曲线与方程、圆的方程
江苏 郑邦锁
1．曲线C 的方程为:f(x,y)=0?曲线C 上任意一点P （x 0,y 0）的坐标满足方程f(x,y)=0，即f （x 0,y 0）=0；且以f(x,y)=0的任意一组解（x 0,y 0）为坐标的点P （x 0,y 0）在曲线C 上。 依据该定义：已知点在曲线上即知点的坐标满足曲线方程；求证点在曲线上也只需证点的坐标满足曲线方程。求动点P(x,y)的轨迹方程即求点P 的坐标(x,y)满足的方程（等式）。求动点轨迹方程的步骤：①建系，写（设）出相关点的坐标、线的方程，动点坐标一般设为(x,y)，②分析动点满足的条件，并用等式描述这些条件，③化简，④验证：满足条件的点的坐标都是方程的解，且以方程的解为坐标的点都满足条件。
[举例1] 方程04)1(22=-+-+y x y x 所表示的曲线是： （ ）
A B C D
解析：原方程等价于：???≥+=--4
0122y x y x ，或422=+y x ； 其中当01=--y x 需422-+y x 有意义，等式才成立，即422≥+y x ，此时它表示直
线01=--y x 上不在圆422=+y x 内的部分，这是极易出错的一个环节。选D 。
[举例2] 已知点A （－1，0），B （2，0），动点M 满足2∠MAB=∠MBA ，求点M 的轨迹方程。 解析：如何体现动点M 满足的条件2∠MAB=∠MBA
是解决本题的关键。用动点M 的坐标体现2∠MAB=∠MBA 的最佳载体是直线MA 、MB 的斜率。
设M （x ，y ），∠MAB=α，则∠MBA=2α，它们是直线 MA 、MB 的倾角还是倾角的补角，与点M 在x 轴的上方 还是下方有关；以下讨论：
① 若点M 在x 轴的上方, ,0),90,0(00>∈y α
此时，直线MA 的倾角为α，MB 的倾角为π-2α，
,2
)2tan(,1tan -=-+==∴x y x y k MA απα （2090≠α） ,2tan )2tan(ααπ-=- ,)1(11222
2+-+?=--∴x y x y
x y
得： 132
2
=-y x ，∵1,>∴>x MB MA ．
当2090=α时, α=450
，MAB ?为等腰直角三角形,此时点M 的坐标为(2,3)，它满足上述方程． ②当点M 在x 轴的下方时, y ＜０，同理可得点M 的轨迹方程为)1(132
2
≥=-x y x , ③当点M 在线段AB 上时,也满足2∠MAB=∠MBA,此时y=0(-1＜ｘ＜２)． 综上所求点的轨迹方程为)21(0)1(132
2
<<-=≥=-x y x y x 或．
[巩固1]右图的曲线是以原点为圆心，1为半径的圆的一部分，
则它的方程是
A ．（21y x -+）·（21x y -+）=0
B ．（21y x --）·（21x y --）=0
C ．（21y x -+）·（21x y --）=0
D ．（21y x --）·（21x y -+）=0
[巩固2]已知点R （-3，0），点P 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M 在直线PQ 上，且满足RP ·PM =0，2PM +3MQ =0，当点P 移动时，求M 点的轨迹方程。
[迁移]正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M 是棱AB 的中点，点P 是平面ABCD 上的一动点，且点P 到直线A 1D 1的距离两倍的平方比到点M 的距离的平方大4，则点P 的轨迹为： A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线
2．圆的标准方程刻画了圆的位置特点（圆心与半径），圆的一般方程反映了圆的代数特点（二
元二次方程Ax 2+By 2+Cxy+Dx+Ey+F=0?A=B ≠0，C=0,且D 2+E 2-4AF>0）。判断点P （x 0,y 0）与
⊙M ：(x-a)2+(y-b)2= r 2的位置关系，用|PM|与r 的大小，即：|PM|>r ?(x 0-a)2+(y 0-b)2> r 2?P 在⊙M 外；|PM| [举例1]一圆经过A （4，2），B （-1，3）两点，且在两坐标轴上的四个截距之和为2，则圆的方程为 。 解析：研究圆在坐标轴上的截距，宜用一般方程（因为与圆心、半径没有直接联系），设圆 的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0,∵圆过点A 、B ，∴4D+2E+F+20=0 ①，-D+3E+F+10=0 ②， 圆在x 轴上的截距即圆与x 轴交点的横坐标，当y=0时，x 2+Dx+F=0，x 1+x 2=-D 圆在y 轴上的截距即圆与y 轴交点的纵坐标，当x=0时，y 2+Ey+F=0，y 1+y 2=-E 由题意知：-D-E=2 ③，解①②③得D=-2，E=0，F=-12。 [举例2]若存在实数k 使得直线l ：kx-y-k+2=0与圆C ：x 2+2ax+y 2-a+2=0无公共点，则实数 a 的取值范围是： 。 解析：本题看似直线远的位置关系问题，其实不然。注意到直线l 对任意的实数k 恒过定点 M （1，2），要存在实数k 使得直线l 与⊙C 相离，当且仅当M 点在圆外；方程x 2+2ax+y 2-a+2=0 变形为：(x+a)2+y 2= a 2+a -2, M 点在⊙C 外?(1+a)2+4>a 2+a -2>0，解得：-7 [巩固1]过点A （3，-2），B （2，1）且圆心在直线x-2y-3=0上的圆的方程是 。 [巩固2]已知定点M(x 0,y 0)在第一象限，过M 点的两圆与坐标轴相切，它们的半径分别为r 1， r 2,则r 1r 2= 。 [迁移] 关于曲线42:1C x y +=给出下列说法：①关于直线0y =对称；②关于直线0x =对称；③关于点(0,0)对称；④关于直线y x =对称；⑤是封闭图形，面积小于π；⑥是封闭图形，面积大于π；则其中正确说法的序号是 3．涉及直线与圆的位置关系的问题，宜用圆心到直线的距离d 来研究。d =r （r 为圆的半径）?直线与圆相切；过圆x 2+y 2=r 2上一点M (x 0,y 0)的切线方程为x 0x+y 0y=r 2；过圆x 2+y 2=r 2外一点M (x 0,y 0)作圆的两条切线，则两切点A 、B 连线的直线方程为x 0x+y 0y=r 2。过⊙A 外一 点P 作圆的切线PQ （Q 为切点），则|PQ|=22||r PA -。d |AB|=222d r -;过直线A x +B y +C =0与圆：F Ey Dx y x ++++22=0的交点的圆系方程：F Ey Dx y x ++++22+λ（A x +B y +C ）=0 。d >r ?直线与圆相离,圆周上的点到直线距离的最小值为d -r ，最大值为d +r 。 [举例1] 从直线x -y+3=0上的点向圆1)2()2(22=+++y x 引切线，则切线长的最小值是 A.223 B.214 C.423 D. 2 23-1 解析：圆1)2()2(22=+++y x 的圆心A （-2，-2），直线x -y+3=0上任一点P ，过引圆的 切线PQ （Q 为切点），则|PQ|=1||2-PA ，当且仅当|PA|最小时|PQ|最小，易见|PA|的最 小值即A 到直线x -y+3=0的距离，为 223，此时|PQ|=214，选B 。 [举例2] 能够使得圆222410x y x y +-++=上恰有两个点到直线20x y c ++=距离等于 1的c 的一个值为：A ．2 C ．3 D ． 解析：本题如果设圆上一点的坐标，用点到直线的距离公式得到一个方程，进而研究方程解的个数，将是非常麻烦的。注意到圆心M （1，-2），半径r =2，结合图形容易知道，当且仅当M 到直线l ：20x y c ++=的距离d ∈（1，3）时，⊙M 上恰有两个点到直线l 的距离等于1，由d =5| |c ∈（1，3）得：)53,5()5,53(?--∈c ，选C 。 [巩固1] 若直线(1+a)x +y +1=0与圆x 2+y 2－2x =0相切，则a 的值为 （ ） （A ）1，－1 （B ）2，－2 （C ）1 （D ）－1 [巩固2]直线l 1：y=kx +1与圆C ：x 2+y 2+2kx+2my=0的两个交点A 、B 关于直线l 2：x+y=0对称，则CB CA ?= 。 [迁移]实数x ,y 满足24,012222--=+--+x y y x y x 则 的取值范围为 （ ） A ．),34 [+∞ B ．]34 ,0[ C ．]34,(--∞ D ．)0,34[- 4．判断两圆的位置关系用圆心距与它们半径和、差的大小。⊙M 、⊙N 的半径分别为1r 、2r ， |MN|>1r +2r ?外离，|MN|=1r +2r ?外切，|1r -2r |<|MN|<1r +2r ?相交，此时，若⊙M ： 011122=++++F y E x D y x ，⊙N ：022222=++++F y E x D y x ， 过两圆交点的圆（系）的方程为：11122F y E x D y x +++++λ（22222F y E x D y x ++++）=0（⊙N 除外）。 特别地：当λ= -1时，该方程表示两圆的公共弦。连心线垂直平分公共弦。|MN|=|1r -2r |?内切，|MN|<|1r -2r |?内含。 [举例1]已知两圆O 1：x 2+y 2=16，O 2：(x-1)2+(y+2)2=9，两圆公共弦交直线O 1O 2于M 点，则O 1分有向线段MO 2所成的比λ= （ ） A ．56 B ．65 C ．-5 6 D ．- 6 5 解析：直线O 1 O 2：y= -2x ，两圆公共弦：x-2y=6，于是有：M （56，512-），有定比分点坐标公式不难得到λ的值，选C 。 [举例2] 若,}1)2(|),{(},16|),{(2222B B A a y x y x B y x y x A =-≤-+=≤+= 且 则a 的取值范围是 （ ） A ．1≤a B ．5≥a C ．51≤≤a D ．5≤a 解析：集合A 、B 分别表示两个圆面（a=1时集B 表示一个点），A ∩B=B ?B ?A ，即两圆内含；有两圆圆心分别为原点和（0，2），半径分别为4和1-a ，于是有：2≤4-1-a ,解得：51≤≤a ，选C 。 [巩固1]圆心在直线034,034,042222=--+=--+=--y y x x y x y x 且经过两圆上的交点的圆的方程为 （ ） A ．032622=-+-+y x y x B ．032622=-+++y x y x C ．032622=---+y x y x D ．03262 2=--++y x y x [巩固2]若圆(x －a )2+(y －b )2=6始终平分圆x 2+y 2+2x +2y －3=0的周长，则动点M (a ,b )的轨迹 A.a 2+b 2－2a －2b +1=0 B.a 2+b 2+2a +2b +1=0 C.a 2+b 2－2a +2b +1=0 D.a 2+b 2+2a －2b +1=0 [迁移]与圆2x +2y x 2-=0外切且与y 轴相切的动圆圆心的轨迹方程为 。 5.圆的参数方程的本质是sin 2θ+ cos 2θ=1。参数方程的重要用途是设圆上一点的坐标时，可以减少一个变量，或者说坐标本身就已经体现出点在圆上的特点了，而无需再借助圆的方程来体现横纵坐标之间的关系。 [举例]已知圆1)1(22=-+y x 上任意一点P(x 、y)都使不等式x+y+m ≥0成立，则m 的取值范围是：A .[),12+∞- B (]0,∞- C (+∞,2) D ),21[+∞- （ ） 解析：不等式x+y+m ≥0恒成立?m ≥ -（x+y ）恒成立，以下求-（x+y ）的最大值： 记x= cos θ、y=1+ sin θ，-（x+y ）= -( cos θ+1+ sin θ)= -1-2sin(θ+ 4π)≤-1+2,选A 。 [巩固1] θθ θcos 2sin )(+=f 的最大值为 。 [巩固2]在⊿ABC 中，已知 4 3cos cos ==b a A B ，c=10,P 是⊿ABC 的内切圆上一点，则PA 2+PB 2 +PC 2的最大值为 [迁移]动点P ，Q 坐标分别为()()p Q cos sin sin cos αααα，，，31--+，（α是参数），则|PQ |的最大值与最小值的和为 ． 答案 1．[巩固1] D,[巩固2]y 2=4x (x>0),[迁移]在平面ABCD 上建立平面直角坐标系，选C 。 2、[巩固1] (x-1)2+(y+1)2= 5，[巩固2]∵点M 在第一象限，∴过点M 与两坐标轴相切的圆的方程可设为：(x -r)2+(y -r)2= r 2 , ∵圆过M(x 0,y 0)点，∴(x 0-r)2+(y 0-r)2= r 2，整理得： r 2-2(x 0+y 0)r+ x 02+y 02=0,由题意知r 1，r 2为该方程的两根，故r 1r 2= x 02+y 02。[迁移]在曲线C 上任取一点M(x 0,y 0)，x 04+y 02=1, ∵|x 0|≤1, ∴x 04≤x 02, ∴x 02+y 02 ≥x 04+y 02=1,即点M 在圆 x 2+y 2=1外，选①②③⑥； 3、[巩固1]D ，[巩固2]-1，[迁移]A ； 4、[巩固1]A ，[巩固2] 圆x 2+y 2+2x +2y －3=0的圆心A （-1，-1），半径为5，⊙M 始终平分⊙A 的周长即 两圆的公共弦是⊙A 的直径，A 在直线：2(a+1)+2(b+1)y-(a 2+b 2)+3=0上，将a 点坐标代入即得，选B ；[迁移] x y 42=)0(>x 和0=y )0( 直线与圆的方程练习题 1．圆的方程是(x －1)(x+2)+(y －2)(y+4)=0，则圆心的坐标是( ) A 、(1,－1) B 、(21,－1) C 、(－1,2) D 、(－2 1,－1) 2．过点A(1,－1)与B(－1，1)且圆心在直线x+y －2=0上的圆的方程为（ ） A ．(x －3)2+(y+1)2=4 B ．(x －1)2+(y －1)2=4 C ．(x+3)2+(y －1)2=4 D ．(x+1)2+(y+1)2=4 3．方程()22()0x a y b +++=表示的图形是（ ） A 、以(a,b)为圆心的圆 B 、点(a,b) C 、(－a,－b)为圆心的圆 D 、点(－a,－b) 4．两圆x2+y2－4x+6y=0和x2+y2－6x=0的连心线方程为（ ） A ．x+y+3=0 B ．2x －y －5=0 C ．3x －y －9=0 D ．4x －3y+7=0 5．方程 052422=+-++m y mx y x 表示圆的充要条件是（ ） A ．141< 曲线与方程、圆的方程 1．曲线C 的方程为:f(x,y)=0?曲线C 上任意一点P （x 0,y 0）的坐标满足方程f(x,y)=0，即f （x 0,y 0）=0；且以f(x,y)=0的任意一组解（x 0,y 0）为坐标的点P （x 0,y 0）在曲线C 上。 依据该定义：已知点在曲线上即知点的坐标满足曲线方程；求证点在曲线上也只需证点的坐标满足曲线方程。求动点P(x,y)的轨迹方程即求点P 的坐标(x,y)满足的方程（等式）。求动点轨迹方程的步骤：①建系，写（设）出相关点的坐标、线的方程，动点坐标一般设为(x,y)，②分析动点满足的条件，并用等式描述这些条件，③化简，④验证：满足条件的点的坐标都是方程的解，且以方程的解为坐标的点都满足条件。 [举例1] 方程04)1(22=-+-+y x y x 所表示的曲线是： （ ） A B C D 解析：原方程等价于：???≥+=--4 0122y x y x ，或422=+y x ； 其中当01=--y x 需422-+y x 有意义，等式才成立，即422≥+y x ，此时它表示直 线01=--y x 上不在圆422=+y x 内的部分，这是极易出错的一个环节。选D 。 [举例2] 已知点A （－1，0），B （2，0），动点M 满足2∠MAB=∠MBA ，求点M 的轨迹方程。 解析：如何体现动点M 满足的条件2∠MAB=∠MBA 是解决本题的关键。用动点M 的坐标体现2∠MAB=∠MBA 的最佳载体是直线MA 、MB 的斜率。 设M （x ，y ），∠MAB=α，则∠MBA=2α，它们是直线 MA 、MB 的倾角还是倾角的补角，与点M 在x 轴的上方 还是下方有关；以下讨论： ① 若点M 在x 轴的上方, ,0),90,0(00>∈y α 此时，直线MA 的倾角为α，MB 的倾角为π-2α， ,2 )2tan(,1tan -=-+==∴x y x y k MA απα （2090≠α） ,2tan )2tan(ααπ-=- ,)1(11222 2+-+?=--∴x y x y x y 得： 132 2 =-y x ，∵1,>∴>x MB MA ． 必修2第四章《圆与方程》单元测试题 （时间：60分钟，满分：100分） 班别 座号 姓名 成绩 一、 选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1.方程x 2+y 2+2ax-by+c=0表示圆心为C （2，2），半径为2的圆，则a 、b 、c 的值依次为 （A ）2、4、4； （B ）-2、4、4； （C ）2、-4、4； （D ）2、-4、-4 2.直线3x-4y-4=0被圆(x-3)2+y 2=9截得的弦长为（ ） (A)22 (B)4 (C)24 (D)2 3.点4)()()1,1(22=++-a y a x 在圆的内部，则a 的取值范围是（ ） (A) 11<<-a (B) 10<-所表示的曲线关于直线y x =对称，必有 （ ） A ．E F = B ．D F = C ． D E = D ．,,D E F 两两不相等 8. 已知点A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4)则三角形ABC 的形状是（ ） (A) 直角三角形 （B ）锐角三角形 （C ）钝角三角形 （D ）斜三角形 9．直线0323=-+y x 截圆x 2+y 2=4得的劣弧所对的圆心角是 A 、6π B 、4π C 、3π D 、2π 10．两圆x 2+y 2－4x+6y=0和x 2+y 2 －6x=0的连心线方程为 （ ） A ．x+y+3=0 B ．2x －y －5=0 求曲线方程的几种常用方法 求曲线的方程，是学习解析几何的基础，求曲线的方程常用的方法主要有： 1．直接法：就是课本中主要介绍的方法。若命题中所求曲线上的动点与已知条件能直接发生关系，这时，设曲线上动点坐标为（,x y ）后，就可根据命题中的已知条件，研究动点形成的几何特征，在此基础上运用几何或代数的基本公式、定理等列出含有,x y 的关系式。从而得到轨迹方程，这种求轨迹方程的方法称作直接法。 例1：在直角△ABC 中，斜边是定长2a (0)a >，求直角顶点C 的轨迹方程。 解法一：由于未给定坐标系，为此，首先建立直角坐标系，取AB 所在的直线为x 轴，AB 的有中点O 为坐标原点，过O 与AB 垂直的直线为y 轴(如图)．则A (,0)a -，B (,0)a 。 设动点C 为(,)x y ， ∵222||||||AC BC AB +=， ∴2 224a +=， 即222x y a +=． 由于C 点到达A 、B 位置时直角三角形ABC 不存在，轨迹中应除去A 、B 两点， 故所求方程为222x y a +=（x a ≠±）。 解法二：如解法一建立直角坐标系，设A (,0)a -，B (,0)a ，C (,)x y ∵1AC BC k k =-， （1） ∴1y y x a x a =-+- ， （2） 化简得：222 x y a += ， （3） 由于在x a ≠±时方程（2）与（3）不等价，故所求轨迹方程为222x y a +=（x a ≠±）。 解法三：如解法一建立直角坐标系，设A (,0)a -，B (,0)a ，且设动点C (,)x y 。 ∵1||||2 CO AB =， a =，即222x y a +=。 轨迹中应除去A 、B 两点(理由同解法一)，故所求轨迹方程为222x y a +=（x a ≠±）。 说明：利用这种方法求曲线方程的一般方法步骤： 创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 椭圆及其标准方程练习题 一、 1．椭圆 19 252 2=+y x 上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为（ ） A.5 B.6 C.4 D.10 2．椭圆 1169 252 2=+y x 的焦点坐标是（ ） A.(±5，0) B.(0，±5) C.(0，±12) D.(±12，0) 3．已知椭圆的方程为 1822 2=+m y x ，焦点在x 轴上，则其焦距为（ A ） A.228m - B.2m -22 C.28 2-m D.222-m 4．方程1) 4 2sin(3 2 2 =+ -π αy x 表示椭圆，则α的取值范围是（ ） Ａ.838παπ ≤ ≤- Ｂ.k k k (838ππαππ+<<-∈Ｚ） Ｃ. 838παπ<<- Ｄ. k k k (83282π παππ+<<-∈Ｚ） 5．在方程 22110064 x y +=中，下列a , b , c 全部正确的一项是 （A ）a =100, b =64, c =36 （B ）a =10, b =6, c =8 （C ）a =10, b =8, c =6 （D ）a =100, c =64, b =36 6．已知F 1, F 2是定点，| F 1 F 2|=8, 动点M 满足|M F 1|+|M F 2|=8，则点M 的轨迹是 （A ）椭圆 （B ）直线 （C ）圆 （D ）线段 二、 7．1,6==c a ,焦点在y 轴上的椭圆的标准方程是 8．椭圆19 162 2=+y x 的焦距是 ，焦点坐标为 ；若CD 为过左焦点1F 的弦，则CD F 2?的周长为 9.椭圆以坐标轴为对称轴，长、短半轴之和为10，焦距为45，则椭圆方程为 . 10.P 点在椭圆452x +20 2 y =1上，F 1，F 2是椭圆的焦点，若PF 1⊥PF 2，则P 点的坐标 是 . 三、 11.椭圆22a x +22 b y =1(a ＞b ＞0)的两个焦点及其与坐标轴的一个交点正好是一个 等边三角形的三个顶点，且椭圆上的点到焦点距离的最小值为3，求椭圆的方程. 12.已知椭圆92x +4 2 y =1上的点P 到其右焦点的距离是长轴两端点到右焦点的距 离的等差中项，求P 点坐标. 13.写出适合下列条件的椭圆的标准方程： ⑴两个焦点坐标分别是(-4,0)、（4，0），椭圆上一点P 到两焦点的距离 之和等于10； ⑵两个焦点坐标分别是（0，－2）和（0,2）且过（23-,2 5 ） 求曲线方程的常用方法 1． 直接法——若动点的运动规律就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确易于表 达，则可根据已知（或可求）的等量关系直接列出方程的方法。 2． 定义法——利用二次曲线的定义求轨迹方程。 （1） 若平面上的动点P(x,y)满足条件：11||||PF PF +=定长2a ，且122||a F F >(F 1F 2 为定点)，那么P 点的轨迹为以F 1、F 2为焦点的椭圆。故只须选择恰当的坐标系， 就可直接写出椭圆的方程。 （2） 若平面上的动点P(x,y)满足条件：11||||||PF PF -=定长2a ，且122||a F F <(F 1F 2 为定点)，那么P 点的轨迹为以F 1、F 2为焦点的双曲线。当122||a F F =时，P 点的轨迹为射线；如果不含绝对值，那么轨迹是一支双曲线或一条射线。故只 须选择恰当的坐标系，依双曲线的定义，就可直接写出椭圆的方程。 3． 代入法（或称相关点法）——有时动点P 所满足的几何条件不易求出，但它随另一动点 P ’的运动而运动，称之为相关点，若相关点P ’满足的条件简单、明确（或P ’的轨迹方程已知），就可以用动点P 的坐标表示出相关点P ’的坐标，再用条件把相关满足的轨迹方程表示出来（或将相关点坐标代入已知轨迹方程）就可得所求动点的轨迹方程的方法。 4． 几何法——利用平面几何的有关知识找出所求动点满足的几何条件，并写出其方程的方 法。 5． 参数法——有时很难直接找出动点的横纵坐标间的关系，可选择一个（有时已给出）与 所求动点的坐标x,y 都相关的参数，并用这个参数把x,y 表示出来，然后再消去参数的方法。 如：遇求两动直线的交点的轨迹方程问题，可适当引进参数（如斜率、截距等），写出两动直线的方程，然后消去参数就得到所求的两动直线的交点的轨迹方程，这种方法又称交轨法，其关键有二：一是选参，要容易写出动直线的方程；二是消参，消参的途径灵活多变，有时分别从两个方程中解出参数，再消参；有时分别解出x,y ，再消参；有时直接或适当变形后，通过加、减、乘、除，求平方和，求平方差等方法整体消参。 5．定义法—— 注意点：求动点轨迹方程在掌握一般步骤的基础上还要注意以下两点，一选建适当的坐标系，以简化运算；二是要注意曲线图形的范围，即根据条件限定方程中变量x,y 的取值范围，将方程中不适合题意的解去掉。 思路方法技巧： 1．“直接法”求动点的轨迹方程 例1． 在正三角形ABC 内有一动点P ，已知P 到三个顶点的距离分别为|PA|、|PB|、|PC| 且满足22||||||P A P B P C =+，求动点P 的轨迹方程。 222()4(0(2)x y a y +=<≤ 例2． 互相垂直的两条直线1l 、2l 的交点为P(a,b)，长为2r 的线段MN 的两端点分别在1l 、 2l 上滑动，求线段MN 的中点Q 的轨迹。 （|PQ|=1/2|MN|222()()x a y b r -+-=） 例3． 已知一条曲线在x 轴的上方，它上面的每一个点到A(0,2) 的距离减去它到x 轴的 圆的方程练习题答案 A级基础演练 一、选择题 1．(2013·济宁一中月考)若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为 ( )．A．－1 B．1 C．3 D．－3 解析化圆为标准形式(x＋1)2＋(y－2)2＝5，圆心为(－1,2)．∵直线过圆心，∴3×(－ 1)＋2＋a＝0，∴a＝1. 答案 B 2．(2013·太原质检)设圆的方程是x2＋y2＋2ax＋2y＋(a－1)2＝0，若0 高二数学第二章曲线与方程学案 学习目标： 1、理解平面直角坐标中“曲线的方程”和“方程的曲线”的含义； 2、掌握求曲线的方程的方法及一般步骤； 学习重点：理解曲线和方程的概念，掌握求曲线的方程的方法及一般步骤； 学习难点：曲线和方程概念的理解； 学习过程： 完成教学目标1：理解平面直角坐标中“曲线的方程”和“方程的曲线”的含义； 新授知识：曲线的方程与方程的曲线的概念 一般地，在直角坐标系中，如果其曲线C 上的点与一个二元方程f (x ,y )=0的实数解建立了如下的关系：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解； （2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点； 那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线. 例1、判断下列结论的正误并说明理由 （1）过点A （3，0）且垂直于x 轴的直线为x=3 ； （2）到x 轴距离为2的点的轨迹方程为y=2 ； （3）到两坐标轴距离乘积等于1的点的轨迹方程为xy=1 ； 练习：1、到两坐标轴距离相等的点组成的直线方程是0=-y x 吗？ 2、已知等腰三角形三个顶点的坐标是)3,0(A ，)0,2(-B ，)0,2(C ，中线O AO (为原点）的 方程是0=x 吗？为什么？ 3、若曲线C 上的点的坐标满足方程(,)0f x y =，则下列说法正确的是（ ） A.曲线C 的方程是(,)0f x y = B.方程(,)0f x y =的曲线是C C.坐标不满足方程(,)0f x y =的点都不在曲线C 上 D.坐标满足方程(,)0f x y =的点都在曲线C 上 例2、已知方程252 2=+by ax 的曲线经过点)3 5,0(A 和点)1,1(B ，求a 、b 的值。 练习：已知方程 2 2 25x y +=表示的曲线C 经过点)A m ，求m 的值。 完成教学目标2：掌握求曲线的方程的方法及一般步骤； 类型一：待定系数法求轨迹方程（设出标准方程，根据题意求出a ，b ，p ） 例1：已知A,B,C 是长轴长为4的椭圆上的三点，点A 是长轴的一个顶点，BC 过椭圆的中心O ， 且0=?,||2||=,求椭圆的方程。 练习：已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．求椭圆C 的标准方程； 类型二：直接法求轨迹方程（根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，即把这种关系“翻译”成含x ,y 的等式就得到曲线的轨迹方程了。注意：是否应该建立适当的坐标系） 例2：已知点Ｆ（１，０），直线ｌ：x ＝－１，Ｐ为平面上的动点，过点Ｐ作直线ｌ的垂线，垂 足为点Ｑ，且FQ FP QF QP ?=?,求动点Ｐ的轨迹Ｃ的方程； **练习：已知动点M 到定点A （1,0）与到定直线l ：x=3的距离之和等于4，求动点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线？ 课时作业23 圆的一般方程 (限时：10分钟) 1．若圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0的圆心到直线x －y ＋a ＝0的距离为2 2，则a 的值为( ) A ．－2或2 或32 C ．2或0 D ．－2或0 解析：圆的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5，圆心为(1,2)，圆心到 直线的距离|1－2＋a |12＋－1 2＝22，解得a ＝0或2. 答案：C 2．若圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心位于第三象限，那么直线x ＋ay ＋b ＝0一定不经过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 解析：圆心为? ?? ??a ，－32b ，则有a <0，b >0.直线x ＋ay ＋b ＝0变为y ＝－1a x －b a .由于斜率－1a >0，在y 轴上截距－b a >0，故直线不经过第四象限． 答案：D 3．直线y ＝2x ＋b 恰好平分圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0，则b 的值为 ( ) A ．0 B ．2 C ．4 D ．1 解析：由题意可知，直线y ＝2x ＋b 过圆心(－1,2)， ∴2＝2×(－1)＋b ，b ＝4. 答案：C 4．M (3,0)是圆x 2＋y 2－8x －2y ＋10＝0内一点，过M 点最长的弦所在的直线方程为________，最短的弦所在的直线方程是________． 解析：由圆的几何性质可知，过圆内一点M 的最长的弦是直径，最短的弦是与该点和圆心的连线CM 垂直的弦．易求出圆心为C (4,1)， k CM ＝1－04－3＝1，∴最短的弦所在的直线的斜率为－1，由点斜式，分 别得到方程：y＝x－3和y＝－(x－3)，即x－y－3＝0和x＋y－3＝0. 答案：x－y－3＝0x＋y－3＝0 5．求经过两点A(4,7)，B(－3,6)，且圆心在直线2x＋y－5＝0上的圆的方程． 解析：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其圆心为? ? ? ? ? － D 2，－ E 2， 由题意得 ?? ? ??42＋72＋4D＋7E＋F＝0， －32＋62－3D＋6E＋F＝0， 2· ? ? ? ? ? － D 2＋? ? ? ? ? － E 2－5＝0. 即 ?? ? ??4D＋7E＋F＝－65， 3D－6E－F＝45， 2D＋E＝－10， 解得 ?? ? ??D＝－2， E＝－6， F＝－15. 所以，所求的圆的方程为x2＋y2－2x－6y－15＝0. (限时：30分钟) 1．圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圆心和半径分别为() A．(2，－3)；16B．(－2,3)；4 C．(4，－6)；16 D．(2，－3)；4 解析：配方，得(x＋2)2＋(y－3)2＝16，所以，圆心为(－2,3)，半径为4. 答案：B 2．方程x2＋y2＋4x－2y＋5m＝0表示圆的条件是() 求轨迹方程的常用方法： 题型一 直接法 此法是求轨迹方程最基本的方法，根据所满足的几何条件，将几何条件)}(|{M P M 直接翻译成y x ,的形式0),(=y x f ，然后进行等价变换，化简0),(=y x f ，要注意轨迹方程的纯粹性和完备性，即曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有的点适合这个条件而毫无例外（纯粹性）；反之，适合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏（完备性）。 例1 过点)3,2(A 任作互相垂直的两直线AM 和AN ，分别交y x ,轴于点N M ,，求线段MN 中点P 的轨迹方程。 解：设P 点坐标为),(y x P ，由中点坐标公式及N M ,在轴上得)2,0(y M ，)0,2(x N ),(R y x ∈ ∴12 0322230-=--?--y x )1(≠x ，化简得01364=-+y x )1(≠x 当1=x 时，)3,0(M ，)0,2(N ，此时MN 的中点)2 3,1(P 它也满足方程01364=-+y x ，所以中点P 的轨迹方程为01364=-+y x 。 变式1 已知动点(,)M x y 到直线:4l x =的距离是它到点(1,0)N 的距离的2倍。 （1） 求动点M 的轨迹C 的方程； （2） 过点(0,3)P 的直线m 与轨迹C 交于,A B 两点。若A 是PB 的中点，求直线m 的斜 率。 题型二 定义法 圆锥曲线定义所包含的几何意义十分重要，应特别重视利用圆锥曲线的定义解题，包括用定义法求轨迹方程。 例2 动圆M 过定点)0,4(-P ，且与圆08:2 2=-+x y x C 相切，求动圆圆心M 的轨迹方程。 解：根据题意4||||||=-MP MC ，说明点M 到定点P C 、的距离之差的绝对值为定值，故点M 的轨迹是双曲线。 ∴2=a ，4=c 故动圆圆心M 的轨迹方程为112 42 2=-y x 变式2 在ABC △中，24BC AC AB =，，上的两条中线长度之和为39， 求ABC △的重心的轨迹方程． 椭圆 1、椭圆的第一定义：平面一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距。. 注意：若)(2121 F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ；若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的 轨迹无图形. 2、椭圆的标准方程 1）．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：122 22=+b y a x )0(>>b a ，其中222b a c -=； 2）．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：122 22=+b x a y )0(>>b a ，其中222b a c -=； 注意：①在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，并且椭圆的焦点总在长轴上； ②两种标准方程可用一般形式表示： 221x y m n += 或者 mx 2+ny 2=1 。 3、椭圆：122 22=+b y a x )0(>>b a 的简单几何性质 （1）对称性：对于椭圆标准方程122 22=+b y a x )0(>>b a ：是以x 轴、y 轴 为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对 称中心称为椭圆的中心。 （2）围：椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形，所以椭圆上点的坐标满足a x ≤，b y ≤。 （3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。②椭圆 122 22=+b y a x )0(>>b a 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为)0,(1a A -，)0,(2a A ，),0(1b B -，),0(2b B 。 ③线段21A A ，21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，a A A 221=,b B B 221=。 a 和 b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 （4）离心率：①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e 表示，记作a c a c e == 22。②因为)0(>>c a ，所以e 的取值围是)10(< 第四章单元测试题 (时间：120分钟总分：150分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知两圆的方程是x2＋y2＝1和x2＋y2－6x－8y＋9＝0，那么这两个圆的位置关系是( ) A．相离B．相交 C．外切D．内切 2．过点(2,1)的直线中，被圆x2＋y2－2x＋4y＝0截得的最长弦所在的直线方程为( ) A．3x－y－5＝0 B．3x＋y－7＝0 C．x＋3y－5＝0 D．x－3y＋1＝0 3．若直线(1＋a)x＋y＋1＝0与圆x2＋y2－2x＝0相切，则a的值为( ) A．1，－1 B．2，－2 C．1 D．－1 4．经过圆x2＋y2＝10上一点M(2，6)的切线方程是( ) A．x＋6y－10＝0 x－2y＋10＝0 C．x－6y＋10＝0 D．2x＋6y－10＝0 5．点M(3，－3,1)关于xOz平面的对称点是( ) A．(－3,3，－1) B．(－3，－3，－1) C．(3，－3，－1) D．(3,3,1) 6．若点A是点B(1,2,3)关于x轴对称的点，点C是点D(2，－2,5)关于y轴对称的点，则|AC|＝( ) A．5 C．10 7．若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝1相交于P、Q两点，且∠POQ＝120°(其中O为坐标原点)，则k的值为( ) 或－ 3 和－2 8．与圆O1：x2＋y2＋4x－4y＋7＝0和圆O2：x2＋y2－4x－10y＋13＝0都相切的直线条数是( ) A．4 B．3 C．2 D．1 9．直线l将圆x2＋y2－2x－4y＝0平分，且与直线x＋2y＝0垂直，则直线l的方程是( ) A．2x－y＝0 B．2x－y－2＝0 C．x＋2y－3＝0 D．x－2y＋3＝0 圆的切点弦方程的解法探究 在理解概念熟记公式的基础上，如何正确地多角度观察、分析问题，再运用所学知识解决问题，是解题的关键所在。本文仅通过一个例题，圆的部分的基本题型之一，分别从不同角度进行观察，用不同的知识点和九种不同的解法，以达到介绍如何观察、分析、解决关于圆的切点弦的问题。 一、预备知识： 1、在标准方程 2 22)()r b y a x =-+-（下过圆上一点),00y x P （的切线方程为： 200))(())r b y b y a x a x =--+--（（ ； 在一般方程02 2 =++++F Ey Dx y x （042 2>-+F E D ） 下过圆上 一点),00y x P （的切线方程为： 02 20 000=++++++F y y E x x D yy xx 。 2、两相交圆01112 2=++++F y E x D y x （0412 12 1>-+F E D ）与 022222=++++F y E x D y x （0422 22 2>-+F E D ） 的公共弦所在的直线方程为：0)()()(212121=-+-+-F F y E E x D D 。 3、过圆02 2 =++++F Ey Dx y x （042 2>-+F E D ）外一点 ),11y x P （作圆的切线，其切线长公式为：F Ey Dx y x PA ++++=112121||。 4、过圆02 2 =++++F Ey Dx y x （042 2>-+F E D ）外一点 ),11y x P （作圆的切线，切点弦AB 所在直线的方程为：211))(())r b y b y a x a x =--+--（（（在圆的标准方程下的形式）； 02 21 111=++++++F y y E x x D yy xx （在圆的一般方程下的形式） 。 二、题目 已知圆04422 2=---+y x y x 外一点P （-4，-1），过点P 作圆 的切线PA 、PB ，求过切点A 、B 的直线方程。 三、解法 解法一：用判别式法求切线的斜率 如图示1，设要求的切线的斜率为k （当切线的斜率存在时），那么过点P （-4，-1）的切线方 程为：)]4([)1(--=--x k y 即 014=-+-k y kx 由 ? ??=---+=-+-04420 142 2y x y x k y kx 消去y 并整理得 0)12416()268()1(2222=+-+--++k k x k k x k ① 令 0)12416)(1(4)268(2 2 2 2 =+-+---=?k k k k k ② 解②得 0=k 或8 15 = k 圆的参数方程 1.已知曲线C 的参数方程为? ????x ＝2cos θ y ＝3sin θ，(θ为参数，0≤θ<2π)判断点A (2，0)， B ? ???－3，3 2是否在曲线C 上？若在曲线上，求出点对应的参数的值． 解：将点A (2，0)的坐标代入?????x ＝2cos θy ＝3sin θ，得?????cos θ＝1，sin θ＝0. 由于0≤θ<2π， 解得θ＝0，所以点A (2，0)在曲线C 上，对应θ＝0. 将点B ????－3，32的坐标代入? ????x ＝2cos θy ＝3sin θ， 得???? ?－3＝2cos θ， 32＝3sin θ， 即???cos θ＝－32， sin θ＝1 2. 由于0≤θ<2π， 解得θ＝5π 6 ， 所以点B ????－3，32在曲线C 上，对应θ＝5π 6 . 2.已知曲线C 的参数方程是? ????x ＝2t y ＝3t 2－1，(t 为参数)． (1)判断点M 1(0，－1)和M 2(4，10)与曲线C 的位置关系； (2)已知点M (2，a )在曲线C 上，求a 的值． [思路点拨] (1)将点的坐标代入参数方程，判断参数是否存在． (2)将点的坐标代入参数方程，解方程组． [解] (1)把点M 1(0，－1)的坐标代入参数方程? ????x ＝2t ，y ＝3t 2－1，得?????0＝2t －1＝3t 2－1，∴t ＝ 0. 即点M 1(0，－1)在曲线C 上． 把点M 2(4，10)的坐标代入参数方程? ????x ＝2t ，y ＝3t 2－1，得?????4＝2t 10＝3t 2－1，方程组无解． 即点M 2(4，10)不在曲线C 上． (2)∵点M (2，a )在曲线C 上， ∴? ??? ?2＝2t ，a ＝3t 2－1. ∴t ＝1，a ＝3×12－1＝2. 即a 的值为2. 3.已知曲线C 的参数方程为? ????x ＝t 2＋1 y ＝2t ，(t 为参数)． ①判断点A (1，0)，B (5，4)，E (3，2)与曲线C 的位置关系； ②若点F (10，a )在曲线C 上，求实数a 的值． 解：①把点A (1，0)的坐标代入方程组，解得t ＝0， 所以点A (1，0)在曲线上． 把点B (5，4)的坐标代入方程组，解得t ＝2， 所以点B (5，4)也在曲线上． 把点E (3，2)的坐标代入方程组，得到???? ?3＝t 2＋1，2＝2t ，即???t ＝±2，t ＝1. 故t 不存在，所以点E 不在曲线上． ②令10＝t 2＋1，解得t ＝±3，故a ＝2t ＝±6. 4.(1)曲线C ：? ????x ＝t y ＝t －2，(t 为参数)与y 轴的交点坐标是____________． 解析：令x ＝0，即t ＝0得y ＝－2，∴曲线C 与y 轴交点坐标是(0，－2)． 答案：(0，－2) 圆的方程 编稿：丁会敏 审稿：王静伟 【学习目标】 1.掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题，并会推导圆的标准方程. 2.掌握圆的一般方程的特点，能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程． 【要点梳理】 【高清课堂：圆的方程370891 知识要点】 要点一：圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=，其中()a b ，为圆心，r 为半径. 要点诠释： (1)如果圆心在坐标原点，这时00a b ==，，圆的方程就是2 2 2 x y r +=.有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x 轴上：b=0；圆与y 轴相切时：||a r =；圆与x 轴相切时：||b r =；与坐标轴相切时： ||||a b r ==；过原点：222a b r += (2)圆的标准方程2 2 2 ()()x a y b r -+-=?圆心为()a b ，，半径为r ，它显现了圆的几何特点. (3)标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a 、b 、r 这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法. 要点二：点和圆的位置关系 如果圆的标准方程为2 2 2 ()()x a y b r -+-=，圆心为()C a b ，，半径为r ，则有 (1)若点()00M x y ，在圆上()()2 2 200||CM r x a y b r ?=?-+-= (2)若点()00M x y ，在圆外()()2 2 200||CM r x a y b r ?>?-+-> (3)若点()00M x y ，在圆内()()2 2 200||CM r x a y b r ?时，方程2 2 0x y Dx Ey F ++++=叫做圆的一般方程.,22D E ?? - - ?? ?为圆心， 为半径. 要点诠释： 由方程2 2 0x y Dx Ey F ++++=得22 224224D E D E F x y +-? ???+++= ? ?? ??? (1)当2240D E F +-=时，方程只有实数解,22D E x y =- =-.它表示一个点(,)22 D E --. (2)当2240D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． 曲线与方程、圆的方程 1.曲线C的方程为：f(x,y)=o 曲线C上任意一点P (X o,y o)的坐标满足方程f(x,y)=O，即 f(x o,y o)=0 ;且以f(x,y) =0的任意一组解(x o,y o)为坐标的点P (x o,y o)在曲线C上。依据该定义：已知点在曲线上即知点的坐标满足曲线方程；求证点在曲线上也只需证点的坐 标满足曲线方程。求动点P(x,y)的轨迹方程即求点P的坐标(x,y)满足的方程(等式)。求动 点轨迹方程的步骤：①建系，写(设)出相关点的坐标、线的方程，动点坐标一般设为(x,y)， ②分析动点满足的条件，并用等式描述这些条件，③化简，④验证：满足条件的点的坐标都 是方程的解，且以方程的解为坐标的点都满足条件。 解析：原方程等价于: x y 1 0 2 2 2 2 '，或x y 4；x y 4 其中当x y 1 0需；x2y24有意义，等式才成立，即x2y24，此时它表示直线x y 1 0上不在圆x2y? 4内的部分，这是极易出错的一个环节。选 ［举例2］已知点A (- 1 , 0), B (2, 0),动点M满足2 / MAB2 MBA求点M的轨迹方程。 解析：如何体现动点M满足的条件2/ MAB M MBA 是解决本题的关键。用动点M的坐标体现2 / MAB M MBA 的 最佳载体是直线MA MB的斜率。 设M(x, y), / MAB=，则/ MBA=2，它们是直线 MA MB的倾角还是倾角的补角，与点M在x轴的上方 还是下方有关；以下讨论： ① 若点M在x轴的上方，(00,900), y 0 , 此时，直线MA的倾角为，MB的倾角为-2 , tan k MA xV an( 2)七(2 900) ［举例1］方程(x y 1). x2y2 4 0所表示的曲线是：( ) 8.10 曲线与方程 一、选择题 1．方程|x |－1＝ 1－(y －1)2 所表示的曲线是( ) A ．一个圆 B ．两个圆 C ．半个圆 D ．两个半圆 解析：|x |－1＝ 1－(y －1)2 ?????? |x |－1≥01－(y －1)2≥0 (|x |－1)2＝1－(y －1)2 ? ? ???? |x |－1≥0 (|x |－1)2＝1－(y －1)2 ?????? x ≥1或x ≤－1(|x |－1)2＋(y －1)2 ＝1?????? x ≥1(x －1)2＋(y －1)2 ＝1 或????? x ≤－1，(x ＋1)2＋(y －1)2 ＝1. 则方程|x |－1＝1－(y －1)2 所表示的曲线如图所示． 答案：D 2．如图所示，已知两点A (－2，0)、B (1,0)，动点P 不在x 轴上，且满足 ∠APO ＝∠BPO ，其中O 为坐标原点，则点P 的轨迹方程是( ) A ．(x ＋2)2 ＋y 2 ＝4(y ≠0) B ．(x ＋1)2 ＋y 2 ＝1(y ≠0) C ．(x －2)2 ＋y 2 ＝4(y ≠0) D ．(x －1)2 ＋y 2 ＝1(y ≠0) 解析：由∠APO ＝∠BPO ，设P 点坐标为(x ，y )， 则|PA |∶|PB |＝|AO |∶|BO |＝2，即|PA |＝2|PB |， ∴ (x ＋2)2 ＋y 2 ＝2 (x －1)2 ＋y 2 整理得(x －2)2 ＋y 2 ＝4，且y ≠0. 答案：C 3．与圆x 2 ＋y 2－4x ＝0外切，又与y 轴相切的圆的圆心的轨迹方程是( ) A ．y 2 ＝8x B ．y 2 ＝8x (x ＞0)和y ＝0 C ．y 2 ＝8x (x ＞0) D ．y 2 ＝8x (x ＞0)和y ＝0(x <0) 解析：如图，设与y 轴相切且与圆C ：x 2 ＋y 2 －4x ＝0外切的圆心为P (x ，y )，半径为r ， 则(x －2)2＋y 2＝|x |＋2，若x ＞0，则y 2 ＝8x ；若x <0，则y ＝0. 答案：D 4．如图，设圆(x ＋1)2 ＋y 2 ＝25的圆心为C ，A (1,0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点，线段 (时间：120分钟总分：150分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知两圆的方程是x2＋y2＝1和x2＋y2－6x－8y＋9＝0，那么这两个圆的位置关系是( ) A．相离B．相交 C．外切D．内切 2．过点(2,1)的直线中，被圆x2＋y2－2x＋4y＝0截得的最长弦所在的直线方程为( ) A．3x－y－5＝0 B．3x＋y－7＝0 C．x＋3y－5＝0 D．x－3y＋1＝0 3．若直线(1＋a)x＋y＋1＝0与圆x2＋y2－2x＝0相切，则a的值为( ) A．1，－1 B．2，－2 C．1 D．－1 4．经过圆x2＋y2＝10上一点M(2，6)的切线方程是( ) A．x＋6y－10＝0 x－2y＋10＝0 C．x－6y＋10＝0 D．2x＋6y－10＝0 5．点M(3，－3,1)关于xOz平面的对称点是( ) A．(－3,3，－1) B．(－3，－3，－1) C．(3，－3，－1) D．(3,3,1) 6．若点A是点B(1,2,3)关于x轴对称的点，点C是点D(2，－2,5)关于y轴对称的点，则|AC|＝( ) A．5 C．10 7．若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝1相交于P、Q两点，且∠POQ＝120°(其中O为坐标原点)，则k的值为( ) 或－ 3 和－2 8．与圆O1：x2＋y2＋4x－4y＋7＝0和圆O2：x2＋y2－4x－10y＋13＝0都相切的直线条数是( ) A．4 B．3 C．2 D．1 9．直线l将圆x2＋y2－2x－4y＝0平分，且与直线x＋2y＝0垂直，则直线l的方程是( ) A．2x－y＝0 B．2x－y－2＝0 C．x＋2y－3＝0 D．x－2y＋3＝0 10．圆x2＋y2－(4m＋2)x－2my＋4m2＋4m＋1＝0的圆心在直线x＋y－4＝0上，那么圆的面圆与方程基础练习题.
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