限时练(一) (限时：40分钟)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1.已知集合A ＝{x |x <1}，B ＝{x |3x <1}，则( ) A.A ∩B ＝{x |x <0} B.A ∪B ＝R C.A ∪B ＝{x |x >1}
D.A ∩B ＝?
解析 A ＝{x |x <1}，B ＝{x |3x <1}＝{x |x <0}，∴A ∩B ＝{x |x <0}，A ∪B ＝{x |x <1}. 答案 A
2.设i 为虚数单位，若复数
i
1＋i
的实部为a ，复数(1＋i)2的虚部为b ，则复数z ＝a －b i 在复平面内的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
解析 ∵
i 1＋i ＝i （1－i ）（1＋i ）（1－i ）
＝12＋12i ，∴a ＝12， ∵(1＋i)2＝2i ，∴b ＝2，
则z ＝a －b i 对应点的坐标为? ????
12，－2，位于第四象限.
答案 D
3.王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的( ) A.充分条件 B.必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 “不破楼兰终不还”的逆否命题为：“若返回家乡则攻破楼兰”，所以“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要条件. 答案 B
4.已知f (x )满足?x ∈R ，f (－x )＋f (x )＝0，且当x ≤0时，f (x )＝1
e x ＋k (k 为常数)，则
f(ln 5)的值为()
A.4
B.－4
C.6
D.－6 解析∵f(x)满足?x∈R，f(－x)＋f(x)＝0，
故f(－x)＝－f(x)，则f(0)＝0.
∵x≤0时，f(x)＝1
e x＋k，
∴f(0)＝1＋k＝0，k＝－1，
所以当x≤0时，f(x)＝1
e x－1，
则f(ln 5)＝－f(－ln 5)＝－4.
答案 B
5.某程序框图如图所示，该程序运行后若输出S的值是2，则判断框内可填写()
A.i≤2 015
B.i≤2 016
C.i≤2 017
D.i≤2 018
解析由程序框图，初始值S＝2，i＝1.
循环一次后，S＝－3，i＝2；
循环两次后，S＝－1
2，i＝3；
循环三次后，S＝1
3，i＝4；
循环四次后，S＝2，i＝5；循环五次后，S＝－3，i＝6；…
依次类推，S 的值呈周期性变化，周期为4.
如果i ≤2 015，则循环结束S ＝1
3；如果i ≤2 016，则循环结束S ＝2.因此条件判断框中的条件是“i ≤2 016”. 答案 B
6.下列命题，其中说法错误的是( )
A.双曲线x 22－y 2
3＝1的焦点到其渐近线距离为 3
B.若命题p ：?x ∈R ，使得sin x ＋cos x ≥2，则綈p ：?x ∈R ，都有sin x ＋cos x <2
C.若p ∧q 是假命题，则p ，q 都是假命题
D.设a ，b 是互不垂直的两条异面直线，则存在平面α，使得a ?α，且b ∥α 解析 双曲线x 22－y 2
3＝1的焦点(5，0)到其渐近线3x －2y ＝0的距离为d ＝|3·5－0|
3＋2
＝3，故A 正确.
若命题p ：?x ∈R ，使得sin x ＋cos x ≥2，则綈p ：?x ∈R ，都有sin x ＋cos x <2，B 正确.
若p ∧q 是假命题，则p ，q 中至少有一个为假命题，故C 不正确.
设a ，b 是互不垂直的两条异面直线，由a ，b 是互不垂直的两条异面直线，把它放入长方体中，如图，则存在平面α，使得a ?α，且b ∥α，故D 正确. 答案 C
7.在直角坐标系中，P 点的坐标为? ????
35，45，Q 是第三象限内一点，|OQ |＝1且∠POQ
＝3π
4，则Q 点的横坐标为( ) A.－7210
B.－325
C.－7212
D.－8213
解析 设∠xOP ＝α，则cos α＝35，sin α＝4
5， x Q ＝cos ? ????α＋3π4＝35×? ????－22－4
5×22＝－7210.
答案 A
8.圆O 的半径为3，一条弦|AB |＝4，P 为圆O 上任意一点，则AB →·BP →
的取值范围为( ) A.[－16，0] B.[0，16] C.[－4，20]
D.[－20，4]
解析 以圆心O 为原点，两条互相垂直的直径所在直线为坐标轴，建立如图所示的直角坐标系.设P (x ，y )(－3≤x ≤3)，由题意知x 2＋y 2＝9，A (－2，－5)，B (2，－5)，则AB →·BP →＝(4，0)·(x －2，y ＋5)＝4(x －2)∈[－20，4]. 答案 D
9.若(2x ＋1)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n 的展开式中的各项系数和为243，则a 1＋2a 2＋…＋na n ＝( ) A.405
B.810
C.243
D.64
解析 (2x ＋1)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，两边求导得2n (2x ＋1)n －1＝a 1＋2a 2x ＋…＋na n xn －1，取x ＝1，则2n ×3n －1＝a 1＋2a 2＋…＋na n ，
(2x ＋1)n 的展开式中各项系数和为243，令x ＝1，可得3n ＝243，解得n ＝5. ∴a 1＋2a 2＋…＋na n ＝2×5×34＝810. 答案 B
10.点A ，B ，C ，D 均在同一球面上，且AB ，AC ，AD 两两垂直，且AB ＝1，AC ＝2，AD ＝3，则该球的表面积为( ) A.7π
B.14π
C.7
2π
D.714π3
解析 三棱锥A －BCD 的三条侧棱两两互相垂直，所以把它补为长方体，而长方体的体对角线长为其外接球的直径.所以长方体的体对角线长是12＋22＋32＝14，它的外接球半径是142，外接球的表面积是4π×?
????1422
＝14π. 答案 B
11.将函数f (x )＝4sin 2x 的图象向右平移φ? ?
???0<φ<π2个单位长度后得到函数g (x )
的图象，若对于满足|f (x 1)－g (x 2)|＝8的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π
6，则φ＝( )
A.π6
B.π4
C.π3
D.5π12
解析 由题意知，g (x )＝4sin(2x －2φ)，满足|f (x 1)－g (x 2)|＝8，不妨设此时x 1，x 2分别是函数f (x )和g (x )的最小值点和最大值点.
即f (x 1)＝－4，g (x 2)＝4.则x 1＝3π4＋k 1π(k 1∈Z )，x 2＝? ????
π4＋φ＋k 2π(k 2∈Z )，
|x 1－x 2|＝??????
π2－φ＋（k 1－k 2）π(k 1，k 2∈Z ).
又|x 1－x 2|min ＝π6，0<φ<π2，所以φ＝π
3. 答案 C
12.设函数f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a ，其中a <1，若存在唯一的整数x 0使得f (x 0)<0，则a 的取值范围是( ) A.??????－32e ，1 B.??????
－32e ，34 C.????
??32e ，34
D.????
??32e ，1 解析 因为f (0)＝－1＋a <0，
又x 0是唯一的使f (x )<0的整数，所以x 0＝0. 所以?
??f （－1）≥0，
f （1）≥0.
则???e －
1[2×（－1）－1]＋a ＋a ≥0，e （2×1－1）－a ＋a ≥0，
解得a ≥32e . 又因为a <1，所以3
2e ≤a <1. 答案 D
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把正确的答案填写在各小题的横线上.)
13.若抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点，则p ＝________.
解析 抛物线y 2＝2px (p >0)的准线方程是x ＝－p
2，双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点F 1(－2，0).
因为抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点，所以－p
2＝－2，解得p ＝2 2. 答案 2 2
14.设{a n }是公差为2的等差数列，b n ＝a 2n ，若{b n }为等比数列，则b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋b 5＝________.
解析 ∵{a n }是公差为2的等差数列， ∴a n ＝a 1＋2(n －1)＝a 1＋2n －2，
∵{b n }为等比数列，b n ＝a 2n ，∴b 2
2＝b 1b 3，∴(a 4)2＝a 2·a 8.
因此(a 1＋6)2＝(a 1＋2)(a 1＋14)，解之得a 1＝2. 从而b n ＝a 2n ＝a 1＋2(2n －1)＝2n ＋1，
所以b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋b 5＝22＋23＋24＋25＋26＝124. 答案 124
15.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边.若(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，c ＝3，当ab 取得最大值时，S △ABC ＝________. 解析 ∵(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，c ＝3， ∴(a ＋b )2－c 2＝ab ，得a 2＋b 2＝c 2－ab ＝3－ab . ∵a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号，
∴3－ab ≥2ab ，则ab ≤1，当且仅当a ＝b 时取等号，
∴当ab 取得最大值时，a ＝b ＝1，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－1
2，sin C ＝1－cos 2C ＝32，
故S △ABC ＝12ab sin C ＝12×1×1×32＝3
4. 答案 3
4
16.若直线ax －y －a ＋3＝0将关于x ，y 的不等式组???x －2y ＋5≥0，
x ＋y －1≥0，x －y ＋1≤0
表示的平面
区域分成面积相等的两部分，则z ＝4x －ay 的最大值是________.
解析 直线ax －y －a ＋3＝0化为a (x －1)＋(3－y )＝0，则直线恒过C (1，3).
画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示是一个三角形，三个顶点坐标分别为A(－1，2)，B(3，4)，D(0，1)，
所以C(1，3)是AB的中点.
若直线ax－y－a＋3＝0将区域分成面积相等的两部分，
直线只需经过点D，将点D坐标(0，1)代入ax－y－a＋3＝0，解得a＝2.
z＝4x－ay＝4x－2y，即y＝2x－z
2，经过区域内的点B时，目标函数取得最大值z max＝4×3－2×4＝4.
答案 4