第二单元初等数据分析方法
1数学建模方法论：类比、创新
2最简定量关系：人类建立起来的变量之间最简单最直观的定量关系就是函数关系
(1)函数概念的力学来源．(2)1637年笛卡尔的《几何学》首次涉及到变量，也引入了函数思想．(3)1667年英国数学家格雷果里被认为是函数解析定义的开始(4)公认最早提出函数概念的是17世纪德国数学家莱布尼茨．(5)为了得到变量之间的函数关系需要采集数据，于是提出三个问题：(6)如何采集数据？采集什么数据？如何分析数据3建立函数关系的方法
由此产生建立变量之间函数关系三种基本方法观察法：利用数据的比例性质拟合方法、插值方法统称初等数据分析方法
数据及其品质(1)有的提供数据：2008年“奥运场馆设计” (2)有的不给数据：2010年世博会的影响力(3)有的问你需要什么数据：2008年重金属污染源头问题(4)有的需要你自己判明应该采集什么数据才能说明这件事情：2015年“出租车”试建立合理的指标并分析不同时空出租车资源的“供求匹配”程度因此，需要评估数据的精确性，由于收集数据时精确度不高比如记录或报告一个数据时的人为错误，或测量精度限制等多种情况。比如在绘制地图时是按比例缩小的但测量时总有误差在分析一个数据集合时，可能遇到的问题是: (1)根据收集的数据进行建模．要么数据具有明显特征要么插值(2)按照选出的一个或多个模型(函数)类型对数据进行拟合．(3)从已经拟合模型中选取最合适的例：判断指数与多项式模型哪个拟合更好
4 观察法和初等数学方法
通过大量数据利用变量之间的比例性质得到自然规律：(1)Kepler(开普勒)第三定律开普勒曾帮第谷(Tycho Brahe) 收集了13年火星的相对运动的观察资料到1609年开普勒已经形成了头两条定律: a)每个行星都沿一条椭圆轨道运行太阳在该椭圆的一个焦点处．b)对每个行星来说，在相等的时间里该行星和太阳的联线扫过相等的面积．开普勒花了许多
年来验证并形成了第三定律T = c其中T 是周期(天数)而R是行星到太阳的平均距离他建立了轨道周期与从太阳到行星平均距离之间的关系．如表2.1中的数据
图画出了周期对平均距离的3/2次方的图形该图形近似于一条通过原点的直线纵坐标是周期(天数)，横坐标量纲是英里×10?4．
任取过原点的这条直线上的两点，易估计其斜率(比例常数):斜率
估计其模型为T = 0.410
(2)(波义耳定律(Boyle’s law)1662年)一定量的理想气体的压强P体积V 和绝对温度T 之间具有关系R是普适气体常量．
(3)(虎克定律(Hooke)1678年) 一个线性弹簧的形变(x) 与弹力(F )之间的关系F = ?Kx 负号表示形变的方向与弹力方向相反．
(4)(牛顿(Newton)万有引力公式1687年)两个物体之间相互作用时的相互吸引
来表示吸引力与其他因素之间的规律．
(5)(欧姆定律(Ohm’s law)1826年) 在同一电路中，通过某一导体的电流跟这段导体两端的电压成正比跟这段导体的电阻成反比
I：(电流)的单位是安培(A) U：(电压)的单位是伏特(V)
R ：(电阻)的单位是欧姆(Q)．
观察法与初等数学知识结合：案例2.1：：：半径为1的轮子置于平地上轮子边缘一点A与地面相接触。求当轮子滚动时，A点运动的函数表示．
解：建立坐标系Oxy，设轮子滚动时A点的坐标为A(x, y)，当轮子滚动到P 点着地时，线段OP 的长度等于圆弧AP 的长度，也等于轮子转过的角度(以弧度为单位)．令参数t表示轮子转过的角度，得到( x = t ?sint, y = 1 ?cost.此即为旋轮线的参数表示．案例2.2：：：一船由甲地逆水匀速行驶到乙地，甲乙两地相距s(千米)，水速为常数p(千米/时)，船在静水中的最大速度为q (千米/时，其中q > p)，已知船每小时的燃料费用(以元为单位) 与船在水中的速度v(千米/小时) 的平方成正比，比例系数为k．
(1)将全程燃料费用y(元) 表示为船在静水中的速度v(千米/小时)的函数，并指出这个函数的定义域；(2)为了使全程燃料费用最少，船的实际前进速度应为多少？
解：(1) 由题意知，船由甲地逆水匀速行驶到乙地，且水速p，而船在静水中的速度v．因此，船在实际前进时的速度v ?p为变量，
再由船在静水中的最大速度q 为常量，知v的范围是p < v < q，由此，船由甲地均匀
行驶到乙地。
由于每小时燃料费用为y = kv2(其中k 为常数)．因此，所求全程燃料费用函数为：
(2) 将船的实际前进速度v ?p用m表示，则由v ∈(p, q)可知，
m ∈(0, q ?p)且v = p + m，得到
由题意可知，k，s，m都是正数，由算术平均值不小于几何平均值得：y ≥ks(2p + 2p)
= 4ksp当且仅当即m = p时取等号.
①当p ∈(0, q ?p], 0 < p ≤q ?p, 0 < 2p ≤q，即q ≥2p，即当m = p时，全程燃料费用y最少．
②当p ∈/ (0, q ?p]，即q < 2p，设先证明当m ∈(0, q ?p]时，全程燃料费用函数y = f (m)是减函数．
设0 < m1 < m2 < q ?p，有f (m1) ?f (m2)
由0 < m1 < m2 < q ?p且q ?p < p得：m2 ?m1 > 0, p2 ?m1m2 > 0
所以f (m1) > f (m2)．故y = f (m)在区
间(0, q ?p)上是减函数．当q < 2p时有f (m) > f (q ?p)，当且仅当m = q ?p时取等号，即当m = q ?p时全程燃料费用最少
综上所述，为使全程燃料费用最少，
当q ≥2p时，船的实际前进速度应为p(千米/小时)；当q < 2p时，
船的实际前进速度应为q ?p(千米/小时)．
案例2.3：：：
市场均衡问题．商晶的价格是由其供需关系决定的．如果市场上某种商晶的价格使得该种商晶的总需求等于总供给，则称这一商晶市场达到均衡，这时的价格称为均衡价格，在此价格下，商晶的供给量也就是需求量称为均衡数量．首先建立供需与价格关系的数学模型．市场对该种商晶的需求量总是随着价格的上扬而有所下降，即商晶的需求量Q d 是价格P 的递减函数，记为Q d(P )；但是，生产厂商的积极性会随着价格的上扬而上升，即商晶的供应量Q s 是价格P 的递增函数，记为Q s(P )．因此，经济学中需求和供给函数模型
最简单的是线性函数分别为Q d(P ) = ?aP + b Q s(P ) = cP ?d其中a，b，c，d均为非负常数.显然Q d(P )和Q s(P )分别是P 的递减和递增函数．注意到当P = 0时，Q d = b，即当该商晶为免费时的需求量为b．因此，b称为社会极大需求量．
而当Q s(P ) = cP ?d = 0时，可解得P = ，即当价格为时，该商晶的产量为0
即为生产商能够承受的最低价格．所谓均衡价格，就是使得Q d(P ) = Q s(P )的价格P ．Q d(P )和Q s(P )的表达式，应有?aP + b = cP ?d.由此解得均衡价格和
相应的均衡供求量这就解决了均衡价格的问题．
还有一些更加复杂的非线性模型．比如需求函数模型有
它们分别称为二次函数模型指数函数模型根式函数模型以及
的分式函数模型．
供给与价格关系的函数模型还有分式函数模型
以上各模型中的a，b，c，d均为非负常数．
经济学中运用计量方法建立了许多经济量之间的关系：等成本线也叫企业预算线成本函数与平均函数收益函数和利润函数(与产量)
案例2.4：：：将4条腿长相同的方椅子放在不平的地上，怎样才能放平？如何才能把它抽象成数学问题？
【问题分析】假定椅子中心不动，每条腿的着地点用A、B、C、D表示，把AC和BD 连线看做坐标系中的x轴和y轴，把转动椅子看做坐标的旋转，如图
用θ表示对角线AC 转动后与初始位置x轴正向的夹角．设g(θ)表示A，C两腿旋转θ角度后与地面距离之和．
f (θ) 表示B，D两腿旋转θ角度后与地面距离之和．当地面形成的曲面为连续函数时，
f (θ)，g(θ)皆为连续函数．因为三条腿总能同时着地，即对任意θ，总有f (θ) ·g(θ) = 0．
不妨设初始位置θ = 0 时g(θ) = 0，f (θ) > 0，于是问题转化为：是否存在一个θ0，f (θ0) = g(θ0) = 0．这样椅子问题就抽象成如下数学问题：
已知f (θ)，g(θ)连续，g(0) = 0，f (0) > 0，且对任意的θ都有f (θ) ·g(θ) = 0．求证：存在θ0，
使得f (θ0) = g(θ0) = 0．数学问题的证明：令h(θ) = g(θ) ?f (θ)，则h(0) = g(0) ?f (0) < 0将椅子转动，即将AC与BD位置互换，
而h(θ)是连续函数，根据连续函数的零点定理知
使得h(θ0) = 0，即g(θ0) = f (θ0)；又由条件对任意θ，恒有f (θ) ·g(θ) = 0，所以g(θ0) = f (θ0) = 0；既存在θ0方向，四条腿能同时着地.所以椅子
问题的答案是：如果地面为光滑曲面，椅子中心不动最多转动角度.则四条腿一定可以同时着地．
5 数据拟合方法
一、源头问题：
问题1：请找出一个函数经过所有的数据点．问题2：请预测当x = 3.5时，y的值．作为数据处理的基本方法，拟合和插值都是要求通过已知的观测数据去寻求某个近似函数，使得近似函数与已知数据有较高的拟合精度。
具体来说：(1)拟合：求过已知有限个数据点的近似函数，不要求过所有的已知数据点，
只要求在某种意义下它在这些点上的总偏差最小．主要用来反应数据的基本趋势．(2)插值：求过已知有限个数据点的近似函数，要求所求的近似函数过已知的数据点．
二、数学思想与建模方方法法假设想要对数据点集拟合一条直线
y = ax + b，应如何选择a和b，使直线最好地拟合数据？数据点和直线间总存在一些纵向差异，称这些纵向差异为绝对偏差．
定义2.1 给定m个数据点(x i, y i)的集合，用直线y = ax + b 拟合该集合，确定参数a和b，使任一数据点(x i, y i)和其对应的直线上的点(x i, ax i + b)间的距离之和最小，即：极小化绝对偏差|y i ?y(x i)|的和．可以将直线的极小化绝对偏差之和准则推广到给定曲线情形：
给定某一函数y = f (x)，以及m个数据点(x i, y i)的集合，极小化绝对偏差|y i ?y(x i)|的和，
也就是确定函数类型y = f (x)的参数，极小化
再看另一种选择定义2.2 给定m个数据点的集合(x i, y i), i = 1, 2, ···, m，用直线y = ax + b 拟合该集合，确定参数a和b，使任一数据点(x i, y i)和其对应的直线上的点(x i, ax i + b)间的距离最小，也就是对整个数据点集极小化最大绝对
偏差|y i ?y(x i)|．现将直线的极小化最大绝对偏差准则推广到给定曲线的情形：给定某种函数y = f (x)和m个数据点(x i, y i)的一个集合，对整个集合极小化最大绝对偏差|y i ?y(x i)|，
即确定函数类型y = f (x)的参数从而极小化数量Max|y i ?y(x i)| i = 1, 2, ···, m 这一准则称为Chebyshev近似准则
Chebyshev准则的困难在于求解这个最优化问题需要高级的数学方法．
三、案例分析案例2.5：：：设要度量直线段AB，BC和AC，假定测量的结果为AB = 13，BC = 7，AC = 19．这时，AB和BC值加起来是20 而不是测出的AC = 19．问各自真值？
解：假定对每一次测量有相同的信任度，这样每一测量值有相等的权值．
这种情况下，差异应均等地分配到每一线段，令x1代表线段AB长度的真值，x2代
表BC的真值．令r1、r2、r3表示真值和测量值间的差异．即线段AB：r1 = x1 ?13线段BC：
r2 = x2 ?7，线段AC：r3 = x1 + x2 ?19数值r1、r2、r3称为残差．如果用Chebyshev 准则，应指定r1、r2、r3的值使三个数值|r1|、|r2|、|r3|的最大者达到最小．如果记最大的数为r，那么我们要求最小化r，约束有三个条件|r1| ≤r或?r ≤r1 ≤r，|r2| ≤r或?r ≤r2 ≤r，|r3| ≤r或?r ≤r3 ≤r
问题则叙述为经典的数学问题：最小化r 满足约束条件
r ?x1 + 13 ≥0(r ?r1 ≥0)，r + x1 ?13 ≥0(r + r1 ≥0) ，r ?x2 + 7 ≥0(r ?r2 ≥0)，r + x2 ?7 ≥0(r + r2 ≥0)，r ?x1 ?x2 + 19 ≥0(r ?r3 ≥0) r + x1 + x2 ?19 ≥0(r + r3 ≥0) 这一问题称为线性规划问题．
推广这一过程，给定某一函数类型y = f (x)，其参数侍定，给定m个数据点(x i, y i)的一个集合，并确定出残差为r i = y i ? f (x i)。如果r代表这些残差的最大绝对值，那么问题表示成最小化r 满足约束条件r ?r i ≥0 ，r + r i ≥0，对i = 1, 2, ···, m
最小二乘准则问题：确定函数类型y = f (x)的参数，极小化和数
:
散点图为
看起来两者呈指数关系，可设产卵数y 与温度x的关系为
y = βeαx，任务是确定常数α，β．上式两边取对数，令z = Iny
于是，问题化为找一直线y = ax + b，即寻找a，b使得上表中的数据基本满足这个函数关系.使得所有观测值y i 与函数值ax i + b之偏差的平方和
最小.确定常数a，b用的就是二元函数求极值
的方法，显然Q是a，b的函数. 令
就得到线性方程组
解这个方程组，得到
由问题知，Q在(a, b)上取最小值。通过计算可得a = 0.26921,b = ?3.784948
于是，表的拟合直线方程为y = 0.26921x ?3.784948,红铃虫的产卵数与温度的关系为z = 0.02271e0.26921x.
总结：数据拟合有三种判别准则：使偏差的绝对值之和最小，使偏差的最大绝对值最小使偏差的平方和最小(即最小二乘法)．
6 插值方法
一、源头问题已知某未知函数y = f (x)的一组观测或试验数据(x i, y i)(i = 0, 1, 2, ···, n)，
要寻求一个函数?(x)，使得?(x i) = y i，i = 0, 1, 2, ···, n，则?(x) ≈ f (x)．即：在不知道函数y = f (x)的具体表达式的情况下，对于x = x i有实验测量值y = y i(i = 0, 1, 2, ···, n)，寻求另一函数?使满足：?(x i) = y i = f (x i) i = 0, 1, 2, ···, n,称此问题为一维插值问题.此外，还有二维插值问题．并称函数?(x)为f (x) 的插值函数，x0, x1, x2, ···, x n
称为插值结点，?(x i) = y i(i = 0, 1, 2, ···, n)称为插值条件，则?(x) ≈f (x)．几种基本的、常用的插值方法：拉格朗日插值法牛顿插值法Hermite插值法分段线性插值法三次样条插值法
二、数学思想与建模方方法法拉格朗日(((Lagrange)))插值：(1)插值多项式一般提法为：
已知函数y = f (x)，在n + 1个相异点x0, x1, x2, ···, x n 上的函数值为
y0, y1, y2, ···, y n，要求一个次数不超过n的多项式p n(x) = a0 + a1x + a2x2 + ···+ a n x n,使在结点x i上成立p n(x i) = y i(i = 0, 1, 2, ···, n)，称p n(x) 为插值多项式。则f (x)的n + 1个待定系数a0，a1，···，a n满足
记此方程组的系数矩阵为A，则
是范德蒙(Vandermonde)行列式．当x0，x1，···，x n 互不相同时，此行列式值不为零．因此，方程组有唯一解．这表明只要n + 1个插值节点x0，x1，···，x n 互异，满足插值条件的插值多项式存在唯一．从几何上看，n次多项式插值就是过n+1个点(x i, y i)
作一条多项式曲线y = p n(x)来近似曲线y = f (x)，可以证明n次插值问题的解是惟一的．当x ∈[a, b]且x /= x i(i = 0, 1, ···, n)时，f (x) ≈p n(x)，称被插函数f (x) 与插值多项式p n(x)之间的差R n(x) = f (x) ?p n(x)为插值多项式p n(x)的截断误差，或插值余项．即：用多项式函数p n(x)作为插值函数时，希望通过解方程组而得到待定系数a0，a1，···，a n的做法当n比较大时是不现实的。因此，我们采用(2)拉格朗日插值多
项式首先构造一组基函数：
显然l i(x)是n次多项式，且满足：
多项式L n(x)显然满足插值条件L n(x i) = y i(i = 0, 1, ···, n)，我们称L n为n次拉格朗日插值多项式，同样由唯一性，n+1 个节点的n次拉格朗日插值多项式存在且唯一．当f (x)在[a, b]上充分光滑时，利用罗尔(Rolle)定理可推出:对于任意x ∈[a, b]，插值多项式p n(x)l的余项R n(x) = f (x) ?p n(x)
例题设f (x) =，取结点为x = 1、1.728、2.744求f (x)的二次拉格朗日插值多项式p n(x) 及其余项的表达式，并计算P2(2)(= 1.2599210 ···)．
解：取x0 = 1，x1 = 1.728，x2 = 2.744为插值结点，则函数f (x) =的相应的函数值为 f (x0) = 1，f (x1) = 1.2，f (x2) = 1.4.于是，由拉格朗日插值公式，
f (x) ≈p2(x)
≈?0.0447x2 + 0.3965x + 0.6481将x = 2代入就得到的近似值≈p2(2) = 1.2626
它与准确值的差的绝对值(称为绝对误差)约为0.0027，而由插值余项估计公式，
其误差约为≤0.0125思考题：回顾带拉格朗日余项的Taylor公式，其中的Taylor多项式与n次拉格朗日插值多项式有什么区别？
并用函数在x = 1处的二次Taylor多项式计算的近似值，并将结果与上述例题比较。
牛顿(((Newton)))插值：(1)函数的差商及其性质设有函数f (x)，其中x0, x1, x2, ···, x n表示一系列互不相同的节点，可定义以下差商：
一阶差商：
二阶差商：
n阶差商：
注意差商有下列性质：
(I)差商的可加性：
(II)差商的对称性：在f [x0, x1, ···, x n]中任意调换x i, x则的次序其值不变. 即
有f [x0, ···, x i, ···, x则, ···, x n]= f [x0, ···, x则, ···, x i, ···, x n]
(2 )牛顿插值公式由各阶差商的定义，依次可得如下结果：f (x) = f (x0) + (x ?x0)f [x, x0]
f [x, x0] = f [x0, x1] + (x ?x1)f [x, x0, x1]，f [x, x0, x1]= f [x0, x1, x2]+(x ?x2)f [x, x0, x1, x2]······f [x, x0, ···, x n?1]= f [x0, x1, ···, x n]+(x ?x n)f [x, x0, ···, x n]将以上各式分别乘以1, (x ?x0), (x ?x0)(x ?x1),···, (x ?x0)(x ?x1) ···(x ?x n ?1)，然后等式两边相加可得：f (x) = f (x0) + (x ?x0)f [x0, x1]+ ···++(x?x0)(x?x1) ···(x?x n?1)f [x0, x1, ···, x n]+(x?x0)(x?x1) ···(x?x n)f [x, x0, x1, ···, x n]记N n(x) = f (x0) + (x ?x0)f [x0, x1]+ ···++(x?x0)(x?x1) ···(x?x n?1)f [x0, x1, ···, x n]显然N n(x)是至多n次多项式，且满足插值条件N n(x i) = f (x i)。
称此插值多项式为牛顿插值多项式。优点：每增加一个节点，插值多项式只增加一项，即N n+1(x) = N n(x)+(x?x0)(x?x1) ···(x?x n)f [x0, x1, ···, x n+1] 从而便于进行递推运算，且计算量小于Lagrange插值．其余项为:
R(x) = (x?x0)(x?x1) ···(x?x n)f [x0, x1, ···, x n, x]·
埃尔米特(((Hermite)))插值：如果对插值函数, 不仅要求它在节点处与函数同值,而且要求它与函数有相同的一阶、二阶甚至更高阶的导数值，这就是Hermite 插值问题．本节主要讨论在节点处插值函数与函数的值及一阶导数值均相等的Hermite 插值．其一般提法为：设已知函数y = f (x) 在n+1个互异节点x0, x1, ···, x n上的函数值y i = f (x i)和导数值y l = f l(x i)，(i = 0, 1, ···, n)要求一个至多2n+1次多项式H(X)，
使得：H(x i) = y i，H l(xi) = y l(i = 0
满足上述条件的多项式H(x) 称为Hermite插值多项式，其具体形式如下所示：, 1, ···, n),
其中
高次插值多项式的龙格(Runge)现象：用拉格朗日插值多项式p n(xl 作为区间[a, b]上连续函数f (x)的近似函数，在大多数情况下，p n(x)的次数越高，逼近f (x)的效果就越好．
但是对于高阶多项式插值问题而言，往往会造成p n(x)的收敛性与稳定性变差，逼近效果不理想，甚至发生龙格现象，这是龙格(Runge)在20 世纪初所发现的：在[?1, 1]
上用n + 1个等距节点作函数的插值多项式p n(x)，则随着n 的增大，p n(x)振荡越来越大计算结果与理论证明表明，当n趋于无穷大时，p n(x)在区间中部收敛于f (x)，但对满足条件0.726 ···≤|x| < 1 的x，p n(x)并不收敛于f (x)．因此：我们将每两个相邻的节点用直线连起来，如此形成的一条折线就是分段线性插值函数记作I n(x)
它满足I n(x i) = y i，且I n(x)在每个小区间[x i.x i+1]上是线性函数．具体表示如下：
其中
这样构造的I n(x)有良好的收敛性，即对于x ∈[a, b]有
lim I n(x) = f (x)．
n→∞
我们可以看出用I n(x)计算x点的插值时,只用到其左右的两个节点，所以计算量与节点个数n 无关．但是n 越大，分段越多，则插值的误差越小．分段线性插值函数在节点处的一阶导数一般不存在，光滑性不高.许多工程技术中提出的计算问题对插值函数的光滑性有较高要求.机翼外形，内燃机的进、排气门的凸轮曲线，都要求曲线具有较高的光滑程度，要有连续的曲率。绘图员的做法是首先将这些数据点描绘在平面图纸上，再把一根富有弹性的细直条(称为样条)弯曲，使其一边通过这些数据点，用压铁固定细直条的形状，沿样条边沿绘出一条光滑曲线要用几根样条分段完成上述工作让样条在连接处也保持光滑。根据力学理论进行分析这样画出的曲线在相邻两数据点之间实际上是次数不高于3的多项式在整个区间上有连续的曲率对绘图员用样条画出的曲线进行数学模拟导出了样条函数的概念。
样条插值：设给定区间[a, b]的一个分划A : a = x0 < x1 < ···< x n = b，如果函数s(x)满足条件：(1)在每个子区间[x i?1, x i](i = 1, 2, ···, n)上是k次多项式；(2)s(x)及直到k ?1阶的导数在[a, b]上连续．则称s(x)是关于分划A的一个k次多项式样条函数，x0, x1, ···, x n 称为样条结点，x1, x1, ···, x n?1
称为内结点，x0, x n 称为边界界结结点，这类样条函数的全体记作S p(A, k)，称为k 次样条函数空间．
若s(x) ∈S p(A, k), 则s(x)是关于分划A 的k次多项式样条函数.k次多项式样条函数的
一般形式为
其中αi(i = 0, 1, ···, k)和β则(则= 1, 2, ···, n ?1) 均为任意常数，而
(则= 1, 2, ···, n ?1)
在实际中最常用的是k = 2和3的情况，即为二次样条函数和三次样条函数．
二次样条函数：对于[a, b]上的分划 A : a = x0 < x1 < ···< x n = b，
其中
三次样条函数：对于[a, b]上的分划A : a = x0 < x1 < ···< x n = b，
插值与拟合的区别：插值和拟合作为数据处理的基本方法，共性在于：通过已知数据求整体的近似函数，也称之为是做函数逼近的方法．
区别在于：数据拟合不要求近似函数通过所有数据点，而是要求它能较好地反映数据整体变化趋势．
插值问题要求所得的近似函数(曲线或曲面) 经过所已知的所有数据点．
二维插值简介一维插值的特点是节点为一维实数组，插值函数是一元函数(曲线)。
若节点是二维数组，则插值函数就是二元函数，即曲面。例如在某区域测量了若干点(节点) 的高程(节点值)，为了画出该区域，较精确的等高线图，就要先插入更多的点(插值点)，计算这些点的高程(插值)，这就是二维插值问题。
二维插值问题的数学描述为: 已知二元函数g(x, y) 在某矩形区域
R = [a, b] × [c, d]上互异节点(x i, y则) 的函数值z i则如何求出在R上任一点(x, y)处的函数值g(x, y)的近似值二维插值方法的基本思想是: 根据已知数据点(x i, y则, z i则)构造一个具有一定光滑性、简单易于计算的函数z = f (x, y)(已知曲面)作为z = g(x, y)(未知曲面)的近似，使曲面z = f (x, y) 通过已知数据点即f (x i, y则) = z i则然后计算点(x, y) 的函数值f (x, y) 作为g(x, y)的近似值
7 插值的MATLAB编程实现
(1)Matlab一维插值用Matlab实现分段线性插值不需要编制函数程序，Matlab 中关于一维插值的函数为interp1．y = interp1(x0, y0, x,l method l),其中method 指定插值的方法，默认为线性插值．其值可为：’nearest’ 最近项插值，’linear’ 线性插值，’spline’ 逐段3 次
样条插值，’cubic’ 保凹凸性3 次插值，详细情况请使用help interp1
(2)Matlab二维插值当插值节点为网格节点时，命令为z = interp2(x0, y0, z0, x, y,l method l),其中x0，y0 分别为m 维和n 维向量，表示节点，z0 为m × n 维矩阵，表示节点值，x，y 为一维数组，表示插值点，x 与y 应是方向不同的向量，即一个是行向量，另一个是列向量，z 为矩阵，它的行数为x 的维数，列数为y 的维数，表示得到的插值，’method’ 的用法同上面的一维插值
案例分析案例一：：：机床加工
问题背景：在工业加工时，往往会对加工零件的外形有很高的要求．一般在单纯考虑平面的情况下，待加工零件的外形根据工艺要求由一组数据(x, y)给出，用程控就床加工时每一刀只能沿x 方向和y方向移动非常小的一步，这就需要从已知数据得到加工所要
所需数据并画出曲线【模型构建与求解】根据题意进行分析，我们会发现这是一个简单的插值问题，用分段线性插值、拉格朗日插值、三次样条插值计算所得曲线如下图所示
案例二：：：海底底地地貌探测
问题背景：现已知某海域测得一些点(x, y)处的水深z由下表给出，船的吃水深度为5英尺,所以船要避免进入水深在5m以下的水域．试画出海域的地貌图，以及在矩形区域
【模型构建与求解】假设该海域海底是平滑的，由于测量点是散乱分布的，先在平面上作出测量点的分布图，
再利用二维插值方法补充一些点的水深，然后作出海底曲面图和等高线图，并求出水深小于5 的海域范围．
(1)画出散点图如下所示：
(2)作出海底地貌图
(3)标识出危险海域
(4)作出等高线图
初等数学模型 本章重点是：雨中行走问题、动物的身长与体重、实物交换、代表名额的分配与森林救火模型的建立过程和所使用的方法 复习要求 1．进一步理解基本建模过程，掌握类比法、图示法以及问题分析、合理假设的内涵。 2．进一步理解数学模型的作用与特点。 类比法是建立数学模型的一个常见而有力的方法.作法是把问题归结或转化为我们熟知的模型上去给以类似的解决：这个问题与我们熟悉的什么问题类似?如果有类似的问题曾被解决过，我们的建模工作便可省去许多麻烦.实际上，许多来自不同领域的问题在数学模型上看确实具有相类似的甚至相同的结构. 利用几何图示法建模.有不少实际问题的解决只要从几何上给予解释和说明就足以了，这时，我们只需建立其图模型即可，我们称这种建模方法为图示法.这种方法既简单又直观，且其应用面很宽. 1．雨中行走问题 雨中行走问题的结论是： （1）如果雨是迎着你前进的方向落下，即2 0π θ≤ ≤，那么全身被淋的雨水总量为 ? ? ? ??++=++= +=h v hr dr pwD v r h dr v pwD C C C θθθθcos sin )] cos (sin [21 这时的最优行走策略是以尽可能大的速度向前跑. （2）如果雨是从你的背后落下，即πθπ≤≤2 . 令απθ+=2 ，则2 0π α<<. 那么全身被淋 的雨水总量为 ?? ? ??+-=h v rh rd Dpw v C ααθsin cos ),( 这时你应该控制在雨中行走的速度，使得它恰好等于雨滴下落速度的水平分量. 从建模结果看，“为了少些淋雨，应该快跑”，这个一般的“常识”被基本上否定，那么根据何在？由此提出了建模目的：减少雨淋程度. 而为减少雨淋程度，便自然提出“被淋在身上的雨水量”这个目标函数C ，而C =C （v ），于是问题便归结为确定速度v ，使C （v ）最小——本模型的关键建模步骤便得以确定。 有了确定的建模目的，自然引出与C （v ）有关的量的设定与简化假设. 一般地，开始时不要面面俱到地把所有相关量都涉及到，往往只需考虑几个主要量，甚至暂时舍弃某个主要量，以求尽快建立模型.尤其对初学者，这样做有助于建模信心的增强.自不必说建模过程往往如此，更有模型尚有的进一步修改和推广的主要步骤.而一旦建立起简单模型后，其进一步的改善也相对容易多了.这就是本模型只所以建立了两个模型的原因，是符合人们的认识规律的. 另外，为了检验所建模型的合理性，建模后用较为符合实际的几组数据对模型加以检验是重要的，它既是对所建模型是否基本符合实际的检测，也是进一步完善模型的需要. 例1 在某海滨城市附近海面有一台风.据监测，当前台风中心位于城市O （如
§15.4锁具装箱问题 [学习目标] 1.能表述锁具装箱问题的分析过程； 2.能表述模型的建立方法； 3.会利用排列组合来计算古典概型； 4.会利用Mathematica求解锁具装箱问题。 一、问题 某厂生产一种弹子锁具，每个锁具的钥匙有5个槽，每个槽的高度从{1，2，3，4，5，6}6个数（单位从略）中任取一数。由于工艺及其它原因，制造锁具时对5个槽的高度有两个要求：一是至少有3个不同的数；二是相邻两槽的高度之差不能为5。满足上述两个条件制造出来的所有互不相同的锁具称为一批。销售部门在一批锁具中随意地抽取，每60个装一箱出售。 从顾客的利益出发，自然希望在每批锁具中不能互开（“一把钥匙开一把锁”）。但是，在当前工艺条件下，对于同一批中两个锁具是否能够互开，有以下实验结果：若二者相对应的5个槽的高度中有4个相同，另一个槽的高度差为1，则可能互开；在其它情况下，不可能互开。 团体顾客往往购买几箱到几十箱，他们会抱怨购得的锁具中出现互开的情形。现请回答以下问题： 1．每批锁具有多少个，能装多少箱？ 2．按照原来的装箱方案，如何定量地衡量团体顾客抱怨互开的程度（试对购买一、二箱者给出具体结果）。 二、问题分析与建立模型 因为弹子锁具的钥匙有5个槽，每个槽的高度从{1，2，3，4，5，6}这6个数中任取一数，且5个槽的高度必须满足两个条件：至少有3个不同的数；相邻两槽的高度之差不能为5。所以我们在求一批锁具的总数时，应把问题化为三种情况，即5个槽的高度由5个不同数字组成、由4个不同数字组成、由3个不同数字组成，分别算出各种情况的锁具个数，然后相加便得到一批锁具的总个数。在分别求这三种情况锁具个数的时候，先求出满足第1个条件的锁具个数再减去不满足第2个条件的锁具个数。在求这三种情况锁具个数的时候，主要依靠排列组合的不尽相异元素的全排列公式。 下面用一个5元数组来表示一个锁具： Key=（h1，h2，h3，h4，h5） 其中h i表示第i个槽的高度，i=1，2，3，4，5。此5元数组表示一把锁，应满足下述条件： 条件1：h i∈{1，2，3，4，5，6}，i = 1，2，3，4，5。
2012年北京师范大学珠海分校数学建模竞赛 题目：对中国大学生数学建模竞赛历年成绩的分析与预测 摘要 本文研究的是对自数学建模竞赛开展以来各高校建模水平的评价比较和预测问题。我们将针对题目要求，建立适当的评价模型和预测模型，主要解决对中国大学生数学建模竞赛历年成绩的评价、排序和预测问题。 首先我们用层次分析法来评价广东赛区各校2008年至2011年及全国各大高校1994至2011年数学建模成绩，从而给出广东赛区各校及全国各大高校建模成绩的科学、合理的评价及排序；其次运用灰色预测模型解决广东赛区各院校2012年建模成绩的预测。 针对问题一，首先我们对比了2008到2011年参加建模比赛的学校，通过分析我们选择了四年都参加了比赛的学校进行合理的排序（具体分析过程见表13），同时对本科甲组和专科乙组我们分别进行排序比较。在具体解决问题的过程中，我们先分析得出影响评价结果的主要因素：获奖情况和获奖比例，其中获奖情况主要考虑国家一等奖、国家二等奖、省一等奖、省二等奖、省三等奖，我们采用层次分析法，并依据判断尺度构造出各个层次的判断矩阵，对它们逐个做出一致性检验，在一致性符合要求的情况下，通过公式与matlab求得各大学的权重，总结得分并进行排序（结果见表11）；在对广东赛区各高校2012建模成绩预测问题中，我们采用灰色预测模型，我们以华南农业大学为例，得到该校2012年建模比赛获奖情况为：省一等奖、省二等奖、省三等奖及成功参赛奖分别为5、9、8、8(其它各高校预测结果见表10）。 针对问题二，我们对全国各院校的自建模竞赛活动开展以来建模成绩排序采用与问题一相同的数学模型，在获奖情况考虑的是全国一等奖、全国二等奖。运用matlab求解，结果见表12。 针对问题三，我们通过对一、二问排序的解答及数据的分析，得出在对院校进评价和预测时还应考虑到各院的师资力量、学校受重视程度、学生情况、参赛经验等因素，考虑到这些因素，为以后评价高校建模水平提供更可靠的依据。 关键词：层次分析法权向量灰色预测模型模型检验 matlab
第2章初等数学建模方法示例 公平的席位分配问题 席位分配在社会活动中经常遇到，如：人大代表或职工学生代表的名额分配和其他物质资料的分配等。通常分配结果的公平与否以每个代表席位所代表的人数相等或接近来衡量。目前沿用的惯例分配方法为按比例分配方法，即：某单位席位分配数 = 某单位总人数比例总席位如果按上述公式参与分配的一些单位席位分配数出现小数,则先按席位分配数的整数分配席位,余下席位按所有参与席位分配单位中小数的大小依次分配之。这种分配方法公平吗下面来看一个学院在分配学生代表席位中遇到的问题： 某学院按有甲乙丙三个系并设20个学生代表席位。它的最初学生人数及学生代表席位为 系名甲乙丙总数 学生数 100 60 40 200 学生人数比例 100/200 60/200 40/200 席位分配 10 6 4 20 后来由于一些原因，出现学生转系情况，各系学生人数及学生代表席位变为： 系名甲乙丙总数 学生数 103 63 34 200 学生人数比例 103/200 63/200 34/200
按比例分配席位 20 按惯例席位分配 10 6 4 20 由于总代表席位为偶数，使得在解决问题的表决中有时出现表决平局现象而达不成一致意见。为改变这一情况，学院决定再增加一个代表席位，总代表席位变为21个。重新按惯例分配席位,有 系名 甲 乙 丙 总数 学生数 103 63 34 200 学生人数比例 103/200 63/200 34/200 按比例分配席位 21 按惯例席位分配 11 7 3 21 这个分配结果出现增加一席后，丙系比增加席位前少一席的情况，这使人觉得席位分配明显不公平。这个结果也说明按惯例分配席位的方法有缺陷，请尝试建立更合理的分配席位方法解决上面代表席位分配中出现的不公平问题。 模型构成 先讨论由两个单位公平分配席位的情况，设 单位 人数 席位数 每席代表人数 单位A 1p 1n 1n 单位B 2p 2n 2n 要公平，应该有=1n 2n ， 但这一般不成立。注意到等式不成立时有 若21n n >，则说明单位A 吃亏(即对单位A 不公平 ) 若21n n <，则说明单位B 吃亏 (即对单位B 不公平 ) 因此可以考虑用算式2 211n p n p p -= 来作为衡量分配不公平程度，不过此公式
§6 决策树法 对较为复杂的决策问题，特别是需要做多个阶段决策的问题，最常用的方法是决策树法。决策树法是把某个决策问题未来发展情况的可能性和可能结果所做的预测用树状图画出来。其步骤如下： 1、用方框表示决策点。从决策点画出若干条直线或折线，每条线代表一个行动方案，这样的直线或折线称为方案枝。 2、在各方案枝的末端画一个园圈，称为状态点，从状态点引出若干直线或折线，每条线表示一个状态，在线的旁边标出每个状态的概率，称为概率枝。 3、把各方案在各个状态下的损益期望值算出标记在概率枝的末端。 4、把计算得到的每个方案的损益期望值标在状态点上，然后通过比较，选出损益期望值最小的方案为最优方案。 例1某厂准备生产一种新产品，产量可以在三种水平n1、n2、n3中作决策。该产品在市场上的销售情况可分为畅销、一般和滞销三种情况，分别为S1、S2、S3。通过调查，预测市场处于这三种情况的概率分别为0.5、0.3、0.2。三种决策在各种不同市场情况下的利润见下表： 表1 基于各种决策的各种市场情况的利润表（万元） 我们可以计算每种决策下利润的期望值： 实行在水平n1下生产的利润的期望值为：90×0.5+30×0.3-60×0.2=42 实行在水平n2下生产的利润的期望值为：60×0.5+50×0.3-10×0.2=43 实行在水平n3下生产的利润的期望值为：10×0.5+9×0.3-6×0.2=6.5 由于在水平n2下生产利润的期望值最大，因而应选择产量水平n2生产。 可以应用决策树帮助解决这样的决策问题，把各种决策和情况画在图1上： 图1
图中的方框（□）称为决策点，圆圈（○）称为状态点，从方框出发的线段称为对策分支，表示可供选择的不同对策。在圆圈下面的线段称为概率分支，表示在此种对策下可能出现的各种情况。在概率分支上注明了该情况出现的概率。在每一个概率分支的末端注明了对应对策和对应情况下的收益（利润）。在计算时，我们把相应的期望值写在相应的状态点旁边，再由比较大小后选择最优决策，在图上用∥表示舍弃非最优的对策，并在决策点上注明最优决策所对应的期望利润。 图2 利用决策树还可以解决多阶段的决策问题。 例2 某公司在开发一种新产品前通过调查推知，该产品未来的销售情况分前三年和后三年两种情况。因此生产该产品有两种可供选择的方案：建造大厂和建造小厂。如果建造大厂，投资费用5000万元，当产品畅销时，每年可获利2000万元，当产品滞销时，每年要亏损120万元。如果建造小厂，投资费用1000万元，当产品畅销时，每年可获利300万元，当产品滞销时，每年仍可获利150万元。若产品畅销可考虑在后三年再扩建，扩建投资需2000万元，随后三年每年可获利1000万元；也可不再扩建。预测这六年该产品畅销的概率为0.6，滞销的概率为0.4。试分析该公司开发新产品应如何决策？ 根据问题的各种情况可以画出决策树如下：这是一个两阶段的决策问题。注意到图中有两个决策点，反映建小厂的方案中可以分成前三年和后三年两个阶段，并在后三年还要做出一次决策。 图3 把各种数据填到图适当的位置后，由后向前计算获利的期望值。由图可见应采用决策：建造大厂。 500 900 1000*3=3000 300*3=900 6.5
案例分析1: 自行车外胎的使用寿命 问题： 目前，自行车在我国是一种可缺少的交通工具。它小巧、灵活、方便、易学，而且价格适中，给广大居民带来了不小的益处。但是，自行车也有令人头痛的地方，最常见的问题莫过于扎胎了。扎胎的原因有很多，但相当一部分是由于外胎磨损，致使一些玻璃碴、小石子很容易侵入、扎破内胎。为了减少不必要的麻烦，如何估计自行车外胎的寿命，及时更换? 分析： 分析角度：由于题目里未明确指出我们是应从厂家角度，还是应从用户角度来考虑这个问题，因此需要我们自己做出合理判断。若从厂家角度，我们面对的应当是一大批自行车外胎的平均寿命的估计。这样的估计要求一定精确度和相对明确的使用环境；而从用户角度来说，面对的仅是个人的一辆车，不需要很高的精确度，这样的寿命估计更简单，易于随时了解，下面仅从用户角度进行分析。 产品的使用者需要了解产品的寿命，是基于安全性及更换的费用来考虑的。我们将这两个标准作为主要标准来分析，首先值得注意的两个关键性问题是如何定义寿命、何时为寿命的终止。寿命的定义要做到科学，直观，有可比性，在航空工业中航天飞机的使用寿命是用重复使用的次数来衡量，而工厂机器设备的寿命则以连续工作的时间来定义。本题外胎的寿命亦可用时间来表征，但由于外胎的寿命直接与其磨损速度相关；而磨损速度又与使用频率及行驶速度相互联系，致使外胎的寿命不一定与使用时间成正比(这种非正比关系使我们不能拿一辆—天跑200公里的自行车与一天只跑1公里的自行车进行寿命比较)，降低了可比性。如换成自行车的路程寿命来比较，就好得多。产品寿命是在安全性和更换费用相互制约下达到的一个点，在这个点上，外胎的安全系数降到用户不可接受的最低值，更换费用(寿命越长，在一定意义上更换费用越低)也达到了最大限度的节省。 弄清了上面两个问题后，我们继续明确建立模型需要解决哪些问题及建立模型的重点难点。 自行车使用过程中，一来影响因素多，二来这些因素之间彼此相关，十分复杂，要做到比较准确地估计使用寿命，不但要对外胎的性能有相当的了解，而且对使用环境更不能忽视。当然我们由于是站在用户角度上来考虑的，相对地就可忽略一些次要的影响因素。 这样的数学模型面对着两个主要问题。一、自行车使用寿命与外胎厚度的关系，二、外胎能够抵御小石子破坏作用的最小厚度。后者可处理得相对简略些(如只考虑一块具有一般特征的小石子对外胎的破坏作用)，而重点(也是难点)是第一个问题。车重、人重、轮胎性质(力学的、热学的、甚至化学的)和自行车使用频率等都左右着它们的关系。这么多相关因素，不必一一都加以考虑(用户是不会在意这么多的)，有些因素，可以先不考虑，在模型的改进部分再作修改，采取逐步深入的方法，如：摩擦损耗有滑动摩擦和滚动摩擦损耗两种，由于滚动摩擦占用的时间(或路程)显然占绝对优势，因此可重点考虑。但滑动摩擦造成的一次损坏又比滚动摩擦大，在刹车使用过频的情况下，就不能不考虑了。 最后，需对得出的结果用简单清晰的文字进行说明，以供用户参考。 案例分析2：城市商业中心最优位置分析 问题： 城市商业中心是城市的基本构成要素之一。它的形成是一个复杂的定位过程。商业中心的选址涉及到各种因素制约，但其中交通条件是很重要的因素之一。即商业中心应位于城市“中心”，如果太偏离这一位置，极有可能在城市“中心”地带又形成一个商业区，造成重复建设。 某市对老商业中心进行改建规划，使居民到商业中心最方便。如果你是规划的策划者，如何建立一个数学模型来解决这个问题。
中国矿业大学数学建模常规赛竞赛 承诺书 我们仔细阅读了中国矿业大学数学建模常规赛论文格式规范和2016年中国矿业大学数学建模常规赛通知。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或资料（包括网上资料），必须按照规定的参考文献的表述方式列出，并在正文引用处予以标注。在网上交流和下载他人的论文是严重违规违纪行为。 我们以中国矿业大学大学生名誉和诚信郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们授权中国矿业大学数学建模协会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。 我们的参赛队号：25 参赛队员(打印并签名)：1. 易阳俊 2. 令月霞 3. 刘景瑞 日期： 2016 年 10 月日 （请勿改动此页内容和格式。此承诺书打印签名后作为纸质论文的封面。以上内容请仔细核对，如填写错误，论文可能被取消评奖资格。）
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题目：数据的分析问题 摘要 本文需要解决的问题是如何根据就诊人员体内7种元素含量来判别某人是否患有疾病G和确定哪些指标是影响人们患疾病G的主要因素。通过解读题目可知，此类问题为典型的分析判别问题。我们先对数据进行了预处理，剔除了有异常数据的样本，然后采用元素分布判别法、马氏距离判别法和Fisher判别法，应用Excel、SPSS和MATLAB等软件来对某人是否患病进行判别，并通过绘制7种元素含量的折线图等来确定患该疾病的主要因素，最后应用综合判别法对之前的结论进行了检验。 对于问题一，在对数据预处理之后，我们删除了序号为10这个高度异常数据样本，然后我们分别采用元素分布判别法、马氏距离判别法和Fisher判别法对49个已知病例进行判别。对于元素分布判别法，我们通过数据预处理知道7种元素含量分布均符合正态分布，然后我们确定了以均值为大致中心的元素正常含量范围，得出其判别准确度为96%；对于马氏距离判别法，通过编写MATLAB 程序（见附录）来进行判别，得出其判别准确度为90%；对于Fisher判别法，通过SPSS软件来进行判别，得到线性判别函数，其判别准确度为96%； 针对问题二：我们运用问题一中建立的三个判别模型对25名就诊人员（见附录）的化验结果进行检验，判别结果如下表1: 行对分析，我们初步判定元素4与元素5是影响人们患疾病G的主要因素，然后用方法一的三种判别方法进行检验，其准确度在85%以上； 对于问题四，我们根据问题三得出的主要因素，分别用三种判别方法对25名就诊人员进行判别，再与问题二的判别结果进行对比，可知它们判断结果之间的差异性最高为24%。 对于问题五，由于三种判别法都有不足，所以我们采用了综合判别法，将三种判别方法的结果进行综合判断，最终我们通过主要因素进行判别的差异性下降到了12%，与问题一的判断结果的一致性达到了88%。 关键词：马氏距离判别，Fisher判别，综合判别，MATLAB，SPSS
第2章初等数学建模方法示例 2.1公平的席位分配问题 席位分配在社会活动中经常遇到，如：人大代表或职工学生代表的名额分配和其他物质资料的分配等。通常分配结果的公平与否以每个代表席位所代表的人数相等或接近来衡量。目前沿用的惯例分配方法为按比例分配方法，即：某单位席位分配数= 某单位总人数比例 总席位如果按上述公式参与分配的一些单位席位分配数出现小数,则先按席位分配数的整数分配席位,余下席位按所有参与席位分配单位中小数的大小依次分配之。这种分配方法公平吗？下面来看一个学院在分配学生代表席位中遇到的问题： 某学院按有甲乙丙三个系并设20个学生代表席位。它的最初学生人数及学生代表席位为 系名甲乙丙总数 学生数100 60 40 200 学生人数比例100/200 60/200 40/200 席位分配10 6 4 20 后来由于一些原因，出现学生转系情况，各系学生人数及学生代表席位变为：系名甲乙丙总数 学生数103 63 34 200 学生人数比例103/200 63/200 34/200 按比例分配席位10.3 6.3 3.4 20 按惯例席位分配10 6 4 20
由于总代表席位为偶数，使得在解决问题的表决中有时出现表决平局现象而达不成一致意见。为改变这一情况，学院决定再增加一个代表席位，总代表席位变为21个。重新按惯例分配席位,有 系名 甲 乙 丙 总数 学生数 103 63 34 200 学生人数比例 103/200 63/200 34/200 按比例分配席位 10.815 6.615 3.57 21 按惯例席位分配 11 7 3 21 这个分配结果出现增加一席后，丙系比增加席位前少一席的情况，这使人觉得席位分配明显不公平。这个结果也说明按惯例分配席位的方法有缺陷，请尝试建立更合理的分配席位方法解决上面代表席位分配中出现的不公平问题。 模型构成 先讨论由两个单位公平分配席位的情况，设 单位 人数 席位数 每席代表人数 单位A 1p 1n 1n 单位B 2p 2n 2n 要公平，应该有=1n 2n ， 但这一般不成立。注意到等式不成立时有 若21n n >，则说明单位A 吃亏(即对单位A 不公平 ) 若21n n <，则说明单位B 吃亏 (即对单位B 不公平 ) 因此可以考虑用算式2 211n p n p p -= 来作为衡量分配不公平程度，不过此公式有不足之处（绝对数的特点），如： 某两个单位的人数和席位为 1021==n n ，1201=p ，1002=p ， 算得 2=p 另两个单位的人数和席位为 1021==n n ，10201=p ，10002=p , 算得 2=p
第十章 插值与拟合方法建模 在生产实际中，常常要处理由实验或测量所得到的一批离散数据，插值与拟合方法就是要通过这些数据去确定某一类已经函数的参数，或寻求某个近似函数使之与已知数据有较高的拟合精度。插值与拟合的方法很多，这里主要介绍线性插值方法、多项式插值方法和样条插值方法，以及最小二乘拟合方法在实际问题中的应用。相应的理论和算法是数值分析的内容，这里不作详细介绍，请参阅有关的书籍。 §1 数据插值方法及应用 在生产实践和科学研究中，常常有这样的问题：由实验或测量得到变量间的一批离散样点，要求由此建立变量之间的函数关系或得到样点之外的数据。与此有关的一类问题是当原始数据 ),(,),,(),,(1100n n y x y x y x 精度较高，要求确定一个初等函数)(x P y =（一般用多项式或分段 多项式函数）通过已知各数据点（节点），即n i x P y i i ,,1,0,)( ==，或要求得函数在另外一些点（插值点）处的数值，这便是插值问题。 1、分段线性插值 这是最通俗的一种方法，直观上就是将各数据点用折线连接起来。如果 b x x x a n =<<<= 10 那么分段线性插值公式为 n i x x x y x x x x y x x x x x P i i i i i i i i i i ,,2,1,,)(11 1 11 =≤<--+--= ----- 可以证明，当分点足够细时，分段线性插值是收敛的。其缺点是不能形成一条光滑曲线。 例1、已知欧洲一个国家的地图，为了算出它的国土面积，对地图作了如下测量：以由西向东方向为x 轴，由南向北方向为y 轴，选择方便的原点，并将从最西边界点到最东边界点在x 轴上的区间适当的分为若干段，在每个分点的y 方向测出南边界点和北边界点的y 坐标y1和y2，这样就得到下表的数据（单位：mm ）。 根据地图的比例，18 mm 相当于40 km 。
承诺书 我们仔细阅读了中国矿业大学数学建模常规赛论文格式规范和2016年中国矿业大学数学建模常规赛通知。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或资料（包括网上资料），必须按照规定的参考文献的表述方式列出，并在正文引用处予以标注。在网上交流和下载他人的论文是严重违规违纪行为。 我们以中国矿业大学大学生名誉和诚信郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们授权中国矿业大学数学建模协会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。 我们的参赛队号：25 参赛队员(打印并签名)：1.易阳俊 2.令月霞 3.刘景瑞 日期： 2016年 10 月日 （请勿改动此页内容和格式。此承诺书打印签名后作为纸质论文的封面。以上内容请仔细核对，如填写错误，论文可能被取消评奖资格。）
编号专用页 评阅统一编号（数学建模协会填写）：
题目：数据的分析问题 摘要 本文需要解决的问题是如何根据就诊人员体内7种元素含量来判别某人是否患有疾病G和确定哪些指标是影响人们患疾病G的主要因素。通过解读题目可知，此类问题为典型的分析判别问题。我们先对数据进行了预处理，剔除了有异常数据的样本，然后采用元素分布判别法、马氏距离判别法和Fisher判别法，应用Excel、SPSS和MATLAB等软件来对某人是否患病进行判别，并通过绘制7种元素含量的折线图等来确定患该疾病的主要因素，最后应用综合判别法对之前的结论进行了检验。 对于问题一，在对数据预处理之后，我们删除了序号为10这个高度异常数据样本，然后我们分别采用元素分布判别法、马氏距离判别法和Fisher判别法对49个已知病例进行判别。对于元素分布判别法，我们通过数据预处理知道7种元素含量分布均符合正态分布，然后我们确定了以均值为大致中心的元素正常含量范围，得出其判别准确度为96%；对于马氏距离判别法，通过编写MATLAB 程序（见附录）来进行判别，得出其判别准确度为90%；对于Fisher判别法，通过SPSS软件来进行判别，得到线性判别函数，其判别准确度为96%； 针对问题二：我们运用问题一中建立的三个判别模型对25名就诊人员（见附录）的化验结果进行检验，判别结果如下表1: 行对分析，我们初步判定元素4与元素5是影响人们患疾病G的主要因素，然后用方法一的三种判别方法进行检验，其准确度在85%以上； 对于问题四，我们根据问题三得出的主要因素，分别用三种判别方法对25名就诊人员进行判别，再与问题二的判别结果进行对比，可知它们判断结果之间的差异性最高为24%。 对于问题五，由于三种判别法都有不足，所以我们采用了综合判别法，将三种判别方法的结果进行综合判断，最终我们通过主要因素进行判别的差异性下降到了12%，与问题一的判断结果的一致性达到了88%。 关键词：马氏距离判别，Fisher判别，综合判别，MATLAB，SPSS
数学建模与数学实验 课程设计 学院数理学院专业数学与应用数学班级学号 学生姓名指导教师 2015年6月
数据的统计分析 摘要 问题：某校60名学生的一次考试成绩如下： 93 75 83 93 91 85 84 82 77 76 77 95 94 89 91 88 86 83 96 81 79 97 78 75 67 69 68 84 83 81 75 66 85 70 94 84 83 82 80 78 74 73 76 70 86 76 90 89 71 66 86 73 80 94 79 78 77 63 53 55 （1）计算均值、标准差、极差、偏度、峰度，画出直方图；（2）检验分布的正态性； （3）若检验符合正态分布，估计正态分布的参数并检验参数； 模型：正态分布。 方法：运用数据统计知识结合MATLAB软件 结果：符合正态分布
一． 问题重述 某校60名学生的一次考试成绩如下： 93 75 83 93 91 85 84 82 77 76 77 95 94 89 91 88 86 83 96 81 79 97 78 75 67 69 68 84 83 81 75 66 85 70 94 84 83 82 80 78 74 73 76 70 86 76 90 89 71 66 86 73 80 94 79 78 77 63 53 55 （1）计算均值、标准差、偏差、峰度，画出直方图； （2）检验分布的正态性； （3）若检验符合正态分布，估计正态分布的参数并检验参数。 二．模型假设 假设一：此组成绩没受外来因素影响。 假设二：每个学生都是独自完成考试的。 假设三：每个学生的先天条件相同。 三．分析与建立模型 像类似数据的信息量比较大，可以用MATLAB 软件决绝相关问题，将n 名学生分为x 组，每组各n\x 个学生，分别将其命为1x ，2X ……j x 由MATLAB 对随机统计量x 进行命令。此时对于直方图的命令应为 Hist(x,j) 源程序为： x1=[93 75 83 93 91 85 84 82 77 76 ] x2=[77 95 94 89 91 88 86 83 96 81 ] x3=[79 97 78 75 67 69 68 84 83 81 ]
高中常见数学模型案例 中华人民共和国教育部2003年4月制定的普通高中《数学课程标准》中明确指出：“数学探究、数学建模、数学文化是贯穿于整个高中数学课程的重要内容”，“数学建模是数学学习的一种新的方式，它为学生提供了自主学习的空间，有助于学生体验数学在解决问题中的价值和作用，体验数学与日常生活和其他学科的联系，体验综合运用知识和方法解决实际问题的过程，增强应用意识；有助于激发学生学习数学的兴趣，发展学生的创新意识和实践能力。”教材中常见模型有如下几种: 一、函数模型 用函数的观点解决实际问题是中学数学中最重要的、最常用的方法。函数模型与方法在处理实际问题中的广泛运用，两个变量或几个变量，凡能找到它们之间的联系，并用数学形式表示出来，建立起一个函数关系（数学模型），然后运用函数的有关知识去解决实际问题，这些都属于函数模型的范畴。 1、正比例、反比例函数问题 例1：某商人购货，进价已按原价a 扣去25%，他希望对货物订一新价，以便按新价让利销售后仍可获得售价25%的纯利，则此商人经营者中货物的件数x 与按新价让利总额y 之间的函数关系是___________。 分析：欲求货物数x 与按新价让利总额y 之间的函数关系式，关键是要弄清原价、进价、新价之间的关系。 若设新价为b ，则售价为b （1－20%），因为原价为a ，所以进价为a （1－25％） 解：依题意，有25.0)2.01()25.01()2.01(?-=---b a b 化简得a b 45=，所以x a bx y ??==2.0452.0，即+∈=N x x a y ,4 2、一次函数问题 例2：某人开汽车以60km/h 的速度从A 地到150km 远处的B 地，在B 地停留1h 后，再以50km/h 的速度返回A 地，把汽车离开A 地的路x （km ）表示为时间t （h ）的函数，并画出函数的图像。 分析：根据路程＝速度×时间，可得出路程x 和时间t 得函数关系式x （t ）；同样，可列出v(t)的关系式。要注意v(t)是一个矢量，从B 地返回时速度为负值，重点应注意如何画这两个函数的图像，要知道这两个函数所反映的变化关系是不一样的。 解：汽车离开A 地的距离x km 与时间t h 之间的关系式是：?? ???∈--∈∈=]5.6,5.3(),5.3(50150]5.3,5.2(,150]5.2,0[,60t t t t t x ，图略。 速度vkm/h 与时间t h 的函数关系式是：?? ???∈-∈∈=)5.6,5.3[,50)5.3,5.2[,0)5.2,0[,60t t t v ，图略。 3、二次函数问题 例3：有L 米长的钢材，要做成如图所示的窗架，上半部分为半圆，下半部分为六个全等小矩形组成的矩形，试问小矩形的长、宽比为多少时，窗所通过的光线最多，并具体标出窗框面积的最大值。
现代统计学 1.因子分析(Factor Analysis) 因子分析的基本目的就是用少数几个因子去描述许多指标或因素之间的联系，即将相关比较密切的几个变量归在同一类中，每一类变量就成为一个因子（之所以称其为因子，是因为它是不可观测的，即不是具体的变量），以较少的几个因子反映原资料的大部分信息。 运用这种研究技术，我们可以方便地找出影响消费者购买、消费以及满意度的主要因素是哪些，以及它们的影响力（权重）运用这种研究技术，我们还可以为市场细分做前期分析。 2.主成分分析 主成分分析主要是作为一种探索性的技术，在分析者进行多元数据分析之前，用主成分分析来分析数据，让自己对数据有一个大致的了解是非常重要的。主成分分析一般很少单独使用：a，了解数据。(screening the data),b,和cluster analysis一起使用，c，和判别分析一起使用，比如当变量很多，个案数不多，直接使用判别分析可能无解，这时候可以使用主成份发对变量简化。（reduce dimensionality）d,在多元回归中，主成分分析可以帮助判断是否存在共线性（条件指数），还可以用来处理共线性。 主成分分析和因子分析的区别 1、因子分析中是把变量表示成各因子的线性组合，而主成分分析中则是把主成分表示成个变量的线性组合。 2、主成分分析的重点在于解释个变量的总方差，而因子分析则把重点放在解释各变量之间的协方差。 3、主成分分析中不需要有假设(assumptions),因子分析则需要一些假设。因子分析的假设包括：各个共同因子之间不相关，特殊因子（specific factor）之间也不相关，共同因子和特殊因子之间也不相关。 4、主成分分析中，当给定的协方差矩阵或者相关矩阵的特征值是唯一的时候，的主成分一般是独特的；而因子分析中因子不是独特的，可以旋转得到不同的因子。 5、在因子分析中，因子个数需要分析者指定（spss根据一定的条件自动设定，只要是特征值大于1的因子进入分析），而指定的因子数量不同而结果不同。在主成分分析中，成分的数量是一定的，一般有几个变量就有几个主成分。 和主成分分析相比，由于因子分析可以使用旋转技术帮助解释因子，在解释方面更加有优势。大致说来，当需要寻找潜在的因子，并对这些因子进行解释的时候，更加倾向于使用因子分析，并且借助旋转技术帮助更好解释。而如果想把现有的变量变成少数几个新的变量（新的变量几乎带有原来所有变量的信息）来进入后续的分析，则可以使用主成分分析。当然，这中情况也可以使用因子得分做到。所以这中区分不是绝对的。 总得来说，主成分分析主要是作为一种探索性的技术，在分析者进行多元数据分析之前，用主成分分析来分析数据，让自己对数据有一个大致的了解是非常重要的。主成分分析一般很少单独使用：a，了解数据。(screening the data),b,
数学建模的主要步骤: 第一、模型准备 首先要了解问题的实际背景,明确建模目的,搜集必需的各种信息,尽量弄清对象的特征. 第二、模型假设 根据对象的特征和建模目的,对问题进行必要的、合理的简化,用精确的语言作出假设,是建模至关重要的一步.如果对问题的所有因素一概考虑,无疑是一种有勇气但方法欠佳的行为,所以高超的建模者能充分发挥想象力、洞察力和判断力,善于辨别主次,而且为了使处理方法简单,应尽量使问题线性化、均匀化. 第三、模型构成 根据所作的假设分析对象的因果关系,利用对象的内在规律和适当的数学工具,构造各个量间的等式关系或其它数学结构.这时,我们便会进入一个广阔的应用数学天地,这里在高数、概率老人的膝下,有许多可爱的孩子们,他们是图论、排队论、线性规划、对策论等许多许多,真是泱泱大国,别有洞天.不过我们应当牢记,建立数学模型是为了让更多的人明了并能加以应用,因此工具愈简单愈有价值. 第四、模型求解 可以采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值运算等各种传统的和近代的数学方法,特别是计算机技术.一道实际问题的解决往往需要纷繁的计算,许多时候还得将系统运行情况用计算机模拟出来,因此编程和熟悉数学软件包能力便举足轻重. 第五、模型分析 对模型解答进行数学上的分析."横看成岭侧成峰,远近高低各不?quot;,能否对模型结果作出细致精当的分析,决定了你的模型能否达到更高的档次.还要记住,不论那种情况都需进行误差分析,数据稳定性分析. 数学建模采用的主要方法有： （一）、机理分析法：根据对客观事物特性的认识从基本物理定律以及系统的结构数据来推导出模 型. 1、比例分析法：建立变量之间函数关系的最基本最常用的方法. 2、代数方法：求解离散问题（离散的数据、符号、图形）的主要方法. 3、逻辑方法：是数学理论研究的重要方法,对社会学和经济学等领域的实际问题,在决策,对策等学科中得到广泛应用. 4、常微分方程：解决两个变量之间的变化规律,关键是建立“瞬时变化率”的表达式. 5、偏微分方程：解决因变量与两个以上自变量之间的变化规律. （二）、数据分析法：通过对量测数据的统计分析,找出与数据拟合最好的模型 1、回归分析法：用于对函数f（x）的一组观测值（xi,fi）i=1,2,…,n,确定函数的表达式,由于处理的是静态的独立数据,故称为数理统计方法. 2、时序分析法：处理的是动态的相关数据,又称为过程统计方法. 3、回归分析法：用于对函数f（x）的一组观测值（xi,fi）i=1,2,…,n,确定函数的表达式,由于处理的是静态的独立数据,故称为数理统计方法.
K：学科评价模型 学科的水平、地位是高等学校的一个重要指标，而学科间水平的评价对于学科的发展有着重要的作用，它可以使得各学科能更加深入的了解本学科(与其他学科相比较)的地位及不足之处，可以更好的促进该学科的发展。因此，如何给出合理的学科评价体系或模型一直是学科发展研究的热点问题。现有某大学（科研与教学并重型高校）的13个学科在一段时期的调查数据，包括各种建设成效数据和前期投入的数据。 1、根据已给数据建立学科评价模型，要求必要的数据分析及建模过程。 2、模型分析，给出建立模型的适用性、合理性分析。 3、假设数据来自于某科研型或教学型高校，请给出相应的学科评价模型。
承诺书
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学科评价 摘要 （一）对问题的基本认识或处理整个问题的基本框架，思路（简明扼要，重点，亮点突出）研究目的，意义要求）本文研究。。。。问题。。即数学类型的归纳 （一）（建模思路） （1.每题数据性质等粗略分析）首先，本文分别分析每个小题的特点：。。。。。 （2.建立模型的思路：） 针对第一问。。。问题，本文建立。。。模型；在第一个。。。模型中，本文对。。。。。 问题进行简化，利用。。。。什么知识建立什么模型；在对。。。。。模型改进的基础上建立了。。。。模型Ⅱ。 针对第二。。。。。。 针对第三。。。。。。。 （三）算法思想，求解思路，使用方法，程序） 1）针对模型求解，(设计。。。求解思路)。本文使用。。。什么算法，。。软件工具，对附件中所给的数据进行筛选，去除异常数据，对残缺数据进行适当的补充，求解出什么问题，进一步求解出。。。什么结果。（方法，软件，结果清晰写出来） 2）建模特点，模型检验）对模型进行合理的理论证明和推导，所给出的理论证明结果大约为。。。。。 模型优点。。。，建模思想方法。。。。，算法特点。。。。。，结果检验。。。。，。。。。，模型检验。。。。从中随机抽取了3组（每组8个采样）对理论结果进行了数据模拟，
§2 灰色预测模型GM(1,1)及其应用 蠕变是材料在高温下的一个重要性能。处于高温状态下的材料长期受到载荷作用时，即使其载荷较低，并且在短时间的高温拉伸试验中材料不发生变形，但在此情况下仍会有微小的蠕变，极端的情况下，甚至会使材料发生破坏。高温材料多应用于各种车辆的发动机及冶金厂中各种设备上，如果因蠕变引起破坏，可能造成很大的事故。 为了保证设备的安全可靠，在某一使用温度下，预先知道该材料对不同载荷应力下断裂的时间是很重要的。过去，人们都是通过蠕变试验测量断裂时间。而做蠕变试验时，需要很长时间才能得到结果，即使通过试验得出的数据，也只是对某几个具体试样而言，存在很大的偶然性，不能代表普遍的规律。如果将实测的数据用灰色系统理论来处理，可以预测在某一温度下的任何载荷应力的断裂时间。 一、灰色预测模型GM （1,1） 建模步骤如下： （1）GM （1,1）代表一个白化形式的微分方程： u aX dt dX =+)1() 1( （1） 式中，u a ,是需要通过建模来求得的参数；) 1(X 是原始数据) 0(X 的累加生成（AGO ）值。 （2）将同一数据列的前k 项元素累加后生成新数据列的第k 项元素，这就是数据处理。表示为： ∑==k n n X k X 1 )0() 1()()( （2） 不直接采用原始数据) 0(X 建模，而是将原始的、无规律的数据进行加工处理，使之变得较有规 律，然后利用生成后的数据列来分析建模，这正是灰色系统理论的特点之一。 （3）对GM （1,1），其数据矩阵为 ???? ?? ? ? ?+--+-+-=1)]()1([5.01)]3()2([5.01)]2()1([5.0)1()1()1()1()1()1(N X N X X X X X B （3） 向量T N N X X X Y )](,),3(),2([)0()0()0( = （4）作最小二乘估计，求参数u a , N T T Y B B B u a 1)(?-=??? ? ??=α （4） （5）建立时间响应函数，求微分方程（1）的解为 a u e a u X t X at +-=+-))1(()1(?)0()1( （5）
通信数据分析 摘要 随着社会的发展与进步，通信技术不断发展，电话作为主要的通信工具已逐渐走进了千家万户。巨大的通信网络对当前的通信设备和业务提出了更高的要求，如何运用已知的通话记录数据改善通信设施和促进通信业务是通信公司面临的重大难题。 本文通过对300个用户连续10天的通话数据进行分析和处理，运用模糊聚类分析的基本知识，结合通话过程中实际状况，并使用MATLAB编程，建立了有效的数学模型，得到了合理的分类结果，并给出了对通信设施的具体改进建议。 针对问题1，模型一：只考虑每个用户10天总的通话时长，把用户分为高端，中端，低端3类。模型二：按照通话时长把用户分为较长，中等，较短用户，然后根据主叫多还是被叫多即主叫被叫的比值再分类，最终把用户分为6类。 针对问题2，假设公司推出的新业务是在一次通话中通话时长超过w分钟以后，降低收费为原来的b%。根据对三百个用户平均每次通话时间的分析，发现在某个时段的人数最为集中。占了总人数的71%，根据通信用户通信习惯及消费者行为分析，培养目标客户，提高客户的忠诚度，依赖度，进而实现通信公司的利润最大化 针对问题3，首先进行数据分类汇总，得到30个基站的使用率，同时综合考虑每个基站的地理位置和对基站使用的条件要求，对基站的合理性进行判断，对基站设施进行调整，去掉一些使用率低的基站，同时在使用率过高的基站附近增加新的基站，这样可以确保每一个基站都能被充分的利用，减少资源的闲置，又保证了通话质量。 关键词：聚类分析，通话时长，基站使用率
问题重述 通信技术的不断发展拉近了人与人之间的距离。电话作为主要的通信工具之一悄无声息地将我们联系在一起，形成一个巨大的社交网络。这个巨大的社交网络对当前的通信设备和业务提出了更高的要求。 如何利用现有的通话记录数据进行概括分析，以便做出合理的决策，进而改善通信设施。拓展新的通信业务，依然是许多通信公司面临的难题。 附件给出了一家通信公司公布的2009年6月份某地300个用户10天内的通话记录，试回答下列问题。 1. 请根据这些通话记录信息建立数学模型以对用户分类，并说明运用此模 型对300个用户的分类结果。 2. 如果需要推出一款新的通信业务，如何合理选择部分用户作为首选推广 人群。说明你的理由，并撰写一份不超过两页的给公司经理的建议。 3 该地现有的通信设施（如基站等）建设情况是否合理。如需改进，请给出合理的建议。 问题的分析 对于问题1，目的是对通信用户进行合理的分类，首先就要确定分类指标和分类的明确界线，通话时长是判断用户消费量的有效指标，通话时间越长则话费越高，通信公司获利越多。建立两种模型，模型一，对数据进行处理后得到每个用户10天的总通话时长，并用Excel对数据进行排序和整合，做出图表和频数直方图，然后按照10天的总通话时长分为高端用户，中端用户，低端用户。模型二，主叫被叫的多少反映了用户的通话消费习惯，按照主叫被叫比与通话总时长综合考虑，用户可分为6类。 对于问题二，假设推出的新业务是通话时间超过W分钟后，每分钟话费为原来的b%,我们通过对数据处理分析得到每个用户平均每次通话时长，观察总体通话情况，发现总体平均通话时长附近恰是用户最集中的时段，故我们确定面向中端用户的推广方案。在方案实施中，我们以利润最大化为目标，采用所有用户都可参与且愿意享受优惠的标准，先得到通话时间在x分钟内占总人数的概率函数，再对函数积分分别计算原来和推广方案实施后的话费总收入。 对于问题3，对基站的合理性进行分析，并得出具体的改进措施。 对基站进行资源优化，首先分析每个基站的使用次数和通话总时长，使用率过高的基站处要增加新的基站，分担该基站的工作量，不是该基站过于繁忙，保证通话质量。同时对于那些基站比较多并且每个基站的使用次数少通话总时长短的区域，减少适当的基站仍能满足通话需求，过多的基站反而是资源的一种浪费。所以可以根据基站工作量和基站的地理位置综合考虑，具体分析，对基站进行合理的规划。 基站的工作量反映在通话时长，根据数据可知1个用户的总通话时长与总次数成正相关关系，并且总次数代表使用频繁度，所以用总通话次数代表基站的使用效率。