八年级上《最短路径问题》同步练习含答案
基础题
知识点最短路径问题
1．如图，已知正六边形ABCDEF的边长为 2，G，H 分别是 AF 和 CD的中点，P 是 GH上的动点，连接AP，BP，则 AP＋BP 的值最小时， BP 与 HG的夹角 ( 锐角 ) 度数为 ________．21·cn·jy ·com
2．已知，如图，在直线l 的同侧有两点A，B.
(1) 在图 1 的直线上找一点P 使 PA＋PB 最短；
(2)在图 2 的直线上找一点 P，使 PA－PB 最长．
3．如图均是由相同的小正方形组成的网格图，点A、B、C、D 均落在格点上．请只用无刻度的直尺在格线
CD上确定一点Q，使 QA与 QB的长度之和最小．21·世纪*教育网
4．如图，村庄A，B位于一条小河的两侧，若河岸a，b彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥CD，问桥址应如何选择，才能使 A 村到 B 村的路程最近？https://www.doczj.com/doc/4b4028182.html,
中档题
5．如图，在△ ABC 中， AB＝AC，AD 平分∠ CAB，N 点是 AB上的一定点，M 是 AD上一动点，要使MB＋MN最小，请找点M的位置．https://www.doczj.com/doc/4b4028182.html,
6．如图，在△ ABC 的一边 AB上有一点P.
(1) 能否在另外两边AC和 BC上各找一点M、N，使得△ PMN 的周长最短？若能，请画出点M、N的位置，若不能，请说明理由；2·1·c·n·j ·y
(2)若∠ ACB＝52°，在 (1) 的条件下，求出∠ MPN 的度数．
7．如图，已知∠ AOB，点P是∠ AOB内部的一个定点，点E、F分别是 OA、OB上的动点．(1) 要使得△ PEF 的周长最小，试在图上确定点E、F的位置．
(2) 若 OP＝4，要使得△ PEF 的周长的最小值为 4，则∠ AOB＝________．
8．( 兰州中考改编 ) 如图，四边形ABCD中，∠ BAD＝120°，∠ B＝∠ D＝90°，
在BC，CD上分别找一点M，
N，使△周长最小，求∠ AMN＋∠ ANM 的度数．【来源：21·世纪·教育·网】
综合题
9．已知：如图，在∠ POQ 内部有两点M、N，∠ MOP＝∠ NOQ.
(1) 画图并简要说明画法：在射线OP上取一
点A，使点 A 到点M和
点
N 的距离和最小；在射线OQ上取一点
B，使点 B 到点M和
点
N 的距离和最小；21 世纪教育网版权所有(2) 直接写出AM＋AN 与 BM＋BN 的大小关系．
参考答案
1．60° 2.(1) 作点 B 关于直线l 的对称点 C，连接 AC交直线 l 于点 P，连接 BP.点 P 即为所求．图略． (2)连接 AB 并延长，交直线 l 于点 P. 图略． 3. 作 B 关于 CD的对称点 B′，连接AB′，交格线 CD于 Q，此时 QA＋QB＝QA＋QB′＝ AB′，根据两点之间线段最短，得此时QA＋QB最小． 4. ①过点 A 作 AP⊥a，并在 AP 上向下截取 AA′，使 AA′的长等于河的宽度；②连接A′B交 b 于点 D；③过点 D 作 DE∥AA′交 a
于点 C；④连接 AC.则 CD即为桥的位置．图略．5. 连接 NC与 AD的交点为 M点．点 M即为所求．图略． 6.(1) ①
作出点 P 关于 AC、BC 的对称点 D、G.②连接DG交 AC、BC 于点 M、N.点 M、N即为所求． (2) 设 PD交 AC 于
E，PG交 BC于 F，∵ PD⊥AC，PG⊥BC，∴∠ PEC＝∠ PFC＝90°. ∴∠ C＋∠ EPF＝180°. ∵∠ C＝52°，∴∠EPF＝128°. ∵∠ D＋∠ G＋∠ EPF＝180°，∴∠ D＋∠ G＝52°. 由对称可知：∠ G＝∠ GPN，∠ D＝∠ DPM，∴∠GPN＋∠ DPM＝52°. ∴∠ MPN＝128°－ 52°＝ 76°.7.(1)图略，作点P 关于OA的对称
点
C，关于OB的
对称点D，连接CD，交OA
于E，OB
于
F. 此时，△ PEF 的周长最小．(2)30 °8. 作A 关于BC
和
CD的对称
点 A′， A″，连接A′A″，交 BC于 M，交 CD于 N，连接 AM，AN，则 A′A″即为△ AMN 的周长最小值．作DA延长线AH.∵∠ DAB＝120°，∴∠ HAA′＝ 60°. ∴∠ AA′M＋∠ A″＝∠ HAA′＝ 60°. ∵∠ MA′A＝
∠MAA′，∠NAD＝∠ A″，且∠ MA′A＋∠ MAA′＝∠ AMN，∠NAD＋∠ A″＝∠ ANM，∴∠ AMN＋∠ ANM＝∠ MA′A
＋∠ MAA′＋∠ NAD＋∠ A″＝ 2( ∠AA′M＋∠ A″) ＝2×60°＝ 120°. 9.(1) 图略，点 A，B即为所求．画法：①作点 M关于射线 OP的对称点 M′；②连接 M′N交 OP于点 A；③作点 N 关于射线 OQ的对称点 N′；④连接N′M交 OQ于点 B.(2)AM＋AN＝BM＋BN. 21教育网