函数与导数解答题之数列型不等式证明 例1.已知函数()()ln 3f x a x ax a R =--∈ (1)讨论函数)(x f 的单调性; (2)证明:*1111ln(1)()23n n N n + +++>+∈ (3)证明:()*ln 2ln 3ln 4ln 5ln 12,2345n n n N n n ???<≥∈ (4)证明:()*22222ln 2ln 3ln 4ln 5ln 112,23452n n n n n N n n +?????
例3．已知函数()x f x e ax a =--（其中,a R e ∈是自然对数的底数， 2.71828e =…）. （1）当a e =时，求函数()f x 的极值；（II ）当01a ≤≤时，求证()0f x ≥； （2）求证：对任意正整数n ，都有2111111222n e ??????+ +???+< ??? ???????. 例4.设函数()ln 1f x x px （1）求函数()f x 的极值点； （2）当p ＞0时，若对任意的x ＞0，恒有0)(≤x f ，求p 的取值范围； （3）证明：).2,()1(212ln 33ln 22ln 2222222≥∈+--<+++n N n n n n n n 例5.已知函数()ln 1f x x x =-+? (1)求()f x 的最大值; (2)证明不等式:()*121n n n n e n N n n n e ??????+++<∈ ? ? ?-???? ??
导数、数列、不等式 导数与数列型不等式的交汇问题，体现了导数的工具性，凸显了知识之间的纵横联系，一些题构思精巧、新颖，加强对能力的考察，逐渐成为高考的新亮点. 1.已知函数()1x f x e ax =--（0a >，e 为自然对数的底数）. （1）求函数()f x 的最小值； （2）若()0f x ≥对任意的x R ∈恒成立，求实数a 的值； （3）在（2）的条件下，证明：121()()()()1 n n n n n n e n n n n e -++++<-L . 解析：（1）略；（2）min ()0f x ≥，由（1）设()ln 10g a a a a =--≥，1a =； （3）由（2）知，因为1a =，所以对任意x ，均有10x e x --≥，即1x x e +≤，令 k x n =-，0,1,2,,1n n =-L ，则01k n k e n -<-<，所以，(1)()k n n k n k e e n ---≤=. 于是，121()()()()n n n n n n n n n n -++++≤L (1)(2)21 1 111n n n e e e e e e ---------+++++=-L 2.已知函数kx x f =)(，x x x g ln )(= ， （1）求函数()g x 的单调区间； （2）若不等式)()(x g x f ≥在区间),0(+∞上恒成立，求实数k 的取值范围； （3）求证： e n n 21 ln 33ln 22ln 444<+++Λ. 解析：（1）函数x x x g ln )(=的单调增区间为),0(e ，单调减区间为),(+∞e . （2）0>x Θ，x x kx ln ≥，2ln x x k ≥∴.令2ln )(x x x h =，3 ln 21)('x x x h -=，
高考专题训练二十三 函数、导数与不等式、解析几何、数列型解答题 班级_______ 姓名_______ 时间：45分钟 分值：72分 总得分________ 1．(12分)(2011·成都市高中毕业班第二次诊断性检测)设△ABC 的三内角A 、B 、C 所对应的边长分别为a 、b 、c ，平面向量m ＝(cos A ，cos C )，n ＝(c ，a )，p ＝(2b,0)，且m ·(n －p )＝0. (1)求角A 的大小； (2)当|x |≤A 时，求函数f (x )＝sin x cos x ＋sin x sin ? ?? ?? x －π6的值域． 解：(1)m ·(n －p )＝(cos A ，cos C )·(c －2b ，a ) ＝(c －2b )cos A ＋a cos C ＝0 ?(sin C －2sin B )cos A ＋sin A cos C ＝0?－2sin B cos A ＋sin B ＝0. ∵sin B ≠0，∴cos A ＝12?A ＝π3 . (2)f (x )＝sin x cos x ＋sin x sin ? ????x －π6＝1 2 sin x cos x ＋32sin 2x ＝14sin2x ＋32·1－cos2x 2＝34＋1 4sin2x － 34cos2x ＝34＋12sin ? ?? ?? 2x －π3. ∵|x |≤A ，A ＝π3，∴－π3≤x ≤π3－π≤2x －π3≤π3∴－1≤sin ? ????2x －π3≤32?3－24≤34＋12sin ? ????2x －π3≤3 2. ∴函数f (x )的值域为[3－24，3 2 ]．
导数与数列不等式 1．设函数)1ln(2)1()(2x x x f +-+= （1）若关于x 的不等式0)(≥-m x f 在]1,0[-e 有实数解，求实数m 的取值范围； （2）设1)()(g 2--=x x f x ，若关于x 的方程p x =)(g 至少有一个解，求p 的最小值. （3）证明不等式：n n 131211)1ln(++++<+ )(*N n ∈ （4）证明不等式：1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋(n ＋1) >ln2 (n ∈N *)． 2（Ⅰ）当92 a = 时，设g x f x k =-()()，如果函数()x g 仅有一个零点，求实数k 的取值范围； （Ⅱ）当2a =时，试比较f x ()与1的大小； （Ⅲ）求证：1111ln 135721 n n +>+++++()n ∈*N () 3．已知函数. （1）求的单调区间和极值；的极大值为 （2）求证：. 4.已知函数kx x f =)(，x x x g ln )(= （1）求函数x x x g ln )(=的单调区间 （2）若不等式)()(x g x f >在),0(+∞上恒成立，求k 的取值范围。 （3）e n n n 21ln 24<∑ 5.已知函数x t tx x f ln )(--=。 （1）若函数)(x f 在),1[+∞上为增函数，求t 的取值范围。 ()2ln(1)(0)f x a x x a =+->()f x ()f x 2ln 221a a a -+(1)lg lg lg 4lg lg (1)23n n n n e e e e e n n ++++???+>+*()n N ∈
关于导数与数列型不等式的解法 导数与数列型不等式的交汇问题，体现了导数的工具性，凸显了知识之间的纵横联系，一些题构思精巧、新颖，加强对能力的考察，逐渐成为高考的新亮点。本文就2014年高考陕西理数第21题谈起，总结解决此类问题的一般思路和方法。 例1 （2014年高考陕西卷 理21）设函数()ln(1)f x x =+，()'()g x xf x =，0x ≥，其中'()f x 是()f x 的导函数. （1）11()(),()(()),n n g x g x g x g g x n N ++==∈，求()n g x 的表达式； （2）若()()f x ag x ≥恒成立，求实数a 的取值范围； （3）设n N +∈，比较(1)(2)()g g g n +++ 与()n f n -的大小，并加以证明. 解：（1）)1ln( )(x x f += ，)(')(x xf x g =，0≥x ，x x f +=∴11)('，x x x g +=1)(， )()(1x g x g = ，))(()(1x g g x g n n =+，x x x g +=1)(∴1，x x x x x x x g 21111)(2+=+++=， 假设当1≥k n =时，kx x x g k +=1)(，则x k x kx x kx x x g k )1(1111)(1++=+++=+ ∴当1+=k n 时，x k x x g k )1(1)(1++=+也成立.综上，nx x x g n +=1)(，+N n ∈ （2）)(≥)(x ag x f ，x x x g += 1)(，0≥1)1ln(∴x ax x +-+，0≥x . 令x ax x x h +-+=1)1ln()(，0≥x ，易知0)0(=h ，则22) 1(1)1()1(11)('x a x x x x a x x h +-+=+-+-+=，0≥x . 当1≤a 时，0)('≥x h 在0≥x 上恒成立，∴)(x h 在),0[+∞上单调递增，0)0()(=≥h x h ，满足条件； 当1>a 时，令0)('>x h ，解得1->a x ，令0)('
2.【湖南省长沙市长郡中学高二（上）第二次模块测试】已知函数()()2ln 1f x ax x =++. （1）当14 a =-时，求函数()f x 的单调区间； （2）当[)0,x ∈+∞时，函数()y f x =图像上的点都在00 x y x ≥?? -≤?所表示的平面区域内，求实数a 的取值范围； （3）求证： ()()1248211112335592121n n n e -???????? ?++++< ????? ????++?????? ?? （其中,n N e *∈是自然对数的底数） 【解析】 （1）常规解法，求出单调区间找最值， ()()21ln 14 f x x x =-++ ()()()()() 221112'212121x x x x f x x x x x +-+-=-+=-=-+++，令()'0f x >求出单调区间如下： （2）∵函数()y f x =图像上的点都在00x y x ≥??-≤? 区域内， ∴条件等价于[)0,x ?∈+∞，()2ln 1ax x x ++≤恒成立， 即()2ln 10ax x x ++-≤， 令()()2ln 1g x ax x x =++-，则有()00g =， ()()()22212211'21111 ax a x x ax a g x ax x x x +-+-=+-==+++ 令()'02210g x ax a >?+->，即212ax a >- ①0a >时，2 11111ln 1ln 10g a a a a a a ????????=++-=+> ? ? ? ????????? ，不符合题意； （此时发现单调性并不能直接舍掉0a >的情况，但可估计函数值的趋势，()ln 1x +恒为正，而2ax x -早晚会随着x 值的变大而为正数，所以必然不符合题意。在书写时可构造反例来说明，此题只需2 0ax x -=即可，所以选择1x a =）
导数与不等式 Prepared on 22 November 2020
1.已知函数f (x )＝x 2－ax －a ln x (a ∈R )． (1)若函数f (x )在x ＝1处取得极值，求a 的值； (2)在(1)的条件下，求证：f (x )≥－x 33＋5x 22－4x ＋116 . 2．(2016·烟台模拟)已知函数f (x )＝x 2－ax ，g (x )＝ln x ，h (x )＝f (x )＋g (x )． (1)若函数y ＝h (x )的单调减区间是? ?? ??12，1，求实数a 的值； (2)若f (x )≥g (x )对于定义域内的任意x 恒成立，求实数a 的取值范围． 3．(2016·山西四校联考)已知f (x )＝ln x －x ＋a ＋1. (1)若存在x ∈(0，＋∞)，使得f (x )≥0成立，求a 的取值范围； (2)求证：在(1)的条件下，当x >1时，12x 2＋ax －a >x ln x ＋12 成立． 4.已知函数f (x )＝(2－a )ln x ＋1x ＋2ax . (1)当a <0时，讨论f (x )的单调性；
(2)若对任意的a ∈(－3，－2)，x 1，x 2∈[1,3]，恒有(m ＋ln 3)a －2ln 3>|f (x 1)－f (x 2)|成立，求实数m 的取值范围． 5．(2017·福州质检)设函数f (x )＝e x －ax －1. (1)当a >0时，设函数f (x )的最小值为g (a )，求证：g (a )≤0； (2)求证：对任意的正整数n ，都有1n ＋1＋2n ＋1＋3n ＋1＋…＋n n ＋1<(n ＋1)n ＋1. 答案精析 1．(1)解 f ′(x )＝2x －a －a x ，由题意可得f ′(1)＝0，解得a ＝1.经检验，a ＝1时f (x )在x ＝1处取得极值，所以a ＝1. (2)证明 由(1)知，f (x )＝x 2－x －ln x ， 令g (x )＝f (x )－? ????－x 33 ＋5x 22－4x ＋116 ＝x 33－3x 22＋3x －ln x －116， 由g ′(x )＝x 2－3x ＋3－1x ＝x 3－1x －3(x －1)＝(x －1)3x (x >0)，可知g (x )在(0,1)上是减函数， 在(1，＋∞)上是增函数，所以g (x )≥g (1)＝0，所以f (x )≥－x 33＋5x 22 －4x ＋116 成立． 2．解 (1)由题意可知，h (x )＝x 2－ax ＋ln x (x >0)， 由h ′(x )＝2x 2－ax ＋1x (x >0)， 若h (x )的单调减区间是? ?? ??12，1，
导数与数列型不等式的交汇问题，体现了导数的工具性，凸显了知识之间的纵横联系，一些题构思精巧、新颖，加强对能力的考察，逐渐成为高考的新亮点。本文就2014年高考陕西理数第21题谈起，总结解决此类问题的一般思路和方法。 例1 （2014年高考陕西卷 理21）设函数()ln(1)f x x =+，()'()g x xf x =，0x ≥，其中'()f x 是()f x 的导函数. （1）11()(),()(()),n n g x g x g x g g x n N ++==∈，求()n g x 的表达式； （2）若()()f x ag x ≥恒成立，求实数a 的取值范围； （3）设n N +∈，比较(1)(2)()g g g n +++L 与()n f n -的大小，并加以证明. 解：（1）)1ln()(x x f +=Θ，)(')(x xf x g =，0≥x ，x x f += ∴11)('，x x x g +=1)(， )()(1x g x g =Θ，))(()(1x g g x g n n =+，x x x g +=1)(∴1，x x x x x x x g 21111)(2+=+++=， 假设当1≥k n =时，kx x x g k +=1)(，则x k x kx x kx x x g k )1(1111)(1++=+++=+ ∴当1+=k n 时，x k x x g k )1(1)(1++= +也成立. 综上，nx x x g n +=1)(，+N n ∈ （2）)(≥)(x ag x f Θ，x x x g += 1)(，0≥1)1ln(∴x ax x +-+，0≥x . 令x ax x x h +-+=1)1ln()(，0≥x ，易知0)0(=h ，则22)1(1)1()1(11)('x a x x x x a x x h +-+=+-+-+=，0≥x . 当1≤a 时，0)('≥x h 在0≥x 上恒成立，∴)(x h 在),0[+∞上单调递增，0)0()(=≥h x h ，满足条件； 当1>a 时，令0)('>x h ，解得1->a x ，令0)('
训练目标 (1)利用导数处理与不等式有关的题型；(2)解题步骤的规范训练． 训练题型 (1)利用导数证明不等式；(2)利用导数解决不等式恒成立问题及存在性问题； (3)利用导数证明与数列有关的不等式． 解题策略 (1)构造与所证不等式相关的函数；(2)利用导数求出函数的单调性或者最值再 证明不等式；(3)处理恒成立问题注意参变量分离. 1.已知函数f (x )＝x 2 －ax －a ln x (a ∈R )． (1)若函数f (x )在x ＝1处取得极值，求a 的值； (2)在(1)的条件下，求证：f (x )≥－x 33＋5x 2 2－4x ＋11 6. 2．(2016·烟台模拟)已知函数f (x )＝x 2 －ax ，g (x )＝ln x ，h (x )＝f (x )＋g (x )． (1)若函数y ＝h (x )的单调减区间是? ?? ??12，1，求实数a 的值； (2)若f (x )≥g (x )对于定义域内的任意x 恒成立，求实数a 的取值范围．
3．(2016·山西四校联考)已知f (x )＝ln x －x ＋a ＋1. (1)若存在x ∈(0，＋∞)，使得f (x )≥0成立，求a 的取值范围； (2)求证：在(1)的条件下，当x >1时，12x 2＋ax －a >x ln x ＋1 2成立． 4.已知函数f (x )＝(2－a )ln x ＋1 x ＋2ax . (1)当a <0时，讨论f (x )的单调性； (2)若对任意的a ∈(－3，－2)，x 1，x 2∈[1,3]，恒有(m ＋ln 3)a －2ln 3>|f (x 1)－f (x 2)|成立，求实数m 的取值范围． 5．(2017·福州质检)设函数f (x )＝e x －ax －1. (1)当a >0时，设函数f (x )的最小值为g (a )，求证：g (a )≤0； (2)求证：对任意的正整数n ，都有1n ＋1＋2 n ＋1 ＋3 n ＋1 ＋…＋n n ＋1 <(n ＋1) n ＋1 .
二轮专题 （十一） 导数与不等式证明 【学习目标】 1. 会利用导数证明不等式. 2. 掌握常用的证明方法. 【知识回顾】 一级排查：应知应会 1.利用导数证明不等式要考虑构造新的函数，利用新函数的单调性或最值解决不等式的证明问题．比如要证明对任意∈x [b a ,]都有)()(x g x f ≤，可设)()()(x g x f x h -=，只要利用导数说明)(x h 在[b a ,]上的最小值为0即可． 二级排查：知识积累 利用导数证明不等式，解题技巧总结如下： （1）利用给定函数的某些性质（一般第一问先让解决出来），如函数的单调性、最值等，服务于第二问要证明的不等式. （2）多用分析法思考. （3）对于给出的不等式直接证明无法下手，可考虑对不等式进行必要的等价变形后，再去证明.例如采用两边取对数（指数），移项通分等等.要注意变形的方向：因为要利用函数的性质，力求变形后不等式一边需要出现函数关系式. （4）常用方法还有隔离函数法，max min )()(x g x f ≥，放缩法（常与数列和基本不等式一起考查），换元法，主元法，消元法，数学归纳法等等，但无论何种方法，问题的精髓还是构造辅助函数，将不等式问题转化为利用导数研究函数的单调性和最值问题. （5）建议有能力同学可以了解一下罗必塔法则和泰勒展开式，有许多题都是利用泰勒展开式放缩得来. 三极排查：易错易混 用导数证明数列时注意定义域.
【课堂探究】 一、作差（商）法 例1、证明下列不等式： ①1+≥x e x ②1ln -≤x x ③x x 1-1ln ≥ ④1x 1)-2(x ln +≥ x )1(≥x ⑤)2 ,0(,2sin ππ∈>x x x 二、利用max min )()(x g x f ≥证明不等式 例2、已知函数.2 2)(),,(,ln )1(1)(e x e x g R b a x a b x ax x f +-=∈+-+-= （1）若函数2)(=x x f 在处取得极小值0，求b a ,的值； （2）在（1）的条件下，求证：对任意的],[,221e e x x ∈，总有)()(21x g x f >.
导数中的不等式问题的解题策略 导数的综合问题是高考数学的压轴题之一，其包含信息量大，计算繁琐，对学生的思维能力要求较高，令很多同学望而生畏，造成严重失分。而利用导数解决不等式问题更是压轴题中的压轴题，很多同学直接选择放弃，其实导数中的不等式问题并不像很多同学想象的那样，只是我们缺少对它的研究才觉得它高不可攀，下面我们通过具体的实例来分析导数中的不等式问题，解密其隐藏的规律轻松解决导数中的不等式问题。 1.承上启下型 在解决导数问题中的不等式时，经常会出现这样一类问题，其证明需要应用到前一问的结论。 由前一问的结论得到一个不等式，再根据其与要证明的不等式的关系进行证明，这类题在证明的过程中也经常应用到一些常见的结论，如：ln(1),1x x x e x +≤≥+等。 例 1.已知(),P x y 为函数1ln y x =+图象上一点,O 为坐标原点,记直线OP 的斜率()k f x =. (I)若函数()f x 在区间1,3m m ??+ ???()0m >上存在极值,求实数m 的取值范围; (II)当 1x ≥时,不等式()1t f x x ≥ +恒成立,求实数t 的取值范围; (III)求证()()()22* 1!1n n n e n N -+>+∈????.
分析：本题考查了函数的极值、恒成立问题及不等式的证明。(I)由极值的定义其极值点，极值点在1,3m m ? ?+ ??? 内，从而确定m 的范围。(II)分离参数t ，利用导数求最值。(III)利用第(II)问的结论结合所要证明的不等式的特点进行适当的放缩求解。 解:(Ⅰ)由题意()1ln x k f x x +==,0x > 所以()21ln ln x x f x x x '+??'==- ??? 当01x <<时,()0f x '>;当1x >时,()0f x '<. 所以()f x 在()0,1上单调递增,在()1,+∞上单调递减. 故()f x 在1x =处取得极大值 因为函数()f x 在区间 1,3m m ??+ ???(其中0m >)上存在极值, 所以01113m m <??得213m <<. 即实数m 的取值范围是213?? ??? ， (Ⅱ)由()1t f x x ≥ +得()()11ln x x t x ++≤ 令()()()11ln x x g x x ++= 则()2ln x x g x x -'= 令()ln h x x x =- 则()111=x h x x x -'=- 因为1,x ≥所以()0h x '≥,故()h x 在[)1+∞， 上单调递增 所以()()110h x h ≥=>,从而()0g x '> ()g x 在[)1+∞， 上单调递增, ()()12g x g ≥= 所以实数t 的取值范围是(],2-∞ (Ⅲ)由(Ⅱ) 知()21 f x x ≥ +恒成立, 即 1ln 2122ln 11111x x x x x x x x +-≥?≥=->-+++ 令()1,x n n =+则()()2ln 111n n n n +>-+ 所以()2ln 12112 ?>-?, ()2ln 23123 ?>-?, , ()()2ln 111n n n n +>-+. 所以()()222111ln 1231212231n n n n n ????????????+>-++???+? ?????+??
微专题 利用导数证明数列不等式 方法1 利用不等式)0(,1ln 11>-≤≤-x x x x 证明数列型不等式 背景知识：12312-??=n n n Λ，1ln 23ln 12ln ln -+++=n n n Λ 1. 求证：),2(,1 1211ln 13121*∈≥-+++<<+++N n n n n n ΛΛ 证明：在不等式中令11>-=n n x ，11 1ln 11--<-<--n n n n n n n n Λ,3,2=，可得个不等式，相加可以得证。 2.求证：2,N*n n ≥∈，时，n n n 1ln 44ln 33ln 22ln x ，令112+=n x ，则有2211111ln(1)(1)1n n n n n n +<<=---， 变形为1)11ln()141ln()131ln()121ln(2222<+++++++n Λ，),2(*∈≥N n n )11ln()141ln()131ln()121ln(2222+++++++n Λ 111)111()4131()3121()211(<-=--+-+-+-
导数及其应用 一．导数的概念：x x f x x f x f x ?-?+=→?) ()(lim )(0 '. 二．导数的几何意义： (1) 导数的几何意义: 函数在y=f(x)在x 0处的导数，就是曲线y=f(x)在点P(x 0，f(x 0))处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f(x)在点P(x 0, f(x 0))处的切线斜率 是)('0x f 。相应地，切线方程为：))(('000x x x f y y -=-。 注：在导数几何意义的应用过程中，应注意几种关系： ① 切点),(00y x P 在曲线上，即)(00x f y =；②切点),(00y x P 也在切线上； ③在切点处的切线斜率为)('0x f k = （2）求曲线过点),(00y x P 的切线方法： ①设切点为),(11y x M ；②求导得)('1x f ；③列方程组?????-=-=) ()(')(1011011x x x f y y x f y ，解 出x 1 ④点斜式写出切线方程：))(('000x x x f y y -=- 注：曲线在P 点处的切线与曲线过点P 的切线不是同一个概念：前者P 点为切点；后者P 点可能是切点也可能不。一般曲线的切线与曲线可以有两个以上的切点。 三、导数的计算 （1）常见函数的导数： 1．0='C 2．1)(-='n n nx x 3．x x e e =')( 4．a a a x x ln )(=' 5．1 (ln )x x '= 6．a x e x x a a ln 1log 1)(log ==' 7．x x cos )(sin =' 8．x x sin )(cos -=' （2）导数的四则运算 1．和差：()u v u v '''±=± 2．积：v u v u uv '+'=')( 3．商： 2 )(v v u v u v u '-'=' 四、判断函数的单调性： 设函数y=f(x)在区间（a ,b ）内可导 （1） 如果恒有0)('>x f ，则函数f(x)在区间（a ,b ）内为增函数； （2） 如果恒有0)('
二轮专题(^一) 导数与不等式证明 【学习目标】 1.会利用导数证明不等式? 2.掌握常用的证明方法. 【知识回顾】 一级排查：应知应会 1.利用导数证明不等式要考虑构造新的函数，利用新函数的单调性或最值解决不等式的证明 问题.比如要证明对任意x ［a,b］都有f(x)_g(x)，可设h(x) = f (x) — g(x)，只要利用导数说明h(x)在［a,b］上的最小值为0即可. 二级排查：知识积累 利用导数证明不等式，解题技巧总结如下： (1)利用给定函数的某些性质(一般第一问先让解决出来)，如函数的单调性、最值等，服务于第二问要证明的不等式? (2)多用分析法思考. (3)对于给出的不等式直接证明无法下手，可考虑对不等式进行必要的等价变形后，再去证明?例如采用两边取对数(指数)，移项通分等等?要注意变形的方向：因为要利用函数的性质，力求变形后不等式一边需要出现函数关系式? (4)常用方法还有隔离函数法，f(X)min -g(X)max，放缩法(常与数列和基本不等式一起考查)，换元法，主元法，消元法，数学归纳法等等，但无论何种方法，问题的精髓还是构造辅助函数，将不等式问题转化为利用导数研究函数的单调性和最值问题. (5)建议有能力同学可以了解一下罗必塔法则和泰勒展开式，有许多题都是利用泰勒展开式放缩得来?
三极排查：易错易混 用导数证明数列时注意定义域.
【课堂探究】 一、作差(商)法 例1、证明下列不等式: ①e x_x 1 ④ Inx _ 2(x-1) (x _1) ⑤ sin x 2x,x (0, x +1 二、利用f (X)min - g(X)max证明不等式 1 2 e 例2、已知函数 f(x)二 ax b-(a 1)Inx,(a,b R), g(x) x . x e 2 (1)若函数f(x)在x=2处取得极小值0,求a,b的值； (2)在(1)的条件下，求证：对任意的x1,x^ [e,e2]，总有f(xj .g(x2).
数列不等式的放缩与导数不等式的证明 一．.数列不等式与导数不等式证明的相互联系 二．证明不等式的的放缩技巧： （1）舍项或添项；（2）放大（或缩小）分式的分子或分母；（3）利用基本不等式; （4）真分数与假分数的放缩：?m b m a b a b a m b a ++<<><<则1,0,0 ?m b m a b a b a m b a ++>>>>>则1,0,0 （ 5 ） 数 列 通 项 的 常 见 放 缩 ? 1 )1(+<+
3.（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且，其中11a = （1）求数列{}n a 的通项公式; （2，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证： 4.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，3(1)n n S na n n =--（* n N ∈），且211a =． （1）求1a 的值； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ； （3）设数列{}n b 满足n b = 12n b b b +++< 5.设数列{}n a 的前n 项和6 ) 14)(1(-+= n n n S n ，*N n ∈． ⑴求1a 的值；[来源:https://www.doczj.com/doc/4613136494.html,] ⑵求数列{}n a 的通项公式； ⑶证明：对一切正整数n ，有 4 5 412 22 2 2 1 <+ ++ n a n a a ． 6.（本小题满分14分）设数列{a n }满足：a 1=1，a n+1=3a n ，n ∈N *．设S n 为数列{b n }的前n 项和，已知b 1≠0，2b n –b 1=S 1?S n ，n ∈N *． （Ⅰ）求数列{a n }，{b n }的通项公式； （Ⅱ）设c n =b n ?log 3a n ，求数列{c n }的前n 项和T n ； （Ⅲ）证明：对任意n ∈N *且n ≥2 …
1.已知函数f (X) = X —ax —a ln x(a€ R). (1)若函数f(X)在x= 1处取得极值，求a的值; —5—11 ⑵在(1)的条件下，求证：f (x) > —石+ 7-— 4X+—. 3 2 6 __ 2 2.(2016 ?烟台模拟)已知函数f (X) = X —ax, g( X) = In x, h(x) = f(x) + g(x). (1)若函数y= h(x)的单调减区间是1 1 ,求实数a的值; 2' (2)若f (X) > g(x)对于定义域内的任意X恒成立，求实数a的取值范围. 3. (2016 ?山西四校联考)已知f(X)= In X—X + a+ 1. (1)若存在x€ (0 ,+s)，使得f (X)>0成立，求a的取值范围; 1 2 1 ⑵ 求证：在(1)的条件下，当x>1时，2- + ax —a>x ln x+ 成立. 1 4.已知函数f (X) = (2 —a)ln x+- + 2ax. X (1)当a<0时，讨论f (X)的单调性; ⑵ 若对任意的a€ (—3, —2), X1, X2€ [1,3]，恒有(m+ In 3)a—2ln 3>|f(X1)—f(X2)| 成立，求实数m的取值范围. 5. (2017 ?福州质检)设函数f(X) = e X—ax— 1. (1)当a>0时，设函数f (X)的最小值为g( a)，求证：g(a) <0； ⑵ 求证：对任意的正整数n,都有1n+1+ 2n+1+ 3n+1+…+ n n+'<(n+ 1)n+1 答案精析 a 1.(1)解f ‘(x) = 2X—a —-,由题意可得f ‘ (1) = 0,解得a= 1.经检验，a= 1 时f(x) —在X= 1处取得极值，所以a= 1. (2)证明由(1)知，f (X) = X —X —In X, 令g(x) = f(x)——-■+ 竽—4x +11 3—11
导数与数列不等式的综合证明问题 典例：（2017全国卷3,21）已知函数()1ln f x x a x =-- 。 （1）若()0f x ≥ ，求a 的值； （2）设m 为整数，且对于任意正整数n 2111111222n m ? ????? + ++< ??? ??????? ，求m 的最小值。 分析：(1)由原函数与导函数的关系可得x =a 是()f x 在()0，+x ∈∞的唯一最小值点，列方程解得1a = ； (2)利用题意结合(1)的结论对不等式进行放缩，求得2111111222n e ? ????? + ++< ??? ??????? ，结合231111112222??? ???+++> ??????????? 可知实数m 的最小值为3 （1）()f x 的定义域为()0∞，+. ①若0a ≤，因为11 ln 2022 f a ?? < ??? =-+，所以不满足题意； ②若a >0，由( )1a x a f'x x x -=- =知，当()0x ,a ∈时，()f 'x <0；当()，+x a ∈∞时，()f 'x >0，所以()f x 在()0,a 单调递减，在()，+a ∞单调递增，故x =a 是()f x 在()0∞，+的唯一最小值点. 由于()10f =，所以当且仅当a =1时，()0f x ≥.故a =1.
练习1：已知函数1 ()ln()()f x x ax a x =-+- 为常数，在1x =-时取得极值. （1） 求实数a 的值； （2） 设()()2g x f x x =-+，求()g x 的最小值； （3） 若数列{ }n a 满足1 11 1(2),1 2 n n n n n a a N a a + --= ∈≥= +且，数列{}n a 的前n 和 n S ，求证：1(,2n n n n s a n e a e N +-+?≥∈是自然对数的底数) . 整理：在证明中要对证明的式子 1 2 n n n n s a a e +-?≥进行简单的处理为
专题09 导数与不等式的解题技巧一．知识点 基本初等函数的导数公式 (1)常用函数的导数 ①(C)′＝________(C为常数); ②(x)′＝________； ③(x2)′＝________；④1 x ′＝________； ⑤(x)′＝________． (2)初等函数的导数公式 ①(x n)′＝________；②(sin x)′＝__________； ③(cos x)′＝________；④(e x)′＝________； ⑤(a x)′＝___________；⑥(ln x)′＝________； ⑦(log a x)′＝__________． 【详解】如图所示，直线l与y＝lnx相切且与y＝x＋1平行时，切点P到直线y＝x＋1的距离|PQ|即为所求最小值．(lnx)′＝，令＝1，得x＝1.故P(1,0)．由点到直线的距离公式得|PQ|min=＝， 故选C. （三）构造函数证明不等式 例3．【山东省烟台市2019届高三数学试卷】已知定义在（﹣∞，0）上的函数f（x），其导函数记为f'（x），若成立，则下列正确的是（） A．f（﹣e）﹣e2f（﹣1）＞0 B． C．e2f（﹣e）﹣f（﹣1）＞0 D． 【答案】A
【分析】由题干知：，x＜﹣1时，2f（x）﹣xf′（x）＜0．﹣1＜x＜0时，2f（x）﹣（x）＞0．构造函数g（x）=，对函数求导可得到x＜﹣1时，g′（x）＜0；﹣1＜x＜0，g′（x）xf′ ＞0，利用函数的单调性得到结果. 练习1．设是定义在上的偶函数的导函数，且，当时，不等式恒成立，若，，，则的大小关系是（）A．B．C．D． 【答案】D 【分析】 构造函数，根据函数的奇偶性求得的奇偶性，再根据函数的导数确定单调性，由此 比较三个数的大小. 【解析】构造函数，由于是偶函数，故是奇函数.由于，故函数在上递增.由于，故当时，，当时，.所以 ，，，根据单