高考数学二轮复习每日一题规范练（第五周）理
星期一 2020年4月20日
[题目1] 已知S n 为等比数列{a n }的前n 项和，公比q ＝2，且S 2＝3，等差数列{b n }满足
b 2＝a 3，b 3＝－b 5.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设T n 是数列{b n }的前n 项和，求T n 的最大值．
解：(1)因为等比数列{a n }满足公比q ＝2，前2项和S 2＝3， 所以S 2＝a 1＋a 2＝a 1＋2a 1＝3，解得a 1＝1， 所以a n ＝a 1×q
n －1
＝2
n －1
.
(2)由题及(1)知，b 2＝a 3＝4. 因为b 3＋b 5＝0，所以b 4＝0， 则数列{b n }的公差d ＝
b 4－b 2
2
＝－2＜0，
故当n ＝3或4时，T n 取得最大值， 此时T 3＝T 4＝b 1＋b 2＋b 3＝3b 2＝12.
星期二 2020年4月21日
[题目2] 如图，在四边形ABCD 中，∠ADB ＝45°，∠BAD ＝105°，AD ＝6
2
，BC ＝2，AC ＝3.
(1)求边AB 的长及cos ∠ABC 的值； (2)若记∠ABC ＝α，求sin ?
????2α－π3的值． 解：(1)在△ABD 中，∠ABD ＝180°－(45°＋105°)＝30°， 由
AD
sin ∠ABD ＝
AB
sin ∠ADB
，
得AB ＝
AD ·sin 45°
sin 30°
＝
6
2
×2＝ 3. 在△ABC 中，AC 2
＝AB 2
＋BC 2
－2AB ×BC ×cos ∠ABC ， 所以32
＝3＋22
－23×2cos ∠ABC ， 所以cos ∠ABC ＝－
36
.
(2)由(1)知cos α＝－
36，α∈? ??
??π2，π， 所以sin α＝1－cos 2
α＝336，sin 2α＝－11
6
， cos 2α ＝－5
6
.
所以sin ?
????2α－π3＝sin 2αcos π3－cos 2αsin π3＝53－1112. 星期三 2020年4月22日
[题目3] (2019·长沙雅礼中学检测)某公司为评估两套促销活动方案(方案1的运作费用为5元/件；方案2的运作费用为2元/件)，在某地区部分营销网点进行试点(每个试点网点只采用一种促销活动方案)，运作一年后，对比该地区上一年度的销售情况，制作相应的等高条形图如图所示．
(1)请根据等高条形图提供的信息，为该公司今年选择一套较为有利的促销活动方案(不必说明理由)；
(2)已知该公司产品的成本为10元/件(未包括促销活动运作费用)，为制定本年度该地区的产品销售价格，统计上一年度的8组售价x i (单元：元/件，整数)和销售y i (单位：件)(i ＝1，2，…，8)如下表所示：
售价 33 35 37 39 41 43 45 47 销量
840
800
740
695
640
580
525
460
2
拟合；
②根据所选回归模型，分析售价x 定为多少时？利润z 可以达到最大．
项目
y ^＝－1 200ln x ＋5
000
y ^
＝－27x ＋1 700
y ^
＝－13
x 2＋1 200
52 446.95
13 142
122.89
124 650
附：相关指数R 2
＝1－
.
解：(1)由等高条形图可知，年度平均销售额与方案1的运作相关性强于方案2. (2)①由已知数据可知，回归模型y ^
＝－1 200ln x ＋5 000对应的相关指数R 2
1＝0.579 2； 回归模型y ^
＝－27x ＋1 700对应的相关指数R 2
2＝0.894 6； 回归模型y ^
＝－13
x 2＋1 200对应的相关指数R 2
3＝0.999 0.
因为R 23
＞R 22
＞R 21
，所以采用回归模型y ^
＝－13
x 2
＋1 200进行拟合最为合适．
②由(1)可知，采用方案1的运作效果比方案2好，
故利润z ＝? ??
??－13x 2＋1 200(x －15)， z ′＝－(x ＋30)(x －40)，
当x ∈(0，40)时，z ′＞0，z ＝? ????－13x 2＋1 200(x －15)单调递增；
当x ∈(40，＋∞)时，z ′＜0，z ＝? ??
??－13x 2＋1 200(x －15)单调递减， 故当售价x ＝40时，利润z 达到最大．
星期四 2020年4月23日
[题目4] 如图，四边形ABCD 是菱形，EA ⊥平面ABCD ，EF ∥AC ，CF ∥平面BDE ，G 是AB 中点．
(1)求证：EG ∥平面BCF ；
(2)若AE ＝AB ，∠BAD ＝60°，求二面角A-BE-D 的余弦值． (1)证明：设AC ∩BD ＝O ，连接EO ，OG . 因为G 是AB 中点，O 是AC ，BD 的中点， 所以OG ∥BC .
又OG ?平面BCF ，知OG ∥平面BCF .
因为CF ∥平面BDE ，且平面BDE ∩平面ACFE ＝EO ， 所以EO ∥CF .
由EO ?平面BCF ，知EO ∥平面BCF
. 又EO ∩OG ＝O ，所以平面EOG ∥平面BCF . 又EG ?平面EOG ，故EG ∥平面BCF . (2)解：由(1)知EO ∥CF ，AO ＝OC ， 又EF ∥AC ，所以EF
OA .
则四边形AOFE 为平行四边形，所以AE ∥FO . 又EA ⊥底面ABCD ，AC ⊥BD ， 则OA ，OB ，OF 两两垂直．
如图建立空间直角坐标系O-xyz ，设AE ＝AB ＝2， 又因为∠BAD ＝60°，所以DG ⊥AB ，OA ＝3，OB ＝1，则
E ＝(3，0，2)，B (0，1，0)，D (0，－1，0)，G ?
??
??
32，12，0， 所以DB →＝(0，2，0)，BE →
＝(3，－1，2)． 设平面BDE 的法向量n ＝(x ，y ，z )，
得???2y ＝0，3x －y ＋2z ＝0，
可取n ＝(2，0，－3)． 因为EA ⊥DG ，EA ∩AB ＝A ，所以DG ⊥平面EAB ， 所以平面EAB 的法向量可取DG →
＝? ????
32，32，0.
所以cos 〈n ，DG →
〉＝n ·DG →
|n |·|DG →|＝37×3＝7
7.
所以二面角A-BE-D 的余弦值为
77
. 星期五 2020年4月24日
[题目5] 已知函数f (x )＝－ax 2＋e x
－1?
????0≤a ≤e 2.
(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为e ，求a 的值； (2)求证：当x ＞0时，f (x )＞0.
(1)解：由函数f (x )＝－ax 2
＋e x －1，可得f ′(x )＝e x
－2ax . 因为曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为e ， 所以f ′(1)＝e －2a ＝e ， 所以a ＝0.
(2)证明：由(1)知，f ′(x )＝e x
－2ax . 令h (x )＝f ′(x )，则h ′(x )＝e x
－2a .
①当0≤a ≤1
2时，h ′(x )＞0，函数h (x )＝f ′(x )在(0，＋∞)上单调递增．
所以f ′(x )＞f ′(0)＝1，f (x )在(0，＋∞)上单调递增． 因此f (x )＞f (0)＝0，满足题意．
②当12＜a ≤e 2时，令h ′(x )＝e x
－2a ＝0，解得x ＝ln 2a .
当x ∈(0，ln 2a )时，h ′(x )＜0，f ′(x )＝h (x )单调递减； 当x ∈(ln 2a ，＋∞)时，h ′(x )＞0，f ′(x )＝h (x )单调递增． 所以f ′(x )min ＝f ′(ln 2a )＝e
ln 2a
－2a ln 2a ＝2a (1－ln 2a )．
因为a ≤e
2
，所以1－ln 2a ≥0，所以f ′(x )min ≥0，
所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增，故f (x )＞f (0)＝0，满足题意． 综上，当x ＞0时，f (x )＞0.
星期六 2020年4月25日
[题目6] 设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，上顶点为B ，已知椭圆的离心率为5
3
，
点A 的坐标为(b ，0)，且|FB |·|AB |＝6 2.
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线l ：y ＝kx (k ＞0)与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于Q .若
|AQ |
|PQ |＝
52
4
sin ∠AOQ (O 为原点)，求k 的值． 解：(1)设椭圆的焦点为2c ，由已知有c 2a 2＝5
9
，
又由a 2
＝b 2
＋c 2
，可得2a ＝3b . 由已知可得，|FB |＝a ，|AB |＝2b ， 由|FB |·|AB |＝62，
可得ab ＝6，从而a ＝3，b ＝2. 所以，椭圆的方程为x 29＋y 2
4
＝1.
(2)设点P 的坐标为(x 1，y 1)，点Q 的坐标为(x 2，y 2)． 由已知，y 1＞y 2＞0. 故|PQ |sin ∠AOQ ＝y 1－y 2.
又因为|AQ |＝y 2sin ∠OAB ，而∠OAB ＝π
4
，
故|AQ |＝2y 2. 由
|AQ ||PQ |＝524
sin ∠AOQ ，可得5y 1＝9y 2. 由方程组?????y ＝kx ，x 29＋y 24
＝1，消去x ，可得y 1＝6k 9k 2
＋4. 易知直线AB 的方程为x ＋y －2＝0，
由方程组?
????y ＝kx ，x ＋y －2＝0，消去x ，可得y 2＝2k
k ＋1.
代入5y 1＝9y 2，可得5(k ＋1)＝39k 2
＋4， 将等式两边平方，整理得56k 2
－50k ＋11＝0， 解之得k ＝12或k ＝11
28.
故实数k 的值为12或11
28
.
星期日 2020年4月26日
[题目7] 1.[选修4－4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系xOy 中，圆C 1的参数方程为?
????x ＝2cos α，
y ＝2＋2sin α(α为参数)，以坐标原点
O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 2的极坐标方程为ρ＝22cos ?
??
??
θ＋π4
.
(1)求圆C 1的普通方程和圆C 2的直角坐标方程； (2)判断圆C 1与圆C 2的位置关系． 解：(1)由圆C 1的参数方程???
?
?x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α
(α为参数)，
得圆C 1的普通方程为x 2
＋(y －2)2
＝4.
由圆C 2的极坐标方程ρ＝22cos ?
????θ＋π4，可得ρ2
＝2ρcos θ－2ρsin θ，
转换为圆C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2
＝2x －2y ， 即(x －1)2
＋(y ＋1)2
＝2.
(2)由(1)知，圆C 1的半径r 1＝2，圆心坐标为(0，2)， 圆C 2的半径r 2＝2，圆心坐标为(1，－1)， 所以圆心距d ＝（1－0）2
＋（－1－2）2
＝10， 所以r 1－r 2＝2－2＜10，r 1＋r 2＝2＋2＞10， 所以圆C 1与C 2相交． 2．[选修4－5：不等式选讲] 已知函数f (x )＝|x －2|－|x ＋1|.
(1)若关于x 的不等式f (x )＞a 有解，求实数a 的取值范围； (2)解不等式f (x )＜x 2
－2x .
解：(1)f (x )＝|x －2|－|x ＋1|＝????
?3，x ≤－1，－2x ＋1，－1＜x ＜2，－3，x ≥2，
故f (x )的值域为[－3，3]， 所以f (x )的最大值是3，
若f (x )＞a 成立有解，则有a ＜f (x )max ，即a ＜3， 所以a 的取值范围是(－∞，3)． (2)当x ≤－1时，x 2－2x ＞3，得x ＜－1； 当－1＜x ＜2时，x 2－2x ＞－2x ＋1，得1＜x ＜2； 当x ≥2时，x 2
－2x ＞－3，得x ≥2.
综上，不等式的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．