初高中衔接 函数专题复习 专题一 一次函数及其基本性质
一、知识要点及典型例题
1、正比例函数
形如()0≠=k kx y 的函数称为正比例函数，其中k 称为函数的比例系数.
（1）当k>0时，直线y=kx 经过第一、三象限，从左向右上升，即随着x 的增大y 也增大； （2）当k<0时，直线y=kx 经过第二、四象限，从左向右下降，即随着x 的增大y 反而减小.
2、一次函数
形如b kx y +=的函数称为一次函数，其中k 称为函数的比例系数，b 称为函数的常数项. （1）当k>0,b>0,这时此函数的图象经过第一、二、三象限；y 随x 的增大而增大； （2）当k>0,b<0,这时此函数的图象经过第一、三、四象限；y 随x 的增大而增大； （3）当k<0,b>0,这时此函数的图象经过第一、二、四象限；y 随x 的增大而减小； （4）当k<0,b<0,这时此函数的图象经过第二、三、四象限；y 随x 的增大而减小. 例1 在一次函数y ＝(m －3)x m -1＋x ＋3中，符合x ≠0，则m 的值为 . 例2 已知一次函数y =kx +b 的图象经过第一、二、三象限，则b 的值可以是（ ） A 、﹣2
B 、﹣1
C 、0
D 、2
例3 已知一次函数y =kx +b 的图像经过二四象限，如果函数上有点()()1122,,,x y x y ，如果满足12y y >，那么1x 2x .
3、待定系数法求解函数的解析式
（1）一次函数的形式可以化成一个二元一次方程，函数图像上的点满足函数的解析式，亦即满足二元一次方程.
（2）两点确定一条直线，因此要确定一次函数的图像，我们必须寻找一次函数图像上的两个点，列方程组，解方程，最终求出参数k b 、.
例4 已知 一次函数y kx b =+的图象经过M (0，2)，(1，3)两点. （1）求k 、b 的值；
（2）若一次函数y kx b =+的图象与x 轴的交点为A （a ，0），求a 的值.
4、一次函数与方程、不等式结合
（1）一次函数中的比较大小问题，主要考察
（2）一次函数的交点问题 求解两个一次函数的交点，只需通过将两个一次函数联立，之后通过解答一个二元一次方程组即可.
例5 已知一次函数y ax b =+的图象过第一、二、四象限，且与x 轴交于点（2，0），则关于x 的不等式
(1)0a x b -->的解集为（ ）
A 、x <－1
B 、x > -1
C 、x >1
D 、x <1
例6 在同一平面直角坐标系中，若一次函数533-=+-=x y x y 与图象交于点M ，则点M 的坐标（ ） A 、（-1，4）
B 、（-1，2）
C 、（2，-1）
D 、（2，1）
5、一次函数的基本应用问题
例7 如图,正方形ABCD 的边长为a ,动点P 从点A 出发,沿折线A →B 一D → C →A 的路径运动,回到点A 时运动停止.设点P 运动的路程长为x ，AP 长为y ,则y 关于x 的函数图象大致是( )
例8 如图，直线y =kx -6经过点A （4，0），直线y =-3x +3与x 轴交于点B ，且两直线交于点C . （1）求k 的值； （2）求△ABC 的面积.
二、巩固练习
1.已知自变量为x 的函数y=mx +2-m 是正比例函数，则m =________，该函数的解析式为_______.
2.直线y =x －1的图像经过象限是（ ）
A 、第一、二、三象限
B 、第一、二、四象限
C 、第二、三、四象限
D 、第一、三、四象限 3.一次函数y =6x ＋1的图象不经过．．．（ ） A 、第一象限
B 、第二象限
C 、第三象限
D 、第四象限
4.直线1y kx =-一定经过点（ ）.
A 、(1，0)
B 、(1，k )
C 、(0，k )
D 、(0，－1) 5.若点（m ，n ）在函数y =2x +1的图象上，则2m ﹣n 的值是（ ） A 、2 B 、-2 C 、1 D 、-1 6.一次函数24y x =-+的图象与y 轴的交点坐标是（ ） A 、（0，4） B 、（4，0） C 、（2，0） D 、（0，2）
7.若直线42--=x y 与直线b x y +=4的交点在第三象限，则b 的取值范围是（ ） A 、84<<-b B 、04<<-b C 、4-b D 、84≤≤-b 8.结合正比例函数y =4x 的图像回答:当x >1时,y 的取值范围是( ) A 、y =1 B 、1≤y <4 C 、y=4 D 、y >4
9.如图，一次函数y=k 1x+b 1的图象l 1与y=k 2x+b 2的图象l 2相交于点P,则方程
组?
??+=+=2211,b x k y b x k y 的解是（ ）
A 、???=-=3,2y x
B 、???-==2
,3y x C 、???==3,2y x D 、23x y =-??=-?
10.已知一次函数()0≠+=k b kx y 图象过点)2,0(，且与两坐标轴围成的三角形面积为2，求此一次函数的解析式.
11.如图，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点A 的坐标为(－4，0)，点B 的坐标为(0，b )(b >0)． P 是直线AB 上的一个动点，作PC ⊥x 轴，垂足为C ．记点P 关于y 轴的对称点为P '（点P '不在y 轴上），连结PP '，P 'A ，P'C ．设点P 的横坐标为a ．
（1）当b ＝3时，①求直线AB 的解析式； ②若点P'的坐标是(-1，m )，求m 的值； （2）若点P 在第一象限，记直线AB 与P'C 的交点为D ． 当P'D DC =1 3时，求a 的值；
（3）是否同时存在a ，b ，使△P'CA 为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足要求的a ，b 的值；若不存在，请说明理由..
专题二 反比例函数及其基本性质
一、知识要点及典型例题
1、反比例函数的基本形式
一般地，形如x
k y =
（k 为常数，o k ≠）的函数称为反比例函数.x k y =还可以写成kx y =1-
)0(<=
k x k y )0(>=k x
k
y 2、反比例函数中比例系数k 的几何意义
（1）过反比例函数图像上一点，向x 轴作垂线，则以图像上这个点、垂足，原点为顶点的三角形的面积等于反比例函数k 的绝对值的一半.
（2）正比例函数y=k 1x （k 1＞0）与反比例函数y =
x
k
（k ＞0）的图像交于A 、B 两点，过A 点作AC ⊥x 轴，垂足是C ，三角形ABC 的面积设为S ，则S=|k|，与正比例函数的比例系数k 1无关. （3）正比例函数y=k 1x （k 1＞0）与反比例函数y =
x
k
（k ＞0）的图像交于A 、B 两点，过A 点作AC ⊥x 轴，过B 点作BC ⊥y 轴，两线的交点是C ，三角形ABC 的面积设为S ，则S=2|k|，与正比例函数的比例系数k 1无关.
例1 点P 是x 轴正半轴上的一个动点，过P 作x 轴的垂线交双曲线1
y x
=于点Q ，连续OQ ，当点P 沿x 轴正方向运动时，Rt △QOP 的面积（ ）
A 、逐渐增大
B 、逐渐减小
C 、保持不变
D 、无法确定 例2 如图，双曲线(0)k
y k x
=
>与⊙O 在第一象限内交于P 、Q 两点，分别过P 、Q 两点向x 轴和y 轴作
垂线，已知点P 坐标为(1，3)，则图中阴影部分的面积为 .
3、反比例函数的图像问题
（1）反比例函数的图像取决于比例系数.
（2）利用反比例函数的图像与一次函数、一元一次不等式结合 例1 函数y ax a =-+与(0)a
y a x
-=
≠在同一坐标系中的图象可能是（如图所示）
例2 如图，正比例函数12
y x =
的图象与反比例函数k
y x =(0)k ≠在第一象限的图象交于A 点，
过A 点作x 轴的垂线，垂足为M ，已知OAM ?的面积为1. （1）求反比例函数的解析式；
（2）如果B 为反比例函数在第一象限图象上的点（点B 与点A 不重合），且B 点的横坐标为1，在x 轴上求一点P ，使PA PB +最小.
例3 已知一次函数y 1=x －1和反比例函数y 2=2
x 的图象在平面直角坐标系中交于A 、B 两点，当y 1＞y 2时，
x 的取值范围是( )．
A 、x ＞2
B 、－1＜x ＜0
C 、x ＞2，－1＜x ＜0
D 、x ＜2，x ＞0
4、反比例函数的基本应用
例1 如图，等腰梯形ABCD 放置在平面直角坐标系中，已知(2,0)A -、(6,0)B 、(0,3)D ，反比例函数的图象经过点C ．
（1）求C 点坐标和反比例函数的解析式；
（2）将等腰梯形ABCD 向上平移m 个单位后，使点B 恰好落在双曲线上，求m 的值．
例2 如图，点A 在双曲线y
＝
x
k
的第一象限的那一支上，
AB 垂直于x 轴与点B ，点C 在x 轴正半轴上，且OC ＝2AB ，点E 在线段AC 上，且AE ＝3EC ，点D 为OB 的中点，若△ADE 的面积为3，则k 的值为________．
二、巩固练习
1.如图，矩形ABCD 的对角线BD 经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C 在反比例函数
221k k y x
++=的图象上.若点A 的坐标为（－2，－2），则k 的值为( )
A 、1
B 、－3
C 、4
D 、1或－3
2.如图所示，在反比例函数2
(0)y x x
=
>的图象上有点1234,,,P P P P ，它们的横坐标依次为1，2，3，4，分别过些点作x 轴与y 轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为1234,,,S S S S ，则
123S S S ++= .
3.如图,直线l 和双曲线(0)k
y k x
=
>交于A 、B 亮点,P 是线段AB 上的点（不与A 、B 重合）,过点A 、B 、P 分别向x 轴作垂线,垂足分别是C 、D 、E,连接OA 、OB 、OP,设△AOC 面积是S 1、△B OD 面积是S 2、△P OE 面积是S 3、则（ ）
A 、S 1＜S 2＜S 3
B 、 S 1>S 2>S 3
C 、S 1=S 2>S 3
D 、S 1=S 2
4.一次函数)0(≠+=m m x y 与反比例函数
x
m
y =
的图像在同一平面直角坐标系中是（
）
5.如图，反比例函数y 1=k 1x 和正比例函数y 2=k 2x 的图象交于A （-1，-3）、B （1，3）两点，若k 1
x ＞k 2x ，则x
的取值范围是
A 、-1＜x ＜0
B 、-1＜x ＜1
C 、x ＜-1或0＜x ＜1
D 、-1＜x ＜0或x ＞1
6.点A （x 1,y 1）,B(x 2,y 2),C(x 3,y 3)都在反比例函数y =-3
x 的图象上，若x 1 A 、 y 3 B 、y 1 C 、y 3 D 、y 2 7.如图，一次函数y 1=ax +b （a ≠0）与反比例函数y 2=()0≠k x k 的图象交于A （1,4）、B （4,1）两点，若y 1＞y 2，则x 的取值范围是 8.如图，直线y =2x ﹣6与反比例函数()k y=x 0x >的图象交于点A （4，2） ，与x 轴交于点B ． （1）求k 的值及点B 的坐标； （2）在x 轴上是否存在点C ，使得AC =AB ？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由． x y O A B C D 9.已知一次函数m x y +=1的图象与反比例函数x y 6 2=的图象交于A 、B 两点，.已知当1>x 时，21y y >；当10< x y C B A O （1）求一次函数的解析式； （2）已知一次函数在第一象限上有一点C 到y 轴的距离为3，求△ABC 的面积. 10.如图，M 为双曲线3 y = 上的一点，过点M 作x 轴、y 轴的垂线，分别交直线y x m =-+于D 、C 两点，若直线y x m =-+与y 轴交与点A ，与x 轴交与点B ，求A D ·BC 的值. 专题三 二次函数及其基本性质 一、二次函数的基本性质以及二次函数中三大参数的作用 1、二次函数的解析式及其求解 一般的，形如),0(2 是常数、、c b a a c bx ax y ≠++=的函数叫做二次函数，其中，x 是自变量， c b a 、、分别为二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项. （1）一般式 c bx ax y ++=2 .已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式 ()k h x a y +-=2 .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. （3）交点式 已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式 ()()21x x x x a y --=. （4）对称点式 已知图像上有两个关于y 轴对称的点()()k x k x ,,,21，那么函数的方程可以选用对称点式 ()()k x x x x a y +--=21，代入已知的另外的点就可以求出函数的方程来了. 例1 根据题意，求解二次函数的解析式. （1）求过点A(1,0)，B(2,3)，C(3,1)的抛物线的方程 （2）已知抛物线与x 轴交点的横坐标为-2和1 ，且通过点（2，8），求二次函数的解析式． （3）已知二次函数的顶点坐标为（3，－2），并且图象与x 轴两交点间的距离为4，求二次函数的解析式. （4）已知二次方程32=++c bx ax 的两个根是-1和2，而且函数c bx ax y ++=2 过点（3,4），求函数 c bx ax y ++=2的解析式. （5）已知抛物线的顶点坐标为（-1，-2），且通过点（1，10），求此二次函数的解析式. （6）已知二次函数当x ＝2时有最大值3，且它的图象与x 轴两交点间的距离为6，求这个二次函数的解析式. 2、二次函数的基本图像 （1）二次函数2 y ax =的图像 一般地，抛物线2 y ax =的对称轴是y 轴，顶点是原点.当a >0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点，a 越大，抛物线的开口越小；当a <0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点，a 越大，抛物线的开口越大. （2）二次函数2 ()y a x h k =-+的图像 当a >0时，开口向上；当a <0时，开口向下；对称轴是直线x =h ；顶点坐标是（h ，k ）. （3）二次函数2()y a x h k =-+与2y ax =图像的关系 一般地，抛物线2()y a x h k =-+与2 y ax =形状相同，位置不同.把抛物线2 y ax =向上（下）向左（右）平移，可以得到抛物线2 ()y a x h k =-+.平移的方向、距离要根据h ，k 的值来决定.
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