4.2_1指数函数的图像与性质

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27
课前预习
课堂互动
核心素养
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2.解指数不等式的类型及应注意的问题 (1)形如ax>ab的不等式，借助于函数y＝ax的单调性求解，如果a的取值不确定，要对a分 为0<a<1和a>1两种情况分类讨论. (2)形如ax>b的不等式，注意将b转化为以a为底数的指数幂的形式，再借助于函数y＝ax 的单调性求解. 3.函数y＝af(x)(a>0，a≠1)的单调性的处理技巧 当a>1时，y＝af(x)与y＝f(x)的单调性相同，当0<a<1时，y＝af(x)与y＝f(x)的单调性相反.
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核心素养
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题型二 指数型函数的定义域、值域问题 定义域是指函数有意义的x的范围
【例 2】 (1)函数 f(x)＝ 1－2x＋ x1＋3的定义域为(
)
A.(－3，0]
B.(－3，1]
C.(－∞，－3)∪(－3，0] D.(－∞，－3)∪(－3，1]
(2)函数 f(x)＝13x－1，x∈[－1，2]的值域为________. (3)函数 y＝4x＋2x＋1＋1 的值域为________.
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课前预习
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核心素养
∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1， ∴y＝13u，u∈[－1，＋∞)， ∴0<13u≤13－1＝3， ∴原函数的值域为(0，3].
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课前预习
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核心素养
规律方法 1.比较幂值大小的三种类型及处理方法
较数的大小、解不等式.
算及数学抽象素养.
1
课前预习
课堂互动

y
2 y 3
x
x
x
解:
3 y 2
1
x
o
x
〔探究与深化一〕
(X-2)
两个函数图象的异同:
0， 1)两个函数的图象都过 1点，且都在 x轴上方；
3 2)当a 1时 ， 函 数 的 图 象 单 调 增 递； 2 2 当a 1时 ， 函 数 的 图 象 单 调 减 递； 3
x x x x
解:
底数互为倒数的指数函数图象关于y轴对称
即：y 4 与y 0.25 ; y 2.5 与y 0.4
x x x
x
探究一
探究二
〔探究与深化一〕
(X-1)
例3.在 同 一 坐 标 系 下 作 出 列 下函 数 的 图 象 3 2 并简述图象的异同 :y ,y 2 3
0， 1 x 0, y ______ 1， 当0 a 1时，x 0, y _____;
减 在 ， 内是单调 __________ 函数
〔作业与拓展一〕
(X-1)
〔作业与拓展二〕
情感态度与价值观 让学生重视图象在指数函数性质运用中的作用。
〔学习要求 〕
1.深刻理解指数函数的概念，掌握指数函数
图象，能总结其性质。
2.熟练掌握底数a对于函数性质的影响，重
视图象在指数函数性质运用中的作用。
导入一
导入二
导入三
导入四
(X-1) 〔准备与导入一〕 某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分 问 题 裂成4个，……，1个这样的细胞分裂x次后得到 的细胞个数y与x的函数关系式为：
解:
B y | y x , x R 0,

（x,y)和(x,-y)关 于x轴对称！
(1) y 2 x (2) y 2x (3) y 2 x
y y=2x
y y=2x
y y=2x
(0,1)
o
x
(0,1)
o
x
(0,1)
o
x
(1) y=f(x)与y=f(-x)的图象关于 y 轴 对称； (2) y=f(x)与y=-f(x)的图象关于 x 轴 对称； (3) y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于 原 点 对称.
换元令 t＝ax，利用二次函数和指数函数的单调性来研究函数 的单调性，构建方程获解． 解 令 t＝ax (a>0 且 a≠1)， 则原函数化为 y＝(t＋1)2－2 (t>0)． ①当 0<a<1 时，x∈[－1,1]，t＝ax∈a，1a， 此时 f(t)在a，1a上为增函数．
所以 f(t)max＝f1a＝1a＋12－2＝14. 所以1a＋12＝16，所以 a＝－15或 a＝13. 又因为 a>0，所以 a＝13. ②当 a>1 时，x∈[－1,1]，t＝ax∈1a，a， 此时 f(t)在1a，a上是增函数．
【3】方程 2x x2y 的解有___3__个.
o
x
【点评】当判断方程 f (x) = g (x)的实根个数时，
我们可转化为判断函数y = f (x) 与函数 y = g (x)的
图像的交点的个数．
【4】函数y＝ax+2015＋2015(a＞0,且a≠1)的 图象恒过定点___________.
2022年11月16日星期三
课前自助餐: 1. 将下列各数值按从小到大的顺序排列
2: 求 下列函数的定义域
(1) y 22x1 ,

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)指数函数的图象一定在 x 轴的上方．( √ ) (2)当 a>1 时，对于任意 x∈R 总有 ax>1.( × ) (3)函数 f(x)＝2－x 在 R 上是增函数．( × )
2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)若 f(x)＝(a2－3)ax 是指数函数，则 a＝________. (2)若函数 f(x)＝ax(a>0，且 a≠1)的图象过点(2,9)，则 f(x)＝________. (3)函数 y＝2 1－3x的定义域为________，值域为________． 答案 (1)2 (2)3x (3)(－∞，0] [1,2)
＋ff43＋ff65＋…＋ff22002109＝(
)
A．1010 B．2020 C．2019 D．1009
答案 B
解析
不妨设
f(x)
＝
2x
，
则
f2 f1
＝
f4 f3
＝
…
＝
f2020 f2019
＝
2
，
所
以
原
式
＝
1010×2＝2020.
答案
解析
2．若函数 y＝(1－2a)x 是实数集 R 上的增函数，则实数 a 的取值范围为
教学难点：1.指数函数的图象与性质.2.底数 a 对函数的影响．
核心概念掌握
【知识导学】
知识点一 指数函数的定义
□01 函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)叫做指数函数，其中指数 x 是自变量，定义
域是 R
.
知识点二 指数增长模型
在实际问题中，经常会遇到指数增长模型：设原有量为 N，每次的增长率

轴且与轴无交点.
(2)所有图像都过(0,1)
之势;y =
1 x
和y
2
=
1 x
呈下降之势.
3
x
y
7
6
y = 3x
5
4
y=
不同点：
y = 2x 和y = 3x 的图像从左到右呈上升
()
1
3
()
1
2
x
3
2
y = 2x
1
–2 –1
O 1
–1
2 x
思考2：你认为是什么原因造成y = 2x 和y = 3x 的图像从
的大小是否有关？如有，底数的大小是如何影响函
数图像在第一象限内的分布呢？
y=
()
1
3
x
y
7
6
y = 3x
5
4
底数越大，其图像越在上方
y=
()
1
2
x
3
2
y = 2x
1
–2 –1
O 1
–1
2 x
探
究
新
知
思考4:你能根据对上述四个函数图像及其性质的分
析，填写下表吗？
0<a<1
图像
y
y
4
4
3
3
2
2
1
1
–2 –1 O 1
(2)判断该函数的奇偶性和单调性．
1
解：(1)根据题意，函数 = (2)|| + 的图象过原点，则
有0 = + ，则 = −，
又由 () 的图象无限接近直线 = −2 但又不与该直线相交，
则 = 2，又由 + = 0，则 = −2，

当0<a<1时,选项C符合题意.故选C.
答案: C
3.已知函数f(x)=4+ax+1(a>0,且a≠1)的图象经过定点P,则点P的
坐标是(
)
A.(-1,5) B.(-1,4)
C.(0,4)
D.(4,0)
解析:当x+1=0,即x=-1时,ax+1=a0=1,此时f(x)=4+1=5,故点P的
坐标为(-1,5).
设f(x)=0.8x, 因为0<0.8<1,所以f(x)在R上单调递减.
又因为0.9>0.8,所以0.80.9<0.80.8.
再比较0.80.8与0.90.8的大小,设g(x)=x0.8,
因为0.8>0,所以g(x)在区间(0,+∞)内单调递增.
又因为0.8<0.9,所以0.80.8<0.90.8.
第1课时
4.2 指数函数
指数函数及其图象、性质(一)
学习目标
1.通过具体实例,了解指数函数的实际意义.
2.理解指数函数的概念.
3.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函
数的图象.
4.探索并理解指数函数的单调性.
5.感悟数学抽象的过程,提升直观想象和逻辑推
理素养.
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
(-5,-1),即点P的坐标为(-5,-1).
答案:(1)D (2)(-5,-1)
反思感悟
1.指数函数图象问题的处理技巧
(1)抓住图象上的特殊点,如指数函数的图象必过的定点;
(2)利用图象变换,如函数图象的左右平移、上下平移;
(3)利用函数的奇偶性与单调性,奇偶性确定函数的对称情况,

4.2 指数函数
4.2.1 指数函数的概念 4.2.2 指数函数的图象和性质
1.理解指数函数的概念. 2.探索指数函数的单调性与图象的特殊点,并掌握指数函数图象的性质. 3.体会直观想象的过程,加强数学抽象、数学运算素养的培养.
指数函数 一般地,函数① y=ax(a>0,且a≠1) 叫做指数函数,其中指数x是自变量,定义 域是② R .
解下列方程:
(1)81×32x=
1 9
x2
;(2)22x+2+3×2x-1=0.
思路点拨
(1)两边化为同底数幂 利用指数相等求解.
(2)令2x=t(t>0),将原方程化为4t2+3t-1=0 求出t的值
解析
(1)∵81×32x=
1 9
x
2
,∴32x+4=3-2(x+2),
∴2x+4=-2(x+2),解得x=-2.
与指数函数有关的复合函数的定义域、值域问题
大家对“水痘”应该不陌生,它与其他的传染病一样,有一定的潜伏期,这段时 间里病原体在机体内不断地繁殖.病原体的繁殖方式有很多种,分裂就是其中的一 种.我们来看某种球菌的分裂过程:由1个分裂成2个,2个分裂成4个,4个分裂成8个, …… 问题 1.2个这样的球菌分裂x次后,得到的球菌的个数y与分裂次数x的关系式是什么? 提示:y=2x+1. 2.上述求出的关系式中x的范围是什么? 函数的值域是什么? 提示:x∈N*;值域是{22,23,24,…}.
比较指数幂大小
1.01365 37.8, 0.99365 0.03,
1.02365 1 377.4, 0.98365 0.000 6.
问题 1.上面的式子告诉我们一个什么道理? 提示:积跬步以致千里,积怠惰以致深渊. 2.如果不计算出结果,如何比较上式中各指数幂的大小? 提示:利用函数单调性进行比较.

y
y ax
(0 a 1)
1
0
x
指数函数y=ax(a>0,且a≠1）的性质： 当x<0时, ay>>11.
y
当x>0时, 0<y<1.
0< a <1 y
图
象 y=1
(0,1)
(0,1)
y=1
o
x
o
x
当x<01时.定, 义域： 性0<y2<.1值. 域：
质 3.过点
,即x=
当x>0时, 时,y= y>1.
(2)有理数指数幂的性质 ①asat＝ as＋t (a>0，s、t∈Q)； ②(as)t＝ ast (a>0，s、t∈Q)； ③(ab)t＝ atbt (a>0，b>0，t∈Q)．
导入课题1：某种细胞分裂时，第一次由1个
分裂成2个，第2次由2个分裂成4个，如此下去， 如果第x次分裂得到y个细胞，那么细胞个数y与分 裂次数x的函数关系是什么？
21
22
23
…
2x
y 2x
导入课题2
假设我国2003年的国民生产总值为1个单位，此后每年 的平均增长率为8％，经过x年后的国民生产总值y与x 的函数关系式是：
y (1 8%)x
即 y 1.08x
数。
新的函数: 指数函数的定义：
形如函数 y ax (a 0且a 1)
定义域是R。
叫做指数函数，其中x是自变量，
要点梳理
忆一忆知识要点
③( n a)n＝ a .
④当 n 为奇数时， n an＝ a ；
当 n 为偶数时，n an＝|a|＝
a －a

1．通过实例理解指数函数的概念，了解指数函数在生活中 的应用．
2．掌握指数函数图象和性质． 3．会应用指数函数的性质求函数的定义域、值域．
第四章 4．2 第1课时
课标A版·数学·必修第一册
1．指数函数的定义 一般地，函数 y＝ax(a>0，且 a≠1) 叫做指数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域为 R. 温馨提示：指数函数解析式的 3 个特征： (1)底数 a 为大于 0 且不等于 1 的常数． (2)自变量 x 的位置在指数上，且 x 的系数是 1. (3)ax 的系数是 1.
[答案] (1)D (2)(3,4)
第四章 4．2 第1课时
课标A版·数学·必修第一册
处理指数函数图象问题的 3 个策略 (1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)，求指数型函数 图象所过的定点时，只要令指数为 0，求出对应的 y 的值，即可 得函数图象所过的定点． (2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平 移)． (3)利用函数的奇偶性与单调性：奇偶性确定函数图象的对称 情况，单调性决定函数图象的走势．
(2)指数函数 y＝ax(a>0 且 a≠1)的图象恒过点(0,1)，(1，a)， －1，1a，只要确定了这三个点的坐标，即可快速地画出指数函 数 y＝ax(a>0 且 a≠1)的大致图象．
第四章 4．2 第1课时
课标A版·数学·必修第一册
1．观察下列从数集 A 到数集 B 的对应： ①A＝R，B＝R，f：x→y＝2x； ②A＝R，B＝(0，＋∞)，f：x→y＝12x. (1)这两个对应能构成函数吗？ (2)这两个函数有什么特点？ [答案] (1)能 (2)底数为常数，指数为自变量
第四章 4．2 第1课时
[针对训练] 3．函数 y＝2－|x|的大致图象是( )

【变式训练】
1．函数 y＝12x2－2x－3的值域为_(_0_,_1_6__]_．
解析：定义域为 R.因为 x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4，
所以12x2－2x－3≤12－4＝16. 又12x2－2x－3>0， 所以函数 y＝12x2－2x－3的值域为(0，16]．
题型二 指数函数的单调性及应用
角度 2 解指数不等式
(, 1)
例 3、（1）不等式 4x<42－3x 的解集是_______2_.
（2）若 a－5x>ax＋7(a>0 且 a≠1)，求 x 的取值范围．
（1）解析：因为
4x<42－3x，所以
x<2－3x，所以
1 x<2.
（2） 解：①当 a>1 时，因为 a5x ax7 ，且函数 y＝ax 为增函数，所以－5x>x＋7，解得 x<－76. ②当 0<a<1 时，因为 a5x ax7 ，且函数 y＝ax 为减函数，所以－5x<x＋7，解得 x>－76.
即
a
4
1 x
1
a
1 4x
1
恒成立，解得Fra bibliotek2a1 4x 1
1 4x 1
1，所以
a
1 2
.
题型三 指数函数性质的综合问题 例 5、已知定义在 R 上的函数 f(x)＝a＋4x＋1 1是奇函数. (2)判断 f(x)的单调性(不需要证明)； (3)若对任意的 t∈R，不等式 f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0 恒成立，求实数 k 的取值范围. (2)由(1)知 f(x)＝－12＋4x＋1 1，故 f(x)在 R 上为减函数.
综上所述，当 a>1 时，x 的取值范围为－∞，－67；当 0<a<1 时，x 的取值范围为－76，＋∞.