畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场 / 应用宝下载花生日记 APP 邀请码 NJBHKZO ，高佣联盟官方正版 APP 邀请码 2548643
培优点十 等差、等比数列
1．等差数列的性质 例 1：已知数列 a n ， b n 为等差数列，若 a 1 b 1 7 ， a 3 b 3 21 ，则 a 5 b 5 _______
【答案】 35
【解析】 ∵ a n ， b n 为等差数列，∴ a n b n 也为等差数列，
∴ 2 a 3
b 3
a 1
b 1
a 5
b 5 ，∴ a 5 b 5 2 a 3
b 3
a 1
b 1
35 ．
2．等比数列的性质
例 2：已知数列 a n 为等比数列，若 a 4 a 6
10 ，则 a 7 a 1 2a 3
a 3a 9 的值为（
）
A ． 10
B ． 20
C ． 100
D ． 200
【答案】 C
【解析】 与条件 a 4 a 6 10 联系，可将所求表达式向
a 4 ， a 6 靠拢，
从而 a 7 a 1 2a 3
a 3a 9 a 7 a 1 2a 7 a 3 a 3a 9
a 42 2a 4a 6
a 62
a 4
2
a 6 ，
即所求表达式的值为 100 ．故选 C ．
3．等差、等比综合
例 3：设 a n 是等差数列， b n 为等比数列， 其公比 q 1 ，且 b i 0 i 1,2,3,L , n ，若 a 1 b 1 ，
a 11b
11
，
则有（ ）
A ． a 6 b 6
B ． a 6 b 6
C ． a 6 b 6
D ． a 6 b 6 或 a 6 b 6
【答案】 B
【解析】 抓住 a 1 ， a 11 和 b 1 ， b 11 的序数和与 a 6 ， b 6 的关系，从而以此为入手点．
由等差数列性质出发， a 1 b 1 ， a 11 b 11 a 1
a
11
b 1 b 11 ，
因为 a 1 a 11
2a 6 ，而 b n 为等比数列，联想到 b 1 b 11 与 b 6 有关，
所以利用均值不等式可得：
b 1 b 11 2
b 1 b
11
2 b 62
2b 6 ；
（ q 1 故b1b11，均值不等式等号不成立）
所以 a1 a11b1 b11 2a6 2b6．即 a6 b6．故选 B．
对点增分集训
一、单选题
1．我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，
斩末一尺，重二斤，中间三尺重几何．”意思是：“现有一根金锤，长 5 尺，头部 1 尺，重4 斤，尾部 1 尺，重 2 斤，且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，问中间三尺共重多少
斤．”（）
A．6 斤B．7斤C．8 斤D．9 斤
【答案】 D
【解析】原问题等价于等差数列中，已知a1 4 ， a5 2 ，求 a2a3a4的值．
由等差数列的性质可知：a2a4a1
a1a5
3 ，a5 6 ， a32
则 a2 a3a49 ，即中间三尺共重9 斤．故选 D．
2．设 S n为等差数列 { a n } 的前n项和，若 S540， S9126 ，则 S7（）A． 66B． 68C． 77D． 84【答案】 C
S55a340， S99a5126a38
【解析】根据等差数列的求和公式，化简得
a5
，14
根据等差数列通项公式得a12d8
，解方程组得
a12
a14d14
，
d3
S7 7a47 a13d72 3 377 ．故选 C．
3．已知等比数列a n的前 n 项和为S n，且满足2S n2n1，则的值为（）A． 4B． 2C．2D．4
【答案】 C
畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场 / 应用宝下载花生日记 APP 邀请码 NJBHKZO ，高佣联盟官方正版 APP 邀请码 2548643
【解析】 根据题意，当 n
1时， 2S 1 2a 1 4
，故当 n 2 时， a n S n S n 1
2n 1 ，
∵数列 a n 是等比数列，则 a 1
1，故
4
1 ；解得
2 ．故选 C ．
2
4．已知等差数列 a n 的前 n 项和为 S n ， a 5 a 7
14 ，则 S 11 （
）
A ． 140
B ． 70
C ． 154
D ． 77
【答案】 D
【解析】 等差数列 a n 的前 n 项和为 S n ， a 5 a 7 14 ，
∴ S 11
a 1 a 11
11 a 5 a 7
11
14 77 ．故选 D ．
2
2
11
2
5．已知数列 a n 是公比为 q 的等比数列， 且 a 1 ，a 3 ，a 2 成等差数列， 则公比 q 的值为（ ）
A ． 1
B ． 2
C ．1 或
1
D ． 1或
1
2 2
2
【答案】 C
【解析】 由题意知： 2a 3 a 1 a 2 ，∴ 2a 1 q 2 a 1 q a 1 ，即 2q 2
q 1 ，
∴ q 1 或 q
1
．故选 C ．
2
6．公比不为 1 的等比数列
a n 的前 n 项和为 S n ，且 2a 1 ， 1
a 2 ， a 3 成等差数列， 若 a 1 1 ，
2
则 S 4 （
）
A ． 5
B ． 0
C ． 5
D ． 7
【答案】 A
【解析】 设 a n 的公比为 q ，由 2a 1 ，
1
a 2 ， a 3 成等差数列，可得
a 2
2a 1 a 3 ，
2
若 a 1 1 ，可得 q
2 q 2
，解得 q
21舍去，
a 1 1 q 4
1 2 4
则 S 4
5 ，故选 A ．
1
q
1
2
7 ．等比数列 a n 的各项均为正数，且
a 5 a 6 a 4 a 7 18 ，则 log 3 a 1
log 3 a 2 L
log 3 a 10
（ ）
A ． 12
B ． 10
C ． 8
D ． 2 log 3 5
【答案】 B
【解析】 由等比数列的性质结合题意可知：
a 5a 6 a 4a 7 9 ，
且 a1 a10a2 a9a3a8a4a7a5a69 ，
据此结合对数的运算法则可得：
log 3 a1log3 a2L log 3 a10log 3 a1 a2 L a10log3 9510 ．故选 B．
8．设公差为2的等差数列a n，如果 a1a4a7 L a97 50 ，那么 a3 a6 a9 L a99等于（）
A．182B．78C．148D．82
【答案】 D
【解析】由两式的性质可知： a3a6a9a99a12d a42d a72d a972d ，则 a3a6 a9a9950 66d82 ．故选 D．
9．已知等差数列a n的前 n 项和为S n，且3S1 2S315 ，则数列a n的第三项为（）A． 3B．4C．5D． 6
【答案】 C
【解析】设等差数列a n的公差为 d，
∵ 3S12S315 ，∴3a1 2 a1a2a315 3a16a2，∴ a12d5a3．故选 C．10．等差数列a n的前 n 项和为S n，若2a8 6 a10，则 S11（）
A． 27B． 36C． 45D． 66
【答案】 D
【解析】∵ 2a6 a ，∴ a a6a，∴ a6，∴ S11 a1a
1111a66，故
6
810610101126
选 D．
11．设a n是各项为正数的等比数列，q 是其公比，K n是其前 n 项的积，且K5 K6，K6 K7 K8，
则下列结论错误的是（）
．．
A． 0q 1B． a71
C． K9K5D． K 6与 K 7均为 K n的最大值
【答案】 C
畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场 / 应用宝下载花生日记 APP 邀请码 NJBHKZO ，高佣联盟官方正版 APP 邀请码 2548643
n n 1
【解析】 等比数列 a n a 1q n 1
， K n 是其前 n 的 ，所以 K n a 1 n
q 2
，
由此 K 5 K 6
1 a 1 q 5 ， K 6
K 7 1 a 1q 6 ， K 7 K 8 1 a 1q 7
所以 a 7 a 1 q 6 1 ，所以 B 正确，
由 1 a 1q 5 ，各 正数的等比数列，可知
q 1 ，所以 A 正确，
n n 1
n n 1
n n 13
1 a 1q 6 ， K n
a 1n q 2 可知 K n a 1n q 2
q
2
，
由 0 q 1 ，所以 q x
减，
n n
13 在 n 6 ， 7 取最小 ，
2
所以 K n 在 n 6 ， 7 取最大 ，所以 D 正确．故 C ．
12 ． 定函 数 f x
如 下 表 ， 数 列 a n 足 a n 1
f a n ， n N ， 若 a 1 2 ，
a 1 a 2 a 3 L
a
2018
（ ）
A ． 7042
B ． 7058
C ． 7063
D ． 7262
【答案】 C
【解析】 由 知 f 1
3 ， f 2 5 ， f 3
4 ， f 4 6 ， f
5 1 ， f
6 2 ，
∵ a 1 2 ， a n 1 f a n ， n N ，
∴ a 1 2 ， a 2 f 2
5 ， a 3
f 5 1 ， a 4
f 1 3 ， a 5
f 3 4 ， a 6
f 4 6 ， a 7 f 6 2
??，
∴ a n 是周期
6 的周期数列，
∵ 2018 336 6 2 ，
∴ a 1 a 2 a 3 L a 2018 336 1 2 3 4 5 6 2 5 7063 ，故 C ．
二、填空
13．已知等差数列
a n ，若 a 2
a 3 a 7 6 ， a 1
a 7 ________
【答案】 4
【解析】∵ a2 a3 a7 6 ，∴ 3a1 9d 6 ，∴ a1 3d 2 ，
∴ a4 2 ，∴ a1a72a4 4 ．故答案为 4．
14．已知等比数列a n的前n项和为 S n，若公比 q3 2 ，且 a1 a2a3 1 ，则 S12的值是___________．
【答案】 15
【解析】已知 a1a2a3
a1 1q3
1，则 S3 1 ，
1q
a 1q12
又 q 3 2代入得 a11
q 1 ；∴ S12
q
1
15．设n
是等差数列a
的前
n
项和，若
a5
S n a
3
12
q 1 1 3 2
15 ．
1 q
10
，则
S
9 _______．
9S5
【答案】 2
S 9
a99a
a15
10
9
910
【解析】925
，又
a
，代入得
S
2 ．
S555a3a39S5 5 9
a5
a1
2
16．在等差数列a n中， a1a4a10a16a19100 ，则 a16a19a13的值是 _______．【答案】 20
【解析】根据等差数列性质a1a4a10a16a195a10100 ，所以 a10 20 ，
根据等差数列性质，a16a19a13a16a13a19a19a10a19a10 20 ．
三、解答题
17．已知数列a n中，a1 2 ， a n 12a n．
（1）求 a n；
（2）若 b n n a n，求数列b n的前 5 项的和 S5．
【答案】（ 1） a n2n；（ 2）77．
【解析】（ 1） a1 2 ， a n 1 2 a n，
畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场 / 应用宝下载花生日记 APP 邀请码 NJBHKZO ，高佣联盟官方正版 APP 邀请码 2548643
则数列 a n 是首项为 2，公比为 2 的等比数列， a n 2 2n 1 2n ；
（2） b n n a n n
2n ，
S 5
1 2 2 22
3 23
4 24
5 25
1 2
3 4 5
2
22 23 24 25
1 5
5 2 25 2
77 ．
2
1 2
18．设 a n
是等差数列， 其前 n 项和为 S n n N * ； b n 是等比数列， 公比大于 0，其前 n 项
和为 T n n N * ．
已知 b 1 1， b 3
b 2 2 ， b 4 a 3 a 5 ， b 5 a 4
2a 6 ．
（1）求 S n 和 T n ；
（2）若 S n
T 1 T 2 L
T n
a n 4
b n ，求正整数 n 的值．
【答案】（ 1） S n n n 1 ， T n 2n 1 ；（ 2） 4．
2
【解析】（ 1）设等比数列 b n 的公比为 q ，由 b 1 1 ， b 3
b 2 2 ，可得 q 2
q
2 0 ．
因为 q
0 ，可得 q
2 ，故 b n 2 n 1 ．所以 T n 1 2n
2n 1 ．
1 2 设等差数列 a n 的公差为 d ．
由 b 4 a 3 a 5 ，可得 a 1 3d 4 ．
由 b 5 a 4 2a 6 得 3a 1 13d 16 ，从而 a 1 1 ， d 1 ，
故 a
n ，所以 S
n n
1
n
．
n
2
2 1 n
（2）由（ 1），有 T 1 T 2 L
T n
2
1
2
2
L
2n
n 2
n 2 ．
1 n 2
n 1
2
由 S n
T 1 T 2 L
T n
a n 4
b n ，可得 n n
1
2
n
1
n 2 n 2
n 1
，
2
整理得 n 2
3n 4 0 ，解得 n
1 （舍），或 n 4．
所以 n 的值为 4．
2019年高考数学真题分类汇编 专题18：数列（综合题） 1.（2019?江苏）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”. （1）已知等比数列{a n }()* n N ∈满足：245324,440a a a a a a =-+=，求证:数列{a n }为 “M－数列”； （2）已知数列{b n }满足: 111221,n n n b S b b +==- ，其中S n 为数列{b n }的前n 项和． ①求数列{b n }的通项公式； ②设m 为正整数，若存在“M－数列”{c n }()* n N ∈ ，对任意正整数k ， 当k ≤m 时，都有1k k k c b c +≤≤成立，求m 的最大值． 【答案】 （1）解：设等比数列{a n }的公比为q ， 所以a 1≠0，q ≠0. 由 ，得 ，解得 ． 因此数列 为“M—数列”. （2）解：①因为 ，所以 ． 由 得 ，则 . 由 ，得 ， 当 时，由 ，得 ， 整理得 ． 所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列. 因此，数列{b n }的通项公式为b n =n . ②由①知，b k =k ， .
因为数列{c n}为“M–数列”，设公比为q，所以c1=1，q>0. 因为c k≤b k≤c k+1，所以，其中k=1，2，3，…，m. 当k=1时，有q≥1； 当k=2，3，…，m时，有． 设f（x）= ，则． 令，得x=e.列表如下： x e (e，+∞) + 0 – f（x）极大值 因为，所以． 取，当k=1，2，3，4，5时，，即， 经检验知也成立． 因此所求m的最大值不小于5． 若m≥6，分别取k=3，6，得3≤q3，且q5≤6，从而q15≥243，且q15≤216，所以q不存在.因此所求m的最大值小于6. 综上，所求m的最大值为5． 【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用，等比数列的通项公式，等差关系的确定 【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等比数列的通项公式，用“M－数列”的定义证出数列{a n}为“M－数列”。（2）①利用与的关系式结合已知条件得出数列为等差数列，并利用等差数列通项公式求出数列的通项
等差数列和等比数列的综合及其联系 课题设计背景： 数列是反映自然规律的基本数学模型之一。而等差数列和等比数列是学生必须掌握的两种基本数学模型，研究等差数列的通项、性质以及求和公式，并用类比的方法对等比数列进行研究是课程标准的教学要求。 课题设计目标： （1）掌握等差数列的通项公式及其前n项和公式； （2）掌握等差数列的通项公式及其前n项和公式；体验用类比的思想方法对等差数列和等比数列进行研究的活动。
例题分析： 1、已知(), f x = 利用课本推导等差数列前n 项和的公式的方法，求和： (5)(4)(3)...(5)f f f f f -+-+-+++的值 2、已知公差不为零的等差数列{n a }中，236,,a a a 组成等比数列的连续三项，求公比q 3、已知等差数列{}n a 的公差和等比数列{}n b 的公比都是11441010,1,,,;d d a b a b a b ≠=== （1）求1a 和d 的值；（2）16b 是不是数列{}n a 中的项，为什么？ （二）等差数列和等比数列之间的转化 结论： （1）{}n a 成等差数列，则{}(0,1)n a c c c >≠成等比数列； （2）正项数列{}n a 成等比数列，则{}log (0,1)c n a c c >≠成等差数列。类比可结合上述结论将等比数列转化为等差数列，再还原成等比数列写出有关结论。 例题分析： 1、 已知数列)}({* N n a n ∈是一个以(0)q q >为公比，以11(0)a a >为首项的等比数列，求 12lg lg ...lg n a a a +++ 2、 若数列)}({* N n a n ∈是等差数列，则有数列*123......,()n n a a a a b n N n ++++= ∈ 也是等差数列；类比上述性质，相应地：若数列)}({* N n c n ∈是等比数列，且0>n c ，则 有数列*_________________,()n d n N =∈也是等比数列。 3、 设)}({* N n a n ∈是等差数列，12n a n b ?? = ? ?? ，已知123123211 ,,88 b b b b b b ++= =求数列)}({*N n a n ∈的通项公式。 （三）学法总结： （四）课后反思：
微专题11等差数列与等比数列 1.掌握并活用等差、等比数列的基本量和性质，进行基本运算． 2.运用定义域分析通项公式，判断或证明一个数列是等差(比)数列． 3.从分析数列特征入手，综合运用通项公式、求和公式、不等式、函数等方法求解最值或参数范围问题． 考题导航题组一等差数列、等比数列的基本量及基本运算 1.记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝________． 2.设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，且3S 1，2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝________． 1.已知{a n }是等差数列，公差d 不为零．若a 2，a 3，a 7成等比数列，且2a 1＋a 2＝1，则a 1＝________，d ＝________． 2.若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝－1，a 4＝b 4＝8，则a 2b 2 ＝________．题组二等差数列、等比数列的判定与证明 1.已知数列{a n }的首项a 1＝1，且满足a n ＋1＝a n 4a n ＋1 ，则a n ＝________．2.已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2. (1)设b n ＝a n ＋1－a n ，证明：{b n }是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．
1.记S n为数列{a n}的前n项和，若S n＝2a n＋1，则S6＝________． 2.设数列{a n}中，S1＝1，S2＝2，S n＋1－3S n＋2S n－1＝0(n≥2)，则命题“{a n}是等比数列”是________命题．(填“真”或“假”) 题组三与等差数列、等比数列有关的最值、参数范围问 题 1.设等比数列{a n}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2…a n的最大值为________． 2.已知数列{a n}为等差数列，若a7 a6 <－1，且它们的前n项和S n有最大值，则使S n>0的n的最大值为________． 3.等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S10＝0，S15＝25，则nS n的最小值为________． 1.已知首项为3 2的等比数列{a n }不是递减数列，其前n项和为S n(n∈N*)，且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列． (1)求数列{a n}的通项公式； (2)设T n＝S n－1 S n (n∈N*)，求数列{T n}最大项的值与最小项的值．
2019-2020年高考数学第二轮专题复习数列教案 二、高考要求 1．理解数列的有关概念，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前n项. 2．理解等差（比）数列的概念，掌握等差（比）数列的通项公式与前n项和的公式. 并能运用这些知识来解决一些实际问题. 3．了解数学归纳法原理，掌握数学归纳法这一证题方法，掌握“归纳—猜想—证明”这一思想方法. 三、热点分析 1.数列在历年高考中都占有较重要的地位，一般情况下都是一个客观性试题加一个解答题，分值占整个试卷的10%左右.客观性试题主要考查等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n项和公式、极限的四则运算法则、无穷递缩等比数列所有项和等内容，对基本的计算技能要求比较高，解答题大多以考查数列内容为主，并涉及到函数、方程、不等式知识的综合性试题，在解题过程中通常用到等价转化，分类讨论等数学思想方法，是属于中高档难度的题目. 2.有关数列题的命题趋势（1）数列是特殊的函数，而不等式则是深刻认识函数和数列的重要工具，三者的综合求解题是对基础和能力的双重检验，而三者的求证题所显现出的代数推理是近年来高考命题的新热点（2）数列推理题是新出现的命题热点.以往高考常使用主体几何题来考查逻辑推理能力，近两年在数列题中也加强了推理能力的考查。（3）加强了数列与极限的综合考查题 3.熟练掌握、灵活运用等差、等比数列的性质。等差、等比数列的有关性质在解决数列问题时应用非常广泛，且十分灵活，主动发现题目中隐含的相关性质，往往使运算简洁优美.如a2a4+2a3a5+a4a6=25，可以利用等比数列的性质进行转化：a2a4=a32，a4a6=a52，从而有a32+2aa53+a52=25，即（a3+a5）2=25. 4.对客观题，应注意寻求简捷方法解答历年有关数列的客观题，就会发现，除了常规方法外，还可以用更简捷的方法求解.现介绍如下：①借助特殊数列. ②灵活运用等差数列、等比数列的有关性质，可更加准确、快速地解题，这种思路在解客观题时表现得更为突出，很多数列客观题都有灵活、简捷的解法 5.在数列的学习中加强能力训练数列问题对能力要求较高，特别是运算能力、归纳猜想能力、转化能力、逻辑推理能力更为突出.一般来说，考题中选择、填空题解法灵活多变，而解答题更是考查能力的集中体现，尤其近几年高考加强了数列推理能力的考查，应引起我们足够的重视.因此，在平时要加强对能力的培养。 6．这几年的高考通过选择题，填空题来着重对三基进行考查，涉及到的知识主要有：等差（比）数列的性质. 通过解答题着重对观察、归纳、抽象等解决问题的基本方法进行考查，其中涉及到方程、不等式、函数思想方法的应用等，综合性比较强，但难度略有下降. 四、复习建议 1．对基础知识要落实到位，主要是等差（比）数列的定义、通项、前n项和.
培优点十二 数列求和 1．错位相减法 例1：已知{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，{}n b 是等比数列，且112a b ==，4427a b +=， 4410S b -=． （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）记1121n n n n T a b a b a b -=++ +，n *∈N ，求证：12210n n n T a b +=-+． 【答案】（1）31n a n =-，2n n b =；（2）见解析． 【解析】（1）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ， 则3441127327a b a d b q +=?++=，34411104610S b a d b q -=?+-=， 即33 2322786210d q d q ?++=??+-=??，解得：32d q =??=?， 31n a n ∴=-，2n n b =． （2）()()2 31234222n n T n n =-?+-?+ +?，① ()()23+1231234222n n T n n =-?+-?+ +?，② -②①得 ()10223112n n =?---， ∴所证恒等式左边()102231n n =?--，右边()210231102n n n a b n =-+=--+?， 即左边=右边，所以不等式得证． 2．裂项相消法 例2：设数列{}n a ，其前n 项和23n S n =-，{}n b 为单调递增的等比数列，123512b b b =，1133a b a b +=+ ． （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）若()()21n n n n b c b b = --，求数列{} n c 的前n 项和n T ．
§6.2 等差数列 一．课程目标 1.理解等差数列的概念； 2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式； 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题； 4.了解等差数列与一次函数的关系. 二．知识梳理 1.定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示. 数学语言表达式：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)，或a n －a n －1＝d (n ≥2，d 为常数). 2.通项公式 若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d . 3.前n 项和公式 等差数列的前n 项和公式：2 2111)() (n n a a n d n n na S +=-+=其中n ∈N *，a 1为首项，d 为公差，a n 为第n 项). 3.等差数列的常用性质 已知数列{a n }是等差数列，S n 是{a n }的前n 项和.
(1)通项公式的推广：*),()(N m n d m n a a m n ∈-+= (2)若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则有q p n m a a a a +=+。特别的，当p n m 2=+时，p n m a a a 2=+ (3)等差数列{a n }的单调性：当d ＞0时，{a n }是递增数列；当d ＜0时，{a n }是递减数列；当d ＝0时，{a n }是常数列. (4)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列. (5)若}{},{n n b a 是等差数列，则}{n n qb pa +仍是等差数列. 4.与等差数列各项和相关的性质 （1）若}{n a 是等差数列，则}{n S n 也是等差数列， 其首项与}{n a 的首项相同，公差为}{n a 的公差的 2 1。 （2）数列m m m m m S S S S S 232--,,…也是等差数列. （3）关于非零等差数列奇数项与偶数项的性质。 a .若项数为n 2，则1 +==-n n a a S S nd S S 偶奇奇偶, 。 b .若项数为12-n ，则n a n n S )(1-=偶，n na S =奇，1 += =-n n S S a S S n 偶奇奇偶, 。 （4）若两个等差数列}{},{n n b a 的前n 项和分别为n n T S ,，则 1 21 2--=n n n n T S b a 5.等差数列的前n 项和公式与函数的关系： （1）n d a n d S )(2 212-+= ，数列{a n }是等差数列? S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数). （2）在等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值；若a 1＜0，d ＞0，则S n 存在最小值.
（2019全国1理）9.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知40S =，55a =，则（ ） A.25n a n =- B.310n a n =- C.228n S n n =- D.2 122 n S n n =- 答案： A 解析： 依题意有415146045 S a d a a d =+=??=+=?，可得13 2a d =-??=?，25n a n =-，24n S n n =-. （2019全国1理）14.记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若113 a =，2 46a a =，则5S = . 答案： 5S = 121 3 解答： ∵113 a = ，2 46a a = 设等比数列公比为q ∴32 5 11()a q a q = ∴3q = ∴5S = 121 3 2019全国2理)19. 已知数列{}n a 和{}n b 满足11=a ，01=b ，4341+-=+n n n b a a ，4341--=+n n n a b b . （1）证明： {}n n b a +是等比数列，{}n n b a -是等差数列； （2）求{}n a 和{}n b 的通项公式. 答案： （1）见解析 （2）21)21(-+=n a n n ，2 1)21(+-=n b n n . 解析： (1)将4341+-=+n n n b a a ，4341--=+n n n a b b 相加可得n n n n n n b a b a b a --+=+++334411， 整理可得)(2111n n n n b a b a += +++，又111=+b a ，故{}n n b a +是首项为1，公比为2 1 的等比数列. 将4341+-=+n n n b a a ，4341--=+n n n a b b 作差可得8334411+-+-=-++n n n n n n b a b a b a ， 整理可得211+-=-++n n n n b a b a ，又111=-b a ，故{}n n b a -是首项为1，公差为2的等差数列. （2）由{}n n b a +是首项为1，公比为 21的等比数列可得1)2 1 (-=+n n n b a ①；
一．课题：等差数列与等比数列的基本运算 二．教学目标：掌握等差数列和等比数列的定义，通项公式和前n 项和的公式，并能利用这些知识 解决有关问题，培养学生的化归能力． 三．教学重点：对等差数列和等比数列的判断，通项公式和前n 项和的公式的应用． 四．教学过程： （一）主要知识： 1．等差数列的概念及其通项公式，等差数列前n 项和公式； 2．等比数列的概念及其通项公式，等比数列前n 项和公式； 3．等差中项和等比中项的概念． （二）主要方法： 1．涉及等差（比）数列的基本概念的问题，常用基本量1,()a d q 来处理； 2．使用等比数列前n 项和公式时，必须弄清公比q 是否可能等于1还是必不等于1，如果不能确定则需要讨论； 3．若奇数个成等差数列且和为定值时，可设中间三项为,,a d a a d -+；若偶数个成等差数列且和为定值时，可设中间两项为,a d a d -+，其余各项再根据等差数列的定义进行对称设元．若干个数个成等比数列且积为定值时，设元方法与等差数列类似． 4．在求解数列问题时要注意运用函数思想，方程思想和整体消元思想，设而不求． （三）例题分析： 例1．（1）设数列{}n a 是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项为 2 ． （2）已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且139,,a a a 成等比数列，则1392410a a a a a a ++++=1316 ． 例2．有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个书的和是12，求这四个数． 解：设这四个数为：2 (),,,a d a d a a d a +-+，则2 ()16212a d a d a a d ?+-+=???+=? 解得：48a d =??=?或96a d =??=-?，所以所求的四个数为：4,4,12,36-；或15,9,3,1． 例3．由正数组成的等比数列{}n a ，若前2n 项之和等于它前2n 项中的偶数项之和的11倍，第3项与第4项之和为第2项与第4项之积的11倍，求数列{}n a 的通项公式． 解：当1q =时，得11211na na =不成立，∴1q ≠， ∴221122331111 (1)11(1)1111n n a q a q q q q a q a q a q a q ?--=?--??+=?? 由①得110 q =，代入②得110a =， ∴21()10 n n a -=． 说明：用等比数列前n 项和公式时，一定要注意讨论公比是否为1． 例4．已知等差数列110,116,122,， ① ②
等差数列、等比数列同步练习题 等差数列 一、选择题 1、等差数列-6，-1，4，9，……中的第20项为（） A、89 B、-101 C、101 D、-89 2、等差数列{a n}中，a15 = 33，a45 = 153，则217是这个数列的（） A、第60项 B、第61项 C、第62项 D、不在这个数列中 3、在-9与3之间插入n个数，使这n+2个数组成和为-21的等差数列，则n为 A、4 B、5 C、6 D、不存在 4、等差数列{a n}中，a1 + a7 = 42，a10 - a3 = 21，则前10项的S10等于（） A、720 B、257 C、255 D、不确定 5、等差数列中连续四项为a，x，b，2x，那么a：b等于（） A、1 4B、 1 3C、 1 3或 1 D、 1 2 6、已知数列{a n}的前n项和S n = 2n2 - 3n，而a1，a3，a5，a7，……组成一新数列{ C n }，其通项公式为（）A、C n= 4n - 3 B、C n= 8n - 1 C、C n= 4n - 5 D、C n= 8n - 9
7、一个项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和与偶数项的和分别是24与30，若此数列的最后一项比第1项大10，则这个数列共有（） A、6项 B、8项 C、10项 D、12项 8、设数列{a n}和{b n}都是等差数列，其中a1 = 25，b1 = 75，且a100 + b100 = 100，则数列{a n + b n}的前100项和为（） A、0 B、100 C、10000 D、505000 二、填空题 9、在等差数列{a n}中，a n = m，a n+m= 0，则a m= ______。 10、在等差数列{a n}中，a4 +a7 + a10 + a13 = 20，则S16 = ______ 。 11、在等差数列{a n}中，a1 + a2 + a3 +a4 = 68，a6 + a7 +a8 + a9 + a10 = 30，则从a15到a30的和是 ______ 。 12、已知等差数列 110，116，122，……，则大于450而不大于602的各项之和为 ______ 。 13、在等差数列{a n}中，已知a1=2，a2 + a3 = 13，则a4 + a5 +a6 = 14、如果等差数列{a n}中，a3 +a4 + a5 = 12，那么a1 + a2 +…+ a7 = 15、设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a1 = 3，a5 = 11，S7 = 16、已知{a n}为等差数列，a1 + a3 + a5 = 105，a2 +a4 + a6 = 99，则a20 =
等差数列与等比数列十大例题 例1、已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ． （Ⅰ）求n a 及n S ； （Ⅱ）令b n = 2 1 1 n a -(n ∈N *)，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为37a =，5726a a +=，所以有 11 27 21026a d a d +=?? +=?，解得13,2a d ==， 所以321)=2n+1n a n =+-（；n S =n(n-1) 3n+22 ?=2n +2n 。 （Ⅱ）由（Ⅰ）知2n+1n a =，所以b n = 2 1 1n a -=21=2n+1)1-（114n(n+1)?=111(-)4n n+1 ?， 所以n T = 111111(1-+++-)4223n n+1?- =11(1-)=4n+1?n 4(n+1) ， 即数列{}n b 的前n 项和n T = n 4(n+1) 。 【命题意图】本题考查等差数列的通项公式与前n 项和公式的应用、裂项法求数列的和，熟练数列的基础知识是解答好本类题目的关键。 例2、 设n S 为数列{}n a 的前n 项和，2n S kn n =+，* n N ∈，其中k 是常数． （I ） 求1a 及n a ； （II ）若对于任意的* m N ∈，m a ，2m a ，4m a 成等比数列，求k 的值． 解（Ⅰ）当1,111+===k S a n ， 12)]1()1([,2221+-=-+--+=-=≥-k kn n n k n kn S S a n n n n （*） 经验，,1=n （*）式成立， 12+-=∴k kn a n （Ⅱ）m m m a a a 42,, 成等比数列，m m m a a a 42 2.=∴， 即)18)(12()14(2 +-+-=+-k km k km k km ，整理得：0)1(=-k mk ，
1.【2017浙江，6】已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】C 【考点】 等差数列、充分必要性 【名师点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式，通过公式的套入与简单运算，可知 4652S S S d +-=， 结合充分必要性的判断，若q p ?，则p 是q 的充分条件，若q p ?， 则 p 是q 的必要条件，该题“0>d ”?“02564>-+S S S ”，故为充要条件． 2.【2015高考新课标1，文7】已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若 844S S =，则10a =（ ） （A ） 172 （B ）19 2 （C ）10 （D ）12 【答案】B 【解析】∵公差1d =，844S S =，∴11118874(443)2 2 a a +??=+??，解得1a =1 2 ， ∴101119 9922 a a d =+= += ，故选B. 【考点定位】等差数列通项公式及前n 项和公式 【名师点睛】解等差数列问题关键在于熟记等差数列定义、性质、通项公式、前n 项和公式，利用方程思想和公式列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，利用等差数列性质可以简化计算. 3.【2014高考重庆文第2题】在等差数列{}n a 中,1 352,10a a a =+=，则7a =（ ） .5A .8B .10C .14D 【答案】B
【解析】 试题分析：设等差数列{}n a 的公差为d ，由题设知，12610a d +=，所以，1 10216 a d -== 所以，7 16268a a d =+=+=.故选B. 考点：等差数列通项公式. 【名师点睛】本题考查了等差数列的概念与通项公式，本题属于基础题，利用下标和相等的两项的和相等更能快速作答. 4. 【2014天津，文5】设 {}n a 是首项为1 a ，公差为1-的等差数列，n S 为其前n 项和，若 ， ，，421S S S 成等比数列，则1a =（ ） A.2 B.-2 C.2 1 D .1 2- 【答案】D 考点：等比数列 【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n 项和公式，本题属于基础题，利用等差数列的前n 项和公式表示出，，，421S S S 然后依据，，，421S S S 成等比数列，列出方程求出首项.这类问题考查等差数列和等比数列的基本知识，大多利用通项公式和前n 项和公式通过列方程或方程组就可以解出. 5. 【2014辽宁文9】设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}n a a 为递减数列，则（ ） A ．0d < B ．0d > C ．10a d < D ．10a d > 【答案】C 【解析】 试题分析：由已知得，11122n n a a a a -<，即111212 n n a a a a -<，1 n 1(a ) 21n a a --<， 又n 1a n a d --=，故121a d <，从而10a d <，选C ． 【考点定位】1、等差数列的定义；2、数列的单调性． 【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式、数列的性质等， 解答本题的关键，是写出等差
2019年高考专题：数列 1．【2019年高考全国III 卷文数】已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a =（ ） A ．16 B ．8 C ．4 D ．2 【解析】设正数的等比数列{a n }的公比为q ，则23111142 1111534a a q a q a q a q a q a ?+++=?=+?， 解得11,2 a q =??=?，2 314a a q ∴==，故选C ． 2．【2019年高考全国I 卷文数】记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若133 14 a S ==，，则S 4=___________． 【解析】设等比数列的公比为q ，由已知22 3111314S a a q a q q q =++=++= ，即2 104 q q ++=. 解得12q =-，所以4 4 1411()(1)521181()2 a q S q -- -= ==---． 3．【2019年高考全国III 卷文数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若375,13a a ==，则10S = ___________. 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据题意可得 317 125,613a a d a a d =+=??=+=?得11,2a d =??=? 101 109109 101012100.22S a d ??∴=+=?+?= 4．【2019年高考江苏卷】已知数列* {}()n a n ∈N 是等差数列， n S 是其前n 项和.若25890,27a a a S +==，则8S 的值是__________． 【解析】由题意可得：()()()25811191470 98 9272a a a a d a d a d S a d ?+=++++=? ??=+=?? ， 解得：152 a d =-??=?，则8187 840282162S a d ?=+=-+?=.
专题十一 等差数列与等比数列 一、单选题 1．（2020·浙江西湖·学军中学高三其他）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，并满足：对任意*n ∈N ，都有2020n n S S +≥，则下列命题不一定．．． 成立的是（ ） A ．20202021S S ≤ B ．20212022S S ≤ C ．10101011a a ≤ D ．10111012a a ≤ 【答案】C 【解析】 【分析】 设等差数列{}n a 的公差为d ，对d 分0d =、0d >、0d <三种情况讨论，在0d =时验证即可；在0d >时，取2d =，可设()2n S n tn t R =+∈，根据2020n n S S +≥恒成立求得实数t 的取值范围，逐一验证各选项即可；同理可判断出0d <时各选项的正误. 【详解】 设等差数列{}n a 的公差为d ，则()2111222n n n d d d S na n a n -??=+=+- ?? ?. ①当0d =时，则1n a a =，1n S na =，则2020n n S S +≥对任意的*n ∈N 恒成立， A 、B 、C 、D 四个选项都成立； ②当0d >时，不妨取2d =，记12 d t a =-，则2n S n tn =+， 由2020n n S S +≥可得2220200n n S S +-≥，即()()202020200n n n n S S S S ++-+≥， 则()()222404020202020240402020220200n t n n tn t ++++++≥， 令24040202020200n t ++=，可得22020t n =--； 令22240402020220200n n tn t ++++=，可得2101010101010t n n ??=-++ ?+? ?. ()()2 222 101010101010101010102202010100101010101010n n n n n n n +-??-++---=+-=> ?+++??，
【最新】《数列》专题解析(1) 一、选择题 1．设数列是公差 的等差数列，为前项和，若，则 取得最 大值时，的值为 A ． B ． C ．或 D ． 【答案】C 【解析】 ，进而得到 ，即 ， 数列 是公差 的等差数列，所以前五项都是正数， 或时， 取最大值，故选C. 2．等差数列{}n a 中，1510a a +=，47a =，则数列{}n a 前6项和6S 为（） A ．18 B ．24 C ．36 D ．72 【答案】C 【解析】 【分析】 由等差数列的性质可得35a =，根据等差数列的前n 项和公式163466622 a a a a S ++=?=?可得结果. 【详解】 ∵等差数列{}n a 中，1510a a +=，∴3210a =，即35a =， ∴1634657 66636222 a a a a S +++=?=?=?=， 故选C. 【点睛】 本题主要考查了等差数列的性质以及等差数列的前n 项和公式的应用，属于基础题. 3．数列{}n a ：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和．即：21n n n a a a ++=+.记该数列{}n a 的前n 项和为 n S ，则下列结论正确的是（ ） A ．201920202S a =+ B ．201920212S a =+ C ．201920201S a =- D ．201920211S a =- 【答案】D 【解析】 【分析】 根据递推关系利用裂项相消法探求和项与通项关系，即得结果. 【详解】
专题三 数列 第1讲 等差数列与等比数列 [考情分析] 1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现.2.数列求和及数列的综合问题是高考考查的重点． 考点一 等差数列、等比数列的基本运算 核心提炼 等差数列、等比数列的基本公式(n ∈N *) (1)等差数列的通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ； (2)等比数列的通项公式：a n ＝a 1·q n － 1. (3)等差数列的求和公式：S n ＝ 1()2n n a a +＝na 1＋(1) 2 n n -d ； (4)等比数列的求和公式：S n ＝111(1)(1)(1)11n n na q a a q a q q q q =?? --?=≠?--? 例1 (1)《周髀算经》中有一个问题：从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影长的和为37.5尺，芒种的日影长为4.5尺，则冬至的日影长为( ) A ．15.5尺 B ．12.5尺 C ．10.5尺 D ．9.5尺 【答案】 A 【解析】 从冬至起，十二个节气的日影长依次记为a 1，a 2，a 3，…，a 12，由题意，有a 1＋a 4＋a 7＝37.5，根据等差数列的性质，得a 4＝12.5，而a 12＝4.5，设公差为d ，则11312.5, 11 4.5, a d a d +=?? +=?解得115.5, 1, a d =?? =-?所以冬至的日影长为15.5尺． (2)已知点(n ，a n )在函数f (x )＝2x －1 的图象上(n ∈N *)．数列{a n }的前n 项和为S n ，设b n ＝ 2 1 64 n s +，数列{b n }的前n 项和为T n .则T n 的最小值为________． 【答案】－30 【解析】∵点(n ，a n )在函数f (x )＝2x －1 的图象上， ∴a n ＝2n － 1(n ∈N *)， ∴{a n }是首项为a 1＝1，公比q ＝2的等比数列，
山西省朔州市应县四中高二数学学案（十一） 等差数列与等比数列 编写人：朱强基 考纲要求 1理解数列的有关概念，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项。 2掌握等差数列与等比数列的概念、通项公式、前n 项和的公式，并能够运用这些知识解决一些问题。 重点、难点归纳 1数列的有关概念 数列：按照一定的次序排列的一列数。 通项公式：数列的第n 项a n 与n 之间的函数关系如果能够用一个解析式来表示，则这个解析式就叫做这个数列的通项公式。 2数列的表示法 列举法：如a 1，a 2，a 3，…，a n ，… 图象法：用孤立的点(n ，a n )来表示 解析法：即用通项公式来表示 递推法：一个数列的各项可由它的前m 项的值以及与它相邻的m 项之间的关系来表示 3数列的分类 有穷数列与无穷数列 有界数列与无界数列 常数列、递增数列、递减数列、摆动数列 4a n 与S n 的关系 S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ；a n ＝S 1(n ＝1时)，a n ＝S n －S n －1(n ≥2时)。 前n 项和公式 等差数列{a n }前n 项的和为2111()(1)()2222 n n a a n n n d d S na d n a n +-= =+=+-。
Ⅰ.设数列{}n a 是等差数列，其奇数项之和为奇S 、偶数项之和为 偶S ，那么，当项数为偶数2n 时， 1, +=n n a a S S nd S S ＝ －偶 奇奇偶；当项数为奇数2n ＋1时，11,n S n S S a S n ++-==奇奇偶 偶 Ⅱ.在等差数列｛n a ｝中,有关S n 的最值问题：(1)当1a >0,d<0时，满足???≤≥+00 1 m m a a 的项数m 使得m s 取最大值. (2) 当1a <0,d>0时，满足???≥≤+0 1m m a a 的项数m 使得m s 取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应 用。 Ⅲ.121(21),{}2 n n n s a d s n a n n -=-是以为首项,为公差的等差数列. 等比数列{a n }前n 项的和为S n ＝na 1，(q ＝1时)；S n ＝q q a a q q a n n --=--11)1(11，(q ≠1时)。 （1）正数等比数列各项的（同底）对数值，依次组成等差数列.即｛ ｝为等比数列且 （i=1,2……,n,……） ｛ ｝( 且 )为等差数列；若定义 ＝ ，则｛ ｝亦 为等差数列. （2）取一个不等于1的正数为底数，则以等差数列各项为指数的方幂依次组成等比数列.即设a>0且a≠1，则｛ ｝ 为等差数列 ｛ ｝为等比数列. （3）｛ ｝既是等差数列，又是等比数列 ｛ ｝是非零常数列.
专题检测（八） 等差数列、等比数列 A 组——“6＋3＋3”考点落实练 一、选择题 1．(2019·成都高三摸底考试)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 4＝5 2，S 10＝15， 则a 7＝( ) A.1 2 B ．1 C.32 D ．2 解析：选A 法一：设等差数列{a n }的公差为d ，则由题设得???a 4 ＝a 1 ＋3d ＝5 2， S 10 ＝10a 1 ＋10×9 2 d ＝15，解得???a 1＝92 ， d ＝－2 3， 所以a 7 ＝a 1 ＋6d ＝9 2＋6×????－23＝12.故选A. 法二：因为S 10＝10（a 1＋a 10）2＝15，所以a 1＋a 10＝3，又a 4＋a 7＝a 1＋a 10，a 4＝5 2，所 以52＋a 7＝3，解得a 7＝1 2 .故选A. 2．(2019·福州市质量检测)已知数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1.若数列???? ??1a n 为等差数列，则 a 9＝( ) A.12 B ．54 C.45 D ．－45 解析：选C 因为数列??????1a n 为等差数列，a 3＝2，a 7＝1，所以数列?????? 1a n 的公差d ＝1a 7－1a 37－3＝ 1－1 2 7－3＝18 ，所以1a 9＝1a 7＋(9－7)×18＝54，所以a 9＝4 5.故选C. 3．等比数列{a n }的各项均为正实数，其前n 项和为S n .若a 3＝4，a 2a 6＝64，则S 5＝( ) A ．32 B ．31 C ．64 D ．63
解析：选B 法一：设首项为a 1，公比为q ，因为a n >0，所以q >0，由条件得??? ??a 1·q 2＝4， a 1q ·a 1q 5＝64， 解得?????a 1＝1， q ＝2， 所以S 5＝31.故选B. 法二：设首项为a 1，公比为q ，因为a n >0，所以q >0，由a 2a 6＝a 24＝64，a 3 ＝4，得q ＝2，a 1＝1，所以S 5＝31.故选B. 4．若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6>S 7>S 5，则满足S n S n ＋1<0的正整数n 的值为( ) A ．10 B ．11 C ．12 D ．13 解析：选C 由S 6>S 7>S 5，得S 7＝S 6＋a 7S 5，所以a 7<0，a 6＋a 7>0，所以S 13＝13（a 1＋a 13）2＝13a 7<0，S 12＝12（a 1＋a 12）2＝6(a 6＋a 7)>0，所以S 12S 13<0，即满足 S n S n ＋1<0的正整数n 的值为12.故选C. 5．(2019·江西临川期末)已知正项等比数列{a n }满足a 5·a 6·a 7＝1，且f (x )＝???? ?x ln x ，x ≥1，ln x x ，0