实验五：0/1背包问题的回溯算法设计实验目的：0/1背包问题的回溯算法设计
实验原理：回溯算法设计。
实验要求：基本掌握回溯算法设计的原理方法。熟练掌握VC++中编程实现算法的常用技术和方法。
算法思想:0-1背包问题:给定n种物品和一背包.物品i的重量是wi,其价值为ui,背包的容量为C.问如何选择装入背包的物品,使得装入背包中物品的总价值最大?
分析:
0-1背包是子集合选取问题,一般情况下0-1背包是个NP问题.第一步确定解空间：装入哪几种物品
第二步确定易于搜索的解空间结构：
可以用数组p,w分别表示各个物品价值和重量。
用数组x记录，是否选种物品
第三步以深度优先的方式搜索解空间，并在搜索的过程中剪枝要求：（1）使用C++或TC2.0
（2）上机前要有源代码或流程图。#include
using namespace std;
class Knap
{
friend int Knapsack(int p[],int w[],int c,int n );
public:
void print()
for(int m=1;m<=n;m++) {
cout< cout< }; private: int Bound(int i); void Backtrack(int i); int c;//背包容量 int n; //物品数 int *w;//物品重量数组int *p;//物品价值数组int cw;//当前重量 int cp;//当前价值 int bestp;//当前最优值int *bestx;//当前最优解int *x;//当前解 }; int Knap::Bound(int i) //计算上界 int cleft=c-cw;//剩余容量 int b=cp; //以物品单位重量价值递减序装入物品while(i<=n&&w[i]<=cleft) { cleft-=w[i]; b+=p[i]; i++; } //装满背包 if(i<=n) b+=p[i]/w[i]*cleft; return b; } void Knap::Backtrack(int i) { if(i>n) { if(bestp for(int j=1;j<=n;j++) bestx[j]=x[j]; bestp=cp; } return; } if(cw+w[i]<=c) //搜索左子树 { x[i]=1; cw+=w[i]; cp+=p[i]; Backtrack(i+1); cw-=w[i]; cp-=p[i]; } if(Bound(i+1)>bestp)//搜索右子树{ x[i]=0; Backtrack(i+1); } class Object { friend int Knapsack(int p[],int w[],int c,int n); public: int operator<=(Object a)const { return (d>=a.d); } private: int ID; float d; }; int Knapsack(int p[],int w[],int c,int n) { //为Knap::Backtrack初始化 int W=0; int P=0; int i=1; Object *Q=new Object[n]; for(i=1;i<=n;i++) Q[i-1].ID=i; Q[i-1].d=1.0*p[i]/w[i]; P+=p[i]; W+=w[i]; } if(W<=c) return P;//装入所有物品//依物品单位重量排序float f; for( i=0;i for(int j=i;j { if(Q[i].d { f=Q[i].d; Q[i].d=Q[j].d; Q[j].d=f; } } KnapK; K.p = new int[n+1]; K.w = new int[n+1]; K.x = new int[n+1]; K.bestx = new int[n+1]; K.x[0]=0; K.bestx[0]=0; for( i=1;i<=n;i++) { K.p[i]=p[Q[i-1].ID]; K.w[i]=w[Q[i-1].ID]; } K.cp=0; K.cw=0; K.c=c; K.n=n; K.bestp=0; //回溯搜索 K.Backtrack(1); K.print(); delete [] Q; delete [] K.w; delete [] K.p; return K.bestp; } void main() { int *p; int *w; int c=0; int n=0; int i=0; cout<<"请输入背包容量(c)："; cin>>c; cout<<"\n请输入物品的个数(n)："; cin>>n; p=new int[n+1]; w=new int[n+1]; p[0]=0; w[0]=0; cout<<"\n*****物品的价值(p)和重量(w)数据如下 *****\n"< cout<<"请输入第"< cin>>p[i]>>w[i];} cout<<"最优解为(bestx)："< } 0-1背包动态规划解决问题 一、问题描述： 有n个物品，它们有各自的重量和价值，现有给定容量的背包，如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和？ 二、总体思路： 根据动态规划解题步骤（问题抽象化、建立模型、寻找约束条件、判断是否满足最优性原理、找大问题与小问题的递推关系式、填表、寻找解组成）找出01背包问题的最优解以及解组成，然后编写代码实现。 原理： 动态规划与分治法类似，都是把大问题拆分成小问题，通过寻找大问题与小问题的递推关系，解决一个个小问题，最终达到解决原问题的效果。但不同的是，分治法在子问题和子子问题等上被重复计算了很多次，而动态规划则具有记忆性，通过填写表把所有已经解决的子问题答案纪录下来，在新问题里需要用到的子问题可以直接提取，避免了重复计算，从而节约了时间，所以在问题满足最优性原理之后，用动态规划解决问题的核心就在于填表，表填写完毕，最优解也就找到。 过程： a) 把背包问题抽象化（X1，X2，…，Xn，其中 Xi 取0或1，表示第i个物品选或不选），V i表示第i个物品的价值，W i表示第i个物品的体积（重量）； b) 建立模型，即求max(V1X1+V2X2+…+VnXn)； c) 约束条件，W1X1+W2X2+…+WnXn 《算法分析与设计》实验报告 2015-2016年第2学期 实验班级： 学生姓名： 学号： 指导老师： 信息工程学院 实验项目名称：回溯算法解决0-1背包问题 实验日期：2016年5 月18 日 一、实验类型：□√验证性□设计性 二、实验目的 掌握0—1背包问题的回溯算法 三、实验内容及要求 给定n种物品和一背包。物品i的重量是wi，其价值为vi，背包的容量为C。问应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大? 四、实验步骤 #include int cw;//当前重量 int cp;//当前价值 int bestp;//当前最优值 int *bestx;//当前最优解 int *x;//当前解 }; int Knap::Bound(int i) { //计算上界 int cleft=c-cw;//剩余容量 int b=cp; //以物品单位重量价值递减序装入物品while(i<=n&&w[i]<=cleft) { cleft-=w[i]; b+=p[i]; i++; } //装满背包 if(i<=n) b+=p[i]/w[i]*cleft; return b; } void Knap::Backtrack(int i) { if(i>n) { if(bestp 动态规划法、回溯法解0-1背包问题 2012级计科庞佳奇 一、问题描述与分析 1.动态规划算法通常用于求解具有某种最优性质的问题。在这类问题中，可能会 有许多可行解。每一个解都对应于一个值，我们希望找到具有最优值的解。动态规划算法与分治法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。与分治法不同的是，适合于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是互相独立的。若用分治法来解这类问题，则分解得到的子问题数目太多，有些子问题被重复计算了很多次。如果我们能够保存已解决的子问题的答案，而在需要时再找出已求得的答案，这样就可以避免大量的重复计算，节省时间。我们可以用一个表来记录所有已解的子问题的答案。 不管该子问题以后是否被用到，只要它被计算过，就将其结果填入表中。这就是动态规划法的基本思路。具体的动态规划算法多种多样，但它们具有相同的填表格式。 多阶段决策问题中，各个阶段采取的决策，一般来说是与时间有关的，决策依赖于当前状态，又随即引起状态的转移，一个决策序列就是在变化的状态中产生出来的，故有“动态”的含义，称这种解决多阶段决策最优化问题的方法为动态规划方法。任何思想方法都有一定的局限性，超出了特定条件，它就失去了作用。同样，动态规划也并不是万能的。适用动态规划的问题必须满足最优化原理和无后效性。1.最优化原理（最优子结构性质）最优化原理可这样阐述：一个最优化策略具有这样的性质，不论过去状态和决策如何，对前面的决策所形成的状态而言，余下的诸决策必须构成最优策略。简而言之，一个最优化策略的子策略总是最优的。一个问题满足最优化原理又称其具有最优子结构性质。2.无后效性将各阶段按照一定的次序排列好之后，对于某个给定的阶段状态，它以前各阶段的状态无法直接影响它未来的决策，而只能通过当前的这个状态。换句话说，每个状态都是过去历史的一个完整总结。这就是无后向性，又称为无后效性。3.子问题的重叠性动态规划将原来具有指数级时间复杂度的搜索算法改进成了具有多项式时间复杂度的算法。其中的关键在于解决冗余，这是动态规划算法的根本目的。动态规划实质上是一种以空间换时间的技术，它在实现的过程中，不得不存储产生过程中的各种状态，所以它的空间复杂度要大于其它的算法。 01背包是在M件物品取出若干件放在空间为W的背包里，每件物品的体积为W1，W2……Wn，与之相对应的价值为P1,P2……Pn。求出获得最大价值的方案。 2.回溯法（探索与回溯法）是一种选优搜索法，按选优条件向前搜索，以达到目 标。但当探索到某一步时，发现原先选择并不优或达不到目标，就退回一步重新选择，这种走不通就退回再走的技术为回溯法，而满足回溯条件的某个状态的点称为“回溯点”。 在包含问题的所有解的解空间树中，按照深度优先搜索的策略，从根结点出发深度探索解空间树。当探索到某一结点时，要先判断该结点是否包含问题的解，如果包含，就从该结点出发继续探索下去，如果该结点不包含问题的解，则逐层向其祖先结点回溯。（其实回溯法就是对隐式图的深度优先搜索算法）。若用回溯法求问题的所有解时，要回溯到根，且根结点的所有可行的子树都要已被搜索遍才结束。 0-1背包问题 计科1班朱润华 2012040732 方法1：回溯法 一、回溯法描述： 用回溯法解问题时，应明确定义问题的解空间。问题的解空间至少包含问题的一个（最优）解。对于0-1背包问题，解空间由长度为n的0-1向量组成。该解空间包含对变量的所有0-1赋值。例如n=3时，解空间为：｛（0，0，0），（0，1，0），（0，0，1），（1，0，0），（0，1，1），（1，0，1），（1，1，0），（1，1，1）｝然后可将解空间组织成树或图的形式，0-1背包则可用完全二叉树表示其解空间给定n种物品和一背包。物品i的重量是wi，其价值为vi，背包的容量为C。问:应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大? 形式化描述：给定c >0, wi >0, vi >0 , 1≤i≤n.要求找一n元向量(x1,x2,…,xn,), xi∈{0,1}, ? ∑ wi xi≤c,且∑ vi xi达最大.即一个特殊的整数规划问题。 二、回溯法步骤思想描述： 0-1背包问题是子集选取问题。0-1 背包问题的解空间可以用子集树表示。在搜索解空间树时，只要其左儿子节点是一个可行节点，搜索就进入左子树。当右子树中有可能含有最优解时，才进入右子树搜索。否则，将右子树剪去。设r是当前剩余物品价值总和，cp是当前价值；bestp是当前最优价值。当cp+r<=bestp时，可剪去右子树。计算右子树上界的更好的方法是将剩余物品依次按其单位价值排序，然后依次装入物品，直至装不下时，再装入物品一部分而装满背包。 例如：对于0-1背包问题的一个实例，n=4,c=7,p=[9,10,7,4],w=[3,5,2,1]。这4个物品的单位重量价值分别为[3,2,3,5,4]。以物品单位重量价值的递减序装入物品。先装入物品4，然后装入物品3和1.装入这3个物品后，剩余的背包容量为1，只能装0.2的物品2。由此得一个解为[1,0.2,1,1]，其相应价值为22。尽管这不是一个可行解，但可以证明其价值是最优值的上界。因此，对于这个实例，最优值不超过22。 在实现时，由Bound计算当前节点处的上界。类Knap的数据成员记录解空间树中的节点信息，以减少参数传递调用所需要的栈空间。在解空间树的当前扩展节点处，仅要进入右子树时才计算上界Bound,以判断是否可将右子树剪去。进入左子树时不需要计算上界，因为上界预期父节点的上界相同。 三、回溯法实现代码： #include "stdafx.h" #include 算法分析与设计实验报告第五次附加实验 附录： 完整代码（回溯法） //0-1背包问题回溯法求解 #include Typew c; //背包容量 int n; //物品数 Typew *w; //物品重量数组| Typep *p; //物品价值数组 Typew cw; //当前重量 Typep cp; //当前价值 Typep bestp; //当前最后价值 }; template 实验三01背包问题不同算法设计、分析与对比一．问题描述 给定n种物品和一背包。物品i的重量是w i ，其价值为v i ，背包的容量为c。 问题：应如何选择装入背包中的物品，使得装入背包中物品的总价值最大。 说明：在选择装入背包的物品时，对每种物品i只有两个选择，装入背包或不装入背包，也不能将物品装入背包多次。 二．实验内容与要求 实验内容： 1.分析该问题适合采用哪些算法求解（包括近似解）。 ^ 动态规划、贪心、回溯和分支限界算法。 2.分别给出不同算法求解该问题的思想与算法设计，并进行算法复杂性分析。 动态规划： 递推方程： m(i,j) = max{m(i-1,j),m(i-1,j-wi)+vi} j >= wi; m(i-1,j) j < wi; 时间复杂度为O(n). 贪心法： ^ 算法思想：贪心原则为单位价值最大且重量最小，不超过背包最大承重量为约束条件。也就是说，存在单位重量价值相等的两个包，则选取重量较小的那个背包。但是，贪心法当在只有在解决物品可以分割的背包问题时是正确的。贪心算法总是作出在当前看来最好的选择。也就是说贪心算法并不从整体最优考虑，它所作出的选择只是在某种意义上的局部最优选择。 用贪心法设计算法的特点是一步一步地进行，根据某个优化测度（可能是目标函数，也可能不是目标函数），每一步上都要保证能获得局部最优解。每一步只考虑一个数据，它的选取应满足局部优化条件。若下一个数据与部分最优解连在一起不再是可行解时，就不把该数据添加到部分解中， 直到把所有数据枚举完，或者不能再添加为止。 回溯法： 回溯法：为了避免生成那些不可能产生最佳解的问题状态，要不断地利用限界函数(bounding function)来处死那些实际上不可能产生所需解的活结点，以减少问题的计算量。这种具有限界函数的深度优先生成法称为回溯法。 对于有n种可选物品的0/1背包问题，其解空间由长度为n的0-1向量组成,可用子集数表示。在搜索解空间树时，只要其左儿子结点是一个可行结点，搜索就进入左子树。当右子树中有可能包含最优解时就进入右子树搜索。 时间复杂度为：O(2n) 空间复杂度为：O(n) ： 分支限界算法： 首先，要对输入数据进行预处理，将各物品依其单位重量价值从大到小进行排列。在优先队列分支限界法中，节点的优先级由已装袋的物品价值加上剩下的最大单位重量价值的物品装满剩余容量的价值和。 算法首先检查当前扩展结点的左儿子结点的可行性。如果该左儿子结点是可行结点，则将它加入到子集树和活结点优先队列中。当前扩展结点的右儿子结点一定是可行结点，仅当右儿子结点满足上界约束时才将它加入子集树和活结点优先队列。当扩展到叶节点时为问题的最优值。 3.设计并实现所设计的算法。 4.对比不同算法求解该问题的优劣。 这动态规划算法和贪心算法是用来分别解决不同类型的背包问题的，当一件背包物品可以分割的时候，使用贪心算法，按物品的单位体积的价值排序，从大到小取即可。当一件背包物品不可分割的时候，（因为不可分割，所以就算按物品的单位体积的价值大的先取也不一定是最优解）此时使用贪心是不对的，应使用动态规划。 5.需要提交不同算法的实现代码和总结报告。 动态规划方法： public class Knapsack { #include 1、实验目的 （1）掌握回溯法设计策略。 （2）通过0-1背包问学习回溯法法设计技巧2.实验内容 源程序： #include } if(cw+w[i]<=c) //搜索左子树 { cw+=w[i]; cp+=p[i]; Backtrack(i+1); cp-=p[i]; cw-=w[i]; } if(bound(i+1)>bestp)//搜索右子树 Backtrack(i+1); } double Knapsack (double pp[],double ww[],double d) { int i; double TP=0,TW=0; cw=0.0;cp=0.0;bestp=0.0;//计算所有物品的重量及价值 for(i=1;i<=n;i++) { TP=TP+pp[i]; TW=TW+ww[i]; } if(TW<=d)//所有物品装入背包 bestp=TP; else { Backtrack(1); } return bestp; }; int main() { 算法实验报告 ---背包问题 实验目的 1．掌握动态规划算法的基本思想，包括最优子结构性质和基于表格的最优 值计算方法。 2．熟练掌握分阶段的和递推的最优子结构分析方法。 3．学会利用动态规划算法解决实际问题。 问题描述： 给定n种物品和一个背包。物品i的重量是wi，体积是bi，其价值为vi， 背包的容量为c，容积为d。问应如何选择装入背包中的物品，使得装入背包中 物品的总价值最大? 在选择装入背包的物品时，对每种物品只有两个选择：装入 或不装入，且不能重复装入。输入数据的第一行分别为：背包的容量c，背包的 容积d，物品的个数n。接下来的n行表示n个物品的重量、体积和价值。输出 为最大的总价值。 问题分析: 标准0-1背包问题，MaxV表示前i个物品装入容量为j的背包中时所能产生的最大价值，结构体objec表示每一个可装入物品，其中w表示物品的重量，v表示物品的价值。如果某物品超过了背包的容量，则该物品一定不能放入背包，问题就变成了剩余i-1个物品装入容量为j的背包中所能产生的最大价值；如果该物品能装入背包，问题就变成i-1个物品装入容量为j-objec[i].w的背包所能产生的最大价值加上物品i的价值objec[i].v. 复杂性分析 时间复杂度，最好情况下为0，最坏情况下为：（abc） 源程序 #include 实验4 回溯法解0-1背包问题 一、实验要求 1．要求用回溯法求解0-1背包问题； 要求交互输入背包容量，物品重量数组，物品价值数组；2．要求显示结果。3． 二、实验仪器和软件平台 仪器：带usb接口微机 软件平台：WIN-XP + VC++ 三、实验源码 #include \ #include { bag[i].flag=0; bag[i].kk=i; bag[i].fl=*bag[i].v/bag[i].w; } }void Backtrack(int i){cw+=bag[i].w;if(i>=n) <=c) lag=1; cp+=bag[i].v; Backtrack(i+1); cw-=bag[i].w; cp-=bag[i].v; } if(Bound(i+1)>bestp)lag=0; Backtrack(i+1); }}<=cleft){; b+=bag[i].v; i++; } /bag[i].w * cleft; return b; } void Knapsack() k]=bag[k].flag; lag*bag[k].v; //价值累加 } cout< 回溯法是一个既带有系统性又带有跳跃性的搜索算法。它在包含问题的所有解的解空间树中按照深度优先的策略，从根节点出发搜索解空间树。算法搜索至解空间树的任一节点时，总是先判断该节点是否肯定不包含问题的解。如果肯定不包含，则跳过对以该节点为根的子树的系统搜索，逐层向其原先节点回溯。否则，进入该子树，继续按深度优先的策略进行搜索。 运用回溯法解题通常包含以下三个步骤： ?针对所给问题，定义问题的解空间； ?确定易于搜索的解空间结构； ?以深度优先的方式搜索解空间，并且在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索； 在0／1背包问题中，容量为M的背包装载。从n个物品中选取装入背包的物品，物品i的重量为Wi，价值为Pi。最佳装载指装入的物品价值最高，即∑PiXi(i=1..n)取最大值。约束条件为∑WiXi ≤M且Xi∈[0,1](1≤i≤n)。 在这个表达式中，需求出Xi的值。Xi=1表示物品i装入背包，Xi＝0表示物品i不装入背包。 ?即判断可行解的约束条件是：∑WiXi≤M（i=0..n），Wi>0,Xi∈[0,1](1≤i≤n) ?目标最大值：max∑PiXi（i=0..n-1）,Pi>0,Xi=0或1（0≤i 用回溯法解决3种可选择物品的0-1背包问题当n=3时，其解空间是 {（0,0,0）（0,1,0），（0,0,1），（1,0,0），（0,1,1），（1,0,1），（1,1,0），（1,1,1）}n=3时的0-1背包问题： w=[16,15,15]p=[45,25,25]c=30 开始时，Cr=C=30，V=0，A为唯一活结点，也是当前扩展结点 扩展A，先到达B结点 Cr=Cr-w1=14，V=V+v1=45 此时A、B为活结点，B成为当前扩展结点 扩展B，先到达D Cr Cr=30，V=0，活结点为A、C，C为当前扩展结点 扩展C，先到达F Cr=Cr-w2=15，V=V+v2=25，此时活结点为A、C、F，F成为当前扩展结点扩展F，先到达L Cr=Cr-w3=0，V=V+v3=50 L是叶结点，且50>45，皆得到一个可行解x=(0,1,1)，V=50 L不可扩展，成为死结点，返回到F 再扩展F到达M M是叶结点，且25<50，不是最优解 M不可扩展，成为死结点，返回到F F没有可扩展结点，成为死结点，返回到C 再扩展C到达G Cr=30，V=0，活结点为A、C、G，G为当前扩展结点 扩展G，先到达N，N是叶结点，且25<50，不是最优解，又N不可扩展，返回到G 再扩展G到达O，O是叶结点，且0<50，不是最优解，又O不可扩展，返回到G G没有可扩展结点，成为死结点，返回到C C没有可扩展结点，成为死结点，返回到A A没有可扩展结点，成为死结点，算法结束，最优解X=(0,1,1)，最优值 V=50 实验目的是使学生消化理论知识，加深对讲授内容的理解，尤其是一些算法的实现及其应用，培养学生独立编程和调试程序的能力，使学生对算法的分析与设计有更深刻的认识。 上机实验一般应包括以下几个步骤： （1）、准备好上机所需的程序。手编程序应书写整齐，并经人工检查无误后才能上机。 （2）、上机输入和调试自己所编的程序。一人一组，独立上机调试，上机时出现的问题，最好独立解决。 （3）、上机结束后，整理出实验报告。实验报告应包括：题目、程序清单、运行结果、对运行情况所作的分析。 实验八 回溯算法——0-1背包问题 一、实验目的与要求 1. 熟悉0-1背包问题的回溯算法。 2. 掌握回溯算法。 二、实验内容 用回溯算法求解下列“0-1背包”问题： 给定n 种物品和一个背包。物品i 的重量是w i ，其价值为v i ，背包的容量为C 。问应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大? 三、实验步骤 1. 理解算法思想和问题要求； 2. 编程实现题目要求； 3. 上机输入和调试自己所编的程序； 4. 验证分析实验结果； 5. 整理出实验报告。 实验提示： （1）回溯算法求解0-1背包问题分析 回溯法通过系统地搜索一个问题的解空间来得到问题的解。为了实现回溯，首先需要针对所给问题，定义其解空间。这个解空间必须至少包含问题的一个解（可能是最优的）。 然后组织解空间。确定易于搜索的解空间结构。典型的组织方法是图或树。一旦定义了解空间的组织方法，即可按照深度优先策略从开始结点出发搜索解空间。并在搜索过程中利用约束函数在扩展结点处剪去不满足约束的子树，用目标函数剪去得不到最优解的子树，避免无效搜索。用回溯法解题的步骤： 1）针对所给问题定义问题的解空间； 2）确定易于搜索的解空间结构； 3）以深度优先方式搜索解空间，并在搜索过程中用剪枝函数避免无效的搜索。 0-1背包问题的数学描述为：n 个物品，物品i 的重量是w i 、其价值为v i ，其中0≤i ≤n-1，背包的容量为C 。用x i 表示物品i 被装入背包的情况，如果物品Pi 被选中，则x i =1；否则x i =0。求满足目标函数∑-=?=10max n i i i v x F 和约束方程C w x n i i i ≤?∑-=1 0的物品组合（x 0，x 1，x 2，…，x n-1) 与相应的总价值V 。 01背包问题，是用来介绍动态规划算法最经典的例子，网上关于01背包问题的讲解也很多，我写这篇文章力争做到用最简单的方式，最少的公式把01背包问题讲解透彻。 01背包的状态转换方程f[i,j] = Max{ f[i-1,j-Wi]+Pi( j >= Wi ), f[i-1,j] } 只要你能通过找规律手工填写出上面这张表就算理解了01背包的动态规划算法。 首先要明确这张表是至底向上，从左到右生成的。 为了叙述方便，用e2单元格表示e行2列的单元格，这个单元格的意义是用来表示只有物品e时，有个承重为2的背包，那么这个背包的最大价值是0，因为e物品的重量是4，背包装不了。 对于d2单元格，表示只有物品e，d时,承重为2的背包,所能装入的最大价值，仍然是0，因为物品e,d都不是这个背包能装的。 同理，c2=0，b2=3,a2=6。 对于承重为8的背包，a8=15,是怎么得出的呢？ 根据01背包的状态转换方程，需要考察两个值， 一个是f[i-1,j],对于这个例子来说就是b8的值9，另一个是f[i-1,j-Wi]+Pi； 在这里， f[i-1,j]表示我有一个承重为8的背包，当只有物品b,c,d,e四件可选时，这个背包能装入的最大价值 f[i-1,j-Wi]表示我有一个承重为6的背包（等于当前背包承重减去物品a的重量），当只有物品b,c,d,e四件可选时，这个背包能装入的最大价值 f[i-1,j-Wi]就是指单元格b6,值为9，Pi指的是a物品的价值，即6 由于f[i-1,j-Wi]+Pi = 9 + 6 = 15 大于f[i-1,j] = 9，所以物品a应该放入承重为8的背包 一、 问题描述 0/1背包问题: 现有n 种物品，对1<=i<=n ，已知第i 种物品的重量为正整数W i ，价值为正整数V i ，背包能承受的最大载重量为正整数W ，现要求找出这n 种物品的一个子集，使得子集中物品的总重量不超过W 且总价值尽量大。（注意：这里对每种物品或者全取或者一点都不取，不允许只取一部分） 二、 算法分析 根据问题描述，可以将其转化为如下的约束条件和目标函数： ) 2(max )1()1}(1,0{11 ∑∑==?????≤≤∈≤n i i i i n i i i x v n i x W x w 于是，问题就归结为寻找一个满足约束条件（1），并使目标函数式（2）达到最大的解向量 ),......,,,(321n x x x x X =。 首先说明一下0-1背包问题拥有最优解。 假设),......,,,(321n x x x x 是所给的问题的一个最优解，则),......,,(32n x x x 是下面问题的一个最优解： ∑∑==?????≤≤∈-≤n i i i i n i i i x v n i x x w W x w 22 1 1max ) 2}(1,0{。如果不是的话，设),......,,(32n y y y 是这个问题的一个最优解，则∑∑==>n i n i i i i i x v y v 2 2 ，且∑=≤+ n i i i W y w x w 2 11。因此，∑∑∑====+>+n i i i n i n i i i i i x v x v x v y v x v 1 2 2 1111，这说明 ),........, ,,(321n y y y x 是所给的0-1背包问题比),........,,,(321n x x x x 更优的解，从而与假设矛盾。 穷举法： 用穷举法解决0-1背包问题，需要考虑给定n 个物品集合的所有子集，找出所有可能的子集（总重量不超 实验五：0/1背包问题的回溯算法设计实验目的：0/1背包问题的回溯算法设计 实验原理：回溯算法设计。 实验要求：基本掌握回溯算法设计的原理方法。熟练掌握VC++中编程实现算法的常用技术和方法。 算法思想:0-1背包问题:给定n种物品和一背包.物品i的重量是wi,其价值为ui,背包的容量为C.问如何选择装入背包的物品,使得装入背包中物品的总价值最大? 分析: 0-1背包是子集合选取问题,一般情况下0-1背包是个NP问题.第一步确定解空间：装入哪几种物品 第二步确定易于搜索的解空间结构： 可以用数组p,w分别表示各个物品价值和重量。 用数组x记录，是否选种物品 第三步以深度优先的方式搜索解空间，并在搜索的过程中剪枝要求：（1）使用C++或TC2.0 （2）上机前要有源代码或流程图。#include for(int m=1;m<=n;m++) { cout< 算法设计与分析 实验报告 —0/1背包问题 - 【问题描述】 给定n 种物品和一个背包。物品i 的重量是i w ，其价值为i v ，背包容量为C 。问应该如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大？ 【问题分析】 0/1背包问题的可形式化描述为：给定C>0, i w >0, i v >0,1i n ≤≤，要求找出n 元0/1向量{}12(,,...,),0,1,1n i x x x x i n ∈≤≤，使得n 1i i i w x c =≤∑，而且 n 1 i i i v x =∑达到最大。因此0/1背包问题是一个特殊的整数规划问题。 0n k w ≤≤1 max n i i i v x =∑ n 1 i i i w x c =≤∑ {}0,1,1i x i n ∈≤≤ 【算法设计】 设0/1背包问题的最优值为m( i, j )，即背包容量是j ，可选择物品为i,i+1,…,n 时0/1背包问题的最优值。由0/1背包问题的最优子结构性质，可以建立计算m( i, j )的递归式如下： max{m( i+1, j ), m( i+1, j-i w )+i v } i j w ≥ m( i, j )= m(i+1,j) n v n j w > m(n,j)= 0 0n k w ≤≤ 【算法实现】 #include 问题描述 0/1 背包问题 : 现有 n 种物品，对 1<=i<=n ，已知第 i 种物品的重量为正整数 W i ，价值为正整数 V i ， 背包能承受的最大载重量为正整数 W ，现要求找出这 n 种物品的一个子集，使得子集中 物 品的总重量不超过 W 且总价值尽量大。 (注意：这里对每种物品或者全取或者一点都不取， 不允许只取一部分) 算法分析 根据问题描述，可以将其转化为如下的约束条件和目标函数： n w i x i W i1 i i (1) x i { 0,1}( 1 i n) n max v i x i (2) i1 于是，问题就归结为寻找一个满足约束条件( 1 )，并使目标函数式( 2 )达到最大的 解向量 X (x 1, x 2 ,x 3, , x n ) 。 首先说明一下 0-1 背包问题拥有最优解。 假设 (x 1,x 2,x 3, ,x n ) 是所给的问题的一个最优解， 则(x 2,x 3, ,x n )是下面问题的 n n n 个问题的一个最 优解，则 v i y i v i x i ，且 w 1x 1 w i y i W 。因此 ， i 2 i2 i 2 一个最优解： w i x i W i2 w 1x 1 n max v i x i 。如果不是的话， (y 2,y 3, , y n ) 是这 x i {0,1}( 2 i n) i2 n n n v1x1 v i y i v1x1 v i x i v i x i ，这说明(x1,y2,y3, ,y n) 是所给的0-1 背包问 i 2 i2 i1 题比( x1 , x 2 , x3 , , x n ) 更优的解，从而与假设矛盾。 穷举法： 用穷举法解决0-1 背包问题，需要考虑给定n 个物品集合的所有子集，找出所有可能的子集(总重量不超过背包重量的子集) ，计算每个子集的总重量，然后在他们中找到价值最大的子集。由于程序过于简单，在这里就不再给出，用实例说明求解过程。下面给出了4个物品和一个容量为10的背包，下图就是用穷举法求解0-1 背包问题的过程。 a) 四个物品和一个容量为10 的背包 序号子集总重量总价值序号子集总重量总价值 1 空集 0 0 9 {2，3} 7 52 2 {1} 7 42 10 {2，4} 8 37 3 {2} 3 12 11 {3，4} 9 65 4 {3} 4 40 12 {1,2,3} 14 不可行5 {4} 5 25 13 {1,2,4} 15 不可行6 {1，2} 10 54 14 {1,3,4} 16 不可行 7 {1，3} 11 不可行 15 {2,3,4} 12 不可行物品 1 W2=3 V2=12 物品 2 W3=4 V3=40 物品 3 W4=5 V4=25 物品 4 背包 W1=7 V1=12 贪心算法实现01背包问题 算法思想：贪心原则为单位价值最大且重量最小，不超过背包最大承重量为约束条件。也就是说，存在单位重量价值相等的两个包，则选取重量较小的那个背包。 具体实现过程是：首先可以设置一个备份pvu类型的数组，在不破环原数据的情况下，对此备份数组按单位重量价值从大到小的排序。依次设立两个指针i，j(其中i表示当前应该参与最佳pv值的元素指针，j表示符合约束条件的指针（单位重量价值PV最大，重量最小，不超过最大承重量约束) 代码实现如下： #include 动态规划与回溯法解决0-1背包问题
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