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学科教师辅导讲义

知识点2:估算

估算算术平方根的大小主要是利用逼近法,即利用与被开方数最接近的完全平方数来估计这个被开方数的算术平方根的大小.

规律小结

确定一个无限不循环小数的整数部分,一般采用估算法(估算到个位);确定其小数部分的方法是:首先确实其整数部分,然后利用这个数减去它的整数部分.

例2.如果17-=m ,那么m 的取值范围是( )

A.10<

B.21<

C.32<

D.43<

知识点3:平方根、开平方的概念及符号表示

延伸拓展

1.平方根的理解

(1)被开方数a 一定是非负数(即正数或0);

(2)平方与开平方是互逆运算;

2.平方根与算术平方根的区别与联系

例2.求下列各数的平方根和算术平方根:

(1)0.0009 (2)8125

(3)25-)

知识点4:平方根的性质

平方根的性质:①正数有两个平方根,它们互为相反数;②0的平方根是0;③负数没有平方根.

规律小结:一个正数a 的平方根有两个记作a ±

,表示a 的正的平方根和负的平方根,其中正的平方根a

也叫做a 的算术平方根.

注:一个正数的平方根有两个,而它的算术平方根只有一个.

例3.一个正数x 的两个平方根分别是31-+a a 与,则a 的值为( )

A.2

B.-1

C.1

D.0

随堂巩固

一、选择题.

1. 4的算术平方根是( )

A.2

B.-2

C.±2

D.16

2.下列说法正确的是( )

A.5是25的算术平方根

B.16是4的算术平方根

C.-6是()2

6-的算术平方根 D.0没有算术平方根 3.下列整数中,与 最接近的是( )

A.4

B.5

C.6

D.7

4.一个正方形的面积是15,估计它的边长大小在( )

A.2与3 之间

B.3与4 之间

C.4与5之间

D.5与6之间

5.81的平方根是( )

A.3±

B.3

C.9±

D.9

6.下列语句正确的是( )

A.-2是-4的平方根

B.2是()22-的算术平方根

C.()22-的平方根是2

D.4的平方根是2或-2

7.252=a ,3=b ,则a+b 的值是( )

A.-8

B.8±

C.2±

D.8±或2±

二、填空题

1.化简:(1)4

12= ; (2) = . 2.大于2且小于5的整数是 .

3.使式子11=-x 成立的未知数x 的值是 。

4.已知一个正数的平方根是23-x 和65+x ,则这个数是

5.已知m,n 为两个连续的整数,且n m <<11,则n m += .

三、解答题

1.求下列各式的值.

3004.0

(1)225 (2)0004.0- (3)4112

± (4)()21.0--

2.解下列方程. (1)0252=-x (2)81162=x (3)016252=-x (4)()04

1212=--x

6.已知12-a 的平方根是3±,13-+b a 的算术平方根是4,求b a 2+的平方根.

平方根知识点总结讲义

平方根知识点总结讲义 Company number:【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

平方根知识点总结 【学习目标】 1.了解平方根、算术平方根的概念,会用根号表示数的平方根. 2.了解开方与乘方互为逆运算,会用开方运算求某些非负数的平方根,会用计算器求平方根. 【要点梳理】 要点一、平方根和算术平方根的概念 1.算术平方根的定义 如果一个正数x的平方等于a,即2x a =,那么这个正数x叫做a的算术平方根 (规定0的算术平方根还是0);a,读作“a的算术平方根”,a叫做被开方数. 要点诠释:有意义时,a≥0,a≥0. 2.平方根的定义 =,那么x叫做a的平方根.求一个数a的平方根的运算,叫做开平方.平方如果2x a a≥a的算与开平方互为逆运算. a(a≥0)的平方根的符号表达为0) 术平方根. 要点二、平方根和算术平方根的区别与联系 1.区别:(1)定义不同;(2)结果不同: 2.联系:(1)平方根包含算术平方根; (2)被开方数都是非负数; (3)0的平方根和算术平方根均为0. 要点诠释:(1)正数的平方根有两个,它们互为相反数,其中正的那个叫它的算 术平方根;负数没有平方根.

(2)正数的两个平方根互为相反数,根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此,我们可以利用算术平方根来研究平方根. 要点三、平方根的性质 要点四、平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位,它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如:62500250=,62525=, 6.25 2.5=,0.06250.25=. 【典型例题】 类型一、平方根和算术平方根的概念 1、若2m -4与3m -1是同一个正数的两个平方根,求m 的值. 【思路点拨】由于同一个正数的两个平方根互为相反数,由此可以得到2m -4=-(3m -1),解方程即可求解. 【答案与解析】 解:依题意得 2m -4=-(3m -1), 解得m =1; ∴m 的值为1. 【总结升华】此题主要考查了平方根的性质:一个正数有两个平方根,它们互为相反数. 举一反三: 【变式】已知2a -1与-a +2是m 的平方根,求m 的值. 【答案】2a -1与-a +2是m 的平方根,所以2a -1与-a +2相等或互为相反数. 解:①当2a -1=-a +2时,a =1,所以m =()()22 212111a -=?-= ②当2a -1+(-a +2)=0时,a =-1,

(完整版)数的开方知识点汇总

数的开方知识点汇总 安皋二中八年级数学组 一、平方根、算术平方根 1、平方根的定义:如果一个数的平方等于a那么这个数就叫做数 a的平方根。即如果x2= a那么x就是a有平方根。 2、平方根的性质: (1)正数有两个平方根,它们互为相反数。 (2)0的平方根是0 (3)负数没有平方根(因为任何数的平方都是一个非负数) 3、平方根的表示方法 一个非负数a的平方根可表示为±a,读作正负根号a 其实它的完整写法是±2a我们称2是根指数,a叫做被开方数,叫根号,我们平常省略了根指数2。 3、算术平方根 (1、)定义:一个正数的正的平方根叫做这个数的算术平方根。 (2)表示方法:一个非负数a的算术平方根可表示为 a,读作根号a, (3)算术平方根的性质: ①正数有一个正的算术平方根。 ②0的算术平方根是0 ③负数没有平方根,当然也没有算术平方根。

(4)a的双重非负性 ①首先,a要有意义,首先被开方数必须是一个非负数。 ②其次,a表示一个非数的算术平方根,它的值不可能是一个负数,即它的值是一个非负数。 综上:a中a≥0 a≥0 (5)初中所学的三类非负数 ⅰ:绝对值非负即|a|≥0 ⅱ:偶次方非负即a偶次≥0 ⅲ:算术平方根非负即当a≥0时a≥0 4、立方根 (1、)定义:如果一个数的立方等于a那么这个数就叫做a的立方根。即如果x3=a那么x就是a的立方根。(2、)立方根的表示方法: 一数a的立方根表示为3a,读作三次根号a 其中3叫做根指数,a叫被开方数。 (当根指数是2时可以省略,是3或其数时不能省略)(3、)立方根的性质: 任何数都有立方根且只有一个 正数的立方根是一个正数,0的立方根是0,负数的立方根是一个负数。 5、数的开方中的几个公式:

算术平方根、平方根知识点

学科教师辅导讲义

知识点2:估算 估算算术平方根的大小主要是利用逼近法,即利用与被开方数最接近的完全平方数来估计这个被开方数的算术平方根的大小. 规律小结 确定一个无限不循环小数的整数部分,一般采用估算法(估算到个位);确定其小数部分的方法是:首先确实其整数部分,然后利用这个数减去它的整数部分. 例2.如果17-=m ,那么m 的取值范围是( ) A.10<

2. 例2.求下列各数的平方根和算术平方根: (1)0.0009 (2)8125 (3)25-) ( 知识点4:平方根的性质 平方根的性质:①正数有两个平方根,它们互为相反数;②0的平方根是0;③负数没有平方根. 规律小结:一个正数a 的平方根有两个记作a ± ,表示a 的正的平方根和负的平方根,其中正的平方根a 也叫做a 的算术平方根. 注:一个正数的平方根有两个,而它的算术平方根只有一个. 例3.一个正数x 的两个平方根分别是31-+a a 与,则a 的值为( ) A.2 B.-1 C.1 D.0

随堂巩固 一、选择题. 1. 4的算术平方根是( ) A.2 B.-2 C.±2 D.16 2.下列说法正确的是( ) A.5是25的算术平方根 B.16是4的算术平方根 C.-6是()2 6-的算术平方根 D.0没有算术平方根 3.下列整数中,与 最接近的是( ) A.4 B.5 C.6 D.7 4.一个正方形的面积是15,估计它的边长大小在( ) A.2与3 之间 B.3与4 之间 C.4与5之间 D.5与6之间 5.81的平方根是( ) A.3± B.3 C.9± D.9 6.下列语句正确的是( ) A.-2是-4的平方根 B.2是()22-的算术平方根 C.()22-的平方根是2 D.4的平方根是2或-2 7.252=a ,3=b ,则a+b 的值是( ) A.-8 B.8± C.2± D.8±或2± 二、填空题 1.化简:(1)4 12= ; (2) = . 2.大于2且小于5的整数是 . 3.使式子11=-x 成立的未知数x 的值是 。 4.已知一个正数的平方根是23-x 和65+x ,则这个数是 5.已知m,n 为两个连续的整数,且n m <<11,则n m += . 30 04.0

平方根与立方根知识点

平方根与立方根知识点平方根 1.概念: (1)定义:如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根,a叫做被开方数 (2)开平方:求一个非负数的平方根的运算叫做开平方。 (3)平方根的性质:A一个正数有正、负两个平方根,它们互为相反数 B零有一个平方根,它是零本身 C负数没有平方根 (4)平方根的表示:一个正数a的正的平方根,用符号2a表示, a叫做被开方数,2叫做根指数,正数a的负的平方根用符号“﹣2a”表示,a的平方根合起来记作“±2a,其中“2”读作“二次根号”“2a”读作“二次根号下a ”.当根指数为2时,通常将这个2省略不写,所以正数a的平方根也可记作“±2a”读作“正、负根号a” (5)算术平方根:注: 1)算术平方根是非负数,具有非负数的性质; 2)若两数的平方根相等或互为相反数时,这两数相等;反之,若两非负数相等时,它们的平方根相等或互为相反数; 3)平方根等于本身的数只有0,算术平方根等于本身的数有0、1. 2.平方根说明:平方根有三种表示形式:±a,a,-a,它们的意义分别是:非负数a的平方根,非负数a的算术平方根,非负数a的负平方根。要特别注意:a≠±a。 3.算术平方根性质:算术平方根a具有双重非负性: ①被开方数a是非负数,即a≥0. ②算术平方根a本身是非负数,即a≥0。 4.平方根与算术平方根的区别与联系: 区别:1定义不同 2个数不同:3表示方法不同: 联系:①具有包含关系: ②存在条件相同:

立方根 (1)定义:如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根,a叫做被开立方数 (2)开立方:求一个数a的立方根的运算叫做开平方。 (3)立方根的性质:A正数有一个正立方根 B负数有一个负立方根 C零的立方根是零 (4)立方根的表示:数a的立方根我们用符号3a来表示,读作"三次根号a",其中a 叫做被开方数,3叫做根指数,3且不能省略,否则与平方根混淆。注:1)若两数的立方根相等,则这两数相等;反之,若两数相等,则这两数的立方根相等;2)立方根等于本身的数有0、1、-1. 相关概念 某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值,即 非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积,即 (a≥0,b≥0)。 非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根, 即(a≥0,b>0)。 开方运算 我们知道,当a≥0时,│a│=a;当a<0时,│a│=a.综上所述,有

新人教版第六章实数知识点归纳

实数知识点总结 一、平方根、算术平方根、立方根 1、概念、定义 (1)如果一个正数x的平方等于a,即,那么这个正数x叫做a的算术平方根。 (2)如果一个数的平方等于a,那么这个数就叫做a的平方根(或二次方跟)。如果,那么x叫做a的平方根。 (3)如果一个数的立方等于a,那么这个数就叫做a的立方根(或a 的三次方根)。如果,那么x叫做a 的立方根。 2、运算名称 (1)求一个正数a的平方根的运算,叫做开平方。平方与开平方互为逆运算。 (2)求一个数的立方根的运算,叫做开立方。开立方和立方互为逆运算。 3、运算符号 (1)正数a的算术平方根,记作“a”。 (2)a(a≥0)的平方根的符号表达为。 (3)一个数a的立方根,用表示,其中a是被开方数,3是根指数。 4、运算公式 4、开方规律小结 ,a的算术平方根a;正数的平方根有两个,它们互为相反数,其中正的那(1)若a≥0,则a的平方根是a 个叫它的算术平方根;0的平方根和算术平方根都是0;负数没有平方根。实数都有立方根,一个数的立方根有且只有一个,并且它的符号与被开方数的符号相同。正数的立方根是正数,负数的立方根是负数,0的立方根是0。(2)若a<0,则a没有平方根和算术平方根;若a为任意实数,则a的立方根是。 (3)正数的两个平方根互为相反数,两个互为相反数的实数的立方根也互为相反数。 二、小数点移动规律 平方根(如果被开方数的小数点,向右或向左每移动两位,它的平方根的小数点就相应地向右或向左移动一位)立方根(开立方的小数点移动规律:被开方数的小数点向右或向左每移动三位,则立方根的小数点就向右或向左移动一位) 三、实数的概念及分类 1、实数的分类

(完整版)平方根立方根知识点归纳及常见题型

“平方根”与“立方根”知识点小结 一、知识要点 1、平方根: ⑴、定义:如果x 2=a ,则x 叫做a 的平方根,记作“(a 称为被开方数)。 ⑵、性质:正数的平方根有两个,它们互为相反数;0的平方根是0;负数没有平方根。 ⑶、算术平方根:正数a 的正的平方根叫做a ”。 2、立方根: ⑴、定义:如果x 3=a ,则x 叫做a ”(a 称为被开方数)。 ⑵、性质:正数有一个正的立方根;0的立方根是0;负数有一个负的立方根。 3、开平方(开立方):求一个数的平方根(立方根)的运算叫开平方(开立方)。 二、规律总结: 1、平方根是其本身的数是0;算术平方根是其本身的数是0和1;立方根是其本身的数是0和±1。 2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根,其中正的那个是算术平方根;任何一个数都有唯一一个立方根,这个立方根的符号与原数相同。 30a ≥0。 4、公式:⑴2=a (a ≥0)(a 取任何数)。 5、非负数的重要性质:若几个非负数之和等于0,则每一个非负数都为0 例1 求下列各数的平方根和算术平方根 (1)64;(2)2)3(-; (3)49151 ; ⑷ 21(3)- 例2 求下列各式的值 (1)81± ; (2)16-; (3)259; (4)2)4(-. (5) 44.1,(6)36-,(7)4925±(8)2)25(-

例3、求下列各数的立方根: ⑴ 343; ⑵ 10227-; ⑶ 0.729 二、巧用被开方数的非负性求值. 当a ≥0时,a 的平方根是± a ,即a 是非负数. 例4、若 ,622=----y x x 求y x 的立方根. 练习:已知 ,21221+-+-=x x y 求y x 的值. 三、巧用正数的两平方根是互为相反数求值. 当a ≥0时,a 的平方根是±a ,而.0)()(=-++a a 例5、已知:一个正数的平方根是2a-1与2-a ,求a 的平方的相反数的立方根. 练习:若32+a 和12-a 是数m 的平方根,求m 的值. 四、巧解方程 例6、解方程(1)(x+1)2 =36 (2)27(x+1)3=64 五、巧用算术平方根的最小值求值. 0≥a ,即a=0时其值最小,换句话说a 的最小值是零. 例4、已知:y= )1(32++-b a ,当a 、b 取不同的值时,y 也有不同的值.当y 最小时,求b a 的非算术平方根. 23(2)0y z -++=,求xyz 的值。

第11章 数的开方知识点总结

第11章数的开方知识点总结 平方根 ★1.平方根的定义: 如果一个数的________等于a,那么这个数叫做a的__________. 2,那么________叫做________的__________. 即如果a x ★2.数的开方: 数的开方是一种运算,它包括开平方和开立方. (1)开平方: 求一个数的平方根的运算,叫做开平方; (2)开立方: 求一个数的________的运算,叫做开立方. ★3.平方根的特征: (1)正数的平方根有________个,它们互为________; (2)0的平方根只有________个,是________,即它本身; (3)负数________平方根. ★4.平方根的表示: 非负数a的平方根表示为__________.其中a叫做__________,对a 的要求是________. ★5.算术平方根 非负数a的算术平方根表示为__________. ★6.关于算术平方根 正数的算术平方根只有________个,0的算术平方根是________,负数没有平方根,当然也就没有____________. 算术平方根等于它本身的数有________个,分别是____________. 平方根等于它本身的数有________个,是________.

★7.()0≥a a 具有双重非负性: (1)0≥a ; (2)0≥a . ★8.非负数的和为0的问题 若几个非负数的和等于0,则每个非负数分别等于________. 若02=++C B A ,则______________________. ★9.重要结论: (1)???==________________________2 a (2)()=2a ________,()=-2a ________. (3)若A B B A --与都有意义,则____________. ★10.新概念---完全平方数 如果一个数是另一个整数的完全平方,那么这个数就叫做_______,如0、1、4、9、16、25、36、49、64、81、100等. 完全平方数可以用于估算某些无理数的值,即开方开不尽的数. ★11.易错题 例1. 16的平方根是________,16的平方根是________. 例2. 81的平方根是________,81的平方根是________. 例3. ()2 4-的平方根是________,算术平方根是________. 例4. 如果()=-=a a 则,6.12 2________. 例5. 25 16的平方根是________,用数学式子表示为_______________. 例6. 若某个数的平方根只有一个,则这个数是______.若一个自然数的算术平方根是a ,则和这个自然数相邻的下一个自然数是________.

平方根和立方根知识点

平方根: 概括1:一般地,如果一个数的平方等于a ,这个数就叫做a 的平方根(或二次方根)。就是 说,如果x 2 =a,那么x 就叫做a 的平方根。 如:23与-23都是529的平方根。 因为(±23)2 =529,所以±23是529的平方根。 问:(1)16,49,100,1 100都是正数,它们有几个平方根?平方根之间有什么关系? (2)0的平方根是什么? 概括2:一个正数有两个平方根,它们互为相反数;0有一个平方根,它是0本身;负数没 有平方根。 知识点二: 概括3:求一个数a(a ≥0)的平方根的运算,叫做开平方。 开平方运算是已知指数和幂求底数。平方与开平方互为逆运算。一个数可以是正数、负数或者是0,它的平方数只有一个,正数或负数的平方都是正数,0的平方是0。但一个正数的平方根却有两个,这两个数互为相反数,0的平方根是0。负数没有平方根。 因为平方与开平方互为逆运算,因此我们可以通过平方运算来求一个数的平方根,也可以通过平方运算来检验一个数是不是另一个数的平方根。 知识点三: (1)625的平方根是多少?这两个平方根的和是多少? -7和7是哪个数的平方根? 正数m 的平方根怎样表示? (2)下列各数的平方根各是什么? 64; 0; (-0.4)2 ; )3 21(-(3)已知正方形的面积等于a, 3、例题讲解: 例1、求下列各数的平方根: (1)81; (2)1916; (3)0.09 例2、下列各数有平方根吗? 如果有,求出它的平方根;如果没有,请说明理由。 (1)-64; (2)0; (3)( - 例3、求下列各式的值: (1)10000; (2)144-;(4)0001.0-; (5)81 49±

平方根与立方根知识点

平方根与立方根知识点 1、平方根: (1)定义:如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根,a叫做被开方数 (2)开平方:求一个非负数的平方根的运算叫做开平方。 (3)平方根的性质:A一个正数有正、负两个平方根,它们互为相反数 B零有一个平方根,它是零本身 C负数没有平方根 (4)平方根的表示:一个正数a的正的平方根,用符号“”表示, a叫做被开方数,2叫做根指数,正数a的负的平方根用符号“﹣”表示,a的平方根合起来记作“”,其中“”读作“二次根号”,“”读 作“二次根号下a”.当根指数为2时,通常将这个2省略不写,所以正数a的平方根也可记作“”读作“正、负根号a”. (5)算术平方根:注:1)算术平方根是非负数,具有非负数的性质;2)若两数的平方根相等或互为相反数时,这两数相等;反之,若两非负数相等时,它们的平方根相等或互为相反数;3)平方根等于本身的数只有0,算术平方根等于本身的数有0、1. 2.平方根说明:平方根有三种表示形式:±a,a,-a,它们的意义分别是 :非负数a的平方根,非负数a的算术平方根,非负数a的负平方根。要特别注意:a≠±a。 3.算术平方根性质:算术平方根a具有双重非负性: ①被开方数a是非负数,即a≥0. ②算术平方根a本身是非负数,即a≥0。 4.平方根与算术平方根的区别与联系: 区别:1定义不同2个数不同:3表示方法不同: 2、立方根: 1.(1)定义:如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根,a叫做被开立方数 (2)开立方:求一个数a的立方根的运算叫做开平方。 (4)立方根的表示:数a的立方根我们用符号来表示,读作"三次根号a",其中a叫做被开方数,3叫做根指数,3且不能省略,否则与平方根混淆。 注:1)若两数的立方根相等,则这两数相等;反之,若两数相等,则这两数的立方根相等;2)立方根等于本身的数有0、1、-1.

平方根知识点汇总讲义

平方根知识点汇总讲义

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平方根 知识点总结 【学习目标】 1.了解平方根、算术平方根的概念,会用根号表示数的平方根. 2.了解开方与乘方互为逆运算,会用开方运算求某些非负数的平方根,会用计算器求平方 根. 【要点梳理】 要点一、平方根和算术平方根的概念 1.算术平方根的定义 如果一个正数x 的平方等于a ,即2 x a =,那么这个正数x 叫做a 的算术平方根(规定0的算术平方根还是0);a 的算术平方根记作a ,读作“a 的算术平方根”,a 叫做被开方数. 要点诠释:当式子a 有意义时,a 一定表示一个非负数,即a ≥0,a ≥0. 2.平方根的定义 如果2x a =,那么x 叫做a 的平方根.求一个数a 的平方根的运算,叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. a (a ≥0)的平方根的符号表达为(0)a a ±≥,其中a 是a 的算术平方根. 要点二、平方根和算术平方根的区别与联系 1.区别:(1)定义不同;(2)结果不同:a ±和a 2.联系:(1)平方根包含算术平方根; (2)被开方数都是非负数; (3)0的平方根和算术平方根均为0. 要点诠释:(1)正数的平方根有两个,它们互为相反数,其中正的那个叫它的算术 平方根;负数没有平方根. (2)正数的两个平方根互为相反数,根据它的算术平方根可以 立即写出它的另一个平方根.因此,我们可以利用算术平方 根来研究平方根. 要点三、平方根的性质 2(0)||0 (0)(0) a a a a a a a >??===??-

数的开方知识点汇总

数的开方知识点汇总文稿归稿存档编号:[KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58-

数的开方知识点汇总 安皋二中八年级数学组 一、平方根、算术平方根 1、平方根的定义:如果一个数的平方等于a那么这个数就叫做数a的平方根。即如果 x2= a那么x就是a有平方根。 2、平方根的性质: (1)正数有两个平方根,它们互为相反数。 (2)0的平方根是0 (3)负数没有平方根(因为任何数的平方都是一个非负数) 3、平方根的表示方法 一个非负数a的平方根可表示为±a,读作正负根号a 其实它的完整写法是±2a我们称2是根指数,a叫做被开方数,叫根号,我们平常省略了根指数2。 3、算术平方根 (1、)定义:一个正数的正的平方根叫做这个数的算术平方根。 (2)表示方法:一个非负数a的算术平方根可表示为a,读作根号a, (3)算术平方根的性质: ①正数有一个正的算术平方根。 ②0的算术平方根是0 ③负数没有平方根,当然也没有算术平方根。 (4)a的双重非负性 ①首先,a要有意义,首先被开方数必须是一个非负数。

②其次,a表示一个非数的算术平方根,它的值不可能是一个负数,即它的值是一个非负数。 综上:a中a≥0 a≥0 (5)初中所学的三类非负数 ⅰ:绝对值非负即|a|≥0 ⅱ:偶次方非负即a偶次≥0 ⅲ:算术平方根非负即当a≥0时a≥0 4、立方根 (1、)定义:如果一个数的立方等于a那么这个数就叫做a的立方根。即如果x3=a那么x就是a的立方根。 (2、)立方根的表示方法: 一数a的立方根表示为3a,读作三次根号a 其中3叫做根指数,a叫被开方数。 (当根指数是2时可以省略,是3或其数时不能省略) (3、)立方根的性质: 任何数都有立方根且只有一个 正数的立方根是一个正数,0的立方根是0,负数的立方根是一个负数。 5、数的开方中的几个公式: (1)2a| = (a为任意实数) |a (2、)(a)2=a (a≥0) (3、)(3a)3= a(a为任意实数) 33(a为任意实数) (4、)a a= (5、)-3a=3a -(a为任意实数)

实数知识点总结

平方根的有关概念 例1:写出下列各数的算术平方根。 81 」 2 (1)0.0009 ;(2)方;(3) -5 49 ?平方根 1. 定义:如果一个数的平方等于 a ,这个数就叫做a 的平方根(或二次方根)。即如果x 负平方根用“-2 a ”表示,根指数是2时,通常省略不写。 一 J. a 记作士 Pa ,读作“正、负根号 a ”。 实数 那么x 就叫做a 的平方根。如: _22 =4,所以4的平方根是_2 ; 9 25 所以 9 3 — 的平方根是 二—;02 = 0 ,所以 25 5 0的平方根是0。 2.表示方法 一个数a 的正的平方根,用符号“ 2 a ” 表示,a 叫做被开方数, 2叫做根指数, 如Va 记作需,读作“根号a ”,

温馨提示 ① 任何数的平方都不能为负数,所以负数没有平方根。 ② “ 5是25的平方根”这种说法是正确的,反过来说“ 25的平方根是5”就错了,因为“正 数有两个平方根”,所以必须说“ 25的平方根是土 5”。 ③求一个数的平方根就是把平方后等于这个数的所有数都求出来, 个数的平方根,只要把这个数平方,看其是否等于另一个数即可。 3?平方根的性质 (1 )一个正数a 有两个平方根,它们互为相反数,记作 a 。 (2) 零的平方根是零。 (3) 负数没有平方根。 厂温馨提示 条件。 例2:判断下列说法是否正确,并说明理由。 (1) 一 6的平方根是36;( 2)1的平方根是1;( 3)-9的平方根是—3 ;( 4) 361 二-19 ; (5) 9是一 9 2的算术平方根。 而判断一个数是不是另 ①a _ 0时, 、a 表示a 的算术平方根, -,a 表示a 的平方根。 ②因为负数没有平方根,所以被开方数 a _ 0。女口 x - 3中隐含着x-3_0,即x_ 3这一■ ③ G/a f=a (a H 0 ), J a 2=* a, a -a, a : 0. -0,

人教版七年级下册平方根与立方根的知识要点归纳

人教版七年级下册平方根与立方根的知识要点归纳 【知识要点】 1.算术平方根:正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根,记作“a ”。 2. 如果x2=a ,则x 叫做a 的平方根,记作“±a ” (a 称为被开方数)。 3. 正数的平方根有两个,它们互为相反数;0的平方根是0;负数没有平方根。 4. 平方根和算术平方根的区别与联系: 区别:正数的平方根有两个,而它的算术平方根只有一个。 联系:(1)被开方数必须都为非负数;(2)正数的负平方根是它的算术平方根的相反数,根据它的算术平方根可以立即写出它的负平方根。(3)0的算术平方根与平方根同为0。 5. 如果x 3=a ,则x 叫做a 的立方根,记作“3a ” (a 称为被开方数)。 6. 正数有一个正的立方根;0的立方根是0;负数有一个负的立方根。 7. 求一个数的平方根(立方根)的运算叫开平方(开立方)。 8. 立方根与平方根的区别: 一个数只有一个立方根,并且符号与这个数一致;只有正数和0有平方根,负数没有平方根,正数的平方根有2个,并且互为相反数,0的平方根只有一个且为0. 9. 一般来说,被开放数扩大(或缩小) 倍,算术平方根扩大(或缩小)倍,例如. 10.平方表:(自行完成) 题型规律总结: 1、平方根是其本身的数是0;算术平方根是其本身的数是0和1;立方根是其本身的数是0和±1。 2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根,其中正的那个是算术平方根;任何一个数都有唯一一个立方根,这个立方根的符号与原数相同。 30有意义的条件是a ≥0。 4、公式:⑴2=a (a ≥0)=a 取任何数)。 n n 502500,525==

平方根和立方根知识点总结及练习

【基础知识巩固】 一、平方根、算数平方根和立方根 1、平方根 (1)平方根的定义:如果一个数x 的平方等于a ,那么这个数x 就叫做a 的平方根.即: 如果a x =2,那么x 叫做a 的平方根. (2)开平方的定义:求一个数的平方根的运算,叫做开平方.开平方运算的被开方数必须是非负数才有意义。 (3)平方与开平方互为逆运算:±3的平方等于9,9的平方根是±3 (4)一个正数有两个平方根,即正数进行开平方运算有两个结果; 一个负数没有平方根,即负数不能进行开平方运算 (5)符号:正数a 的正的平方根可用a 表示,a 也是a 的算术平方根; 正数a 的负的平方根可用-a 表示. (6)a x =2 <—> a x ±= a 是x 的平方 x 的平方是a x 是a 的平方根 a 的平方根是x 2、算术平方根 (1)算术平方根的定义: 一般地,如果一个正数x 的平方等于a ,2 个正数x 叫做a 的算术平方根.a “根号 a”,a 叫做被开方数. 规定:0的算术平方根是0. 也就是,在等式a x =2 (x≥0)中,规定a x =。 (2)a 的结果有两种情况:当a 是完全平方数时,a 是一个有限数; 当a 不是一个完全平方数时,a 是一个无限不循环小数。 (3)当被开方数扩大时,它的算术平方根也扩大; 当被开方数缩小时与它的算术平方根也缩小。 一般来说,被开放数扩大(或缩小)a 倍,算术平方根扩大(或缩小)a 倍,例如错误!未找到引用源。=5,错误!未找到引用源。=50。 (4)夹值法及估计一个(无理)数的大小 (5)a x =2 (x≥0) <—> a x = a 是x 的平方 x 的平方是a x 是a 的算术平方根 a 的算术平方根是x (6)正数和零的算术平方根都只有一个,零的算术平方根是零。 a (a ≥0) 0≥a

人教版七年级下册 第六章 实数 第一讲 平方根 讲义(解析版)

实数 第一讲 平方根 【学习目标】 1.了解平方根、算术平方根的概念,会用根号表示数的平方根. 2.了解开方与乘方互为逆运算,会用开方运算求某些非负数的平方根,会用计算器求平方根. 考点一、算术根 知识讲解 定义:如果一个正数的平方等于,即,那么这个正数叫做的算术平方根; ,读作“的算术平方根”,叫做被开方数. 补充: 1.有意义时, ≥0,≥0. 2. 规定0的算术平方根还是0. 3.算术平方根等于他自己本身的有0和1. 典型例题 例1.下列说法正确的是( ) A.0的算术平方根是0 B.9是3的算术平方根 C.±3是9的算术平方根 D.-3是9的算术平方根 【答案】A 【考点】算术平方根的定义 课堂巩固 1. 下列说法正确的是 ( ) A.因为 52 =25,所以 5 是 25 的算术平方根. B.因为(-5)2=25,所以-5 是 25 的算术平方根. C.因为(±5)2=25,所以 5 和-5 都是 25 的算术平方根. D.以上说法都不对. 【答案】A 2. 下列各式正确的是 ( ) 3 - .3B - 3± 3± 【答案】B 3. 算术平方根等于它本身的数是_______ 【答案】0和1 例2.求下列各数的算术平方根 (1)100 (2)0.04 (3) 1681 (4)()2 2- (5)0 (6)10 x a 2 x a =x a a a a a a

【答案】(1)10 (2)0.2 (3)4 9 (4)2 (5)0 (6 课堂巩固 1. 求下列各数的算术平方根 (1)121 (2)169 (3)964 (4)1121 (5)0.01 (6)2 25?? - ??? (7)149 【答案】(1)11 (2)13 (3)38 (4)111 (5)0.1 (6)2 5 (7 )3 2. 求下列各式的值 (1 ; (2 ; (3 ;(4 【答案】1000 (2 (3)0.7 (4)9 【点睛】算术平方根为正数 的算术平方根是______ 的算术平方根的相反数是______ 【答案】 2,-3 例3. . 【答案】 6 【解析】解:∵25< 35<36 即5<<6 ∵35比较接近 36, 6. 课堂同步 1. ) A. 4 和 5 之间 B. 5 和 6 之间 C. 6 和 7 之间 D. 7 和 8 之间 【答案】C 2. .估计与1最接近的整数 <35

数的开方知识点汇总

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数的开方知识点汇总 安皋二中八年级数学组 一、平方根、算术平方根 1、平方根的定义:如果一个数的平方等于a那么这个数就叫做数a的平 方根。即如果x2= a那么x就是a有平方根。 2、平方根的性质: (1)正数有两个平方根,它们互为相反数。 (2)0的平方根是0 (3)负数没有平方根(因为任何数的平方都是一个非负数) 3、平方根的表示方法 一个非负数a的平方根可表示为±a,读作正负根号a 其实它的完整写法是±2a我们称2是根指数,a叫做被开方数,叫根号,我们平常省略了根指数2。 3、算术平方根 (1、)定义:一个正数的正的平方根叫做这个数的算术平方根。 (2)表示方法:一个非负数a的算术平方根可表示为 a,读作根号a, (3)算术平方根的性质: ①正数有一个正的算术平方根。 ②0的算术平方根是0 ③负数没有平方根,当然也没有算术平方根。

(4)a的双重非负性 ①首先,a要有意义,首先被开方数必须是一个非负数。 ②其次,a表示一个非数的算术平方根,它的值不可能是一个负数,即它的值是一个非负数。 综上:a中a≥0 a≥0 (5)初中所学的三类非负数 ⅰ:绝对值非负即|a|≥0 ⅱ:偶次方非负即a偶次≥0 ⅲ:算术平方根非负即当a≥0时a≥0 4、立方根 (1、)定义:如果一个数的立方等于a那么这个数就叫做a的立方根。即如果x3=a那么x就是a的立方根。(2、)立方根的表示方法: 一数a的立方根表示为3a,读作三次根号a 其中3叫做根指数,a叫被开方数。 (当根指数是2时可以省略,是3或其数时不能省略)(3、)立方根的性质: 任何数都有立方根且只有一个 正数的立方根是一个正数,0的立方根是0,负数的立方根是一个负数。 5、数的开方中的几个公式:

12章平方根与立方根(教案)

§12.1 平方根与立方根 第一课时平方根(9月1日星期二) 教学目的: 1、使学生理解数的平方根的概念,能运用根号表示一个数的平方根; 2、掌握用平方运算求某些数的平方根的方法; 教学重点和难点: 重点:平方根的概念及求某些数的平方根的方法; 难点:平方根的概念; 关键:对符号“”意义的理解。 学法指导: 根据教师为主导,学生为主体的原则,始终贯穿“激发情趣—手脑并用—启发诱导—反馈矫正”的教学方法。 教法指导: 1、针对八年级学生的认知特点,体现“以学生发展为本”的教育理念,发展学生的个性特长,让学生学会学习。本堂课主要采用引探式和启发式的教学方法,教师引导为辅,学生自主思考解决问题为主。 2、数学概念的学习比较抽象、枯燥,用多媒体辅助教学,增加课堂的趣味性,提高学生的学习积极性。 教学过程: 一、引入新课: 我们学习了有理数的加、减、乘、除和乘方运算,但在现实生活中,有些问题仅运用这五种运算是无法解决的。例如已知正方形一边长是4厘米,那么它的一条对角线的长是多少厘米?解决这个问题就要运用一种新的运算方法,这种运算叫做开方。这节课我们就要学习开方运算和平方根。 可以先预练1—20的平方计算。 二、新课学习: 1、知识设疑: (1)计算:42;(-4)2 (0.8)2;(-0.8)

2、知识形成: 知识点一: 我们可以设这个数为x ,则2x =16,问题归结为求x 以通过乘方运算来解决。 因为42=16所以x =4 ;又因为(-4)2=16,所以x =-4 。4或-4的平方都等于16,可以表示为(±4)2=16。 因为4或-4的平方都等于16,我们把4概括1:一般地,如果一个数的平方等于a ,二次方根)。就是说,如果x 2=a,那么如:23与-23都是529的平方根。 因为(±23)2=529,所以±23是529问:(1)16,49,100,1 100根之间有什么关系? (2)0的平方根是什么? 概括2:一个正数有两个平方根,是0本身;负数没有平方根。 知识点二: 概括:求一个数a(a ≥0)个数可以是正数、负数或者是0平方都是正数,0的平方是0。互为相反数,0的平方根是0。负数没有平方根。 因为平方与开平方互为逆运算,因此我们可以通过平方运算来求一个数的平方根,也可以通过平方运算来检验一个数是不是另一个数的平方根。 知识点三: (1)625-7和7是哪个数的平方根? 正数m 的平方根怎样表示? (2)下列各数的平方根各是什么? 64; 0; (-0.4)2; 2 )32 1( ; -(3)已知正方形的面积等于a,那么它的边长等于多少?

最新平方根知识点总结讲义

平方根 知识点总结 【学习目标】 1.了解平方根、算术平方根的概念,会用根号表示数的平方根. 2.了解开方与乘方互为逆运算,会用开方运算求某些非负数的平方根,会用计算器求平方根. 【要点梳理】 要点一、平方根和算术平方根的概念 1.算术平方根的定义 如果一个正数x 的平方等于a ,即2 x a =,那么这个正数x 叫做a 的算术平方根(规定0的算术平方根还是0);a a 的算术平方根”,a 叫做被开方数. 要点诠释: 有意义时,a 0,a ≥0. 2.平方根的定义 如果2x a =,那么x 叫做a 的平方根.求一个数a 的平方根的运算,叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. a (a ≥0) 的平方根的符号表达为0)a ≥, 是a 的算术平方根. 要点二、平方根和算术平方根的区别与联系 1.区别:(1)定义不同;(2 )结果不同: 2.联系:(1)平方根包含算术平方根; (2)被开方数都是非负数; (3)0的平方根和算术平方根均为0. 要点诠释:(1)正数的平方根有两个,它们互为相反数,其中正的那个叫它的算术平方 根;负数没有平方根. (2)正数的两个平方根互为相反数,根据它的算术平方根可以立即写出它的 另一个平方根.因此,我们可以利用算术平方根来研究平方根. 要点三、平方根的性质 (0)||0 (0)(0) a a a a a a >??===??-

【典型例题】 类型一、平方根和算术平方根的概念 1、若2m -4与3m -1是同一个正数的两个平方根,求m 的值. 【思路点拨】由于同一个正数的两个平方根互为相反数,由此可以得到2m -4=-(3m - 1),解方程即可求解. 【答案与解析】 解:依题意得 2m -4=-(3m -1), 解得m =1; ∴m 的值为1. 【总结升华】此题主要考查了平方根的性质:一个正数有两个平方根,它们互为相反数. 举一反三: 【变式】已知2a -1与-a +2是m 的平方根,求m 的值. 【答案】2a -1与-a +2是m 的平方根,所以2a -1与-a +2相等或互为相反数. 解:①当2a -1=-a +2时,a =1,所以m =()()22 212111a -=?-= ②当2a -1+(-a +2)=0时,a =-1, 所以m =()()22221[2(1)1]39a -=?--=-= 2、x 为何值时,下列各式有意义? 2x 4x -11x x +-1x - 【答案与解析】 解:(1)因为20x ≥,所以当x 2x (2)由题意可知:40x -≥,所以4x ≥4x - (3)由题意可知:1010x x +≥?? -≥?解得:11x -≤≤.所以11x -≤≤11x x +-义. (4)由题意可知:1030 x x -≥??-≠?,解得1x ≥且3x ≠. 所以当1x ≥且3x ≠1x - 【总结升华】(1)当被开方数不是数字,而是一个含字母的代数式时,一定要讨论,只有当被开方数是非负数时,式子才有意义.(2)当分母中含有字母时,只有当分母不为0时,式子才有意义. 举一反三:

平方根和立方根知识点总结及练习

【基础知识巩固】 一、平方根、算数平方根和立方根 1、平方根 (1)平方根的定义:如果一个数x 的平方等于a ,那么这个数x 就叫做a 的平方根.即: 如果a x =2,那么x 叫做a 的平方根. (2)开平方的定义:求一个数的平方根的运算,叫做开平方.开平方运算的被开方数必须是非负数才有意义。 (3)平方与开平方互为逆运算:±3的平方等于9,9的平方根是±3 (4)一个正数有两个平方根,即正数进行开平方运算有两个结果; 一个负数没有平方根,即负数不能进行开平方运算 - (5)符号:正数a 的正的平方根可用a 表示,a 也是a 的算术平方根; 正数a 的负的平方根可用-a 表示. (6)a x =2 <—> a x ±= a 是x 的平方 x 的平方是a x 是a 的平方根 a 的平方根是x 2、算术平方根 (1)算术平方根的定义: 一般地,如果一个正数x 的平方等于a ,即a x =2,那么这 个正数x 叫做a 的算术平方根.a 的算术平方根记为a ,读作“根号 a”,a 叫做被开方数. { 规定:0的算术平方根是0. 也就是,在等式a x =2 (x≥0)中,规定a x = 。 (2)a 的结果有两种情况:当a 是完全平方数时,a 是一个有限数; 当a 不是一个完全平方数时,a 是一个无限不循环小数。 (3)当被开方数扩大时,它的算术平方根也扩大; 当被开方数缩小时与它的算术平方根也缩小。 一般来说,被开放数扩大(或缩小)a 倍,算术平方根扩大(或缩小)a 倍,例如=5, =50。 } (4)夹值法及估计一个(无理)数的大小 (5)a x =2 (x≥0) <—> a x =

人教版七年级数学下册第六章实数知识点汇总

人教版七年级数学下册第六章实数知识点汇总 【知识点一】实数的分类 1、按定义分类: 2.按性质符号分类:注:0既不是正数也不是负数. 【知识点二】实数的相关概念 1.相反数 (1)代数意义:只有符号不同的两个数,我们说其中一个是另一个的 相反数. 0 的相反数是 0. (2)几何意义:在数轴上原点的两侧,与原点距离相等的两个点表示 的两个数互为相反数,或数轴上,互为相反数的两个数所对应的点关 于原点对称 . (3) 互为相反数的两个数之和等于0.a、 b 互为相反数a+b=0. 2.绝对值|a| ≥0. 3.倒数( 1) 0 没有倒数 (2) 乘积是 1 的两个数互为倒数. a、 b 互为倒 数 . ▲▲ 平方根【知识要点】 1.算术平方根:正数 a 的正的平方根叫做 a 的算术平方根,记作“a”。 2.如果 x2=a,则 x 叫做 a 的平方根,记作“± a”(a 称为被开方数)。 3. 正数的平方根有两个,它们互为相反数;0 的平方根是0;负数没有平方根。 4.平方根和算术平方根的区别与联系: 区别:正数的平方根有两个,而它的算术平方根只有一个。联系:( 1)被开方数必须都为非负数;( 2)正数的负平方根是它的 算术平方根的相反数,根据它的算术平方根可以立即写出它的负平方根。( 3)0 的算术平方根与平方根同为 0。 5.如果 x3=a,则 x 叫做 a 的立方根,记作“3 a” ( a 称为被开方数)。 6.正数有一个正的立方根; 0 的立方根是 0;负数有一个负的立方根。 7.求一个数的平方根(立方根)的运算叫开平方(开立方)。 8.立方根与平方根的区别: 一个数只有一个立方根,并且符号与这个数一致;只有正数和0有平方根,负数没有平方根,正数的平方根有 2 个,并且互为相反数,0 的平方根只有一个且为0. 9.一般来说,被开放数扩大(或缩小)n 倍,算术平方根扩大(或缩 小) n 倍,例如25 5, 2500 50. 10.平方表:(自行完成) 22222 1 = 6 =11 =16 =21 = 22=72=122=172=222= 32=82=132=182=232= 42=92=142=192=242= 52=102=152=202=252= 题型规律总结: 1、平方根是其本身的数是0;算术平方根是其本身的数是0 和 1;立方根是其本身的数是0 和±1。

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