加粗字母表示向量』1.向量加法 羈AB+BC=AC a+b=(x+x'，y+y') a+0=0+a=a 运算律： 交换律：a+b=b+a 结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 2.向量减法 罿AB-AC=CB 即“共同起点，指向被减”
如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0 a=(x,y) b=(x',y') 则a-b=(x-x',y-y'). 3.数乘向量 实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣?∣a∣ 当λ＞0时，λa与a同方向 当λ＜0时，λa与a反方向 当λ=0时，λa=0，方向任意 当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0 『ps.按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0』实数λ
向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩 当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上伸长为原来的∣λ∣倍 当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上缩短为原来的∣λ∣倍 数乘运算律: 结合律：(λa)?b=λ(a?b)=(a?λb) 向量对于数的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa. 数对于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb. 数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ 4.向量的数量积
定义：已知两个非零向量a,b作OA=a,OB=b,则∠AOB称作a和b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π 两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量，记作a?b若a、b不共线，则a?b=|a|?|b|?c os〈a，b〉若a、b共线，则a?b=+-∣a∣∣b∣ 向量的数量积的坐标表示：a?b=x?x'+y?y' 向量数量积运算律 a?b=b?a(交换律) (λa)?b=λ(a?b)(关于数乘法的结合律) (a+b)?c=a?c+b?c(分配律) 向量的数量积的性质 a?a=|a|2 a⊥b〈=〉a?b=0
平面向量与空间向量知识点对比 内容 平面向量 空间向量 定义 既有大小，又有方向 既有大小，又有方向 表示方法 （1）用有向线段AB 表示； （2）用c b a ,,或a,b,c 表示 模 向量的长度，用|AB |或|a |表示 零向量 长度为0的向量，记为a 单位向量 模为1的向量叫做单位向量 相等向量 长度相等，方向相同的向量叫做相等向量 相反向量 长度相等，方向相反的向量叫做相反向量；例如：AB 的相反向量是AB -或者BA 夹角范围 0≤θ≤π 0≤θ≤π 数乘 平面向量a 与一个实数的乘积是一个向量，记作λ a. 空间向量a 与一个实数的乘积是一个向量，记作λ a. 共线向量定理 向量()0≠a a 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使a b λ= 向量() 0≠a a 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使a b λ= 向量共线 （共面） 向量( ) 0≠a a 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使a b λ= 向量p 与a 与b 共面的充要条件是存在有序实数对（x,y ），使 b y a x p += 点共线（共面） OB OA OC μ+=若，且1=+μλ，则A 、B 、C 、三点共线 OC z y x ++=OB OA OP 若，且1=++z y x ，则P 、A 、B 、C 、四 点共面 数量积 θcos b a b a ?=? θcos b a b a ?=?
运算律满足交换律、分配律，不满足三个向量连乘的结合律 向量的运算 线性运算坐标运算线性运算坐标运算 加法 三角形法则:首尾相连首尾连；例 如：AC BC AB= + 平行四边形法则：同起点，对角线 () 2 1 2 1 ,y y x x b a+ + = + 三角形法则:首尾相连首尾 连；例如：AC BC AB= + () 2 1 2 1 2 1 , ,z z y y x x b a+ + + = + 减法 三角形法则:同起点，连终点，指 向被减向量；例如：CB AC AB= + () 2 1 2 1 ,y y x x b a- - = - 三角形法则:同起点，连终点， 指向被减向量；例如： CB AC AB= + () 2 1 2 1 2 1 , ,z z y y x x b a- - - = - 数乘 倍的向量 的 ），长度为 或者相反（ ） 方向相同（ 表示与 x a x x a a x < > () 1 1 ,y x aλ λ λ= 倍的向量 的 ），长度为 或者相反（ ） 方向相同（ 表示与 x a x x a a x < > () 1 1 ,y x aλ λ λ= 数量积 模 夹角 平行 1221 //0 a b a b x y x y λ ?=?-= 2 1 2 1 2 1 , , //z z y y x x b a b aλ λ λ λ= = = ? = ? cos a b a bθ ?=cos a b a bθ ?= 1212 a b x x y y ?=+ 121212 a b x x y y z z ?=++ 1122 (,)(,), a x y b x y == 若，则有 111222 (,,)(,,) a x y z b x y z == 若，，则有 a a a =?22 11 a x y =+a a a =?222 111 a x y z =++ cos a b a b θ ? =1212 2222 1122 cos x x y y x y x y θ + = ++ cos a b a b θ ? =121212 222222 111222 cos x x y y z z x y z x y z θ ++ = ++++ (0) a b b λ =≠111222 222 x y z x y z x y z ==≠ （） (0) a b b λ =≠ 11 22 22 x y x y x y =≠ （）
向量公式汇总 平面向量 1、向量的加法 向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。 AB+BC=AC。 a+b=(x+x'，y+y')。 a+0=0+a=a。 向量加法的运算律： 交换律：a+b=b+a； 结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。 2、向量的减法 如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0 AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减” a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y'). 3、数乘向量 实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣∣a∣。 当λ＞0时，λa与a同方向； 当λ＜0时，λa与a反方向； 当λ=0时，λa=0，方向任意。 当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。 注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。
实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。 当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍； 当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍。 数与向量的乘法满足下面的运算律 结合律：(λa)b=λ(ab)=(aλb)。 向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa. 数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb. 数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。 4、向量的的数量积 定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π 定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作ab。若a、b不共线，则ab=|a||b|cos〈a，b〉；若a、b共线，则ab=+-∣a∣∣b∣。 向量的数量积的坐标表示：ab=xx'+yy'。 向量的数量积的运算律 ab=ba（交换律）； (λa)b=λ(ab)(关于数乘法的结合律)； （a+b)c=ac+bc（分配律）；
状元堂一对一个性化辅导教案 教师张敏科目数学时间2013 年6 月4日 学生董洲年级高二学校德阳西校区授课内容空间法向量求法及其应用立体几何知识点与例题讲解 难度星级★★★★ 教学内容 上堂课知识回顾（教师安排）： 1.平面向量的基本性质及计算方法 2.空间向量的基本性质及计算方法 本堂课教学重点： 1.掌握空间法向量的求法及其应用 2.掌握用空间向量求线线角，线面角，面面角及点面距 3.熟练灵活运用空间向量解决问题 得分：
平面法向量的求法及其应用 一、 平面的法向量 1、定义：如果α⊥→ a ，那么向量→ a 叫做平面α的法向量。平面α的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。 2、平面法向量的求法 方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中，设平面α的法向量(,,1)n x y =[或(,1,)n x z =，或(1,,)n y z =]，在平面α内任找两个不共线的向量,a b 。由n α⊥，得0n a ?=且0n b ?=，由此得到关于,x y 的方程组，解此方程组即可得到n 。 二、 平面法向量的应用 1、 求空间角 (1)、求线面角：如图2-1，设→ n 是平面α的法向量，AB 是平面α的一条斜线，α∈A ，则AB 与平面α所成的角为： 图2-1-1:.| |||arccos 2,2 →→→ →→ →??->= <-= AB n AB n AB n π π θ 图2-1-2:2| |||arccos 2,π π θ-??=->=<→ →→ → → → AB n AB n AB n (2)、求面面角:设向量→ m ，→ n 分别是平面α、β的法向量，则二面角βα--l 的平面角为： θ β α → m 图2-2 → n θ → m α 图2-3 → n β | ,cos |sin ><=→ →AB n θA B α 图2-1-2 θ C → n 图2-1-1 α θ B → n A C
第三章空间向量与立体几何 §3.1空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其加减运算 师：这节课我们学习空间向量及其加减运算，请看学习目标。 学习目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法； ⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律； ⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． 师：在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了平面向量的一些知识，现在我们一起来复习。（不要翻书） （在黑板或背投上呈现或边说边写） 1、在平面中，我们把具有__________________的量叫做平面向量； 2、平面向量的表示方法：
①几何表示法：_________________________ ②字母表示法：_________________________ （注意：向量手写体一定要带箭头） 3、平面向量的模表示_________________，记作____________ 4、一些特殊的平面向量： ①零向量：__________________________，记作___（零向量的方向具有任意性） ②单位向量：______________________________ （强调：都只限制了大小，不确定方向） ③相等向量：____________________________ ④相反向量：____________________________ 5、平面向量的加法： 6、平面向量的减法： 7、平面向量的数乘：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和 方向规定如下： (1)|λa|＝|λ||a| (2)当λ＞0时，λa与a同向； 当λ＜0时，λa与a反向； 当λ＝0时，λa＝0. 8、向量加法和数乘向量满足以下运算律 加法交换律：a＋b＝b＋a 加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c） 数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb 数乘结合律：λ（aμ）=a) (λμ [师]：刚才我们复习了平面向量，那空间向量会是怎样，与平面向量有怎样的区别和联系呢?请同学们阅读书P84-P86.（5分钟） [师]：对比平面向量，我们得到空间向量的相关概念。（在刚复习的黑板或幻灯片上，只需将平面改成空间） [师]：空间向量与平面向量有什么联系？ [生]：向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．因此我们说空间任意两个向量是共面的．所以凡涉及 空间两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们。
高中数学空间向量之--平面法向量的求法及其应用 平面的法向量 仁定义：如果a _ ：，那么向量a 叫做平面二的法向量。平面.：＞ 的法向量共有两大类(从方向上分) ，无 数条。 2、平面法向量的求法 斗 ■ 4 方法一(内积法)：在给定的空间直角坐标系中， 设平面「的法向量n =(x,y,1)［或n =(x,1,z)，或n =(1yZ ］， 在平面:内任找两个不共线的向量 a,b 。由n _ ：?，得n a = 0且n b = 0，由此得到关于 x, y 的方程组，解此 i 方程组即可得到n 。 方法二：任何一个 x, y, z 的一次次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是 Ax By Cz ^0 (代B,C 不同时为0)，称为平面的一般方程。其法向量 n -(A, B,C)；若平面与3个坐 标轴的交点为R(a,0,0), P 2(0,b,0), P 3(0,0, c),如图所示，则平面方程为?上 ］--1,称此方程为平面的截距 a b c 式方程，把它化为一般式即可求出它的法向量。 方法三(外积法)：设 ，.为空间中两个不平行的非零向量，其外积 a b 为一长度等于|a||b|sinr , ( 9为 ..,.两者交角，且Ou :::二)，而与..，.皆垂直的向量。通常我们采取「右手定则」，也就是右手四指由 .. 例 1、 已知，al(2,1,0),b'(-1,2,1), T T —f —f 试求(1): a^b ； (2)： b 汉a. T T T T Key: (1) a b =(1,-2,5)；⑵ b a =(-1,2,5) 例2、如图1-1,在棱长为2的正方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1中, 7 T T T 的方向转为 匸的方向时，大拇指所指的方向规定为a b 的方向 ^( x i ,y i ,z i ),^(x 2, r 「 T T 丫2二2),则:a b = Z 2 X 1乙 X 2 Z 2 X 1 X 2 y 1 y 2 (注：1、二阶行列式 =ad —cb ； d 2、适合右手定 则。 x, y, z 的一次方程。
常用的一些矢量运算公式 1.三重标量积 如a ，b 和c 是三个矢量，组合 ()a b c ??叫做他们的三重标量积。三重标量积等于这三 个矢量为棱边所作的平行六面体体积。在直角坐标系中，设坐标轴向的三个单位矢量标记为 (),,i j k ，令三个矢量的分量记为()()1 2 3 1 2 3 ,,,,,a a a a b b b b 及()1 2 3 ,,c c c c 则有 ()() 123 123 1 2 3123 123 123 c c c i jk a b c a a a c i c j c k a a a b b b b b b ??=?++= 因此，三重标量积必有如下关系式： ()()()a b c b c a c a b ??=??=??即有循环法则成立，这就是说不改变三重标量积中三个矢量顺序的组合，其结果相等。 2.三重矢量积 如a ，b 和c 是三个矢量，组合 ( ) a b c ??叫做他们的三重标量积，因有 ()()()a b c a c b c b a ??=-??=?? 故有中心法则成立，这就是说只有改变中间矢量时，三重标量积符号才改变。三重标量积有一个重要的性质（证略）:() ()()a b c a b c a c b ??=-?+? （1-209） 将矢量作重新排列又有：()()() a b c b a c b a c ?=??+? （1-210） 3.算子（ a ? ） ? 是哈密顿算子，它是一个矢量算子。（ a ? ）则是一个标量算子，将它作用于标量φ ，即 ()a φ?是φ在a 方向的变化速率的a 倍。如以无穷小的位置矢量 d r 代替以上矢量a ，则 ()dr φ ?是φ在位移方向 d r 的变化率的 d r 倍，即 d φ 。 () ()d dr dr φφφ=?=? 若将 () dr ?作用于矢量v ，则 ()dr v ?就是v 再位移方向 d r 变化率的 d r 倍，既为速度矢量 的全微分() dv d r v =? 应 用 三 重 矢 量 积 公 式 （ 1-209 ） ()()() 00()()()() a b a b a b b a a b b a a b ???=???+???=??-??-??+??
学习必备 欢迎下载 向量法求空间点到面距离（教案） 新课导入： 我们在路上行走时遇到障碍物一般会想到将障碍物挪开，那还有别的方法吗？ 对！绕过去。在生活中我们都知道转弯，那么在学习上我们不妨也让思维转个弯，绕过难点 用另一种方法解决。 我们知道要想求空间一点到一个面的距离，就必须要先找到这个距离，而找这个距离恰恰是 一个比较难解决的问题，我们今天就让思维转个弯，用向量法解决这个难题。 一、复习引入： 1、 空间中如何求点到面距离？ 方法1、直接做或找距离； 方法2、；等体积 方法3、空间向量。 2、向量数量积公式 a · b =a b cos θ（θ为a 与b 的夹角） 二、向量法求点到平面的距离 教材分析 重点: 点面距离的距离公式应用及解决问题的步骤 难点: 找到所需的点坐标跟面的法向量 教学目的 1. 能借助平面的法向量求点到面、线到面、面到面、异面直线间的距离。 2. 能将求线面距离、面面距离问题转化为求点到面的距离问题。 3. 加强坐标运算能力的培养，提高坐标运算的速度和准确性。
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学习必备 欢迎下载 若AB 是平面α的任一条斜线段，则在BOA Rt ? ABO COS ∠? ? 如果令平面的法向量为n ，考虑到法向量的方向，可以得到点B 到平面的距离为 BO 因此要求一个点到平面的距离，可以分为以下三步：（1）找出从该点出发的平面的任一 条斜线段对应的向量（2）求出该平面的一个法向量（3）求出法向量与斜线段对应的向量的 数量积的绝对值再除以法向量的模 思考、已知不共线的三点坐标,如何求经过这三点的平面的一个法向量? 例1、在空间直角坐标系中,已知(3,0,0),(0,4,0)A B ,(0,0,2)C ,试求平面ABC 的一个法向量. 解:设平面ABC 的一个法向量为(,,)n x y z = 则n AB n AC ⊥⊥，.∵(3,4,0)AB =-,(3,0,2)AC =- ∴(,,)(3,4,0)0(,,)(3,0,2)0x y z x y z ?-=???-=?即340320x y x z -+=??-+=? ∴3432y x z x ?=????=?? 取4x =,则(4,3,6)n = ∴(4,3,6)n =是平面ABC 的一个法向量. 例2、如图，已知正方形ABCD 的边长为4，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GC ⊥平面ABCD ，且GC ＝2，求点B 到平面EFG 的距离. 解：如图，建立空间直角坐标系C －xyz ． 由题设C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)， D(4,0,0)，E(2,4,0)， F(4,2,0)，G(0,0,2)． (2,2,0),(2,4,2),B (2,0,0)EF EG E =-=--=设平面EFG 的一个法向量 为(,,)n x y z = 2202420 11(,,1)33 n EF n EG x y x y n ⊥⊥-=?∴?--+=?∴=，
56. 你对向量的有关概念清楚吗？ （1）向量——既有大小又有方向的量。 （）向量的模——有向线段的长度，2||a → （）单位向量，3100|||| a a a a →→ → → == （）零向量，4000→ → =|| （）相等的向量长度相等方向相同5???? =→→ a b 在此规定下向量可以在平面（或空间）平行移动而不改变。 （6）并线向量（平行向量）——方向相同或相反的向量。 规定零向量与任意向量平行。 b a b b a → → → → → → ≠?=∥存在唯一实数，使()0λλ （7）向量的加、减法如图： OA OB OC →+→=→ OA OB BA →-→=→ （8）平面向量基本定理（向量的分解定理） e e a → → → 12，是平面内的两个不共线向量，为该平面任一向量，则存在唯一
实数对、，使得，、叫做表示这一平面内所有向量λλλλ12112212a e e e e →→→→→ =+ 的一组基底。 （9）向量的坐标表示 i j x y →→ ，是一对互相垂直的单位向量，则有且只有一对实数，，使得 ()a x i y j x y a a x y → →→→→ =+=，称，为向量的坐标，记作：，，即为向量的坐标() 表示。 ()()设，，，a x y b x y → → ==1122 ()()()则，，，a b x y y y x y x y → →±=±=±±11121122 ()()λλλλa x y x y →==1111，， ()()若，，，A x y B x y 1122 ()则，AB x x y y → =--2121 ()()||AB x x y y A B →= -+-212212，、两点间距离公式 57. 平面向量的数量积 （）··叫做向量与的数量积（或内积）。1a b a b a b →→→→→→ =||||cos θ []θθπ为向量与的夹角，，a b → → ∈0
平面向量知识点总结归纳 1、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为0的向量． 单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量． 2、向量加法运算： ⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+ ． ⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+ ；②结合律：()() a b c a b c ++=++ ； ③00a a a +=+= ． ⑸坐标运算：设()11,a x y = ，()22,b x y = ，则()1212,a b x x y y +=++ ． 3、向量减法运算： ⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设()11,a x y = ，()22,b x y = ，则()1212,a b x x y y -=-- ． b a C B A a b C C -=A -AB =B
设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y AB =-- ． 4、向量数乘运算： ⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ ． ①a a λλ= ； ②当0λ>时，a λ 的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ 的方向与a 的方向相 反；当0λ=时，0a λ= ． ⑵运算律：①()()a a λμλμ= ；②()a a a λμλμ+=+ ；③() a b a b λλλ+=+ ． ⑶坐标运算：设(),a x y = ，则()(),,a x y x y λλλλ== ． 5、向量共线定理：向量() 0a a ≠ 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使 b a λ= ． 设()11,a x y = ，()22,b x y = ，其中0b ≠ ，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、 () 0b b ≠ 共线． 6、平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于 这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+ ．（不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基底） 7、分点坐标公式：设点P 是线段12P P 上的一点，1P 、2P 的坐标分别是()11,x y ， ()22,x y ，当12λP P =PP 时，点P 的坐标是1212,11x x y y λλλ λ++?? ?++??． 8、平面向量的数量积： ⑴() cos 0,0,0180a b a b a b θθ?=≠≠≤≤ ．零向量与任一向量的数量积为0． ⑵性质：设a 和b 都是非零向量，则①0a b a b ⊥??= ．②当a 与b 同向时， a b a b ?= ；当a 与b 反向时，a b a b ?=- ；22a a a a ?== 或a ．③ a b a b ?≤ ． ⑶运算律：①a b b a ?=? ；②()()()a b a b a b λλλ?=?=? ；③() a b c a c b c +?=?+? ． ⑷坐标运算：设两个非零向量()11,a x y = ，()22,b x y = ，则1212a b x x y y ?=+ ．
高中数学空间向量之--平面法向量的求法及其应用 一、 平面的法向量 1、定义：如果α⊥→ a ，那么向量→ a 叫做平面α的法向量。平面α的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。 2、平面法向量的求法 方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中，设平面α的法向量(,,1)n x y =[或(,1,)n x z =，或( 1,,)n y z =]，在平面α内任找两个不共线的向量,a b 。由n α⊥，得0n a ?=且0n b ?=，由此得到关于,x y 的方程组，解此方程组即可得到n 。 方法二：任何一个z y x ,,的一次次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是z y x ,,的一次方程。 0=+++D Cz By Ax )0,,(不同时为C B A ，称为平面的一般方程。其法向量),,(C B A n =→ ;若平面与3个坐 标轴的交点为),0,0(),0,,0(),0,0,(321c P b P a P ,如图所示,则平面方程为:1=++c z b y a x ,称此方程为平面的截距式方程，把它化为一般式即可求出它的法向量。 方法三(外积法): 设 , 为空间中两个不平行的非零向量，其外积→ → ?b a 为一长度等于θsin ||||→ → b a ，（θ 为 ,两者交角，且πθ<<0），而与 , 皆垂直的向量。通常我们采取「右手定则」，也就是右手四指由 的方向转为 的方向时，大拇指所指的方向规定为→→?b a 的方向,→ →→→?-=?a b b a 。 :),,,(),,,(222111则设z y x b z y x a ==→ → ??=?→ → 21y y b a ,2 1z z 21x x - ,21z z 21x x ???? 21y y （注：1、二阶行列式:c a M = cb ad d b -=；2、适合右手定则。 ） 例1、 已知，)1,2,1(),0,1,2(-==→ → b a ， 试求（1）：;→ → ?b a （2）：.→ →?a b Key: (1) )5,2,1(-=?→ → b a ;)5,2,1()2(-=?→ → a b 例2、如图1-1,在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中， 求平面AEF 的一个法向量n 。 )2,2,1(:=?=→ →→AE AF n key 法向量
平面向量公式 1.向量三要素：起点，方向，长度 2.向量的长度=向量的模 3.零向量：? ??方向任意长度为 .20.1 4.相等向量：?? ?长度相等 方向相同 .2.1 5.向量的表示：AB ()始点指向终点 6.向量的线性加减运算法则： ()()???? ?=-=+终点指向始点 始点指向终点， CB AC AB AC BC AB ,21 7.实数与向量的积： ()()a a λμμλ=.1 ()a a a μλμλ+=+.2 ()b a b a λλλ+=+.3 4.()y x a λλλ,=? 5.a b b a ?=? 6.()()b a b a ??=?λλ 7.()c b c a c b a ?+?=?+ 注；()()c b a c b a ≠? 8.定理：向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数 λ，使得: a b λ= 9.平面向量基本定理：如果e 1 ，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面 : e e a 2211λλ+= 10.坐标的运算： ()1?? ? ? ?+ =y x a ?y x a 22 +=
()2已知；A ()y x 11+，B () y x 22+?() ( )() ?? ???+=--=--y y x x y y x x AB AB 1212.2,.12 2 1212 ()3已知；()y x a 11,= ，()y x b 22,= () ()?? ???+?=?±±=±?和它们对应坐标的乘积的两个向量的数量积等于y y x x y y x x b a b a 21212 121.2,.1 ()4已知；()y x a 11,=//()y x b 22,=01 2 2 1 =?-?y x y x (横纵交错乘积之差为0） ()5已知；已知；()y x a 11,=⊥ ()y x b 2 2 ,= 02 1 2 1 =?+??y y x x （对应坐标乘积之和为0） 10.数量积b a ?等于a 的长度a 与b 在a 的方向上的投影θcos ?b 的乘积： θcos ??=?b a b a ()的夹角与为b a θ 变形?b a b a ?= θcos 11.线段的定比分点： 设()x x p 211, ，()y x p 222, ，P ()y x ,是不同于直线p 2 1,上 的任意两点；即有： p p p p 21λ=?? ? ???外在点内 在点p p p p p p 212 100λλ （其中p 为定比分点；λ为定比。） （1）.线段的定比分点“定比”λ=p p p p 2 1 （终点 分点分点 始点→→）
空间平面法向量求法 一、法向量定义 定义：如果，那么向量叫做平面的法向量。平面的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。 二、平面法向量的求法 1、内积法 在给定的空间直角坐标系中，设平面的法向量=（x,y,1）[或=（x,1,z)或=（1，y,z）]， 在平面内任找两个不共线的向量,。由，得·=0且·=0，由此得到关于x,y的 方程组，解此方程组即可得到。 2、 任何一个x,y,z的一次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是x,y,z的一次方程。 Ax+By+Cz+D=0(A,B,C不同时为0)，称为平面的一般方程。其法向量=(A,B,C);若平面与3 个坐标轴的交点为P(a,0,0),P(0,b,0),P(0,0,c),则平面方程为:,称此方程为平面的截距式方程，把它化为一般式即可求出它的法向量。 3、外积法 设,为空间中两个不平行的非零向量，其外积×为一长度等于||||sinθ，（θ为两 者交角，且0<θ<π，而与,, 皆垂直的向量。通常我们采取“右手定则”，也就是右手四指 由的方向转为的方向时，大拇指所指的方向规定为×的方向,×=-×。 设=(x1,y1,z1),=(x2,y2,z2),则×= （注：1、二阶行列式:；2、适合右手定则。） Code public double[] GetTriangleFunction(ESRI.ArcGIS.Geometry.IPoint point1, ESRI.ArcGIS.Geometry.IPoint point2, ESRI.ArcGIS.Geometry.IPoint point3) { try { double a = 0, b = 0,c=0; //方程参数
平面向量与空间向量 平面向量及其运算 一、知识导学1.模(长度）：向量AB 的大小,记作|AB ｜.长度为０的向量称为零向量，长度等于１个单位长度的向量，叫做单位向量。 2。平行向量:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，又叫做共线向量。 3.相等向量:长度相等且方向相同的向量。 4.相反向量：我们把与向量a 长度相等,方向相反的向量叫做a 的相反向量。记作—a 。 5。向量的加法：求两个向量和的运算. 已知a ，b 。在平面内任取一点，作AB =a ，=，则向量叫做与b 的和.记作a +b 。 6.向量的减法:求两个向量差的运算。 已知a ，b 。在平面内任取一点O,作=a ，=b ，则向量叫做a 与b 的差。记作a -b 。 7.实数与向量的积： （1）定义：实数λ与向量a 的积是一个向量,记作λa ，并规定：
①λa 的长度｜λa |=｜λ｜·｜a |； ②当λ＞0时,λa 的方向与a 的方向相同； 当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反； 当λ＝0时,λa =0 （2)实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数,则 ①λ(μa )=（λμ）a ②（λ+μ)a =λa +μa ③λ（a +）=λa +λ 8.向量共线的充分条件:向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数
λ，使得b ＝λa 。 另外，设a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），则a //b ?x 1y 2－x 2y 1=0 9。平面向量基本定理:如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2使 a ＝λ11e ＋λ22e ，其中不共线向量1e 、2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。 10.定比分点 设P 1，P 2是直线l 上的两点，点P 是不同于P 1，P 2的任意一点则存在一个实数λ,使21P P =λ21P P ，λ叫做分有向线段所成的比.若点P 1、P 、P 2的坐标分别为（x 1，y 1） ，（x ，y)， (x2，y2),则有 特别当λ=1，即当点P 是线段P 1P 2的中点时，有?? ?? ? +=+=222 1 21y y y x x x 11.平面向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量|a ｜｜b |cosθ叫做a 与b 的数量积（或内积),记作a ·b ，即a ·b ＝|a ｜|b ｜cosθ 规定:零向量与任一向量的数量积是0。 （2）几何意义:数量积a ·b 等于a 的长度｜a ｜与b 在a 的方向上的投影｜b ｜cosθ 的乘积。 (3）性质:设a ，b 都是非零向量，e 是与b 方向相同的单位向量，θ是a 与e 的夹角，则e ·a ＝a ·e ＝｜a ｜cosθ ，a ⊥b ?a ·b ＝0 当a 与b 同向时，a ·b ＝|a ｜|b ｜ 当a 与b 反向时，a ·b ＝－|a ｜｜b ｜ 特别地，a ·a ＝｜a ｜2或|a |＝a a ?cosθ＝b a b a ??｜a · b |≤｜a ｜|b | （4）运算律：a ·b ＝b ·a (交换律)(λa )·b ＝λ(b ·a ）＝a ·(λb ） （a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c
1、向量的的数量积 定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π 定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a?b。若a、b不共线，则a?b=|a|?|b|?cos〈a，b〉；若a、b共线，则a?b=+-∣a∣∣b∣。 向量的数量积的坐标表示：a?b=x?x'+y?y'。 向量的数量积的运算律 a?b=b?a（交换律）； (λa)?b=λ(a?b)(关于数乘法的结合律)； （a+b)?c=a?c+b?c（分配律）； 向量的数量积的性质 a?a=|a|的平方。 a⊥b 〈=〉a?b=0。 |a?b|≤|a|?|b|。 向量的数量积与实数运算的主要不同点 1、向量的数量积不满足结合律，即：(a?b)?c≠a?(b?c)；例如：(a?b)^2≠a^2?b^2。 2、向量的数量积不满足消去律，即：由a?b=a?c (a≠0)，推不出b=c。 3、|a?b|≠|a|?|b| 4、由|a|=|b| ，推不出a=b或a=-b。 2、向量的向量积 定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量，记作a×b。若a、b不共线，则a×b的模是：∣a×b∣=|a|?|b|?sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b共线，则a×b=0。向量的向量积性质： ∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。 a×a=0。 a‖b〈=〉a×b=0。 向量的向量积运算律 a×b=-b×a； （λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）； （a+b）×c=a×c+b×c. 注：向量没有除法，“向量AB/向量CD”是没有意义的。 3、向量的三角形不等式 1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣； ①当且仅当a、b反向时，左边取等号； ②当且仅当a、b同向时，右边取等号。 2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。 ①当且仅当a、b同向时，左边取等号； ②当且仅当a、b反向时，右边取等号。 4、定比分点