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线性代数习题标准答案(IMUST 版)__相似矩阵及二次型[]
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：
第五章 相似矩阵及二次型
一、计算题
1.解：[1a ,2a ]=1?2+2?3+3?（-1）+（-4）?4=-11 单位化如下：
1a 单位化：()
1111
1112
1,2,3,4(
,,,)3030151015
T
T a b a =
=-=- 2a 单位化：()
2221
11122,3,1,4(
,,,)30
15103015
T
T a b a =
=-=-
2、解：先正交化：取11b a =，2122111020[,]0101[,]4101a b b a b b b ??????
? ? ?
=-=-= ? ? ? ? ? ?
--??????，
1323331211225200[,][,]1066013[,][,]220013b a b a b a b b b b b b ????????
? ? ? ?
=--=--= ? ? ? ? ? ? ? ?
--????????
单位化：取111100b e b ?? ?
== ? ???，22201121b e b ?? ?== ? ?-??，333
00113118231b e b ????
? ?=== ? ? ? ?????
3．
解：先正交化：取11b a =，2122111423[,]
1825343[,]2525a b b a b b b ??
-
?????=-=-= ? ? ?
????? ???
再单位化：111b e b ==3545??
? ? ? ?
??
，2224535b e b ??-
?
== ? ?
???
4．解：不是。因为该矩阵的列向量不都是单位向量，且不两两正交。
5．解：是.因为该矩阵的每个列向量都是单位向量，且两两正交。
6．解：所求向量23,a a 应满足方程10T a X =,即1232240x x x +-=
该方程组的基础解系是：11(1,0,)2T ξ=，21
(0,1,)2
T ξ=，
把基础解系正交化即得所求向量有211(1,0,)2T a ξ==，312
(,1,)55
T a =-
7．
解：A 特征多项式为：2(1)(2)A E λλλ-=---，
所以A 特征值为：1231,2λλλ===，
当11λ=时，解方程()0A E x -=，的基础解系：1(0,0,1)T p =，所以1kp （0k ≠）是对应于11λ=的全部特征向量；
当232λλ==时，解方程(2)0A E x -=，的基础解系：1(1,1,0)T p =，所以2kp （0k ≠）是对应于232λλ==的全部特征向量
8．解：A 特征多项式为：3200111(2)1
1
3A E λ
λλλλ
--=-=----，
所以A 特征值为：1232λλλ===，当1232λλλ===时，解方程(2)0A E x -=，基础解系：
1(1,1,0)T p =，2(1,0,1)T p =-
故对应于特征值1232λλλ===的所有特征向量为：1122k p k p +（12,k k 不同时为0） 9．
解：令2331A -??= ?-??
，A 特征多项式为：2
37A E λλλ-=--，
所以A 特征值为：12337337
,22
λλ+-== 10．
解：A 可逆，48A =，*13216248()A A A A A A A A ?--=-++=，有321
()6248?λλλλλ
=-++，
故()A ?的特征值为：(2)12,(4)12,(6)20???==-=，
所以32*622880A A A A -++=- 11、
解：A 的特征值分别为：1231,2,3λλλ===，特征值互不相等，故可以对角化。
对应11λ=，解方程组()0A E x -=，得基础解系1110ξ??
?
= ? ?
??，单位化得122220p ?? ? ? ?=
? ?
? ? ???
对应22λ=，解方程组(2)0A E x -=，得基础解系2110ξ??
?
=- ? ?
??，单位化得222220p ?? ? ? ?=- ? ? ?
? ???
对应33λ=，解方程组(3)0A E x -=，得基础解系3001ξ?? ?= ? ?
??
，单位化得3001p ??
?
= ? ???
将1,2,3p p p 构成正交阵1,2,32
202222()02200
1P p p p ?
? ? ?
?==-
? ? ? ? ???
， 有1100020003T P AP P AP -?? ?
== ? ???
12．解：A 的特征值分别为：1232,4λλλ===
对应1λ=2，解方程组(2)0A E x -=，得基础解系1011ξ??
?=- ? ???
，单位化得102222p ?? ? ? ?
=- ? ? ? ??? 对应234λλ==，解方程组(4)0A E x -=，得基础解系2011ξ?? ?= ? ???，3100ξ?? ?
= ? ???
，
单位化得：202222p ?
? ? ?
?=
? ? ? ???
，3100p ?? ?= ? ???，1,2,3ξξξ线性无关，故可对角化。 将1,2,3p p p 构成正交阵1,2,300122
()02222022
P p p p ?? ?
?
?==-
? ? ? ???
， 有1200040004T P AP P AP -?? ?
== ? ???
13．解：A 的特征值分别为：1231,4,1λλλ===-，特征值互不相等，故可以对角化。
对应11λ=，解方程组()0A E x -=，得基础解系1143
21ξ?? ? ? ?=- ? ? ? ???
，
对应24λ=，解方程组(4)0A E x -=，得基础解系2101ξ-?? ?
= ? ???
，
对应31λ=-，解方程组()0A E x +=，得基础解系33201ξ??- ? ?
= ? ? ???，
用施密特法把123,,ξξξ正交化，即得到所求正交阵
14．解：22222A ??= ???，223
2
2222
2A ??= ???，334
332222A ??= ???9999100
99992222A ??
= ???
L L
15．解：B 为对角阵，A 与B 相似，即-1，x ，y 就是A 的特征根， A 的特征根为：1231,2,2λλλ=-==-故x=2，y=-2
16．解：A 为对称阵，故不同特征值所对应的特征向量正交，故与38λ=对应的特征向量应满
足下列方程：1213200
x x x x -+=??-=?，解方程组有基础解系为：31
(1,,1)2T p =，将其单位化有：
31
212(1,,1)(,,)2333
T T ξ==。
将1(1,2,0)T p =-，2(1,0,1)T p =-正交化，有11p η=，2122111[,]42
(,,1)[,]55
T p p ξηξξξ=-
=- 再单位化：1525(,,0)55T ξ=-
，212(,,0)33
T ξ=-。 将1,2,3ξξξ构成正交阵1,2,32
5
13531
252()35320
03P ξξξ??- ? ?
?==
? ? ?
? ???，1800010001T
P AP P AP -??
?==- ? ?
-??即25125114683235335345
5980012521252816160103533535
459001223216320
00
03399
9T
T
A PAP ??
??
??-- ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?
==-=-
? ? ? ? ? ? ?- ??? ? ? ? ? ? ? ? ??
?
?
??
?
17．解：该二次型的矩阵为：4682??
???
18．解：
1
02
2
1
(,,)1
2
2
12
2
x f x y z y
z
??
-
?
??
?
?
?
= ?
? ?
???
-
?
?
??
19、解：f所对应的矩阵
200
03
2
00
2
a
A
a
??
?
?
?
=
?
?
?
??
，由题意A的特征值为：
123
1,2,5
λλλ
===，其特征
多项式为：
2
95
4
a
-=得4
a=±，由于0
a>，故4
a=
对应
11
λ=，解方程组()0
A E x
-=，得基础解系
10 1 1
ξ
??
?
= ?
?
-??
，单位化得
1
2
2
2
2
p
??
?
?
?
= ?
?
?
- ?
??
对应
22
λ=，解方程组(2)0
A E x
-=，得基础解系
21 0 0
ξ
??
?
= ?
?
??
，单位化得
2
1
p
??
?
= ?
?
??
对应
35
λ=，解方程组()0
A E x
+=，得基础解系
30 1 1
ξ
??
?
= ?
?
??
，单位化得
3
2
2
2
2
p
??
?
?
?
= ?
?
?
?
??
将1,2,3p p p 构成正交阵1,2,30102
2()022220
22P p p p ??
? ? ?==
?
? ?- ???
， 有1100020005T P AP P AP -?? ?
== ? ???
20.
解：f 所对应的矩阵200032020A ?? ?
= ? ???
，A 的特征向量为：1231,2,5λλλ===
故标准型为22212325f y y y =++
所用正交阵由19题知1,2,30102
2()022220
22P p p p ?
?
? ? ?==
?
? ?- ???
， 即1100020005T
P AP P AP -?? ?== ? ???
21.
解：f =[)2(232121x x x x ++]322
3
23x x x ++ =322
3
232232123)2()2(x x x x x x x x +++-++=2322321)()2(x x x x x +-++
令?????=+=++=3332232112x y x x y x x x y ，即可逆线性变换???
??=-=--=333223211y x y y x y y y x 22.解：f 所对应的矩阵52121111A t -??
?
=- ? ?--??
，
若f 正定，即A 正定，A 的各阶主子式应都为正，
521
2
1
1011
t
-->--有100t +>即10t >
23．解：设p 对应的特征值为λ，有Ap p λ=即21215311211a b λλ-??????
??? ?
-=- ??? ? ??? ?--??????
解得a=3,b=4,5λ=
24.解：A 为对称阵，故231λλ==所对应的特征向量与14λ=所对应的特征向量1p 正交，故满足下列方程：1230x x x -+=，解方程组有基础解系为：2(1,0,1)T p =-，3(1,0,1)T p =将
2(1,0,1)T p =-，3(1,0,1)T p =正交化，有22p ξ=，311
(,1,)22
T ξ==
再单位化：222(,0,)22T η=-
，3666(,,)636
T η=。 将()11,1,1T
p =-单位化得：1333(
,,)333
T
η=-
将
1,2,3
ηηη构成正交阵
1,2,33263263
6()03332632
6P ηηη??-- ? ? ?==-
? ? ? ? ??
?
，
1400010001T P AP P AP -??
?
== ?
???32632
63263
26400211363600100121333300111232632632
632
6T
T
A PAP ??
??---- ? ? ? ?
-???? ? ? ? ?==-
-=-- ? ? ? ? ? ? ?
?-????
? ? ? ? ? ??
??
?
25.解：（1）由题意：111A αλα=
5353111111(4)42B A A E A A E αααααα=-+=-+=-，故1α是矩阵B 的特征向量。
设53()4B A A A E ?==-+，故B 的特征值分别为：(1)2,(2)1,(2)1???=-=-=即
2
132,1λλλ=-==
对应于12λ=-有，B 的全部特征向量为11k α（1k 不为0） B 为对称阵，所以对应于231λλ==的特征向量满足与1α正交，
即满足方程1230x x x -+=解有其基础解系为：2101ξ-?? ?= ? ???，3110ξ??
?
= ? ???
将23,ξξ正交化，22αξ=，312112α?? ? ?
= ? ? ???故对应于231λλ==的全部特征向量为：2233k k αα+（23,k k 不
同时为0）
（2）分别将123,,ααα单位化：12336236236,0,33236236p p p ????
??
? ?- ? ? ?
? ? ?
=-==- ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ?
????
将123,,p p p 构成矩阵12336236236(,,)033236236P p p p ?? ?- ? ?==-- ? ? ?
? ???
，有100020002T
A P P ?? ?= ? ?-??
5
555111122100310
201121
300
23122113T A P P ?? ?-?? ?
?
?==- ? ? ?- ??
? ?
-??
3
3337353100770
205
3300
27533T A P P ??- ??? ? ?
?==- ? ? ?- ?
?
? ?- ???
，
535023
5
4013210B A A E ?
?- ? ?
?=-+= ? ?- ?
???
26.解：已知n 阶方阵A 有n 个互异的特征值，
故存在可逆矩阵P ，使得P -1AP=Λ=diag(2，4，…，2n)
det(A-3E)=det （P ΛP -1-3PP -1）=det （P(Λ-3E)P -1）=detP det(Λ-3E)det(P -1) = det(Λ-3E)=-1?1?3?5?…?(2n-3)
27.解：（1）111111111A ?? ?
= ? ???
，A 的特征值分别为120λλ==，33λ=
对应于120λλ==的特征向量为：1122k k αα+（12,k k 不同时为0）
对应于33λ=的特征向量为：33k α（3k 不为0）这里3111α??
?
= ? ???
（2）将12,αα正交化有，11p α=，212012p ??- ?
?
= ? ?
???，分别单位化有：1666366q ??- ? ? ?= ? ? ?
- ? ?
??
266066q ??- ? ?= ? ? ? ???，将3α单位化有3333333q ?
? ?
?
?
=
?
? ? ?
???故所求正交阵为1236
6
36
6363(,,)03
366366
3Q q q q ??-- ? ? ?== ? ? ?- ? ??
?
（3）111111111A ?? ?
= ? ???
28.
解：(1)f 所对应的矩阵为110110002a a A a a -+?? ?
=+- ? ???
，A 的秩为2，
则该矩阵的第一列和第二列应对应成比例，满足：1(1)
1(1)a k a a k a -=+??+=-?，
解得：a=0
（2）A 的特征值为：1230,2λλλ===
对应于10λ=，解方程组0Ax =，得基础解系1110ξ-??
?
= ? ?
??，单位化得：122220p ??- ?
? ?= ? ? ?
? ???
对应232λλ==，解方程组(2)0A E x -=，得基础解系2110ξ?? ?= ? ???，2001ξ??
?
= ? ?
??单位化得222220p ?
? ? ? ?=
? ?
? ? ???
，3001p ??
?
= ? ?
??由1,23,p p p 构成矩阵Q ，则所求正交变换为22022220220
1x Qy y ??- ? ? ?
==
? ? ? ? ??
?
，标准型为：()2212323,,22f x x x y y =+
（3）由于),,(321x x x f =2
3221212322212)(22x x x x x x x x ++=+++=0.所以???==+00321x x x ，
其通解为x=k (-1,1,0)T ,其中k 为任意常数.
29.
解：A 的特征方程为1
2
2-2
1
2
-2-2-1
+++=-λλλλA E 0)5()12=+-=λλ（
故A 的特征值为1，1，-5. （2）由于A 的特征值为1，1，-5，
则A -1的特征值为1，1，5
1
-，
则E+A -1的特征值为1+1=2，1+1=2，1+（51-）=5
4
30.
解：（1）此二次型对应矩阵为???
?
?
??=c A 3-33-51-31-5，
因R(A)=2，故0333513
15=----=c A ，解得c=3
容易验证，此时A 的秩是2.
此时，A 的特征多项式为)9)(43
-3
3
-3
5
-13-15
---==
-λλλλλλλ（A E 。
故所求特征值为9,4,0321===λλλ
（2）二次型f 的标准形可表为232294y y f +=，
由),,(321x x x f =1，可得1942
322
=+y y ， 由此可知),,(321x x x f =1所给出的曲面是椭圆柱面.
二、证明题
1．证明：(2)(2)(2)(2)224T T T T A E A E A E A E A A A A E --=--=--+
而T A A =，所以，2(2)(2)44T A E A E A A E E --=-+=
故E A 2-为正交矩阵
2
证明：因为A 是正交矩阵，所以,T A A E =且1A A -=
1T A A A A A *-==，()T A A A *=，
而由于A 是正交矩阵，所以1A =，因此2
()T A A A E E **==，*A 是正交矩阵得证 3、
证明：234A E A +=即2430A A E -+=，
设A 的特征值为λ，且对应的特征向量为p 有Ap p λ=，
故2224343(43)0A p Ap Ep p p p p λλλλ-+=-+=-+=，
p 为特征向量，不可能为0，
故解得：123,1λλ==，所以A 的特征值只能是3或者1
4.证明：设λ是A 的特征值，T
n x x x X ）（,...,,21=是属于λ的实特征向量，则0,≠=X X AX λ
(1)
两边取转置有T T T X A X λ= (2)
式(1) 与式(2)相乘得X X AX A X T T T λλ=
即）（）（X X X A A X T T T 2
λ=
因E A A T =,故X X X X T T 2λ=,即01
-(2=X X T ）λ,因为02
2221>+++=n T x x x X X Λ，故012=-λ，即1=λ
5、
证：因为A 可逆，由A -1(AB)A=BA 知，AB 与BA 相似 6、
证明：因为A ，B 是n 阶正定矩阵，所以对任意非零向量x ，有0,0T T x Ax x Bx >>，
故()0T x A B x +>，因此A B +也是正定矩阵
7．证明：设p 是矩阵A 对应于特征值λ的特征向量，
有Ap p λ=，11
A p p λ
-=
又因为1A A A *-=，则1A
A p A A p p λ
*-==
，
得证。 8．
证明：由题意1122,Ap p Ap p λλ==；
12121212(34)3434(34)A p p Ap Ap p p p p λλλ+=+=+=+，得证
9..
解：（1）???? ?
?-=-n m
T E C
A O E P 1,有???
?
??-???? ?????? ??-=--n m
T n T m T
E O C A E B C C A
E A C O E DP P 11
???? ??-???? ??-=--n m
T E O C A E C A C B O C A 11????
?
?-=-C A C B O O A T 1
(2)矩阵B-C T A -1C 是正定矩阵.
由（1）的结果可知，矩阵D 合同于矩阵????
??-=-C A C B O O A M T 1，
又D 为正定矩阵，可知矩阵M 为正定矩阵.
因矩阵M 为对称矩阵，故B-C T A -1C 为对称矩阵，对X=（0，0，…，0）T (m 维)及任意的
Y=(y 1,y 2,…,y n )T
≠0，有01>???
?
?????? ??--Y X C A C B O O A Y X T T
T ,
第五章 相似矩阵 §1 特征值与特征向量 特征值是方阵的一个重要特征量，矩阵理论的很多结果都与特征值有关，在工程技术及其理论研究方面都有很重要的应用。 定义1：设A 为n 阶方阵，如果存在数λ和n 维非0列向量X ，满足： (1)AX X λ=。 则称λ是方阵A 的特征值（也称为特征根），X 是方阵A 的属于特征值λ的特征向量。 例如矩阵1000A ??= ? ??，取11= 0X ?? ???，20=1X ?? ???，则有 11=1AX X ?，22=0AX X ?，所以1，0是A 的特征值，12,X X 是分别属于特征值1和0的特征 向量。 （1）式又可以写成 ()0 (2)E A X λ-=。 即特征向量是齐次线性方程组（2）的非零解，从而有 ||0 (3)E A λ-=。 （3）称为方阵A 的特征方程，求解方程（3）即得矩阵A 的特征值。||E A λ-称为方阵A 的特征多项式。 对求出的特征值0λ，代入方程组（2）求解即得属于0λ的特征向量。 例1：已知方阵A 满足 2A E =，证明：A 的特征值只能为1或1-。 证明：设λ是A 的任一特征值，则有非零向量X ，使得 AX X λ=。 两边左乘以A ，有22()()A X A A AX X λλλ===。又 2A E =，所以 2(1)0X λ-=。由于0X ≠，从而 21λ=，即 1λ=±。 例2：求矩阵110430102A -?? ?=- ? ??? 的特征值与特征向量。 解：因 21 10||430(2)(1)1 02 E A λλλλλλ+--= -=----。 所以矩阵A 的特征值2λ= 或 1λ=。
线性代数行列式的计算与性质 行列式在数学中，是一个函数，其定义域为的矩阵，取值为一个标量，写作或。行列式可以看做是有向面积或体积的概 念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说，在维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。 行列式概念最早出现在解线性方程组的过程中。十七世纪晚期，关孝和与莱布尼茨的著作中已经使用行列式来确定线性方程组解的个数以及形式。十八世纪开始，行列式开始作为独立的数学概念被研究。十九世纪以后，行列式理论进一步得到发展和完善。矩阵概念的引入使得更多有关行列式的性质被发现，行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用，出现了线性自同态和矢量组的行列式的定义。 行列式的特性可以被概括为一个多次交替线性形式，这个本质使得行列式在欧几里德空间中可以成为描述“体积”的函数。 矩阵 A 的行列式有时也记作 |A|。绝对值和矩阵范数也使用这个记法，有可能和行列式的记法混淆。不过矩阵范数通常以双垂直线来表示（如： ），且可以使用下标。此外，矩阵的绝对值是没有定义的。因此，行 列式经常使用垂直线记法（例如：克莱姆法则和子式）。例如，一个矩阵： A= ? ? ? ? ? ? ? i h g f e d c b a ， 行列式也写作，或明确的写作： A= i h g f e d c b a ， 即把矩阵的方括号以细长的垂直线取代 行列式的概念最初是伴随着方程组的求解而发展起来的。行列式的提出可以追溯到十七世纪，最初的雏形由日本数学家关孝和与德国数学家戈特弗里德·莱布尼茨各自独立得出，时间大致相同。
特殊行列式及行列式计算方法总结 一、 几类特殊行列式 1. 上（下）三角行列式、对角行列式（教材P7例5、例6） 2. 以副对角线为标准的行列式 11112112,1221222,1 1,21,1 1,11 2 ,1 (1)2 12,11 000000 00 000 0000 (1) n n n n n n n n n n n nn n n n n n nn n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---------== =- 3. 分块行列式（教材P14例10） 一般化结果： 00n n m n n m n m m n m m n m A C A A B B C B ????==? 0(1)0n m n n m n mn n m m m n m m n A C A A B B C B ????==-? 4. 范德蒙行列式（教材P18例12） 注：4种特殊行列式的结果需牢记！ 以下几种行列式的特殊解法必须熟练掌握！！！ 二、 低阶行列式计算 二阶、三阶行列式——对角线法则 （教材P2、P3） 三、 高阶行列式的计算 【五种解题方法】 1) 利用行列式定义直接计算特殊行列式； 2) 利用行列式的性质将高阶行列式化成已知结果的特殊行列式； 3) 利用行列式的行（列）扩展定理以及行列式的性质，将行列式降阶进行计算 ——适用于行列式的某一行或某一列中有很多零元素，并且非零元素的代数余子式很容易计算； 4) 递推法或数学归纳法； 5) 升阶法（又称加边法）
【常见的化简行列式的方法】 1. 利用行列式定义直接计算特殊行列式 例1 （2001年考研题） 00010002000199900 02000000 002001 D = 分析：该行列式的特点是每行每列只有一个元素，因此很容易联想到直接利用行列式定义进行计算。 解法一：定义法 (1,2,...,2,1,)012...19990(1)2001!(1)2001!2001!n n n D τ--+++++=-=-= 解法二：行列式性质法 利用行列式性质2把最后一行依次与第n -1,n -2,…,2,1行交换（这里n =2001），即进行2000次换行以后，变成副对角行列式。 2001(20011) 20011 20011 2 000020010 001000200(1) (1) (1)2001!2001!0199900 02000 000D ?---=-=--= 解法三：分块法 00010002000199900 02000000 002001 D = 利用分块行列式的结果可以得到
第五章 相似矩阵 §1 特征值和特征向量 特征值是方阵的一个重要特征量，矩阵理论的很多结果都和特征值有关，在 工程技术及其理论研究方面都有很重要的使用。 定义1：设A 为n 阶方阵，如果存在数λ和n 维非0列向量X ，满足： (1)AX X λ=。 则称λ是方阵A 的特征值（也称为特征根），X 是方阵A 的属于特征值λ的特征向量。 例如矩阵1000A ??= ? ??，取11= 0X ?? ???，20=1X ?? ???，则有 11=1AX X ?，22=0AX X ?，所以1，0是A 的特征值，12,X X 是分别属于特征值1和0的特征 向量。 （1）式又可以写成 ()0 (2)E A X λ-=。 即特征向量是齐次线性方程组（2）的非零解，从而有 ||0 (3)E A λ-=。 （3）称为方阵A 的特征方程，求解方程（3）即得矩阵A 的特征值。||E A λ-称为方阵A 的特征多项式。 对求出的特征值0λ，代入方程组（2）求解即得属于0λ的特征向量。 例1：已知方阵A 满足 2A E =，证明：A 的特征值只能为1或1-。 证明：设λ是A 的任一特征值，则有非零向量X ，使得 AX X λ=。 两边左乘以A ，有22()()A X A A AX X λλλ===。又 2A E =，所以 2(1)0X λ-=。由于0X ≠，从而 21λ=，即 1λ=±。 例2：求矩阵110430102A -?? ?=- ? ??? 的特征值和特征向量。 解：因 21 10||430(2)(1)1 02 E A λλλλλλ+--= -=----。 所以矩阵A 的特征值2λ= 或 1λ=。 当2λ=时，
111 第5章 线性代数的基本运算 本章学习的主要目的： 1 复习线性代数中有关行列式、矩阵、矩阵初等变换、向量的线性相关性、线性方程组的求解、相似矩阵及二次型的相关知识. 2学会用MatLab 软件进行行列式的计算、矩阵的基本运算、矩阵初等变换、向量的线性相关性的判别、线性方程组的求解、二次型化标准形的运算. 5.1 行列式 5.1.1 n 阶行列式定义 由2n 个元素),,2,1,(n j i a ij 组成的记号 D=nn n n n n a a a a a a a a a 212222111211 称为n 阶行列式.其值是所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积n np 2p 21p 1a a a 的代数和,各项的符号由n 级排列n p p p 21决定,即
112 D= ∑ -n p p p n p p p 21n np 2 p 21 p 1) 21( a a a )1(τ, 其中 ∑n p p p 21表示对所有n 级排列求和, ) ,,,(21n p p p τ是排列 n p p p 21的逆序数. 5.1.2 行列式的性质 (1) 行列式与它的转置行列式相等. (2) 互换行列式的两行(列),行列式变号. (3) 若行列式有两行(列)完全相同,则此行列式为零. (4) 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k,等于用数k 乘此行列式. (5) 若行列式有两行(列)元素成比例,则此行列式为零. (6) 若行列式的某一列(行)的元素是两数的和,则此行列式等 于对应两个行列式之和.即 nn n n ni n n i i nn n n ni n n i i nn n n ni ni n n i i i i a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 21'2 1 '22221 '11211212 1 22221 112 1121'2 1 '222221'111211+ =+++ (7) 若行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数加到另一行(列)对应的元素上去,行列式不变.
第五章相似矩阵及二次型 §1 向量的内积、长度、正交性一、向量空间的内积、长度和夹角1．内积的定义： 内积的符号：括号或方括号
: : 证（3）
二、向量空间的单位正交基 1．正交向量组定义 2．定理1 正交向量组线性无关 P113 解设a3= (x1, x2, x3), 由正交的定义, a3应满足 （a1,a3）= 0, （a2, a3）= 0 即x1 ＋x2 ＋x3 = 0, x1－2x2 ＋x3=0
这是一个齐次线性方程组AX= 0, 即??? ? ??=???? ? ?????? ??-00121111321x x x ， 由??? ? ?????? ??-???? ??-=010101~030111~121111A ， 得???=-=0231x x x ，方程组的通解为??? ??==-=c x x c x 3210，即????? ??-=????? ??101321c x x x 取c = 1, 则a3=??? ? ? ??-101即为所求。 3．正交基、规范正交基（单位正交基） 正交基——由正交向量组构成的基称为正交基。 规范正交基（单位正交基）——正交基中的向量是单位向量。 4．向量正交化 施密特方法：将基改造为正交基（P114）
例2 用施密特方法把基正交化（P114） 例3 已知 T a )1,1,1(1=，求一组非零向量32,a a ，使32,1,a a a 两两正交。 解 32,a a 应满足01 =x a T ，即 0321=++x x x 解这个齐次线性方程组得213 x x x --=，通解为 ?????--===2 13221 1c c x c x c x ，即? ?? ?? ??-+????? ??-=????? ??11010121321c c x x x ，基础解系为 ??? ? ? ??-=????? ??-=110,10121ξξ，把基础解系正交化 111212312) ,(),(,ξξξξξξξ-==a a ，于是得 ?? ???? ? ? ??--=??? ?? ??--????? ??-=????? ??-=2112110121110,101232a a 三、正交矩阵 1．定义4 因为 1A A E -= 所以 A 是正交矩阵←→1 T A A -= （充分必要） 2．正交矩阵的构造
5-1向量的内积与方阵的特征值 1．设λ为矩阵A 的特征值，且0≠λ，则 λ A 为 的特征值。 ;.; .; .; .1*1--A d A c A b A a λλ 2．设A 为n 阶实对称阵，21,x x 为A 的不同特征值对应的特征向量，则 。 1.21=x x a T 1.x b 与2x 线性相关； 1.x c 与2x 线性无关； 0.21=+x x d 3．设21,λλ都为n 阶矩阵A 的特征值)(21λλ≠，且21,x x 分别为对应于21,λλ的特征向量，则当 满足时，2211x k x k x +=必为A 的特征向量。 0.1=k a 且02=k ； 0.1=k b 且02≠k ； 0.1≠k c 且02≠k ； 0.21=?k k d 4．设n 阶方阵A 的特征值全不为零，则 。 n A r d n A r c n A r b n A r a <≤≠=)(.;)(.;)(.;)(. 5.设矩阵??? ? ? ??--=314020112A ,求A 的特征值及特征向量.
6．试用施密特法把向量组?? ??? ???? ???---=011 101110 11 1),,(321a a a 正交化。 7．设A 与B 都为n 阶正交阵，证明：AB 也是正交阵。 8．证明：正交阵的行列式必定等于1或—1。 9．设x 为n 维列向量且1=x x T ，而T xx E H 2-=，试证H 是对称的正交矩阵。
习题5-2 相似矩阵与对称矩阵的对角化 1．设A 与B 为n 阶方阵，则B A =是A 与B 相似的 。 .a 充分条件； .b 必要条件； .c 充要条件； .d 无关 条件 2.对实对称阵?? ? ???-=???? ??=10 01,10 01 B A ，有A 与B 。 .a 互为逆矩阵； .b 相似； .c 等价； .d 正交 3. n 阶矩阵A 与对角阵相似的充要条件是 。 a. 矩阵A 有n 个特征值； b. 矩阵A 有n 个线性无关的特 征向量； c. 矩阵A 的行列式0≠A ； d. 矩阵A 的特征多项式有重根 4. 设n 阶矩阵A 与B 相似，则 。 a.A 与B 正交； b. A 与B 有相同的特征向量； c. A 与B 等价； d. A 与B 相同的特征值。 5.若A 与B 是相似矩阵，证明T A 与T B 也相似。
第一部分：基本要求（计算方面） 四阶行列式的计算； N阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）； 矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）； 求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程； 含参数的线性方程组解的情况的讨论； 齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）； 讨论一个向量能否用和向量组线性表示； 讨论或证明向量组的相关性； 求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示； 将无关组正交化、单位化； 求方阵的特征值和特征向量； 讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵； 通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化； 写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵； 判定二次型或对称矩阵的正定性。 第二部分：基本知识 一、行列式 1．行列式的定义 用n^2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。 （1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和； （2）展开式共有n!项，其中符号正负各半； 2．行列式的计算 一阶|α|=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则； N阶（n>=3）行列式的计算：降阶法 定理：n阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。 方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。 特殊情况 上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积； （2）行列式值为0的几种情况： Ⅰ行列式某行（列）元素全为0； Ⅱ行列式某行（列）的对应元素相同； Ⅲ行列式某行（列）的元素对应成比例； Ⅳ奇数阶的反对称行列式。 二．矩阵 1．矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等）； 2．矩阵的运算 （1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果； （2）关于乘法的几个结论： ①矩阵乘法一般不满足交换律（若AB＝BA，称A、B是可交换矩阵）； ②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在；
一[收稿日期]２０１８Ｇ０９Ｇ２８;一[修改日期]２０１８Ｇ１２Ｇ０４一[基金项目]国家自然科学基金青年项目(１１６０１４７０);云南省高等学校卓越青年教师特殊培养计划项目(C ６１５２７０４) ;云南大学校级教改项目(WX １６２０７２);云南大学校级本科教材建设项目(WX １６２０７２ )一[作者简介]李源(１９７８－),男,硕士,副教授,从事计算数学和大学数学课程的教学和研究．E m a i l :l i y u a n ＠y n u ．e d u ．c n 第３５卷第２期大一学一数一学V o l ．３５,?．２２０１９年４月C O L L E G E MA T H E MA T I C S A p r ．２０１９判定线性代数中矩阵相似关系的 原理和方法 李一源１,一郝小枝２(１．云南大学数学与统计学院,昆明６５０５００;一２．云南中医药大学信息学院,昆明６５００２１ )一一[摘一要]指出教育部考试中心２０１９版考研数学考试分析中关于矩阵相似试题解答中的一个错误． 系统梳理了高等代数和线性代数课程中关于相似矩阵刻画的角度和方法,明确了在线性代数课程体系中３类可以作出相似判定的矩阵类别及其对应的判别方法,给出不能一般判定相似关系的第４类矩阵的基本特征,并结合实例给出在特殊情形下解决第４类矩阵相似关系判定的方法．[关键词]线性代数;相似矩阵;相似对角化;特征多项式[中图分类号]O １７７．５一一[文献标识码]C 一一[文章编号]１６７２Ｇ１４５４(２０１９)０２Ｇ０１２２Ｇ０５ １一引一一言 矩阵相似的判定是近年考研数学命题的热点问题,也是线性代数教学中的难点之一．由于所需方法 具有较高的综合性,学生在判定矩阵相似时的各种错误逻辑频现,甚至在教育部考试中心２０１９年版的数学考试分析中对２０１８年全国硕士研究生招生考试数学科考试( 数学一二二二三)中的一道试题的解答均出现疏误!为明确起见,将其摘录如下: 下列矩阵中,与矩阵１１００１１００１?è?????÷÷÷相似的为[１](一一)(A )１１－１０１１００１?è?????÷÷÷．一(B )１０－１０１１００１?è?????÷÷÷．(C )１１－１０１０００１?è?????÷÷÷．一(D )１０－１０１０００１?è????? ÷÷÷．解一易知矩阵１１００１１００１?è?????÷÷÷的特征值为λ＝１(３重),其线性无关的特征向量只有１个,即ξ１＝１００?è????? ÷÷÷．对于选项中的４个矩阵,都是以λ＝１为３重特征值的矩阵．选项(A )中的矩阵１１－１０１１００１?è?????÷÷÷只有１个线性无关的特征向量ξ１＝１００?è????? ÷÷÷;
第四章 相似矩阵 1．试用施密特法把下列向量组正交化： (1) ????? ??=931421111),,(321a a a ； (2) ???? ?? ? ??---=011101110111),,(321a a a 解 (1) 根据施密特正交化方法: 令? ???? ??==11111a b ，[][]???? ? ??-=-=101,,1112122b b b a b a b ， [][][][]???? ? ??-=--=12131,,,,222321113133b b b a b b b b a b a b ，故得: ? ????? ?? ?? --=311132 013111),,(321b b b ． 2．下列矩阵是不是正交阵: (1) ????? ?? ? ?? --- 12 13 12 1121312 11; (2) ??????? ? ??------ 97949 4949198949891． 解 (1) 第一个行向量非单位向量,故不是正交阵． (2) 该方阵每一个行向量均是单位向量，且两两正交，故为正交阵． 3．设A 与B 都是n 阶正交阵，证明AB 也是正交阵． 证明 因为B A ,是n 阶正交阵，故A A T =-1，B B T =-1 E AB A B AB A B AB AB T T T ===--11)()(，故AB 也是正交阵．
4．求下列矩阵的特征值和特征向量: (1)???? ??-4211; (2)????? ??633312321; (3)())0(,121 21≠? ??? ??? ??a a a a a a a n n . 并问它们的特征向量是否两两正交? 解 (1) ① )3)(2(42 11--=---= -λλλ λλE A 故A 的特征值为3,221==λλ． ② 当21=λ时,解方程0)2(=-x E A ,由 ???? ?????? ??--=-00112211)2(~E A 得基础解系???? ??-=111P 所以)0(111≠k P k 是对应于21=λ的全部特征值向量． 当32=λ时,解方程0)3(=-x E A ,由 ???? ?????? ??--=-00121212)3(~E A 得基础解系???? ??-=1212P 所以)0(222≠k P k 是对应于33=λ的全部特征向量． ③ 023 121)1,1(],[2121≠=???? ??--==P P P P T 故21,P P 不正交． (2) ① )9)(1(6333123 2 1-+-=---=-λλλλ λλλE A 故A 的特征值为9,1,0321=-==λλλ． ② 当01=λ时，解方程0=Ax ，由
5-1向量的内积与方阵的特征值 1.设λ为矩阵A 的特征值,且0≠λ,则λA 为 的特征值。 ;.;.;.;.1*1--A d A c A b A a λλ 2.设A 为n 阶实对称阵,21,x x 为A 的不同特征值对应的特征向量,则 。 1.21=x x a T 1.x b 与2x 线性相关; 1.x c 与2x 线性无关; 0.21=+x x d 3.设21,λλ都为n 阶矩阵A 的特征值)(21λλ≠,且21,x x 分别为对应于21,λλ的特征向量,则当 满足时,2211x k x k x +=必为A 的特征向量。 0.1=k a 且02=k ; 0.1=k b 且02≠k ; 0.1≠k c 且02≠k ; 0.21=?k k d 4.设n 阶方阵A 的特征值全不为零,则 。 n A r d n A r c n A r b n A r a <≤≠=)(.;)(.;)(.;)(. 5、设矩阵???? ? ??--=314020 112A ,求A 的特征值及特征向量、
6.试用施密特法把向量组????? ???????---=011101110111),,(321a a a 正交化。 7.设A 与B 都为n 阶正交阵,证明:AB 也就是正交阵。 8.证明:正交阵的行列式必定等于1或—1。 9.设x 为n 维列向量且1=x x T ,而T xx E H 2-=,试证H 就是对称的正交矩阵。
习题5-2 相似矩阵与对称矩阵的对角化 1.设A 与B 为n 阶方阵,则B A =就是A 与B 相似的 。 .a 充分条件; .b 必要条件; .c 充要条件; .d 无关条件 2、对实对称阵?? ????-=??????=1001,1001B A ,有A 与B 。 .a 互为逆矩阵; .b 相似; .c 等价; .d 正交 3、 n 阶矩阵A 与对角阵相似的充要条件就是 。 a 、 矩阵A 有n 个特征值; b 、 矩阵A 有n 个线性无关的特征向量; c 、 矩阵A 的行列式0≠A ; d 、 矩阵A 的特征多项式有重根 4、 设n 阶矩阵A 与B 相似,则 。 a 、A 与B 正交; b 、 A 与B 有相同的特征向量; c 、 A 与B 等价; d 、 A 与B 相同的特征值。 5、若A 与B 就是相似矩阵,证明T A 与T B 也相似。 6、设方阵??????????------=12422421x A 与????????? ?-=Λ45y 相似,求x 与y 。 7、设三阶方阵A 的特征值1,—2,2,且2 35A A B -=,求B 的特征值与B 。 8、设矩阵?? ????--=3113A ,①求A 的特征值,②求E+1-A 的特征值。
第二节 行列式的性质与计算 § 行列式的性质 考虑111212122212 n n n n nn a a a a a a D a a a = 将它的行依次变为相应的列，得 112111222212n n T n n nn a a a a a a D a a a = 称T D 为D 的转置行列式 . 性质1 行列式与它的转置行列式相等.（T D D =） 事实上，若记1112 12122212 n n T n n nn b b b b b b D b b b = 则(,1,2, ,)ij ji b a i j n == 12 12 () 12(1)n n p p p T p p np D b b b τ∴=-∑12 12() 12(1).n n p p p p p p n a a a D τ=-=∑ 说明:行列式中行与列具有同等的地位, 因此行列式的性质凡是对行成立的结论, 对列也同样成立. 性质2 互换行列式的两行(i j r r ?)或两列(i j c c ?)，行列式变号. 例如 123 123086351.351 086 =- 推论 若行列式D 有两行（列）完全相同，则0D =. 证明: 互换相同的两行, 则有D D =-, 所以0D =. 性质3 行列式某一行（列）的所有元素都乘以数k ，等于数k 乘以此行列式，即 111211112 11212 1 2 12 n n i i in i i in n n nn n n nn a a a a a a ka ka ka k a a a a a a a a a =
推论：(1) D 中某一行(列)所有元素的公因子可提到行列式符号的外面； (2) D 中某一行(列)所有元素为零，则0D =； 性质4: 行列式中如果有两行(列)元素对应成比例, 则此行列式等于零． 性质5: 若行列式某一行(列)的所有元素都是两个数的和，则此行列式等于两个行列式的和.这两个行列式的这一行(列)的元素分别为对应的两个加数之一，其余各行(列)的元素与原行列式相同 .即 1112111221 2 n i i i i in in n n nn a a a a b a b a b a a a +++=1112112 12n i i in n n nn a a a a a a a a a +1112112 12 n i i in n n nn a a a b b b a a a . 证: 由行列式定义 12 12() 12(1)()n i i n p p p p p ip ip np D a a a b a τ=-+∑ 12 12 12 12() () 1212(1)(1).n n i n i n p p p p p p p p ip np p p ip np a a a a a a b a ττ=-+-∑∑ 性质6 行列式D 的某一行（列）的各元素都乘以同一数k 加到另一行（列）的相应元素上，行列式的值不变()i j r kr D D +=，即 11121121 2 i j n r kr i i in n n nn a a a a a a a a a +=1112111221 2 n i j i j in jn n n nn a a a a ka a ka a ka a a a +++ 计算行列式常用方法: 利用性质2,3,6, 特别是性质6把行列式化为上(下)三角形行列式, 从而, 较容易的计算行列式的值． 例1: 计算行列式 2 324311112321311 (1)(2) 323 4 11310 4 25 1113 D --= -